2014-2015学年黑龙江省哈三中高二(上)数学期中试卷带解析答案(文科)
黑龙江省哈尔滨三中2014_2015学年高二数学上学期期末试卷试卷理(含解析)
黑龙江省哈尔滨三中2014-2015学年高二上学期期末试卷试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合M={1，2，3}的真子集个数为（）A．6 B．7 C．8 D．92．（5分）过点（2，﹣2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=13．（5分）从装有4个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）（x2﹣）3的展开式中常数项是（）A．9 B．﹣9 C．27 D．﹣275．（5分）已知两点M（﹣2，0），N（2，0），点P满足•=12，则点P的轨迹方程为（）A．+y2=1 B．x2+y2=16 C．y2﹣x2=8 D．x2+y2=86．（5分）已知椭圆的离心率，则实数k的值为（）A．3 B．3或C．D．或7．（5分）已知直线mx+ny+1=0与圆x2+y2=1相切，则2m+n的最大值为（）A．2 B．C．D．38．（5分）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB 的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．311．（5分）已知随机变量X和Y，其中Y=12X+7，且EY=34，若X的分布列如表所示，则m的值为（）X 1 2 3 4P m nA．B．C．D．12．（5分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为F1F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是（）A．（0，）B．C．D．二、填空题：每小题5分，共20分．13．（5分）已知两点A（﹣2，﹣2）、B（3，7），则线段AB的垂直平分线的方程为．14．（5分）已知小明投10次篮，每次投篮的命中率均为0.7，记10次投篮命中的次数为X，则DX=．15．（5分）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）．16．（5分）现要将编号为1，2，3，4的四个小球全部放入甲、乙、丙三个盒中，每个至少放一个球，且甲盒不能放入1号球，乙盒不能放入2号球，则所有不同的放法种数为（用数字作答）．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（2x+）n展开式中所有的项的系数为243．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求展开式中x2项的系数．18．（12分）将一枚骰子先后抛掷两次，记第一次的点数为x，第二次的点数为y．（Ⅰ）求点P（x，y）在直线y=x+1上的概率；（Ⅱ）求y2＜4x的概率．19．（12分）某袋中有10个乒乓球，其中有7个新、3个旧球，从袋中任取3个来用，用后放回袋中（新球用后变为旧球），记此时袋中旧球个数为X，求X的数学期望．20．（12分）过抛物线y2=x的顶点O作两条相互垂直的弦OA，OB，求△AOB面积的最小值．21．（12分）小强参加一次测试，共有三道必答题，他是否答对每题互不影响．已知他只答对第一题的概率为0.08，只答对第一题和第二题的概率为0.1，至少答对一题的概率为0.88，用X表示小强答对题的数目．（Ⅰ）求小强答对第一题的概率；（Ⅱ）求X的分布列和数学期望．22．（12分）设椭圆C：过点（1，），F1，F2分别为椭圆C的左右焦点，且离心率（1）求椭圆C的方程．（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F2与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k1，k2满足，求直线l的方程．黑龙江省哈尔滨三中2014-2015学年高二上学期期末试卷试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合M={1，2，3}的真子集个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9考点：子集与真子集．专题：集合．分析：根据题意，集合M中有3个元素，由集合的子集与元素数目的关系，计算可得答案．解答：解：集合M中有3个元素，有23=8个子集，有23﹣1=7个真子集；故选B．点评：本题考查集合的元素数目与子集数目的关系，若集合中有n个元素，则其有2n个子集．2．（5分）过点（2，﹣2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1考点：双曲线的标准方程．分析：设所求双曲线方程为﹣y2=λ，把（2，﹣2）代入方程﹣y2=λ，求出λ，可得到所求的双曲线方程．解答：解：设所求双曲线方程为﹣y2=λ，把（2，﹣2）代入方程﹣y2=λ，解得λ=﹣2．由此可求得所求双曲线的方程为．故选A．点评：本题考查双曲线的渐近线方程，解题时要注意公式的灵活运用．3．（5分）从装有4个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率为（）A．B．C．D．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：用间接法，首先分析从6个球中任取3个球的情况数目，再求出所取的3个球中没有白球即全部红球的情况数目，计算可得没有白球的概率，而“没有白球”与“3个球中至少有1个白球”为对立事件，由对立事件的概率公式，计算可得答案．解答：解：根据题意，首先分析从6个球中任取3个球，共C63=20种取法，所取的3个球中没有白球即全部红球的情况有C43=4种，则没有白球的概率为=；则所取的3个球中至少有1个白球的概率是1﹣=；故选：B．点评：本题考查古典概型的计算，注意至多、至少一类的问题，可以选用间接法，即借助对立事件的概率的性质，先求其对立事件的概率，进而求出其本身的概率．4．（5分）（x2﹣）3的展开式中常数项是（）A．9 B．﹣9 C．27 D．﹣27考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：利用展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r的值，求出答案．解答：解：展开式的通项为T r+1=×x2（3﹣r）×（﹣1）r×3r×x﹣r=×（﹣3）r×x6﹣3r，令6﹣3r=0⇒r=2，∴（x2﹣）3的展开式中常数项是T3=×9=27．故选：C．点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．5．（5分）已知两点M（﹣2，0），N（2，0），点P满足•=12，则点P的轨迹方程为（）A．+y2=1 B．x2+y2=16 C．y2﹣x2=8 D．x2+y2=8考点：轨迹方程．专题：计算题．分析：设P点坐标为（x，y），由•=12进而可得到x和y的关系式．解答：解：设P（x，y），则=（﹣2﹣x，﹣y），=（2﹣x，﹣y）∴•=（2﹣x）（﹣2﹣x）+y2=12整理可得x2+y2=16．故选B点评：本题主要考查了轨迹方程．解题的关键是设出所求点的坐标为（x，y）进而找到x和y的关系式．6．（5分）已知椭圆的离心率，则实数k的值为（）A．3 B．3或C．D．或考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：当K＞5时，由 e===求得K值，当0＜K＜5时，由 e===，求得K值．解答：解：当K＞5时，e===，K=．当0＜K＜5时，e===，K=3．综上，K=3，或．故选 B．点评：本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，分类讨论是解题的关键．7．（5分）已知直线mx+ny+1=0与圆x2+y2=1相切，则2m+n的最大值为（）A．2 B．C．D．3考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：利用直线mx+ny+1=0与圆x2+y2=1相切，可得=1，即m2+n2=1，设m=cosα，n=sinα，则2m+n=2cosα+sinα=sin（α+θ）≤，即可求出2m+n的最大值．解答：解：∵直线mx+ny+1=0与圆x2+y2=1相切，∴=1，∴m2+n2=1，设m=cosα，n=sinα，则2m+n=2cosα+sinα=sin（α+θ）≤，∴2m+n的最大值为，故选：C．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查三角函数知识，正确运用直线mx+ny+1=0与圆x2+y2=1相切是关键．8．（5分）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB 的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题．分析：设AC=x，则0＜x＜12，若矩形面积为小于32，则x＞8或x＜4，从而利用几何概型概率计算公式，所求概率为长度之比解答：解：设AC=x，则BC=12﹣x，0＜x＜12若矩形面积S=x（12﹣x）＜32，则x＞8或x＜4即将线段AB三等分，当C位于首段和尾段时，矩形面积小于32，故该矩形面积小于32cm2的概率为P==故选 C点评： 本题主要考查了几何概型概率的意义及其计算方法，将此概率转化为长度之比是解决本题的关键，属基础题9．（5分）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A ．B ．C ．D ．考点： 相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式． 专题： 计算题．分析： 根据题意，分析可得，这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件，而两个零件是否加工为一等品相互独立，进而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案．解答： 解：记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ，即仅第一个实习生加工一等品（A 1）与仅第二个实习生加工一等品（A 2）两种情况， 则P （A ）=P （A 1）+P （A 2）=，故选B ．点评： 本题考查了相互独立事件同时发生的概率与互斥事件的概率加法公式，解题前，注意区分事件之间的相互关系（对立，互斥，相互独立）．10．（5分）抛物线y=﹣x 2上的点到直线4x+3y ﹣8=0距离的最小值是（）A ．B ．C ．D ． 3考点： 直线与圆锥曲线的关系．专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．分析： 首先判断出直线和抛物线无交点，然后设出与直线平行的直线方程，可抛物线方程联立后由判别式等于0求出切线方程，然后由两条平行线间的距离求出抛物线y=﹣x 2上的一点到直线4x+3y ﹣8=0的距离的最小值． 解答： 解：由，得3x 2﹣4x+8=0．△=（﹣4）2﹣4×3×8=﹣80＜0．所以直线4x+3y ﹣8=0与抛物线y=﹣x 2无交点． 设与直线4x+3y ﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0 联立，得3x 2﹣4x ﹣m=0．由△=（﹣4）2﹣4×3（﹣m ）=16+12m=0， 得m=﹣．所以与直线4x+3y﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x2相切的直线方程为4x+3y﹣=0．所以抛物线y=﹣x2上的一点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是=．故选：A．点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离公式，是中档题．11．（5分）已知随机变量X和Y，其中Y=12X+7，且EY=34，若X的分布列如表所示，则m的值为（）X 1 2 3 4P m nA．B．C．D．考点：离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：根据随机变量X分布的概率和为1，建立m、n的等式，根据数学期望公式再建立另一等式，联立方程组解之即可求出所求．解答：解：根据随机变量X分布的概率和为1，则+m+n+=1即m+n=①EX=1×+2m+3n+4×=2m+3n+∵Y=12X+7，且EY=34∴EY=12EX+7=24m+36n+14=34 ②联立①②得m=故选C．点评：本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，以及随机变量的数学期望和二元一次方程组的解法，属于中档题．12．（5分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为F1F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是（）A．（0，）B．C．D．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2．利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出e1•e2的取值范围，即可得答案．解答：解：设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2．由题意知r1=10，r2=2c，且r1＞r2，2r2＞r1，∴2c＜10，2c+2c＞10，⇒＜c＜5．⇒，∴=；=．∴，故选C．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、椭圆的简单性质、双曲线的简单性质、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．二、填空题：每小题5分，共20分．13．（5分）已知两点A（﹣2，﹣2）、B（3，7），则线段AB的垂直平分线的方程为5x+9y﹣25=0．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：求出A，B的中点和斜率，根据点斜式方程即可求出直线方程．解答：解：∵两点A（﹣2，﹣2）、B（3，7），∴两点A，B的中点为（，），AB的斜率k==，则线段AB的垂直平分线的斜率k=﹣，则对于的直线方程为y﹣=﹣（x﹣），即5x+9y﹣25=0，故答案为：5x+9y﹣25=0．点评：本题主要考查直线方程的求解，根据条件求出中点坐标和斜率是解决本题的关键．14．（5分）已知小明投10次篮，每次投篮的命中率均为0.7，记10次投篮命中的次数为X，则DX=2.1．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：由题意知ξ～B（10，0.7），由此能求出Dξ．解答：解：由题意知ξ～B（10，0.7），Dξ=10×0.7×0.3=2.1．故答案为：2.1．点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的合理运用．15．（5分）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．解答：解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2中选择故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=故答案为：点评：本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个数，属于基础题．16．（5分）现要将编号为1，2，3，4的四个小球全部放入甲、乙、丙三个盒中，每个至少放一个球，且甲盒不能放入1号球，乙盒不能放入2号球，则所有不同的放法种数为17（用数字作答）．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：由题意知元素的限制条件比较多，可以利用间接法，先不考虑甲乙两盒的，再排除甲盒有1号，乙盒有2号球球，还要加上盒有1号球同时乙盒有2号球，问题得以解决．解答：解：不考虑甲盒不能放1号球，乙盒不能放入2号球，一共有=36种，甲盒为1号球有=12种，乙盒有2号球也有12种，甲盒有1号球同时乙盒有2号球1+2×2=5，所以不同的放法为36﹣12﹣12+5=17种，故答案为：17点评：本题考查排列组合及简单的计数原理，综合利用两个原理解决是关键，属中档题．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（2x+）n展开式中所有的项的系数为243．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求展开式中x2项的系数．考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：（I）依题意，得3n=243，可得n=5；（Ⅱ）由（2x+）5的二项展开式的通项公式T r+1=•（2x）5﹣r•=25﹣r••，知5﹣r=2，可求得r=2，从而可得展开式中x2项的系数．解答：解：（I）∵（2x+）n展开式中所有的项的系数为243，∴当x=1时，有3n=243，∴n=5；（Ⅱ）设（2x+）5展开式中的通项T r+1=•（2x）5﹣r•=25﹣r••，令5﹣r=2，得r=2，∴展开式中x2项的系数为：23•=80．点评：本题考查二项式定理的应用，着重考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式的应用，属于中档题．18．（12分）将一枚骰子先后抛掷两次，记第一次的点数为x，第二次的点数为y．（Ⅰ）求点P（x，y）在直线y=x+1上的概率；（Ⅱ）求y2＜4x的概率．考点：几何概型；古典概型及其概率计算公式．专题：应用题；概率与统计．分析：本题是一个古典概型，（Ⅰ）试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6种结果，满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在直线y=x+1上，列举共有5种结果，得到概率；（Ⅱ）满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在y2＜4x上，列举共有17种结果，得到概率．解答：解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36种结果，满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在直线y=x+1上，当x=1，y=2；x=2，y=3；x=3，y=4；x=4，y=5；x=5，y=6，共有5种结果，∴根据古典概型的概率公式得到P=；（II）满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在y2＜4x上，当x=1，y=1；x=2，y=1，2；x=3，y=1，2，3；x=4，y=1，2，3；x=5，y=1，2，3，4；x=6，y=1，2，3，4，共有17种结果，∴根据古典概型的概率公式得到P=．点评：本题考查古典概型的概率公式，考查满足直线方程的点，考查利用列举法得到事件数，本题是一个基础题，适合文科学生做，列举时注意要以x为主来讨论．19．（12分）某袋中有10个乒乓球，其中有7个新、3个旧球，从袋中任取3个来用，用后放回袋中（新球用后变为旧球），记此时袋中旧球个数为X，求X的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：由题意知，X的可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的数学期望．解答：解：由题意知，X的可能取值为3，4，5，6，P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，P（X=6）==，∴EX==5.1．故答案为：5.1．点评：本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一．20．（12分）过抛物线y2=x的顶点O作两条相互垂直的弦OA，OB，求△AOB面积的最小值．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），B（x2，y2）与x轴的交点M点的坐标为（x0，0），直线l方程为 x=my+x0，代入y2=x，根据OA⊥OB．求出m的值，然后表示出△AOB的面积，求解三角形面积的最小值即可．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2）与x轴的交点M点的坐标为（x0，0），直线l方程为x=my+x0，代入y2=x得y2﹣my﹣x0=0 ①，y1、y2是此方程的两根，∴x0=﹣y1y2，∵x1x2+y1y2=y12y22+y1y2=y1y2（y1y2+1）=0，∴y1y2=﹣1∴x0=1．由方程①，y1+y2=m，y1y2=﹣1，且|OM|=x0=1，于是S△AOB=|OM||y1﹣y2|==≥1，∴当m=0时，△AOB的面积取最小值1．点评：本题考查抛物线的简单性质，考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意抛物线性质的合理运用．21．（12分）小强参加一次测试，共有三道必答题，他是否答对每题互不影响．已知他只答对第一题的概率为0.08，只答对第一题和第二题的概率为0.1，至少答对一题的概率为0.88，用X表示小强答对题的数目．（Ⅰ）求小强答对第一题的概率；（Ⅱ）求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（I）设事件A表示“答对第一题”，事件B表示“答对第二题”，事件C表示“答对第三题”，由已知得，由此能求出小强答对第一题的概率．（Ⅱ）由已知得，X=0，1，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．解答：解：（I）设事件A表示“答对第一题”，事件B表示“答对第二题”，事件C表示“答对第三题”，由已知得，解得P（A）=，P（B）=，P（C）=，∴小强答对第一题的概率为．（Ⅱ）由已知得，X=0，1，3，P（X=0）=[1﹣P（A）][1﹣P（B）][1﹣P（C）]=1﹣0.88=，P（X=1）=P（A）[1﹣P（B）][1﹣P（C）]+P（B）[1﹣P（A）][1﹣P（C）]+P（C）[1﹣P（A）][1﹣P（B）]=，P（X=2）=P（A）P（B）[1﹣P（C）]+P（A）[1﹣P（B）]P（C）+[1﹣P（A）]P（B）P（C）=，P（X=3）=P（A）P（B）P（C）=，X 0 1 2 3PEX==．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．22．（12分）设椭圆C：过点（1，），F1，F2分别为椭圆C的左右焦点，且离心率（1）求椭圆C的方程．（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F2与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k1，k2满足，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由椭圆C过点（1，），且离心率，可得，解出即可；（2）由（1）可得：左顶点A（﹣2，0），右焦点（1，0）．由题意可知直线l不存在时不满足条件，可设直线l的方程为y=k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2）．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用斜率计算公式可得，即，代入化简整理即可得出．解答：解：（1）∵椭圆C：过点（1，），且离心率，∴，解得，∴椭圆C的方程为．（2）由（1）可得：左顶点A（﹣2，0），右焦点（1，0）．由题意可知直线l不存在时不满足条件，可设直线l的方程为y=k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2）．联立，化为（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．由题意可得△＞0．∴，．∵，∴，化为2k（x1﹣1）（x2+2）+2k（x2﹣1）（x1+2）+（x1+2）（x2+2）=0，整理为（4k+1）x1x2+（2k+2）（x1+x2）+4﹣8k=0．代入得+4﹣8k=0，整理为k2﹣2k=0，解得k=0或2．k=0不满足题意，应舍去．故k=2，此时直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率计算公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．。
黑龙江省哈尔滨第一中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案
哈一中2014—2015学年度上学期期中考试高二数学试卷命题人： 高二备课组 考试时间：120分钟 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷(非选择题)两部分第I 卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.1. 命题“若a b >，则a c b c +>+”的逆否命题为（ ）A ．若a b <，则a c b c +>+ B. 若a b ≤，则a c b c +≤+ C. 若a c b c +<+，则a b < D. 若a c b c +≤+，则a b ≤2．与曲线1492422=+y x 共焦点，且与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为（ ） A ．191622=-x y B ．191622=-y x C ．116922=-x y D ．116922=-y x 3．已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．x y 53±= B ．x y 35±= C ．x y 43±= D ．x y 34±= 4．函数12)(2+-=ax x x f 在(]2,∞-上是单调递减函数的必要不充分条件是（ ） A ．2≥a B ．6=a C ．3≥a D ．0≥a5．过抛物线x y -=2的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且A 、B 在直线41=x 上的射影分别M 、N ，则∠MFN 等于（ ） A ．45° B ．60° C ．90° D ．以上都不对6．有下列四个命题：①命题“若1=xy ，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1>m ，则022=+-m x x 有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题.其中是真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．47．方程02=+ny mx 与)0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图可能是（ ）8．已知动点),(y x P 满足5|1243|)2()1(22++=-+-y x y x ，则点P 的轨迹是 ( )A ．两条相交直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆9．一个圆的圆心为椭圆的右焦点F ，且该圆过椭圆的中心交椭圆于点P, 直线PF 1（F 1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A ．21 B ．22 C ．23 D ．13-10．已知点P 为抛物线221x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是)217,6(，则PM PA +的最小值是（ ）A ． 8B ．219 C ．10 D ．22111．若椭圆1422=+y x 与双曲线1222=-y x 有相同的焦点F 1、F 2，P 是这两条曲线的一 个交点，则21PF F ∆的面积是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．2112．已知,A B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个端点， ,M N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线,AM BN 的斜率分别为12,k k )0(21≠k k ，若椭圆的离心率为23,则||||21k k +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2第II 卷(非选择题90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省哈三中11-12学年高二数学上学期期中考试 文
哈三中2011-2012学年度上学期高二学年第一学段数学试卷（文史类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的某某、某某填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1． 命题"01,"23>+-∈∃x x R x 的否定是A.01,23<+-∈∃x x R x B.01,23≤+-∈∃x x R x C.01,23≥+-∈∀x x R x D.01,23≤+-∈∀x x R x 2． 已知2:>x p ；02:2>--x x q ．那么p 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．椭圆1162522=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，左、右顶点分别为A 、B ，则以1F 、2F 为顶点，以A 、B 为焦点的双曲线标准方程为A.116922=-y x B.191622=-y x C.1162522=-y x D.125922=-y x 4． 两圆6422=+y x 和100)4()2(22=-++y x 的公切线条数为A.1B.2C.3D.45．已知1F 、2F 为椭圆1422=+y x 的两个焦点，P 为椭圆上一点，满足︒=∠12021PF F ，则21PF F ∆的面积为A.33 B.3 C.332 D.23 6．下列三个命题：①若0=ab ，则0=a 或0=b 的逆命题； ②若b a >，则22b a >的逆否命题； ③若2≤x ，则022≤--x x 的否命题. 则其中真命题的个数为A.0个B.1个C.2个D.3个7． 在ABC ∆中，︒=∠90B ，3=AB ,4=BC ，则以A 、C 为焦点，且经过点B 的椭圆的离心率为A.75 B.54 C.43 D.53 8． 已知1124322=-+-k y k x 为焦点在y 轴上的双曲线，则实数k 的取值X 围为 A.)43,21( B.),43(+∞ C.),43()21,(+∞-∞ D.)21,0(9．若点),(y x P 是抛物线x y 82=上一点，直线2:-=x l ，l PA ⊥，A 为垂足，点)6,2(Q ，则||||PQ PA +的最小值为A.2B.4C.6D.810．若直线m x y +=与曲线21x y -=有两个公共点，则实数m 的取值X 围是A.)2,2(-B.]2,2[-C.)2,1(-D.)2,1[11．若直线l 经过椭圆1222=+y x 的右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，AB 的中点为M ，则点M 的轨迹方程为A.18)21(422=+-y xB.18)21(422=--y xC.18)21(422=++y xD.18)21(822=+-y x12．在ABC ∆中，12=BC ，13=+AC AB ，则ABC ∆面积的最大值为A. 15B.215C.2315D.236第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上．） 13. 抛物线y x 42=的焦点坐标为．14. 双曲线1422=-x y 的渐近线方程为． 15. 直线l 平分圆1)2()1(22=-+-y x ，不经过第四象限，则直线l 的斜率的X 围为．16. 已知O 和1F 分别为双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的中心和左焦点，过1F 的直线l 与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为P ，Q 为y 轴上一点满足01=++PO PQ PF ，则双曲线C 的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）已知圆()()101222=++-y x 与x 轴交于A 、B 两点，求分别以A 、B 为焦点的抛物线的标准方程.18．（本小题满分12分）若直线n mx y l +=:与圆()()18:22>=+-a y a x C 相切于点()2,3P .求圆C 的方程和直线l 的方程.19．（本小题满分12分）已知的中心在原点O ，焦点在坐标轴上的椭圆E 过⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1,22,2N M 两点（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设直线022:=-+y x l 与椭圆交于A 、B 两点，求AB .20．（本小题满分12分）抛物线x y 42=的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线于A 、B 两点，满足FB AF 2=（点A 在第一象限） （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）过A 、B 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为点D 、C ，求四边形ABCD 的面积.21.（本小题满分12分）已知双曲线1322=-y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线l 与双曲线右支有A 、B 两个交点.（Ⅰ）求直线l 的斜率k 的取值X 围；（Ⅱ）是否存在直线l 满足0=⋅OB OA （O 为原点），若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知抛物线)0(22>=p py x ，O 为坐标原点，点M 和N 在抛物线上，且三角形MON 是面积为33的等边三角形，直线l 与抛物线交于异于M 、N 的两点A 、B ，且2-=⋅MB MA k k ．（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）判断直线l 中，是否存在使得三角形ABN 面积最小的直线l '，若存在，求出直线l '的方程和三角形ABN 面积的最小值；若不存在，请说明理由．哈三中2011-2012学年度上学期 高二学年第一学段数学（文史类）答案一、 选择题二、 填空题 13.)1,0( 14.x y 2±= 15.]2,0[16.3 三、解答题17. 解：当0=y 时，()922=-x ，解得5=x 或1-=x ，则()0,5A 或()0,1-，当抛物线以()0,5A 为焦点时抛物线方程为x y 202=；当抛物线以()0,1-B 为焦点时抛物线方程为x y 42-=。
2014-2015学年黑龙江省哈三中高二上学期期中数学试卷与解析(文科)
2014-2015学年黑龙江省哈三中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知曲线C的方程为x2﹣xy+y2﹣2=0，则下列各点中，在曲线C上的点是（）A．（0，）B．（1，﹣2）C．（2，﹣3）D．（3，8）2．（5分）已知A为圆A：（x﹣1）2+y2=25的圆心，平面上点P满足PA=，那么点P与圆A的位置关系是（）A．点P在圆A上B．点P在圆A内C．点P在圆A外D．无法确定3．（5分）双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为（）A．2 B．C．3 D．24．（5分）抛物线y=2x2的准线方程为（）A．B．C．D．5．（5分）△ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（）A．B．C．D．6．（5分）已知实数x、y满足x2+y2+2x=0，则x+y的最小值为（）A．B．C．D．7．（5分）设定点F1（0，﹣2）、F2（0，2），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+（m ＞0），则点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段8．（5分）已知点P（8，8）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，直线l与抛物线C 相切于点P，则直线l的斜率为（）A．B．C．D．9．（5分）若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（）A．1 B．C．D．211．（5分）从双曲线=1的左焦点F引圆x2+y2=3的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）A．B．C．D．12．（5分）已知椭圆=1上一点A（2，1）和该椭圆上两动点B、C，直线AB、AC的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=0，则直线BC的斜率k（）A．k＞或k＜﹣B．k=﹣C．k= D．k的值不确定二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知AB为过双曲线C的一个焦点F且垂直于实轴的弦，且|AB|为双曲线C的实轴长的2倍，则双曲线C的离心率为．14．（5分）顶点在原点，经过圆C：x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为．15．（5分）已知方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为．16．（5分）已知圆C1：（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1与圆C2：x2+y2=1，在下列说法中：①对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；②对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线；③直线l：2（m+3）x+3（m+2）y﹣（2m+5）=0（m∈R）与圆C2一定相交于两个不同的点；④P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4．其中正确命题的序号为．三、简答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知直线y=kx+2与椭圆2x2+3y2=6有两个公共点，求k的取值范围．18．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±x，右顶点为（1，0）．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）已知直线y=x+m与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点为M（x0，y0）．当x0≠0时，求的值．19．（12分）在直角坐标系xoy中，曲线y=x2﹣6x+5与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）求过点（2，4）的直线被该圆截得的弦长最小时的直线方程以及最小弦长．20．（12分）已知F1、F2为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点，椭圆C 的离心率为，过左焦点F1的直线与C相交于A、B两点，△ABF2面积的最大值为3，求椭圆C的方程．21．（12分）已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A、B 两点．（1）设直线l的斜率为1，求向量与夹角余弦值的大小；（2）设向量=λ，若∈[4，9]，求直线l在y轴上截距的变化范围．22．（12分）已知椭圆E1：=1的焦点F1、F2在x轴上，且椭圆E1经过P（m，﹣2）（m＞0），过点P的直线l与E1交于点Q，与抛物线E2：y2=4x交于A、B两点，当直线l过F2时△PF1Q的周长为20．（Ⅰ）求m的值和E1的方程；（Ⅱ）以线段AB为直径的圆是否经过E2上一定点，若经过一定点求出定点坐标，否则说明理由．2014-2015学年黑龙江省哈三中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知曲线C的方程为x2﹣xy+y2﹣2=0，则下列各点中，在曲线C上的点是（）A．（0，）B．（1，﹣2）C．（2，﹣3）D．（3，8）【解答】解：把A、B、C、D坐标分别代入曲线方程x2﹣xy+y2﹣2=0，只有（0，）满足方程，所以（0，）在曲线上．故选：A．2．（5分）已知A为圆A：（x﹣1）2+y2=25的圆心，平面上点P满足PA=，那么点P与圆A的位置关系是（）A．点P在圆A上B．点P在圆A内C．点P在圆A外D．无法确定【解答】解：A为圆A：（x﹣1）2+y2=25的圆心，圆的半径为5，平面上点P满足PA=，∵，∴点P与圆A的位置关系是：点P在圆A内．故选：B．3．（5分）双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为（）A．2 B．C．3 D．2【解答】解：由题得：其焦点坐标为（±4，0）．渐近线方程为y=±x所以焦点到其渐近线的距离d==2．故选：D．4．（5分）抛物线y=2x2的准线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线的方程可变为x2=y故p=，其准线方程为y=﹣，故选：D．5．（5分）△ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的两顶点B（﹣1，0），C（1，0），周长为8，∴BC=2，AB+AC=6，∵6＞2，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且2a=6，c=1，b=2，所以椭圆的标准方程是．故选：A．6．（5分）已知实数x、y满足x2+y2+2x=0，则x+y的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：把x2+y2+2x=0配方得：（x+1）2+y2=1，显然，这是一个圆的方程，设x+1=cosα，y=sinα，则x+y=cosα﹣1+sinα=（cosα+sinα）﹣1=sin（）﹣1，由sin（）∈[﹣1，1]，所以x+y的最小值为：﹣﹣1．故选：B．7．（5分）设定点F1（0，﹣2）、F2（0，2），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+（m ＞0），则点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段【解答】解：∵m＞0，m+≥2=4．故当m+=4时，满足条件|PF1|+|PF2|=m+=|F1 F2|的点P的轨迹是线段F1F2 ．当m+＞4时，满足条件|PF1|+|PF2|=m+（m＞0）的点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆．故选：D．8．（5分）已知点P（8，8）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，直线l与抛物线C 相切于点P，则直线l的斜率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵点P（8，8）在抛物线C：y2=2px，∴64=2p×8，解得：2p=8，故抛物线C的标准方程为：y2=8x，即x=y2，则x′=y，当y=8时，x′=2，故过点P（8，8）与抛物线C相切的直线方程为：2（y﹣8）=x﹣8，即y=x+4，即直线l的斜率为，故选：C．9．（5分）若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：设直线方程为y=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k=0，直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径，得4k2≤k2+1，k2≤，故选：C．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（）A．1 B．C．D．2【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=3，∴|PQ|=2d，∴直线PF的斜率为±，∵F（1，0），∴直线PF的方程为y=±（x﹣1），与y2=4x联立可得x=，∴||=d=1+=．故选：B．11．（5分）从双曲线=1的左焦点F引圆x2+y2=3的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线的右焦点为F'，连结OT∵O为FF'中点，M为PF中点，∴MO为△PFF'的中位线，可得|MO|=|PF'|，|FM|=|PF|又∵|MT|=|FM|﹣|FT|=|PF|﹣|FT|，∴|MO|﹣|MT|=（|PF'|﹣|PF|）+|FT|=|FT|﹣a，∵a=，|FT|==，∴|MO|﹣|MT|=﹣．故选：C．12．（5分）已知椭圆=1上一点A（2，1）和该椭圆上两动点B、C，直线AB、AC的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=0，则直线BC的斜率k（）A．k＞或k＜﹣B．k=﹣C．k= D．k的值不确定【解答】解：∵点A（2，1）在椭圆=1上，直线AB、AC的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=0，∴设直线AB的方程为：y﹣1=k1（x﹣2），直线AC的方程为：y﹣1=k2（x﹣2）=﹣k1（x﹣2），即直线AB的方程为：y=k1（x﹣2）+1，直线AC的方程为：y=﹣k1（x﹣2）+1，将y=k1（x﹣2）+1，代入=1得：（）x2﹣x+=0，由A的横坐标为2，结合韦达定理可得B点的横坐标为：﹣2=，则B点的纵坐标为，即B点坐标为：（，），同理可得：C点的坐标为：（，）故BC的斜率k==，故选：C．二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知AB为过双曲线C的一个焦点F且垂直于实轴的弦，且|AB|为双曲线C的实轴长的2倍，则双曲线C的离心率为．【解答】解：设双曲线C：，焦点F（c，0），由题设得A点坐标为（c，a），代入双曲线的方程得到：所以，a=bc=a，∴e==．故答案为：．14．（5分）顶点在原点，经过圆C：x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为y2=2x．．【解答】解：因为圆C：x2+y2﹣2x+2y=0的圆心是（1，﹣）抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点（1，﹣），设标准方程为y2=2px，因为点（1，﹣）在抛物线上，所以（﹣）2=2p，所以p=1，所以所求抛物线方程为：y2=2x．故答案为：y2=2x．15．（5分）已知方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为0＜k＜4．【解答】解：椭圆方程4x2+ky2=1化为，由于椭圆的焦点在y轴上，则＞，即0＜k＜4，故答案为：0＜k＜4．16．（5分）已知圆C1：（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1与圆C2：x2+y2=1，在下列说法中：①对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；②对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线；③直线l：2（m+3）x+3（m+2）y﹣（2m+5）=0（m∈R）与圆C2一定相交于两个不同的点；④P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4．其中正确命题的序号为①③④．【解答】解：对于①结论是正确的，由圆C1：（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1与圆C2：x2+y2=1可知两圆圆心分别为C1（2cosθ，2sinθ）与C2（0，0），半径分布为r1=1，r2=1∴圆心距|C1 C2|==2，|C 1C2|=r1+r2，故对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；对于②结论是不正确的，由①可知两圆向外切，只有3条公切线．对于③结论是正确的，由直线l：2（m+3）x+3（m+2）y﹣（2m+5）=0可化为：m（2x+3y﹣2）+6x+2y﹣5=0解方程组，得交点M（，），|MO|==＜1，故点M在圆C2内，所以直线l与圆C2一定相交于两个不同的点．对于④结论是正确的，如下图所示，当P，Q两点与公切点共线时距离最大为|PQ|=（r1+r2）=4综上，正确的结论是①③④．故答案为：①③④三、简答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知直线y=kx+2与椭圆2x2+3y2=6有两个公共点，求k的取值范围．【解答】解：联立，消去y，得（3k2+2）x2+12kx+6=0，∵直线y=kx+2和椭圆2x2+3y2=6有两个公共点，∴△=（12k）2﹣24（3k2+2）＞0，解得k＜﹣或k＞，故k的取值范围是：（﹣）∪（，+∞）．18．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±x，右顶点为（1，0）．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）已知直线y=x+m与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点为M（x0，y0）．当x0≠0时，求的值．【解答】解：（Ⅰ）双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±x，则由题意得，=，a=1，解得b=，则双曲线的方程为：x2﹣=1；（Ⅱ）联立直线方程和双曲线方程，得到，，消去y，得2x2﹣2mx﹣m2﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则判别式△=4m2+8（m2+3）＞0，x1+x2=m，中点M的x0=，y0=x0+m=m，则有=3．19．（12分）在直角坐标系xoy中，曲线y=x2﹣6x+5与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）求过点（2，4）的直线被该圆截得的弦长最小时的直线方程以及最小弦长．【解答】解：（1）曲线y=x2﹣6x+5与坐标轴x轴的交点令x2﹣6x+5=0解得：A（1，0），B（5，0）与y轴的交点C（0，5）设圆的一般式为：x2+y2+Dx+Ey+F=0把A（1，0），B（5，0），C（0，5）代入圆的方程：解得圆的方程为：x2+y2﹣6x﹣6y+5=0（2）根据（1）的结论x2+y2﹣6x﹣6y+5=0转化为标准式：（x﹣3）2+（y﹣3）2=13点（2，4）与圆心（3，3）的距离为所以最短弦的直线的斜率k与点（2，4）与圆心（3，3）所构成的直线斜率乘积为﹣1．所以k=1进一步求出直线方程为：x﹣y+2=0．所以圆心（3，3）到直线的距离为：d==设半弦长为l则：l2+d2=r2解得：则弦长为2l=220．（12分）已知F1、F2为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点，椭圆C 的离心率为，过左焦点F1的直线与C相交于A、B两点，△ABF2面积的最大值为3，求椭圆C的方程．【解答】解：当AB与椭圆的长轴垂直时，△ABF2面积取最大值，此时|AB|=，AB边上的高为2c，∵此时△ABF2面积为3，故××2c=3，又∵椭圆C的离心率e==，又由a2=b2+c2，解得：a2=6，b2=3，故椭圆C的方程为：．21．（12分）已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A、B 两点．（1）设直线l的斜率为1，求向量与夹角余弦值的大小；（2）设向量=λ，若∈[4，9]，求直线l在y轴上截距的变化范围．【解答】解：（1）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，∴l的方程为y=x﹣1．将y=x﹣1代入方程y2=4x，整理得x2﹣6x+1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=6，x1x2=1，y1+y2=4，y1y2=﹣4．∴cos＜，＞===﹣．∴与夹角的余弦值为﹣．（2）由题设得（x2﹣1，y2）=λ（1﹣x1，﹣y1），即x2﹣1=λ（1﹣x1）①，y2=﹣λy1②由②得y22=λ2y12，∵y12=4x1，y22=4x2，∴x2=λ2x1③联立①③解得x2=λ．依题意有λ＞0．∴B（λ，2）或B（λ，﹣2），又F（1，0），得直线l的方程为（λ﹣1）y=2（x﹣1）或（λ﹣1）y=﹣2（x﹣1）当λ∈[4，9]时，l在y轴上的截距为或﹣，设g（λ）=，λ∈[4，9]，可知g（λ）=在[4，9]上是递减的，∴≤≤，或﹣≤﹣≤﹣，即直线l在y轴上截距的变化范围为≤≤，或﹣≤﹣≤﹣．22．（12分）已知椭圆E1：=1的焦点F1、F2在x轴上，且椭圆E1经过P（m，﹣2）（m＞0），过点P的直线l与E1交于点Q，与抛物线E2：y2=4x交于A、B两点，当直线l过F2时△PF1Q的周长为20．（Ⅰ）求m的值和E1的方程；（Ⅱ）以线段AB为直径的圆是否经过E 2上一定点，若经过一定点求出定点坐标，否则说明理由．【解答】解：（Ⅰ）△PF1Q的周长4a=20，∴a=5，a2=75，故椭圆E1的方程为：=1，将P（m，﹣2）代入=1得：m2=25，∵m＞0，∴m=5，（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2），过P（5，﹣1）点的直线为：x﹣5=m（y+2），即x=m（y+2）+5，代入y2=4x得：y2﹣4my﹣8m﹣20=0而以线段AB为直径的圆的方程为x2+y2﹣（x1+x2）x+x1x2﹣（y1+y2）y+y1y2=0，x2+y2﹣[（y1+y2）2﹣2y1y2]x+﹣（y1+y2）y+y1y2=0，整理得x2+y2﹣4my﹣（4m2+4m+10）x+4m2+12m+5=0，整理成关于m的方程4m2（1﹣x）+4m（3﹣x﹣y）+x2+y2﹣10x+5=0由于以上关于m的方程有无数解，故1﹣x=0且3﹣x﹣y=0且x2+y2﹣10x+5=0，由以上方程构成的方程组有唯一解x=1，y=2．由此可知，以线段AB为直径的圆必经过定点（1，2）。
黑龙江省哈尔滨32中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)
黑龙江省哈尔滨32中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题只有1个选项符合题意，每小题4分，共48分）1．（4分）直线x+6y+2=0在x轴和y轴上的截距分别是（）A．B．C．D．﹣2，﹣32．（4分）流程图中表示判断框的是（）A．矩形框B．菱形框C．圆形框D．椭圆形框3．（4分）将两个数a=8，b=17交换，使得a=17，b=8，下列语句正确的是（）A．a=b，b=a B．c=b，b=a，a=c C．b=a，a=b D．a=c，c=b，b=a4．（4分）下列给出的赋值语句中正确的是（）A．4=M B．M=﹣M C．B=A﹣3 D．x+y=05．（4分）如图所示的程序框图中，输出S的值为（）A．10 B．12 C．15 D．86．（4分）如图给出了一个算法程序框图，该算法程序框图的功能是（）A．求a，b，c三数的最大数B．求a，b，c三数的最小数C．将a，b，c按从小到大排列D．将a，b，c按从大到小排列7．（4分）如图的程序框图，能判断任意输入的整数x的奇偶性：其中判断框内的条件是（）A．m=0 B．x=0 C．x=1 D．m=18．（4分）下面一段程序执行后输出结果是（）A．2B．8C．10 D．189．（4分）以下给出的各数中不可能是八进制数的是（）A．231 B．10110 C．82 D．475710．（4分）某班一共有52名同学，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是（）A．13 B．19 C．20 D．5111．（4分）下列程序执行后输出的结果是（）A．﹣1 B．0C．1D．212．（4分）如果右边程序运行后输出的结果是132，那么在程序中until后面的“条件”应为（）A．i＞11 B．i＞=11 C．i＜=11 D．i＜11二、填空题（每小题4分，共16分）13．（4分）840与1764的最大公约数是．14．（4分）如图所示程序，若输入8时，则下列程序执行后输出的结果是．15．（4分）将二进制数101 1（2）化为十进制数，结果为；将十进制数124转化为八进制数，结果为．16．（4分）我校高中生共有2700人，其中2014-2015学年高一年级900人，2014-2015学年高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、高三各年级抽取的人数分别为．三、解答题（共36分）17．（9分）用秦九韶算法求多项式f（x）=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值．18．（9分）已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），求以线段AB为直径的圆的方程．19．（9分）求经过直线2x+3y+1=0与x﹣3y+4=0的交点，且与直线3x+4y﹣7=0垂直的直线的方程．20．（9分）对某种电子元件的使用寿命进行调查，抽样200个检验结果如表：寿命（h）200，300）400，500）点评：本题考查的是赋值语句，考查逻辑思维能力，属于基础题．4．（4分）下列给出的赋值语句中正确的是（）A．4=M B．M=﹣M C．B=A﹣3 D．x+y=0考点：赋值语句．专题：阅读型．分析：由赋值语句的功能，我们分析四个答案中的四个语句，然后分析赋值号左边是否是合法的变量名，右边是否是一个合法的表达式，即可得到答案．解答：解：A中，4=M，赋值符号左边不是变量，故不正确；B中，M=﹣M，赋值符号右边不是一个合法的表达式，故不正确；D中，x+y=0，赋值符号左边不是变量，故不正确；故选：C．点评：本题考查的知识点是赋值语句，熟练掌握赋值语句的格式是解答本题的关键．5．（4分）如图所示的程序框图中，输出S的值为（）A．10 B．12 C．15 D．8考点：循环结构．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算S=1+2+3+4+5的值，计算可得答案．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算S=1+2+3+4+5∵S=1+2+3+4+5=15故选C．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．6．（4分）如图给出了一个算法程序框图，该算法程序框图的功能是（）A．求a，b，c三数的最大数B．求a，b，c三数的最小数C．将a，b，c按从小到大排列D．将a，b，c按从大到小排列考点：设计程序框图解决实际问题．专题：操作型．分析：逐步分析框图中的各框语句的功能，第一个条件结构是比较a，b的大小，并将a，b中的较小值保存在变量a中，第二个条件结构是比较a，c的大小，并将a，c中的较小值保存在变量a 中，故变量a的值最终为a，b，c中的最小值．由此不难推断程序的功能．解答：解：逐步分析框图中的各框语句的功能，第一个条件结构是比较a，b的大小，并将a，b中的较小值保存在变量a中，第二个条件结构是比较a，c的大小，并将a，c中的较小值保存在变量a中，故变量a的值最终为a，b，c中的最小值．由此程序的功能为求a，b，c三个数的最小数．故答案选B点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．要判断程序的功能就要对程序的流程图（伪代码）逐步进行分析，分析出各变量值的变化情况，特别是输出变量值的变化情况，就不难得到正确的答案．7．（4分）如图的程序框图，能判断任意输入的整数x的奇偶性：其中判断框内的条件是（）A．m=0 B．x=0 C．x=1 D．m=1考点：设计程序框图解决实际问题；程序框图．专题：图表型．分析：本题考查了选择结构，由程序框图所体现的算法可知判断一个数是奇数还是偶数，看这个数除以2的余数是1还是0，从而得到判断框条件．解答：解：由程序框图所体现的算法可知判断一个数是奇数还是偶数，看这个数除以2的余数是1还是0．由图可知应该填m=0．故选A．点评：选择结构是考试中常考的知识点，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．8．（4分）下面一段程序执行后输出结果是（）A．2B．8C．10 D．18考点：伪代码．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用顺序结构计算变量A的值，并输出，逐行分析程序各语句的功能不难得到结果．解答：解：∵A=2，∴A=A×2=2×2=4，∴A=A+6=4+6=10．故输出的变量A的值是10．故选C．点评：本题给出伪代码，求输出的a、b之值，着重考查了赋值语句的理解、伪代码的含义等知识，属于基础题．9．（4分）以下给出的各数中不可能是八进制数的是（）A．231 B．10110 C．82 D．4757考点：进位制．专题：计算题．分析：八进制表示的数，每位只能使用0，1，2，3，4，5，6，7表示，显然的，选项C中出现了值为8的位，不是八进制数．解答：解：因为8进制不会出现比8大的数字（包括8），而C中出现了数字：“8”，它不可能是八进制数．故选：C．点评：本题考查的知识点是排序问题与算法的多样性，解答的关键是熟练掌握不同进制之间数的规则．10．（4分）某班一共有52名同学，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是（）A．13 B．19 C．20 D．51考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义，先求出对应样本的组距，再求对应的样本是什么．解答：解：52人中抽取样本容量为4的样本，则样本的组距为52÷4=13，则7+13=20，∴另外一个同学的学号为20．故选：C．点评：本题考查了系统抽样的应用问题，解题时应先求出组距，是基础题．11．（4分）下列程序执行后输出的结果是（）A．﹣1 B．0C．1D．2考点：伪代码．专题：计算题．分析：该程序是一个当型循环结构．第一步：s=0+5=5，n=5﹣1=4；第二步：s=5+4=9，n=4﹣1=3；第三步：s=9+3=12，n=3﹣1=2；第四步：s=12+2=14，n=2﹣1=1；第五步：s=14+1=15，n=1﹣1=0．解答：解：该程序是一个当型循环结构．第一步：s=0+5=5，n=5﹣1=4；第二步：s=5+4=9，n=4﹣1=3；第三步：s=9+3=12，n=3﹣1=2；第四步：s=12+2=14，n=2﹣1=1；第五步：s=14+1=15，n=1﹣1=0．∵s=15，∴结束循环．∴n=0．故选B；点评：本题考查当型循环结构，解题时要认真审题，仔细解答，熟练掌握当型循环结构的运算法则．12．（4分）如果右边程序运行后输出的结果是132，那么在程序中until后面的“条件”应为（）A．i＞11 B．i＞=11 C．i＜=11 D．i＜11考点：伪代码．专题：图表型．分析：先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s=1×12×11=132得到程序中UNTIL后面的“条件”．解答：解：因为输出的结果是132，即s=1×12×11，需执行2次，则程序中UNTIL后面的“条件”应为i＜11．故选D．点评：本题主要考查了直到型循环语句，语句的识别问题是一个逆向性思维，一般认为学习是从算法步骤（自然语言）至程序框图，再到算法语言（程序）．如果将程序摆在我们的面前时，从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能．二、填空题（每小题4分，共16分）13．（4分）840与1764的最大公约数是84．考点：最大公因数．专题：计算题．分析：利用辗转相除法即可得出．解答：解：∵1764=840×2+84，840=84×10，∴840与1764的最大公约数是84．故答案为84．点评：熟练掌握辗转相除法是解题的关键．14．（4分）如图所示程序，若输入8时，则下列程序执行后输出的结果是0.7．考点：选择结构．专题：图表型；算法和程序框图．分析：t=8，不满足条件t≤4，则执行Else后的循环体，从而求出最后的y值即可．解答：解：t=8，不满足条件t≤4执行Else后循环体，c=0.2+0.1（8﹣3）=0.7故输出0.7．故答案为：0.7点评：本题主要考查了选择结构，属于基础题．15．（4分）将二进制数101 1（2）化为十进制数，结果为11；将十进制数124转化为八进制数，结果为174．考点：进位制．专题：计算题．分析：根据二进制转化为十进制的方法，我们分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到结果；利用“除k取余法”是将十进制数除以8，然后将商继续除以8，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．解答：解：1011（2）=1×20+1×21+0×22+1×23=1+2+8=11．124÷8=15…4，15÷8=1…7，1÷8=0…1，∴1 011001（2）=174（8）故答案为：11，174（8）点评：本题考查的知识点是不同进制数之间的转换，解答的关键是熟练掌握不同进制之间数的转化规则．16．（4分）我校高中生共有2700人，其中2014-2015学年高一年级900人，2014-2015学年高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、高三各年级抽取的人数分别为45，60，30．考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数．解答：解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则在2014-2015学年高一年级抽取的人数是900×=45人，2014-2015学年高二年级抽取的人数是1200×=60人，高三年级抽取的人数是600×=30人，那么2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、高三各年级抽取的人数分别为45，60，30．故答案为：45，60，30．点评：本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目．三、解答题（共36分）17．（9分）用秦九韶算法求多项式f（x）=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值．考点：大数分解．专题：计算题．分析：把所给的函数式变化成都是一次式的形式，逐一求出从里到外的函数值的值，最后得到当xx=3时的函数值．解答：解：f（x）=（（7x+6）x+5）x+4）x+3）x+2）x+1）xV0=7，V1=7×3+6=27，V2=27×3+5=86，V3=86×3+4=262，V4=262×3+6=789，V5=789×3+2=2369，V6=2369×3+1=7108，V7=7108×3+0=21324，∴f（3）=21324即当x=3时，函数值是21324．点评：本题看出用秦九韶算法来解决当自变量取不同值时，对应的函数值，本题也可以用来求某一个一次式的值，本题是一个基础题．18．（9分）已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），求以线段AB为直径的圆的方程．考点：圆的标准方程．专题：计算题．分析：由点A和点B的坐标，利用中点坐标公式求出线段AB的中点C的坐标，因为线段AB为所求圆的直径，所以求出的中点C的坐标即为圆心坐标，然后由圆心C的坐标和点A的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC|的长即为圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．解答：解：由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，﹣3），即圆心的坐标；，故所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．点评：此题考查学生灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，会根据圆心和半径写出圆的标准方程，是一道基础题．19．（9分）求经过直线2x+3y+1=0与x﹣3y+4=0的交点，且与直线3x+4y﹣7=0垂直的直线的方程．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：联立，解得x=﹣，y=，设与直线3x+4y﹣7=0垂直的直线的方程4x﹣3y+c=0把（﹣，）代入，能求出结果．解答：解：联立，解得x=﹣，y=，设与直线3x+4y﹣7=0垂直的直线的方程4x﹣3y+c=0把（﹣，）代入，得c=9∴所求直线为4x﹣3y+9=0点评：本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线垂直的性质的合理运用．20．（9分）对某种电子元件的使用寿命进行调查，抽样200个检验结果如表：寿命（h）200，300）400，500）500，600）个数20 30 80 40 30（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在100h～400h以内的频率．考点：频率分布表；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）计算出各组的频率，列出分布表；（2）根据（1）中样本的频率分布表，画出频率分布直方图；（3）根据（2）中的频率分布直方图，算出估计寿命在100h～400h以内的频率．解答：解：（1）区间频数频率频率/组距100～200 20 0.10 0.0010200～300 30 0.15 0.0015300～400 80 0.40 0.0040400～500 40 0.20 0.0020500～600 30 0.15 0.0015（5分）（2）频率分布直方图如下：（10分）（3）P（100h，400h）=0.10+0.15+0.40=0.65（15分），∴估计电子元件寿命在100h～400h以内的频率为0.65．点评：本题主要考查了频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．。
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学及答案
哈三中2024—2025学年度上学期高二学年期中考试数学试卷考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟；（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题（共58分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．圆()()22342x y +++=的圆心和半径分别是（）A ．()3,4-，2B ．()3,4-，2C ．()3,4--D ．()3,4-2．下列命题是真命题的是（）A ．经验回归方程 y bxa =+ 至少经过其样本数据点()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y 中的一个B ．可以用相关系数r 来刻画两个变量x 和y 线性相关程度的强弱，r 的绝对值越小，说明两个变量线性相关程度越强C ．线性回归分析中决定系数用2R 来刻画回归的效果，若2R 值越小，则模型的拟合效果越好D ．残差点分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好3．某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布()11,N μσ，()22,N μσ，()33,N μσ，其正态分布的密度曲线如图所示，则（）A ．123μμμ=>B ．123μμμ=<C ．123μμμ>=D ．123μμμ<=4．将1，2，3，4，5，6这6个数填入如图所示的3行2列表格中，则表格内每一行数字之和均相等的概率为（）A ．16B ．112C ．115D ．1305．设a 为实数，已知直线1l ：310ax y a +++=，2l ：()6340x a y +-+=，若12l l ∥，则a =（）A ．6B ．3-C ．6或3-D ．6-或36．已知直线l ：410x ty +-=，其中t 为321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项，则点()2,1P 到直线l的距离为（）A ．1B ．2C ．5D ．107．某学校为了解校庆期间不同时段的校门人流量，从上午8点开始第一次反馈校门人流量，以后每过2小时反馈一次，共统计了前3次的数据(),i i y ，其中1i =，2，3，i y 为第i 次人流量数据（单位：千人），由此得到y 关于i 的回归方程 26log y i a=+.已知4y =，根据回归方程，可预测下午2点时校门人流量为（）千人.参考数据：2log 3 1.6≈A ．9.6B ．10.8C ．12D ．13.28．已知函数()11,0231,01x x f x x x x ⎧-+<≤⎪⎪=⎨+⎪≤⎪-+⎩，则()9723f x x --的取值范围为（）A ．404,,2121⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ B ．220,,33⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C ．[)40,0,21⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ D ．()20,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭（二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．关于函数()ππsin 2cos 266f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列命题中正确的是（）A ．()y f x =是以π为最小正周期的周期函数B ．()y f x =C ．将函数2y x =的图象向左平移7π24个单位后，与已知函数的图象重合D ．()y f x =的图象关于直线π24x =对称10．在平面直角坐标系中，定义(){}1212,max ,d A B x x y y =--为两点1,1，2,2的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任意一点Q ，称(),d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(),d P l ，则下列命题中正确的是（）A ．12,6M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，4,13N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则()7,6d M N =B ．O 为坐标原点，动点R 满足(),1d O R =，则R 的轨迹为圆C ．对任意三点A 、B 、C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥D ．已知点()1,3P 和直线l ：210x y -+=，则()4,3d P l =11．高考数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是23，记X 为小明随机选择1个选项的得分，记Y 为小明随机选择2个选项的得分，则（）A ．()()()346P X P Y P Y ===+=B ．()()E Y E X <C ．()74D X =D ．()()294E X D X -=第Ⅱ卷（非选择题，共92分）二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上）12．下列说法中正确的有（填正确说法的序号）10y ++=的倾斜角为2π3②直线1x +=③直线()23y a x a =-+（a ∈R ）过定点()3,6-④点()0,1到直线20y +=的距离为113．对于随机事件,M N ，若()12P M =，()34P M N =，()38P M N =，则()P N =.14．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 为空间内两点且12AE AD =，BF BA BC λμ=+，[],0,1λμ∈.当三棱锥11A FC E -的体积最大时，其外接球的表面积为.三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c )cos cos 2sin b C c B a A +=(1)求锐角A 的大小；(2)在（1）的条件下，若sin cos C C =，且ABC V 的周长为求ABC V 的面积.16．已知ABC V 的三个顶点分别是()2,1A ，()1,0B -，()3,3C (1)求边AC 的高BH 所在直线方程；(2)已知M 为AB 中点，试在直线CM 上求一点P ，在x 轴上求一点Q ，使APQ △的周长最小，并求最小值.17．随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城，将再次成为旅游的热门目的地.为更好地提升旅游品质，我市文旅局随机选择100名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，求x 的值并估计该评分的上四分位数；(2)若采用按比例分层抽样的方法从评分在[)70,80，[)80,90的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取4人进行单独交流，求选取的4人中评分等级为良好的人数X 的分布列和数学期望；(3)为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，我市文旅局再次随机选择100名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120名.请根据小概率值0.001α=的独立性检验，分析游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年）是否有关.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d=+++α0.050.010.001x α3.8416.63510.82818．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，M 为正方体中心，将四棱锥11M BCC B -绕1CC 逆时针旋转α（0πα<<）后得到四棱锥11M B CC B '''-，如图1.(1)求四棱锥11M BCC B -的表面积和体积；(2)若π2α=（如图2），求证：平面1MBB⊥平面1M B B'''；(3)求α为多少时，直线1M B''与直线DC所成角最小，并求出最小角的余弦值.19．某志愿者社团计划在周一和周二两天各举行一次活动，分别由甲、乙两人负责活动通知，已知该社团共有n位同学，每次活动均需k位同学参加.假设甲和乙分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该社团k位同学，且所发信息都能收到.(1)当8n=，3k=时，求该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息的概率；(2)记至少收到一个活动通知信息的同学人数为X①设5n=，2k=，求随机变量X的分布列和数学期望；②求使()P X m=取得最大值的整数m.1．C【分析】由圆的标准方程直接可得出圆的圆心和半径.【详解】圆()()22342x y +++=的圆心为()3,4--.故选：C.2．D【分析】根据经验回归方程、相关系数、决定系数、残差等知识确定正确答案.【详解】对于A ，经验回归方程ˆˆˆybx a =+是由最小二乘法计算出来的，它不一定经过其样本数据点，一定经过)(x y ，所以A 错误；对于B ，由相关系数的意义，当r 越接近1时，表示变量y 与x 之间的线性相关程度越强，所以B 错误；对于C ，用决定系数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好，所以C 是错误；对于D ，因为在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，表明数据越集中，模型的拟合效果越好，故D 正确.故选：D.3．D【分析】根据给定的曲线，利用正态分布的密度曲线的特征判断即得.【详解】观察曲线知，123μμμ<=.故选：D 4．C【分析】根据题意，先将6个数字分为3组，再将三组全排列，安排在表格的三行中，由分步计数原理计算计算个数，即可由古典概型概率公式求解.【详解】要使表格内每一行数字之和均相等，根据162534+=+=+，先将6个数字分为3组，分别为(1,6)，(2,5)，(3,4)；将三组全排列，安排在表格的三行中，每一行有22A 种顺序，则可组成不同表格的个数为22232223A A A A 48=；将1，2，3，4，5，6这6个数填入表格中的所有情况66A 720=,故概率为48172015=故选：C ．5．A【分析】由题可得()318a a -=，据此可得a 的可能值，验证后可得答案.【详解】因12l l ∥，则()()()23183180630a a a a a a -=⇒--=⇒-+=.则6a =或3a =-.当6a =，1l ：6370x y ++=，2l ：6340++=x y ，满足12l l ∥；当3a =-，1l ：3320x y -+-=，2l ：66403320x y x y -+=⇔-+-=，两直线重合，不合题意.则6a =.故选：A 6．B【分析】根据二项式展开式的通项特征可得3t =，即可根据点到直线的距离公式求解.【详解】321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项为12321C 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,故3t =，所以直线l ：4310x y +-=，故点()2,1P 到直线l 2=，故选：B 7．B【分析】令2log x i =，由 6y x a =+，求出 a ，得回归方程，可求预测值.【详解】令2log x i =，则6y x a =+ ，222log 1log 2log 3 2.633x ++==，又4y =，由 6y x a =+，得 2.6463a =⨯+，所以 1.2a =-，则 26log 1.2y i =-，下午2点时对应4i =，可得 26log 4 1.210.8y =-=.故选：B.8．B【分析】化简()f x ，()9723f x x --函数()f x 上一点()(),x f x 与39,27A ⎛⎫⎪⎝⎭连线斜率k 的72-倍，求出k 的范围，即可得出答案.【详解】因为()11,02321,01x x f x x x ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪-≤⎪-⎩，图象如下图，()12,,0,13B C ⎛⎫⎪⎝⎭，()()()9979777733232222f x f x f x x x x ⎡⎤---⎢⎥-⎣⎦==-⋅-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，表示函数()f x 上一点()(),x f x 与39,27A ⎛⎫⎪⎝⎭连线斜率k 的72-倍，()12,,0,13B C ⎛⎫⎪⎝⎭，91204073213121222AB k -===---，9214773321022AC k -===-，由图可知：421k ≥或4021k ≤-，所以7223k -≤-或72023k -≥，则()9723f x x --的取值范围为220,,33∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故选：B.9．ABD【分析】根据辅助角公式可得()5π212f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可根据周期以及最值求解AB ，根据平移的性质即可判断C ，代入验证即可求解D.【详解】()ππππ5πsin 2cos 222666412f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,对于A ，最小正周期为2ππ2=，A 正确，对于B ，由于5πsin 212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最大值为1，故()y f x =B 正确，对于C，2y x =的图象向左平移7π24个单位后，得到()7π7π224212x f x y x ⎛⎫⎛⎫=+≠ ⎪ ⎪⎝⎝⎭=+⎭，故C 错误，对于D ，5ππ22ππ214242f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()y f x =的图象关于直线π24x =对称，D 正确，故选：ABD 10．ACD【分析】对于A ：根据切比雪夫距离的定义直接运算即可；对于B ：设(),R x y ，分析可得11x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，且等号至少有一个成立，即可得结果；对于C ：根据题意结合绝对值不等式的分析判断；对于D ：设点(,21)Q x x -可得{}(,)max 3,22d P Q x x =--，讨论可得距离d ，再由函数的性质，求得最小值.【详解】对于选项A ：若12,6M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，4,13N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则()4217213366⎛⎫---=--= ⎪⎝⎭，因为2736<，所以()7,6d M N =，故A 正确；对于选项B ：设(),R x y ，若(),1d O R =，则11x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，且等号至少有一个成立，可得R 的轨迹如图所示，为正方形，故B 错误；对于选项C ：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则{}{}13133232(,)(,)max ,max ,d A C d C B x x y y x x y y +=--+--133212x x x x x x ≥-+-≥-，同理可得12(,)(,)d A C d C B y y +≥-，所以{}1212(,)(,)max ,(,)d A C d C B x x y y d A B +≥--=，故C 正确；对于选项D ：设(,21)Q x x -为直线:210l x y --=上一点，则{}(,)max 3,22d P Q x x =--，当322x x -≥-，即513x -≤≤时，则(,)3d P Q x =-，可知当53x =时，取得最小值43；当322x x -<-，即53x >或1x <-，则4(,)223d P Q x =->，无最小值；综上可得：4(,)3d P l =，故D 正确；故选：ACD.【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.11．BCD【分析】分别计算出X 和Y 的分布列，然后逐项进行计算即可求得.【详解】由题意，X 0=，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个；若该题有3个正确选项，则小明从1个错误选项中选择1个，概率为：()11211144C C 21503C 3C 12P X ==⨯+⨯=；2X =，该题有3个正确选项，则小明从3个正确选项中选择1个，概率为：()1314C 1123C 4P X ==⨯=；3X =，该题有2个正确选项，则小明从2个正确选项中选择1个，概率为：()1214C 2133C 3P X ==⨯=；Y 0=，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个或选择2个错误选项；若该题有3个正确选项，则小明从1个错误选项中选择1个，再从3个正确选项中选一个，概率为：()1111231222222444C C C C C 2211303C 3C 3C 18P Y ==⨯+⨯⨯=；4Y =，该题有3个正确选项，则小明从3个正确选项中选择2个，概率为：()2324C 1143C 6P Y ==⨯=；6Y =，该题有2个正确选项，则小明从2个正确选项中选择2个，概率为：()2224C 2163C 9P Y ==⨯=；对于A 选项，()()()15346318P X P Y P Y ==≠=+==，A 错误；对于B 选项，()511302312432E X =⨯+⨯+⨯=；()1311404618693E Y =⨯+⨯+⨯=；所以()()E Y E X <，B 正确；对于C 选项，()251104941243E X=⨯+⨯+⨯=，()()()()22237424D X E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，C 正确；对于D 选项，()()279444E XD X -=-=，D 正确.故选：BCD.12．①③【分析】对于①，根据斜率与倾斜角的关系可判断，对于②，将直线化为一般式，即可判断；对于③，将直线()23y a x a =-+化为()()236y a x =-++，故可判断；对于④，根据点到直线的距离公式即可判断.10y ++=的斜率为根据倾斜角θ满足tan πθθ=≤<，即2π3θ=，故①正确；对于②，将直线1x +=0y +=，所以斜率为对于③，将直线()23y a x a =-+化为()()236y a x =-++，所以3x =-时，6y =，不论a 取值，故直线过定点()3,6-，故③正确；3=，故④错误.故答案为：①③13．13【分析】根据条件概率公式及概率的性质计算即可.【详解】因为()()()34P MN P M N P N ==，所以()()34P MN P N =，则()()()()()34P N P MN P MN P MN P N =+=+，所以()()14P MN P N =，又()()()()()()()1318P MN P M P N P MN P M N P N P N --+===-，所以()()()11132418P N P N P N --+=-，解得()13P N =.故答案为：13.14．11π【分析】根据条件得到E 为AD 中点，F 在平面ABCD 内，其中11A C E S V 为定值，只需点F 到平面11A C E 的距离最大，建立空间直角坐标系，设(),,0F s t ，[],0,2s t ∈，得到平面11A C E 的法向量，利用点到平面距离的向量公式得到当2s t ==时，点F 到平面11A C E 的距离最大，此时F 与B 重合，求出1DB ⊥平面11A BC ，设球心(),,O a b c ，由11OE OB OA OC ===得到方程组，求出球心和半径，求出表面积.【详解】因为12AE AD = ，所以E 为AD 中点，又BF BA BC λμ=+ ，[],0,1λμ∈，故F 在平面ABCD 内，其中11A C E S V 为定值，只需点F 到平面11A C E 的距离最大，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，故()()()()112,0,2,1,0,0,0,2,2,2,2,0A E C B ，设(),,0F s t ，[],0,2s t ∈，设平面11A C E 的法向量为(),,m x y z = ，则()()()()111,,1,0,220,,2,2,0220m A E x y z x z m A C x y z x y ⎧⋅=⋅--=--=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩，令1z =得2,2x y =-=-，故()2,2,1m =-- ，则(),,0F s t 到平面11A C E 的距离12223EF m d s t m ⋅==-- ，故当2s t ==时，点F 到平面11A C E 的距离最大，此时()2,2,0F ，即F 与B 重合，设球心(),,O a b c ，由11OE OB OA OC ===得()()()()()()()()()222222222222222222122122122a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⎧-++=-+-+⎪⎪-++=-++-⎨⎪-++=+-+-⎪⎩，解得76a b c ===，故外接球球心为777,666O ⎛⎫⎪⎝⎭，，半径为r ==故外接球表面积为24π11πr =.故答案为：11π【点睛】方法点睛：几何体外接球问题，通常要找到几何体的一个特殊平面，利用正弦定理，几何性质找到其外心，求出外接圆的半径，进而找到球心的位置，进而求出半径，也可以利用空间向量的方放，设出球心坐标，待定系数法进行求解15．(1)π3A =(2)3【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合两角和的正弦公式即可得解；（2）先求出C ，再根据正弦定理，令sin sin sin a b c k A B C===，求出,,a b c ，再根据三角形的周长求出k ，再根据三角形的面积公式即可得解.【详解】（1)cos cos 2sin b C c B a A +=，)sin cos sin cos 2sin sin B C C B A A +=，()2sin sin B C A A A +==，又sin 0A >，所以sin 2A =，又π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3A =；（2）因为sin cos C C =，所以tan 1C =，又()0,πC ∈，所以π4C =，则()1sin sin 2B A C =+==，由正弦定理，令sin sin sin a b c k A B C===，则sin ,sin ,sin 242a k A kb k B kc k C k ======，所以ABC V 的周长为242a b c k ⎫++=++=+⎪⎪⎝⎭，解得4k =，所以a b ==所以1sin 32ABC S ab C ==V 16．(1)210x y ++=(2)当5,03Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，APQ △.【分析】（1）求出边AC 的高BH 的斜率，再由点斜式方程即可得出答案.（2）先求出直线CM 的方程，如图，作出()2,1A 关于直线CM 的对称点(1,2)N ，作出()2,1A 关于x 轴的对称点(2,1)E -，则连结EN ，交直线CM 于P ，交x 轴于Q ，则MPQ V 的周长的最小值等于NE ，最后求出直线NE 的方程，即可求出点Q .【详解】（1）因为()2,1A ，()3,3C ，所以31232AC k -==-，所以边AC 的高BH 的斜率为12k =-，又因为直线BH 过点()1,0B -，所以BH 所在直线方程为：()112y x =-+，化简可得：210x y ++=.所以BH 所在直线方程为210x y ++=.（2）因为M 为AB 中点，所以11,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3,3C ，直线CM 的方程为：33113322y x --=--，化简可得：y x =，如图，作出()2,1A 关于直线:0CM l x y -=的对称点(),N a b ，则1122122b a a b -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=⎪⎩，解得：1,2a b ==，所以()1,2N ，作出()2,1A 关于x 轴的对称点(2,1)E -，连结EN ，交直线CM 于P ，交x 轴于Q ，AP PN = ，AQ QE =，三角形APQ △的周长为线段NE 的长，由两点间线段最短得此时APQ △的周长最小，APQ △的周长最小时，最小值为：||NE =此时直线NE 的斜率为()21312--=--，直线NE 的方程为：()231y x -=--，化简可得：350x y +-=，令0y =，所以53x =，所以5,03Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以当5,03Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，APQ △.17．(1)0.03x =，93.75(2)分布列见解析，()83E X =(3)无法认为游客的评分等级是否良好与年龄段有关.【分析】（1）根据频率和为1计算出x 的值；先判断出上四分位数所在区间，然后结合区间端点值以及该组的频率完成计算；（2）先根据分层抽样计算出每组抽取的人数，然后确定出X 的可取值并计算对应概率，由此可求分布列和数学期望；（3）根据已知条件得到对应22⨯列联表，然后计算出2χ的值并与对应x α比较大小，由此得到结论.【详解】（1）由频率分布直方图可知，0.005100.010100.01510100.040101x ⨯+⨯+⨯++⨯=，解得0.03x =；因为[]90,100的频率为100.0400.40.25⨯=>，且[]90,100为最后一组，所以评分的上四分位数位于区间[]90,100中，所以上四分位数为：0.40.25901093.750.4-+⨯=；（2）评分在[)70,80与[)80,90两组的频率分别为0.15,0.3，所以[)70,80内抽取人数为0.15620.150.3⨯=+，[)80,90内抽取人数为0.3640.150.3⨯=+，故6人中评分等级为良好的有4人，由题意可知，X 的可取值为2,3,4，()222446C C 22C 5P X ===，()132446C C 83C 15P X ===，()4446C 14C 15P X ===，所以X 的分布列为：X234P 25815115数学期望()2818234515153E X =⨯+⨯+⨯=；（3）青年游客评分等级良好的有()0.30.410070+⨯=人，所以老年游客评分等级良好的有1207050-=人，由上可得如下22⨯列联表，青年游客老年游客总计评分等级良好7050120评分等级非良好305080总计100100200零假设0H ：游客的评分等级是否良好与年龄段无关，由表中数据可得()220.001200350015008.33310.82810010080120x χ-=≈<=⨯⨯⨯，根据小概率值0.001α=的独立性检验，可知零假设0H 成立，即无法认为游客的评分等级是否良好与年龄段有关.18．(1)表面积为4，体积为43(2)证明见解析(3)π4α=时，直线1M B ''与直线DC 所成角最小，最小角的余弦值为3【分析】（1）根据棱锥的表面积公式和体积公式计算即可；（2）易得平面11DCC D ､平面11CB B C ''为同一个平面，补全正方体111BNB C B PB C ''-，证明111D B B ∠'为二面角111D BB B '--的平面角，再证明111π2D B B '∠=即可；（3）以C 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）由题意，MB =则1122MBB S =⨯=V所以四棱锥11M BCC B -的表面积为224⨯=，四棱锥11M BCC B -的高为1，则111422133M BCC B V -=⨯⨯⨯=；（2）若π2α=，则平面11DCC D ､平面11CB B C ''为同一个平面，如图，补全正方体111BNB C B PB C ''-，连接BD 、1BB '，则M 是BD 中点，M '是1BB '中点，所以平面1MBB 与平面11BDD B 重合，平面1M B B '''与平面11BB B B ''重合，由正方体性质可知1BB ⊥平面1111A B B D '，因为1111,B D B B '⊂平面1111A B B D '，所以111BB B D ⊥，111BB B B '⊥，111D B B ∠'为二面角111D BB B '--的平面角，因为1111111,2πD C B C D C B =∠=，则111π4D B C ∠=，同理可得111π4B B C '∠=，所以111π2D B B '∠=，所以平面1MBB ⊥平面1M B B '''；（3）如图，以C为原点，建立空间直角坐标系，则()()()10,0,0,0,2,0,2cos ,2sin ,2C D B αα'-，ππ,144M αα⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭'，即()cos sin ,sin cos ,1M αααα+-'，故()()10,2,0,cos sin ,sin cos ,1DC M B αααα''==-+ ，则111cos ,DC M B DC M B DC M B '''⋅=='='' ，因为0πα<<，所以ππ5π444α<+<，所以πsin 4α⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以1cos ,DC M B '=⎝⎦' ，所以1max cos ,DC M B ''= ，此时ππ42α+=，即π4α=，所以π4α=时，直线1M B ''与直线DC【点睛】方法点睛：证明面面垂直常用的方法：（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可.19．(1)15224；(2)①分布列见解析，数学期望为165；②答案见解析.【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率，结合事件的独立性及组合计数问题列式求解.（2）①求出X 的可能取值及对应的概率，列出分布列并求出期望；②按k n =和k n <分类求出()P X m =的表达式，再建立不等式求出对应的整数m .【详解】（1）设事件A =“该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息”，所以22753388C C 15()C C 224P A ==.（2）①X 的可能取值为2，3，4，211122554353222222555555C C C C C C 133(2),(3),(4)C C 10C C 5C C 10P X P X P X =========，所以X 的分布列为：X234P 11035310答案第15页，共15页数学期望13316()234105105E X =⨯+⨯+⨯=.②当k n =时，m 只能取n ，此时有()()1P X m P X n ====；当k n <时，整数m 满足k m t ≤≤，其中t 是2k 和n 中的较小者，由甲和乙各自独立、随机地发送活动信息给k 位同学，得所包含的基本事件总数为2(C )k n ，当X m =时，同时收到甲乙两人所发信息的学生人数为2k m -，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m k -，由分步乘法原理知，事件{}X m =所包含的基本事件数为2C C C C C C k k m m k k m k m k n k n k n k n k ------=，22C C C C C ()(C )C k k m m k m k m k n k n k k n k k k n nP X m ------===，当k m t ≤<时，22(1)()(1)(1)()(2)22k P X m P X m m k n m k m m k n +=≥=+⇔-+≤--⇔≥-+，22(1)()(1)(1)(1)(21)212k P X m P X m m k n m k m m k n +=≥=-⇔-+≤-+-+⇔≤+-+，因此()P X m =取得最大值时，m 满足22(1)(1)22122k k k m k n n ++-≤≤+-++，假如2(1)22k k k t n +≤-≤+成立，则当2(1)k +能被2n +整除时，()P X m =在2(1)22k m k n +=-+和2(1)212k m k n +=+-+处达到最大；当2(1)k +不能被2n +整除时，()P X m =在2(1)2[]2k m k n +=-+处达到最大值（[]x 表示不超过x 的最大整数），下面证明2(1)22k k k t n +≤-≤+：由1k n ≤<，得222(1)1(1)11202222k kn k k k k k k k n n n n +--+-----=≥=≥++++，22(1)(1)2022k n k k n n n +-+--=-<++，则2(1)22k k n n +-<+，显然2(1)222k k k n +-<+，因此2(1)22k k k t n +≤-≤+.【点睛】关键点点睛：求使()P X m =取得最大值的m 值，关键是求出()P X m =的表达式，再利用最大概率问题求解.。
黑龙江省哈三中高三上学期第二次测试数学文试题
哈三中2014---2015学年度上学期高三学年第二次验收考试文科数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分）1．A ．B ．C ．D ． 2．在中，，，，则的值是A ．B ．C ．D ．3．下列函数中，周期为且为奇函数的是A. B.C. D.4．等比数列的前项和为，且成等差数列，若，则A ．B ．C ．D ．5．边长为、、的三角形的最大角与最小角之和为A. B. C. D.6．函数在区间恰有个零点，则的取值范围为A ．B ．C ．D ．7．已知，，，则A ．B ．C ．D ． 8．在所在的平面内有一点，如果PB AB PC PA -=+2,那么的面积 与的面积之比是A ．B ．C ．D ．9．设向量满足，与的夹角为，则的最大值等于A ．1B ．C ．D ．210．函数()821))(()(S x S x S x x x f ---= ，其中为数列的前项和， 若，则A ．B ．C ．D ．11．如图所示，为函数()()2sin f x x ωϕ=+()的部分图象，其中两点之间的距离为，则A ．B ．C ．D ．12．已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=)0(1)1()0(12)(x x f x x x f ，把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前项的和,则A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分）13．已知向量，，若，则___________.14．如果，且，那么= .15．已知数列满足，则的最小值为__________.16．已知函数，对于曲线上横坐标成公差为1的等差数列的三个点,给出以下判断：①一定是钝角三角形②可能是直角三角形③可能是等腰三角形④不可能是等腰三角形其中所有正确的序号是_________. 三、解答题（本题共6大题，共70分）17．(本小题满分10分） 已知)cos 2,cos 2(),sin 3,(cos x x x x ==，（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若在区间上的最小值为2，求在区间上的最大值．18．(本小题满分12分）已知数列的前项和为，若．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足且数列为递增数列，求的取值范围．19．(本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，，是边长为的正三角形，是的中点，是上的点，． （Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若，求点到平面的距离．20．(本小题满分12分） 在中，角所对的边分别为，()02cos 222cos =++-B A C .（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，的面积为，求及的值．21．(本小题满分12分）已知等差数列公差不为零，前项和为，且、、成等比数列，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，求数列前项和为．22．(本小题满分12分）已知函数（为实数）(Ⅰ) 当时，求函数的单调递增区间；(Ⅱ) 若当时，求函数的极值．哈三中2014---2015学年度上学期高三学年第二次验收考试文科数学答案一、选择题ADBCB BAADB DC二、填空题4 9 ①④17.（1）），（6,3πππππ+-=k k T （2）5 18.（1） （2）19.20.（1） （2）21.（1） （2）22.（Ⅰ）当时，令()0sin 2sin 21)(2>+--='x xx f 得 的增区间为()Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-ππππ26,265 ………………4分 （Ⅱ）若使有意义，则或 ……………… 6分① 当时，，若，则恒成立，故无极值若，令()ax x f 1sin 0-=⇒='， ，，递减；，，递增，，此时，()112--=a x f 极小值……………………… 9分 ② 当时，，若，则恒成立，故无极值若，令()ax x f 1sin 0-=⇒='， ，，递增；，，递减，，此时，()112-=a x f 极大值.……………………… 12分。
黑龙江省哈师大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)
黑龙江省哈师大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点（4，0），（0，2）的椭圆的标准方程是（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=12．（5分）椭圆5x2+ky2=5的一个焦点为（0，2），那么k的值为（）A．B．2C．D．13．（5分）在空间中下列结论中正确的个数是（）①平行于同一直线的两直线平行；②垂直于同一直线的两直线平行；③平行于同一平面的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行．A．1B．2C．3D．44．（5分）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）A．B．C．D．5．（5分）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（）A．B．C．D．6．（5分）设抛物线y2=8x上一点P到y轴距离是6，则点p到该抛物线焦点的距离是（）A．12 B．8C．6D．47．（5分）若点A的坐标为（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为（）A．（0，0）B．C．D．（2，2）8．（5分）过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率e等于（）A．B．C．D．9．（5分）p为椭圆+=1上的一点，F1，F2分别为左、右焦点，且∠F1PF2=60°则|PF1|•|PF2|=（）A．B．C．D．10．（5分）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．B．C．D．11．（5分）已知（2，1）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则直线l的方程是（）A．x+2y﹣4=0 B．x﹣2y=0 C．x+8y﹣10=0 D．x﹣8y+6=012．（5分）从双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|与b﹣a的关系为（）A．|MO|﹣|MT|＞b﹣a B．|MO|﹣|MT|＜b﹣aC．|MO|﹣|MT|=b﹣a D．|MO|﹣|MT|与b﹣a无关二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是．14．（5分）已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是．15．（5分）已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是．16．（5分）若抛物线y2=4x的焦点是F，准线是l，则经过点F、M（4，4）且与l相切的圆共有个．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知抛物线x2=4y，直线y=x+2与抛物线交于A，B两点，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求△ABO的面积．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，∠ABC=，D是棱AC的中点，且AB=BC=BB1=2．（Ⅰ）求证：AB1∥平面BC1D；（Ⅱ）求异面直线AB1与BC1所成的角．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2，CD=2，PA⊥平面ABCD，PA=4．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）点Q为线段PB的中点，求直线QC与平面PAC所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F（，0），且椭圆C经过点P（，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，交直线x=m（m＞a）于M点，若k PA，k PM，k PB 成等差数列，求实数m的值．21．（12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADMN是矩形，平面ADMN⊥平面ABCD，∠DAB=，AD=2，AM=1，E是AB的中点．（Ⅰ）求证：DE⊥NC；（Ⅱ）求三棱锥E﹣MDC的体积．22．（12分）已知m＞1，直线l：x﹣my﹣m2=0，椭圆C：+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，（Ⅰ）当直线l过F2时，求m的值；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2、△BF1F2的重心分别为G、H，若原点在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．黑龙江省哈师大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点（4，0），（0，2）的椭圆的标准方程是（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=1考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆方程为Ax2+By2=1，（4，0），（0，2）代入可得16A=1，4B=1，即可求出椭圆的方程．解答：解：设椭圆方程为Ax2+By2=1，（4，0），（0，2）代入可得16A=1，4B=1，∴A=，B=，∴椭圆的标准方程是+=1．故选：D．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查学生的计算能力，比较基础．2．（5分）椭圆5x2+ky2=5的一个焦点为（0，2），那么k的值为（）A．B．2C．D．1考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把椭圆化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2=b2+c2，表示出c，并根据焦点坐标求出c的值，两者相等即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．解答：解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，因为焦点坐标为（0，2），所以长半轴在y轴上，则c==2，解得k=1．故选D．点评：此题考查学生掌握椭圆的简单性质化简求值，是基础题．3．（5分）在空间中下列结论中正确的个数是（）①平行于同一直线的两直线平行；②垂直于同一直线的两直线平行；③平行于同一平面的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行．A．1B．2C．3D．4考点：空间中直线与直线之间的位置关系．分析：结合公理及正方体模型可以判断：①④正确，②③错误，可以利用反证法证明结论，也可以从具体的实物模型中去寻找反例证明．解答：解：①④正确，②③错误①：根据公理4可知：平行具有传递性，即如果a∥b，a∥c，那么b∥c，所以①正确；②：如图1所示：在正方体AC1中，D1A1⊥A1A，B1A1⊥A1A，但是D1A1∩B1A1=A1，所以②错误；③：如图1所示：A1C1∥平面ABCD，B1D1∥平面ABCD，但是A1C1与B1D1相交，所以③错误；④：如图2所示：假设a⊥α，b⊥α，且a∩b=A，则过一点有两条直线均垂直于平面α，故假设错误，所以④正确．故选B．点评：本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力．4．（5分）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：作图题．分析：由三视图的作法规则，长对正，宽相等，对四个选项进行比对，找出错误选项．解答：解：本题中给出了正视图与左视图，故可以根据正视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等来找出正确选项A中的视图满足三视图的作法规则；B中的视图满足三视图的作法规则；C中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等，故其为错误选项；D中的视图满足三视图的作法规则；故选C点评：本题考查三视图的作法，解题的关键是掌握住三视图的作法规则即长对正，宽相等，高平齐，利用这些规则即可选出正确选项．5．（5分）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质；点到直线的距离公式．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离．解答：解：由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，则顶点到渐近线的距离d=．故选C．点评：熟练掌握双曲线的顶点、渐近线方程及得到直线的距离公式是解题的关键．6．（5分）设抛物线y2=8x上一点P到y轴距离是6，则点p到该抛物线焦点的距离是（）A．12 B．8C．6D．4考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的定义将P到该抛物线焦点转化为它到准线的距离即可求得答案．解答：解：∵抛物线的方程为y2=8x，设其焦点为F，∴其准线l的方程为：x=﹣2，设点P（x0，y0）到其准线的距离为d，则d=|PF|，即|PF|=d=x0﹣（﹣2）=x0+2∵点P到y轴的距离是6，∴x0=6∴|PF|=6+2=8．故选：B．点评：本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，属于中档题．7．（5分）若点A的坐标为（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为（）A．（0，0）B．C．D．（2，2）考点：抛物线的定义．专题：计算题．分析：求出焦点坐标和准线方程，把|MF|+|MA|转化为|MA|+|PM|，利用当P、A、M三点共线时，|MA|+|PM|取得最小值，把y=2代入抛物线y2=2x 解得x值，即得M的坐标．解答：解：由题意得F（，0），准线方程为x=﹣，设点M到准线的距离为d=|PM|，则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=3﹣（﹣）=．把y=2代入抛物线y2=2x 得x=2，故点M的坐标是（2，2），故选D．点评：本题考查抛物线的定义和性质得应用，解答的关键利用是抛物线定义，体现了转化的数学思想．8．（5分）过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率e等于（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质；双曲线的应用．专题：计算题．分析：根据由题设条件可知，|F1F2|=2c，由此可以求出双曲线的离心率e．解答：解：由题意可知，|F1F2|=2c，∵∠，∴，∴4a2c2=b4=（c2﹣a2）2=c4﹣2a2c2+a4，整理得e4﹣6e2+1=0，解得或（舍去）故选C．点评：本题考查双曲线的离心率，解题要注意时双曲线的离心率大于1．9．（5分）p为椭圆+=1上的一点，F1，F2分别为左、右焦点，且∠F1PF2=60°则|PF1|•|PF2|=（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先设出|PF1|=m，|PF2|=n，利用椭圆的定义求得n+m的值，平方后求得mn和m2+n2的关系，利用余弦定理中求得mn的值．解答：解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可知m+n=2a=6，∴m2+n2+2nm=36，∴m2+n2=36﹣2nm由余弦定理可知cos60°==求得mn=故选B．点评：本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义．考查了考生对所学知识的综合运用．10．（5分）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．解答：解：由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），则，得．∵=，=，∴==，∵，∴，解得．故选B．点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键．11．（5分）已知（2，1）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则直线l的方程是（）A．x+2y﹣4=0 B．x﹣2y=0 C．x+8y﹣10=0 D．x﹣8y+6=0考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设直线l与椭圆+=1交于A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法能求出直线l的方程．解答：解：设直线l与椭圆+=1交于A（x1，y1），B（x2，y2），∵（2，1）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入椭圆+=1，得：，两式相减，得：（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴4（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，∴k==﹣，∴直线l的方程为y﹣1=﹣（x﹣2），整理，得x+2y﹣4=0．故选：A．点评：本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．12．（5分）从双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|与b﹣a的关系为（）A．|MO|﹣|MT|＞b﹣a B．|MO|﹣|MT|＜b﹣aC．|MO|﹣|MT|=b﹣a D．|MO|﹣|MT|与b﹣a无关考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．利用三角形的中位线定理和双曲线的定义可得：|OM|=|PF′|=（|PF|﹣2a）==|MF|﹣a，于是|OM|﹣|MT|=|MF|﹣|MT|﹣a=|FT|﹣a，连接OT，则OT⊥FT，在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a，可得|FT|==b．即可得出关系式．解答：解：如图所示，设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．∵点M，O分别为线段PF，FF′的中点．由三角形的中位线定理可得：|OM|=|PF′|=（|PF|﹣2a）==|MF|﹣a，∴|OM|﹣|MT|=|MF|﹣|MT|﹣a=|FT|﹣a，连接OT，则OT⊥FT，在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a，∴|FT|===b．∴|OM|﹣|MT|=b﹣a．故选：C．点评：本题综合考查了双曲线的定义及其性质、三角形的中位线定理、直线与圆相切的性质、勾股定理等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是4．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a，已知|PF1|=6，进而可求|PF2|解答：解：由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=10，|PF1|=6，故|PF2|=4．故答案为4点评：本题主要考查了椭圆的性质．属基础题．14．（5分）已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是或．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先根据抛物线方程，求得焦点坐标为F（，0），从而设所求直线方程为y=k（x﹣）．再将所得方程与抛物线y2=6x消去y，得k2x2﹣（3k2+6）x+k2=0，利用一元二次根与系数的关系，得x1+x2=，最后结合直线过抛物线y2=6x焦点截得弦长为12，得到x1+x2+3=12，所以=9，解之得k2=1，得到直线的倾斜角．解答：解：∵抛物线方程是y2=6x，∴2p=6，可得=，焦点坐标为F（，0）设所求直线方程为y=k（x﹣），与抛物线y2=6x消去y，得k2x2﹣（3k2+6）x+k2=0设直线交抛物线与A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系，得x1+x2=，∵直线过抛物线y2=6x焦点，交抛物线得弦长为12，∴x1+x2+3=12，可得x1+x2=9，因此，=9，解之得k2=1，∴k=tanα=±1，结合α∈k﹣k﹣=2k﹣=2k﹣=2k﹣．又M（m，y m）在直线l上，∴，则=k﹣．∵k PA，k PM，k PB成等差数列，∴2k PM=k PA+k PB，则2k﹣=2k﹣，解得m=．点评：本题考查椭圆的方程性质、直线与椭圆的位置关系、等差中项及斜率公式，考查学生的运算求解能力．21．（12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADMN是矩形，平面ADMN⊥平面ABCD，∠DAB=，AD=2，AM=1，E是AB的中点．（Ⅰ）求证：DE⊥NC；（Ⅱ）求三棱锥E﹣MDC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明DE⊥DC，ND⊥DE，可得DE⊥平面NDC，即可证明DE⊥NC；（Ⅱ）由（Ⅰ）及ND∥MA知，MA⊥平面ABCD，利用V E﹣MDC=V M﹣EDC，可得结论．解答：（Ⅰ）证明：菱形ABCD中，AD=2，AE=1，∠DAB=60o，∴DE=．∴AD2=AE2+DE2，即∠AED=90°，∵AB∥DC，∴DE⊥DC …①…（2分）∵平面ADNM⊥平面ABCD，交线AD，ND⊥AD，ND⊂平面ADNM，∴ND⊥平面ABCD，∵DE⊂平面ABCD，∴ND⊥DE …②…（4分）由①②及ND∩DC=D，∴DE⊥平面NDC，…（6分）∴DE⊥NC．…（8分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及ND∥MA知，MA⊥平面ABCD．∴V E﹣MDC=V M﹣EDC===．…（12分）点评：本题考查线面垂直，考查三棱锥E﹣MDC的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（12分）已知m＞1，直线l：x﹣my﹣m2=0，椭圆C：+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，（Ⅰ）当直线l过F2时，求m的值；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2、△BF1F2的重心分别为G、H，若原点在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）把F2代入直线方程求得m，则直线的方程可得．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线与椭圆方程联立消去x，根据判别式大于0求得m的范围，且根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，根据△AF1F2、△BF1F2的重心分别为G、H，可知G，H的坐标，进而根据原点在以线段GH为直径的圆内，所以＜0，即x1x2+y1y2＜0求得m的范围．解答：解：（Ⅰ）由已知c=，l交x轴于（，0）为F2（c，0），=，得m=…（3分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F1（﹣c，0），F2（c，0），因为△AF1F2、△BF1F2的重心分别为G、H，所以G（，），H（，）因为原点在以线段GH为直径的圆内，所以＜0，即x1x2+y1y2＜0 …（5分）直线l：x﹣my﹣m2=0，椭圆C：+y2=1联立可得2y2+my+﹣1=0则由△=m2﹣8（﹣1）=﹣m2+8＞0，知m2＜8，①…（6分）且有y1+y2=﹣，y1y2=．…（7分）∴而x1x2+y1y2=（my1+）（my2+）+y1y2=（m2+1）（）所以＜0，即m2＜4又因为m＞1且△＞0所以1＜m＜2．所以m的取值范围是（1，2）．…（12分）点评：本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．。
黑龙江省哈六中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)
黑龙江省哈六中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知p：|x+1|≤4，q：x2＜5x﹣6，则p是q成立的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．（5分）已知下列命题：①命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”②命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0．③若p∨q为真命题，则p，q均为真命题④“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件其中，真命题的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个3．（5分）已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③B．①④C．②③D．②④4．（5分）已知三棱锥的正视图与俯视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为（）A．B．C． D．5．（5分）已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（）（单位cm）A．6+2πB．4+2πC．6+3πD．4+3π6．（5分）若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点是（0，﹣4），则k的值为（）A．B．8C．D．327．（5分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A．B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y8．（5分）双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，OF1为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则当△PF1F2的面积等于a2时，双曲线的离心率为（）A．B．C．D．210．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=011．（5分）双曲线=1与抛物线x2=8y有一个公共焦点F，双曲线上过点F且垂直实轴的弦长为，则双曲线的离心率等于（）A．2B．C．D．12．（5分）已知F1，F2分别是双曲线C：的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P，若双曲线的离心率为5，则cos∠PF2F1等于（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．（5分）命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为．14．（5分）已知三棱锥的三视图如图所示，则它的体积为．15．（5分）方程所表示的曲线为C，有下列命题：①若曲线C为椭圆，则2＜t＜4；②若曲线C为双曲线，则t＞4或t＜2；③曲线C不可能为圆；④若曲线C表示焦点在y上的双曲线，则t＞4；以上命题正确的是（填上所有正确命题的序号）．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：x2=﹣2py（p＞0）的焦点F，点M（p，y M）∈C，若M为圆心的圆与曲线C的准线相切，圆面积为36π，则p=．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若非p是非q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数）．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求的最小值．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A，B两点；（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为（﹣2，2），求点P到线段AB中点M的距离．20．（12分）已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．曲线C的方程是ρ=2sin（θ﹣），直线l的参数方程为（t为参数，0≤a ＜π），设P（1，2），直线l与曲线C交于A，B两点．（1）当a=0时，求|AB|的长度；（2）求|PA|2+|PB|2的取值范围．21．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点M（﹣1，0）．（Ⅰ）求抛物线的方程，并写出焦点坐标；（Ⅱ）是否存在过焦点的直线AB（直线与抛物线交于点A，B），使得三角形MAB的面积S△MAB=4？若存在，请求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．黑龙江省哈六中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知p：|x+1|≤4，q：x2＜5x﹣6，则p是q成立的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：充要条件；一元二次不等式的解法．分析：通过解绝对值不等式化简命题p；通过解二次不等式化简命题q；由于p，q对应的是数集，故先判断出p对应的区间是q对应的区间的真子集，判断出p是q成立的必要不充分条件．解答：解：∵|x+1|≤4，∴﹣5≤x≤3即p：，∵x2＜5x﹣6∴2＜x＜3，即q：（2，3）．∵（2，3）⊊，∴p是q的必要不充分条件．故选A．点评：判断一个命题是另一个命题的条件问题，应先化简各个命题、当两个命题都是数集时，可将问题转化为集合的包含关系问题．2．（5分）已知下列命题：①命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”②命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0．③若p∨q为真命题，则p，q均为真命题④“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件其中，真命题的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：命题的真假判断与应用；四种命题间的逆否关系；复合命题的真假；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：①根据逆否命题的意义即可得出；②利用非命题的意义即可得出；③若p∨q为真命题，则p与q至少有一个为真命题；④由于x＞2⇒（x﹣1）（x﹣2）＞0，而反之不成立，再利用充分必要条件即可判断出．解答：解：①根据逆否命题的意义可得：命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”，正确．②命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，利用非命题的意义可得：¬p：∃x∈R，x2+x+1=0，正确．③若p∨q为真命题，则p与q至少有一个为真命题，因此③是假命题；④∵x＞2⇒（x﹣1）（x﹣2）＞0，而反之不成立，∴“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件．综上可知：只有①②④正确．故选：B．点评：本题考查了简易逻辑的有关知识，属于基础题．3．（5分）已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③B．①④C．②③D．②④考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．解答：解：根据不等式的性质可知，若若x＞y，则﹣x＜﹣y成立，即p为真命题，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即命题q为假命题，则①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（￢q）为真命题；④（￢p）∨q为假命题，故选：C．点评：本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）已知三棱锥的正视图与俯视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为（）A．B．C． D．考点：空间几何体的直观图．分析：利用俯视图与正视图，由三视图的画法可判断三棱锥的侧视图．解答：解：由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2的正三角形，由正视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，且其长度为2故其侧视图为直角边长为2和的直角三角形，故选B．点评：本题主要考查空间几何体的直观图，以及学生的空间想象能力，是个基础题．5．（5分）已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（）（单位cm）A．6+2πB．4+2πC．6+3πD．4+3π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图知几何体为半个圆柱，根据三视图的数据求出各个面的面积，再相加．解答：解：由三视图知几何体为半个圆柱，圆柱的底面圆直径为2，圆柱的高为2，∴几何体的表面积=S侧+S底=2×π×1+2×2+2××π×12=4+3π．故选D．点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量．6．（5分）若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点是（0，﹣4），则k的值为（）A．B．8C．D．32考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先椭圆方程化为标准方程，易知，从而，可求K．解答：解：由题意得，，从而，解得，故选A．点评：本题解题的关键是将方程化为标准方程，搞清几何量，从而求出参数的值．7．（5分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A．B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y考点：抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的离心率推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程．解答：解：双曲线C1：的离心率为2．所以，即：=4，所以；双曲线的渐近线方程为：抛物线的焦点（0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2，所以2=，因为，所以p=8．抛物线C2的方程为x2=16y．故选D．点评：本题考查抛物线的简单性质，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质，考查计算能力．8．（5分）双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：先在Rt△MF1F2中，利用∠MF1F2和F1F2求得MF1和MF2，进而根据双曲线的定义求得a，最后根据a和c求得离心率．解答：解：如图在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30°，F1F2=2c∴，∴∴，故选B．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，属基础题．9．（5分）已知F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，OF1为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则当△PF1F2的面积等于a2时，双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先设F1F2=2c，由题意知△F1F2P是直角三角形，进而在RT△PF1F2中结合双曲线的定义和△PF1F2的面积，进而根据双曲线的简单性质求得a，c之间的关系，则双曲线的离心率可得．解答：解：设F1F2=2c，由题意知△F1F2P是直角三角形，∴F1P2+F2P2=F1F22，又根据曲线的定义得：F1P﹣F2P=2a，平方得：F1P2+F2P2﹣2F1P×F2P=4a2从而得出F1F22﹣2F1P×F2P=4a2∴F1P×F2P=2（c2﹣a2）又当△PF1F2的面积等于a2即F1P×F2P=a22（c2﹣a2）=a2∴c=a，∴双曲线的离心率e==．故选A．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和数形结合的思想的运用．属基础题．10．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程．解答：解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为﹣=1，C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴，∴=，，C2的渐近线方程为：y=，即x±y=0．故选：A．点评：本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查．11．（5分）双曲线=1与抛物线x2=8y有一个公共焦点F，双曲线上过点F且垂直实轴的弦长为，则双曲线的离心率等于（）A．2B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出抛物线的焦点，可得双曲线的一个焦点坐标，再利用过点F且垂直于实轴的弦长为，求出a，即可求得双曲线的离心率．解答：解：抛物线x2=8y的焦点坐标为（0，2），∴双曲线的一个焦点为（0，2）．令y=2，代入双曲线，可得，∴x=±．∵过点F且垂直于实轴的弦长为，∴=，∴=，∵a＞0，∴a=，∴e===．故选：B．点评：本题考查抛物线的几何性质，考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，正确求弦长是关键．12．（5分）已知F1，F2分别是双曲线C：的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P，若双曲线的离心率为5，则cos∠PF2F1等于（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|PF1|=n，|PF2|=m，则由双曲线的定义可得m﹣n=2a ①，再由m2+n2=4c2②，以及=5 可得m=8a，故cos∠PF2F1 ==，运算求得结果．解答：解：设|PF1|=n，|PF2|=m，则由双曲线的定义可得m﹣n=2a ①，且三角形PF1F2为直角三角形，故有m2+n2=4c2②．再由=5 可得c=5a．把①和②联立方程组解得m=8a，故cos∠PF2F1 ====，故选C．点评：本题主要考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．（5分）命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为．考点：命题的真假判断与应用；函数恒成立问题．分析：根据题意，原命题的否定“∀x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，只需△≤0．解答：解：原命题的否定为“∀x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”，且为真命题，则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，只需△=9a2﹣4×2×9≤0，解得：﹣2≤a≤2．故答案为：点评：存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．14．（5分）已知三棱锥的三视图如图所示，则它的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：三视图复原的几何体是放倒的三棱锥，根据三视图的数据，求出几何体的底面积和高，代入体积公式即可．解答：解：三视图复原的几何体是以俯视图为底面的三棱锥，底面面积为：××1=，棱锥的高为：1，故棱锥体积为：×1×=，故答案为：点评：本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的体积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．15．（5分）方程所表示的曲线为C，有下列命题：①若曲线C为椭圆，则2＜t＜4；②若曲线C为双曲线，则t＞4或t＜2；③曲线C不可能为圆；④若曲线C表示焦点在y上的双曲线，则t＞4；以上命题正确的是②④（填上所有正确命题的序号）．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：据椭圆方程的特点列出不等式求出t的范围判断出①错，据双曲线方程的特点列出不等式求出t的范围，判断出②对；据圆方程的特点列出方程求出t的值，判断出③错；据双曲线方程的特点列出不等式求出t的范围，判断出④对．解答：解：①若C为椭圆应该满足即2＜t＜4且t≠3，故①错；②若C为双曲线应该满足（4﹣t）（t﹣2）＜0即t＞4或t＜2故②对；③当4﹣t=t﹣2即t=3表示圆，故③错；④若C表示双曲线，且焦点在y轴上应该满足t﹣2＞0，t﹣4＞0则t＞4，故④对综上知②④正确故答案为②④．点评：椭圆方程的形式：焦点在x轴时，焦点在y轴时；双曲线的方程形式：焦点在x轴时；焦点在y轴时16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：x2=﹣2py（p＞0）的焦点F，点M（p，y M）∈C，若M为圆心的圆与曲线C的准线相切，圆面积为36π，则p=6．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出圆的半径，M为圆心的圆与曲线C的准线相切，可得M到准线的距离为6，再结合M （p，y M）∈C，即可求出p的值．解答：解：∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，∵M为圆心的圆与曲线C的准线相切，∴M到准线的距离为6，∴﹣y M=6，∵M（p，y M）∈C，∴y M=﹣，∴p=6，故答案为：6．点评：本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若非p是非q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．考点：充分条件．专题：计算题．分析：通过解绝对值不等式化简命题p，求出非p；通过解二次不等式化简命题q，求出非q；通过非p是非q的充分而不必要条件得到两个条件端点值的大小关系，求出m的范围．解答：解：由题意p：﹣2≤x﹣3≤2，∴1≤x≤5．∴非p：x＜1或x＞5．q：m﹣1≤x≤m+1，∴非q：x＜m﹣1或x＞m+1．又∵非p是非q的充分而不必要条件，∴∴2＜m＜4点评：本题考查绝对值不等式的解法、二次不等式的解法、将条件问题转化为端点值的关系问题．18．（12分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数）．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求的最小值．考点：参数方程化成普通方程；伸缩变换；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：计算题；压轴题．分析：（1）利用ρ2=x2+y2，将ρ=1转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上式化简成t=2（x﹣1）代入下式消去参数t即可；（2）根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，代入，根据三角函数的辅助角公式求出最小值．解答：解：（1）直线l的参数方程为为参数）．由上式化简成t=2（x﹣1）代入下式得根据ρ2=x2+y2，进行化简得C：x2+y2=1（2分）（2）∵代入C得∴（5分）设椭圆的参数方程为参数）（7分）则（9分）则的最小值为﹣4．（10分）点评：本题主要考查了圆的极坐标方程与直线的参数方程转化成直角坐标方程，以及利用椭圆的参数方程求最值问题，属于基础题．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A，B两点；（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为（﹣2，2），求点P到线段AB中点M的距离．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）直线l的参数方程为标准型（t为参数），代入曲线C的方程，利用参数的几何意义即可得出．（2）点P在直线l上，中点M对应参数为=﹣2，利用参数t几何意义，即可得出|PM|．解答：解：（1）直线l的参数方程为标准型（t为参数），代入曲线C方程得t2+4t﹣10=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣4，t1t2=﹣10，∴|AB|=|t1﹣t2|=2．（2）点P在直线l上，中点M对应参数为=﹣2，由参数t几何意义，∴点P到线段AB中点M的距离|PM|=2．点评：本题考查了曲线的参数方程及几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．曲线C的方程是ρ=2sin（θ﹣），直线l的参数方程为（t为参数，0≤a ＜π），设P（1，2），直线l与曲线C交于A，B两点．（1）当a=0时，求|AB|的长度；（2）求|PA|2+|PB|2的取值范围．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）把极坐标方程化为直角坐标方程，联立即可得出；（2）设t1，t2为相应参数值t2+（4cosα+2sinα）t+3=0，△＞0，利用根与系数的关系可得|PA|2+|PB|2=即可得出．解答：解：（1）曲线C的方程是ρ=2sin（θ﹣），化为，化为ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，∴x2+y2=2y﹣2x，曲线C的方程为（x+1）2+（y﹣1）2=2．当α=0时，直线l：y=2，代入曲线C可得x+1=±1．解得x=0或﹣2．∴|AB|=2．（2）设t1，t2为相应参数值t2+（4cosα+2sinα）t+3=0，△＞0，∴≤1，∴t1+t2=﹣（4cosα+2sinα），t1t2=3．∴|PA|2+|PB|2==（4cosα+2sinα）2﹣8=20sin2（α+φ）﹣6，∴|PA|2+|PB|2∈（6，14hslx3y3h．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、一元二次方程的根与系数的关系、参数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点M（﹣1，0）．（Ⅰ）求抛物线的方程，并写出焦点坐标；（Ⅱ）是否存在过焦点的直线AB（直线与抛物线交于点A，B），使得三角形MAB的面积S△MAB=4？若存在，请求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知条件得，由此能求出抛物线方程和抛物线焦点坐标．（Ⅱ）法一：由题意，设AB：x=ty+1，并与y2=4x联立，得到方程：y2﹣4ty﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由S△MAB=S△MAF+S△MBS=|MF|•（|y1|+|y2|），能求出直线AB的方程．（Ⅱ）法二：设AB：y=k（x﹣1）（k≠0），并与y2=4x联立，得到方程：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），|AB|=，点M到直线AB的距离为的d，由|AB|•d，能求出直线AB的方程．解答：（Ⅰ）解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点M（﹣1，0），∴，解得p=2，∴抛物线方程为y2=4x，抛物线焦点坐标为F（1，0）．…（4分）（Ⅱ）解法一：由题意，设AB：x=ty+1，并与y2=4x联立，得到方程：y2﹣4ty﹣4=0，…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4t，y1•y2=﹣4．…（7分）S△MAB=S△MAF+S△MBS=|MF|•（|y1|+|y2|），∵y1•y2＜0，∴|y1|+|y2|==，…（9分）又|MF|=2，∴，…（10分）解得t=±1，…（11分）故直线AB的方程为：x=±y+1．即x+y﹣1=0或x﹣y﹣1=0．…（12分）（Ⅱ）解法二：当AB⊥x轴时，|AB|=2p=4，S△MAB=|MF|•|AB|==4，不符合题意．…（5分）∴设AB：y=k（x﹣1）（k≠0），并与y2=4x联立，得到方程：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2=1．…7分|AB|=x1+x2+p=，点M到直线AB的距离为，…（9分）∴|AB|•d===，…（10分）解得k=±1，…（11分）故直线AB的方程为：y=±（x﹣1）．即x+y﹣1=0或x﹣y﹣1=0．…（12分）点评：本题考查抛物线的方程和焦点坐标的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．22．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设F（c，0），利用直线的斜率公式可得，可得c．又，b2=a2﹣c2，即可解得a，b；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出S△OPQ．通过换元再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（Ⅰ）设F（c，0），∵直线AF的斜率为，∴，解得c=．又，b2=a2﹣c2，解得a=2，b=1．∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．联立，化为（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0时，即时，，．∴|PQ|===，点O到直线l的距离d=．∴S△OPQ==，设＞0，则4k2=t2+3，∴==1，当且仅当t=2，即，解得时取等号．满足△＞0，∴△OPQ的面积最大时直线l的方程为：．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了换元法和转化方法，属于难题．。
2015年黑龙江省哈尔滨三十二中高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)
2014-2015学年黑龙江省哈尔滨三十二中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题只有1个选项符合题意，每小题5分，共60分）1．（5分）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（）A．B．C．D．12．（5分）已知向量=（λ+1，2），=（1，﹣2）．若与共线，则实数λ的值为（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣33．（5分）在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（）A．40 B．42 C．43 D．454．（5分）函数f（x）=的定义域是（）A．（0，2） B．（0，1）∪（1，2）C．（0，2]D．（0，1）∪（1，2]5．（5分）若tanα=3，则的值为（）A．B．1 C．﹣l D．﹣36．（5分）已知sin（3π﹣θ）=﹣2sin（+θ），则tan2θ等于（）A．B．﹣ C．D．﹣7．（5分）在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则此三角形必是（）A．等腰三角形B．正三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形8．（5分）函数的图象的一个对称轴方程是（）A．B．C．D．9．（5分）已知平面向量，的夹角为，且•=3，||=3，则||等于（）A．B．2 C．D．210．（5分）设函数f（x）定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x ≥1时，f（x）=3x﹣1，则有（）A．f（）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（）＜f（）C．f（）＜f （）＜f（）D．f（）＜f（）＜f（）11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，C=，则△ABC的面积为（）A．2+2 B．C．2﹣2 D．﹣112．（5分）在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在CD，若•=，则•的值是（）A．B．2 C．0 D．1二、填空题（每空5分，共20分）13．（5分）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=．14．（5分）函数y=sin2x+2sin2x最小正周期T为．15．（5分）已知，则与夹角的正弦值为．16．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=20，S10=S15，则当n=时，S n最大．三、解答题：（共70分）17．（10分）已知．（1）若A，B，C三点共线，求实数m的值；（2）证明：对任意实数m，恒有成立．18．（15分）已知等差数列{a n}中，a1=1，a3=﹣3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n}的前k项和S k=﹣35，求k的值．19．（15分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．20．（15分）设向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），x∈（0，）．（1）若||=||，求x的值；（2）设函数f（x）=，求f（x）的最大值．21．（15分）设函数f（x）=（ax2﹣2x）•e x，其中a≥0．（Ⅰ）当a=时，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若f（x）在[﹣1，1]上为单调函数，求a的取值范围．2014-2015学年黑龙江省哈尔滨三十二中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有1个选项符合题意，每小题5分，共60分）1．（5分）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（）A．B．C．D．1【解答】解：∵a=3，b=5，sinA=，∴由正弦定理得：sinB===．故选：B．2．（5分）已知向量=（λ+1，2），=（1，﹣2）．若与共线，则实数λ的值为（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3【解答】解：∵已知向量=（λ+1，2），=（1，﹣2），且与共线，∴（λ+1）（﹣2）﹣2×1=0，解得λ=﹣2，故选：C．3．（5分）在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（）A．40 B．42 C．43 D．45【解答】解：在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，得d=3，a5=14，∴a4+a5+a6=3a5=42．故选：B．4．（5分）函数f（x）=的定义域是（）A．（0，2） B．（0，1）∪（1，2）C．（0，2]D．（0，1）∪（1，2]【解答】解：要使函数f（x）有意义，只需要，解得0＜x＜1或1＜x≤2，所以定义域为（0，1）∪（1，2]．故选：D．5．（5分）若tanα=3，则的值为（）A．B．1 C．﹣l D．﹣3【解答】解：由tanα=3，则====故选：A．6．（5分）已知sin（3π﹣θ）=﹣2sin（+θ），则tan2θ等于（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：由sin（3π﹣θ）=﹣2sin（+θ）得，sin（π﹣θ）=﹣2cosθ，所以sinθ=﹣2cosθ，即tanθ=﹣2，则tan2θ===，故选：A．7．（5分）在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则此三角形必是（）A．等腰三角形B．正三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【解答】解：由A+B+C=π，得到C=π﹣（A+B），∴sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B），又sinC=2cosAsinB，∴sin（A+B）=2cosAsinB，即sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB，整理得sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）=0，又A和B都为三角形的内角，∴﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B=0，即A=B，则此三角形必是等腰三角形．故选：A．8．（5分）函数的图象的一个对称轴方程是（）A．B．C．D．【解答】解：令2x+=kπ+，k∈z，可得x=，k∈z，故选：C．9．（5分）已知平面向量，的夹角为，且•=3，||=3，则||等于（）A．B．2 C．D．2【解答】解：=3•||=3，解得||=，故选：C．10．（5分）设函数f（x）定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x ≥1时，f（x）=3x﹣1，则有（）A．f（）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（）＜f（）C．f（）＜f （）＜f（）D．f（）＜f（）＜f（）【解答】解：由题意可得，函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，再根据函数的图象关于直线x=1对称，可得函数在（﹣∞，1]上是减函数．故离直线x=1越近的点，函数值越小．|﹣1|=，|﹣1|=，|﹣1|=，∴f（）＜f（）＜f（），故选：B．11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，C=，则△ABC的面积为（）A．2+2 B．C．2﹣2 D．﹣1【解答】解：∵b=2，B=，C=，∴由正弦定理=得：c===2，A=，∴sinA=sin（+）=cos=，=bcsinA=×2×2×=+1．则S△ABC故选：B．12．（5分）在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在CD，若•=，则•的值是（）A．B．2 C．0 D．1【解答】解：建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），E（，1），F（x，2）∴=（，0），=（x，2），∴=x=，解得x=1，∴F（1，2）∴=（，1），=（1﹣，2）∴=（1﹣）+1×2=故选：A．二、填空题（每空5分，共20分）13．（5分）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=﹣1．【解答】解：由题意得，y′=k+，∵在点（1，k）处的切线平行于x轴，∴k+1=0，得k=﹣1，故答案为：﹣1．14．（5分）函数y=sin2x+2sin2x最小正周期T为π．【解答】解：y=sin2x+2×=sin2x﹣cos2x+=2（sin2x﹣cos2x）+=2sin（2x﹣）+，∵ω=2，∴T=π．故答案为：π15．（5分）已知，则与夹角的正弦值为．【解答】解：设=（x，y），则由=﹣=（x﹣2，y﹣2）=（2，1），可得，即=（4，3），∴cos＜，＞===，故sin＜，＞=，故答案为．16．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=20，S10=S15，则当n=12或13时，S n最大．【解答】解：∵S10=S15∴S15﹣S10=a11+a12+a13+a14+a15=0根据等差数列的性质可得，a13=0∵a1=20＞0∴d＜0 a12＞0，a14＜0根据数列的和的性质可知S12=S13为S n最大故答案为：12或13三、解答题：（共70分）17．（10分）已知．（1）若A，B，C三点共线，求实数m的值；（2）证明：对任意实数m，恒有成立．【解答】解：（1）∵∴…（2分）∵A，B，C三点共线，∴向量是共线向量，得（﹣2）×（﹣2）=（1﹣m）×1…（5分）∴解之得：m=﹣3…（7分）（2）由（1），得…（9分）∴即对任意实数m，恒有成立．…（14分）18．（15分）已知等差数列{a n}中，a1=1，a3=﹣3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n}的前k项和S k=﹣35，求k的值．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d由a1=1，a3=﹣3，可得1+2d=﹣3，解得d=﹣2，从而，a n=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n；（II）由（I）可知a n=3﹣2n，所以S n==2n﹣n2，进而由S k=﹣35，可得2k﹣k2=﹣35，即k2﹣2k﹣35=0，解得k=7或k=﹣5，又k∈N+，故k=7为所求．19．（15分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．20．（15分）设向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），x∈（0，）．（1）若||=||，求x的值；（2）设函数f（x）=，求f（x）的最大值．【解答】解：（1）由|a|2=（sin x）2+（sin x）2=4sin2 x，|b|2=（cos x）2+（sin x）2=1．及|a|=|b|，得4sin2 x=1．又x∈（0，），从而sin x=，∴x=．（2）f（x）==sin x•cos x+sin2x=sin 2x﹣cos 2x+=sin（2x﹣）+，当x=∈（0，）时，sin（2x﹣）取最大值1．∴f（x）的最大值为．21．（15分）设函数f（x）=（ax2﹣2x）•e x，其中a≥0．（Ⅰ）当a=时，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若f（x）在[﹣1，1]上为单调函数，求a的取值范围．【解答】解：对f（x）求导得f'（x）=[ax2+2（a﹣1）x﹣2]•e x①（I）若a=时，由，综合①，可知所以，是极大值点，x 2=1是极小值点．（注：未注明极大、极小值扣1分）（II ）若f （x ）为[﹣1，1]上的单调函数，又f'（0）=﹣2＜0， 所以当x ∈[﹣1，1]时f'（x ）≤0，即g （x ）=ax 2+2（a ﹣1）x ﹣2≤0在[﹣1，1]上恒成立． （1）当a=0时，g （x ）=﹣2x ﹣2≤0在[﹣1，1]上恒成立； （2）当a ＞0时，抛物线g （x ）=ax 2+2（a ﹣1）x ﹣2开口向上， 则f （x ）在[﹣1，1]上为单调函数的充要条件是，即，所以．综合（1）（2）知a 的取值范围是．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,mm nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。
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2014-2015学年黑龙江省哈三中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知曲线C的方程为x2﹣xy+y2﹣2=0，则下列各点中，在曲线C上的点是（）A．（0，）B．（1，﹣2）C．（2，﹣3）D．（3，8）2．（5分）已知A为圆A：（x﹣1）2+y2=25的圆心，平面上点P满足PA=，那么点P与圆A的位置关系是（）A．点P在圆A上B．点P在圆A内C．点P在圆A外D．无法确定3．（5分）双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为（）A．2 B．C．3 D．24．（5分）抛物线y=2x2的准线方程为（）A．B．C．D．5．（5分）△ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（）A．B．C．D．6．（5分）已知实数x、y满足x2+y2+2x=0，则x+y的最小值为（）A．B．C．D．7．（5分）设定点F1（0，﹣2）、F2（0，2），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+（m ＞0），则点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段8．（5分）已知点P（8，8）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，直线l与抛物线C 相切于点P，则直线l的斜率为（）A．B．C．D．9．（5分）若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（）A．1 B．C．D．211．（5分）从双曲线=1的左焦点F引圆x2+y2=3的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）A．B．C．D．12．（5分）已知椭圆=1上一点A（2，1）和该椭圆上两动点B、C，直线AB、AC的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=0，则直线BC的斜率k（）A．k＞或k＜﹣B．k=﹣C．k= D．k的值不确定二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知AB为过双曲线C的一个焦点F且垂直于实轴的弦，且|AB|为双曲线C的实轴长的2倍，则双曲线C的离心率为．14．（5分）顶点在原点，经过圆C：x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为．15．（5分）已知方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为．16．（5分）已知圆C1：（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1与圆C2：x2+y2=1，在下列说法中：①对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；②对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线；③直线l：2（m+3）x+3（m+2）y﹣（2m+5）=0（m∈R）与圆C2一定相交于两个不同的点；④P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4．其中正确命题的序号为．三、简答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知直线y=kx+2与椭圆2x2+3y2=6有两个公共点，求k的取值范围．18．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±x，右顶点为（1，0）．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）已知直线y=x+m与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点为M（x0，y0）．当x0≠0时，求的值．19．（12分）在直角坐标系xoy中，曲线y=x2﹣6x+5与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）求过点（2，4）的直线被该圆截得的弦长最小时的直线方程以及最小弦长．20．（12分）已知F1、F2为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点，椭圆C 的离心率为，过左焦点F1的直线与C相交于A、B两点，△ABF2面积的最大值为3，求椭圆C的方程．21．（12分）已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A、B 两点．（1）设直线l的斜率为1，求向量与夹角余弦值的大小；（2）设向量=λ，若∈[4，9]，求直线l在y轴上截距的变化范围．22．（12分）已知椭圆E1：=1的焦点F1、F2在x轴上，且椭圆E1经过P（m，﹣2）（m＞0），过点P的直线l与E1交于点Q，与抛物线E2：y2=4x交于A、B两点，当直线l过F2时△PF1Q的周长为20．（Ⅰ）求m的值和E1的方程；（Ⅱ）以线段AB为直径的圆是否经过E2上一定点，若经过一定点求出定点坐标，否则说明理由．2014-2015学年黑龙江省哈三中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知曲线C的方程为x2﹣xy+y2﹣2=0，则下列各点中，在曲线C上的点是（）A．（0，）B．（1，﹣2）C．（2，﹣3）D．（3，8）【解答】解：把A、B、C、D坐标分别代入曲线方程x2﹣xy+y2﹣2=0，只有（0，）满足方程，所以（0，）在曲线上．故选：A．2．（5分）已知A为圆A：（x﹣1）2+y2=25的圆心，平面上点P满足PA=，那么点P与圆A的位置关系是（）A．点P在圆A上B．点P在圆A内C．点P在圆A外D．无法确定【解答】解：A为圆A：（x﹣1）2+y2=25的圆心，圆的半径为5，平面上点P满足PA=，∵，∴点P与圆A的位置关系是：点P在圆A内．故选：B．3．（5分）双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为（）A．2 B．C．3 D．2【解答】解：由题得：其焦点坐标为（±4，0）．渐近线方程为y=±x所以焦点到其渐近线的距离d==2．故选：D．4．（5分）抛物线y=2x2的准线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线的方程可变为x2=y故p=，其准线方程为y=﹣，故选：D．5．（5分）△ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的两顶点B（﹣1，0），C（1，0），周长为8，∴BC=2，AB+AC=6，∵6＞2，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且2a=6，c=1，b=2，所以椭圆的标准方程是．故选：A．6．（5分）已知实数x、y满足x2+y2+2x=0，则x+y的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：把x2+y2+2x=0配方得：（x+1）2+y2=1，显然，这是一个圆的方程，设x+1=cosα，y=sinα，则x+y=cosα﹣1+sinα=（cosα+sinα）﹣1=sin（）﹣1，由sin（）∈[﹣1，1]，所以x+y的最小值为：﹣﹣1．故选：B．7．（5分）设定点F1（0，﹣2）、F2（0，2），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+（m ＞0），则点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段【解答】解：∵m＞0，m+≥2=4．故当m+=4时，满足条件|PF 1|+|PF2|=m+=|F1 F2|的点P的轨迹是线段F1F2 ．当m+＞4时，满足条件|PF1|+|PF2|=m+（m＞0）的点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆．故选：D．8．（5分）已知点P（8，8）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，直线l与抛物线C 相切于点P，则直线l的斜率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵点P（8，8）在抛物线C：y2=2px，∴64=2p×8，解得：2p=8，故抛物线C的标准方程为：y2=8x，即x=y2，则x′=y，当y=8时，x′=2，故过点P（8，8）与抛物线C相切的直线方程为：2（y﹣8）=x﹣8，即y=x+4，即直线l的斜率为，故选：C．9．（5分）若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：设直线方程为y=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k=0，直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径，得4k2≤k2+1，k2≤，故选：C．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（）A．1 B．C．D．2【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=3，∴|PQ|=2d，∴直线PF的斜率为±，∵F（1，0），∴直线PF的方程为y=±（x﹣1），与y2=4x联立可得x=，∴||=d=1+=．故选：B．11．（5分）从双曲线=1的左焦点F引圆x2+y2=3的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线的右焦点为F'，连结OT∵O为FF'中点，M为PF中点，∴MO为△PFF'的中位线，可得|MO|=|PF'|，|FM|=|PF|又∵|MT|=|FM|﹣|FT|=|PF|﹣|FT|，∴|MO|﹣|MT|=（|PF'|﹣|PF|）+|FT|=|FT|﹣a，∵a=，|FT|==，∴|MO|﹣|MT|=﹣．故选：C．12．（5分）已知椭圆=1上一点A（2，1）和该椭圆上两动点B、C，直线AB、AC的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=0，则直线BC的斜率k（）A．k＞或k＜﹣B．k=﹣C．k= D．k的值不确定【解答】解：∵点A（2，1）在椭圆=1上，直线AB、AC的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=0，∴设直线AB的方程为：y﹣1=k1（x﹣2），直线AC的方程为：y﹣1=k2（x﹣2）=﹣k1（x﹣2），即直线AB的方程为：y=k1（x﹣2）+1，直线AC的方程为：y=﹣k1（x﹣2）+1，将y=k1（x﹣2）+1，代入=1得：（）x2﹣x+=0，由A的横坐标为2，结合韦达定理可得B点的横坐标为：﹣2=，则B点的纵坐标为，即B点坐标为：（，），同理可得：C点的坐标为：（，）故BC的斜率k==，故选：C．二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知AB为过双曲线C的一个焦点F且垂直于实轴的弦，且|AB|为双曲线C的实轴长的2倍，则双曲线C的离心率为．【解答】解：设双曲线C：，焦点F（c，0），由题设得A点坐标为（c，a），代入双曲线的方程得到：所以，a=bc=a，∴e==．故答案为：．14．（5分）顶点在原点，经过圆C：x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为y2=2x．．【解答】解：因为圆C：x2+y2﹣2x+2y=0的圆心是（1，﹣）抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点（1，﹣），设标准方程为y2=2px，因为点（1，﹣）在抛物线上，所以（﹣）2=2p，所以p=1，所以所求抛物线方程为：y2=2x．故答案为：y2=2x．15．（5分）已知方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为0＜k＜4．【解答】解：椭圆方程4x2+ky2=1化为，由于椭圆的焦点在y轴上，则＞，即0＜k＜4，故答案为：0＜k＜4．16．（5分）已知圆C1：（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1与圆C2：x2+y2=1，在下列说法中：①对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；②对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线；③直线l：2（m+3）x+3（m+2）y﹣（2m+5）=0（m∈R）与圆C2一定相交于两个不同的点；④P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4．其中正确命题的序号为①③④．【解答】解：对于①结论是正确的，由圆C1：（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1与圆C2：x2+y2=1可知两圆圆心分别为C1（2cosθ，2sinθ）与C2（0，0），半径分布为r1=1，r2=1∴圆心距|C1 C2|==2，|C 1C2|=r1+r2，故对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；对于②结论是不正确的，由①可知两圆向外切，只有3条公切线．对于③结论是正确的，由直线l：2（m+3）x+3（m+2）y﹣（2m+5）=0可化为：m（2x+3y﹣2）+6x+2y﹣5=0解方程组，得交点M（，），|MO|==＜1，故点M在圆C2内，所以直线l与圆C2一定相交于两个不同的点．对于④结论是正确的，如下图所示，当P，Q两点与公切点共线时距离最大为|PQ|=（r1+r2）=4综上，正确的结论是①③④．故答案为：①③④三、简答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知直线y=kx+2与椭圆2x2+3y2=6有两个公共点，求k的取值范围．【解答】解：联立，消去y，得（3k2+2）x2+12kx+6=0，∵直线y=kx+2和椭圆2x2+3y2=6有两个公共点，∴△=（12k）2﹣24（3k2+2）＞0，解得k＜﹣或k＞，故k的取值范围是：（﹣）∪（，+∞）．18．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±x，右顶点为（1，0）．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）已知直线y=x+m与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点为M（x0，y0）．当x0≠0时，求的值．【解答】解：（Ⅰ）双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±x，则由题意得，=，a=1，解得b=，则双曲线的方程为：x2﹣=1；（Ⅱ）联立直线方程和双曲线方程，得到，，消去y，得2x2﹣2mx﹣m2﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则判别式△=4m2+8（m2+3）＞0，x1+x2=m，中点M的x0=，y0=x0+m=m，则有=3．19．（12分）在直角坐标系xoy中，曲线y=x2﹣6x+5与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）求过点（2，4）的直线被该圆截得的弦长最小时的直线方程以及最小弦长．【解答】解：（1）曲线y=x2﹣6x+5与坐标轴x轴的交点令x2﹣6x+5=0解得：A（1，0），B（5，0）与y轴的交点C（0，5）设圆的一般式为：x2+y2+Dx+Ey+F=0把A（1，0），B（5，0），C（0，5）代入圆的方程：解得圆的方程为：x2+y2﹣6x﹣6y+5=0（2）根据（1）的结论x2+y2﹣6x﹣6y+5=0转化为标准式：（x﹣3）2+（y﹣3）2=13点（2，4）与圆心（3，3）的距离为所以最短弦的直线的斜率k与点（2，4）与圆心（3，3）所构成的直线斜率乘积为﹣1．所以k=1进一步求出直线方程为：x﹣y+2=0．所以圆心（3，3）到直线的距离为：d==设半弦长为l则：l2+d2=r2解得：则弦长为2l=220．（12分）已知F1、F2为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点，椭圆C 的离心率为，过左焦点F1的直线与C相交于A、B两点，△ABF2面积的最大值为3，求椭圆C的方程．【解答】解：当AB与椭圆的长轴垂直时，△ABF2面积取最大值，此时|AB|=，AB边上的高为2c，∵此时△ABF2面积为3，故××2c=3，又∵椭圆C的离心率e==，又由a2=b2+c2，解得：a2=6，b2=3，故椭圆C的方程为：．21．（12分）已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A、B 两点．（1）设直线l的斜率为1，求向量与夹角余弦值的大小；（2）设向量=λ，若∈[4，9]，求直线l在y轴上截距的变化范围．【解答】解：（1）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，∴l的方程为y=x﹣1．将y=x﹣1代入方程y2=4x，整理得x2﹣6x+1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=6，x1x2=1，y1+y2=4，y1y2=﹣4．∴cos＜，＞===﹣．∴与夹角的余弦值为﹣．（2）由题设得（x2﹣1，y2）=λ（1﹣x1，﹣y1），即x2﹣1=λ（1﹣x1）①，y2=﹣λy1②由②得y22=λ2y12，∵y12=4x1，y22=4x2，∴x2=λ2x1③联立①③解得x2=λ．依题意有λ＞0．∴B（λ，2）或B（λ，﹣2），又F（1，0），得直线l的方程为（λ﹣1）y=2（x﹣1）或（λ﹣1）y=﹣2（x﹣1）当λ∈[4，9]时，l在y轴上的截距为或﹣，设g（λ）=，λ∈[4，9]，可知g（λ）=在[4，9]上是递减的，∴≤≤，或﹣≤﹣≤﹣，即直线l在y轴上截距的变化范围为≤≤，或﹣≤﹣≤﹣．22．（12分）已知椭圆E1：=1的焦点F1、F2在x轴上，且椭圆E1经过P（m，﹣2）（m＞0），过点P的直线l与E1交于点Q，与抛物线E2：y2=4x交于A、B两点，当直线l过F2时△PF1Q的周长为20．（Ⅰ）求m的值和E1的方程；（Ⅱ）以线段AB为直径的圆是否经过E2上一定点，若经过一定点求出定点坐标，否则说明理由．【解答】解：（Ⅰ）△PF1Q的周长4a=20，∴a=5，a2=75，故椭圆E1的方程为：=1，将P（m，﹣2）代入=1得：m2=25，∵m＞0，∴m=5，（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2），过P（5，﹣1）点的直线为：x﹣5=m（y+2），即x=m（y+2）+5，代入y2=4x得：y2﹣4my﹣8m﹣20=0而以线段AB为直径的圆的方程为x2+y2﹣（x1+x2）x+x1x2﹣（y1+y2）y+y1y2=0，x2+y2﹣[（y1+y2）2﹣2y1y2]x+﹣（y1+y2）y+y1y2=0，整理得x2+y2﹣4my﹣（4m2+4m+10）x+4m2+12m+5=0，整理成关于m的方程4m2（1﹣x）+4m（3﹣x﹣y）+x2+y2﹣10x+5=0由于以上关于m的方程有无数解，故1﹣x=0且3﹣x﹣y=0且x2+y2﹣10x+5=0，由以上方程构成的方程组有唯一解x=1，y=2．由此可知，以线段AB为直径的圆必经过定点（1，2）。