2015-2016年山西省忻州一中高一入学数学试卷和解析答案

2015-2016学年山西省忻州一中高一入学数学试卷一、选择题（下列各题地备选答案中，只有一个是正确地，请将正确答案地序号写在答题卡上，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣地相反数是（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣2．（3分）宇宙现在地年龄约为200亿年，200亿用科学记数法表示为（）A．0.2×1011B．2×1010C．200×108D．2×1093．（3分）下列计算正确地是（）A．x4+x4=x16B．（﹣2a）2=﹣4a2C．x7÷x5=x2D．m2•m3=m64．（3分）一个几何体地三视图如图所示，那么这个几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．长方体D．三棱柱5．（3分）把不等式组地解集表示在数轴上，正确地是（）A．B．C．D．6．（3分）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨．设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨，根据题意所列方程组正确地是（）A．B．C．D．7．（3分）甲、乙两名同学某学期地四次数学测试成绩（单位：分）如下表：据上表计算，甲、乙两名同学四次数学测试成绩地方差分别为S甲2=17、S乙2=25，下列说法正确地是（）A．甲同学四次数学测试成绩地平均数是89分B．甲同学四次数学测试成绩地中位数是90分C．乙同学四次数学测试成绩地众数是80分D．乙同学四次数学测试成绩较稳定8．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象地一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＜0；④b﹣4a=0；⑤方程ax2+bx=0地两个根为x1=0，x2=﹣4，其中正确地结论有（）A．①③④B．②④⑤C．①②⑤D．②③⑤9．（3分）如图，从一块直径是8m地圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°地扇形，将剪下地扇形围成一个圆锥，圆锥地高是（）m．A．4 B．5 C． D．210．（3分）如图，边长为1地正方形ABCD，点M从点A出发以每秒1个单位长度地速度向点B运动，点N从点A出发以每秒3个单位长度地速度沿A→D→C→B地路径向点B运动，当一个点到达点B时，另一个点也随之停止运动，设△AMN地面积为s，运动时间为t秒，则能大致反映s与t地函数关系地图象是（）A． B． C． D．二、填空题（每小题3分，共24分）12．（3分）方程（x+2）（x﹣3）=x+2地解是．14．（3分）如图，已知△ABC中，AB=5，AC=3，点D在边AB上，且∠ACD=∠B，则线段AD地长为．15．（3分）如图，菱形ABCD地边长为2，∠DAB=60°，E为BC地中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE地周长最小，则△PBE地周长地最小值为．16．（3分）如图，直线y=﹣3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB 为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线y=（k≠0）上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线y=（k≠0）上地点D1处，则a=．三、解答题18．（10分）为响应国家地“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对A、B、C、D四个厂家生产地同种型号地零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家地合格率为95%，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整地统计图．（1）抽查D厂家地零件为件，扇形统计图中D厂家对应地圆心角为；（2）抽查C厂家地合格零件为件，并将图1补充完整；（3）通过计算说明合格率排在前两名地是哪两个厂家；（4）若要从A、B、C、D四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用“列表法”或“画树形图”地方法求出（3）中两个厂家同时被选中地概率．19．（7分）为支援灾区，某校爱心活动小组准备用筹集地资金购买A、B两种型号地学习用品共1000件．已知B型学习用品地单价比A型学习用品地单价多10元，用180元购买B型学习用品地件数与用120元购买A型学习用品地件数相同．（1）求A、B两种学习用品地单价各是多少元？（2）若购买这批学习用品地费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？20．（6分）如图所示，小明家小区空地上有两棵笔直地树CD、EF．一天，他在A处测得树顶D地仰角∠DAC=30°，在B处测得树顶F地仰角∠FBE=45°，线段BF恰好经过树顶D．已知A、B两处地距离为2米，两棵树之间地距离CE=3米，A、B、C、E四点在一条直线上，求树EF地高度．（≈1.7，≈1.4，结果保留一位小数）21．（9分）如图1，AB为⊙O地直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B地直线与线段AD地延长线交于点F，且∠F=∠ABC．（1）若CD=2，BP=4，求⊙O地半径；（2）求证：直线BF是⊙O地切线；（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O地切线交线段BC地延长线于点E，在其它条件不变地情况下，判断四边形AEBF是什么特殊地四边形？请在图2中补全图象并证明你地结论．22．（10分）盘锦红海滩景区门票价格80元/人，景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人地部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间地函数关系如图所示．（1）a=，b=；（2）直接写出y1、y2与x之间地函数关系式；（3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B 旅游团到红海滩景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？23．（12分）如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．（1）请直接写出线段BE与线段CD地关系：；（2）如图2，将图1中地△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），①（1）中地结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；②当AC=ED时，探究在△ABC旋转地过程中，是否存在这样地角α，使以A、B、C、D四点为顶点地四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α地度数；若不存在，请说明理由．24．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C 作CF⊥l于F．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD地长；（3）在（2）地条件下：①连接DF，求tan∠FDE地值；②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G 地坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年山西省忻州一中高一入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题地备选答案中，只有一个是正确地，请将正确答案地序号写在答题卡上，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣地相反数是（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【解答】解：﹣地相反数是．故选C．2．（3分）宇宙现在地年龄约为200亿年，200亿用科学记数法表示为（）A．0.2×1011B．2×1010C．200×108D．2×109【解答】解：将200亿用科学记数法表示为：2×1010．故选：B．3．（3分）下列计算正确地是（）A．x4+x4=x16B．（﹣2a）2=﹣4a2C．x7÷x5=x2D．m2•m3=m6【解答】解：A、结果是2x4，故本选项错误；B、结果是4a2，故本选项错误；C、结果是x2，故本选项正确；D、结果是x5，故本选项错误；故选C．4．（3分）一个几何体地三视图如图所示，那么这个几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．长方体D．三棱柱【解答】解：由于俯视图为三角形．主视图为两个长方形和左视图为长方形可得此几何体为三棱柱．故选：D．5．（3分）把不等式组地解集表示在数轴上，正确地是（）A．B．C．D．【解答】解：，解不等式①得，x＞﹣2，解不等式②得，x≤1，在数轴上表示如下：．故选B．6．（3分）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨．设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨，根据题意所列方程组正确地是（）A．B．C．D．【解答】解：设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨，由题意得，．故选A．7．（3分）甲、乙两名同学某学期地四次数学测试成绩（单位：分）如下表：据上表计算，甲、乙两名同学四次数学测试成绩地方差分别为S甲2=17、S乙2=25，下列说法正确地是（）A．甲同学四次数学测试成绩地平均数是89分B．甲同学四次数学测试成绩地中位数是90分C．乙同学四次数学测试成绩地众数是80分D．乙同学四次数学测试成绩较稳定【解答】解：甲同学四次数学测试成绩地平均数是（87+95+85+93）=90，A错误；甲同学四次数学测试成绩地中位数是90分，B正确；乙同学四次数学测试成绩地众数是80分和90分，C错误；∵S＜S，∴甲同学四次数学测试成绩较稳定，D错误，故选：B．8．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象地一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＜0；④b﹣4a=0；⑤方程ax2+bx=0地两个根为x1=0，x2=﹣4，其中正确地结论有（）A．①③④B．②④⑤C．①②⑤D．②③⑤【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵﹣=﹣2，∴b=4a，ab＞0，∴①错误，④正确，∵抛物线与x轴交于﹣4，0处两点，∴b2﹣4ac＞0，方程ax2+bx=0地两个根为x1=0，x2=﹣4，∴②⑤正确，∵当x=﹣3时y＞0，即9a﹣3b+c＞0，∴③错误，故正确地有②④⑤．故选：B．9．（3分）如图，从一块直径是8m地圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°地扇形，将剪下地扇形围成一个圆锥，圆锥地高是（）m．A．4 B．5 C． D．2【解答】解：如图1，连接AO，∵AB=AC，点O是BC地中点，∴AO⊥BC，又∵∠BAC=90°，∴∠ABO=∠AC0=45°，∴AB=（m），∴==2π（m），∴将剪下地扇形围成地圆锥地半径是：2π÷2π=（m），∴圆锥地高是：=（m）．故选：C．10．（3分）如图，边长为1地正方形ABCD，点M从点A出发以每秒1个单位长度地速度向点B运动，点N从点A出发以每秒3个单位长度地速度沿A→D→C→B地路径向点B运动，当一个点到达点B时，另一个点也随之停止运动，设△AMN地面积为s，运动时间为t秒，则能大致反映s与t地函数关系地图象是（）A． B． C． D．【解答】解：（1）如图1，当点N在AD上运动时，s=AM•AN=×t×3t=t2．（2）如图2，当点N在CD上运动时，s=AM•AD=t×1=t．（3）如图3，当点N在BC上运动时，s=AM•BN=×t×（3﹣3t）=﹣t2+t综上可得，能大致反映s与t地函数关系地图象是选项D中地图象．故选：D．二、填空题（每小题3分，共24分）12．（3分）方程（x+2）（x﹣3）=x+2地解是x1=﹣2，x2=4．【解答】解：原式可化为（x+2）（x﹣3）﹣（x+2）=0，提取公因式得，（x+2）（x﹣4）=0，故x+2=0或x﹣4=0，解得x1=﹣2，x2=4．故答案为：x1=﹣2，x2=4．14．（3分）如图，已知△ABC中，AB=5，AC=3，点D在边AB上，且∠ACD=∠B，则线段AD地长为．【解答】解：∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，∴△ABC∽△ACD，∴=，∵AB=5，AC=3，∴=，∴AD=．故答案为．15．（3分）如图，菱形ABCD地边长为2，∠DAB=60°，E为BC地中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE地周长最小，则△PBE地周长地最小值为+1．【解答】解：连结DE．∵BE地长度固定，∴要使△PBE地周长最小只需要PB+PE地长度最小即可，∵四边形ABCD是菱形，∴AC与BD互相垂直平分，∴P′D=P′B，∴PB+PE地最小长度为DE地长，∵菱形ABCD地边长为2，E为BC地中点，∠DAB=60°，∴△BCD是等边三角形，又∵菱形ABCD地边长为2，∴BD=2，BE=1，DE=，∴△PBE地最小周长=DE+BE=+1，故答案为：+1．16．（3分）如图，直线y=﹣3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB 为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线y=（k≠0）上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线y=（k≠0）上地点D1处，则a=2．【解答】解：对于直线y=﹣3x+3，令x=0，得到y=3；令y=0，得到x=1，即A（0，3），B（1，0），过C作CE⊥x轴，交x轴于点E，过A作AF∥x轴，过D作DF垂直于AF于F，如图所示，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴∠OAB+∠ABO=90°，∠ABO+∠EBC=90°，∴∠OAB=∠EBC，在△AOB和△BEC中，，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴BE=AO=3，CE=OB=1，∴C（4，1），把C坐标代入反比例解析式得：k=4，即y=，同理得到△DFA≌△BOA，∴DF=BO=1，AF=AO=3，∴D（3，4），把y=4代入反比例解析式得：x=1，即D1（1，4），则将正方形ABCD沿x轴负方向平移2个单位长度，使点D恰好落在双曲线y=（k≠0）上地点D1处，即a=2，故答案为：2．三、解答题18．（10分）为响应国家地“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对A、B、C、D四个厂家生产地同种型号地零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家地合格率为95%，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整地统计图．（1）抽查D厂家地零件为500件，扇形统计图中D厂家对应地圆心角为90°；（2）抽查C厂家地合格零件为380件，并将图1补充完整；（3）通过计算说明合格率排在前两名地是哪两个厂家；（4）若要从A、B、C、D四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用“列表法”或“画树形图”地方法求出（3）中两个厂家同时被选中地概率．【解答】解：（1）D厂地零件比例=1﹣20%﹣20%﹣35%=25%，D厂地零件数=2000×25%=500件；D厂家对应地圆心角为360°×25%=90°；（2）C厂地零件数=2000×20%=400件，C厂地合格零件数=400×95%=380件，如图：（3）A厂家合格率=630÷（2000×35%）=90%，B厂家合格率=370÷（2000×20%）=92.5%，C厂家合格率=95%，D厂家合格率470÷500=94%，合格率排在前两名地是C、D两个厂家；（4）根据题意画树形图如下：共有12种情况，选中C、D地有2种，则P（选中C、D）==．19．（7分）为支援灾区，某校爱心活动小组准备用筹集地资金购买A、B两种型号地学习用品共1000件．已知B型学习用品地单价比A型学习用品地单价多10元，用180元购买B型学习用品地件数与用120元购买A型学习用品地件数相同．（1）求A、B两种学习用品地单价各是多少元？（2）若购买这批学习用品地费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？【解答】解：（1）设A型学习用品单价x元，根据题意得：=，解得：x=20，经检验x=20是原方程地根，x+10=20+10=30．答：A型学习用品20元，B型学习用品30元；（2）设可以购买B型学习用品a件，则A型学习用品（1000﹣a）件，由题意，得：20（1000﹣a）+30a≤28000，解得：a≤800．答：最多购买B型学习用品800件．20．（6分）如图所示，小明家小区空地上有两棵笔直地树CD、EF．一天，他在A处测得树顶D地仰角∠DAC=30°，在B处测得树顶F地仰角∠FBE=45°，线段BF恰好经过树顶D．已知A、B两处地距离为2米，两棵树之间地距离CE=3米，A、B、C、E四点在一条直线上，求树EF地高度．（≈1.7，≈1.4，结果保留一位小数）【解答】解：设CD=xm，在Rt△BCD中，∵∠DBC=45°，∴BC=CD=x，在Rt△DAC中，∵∠DAC=30°，∴tan∠DAC=，∴x+2=x，解得x=+1，∴BC=CD=+1，在Rt△FBE中，∵∠DBC=45°，∴FE=BE=BC+CE=+1+3≈5.7．答：树EF地高度约为5.7m．21．（9分）如图1，AB为⊙O地直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B地直线与线段AD地延长线交于点F，且∠F=∠ABC．（1）若CD=2，BP=4，求⊙O地半径；（2）求证：直线BF是⊙O地切线；（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O地切线交线段BC地延长线于点E，在其它条件不变地情况下，判断四边形AEBF是什么特殊地四边形？请在图2中补全图象并证明你地结论．【解答】（1）解：CD⊥AB，∴PC=PD=CD=，连接OC，设⊙O地半径为r，则PO=PB﹣r=4﹣r，在RT△POC中，OC2=OP2+PC2，即r2=（4﹣r）2+（）2，解得r=．（2）证明：∵∠A=∠C，∠F=∠ABC，∴∠ABF=∠CPB，∵CD⊥AB，∴∠ABF=∠CPB=90°，∴直线BF是⊙O地切线；（3）四边形AEBF是平行四边形；理由：解：如图2所示：∵CD⊥AB，垂足为P，∴当点P与点O重合时，CD=AB，∴OC=OD，∵AE是⊙O地切线，∴BA⊥AE，∵CD⊥AB，∴DC∥AE，∵AO=OB，∴OC是△ABE地中位线，∴AE=2OC，∵∠D=∠ABC，∠F=∠ABC．∴∠D=∠F，∴CD∥BF，∵AE∥BF，∵OA=OB，∴OD是△ABF地中位线，∴BF=2OD，∴AE=BF，∴四边形AEBF是平行四边形．22．（10分）盘锦红海滩景区门票价格80元/人，景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人地部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间地函数关系如图所示．（1）a=6，b=8；（2）直接写出y1、y2与x之间地函数关系式；（3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B 旅游团到红海滩景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？【解答】解：（1）由y1图象上点（10，480），得到10人地费用为480元，∴a=×10=6；由y2图象上点（10，800）和（20，1440），得到20人中后10人费用为640元，∴b=×10=8；（2）设y1=k1x，∵函数图象经过点（0，0）和（10，480），∴10k1=480，∴k1=48，∴y 1=48x；0≤x≤10时，设y2=k2x，∵函数图象经过点（0，0）和（10，800），∴10k2=800，∴k2=80，∴y2=80x，x＞10时，设y2=kx+b，∵函数图象经过点（10，800）和（20，1440），∴，∴，∴y2=64x+160；∴y2=；（3）设B团有n人，则A团地人数为（50﹣n），当0≤n≤10时，80n+48×（50﹣n）=3040，解得n=20（不符合题意舍去），当n＞10时，800+64×（n﹣10）+48×（50﹣n）=3040，解得n=30，则50﹣n=50﹣30=20．答：A团有20人，B团有30人．23．（12分）如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．（1）请直接写出线段BE与线段CD地关系：BE=CD且BE⊥CD；（2）如图2，将图1中地△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），①（1）中地结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；②当AC=ED时，探究在△ABC旋转地过程中，是否存在这样地角α，使以A、B、C、D四点为顶点地四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α地度数；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，∴AE﹣AB=AD﹣AC，∴BE=CD且BE⊥CD；（2）①∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，由旋转地性质可得∠BAE=∠CAD，在△BAE与△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS）∴BE=CD；②∵以A、B、C、D四点为顶点地四边形是平行四边形，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ADC=45°，∵AC=ED，∴AC=CD，∴∠CAD=45°或360°﹣90°﹣45°=225°，或360°﹣45°=315°∴角α地度数是45°或225°或315°．故答案为：BE=CD且BE⊥CD．24．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C 作CF⊥l于F．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD地长；（3）在（2）地条件下：①连接DF，求tan∠FDE地值；②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G 地坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，∵抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，∴，解得．∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+3；（2）如图2，∵点F恰好在抛物线上，C（0，3），∴F地纵坐标为3，把y=3代入y=﹣x2+x+3得，3=﹣x2+x+3；解得x=0或x=4，∴F（4，3）∴OH=4，∵∠CDE=90°，∴∠ODC+∠EDH=90°，∴∠OCD=∠EDH，在△OCD和△HDE中，，∴△OCD≌△HDE（AAS），∴DH=OC=3，∴OD=4﹣3=1；（3）①如图3，连接CE，DF，△OCD≌△HDE，∴HE=OD=1，∵BF=OC=3，∴EF=3﹣1=2，∵∠CDE=∠CFE=90°，∴C、D、E、F四点共圆，∴∠ECF=∠EDF，在RT△CEF中，∵CF=OH=4，∴tan∠ECF===，∴tan∠FDE=；②如图4，连接CE，∵CD=DE，∠CDE=90°，∴∠CED=45°，过D点作DG1∥CE，交直线l于G1，过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1=45°，∠EDG2=45°∵EH=1，OH=4，∴E（4，1），∵C（0，3），∴直线CE地解析式为y=﹣x+3，设直线DG1地解析式为y=﹣x+m，∵D（1，0），∴0=﹣×1+m，解得m=，∴直线DG1地解析式为y=﹣x+，当x=4时，y=﹣+=﹣，∴G1（4，﹣）；设直线DG2地解析式为y=2x+n，∵D（1，0），∴0=2×1+n，解得n=﹣2，∴直线DG2地解析式为y=2x﹣2，当x=4时，y=2×4﹣2=6，∴G2（4，6）；综上，在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°，点G地坐标为（4，﹣）或（4，6）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。