工程力学第八章刚体的平面运动重点
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工程力学8-刚体的平面运动
、与
基点无关
点
运动规律与基 点的选择有关
运动规律与基 点的选择无关
任意选取，通常选取运动情况已知的点作为基点
理论力学
11
§8-2 平面图形内点的速度分析
一、基点法（速度合成法）
已知：图形S内一点A的速度vA ， 图形角速度。求 vB 。
取A为基点, 将动系铰结于A点， 动系随基点作平移。
取B为动点，则B点的运动可视为牵连运动为平移和相对 运动为圆周运动的合成，va vB;ve vA;vr vBA, 其中vBA大小：vBA=BA·； 垂直BA并指向与 转向一致。
cos(
2
)
vB
y
2
B
vA cos
O
vB vA cot
A x
vA
已知：OA匀角速度转动， , OA r, AB 3r
求：当 600 时，点B的速度
解：
AB作平面运动
vA
由速度投影定 理
vB AB vA AB
A
O
B
vB
cos(
2
)
vA
vB
vB vA / sin
2 r
3
三、速度瞬心法 1.问题的提出 若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大
在该瞬时的位置也就确定了。
四、平面运动分解为平移和转动
当图形S 上Ａ点不动时，
则刚体作定轴转动；
当图形 S上角不变时，
则刚体作平移。
故刚体平面运动可以看成是
平移和转动的合成运动。
理论力学
7
例如 车轮的运动
车轮的平面运动可以看 成是车轮随同车厢的平移和 相对车厢的转动的合成。
车轮对于静系的平面运动 （绝对运动）
第八章刚体的平面运动
其中，i ，j 为x，y 轴的单位矢量。
14
2. 速度投影定理
同一平面图形上任意两点的速度在这两点连
线上的投影相等。
证明：
vB =vA +vBA
vBA vB
∵(vB )AB= (vA )AB+ (vBA) AB
A
B
vA
vA
而vBA 垂直AB，在AB两点连线上的投影为零
∴ (vB )AB= (vA )AB
O
30 A 60 60 B vB 已知方向，可求出连杆CB的速度瞬
vA
心Cv2。
36
例题
刚体的平面运动
例题8
因为
CCv2 CB tan 30
3l 3
故得连杆CB角速度的大小
C
Cv2
Cv1
vC
CB
vC CCv 2
3 l
vA
它的转向沿逆时针。于是滑块B 速
度的大小为
O
30 A
vA
60 60 B vB
M3和M4各点的加速度大小。
39
例题
刚体的平面运动
例题9
解： 因在此瞬时O点的加速度是已知的，
M3
故选O点为基点，则齿轮节圆边缘上任一
点M 的加速度为：
aO vO M4
M2
RO
a O
因为任一瞬时齿轮的角速度 vO ，
R
M1
因此，可对此式求导数，从而求得齿轮
的角加速度
O
ψ
A vB
vA=u
vB
u
tan
,
vBA
u
sin
,
所以
AB
vBA l
u l
第八章 刚体平面运动(陆)
B
N
vA = vB = ωr
而轮B作纯滚动，I点为瞬心，所以此刻轮B的角 速度为： v r B B
R R
最后
r v N B NI 2 R 2r R
方向如图
★理论力学电子教案
第8章 刚体平面运动
22
例题8-4
如图所示的行星系中，大齿轮Ⅰ固定，半径为r1；行 星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动，半径为r2 。系杆OA角速
即 v A AI v B BI vC CI
相当于定轴转动的计算.
v AI v BI
B
A
vCI
C I
但请注意：I点仅仅此时刻速度为零，一般 情况下，速度瞬心的加速度不等于零，下一瞬 时I的速度也就不再为零了。因此，速度瞬心 在图形本身上和在固定平面上的位置都是随时 间而变的，在不同的瞬时，图形具有不同的速 度瞬心。
△SE
4m
4m
★理论力学电子教案
第8章 刚体平面运动
26
§8-3 平面运动刚体上各点加速度
根据速度基点法的分析，由点的 合成运动方法可以导出平面运动刚 体上各点的加速度计算公式：
ω
a BA n a BA
A α
aB
B
n t a B a A a BA aBA
aA
讨论： 1.φ为常数 2.(xO,yO)为常数 3.O点位置和φ 均变化 刚体作平动
平面图形的位置
定轴转动
平面运动
由此看出，平面运动可以分解为“平动”和“定轴转动”
★理论力学电子教案
第8章 刚体平面运动
4
三、运动分解
平面运动 = “随基点的平动” + “绕基点的转动” 所谓基点，是在平面图形上任意取定的那点。
理论力学---第八章_平面运动
且
v A 不平行于 v B
。
vA // vB , 且不垂直于AB vB v A v AB vBA 0 AB 0 vB v A vM
瞬时平移(瞬心在无穷远处)
纯滚动(只滚不滑)约束
找出下列平面运动刚体的速度瞬心。 A ω O1 B O2 O A B
:
:
v F
v GF cos 45 v C cos 45 v r
v F
v GF
cos
45 v C cos 45 v G 'C
vr 0
v GF 2 r
vG
5 r
26 . 6
平面机构如图所示。曲柄AB以匀角速度 绕轴A转动，使杆CG绕E轴转动。已知： AB=BE=EC=r。在图示位置时，ED=r，杆AB 和杆CG均处于水平。试求该瞬时: （1） 滑块D相对于杆CG的速度;
c
c
vB
v BA
绕O轴转动。求在图示瞬间点C的速度。已知
v CB
vc
B
B
ABC
vB
vA
ABC
o1
o
0
A
vA
o1
o
0
A
vA
在图示齿轮齿条机构中，已知：齿轮 半径R，曲柄OA= 2 R，以匀角速度 0 绕O轴作 定轴转动，OO1=L。试求图示位置 =45°时， 齿轮O1的角速度。
分析：
DE
v A r
vC O 1C
1
AB
vA r
v B r
AB
vC
v D v F r 1
工程力学第八章刚体的平面运动
vA
P
例8.4、行星齿轮机构,大齿轮固定不动。已知: R, r , o 轮A作 纯滚动。求 vM 1, vM 2
解：OA定轴转动; 轮A作平面运动, 瞬心P点
vA (Rr)o r
R r
ro
(
）
vM1 PM1 2r Rrro 2(Rr)o,
vM 2
PM2
所以，任意A，B两点，若A为基点，则：
v v v
B A BA
v v v
B A BA
平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕 基点转动速度的矢量和。这种求解速度的方法称为基点法．
其中 vBA
大小 vBA AB
方向垂直于 AB ，指向同
二.速度投影定理
由 vB vA vBA
二、刚体平面运动的力学模型－平面图形
平面图形－在刚体上作平行于固定平面的平面，这样的平面 刚体轮廓的交线所构成的图形。
刚体运动过程中，任选一点A，A代表了A1A2线段的 运动。由于A点任意性，S面代表了整个刚体的运动。
平面运动
平面图形的运动
三、刚体平面运动方程
任意线段AB的位置可代表平面运动刚体的平面图形的位置， 即:用A点的坐标和AB与x轴夹角表示．
平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随 图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。
说明：上述公式是一平面矢量方程。需知其中六个要素，方能求
出其余两个。其中
a
BA
,
aBnA
方位总是已知。
例8-5
已知：如图所示，在椭圆规机构中，曲柄OD以匀角速度ω绕O 轴转动。OD＝AD＝BD＝l。
2l( )
《理论力学》第八章刚体的平面运动
刚体的平面运动特点
刚体的平面运动具有 连续性，即刚体上任 意一点的运动轨迹都 是连续的。
刚体的平面运动具有 周期性，即刚体的运 动轨迹可以是周期性 的。
刚体的平面运动具有 对称性，即刚体的运 动轨迹可以是对称的。
02
刚体的平面运动分析
刚体的平动分析
平动定义
刚体在平面内沿着某一确定方向作等速直线运动。
详细描述
通过综合分析动能和势能的变化，可以深入理解刚体在平面运动中的能量转换过程。例 如，当刚体克服重力做功时，重力势能转化为动能；当刚体克服摩擦力做功时，机械能 转化为内能。这种能量转换过程遵循能量守恒定律，即系统总能量的变化等于外界对系
统所做的功与系统内能变化之和。
06
刚体的平面运动的实例分析
刚体的平面运动通常可以分为两种类型：纯滚动和滑动。在 纯滚动中，刚体只滚不滑，刚体上任意一点在任意时刻都位 于一个固定的圆周上。在滑动中，刚体既滚又滑，刚体上任 意一点在任意时刻都位于一个变化的圆周上。
刚体的平面运动分类
纯滚动
刚体只滚不滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个固定的圆 周上。
滑动
刚体既滚又滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个变化的圆 周上。
势能定理
总结词
势能定理描述了势能与其他形式的能量转换的关系。
详细描述
势能定理指出，在刚体的平面运动过程中，非保守力（如摩擦力、空气阻力等）对刚体所做的功等于系统势能的 减少量。非保守力做正功时，系统势能减少；非保守力做负功时，系统势能增加。
动能和势能的综合分析
总结词
在刚体的平面运动中，动能和势能的综合分析有助于理解运动过程中能量的转换和守恒。
做平动，这种运动也是复合运动。
第八章 刚体的平面运动概论
大小 ？ l ?
方向
BD
vDB BD
vB l
5rad s
vC vB2 vC2B 1.299 m s 方向沿BD杆向右
vD vDB vB 1.5 m/s
§8-２ 求平面图形内各点速度的基点法
解：1. AB作平面运动,基点: A
2
vB vA vBA
大小 ？ vA ?
vBA
方向
vB vA cot
vBA
vA
sin
AB
vBA l
vA
l sin
§8-２ 求平面图形内各点速度的基点法
例8-2 图所示平面机构中，AB=BD=DE=l=300mm。
§8-２ 求平面图形内各点速度的基点法
一．基点法
已知：图形S内一点A的速度 vA ， 图形角速度 ，求：vB
取A为基点, 将动系铰接于A点, 动系作平移。则动点B点的运动 可视为牵连运动为平移和相对 运动为圆周运动的合成：
va vB ; ve vA ; vr vBA ,
其中：vBA 大小vBA= ·AB，方位：⊥AB，指向与 转向一致． 根据速度合成定理 va ve vr , 则Ｂ点速度为：
只需确定线段O ' A上O '点的位 置和线段O ' A与固定坐标轴Ox间的
夹角 即可。当平面图形运动时，
它们是时间t的单值连续函数。所以
刚体平面运动方程
xo' f1(t) yo' f2 (t)
f3 (t)
§8-1 刚体平面运动的概述和运动分解
四、平面运为常量，则平面图形作
vB vA vBA
§8-２ 求平面图形内各点速度的基点法
即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕 基点转动的速度的矢量和．这种求解速度的方法称为基点 法．它是求解平面图形内任一点速度的基本方法．
第八章：刚体的平面运动
y
w
M
O
A
B
vA
x
y vMD vM
M
vD O A
D
w vD B
1、求vM
vD= vA= 2m/s vA 基点：D点 x
vMD MD w 2rw 2.12 m S
vM vVM VD O
w VD B
vMD 2.12 m S
vM vM2 x vM2 y 3.8 m
B
C
A II wII
D
wO
O
I
vA wO OA wO (r1 r2 )
分析两轮接触点D
vD＝0
vD vA vDA
0 vA vDA
vDA＝vA＝wO(r1+r2)
wII
vDA DA
wO (r1
r2
r2 )
B
C
vA A II wII
vA D
wO
vDA
O
I
以A为基点，分析点B的速度。
第八章 刚体的平面运动
§8–1 刚体平面运动的概述和运动分解 §8–2 求图形内各点速度的基点法 §8–3 求平面图形内各点速度的瞬心法 §8–4 用基点法求平面图形内各点的加速度 §8–5 运动学综合应用
注重学习分析问题的思想和方法
刚体的平面运动
• 重点 • 刚体平面运动的分解； • 熟练应用各种方法求平面图形上任一 点的速度。 • 求平面图形上任一点的加速度。
3、刚体绕基点转动的角速度ω和角加速度α是刚体自 身的运动量 与基点的选择无关。
注意：
虽然基点可任意选取
选取运动情况已知的点作为基点。
§8-2 求图形内各点速度的基点法
一．基点法
va ve vr
工程力学：第八章 刚体的平面运动
大小
at BA
AB
方向垂直于 AB，指向同
大小 aBnA 2 AB
aBnA 方向由 B指向 A
动力学
研究受力物体的运动与作用力之间的关系
➢质点动力学的基本方程 ➢动量定理 ➢动量矩定理 ➢动能定理
质点动力学
牛顿三定律：
第一定律（惯性定律）
第二定律（力与加速度之间的关系的定律）
第三定律（作用与反作用定律）
刚体绕定轴的转动微分方程
主动力: F1, F2 , , Fn
Jz
d
dt
M z (Fi )
或 J z M z (F )
或
Jz
d2
dt 2
Mz(F)
转动微分方程
简单形状物体的转动惯量计算
(1)均质细直杆对一端的转动惯量
Jz
1 3
ml 2
均质细直杆对中心轴 ml 2
的转动惯量
12
（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量
质点和质点系的动量矩
质点Q对点 O 的动量矩
MO (mv) r mv
对 z 轴的动量矩 M z (mv) MO (mv)xy
z
MO(mv) Mz(mv)
q
O
r
A mv
Q y
A
x
Q
[M O (mv )]z M z (mv )
质点系的动量矩
z
vi
m2
O ri
mi m1
y
x m3 mn
二者关系
求平面图形内各点速度
基点法
已知平面图形内A 点的速度和图形 的角速度，则另一点B 点的速度:
vB vA vBA
其中 vBA AB
速度投影定理
第八章 刚体平面运动
13
§8–1 刚体平面运动概述和运动分解
我们称动系上的原点A为基点 基点的选择是任意的） （基点的选择是任意的） 刚体的平面运动可以 分解为随基点的平动 分解为随基点的平动 和绕基点的转动。 绕基点的转动。
14
§8–1 刚体平面运动概述和运动分解
15
§8–1 刚体平面运动概述和运动分解
16
§8–1 刚体平面运动概述和运动分解
r vPA
P
r r v A和vBA方向相反 若vP=0，则 r r v A和vBA大小相等 r r r 点在垂直于 1、若v A和vBA方向相反，则P点在垂直于v A 的直线上 r r 2、若v A和vBA大小相等， vPA = ω ⋅ PA
r r r vP = vA + vPA
∴ PA =
vM = vMP = ω ⋅ MP
在某一瞬时， 在某一瞬时，平面图形的运动可看作 绕瞬心P做瞬时转动 做瞬时转动。 绕瞬心 做瞬时转动。
v′ A
33
§8–2 平面图形上各点的速度分析
1、已知两点的速度方向，且两点速度方向不平行 已知两点的速度方向， 如何确定瞬心的位置？ 如何确定瞬心的位置？
r r 过A , B两点分别作速度 v A , vB 的垂线,
ψ u
A
试求图示位置杆端B 试求图示位置杆端 B 点 的速度及杆的角速度。 的速度及杆的角速度。
39
O
§8–2 平面图形上各点的速度分析
瞬心法 解：
B vB P ωAB
因为杆AB上 因为杆AB上A、B点的速度方向已知， 点的速度方向已知， 故可求出杆AB的速度瞬心在 故可求出杆AB的速度瞬心在P点。 的速度瞬心在P
x
ω
O
§8–1 刚体平面运动概述和运动分解
我们称动系上的原点A为基点 基点的选择是任意的） （基点的选择是任意的） 刚体的平面运动可以 分解为随基点的平动 分解为随基点的平动 和绕基点的转动。 绕基点的转动。
14
§8–1 刚体平面运动概述和运动分解
15
§8–1 刚体平面运动概述和运动分解
16
§8–1 刚体平面运动概述和运动分解
r vPA
P
r r v A和vBA方向相反 若vP=0，则 r r v A和vBA大小相等 r r r 点在垂直于 1、若v A和vBA方向相反，则P点在垂直于v A 的直线上 r r 2、若v A和vBA大小相等， vPA = ω ⋅ PA
r r r vP = vA + vPA
∴ PA =
vM = vMP = ω ⋅ MP
在某一瞬时， 在某一瞬时，平面图形的运动可看作 绕瞬心P做瞬时转动 做瞬时转动。 绕瞬心 做瞬时转动。
v′ A
33
§8–2 平面图形上各点的速度分析
1、已知两点的速度方向，且两点速度方向不平行 已知两点的速度方向， 如何确定瞬心的位置？ 如何确定瞬心的位置？
r r 过A , B两点分别作速度 v A , vB 的垂线,
ψ u
A
试求图示位置杆端B 试求图示位置杆端 B 点 的速度及杆的角速度。 的速度及杆的角速度。
39
O
§8–2 平面图形上各点的速度分析
瞬心法 解：
B vB P ωAB
因为杆AB上 因为杆AB上A、B点的速度方向已知， 点的速度方向已知， 故可求出杆AB的速度瞬心在 故可求出杆AB的速度瞬心在P点。 的速度瞬心在P
x
ω
O
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基点法
研究 AB，以 A为基点， 且 v A l , 方向如图示。 根据
vB vA vBA ,
2 l ( )
在Ｂ点做速度平行四边形，如图示。
vB v A / sin l / sin 45 vBA v A /tg l / tg 45 l AB vBA / AB l / l
方向垂直于 AB ，指向同
二.速度投影定理
由
vB vA vBA
沿AB连线方向上投影
vB AB vA AB
同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。
解题步骤：
• 1、分析各物体的运动；
• 2、研究平面运动物体上哪一点的速度大小和方向是已 知的（基点）；题意要求求的那一点动点，一般情况 下动点速度的方向是已知的。 •
4.速度瞬心的确定方法
解： 1.BD作平面运动 2. vD vB vDB
大小 ？ 方向
基点：B
l
?
vD vDB vB l
BD
vDB vB 5 rad s BD l
E
3. vC vB vCB 大小 ？ l BDl 2 方向 ?
法二：瞬心法
2 2 vC vB vCB 1.299 m s
方向沿BD杆向右
§ 8-3
求平面图形内各点的瞬心法
1. 问题的提出 若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大简 化。那么，在某一瞬时图形有速度等于零的点？该点如何确定？
2. 定理
一般情况下,在每一瞬时,平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点，称 为瞬时速度中心，简称速度瞬心。
Ａ为基点
随基点A的平移 车轮的平面运动 绕基点A'的转动
§8-2
求平面图形内各点速度的基点法
取点A为基点，该点的速度为vA 、图形的角速度为。牵连 运动是平移,相对运动是转动。 合成运动分析：
Ax' y' 1、动点：B ；动系：
2、绝对运动 ：待求
(平移坐标系)
相对运动 ：绕 A 点的圆周运动 牵连运动 ：平移
va ve vr vB vA vBA
所以，任意A，B两点，若A为基点，则：
v
B
v
A
v
BA
v
B
v
A
v
BA
平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕 基点转动速度的矢量和。这种求解速度的方法称为基点法．
其中
vBA
大小
vBA AB
基点：A
vM v A vMA
vM v A AM
vC 0 AC vA
3.速度瞬心法求各点的速度
若基点C为速度瞬心
vM vMC CM
大小： vM CM
方向MC，指向与 一致。
平面图形内各点的速度等于该点随图形绕速度瞬心转动的速度。
四.运动分析
任选A点为基点。 现以A点为坐标原点，建立一平移动系Ax’y’。当图形运动时， 平移坐标系的Ax´ 和Ay´ 轴始终分别平行于定坐标轴Ox和Oy。
刚体的平面运动可以分解为：随基点的平移（牵连运动）+ 绕基点的转动（相对运动）。
一般刚体平面运动的分解
特点：1）平面运动可取任意基点而分解为平移和转动； 2）平移的速度和加速度与基点的选择有关； 3）绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。
（
）
速度投影法
研究AB, vA l ,
方向OA, vB方向沿BO直线
根据速度投影定理 vB AB vA AB
vB sin vA
vB v A / sin l / sin 45 2l( )
不能求出 AB
例8-2 已知：如图所示平面机构中，AB=BD= DE= l=300mm。 在图示位置时，BD∥AE，杆AB的角速度为ω=5rad/s。 求：此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。
二、刚体平面运动的力学模型－平面图形
平面图形－在刚体上作平行于固定平面的平面，这样的平面 刚体轮廓的交线所构成的图形。 刚体运动过程中，任选一点A，A代表了A1A2线段的 运动。由于A点任意性，S面代表了整个刚体的运动。面运动方程
任意线段AB的位置可代表平面运动刚体的平面图形的位置， 即:用A点的坐标和AB与x轴夹角表示．
第八章 刚体的平面运动
§8–1 刚体平面运动的概述和运动分解
§8–2 平面图形内各点速度的求解 §8–3 平面图形内各点加速度的求解
§8-1
刚体平面运动的概述和运动分解
一．平面运动的定义
在运动过程中，刚体上任意一点到某一固定平面的距离始终保
持不变，这种运动为平面运动
例如: 曲柄连杆机构中连杆AB的运动， A点作圆周运动，B点作直线运动，因此， AB 杆的运动既不是平移也不是定轴转动， 而是平面运动．
1 2 lim lim ,1 2 ; t 0 t t 0 t
d1 d2 , 1 2 dt dt
例1：车轮的运动。
车轮相对于定系的平面运动（绝对运动）
车厢（动系Ax y ) 相对定系的平动（牵连运动）
车轮相对车厢（动系Ax y）的转动（相对运动）
vA vBA 作出速度平行四边形，注意： vB 为对角线；
3、运用基点法速度公式：vB vA vBA
• 4、几何法求解平行四边形中的未知量。
例8.1.曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄OA以匀 转动。 求： 当 =45º 时, 滑块B的速度及AB杆的角速度。 a.基点法; b.速度投影法 解：机构中,OA作定轴转动, AB作平面运动,滑块B作平移。
因此，图形S 的位置决定于x A , y A , 三个独立的参变量．
平面运动方程
x A f1 (t ) yA f2 ( t ) f 3 (t )
1)当图形S上A点固定不动，则刚体将作定轴转动； 2)当图形S上角不变时（ =常数），则刚体将作平移。
故刚体平面的运动可以看成是平移和转动的合成运动。