【课时训练】第11章 计数原理、随机变量及分布列

第十一章计数原理、随机变量及分布列第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理(理科专用)1. 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从中任取一本，有________种不同的取法．答案：11解析：共有5＋6＝11种不同的取法．2. 如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．答案：40解析：分两类：①有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)；②有两条公共边的三角形共有8个．故共有32＋8＝40(个)．3. 某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位、个位上的数字(如2816)的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共有________个．答案：100解析：由于千位、百位确定下来后，十位、个位就随之确定，则只需考虑千位、百位即可，千位、百位各有10种选择，所以有10×10＝100个．4. 在三个不同的盒子中，分别装有不同标号的红球20个，白球15个，黄球8个．若要从盒子中任取2个球，其颜色不同的取法有________种．答案：580解析：若两球为红球和白球，则不同的取法有20×15＝300种；若两球为红球和黄球，则不同的取法有20×8＝160种；若两球为白球和黄球，则不同的取法有15×8＝120种．故满足条件的不同取法共有N＝300＋160＋120＝580种．5. 张先生将3张编号为001、002、003的世博会入园门票全送给甲、乙两位朋友，每人至少一张，但甲不要连号票，则张先生送给他们门票的方法有________种．答案：4解析：列举法，甲得001号，002号，003号，或001、003号，共4种情形．6. 将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有________种．答案：12解析：分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C12＝2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C24＝6(种)选派方法．由分步计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种)．7. 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为________．答案：11解析：若0个相同，共有1个；若1个相同，共有C14＝4(个)；若2个相同，共有C24＝6(个)．故共有1＋4＋6＝11(个)．8. 两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有________种．答案：20解析：首先分类计算假如甲赢，比分3∶0只有1种情况；比分3∶1共有3种情况，分别是前3局中(因为第四局肯定要赢)，第一或第二或第三局输，其余局数获胜；比分是3∶2共有6种情况，就是说前4局2∶2，最后一局获胜，前4局中，用排列方法，从4局中选2局获胜，有6种情况．甲一共有1＋3＋6＝10种情况获胜，加上乙获胜情况，共有10＋10＝20种情况．9. 若三角形的三边均为正整数，其中有一边长为4，另外两边长分别为b 、c ，且满足b ≤4≤c ，则这样的三角形有________个．答案：10解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ≤4，c ≥4，c －b<4，且b ，c ∈N *，如图易得满足条件的三角形有10个．10. 有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1) 每人恰好参加一项，每项人数不限； (2) 每项限报一人，且每人至多参加一项； (3) 每项限报一人，但每人参加的项目不限．解：(1) 每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步计数原理知共有选法36＝729(种)．(2) 每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步计数原理知共有报名方法6×5×4＝120(种)．(3) 由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种)．11. 如图，用5种不同的颜色给图中A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？解：(解法1)如题图分四个步骤来完成涂色这件事：涂A 有5种涂法；涂B 有4种方法；涂C 有3种方法；涂D 有3种方法(还可以使用涂A 的颜色)．根据分步计数原理共有5×4×3×3＝180(种)涂色方法．(解法2)由于A 、B 、C 两两相邻，因此三个区域的颜色互不相同，共有A 35＝60种涂法；又D 与B 、C 相邻，因此D 有3种涂法．由分步计数原理知共有60×3＝180(种)涂法．第2课时 排列与组合(理科专用)1. 若A 3n ＝6C 4n ，则n ＝________．答案：7解析：n ！（n －3）！＝6×n ！（n －4）！×4！，得n －3＝4，解得n ＝7.2. 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛.3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有________种．答案：252解析：三名主力安排有A 33种，其余7名选2名安排在第二、四位置上有A 27种排法，故共有排法数A 33A 27＝252种．3. 某班有30名男生，20名女生，现要从中选出5人组成一个宣传小组，其中男、女学生均不少于2人的选法为______(只列式，不计算)．答案：C 330C 220＋C 230C 320解析：男生2人、女生3人，有C 230C 320；男生3人、女生2人，有C 330C 220，共计C 230C 320＋C 330C 220.4. 有6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是________． 答案：90解析：甲得2本有C 26，乙从余下的4本中取2本有C 24，余下的C 22，共计C 26C 24.5. 某书店有11种杂志，2元一本的8种，1元一本的3种．小张用10元钱买杂志(10元钱刚好用完)，则不同买法的种数是________(用数字作答)．答案：266解析：根据题意，可有以下两种情况：① 用10元钱买2元一本共有C 58＝56；② 用10元钱买2元一本的杂志4本和1元一本的杂志2本，共有C 48·C 23＝70×3＝210.故210＋56＝266.6. 某班同学在春节写了一幅共勉的对联，他们将对联定成如下形状：则从上而下连读成“龙腾虎跃今胜昔，你追我赶齐争雄”(上、下两字应紧连，如第二行的第一个“腾”字可与第三行的第一或第二个“虎”字连读，但不能与第三行的第三个“虎”字相连)，共有________种不同的连读方式．答案：240解析：依题意及分步计数原理可知，从上而下连读方式共有C 24·C 12·C 36＝240种．7. 在一次射击比赛中，有8个泥制靶子排成如图所示的三列(其中两列有3个靶子，一列有2个靶子)，一位神枪手按下面的规则打掉所有的靶子：首先他选择一列，然后在被选中的一列中打掉最下面的一个没被打掉的靶子．则打掉这8个靶子共有________种顺序．答案：560解析：问题相当于把这8个靶子按照编号排列后，其中各列靶子的顺序一定．在以这8个靶子为元素的排列(被打掉的顺序)中，同一列靶子间一定是按由下至上的顺序被打掉，即同一类元素间的顺序一定，因而所求顺序共有A 88A 33A 22A 33＝560种．8. 在具有5个行政区域的地图(如图)上，给这5个区域着色共使用了4种不同的颜色，相邻区域不使用同一颜色，则有________种不同的着色方法．答案：48 解析：已知一共使用了4种不同的颜色，因为有5块区域，故必有2块区域的颜色相同．分成两类情况进行讨论：若1，5块区域颜色相同，则有C 14C 13C 12＝24种不同的着色方法；若2，4块区域颜色相同，同理也有24种不同的着色方法．故共有48种不同的着色方法．9. 用0、1、2、3四个数字组成没有重复数字的自然数．(1) 把这些自然数从小到大排成一个数列，问1230是这个数列的第几项？ (2) 其中的四位数中偶数有多少个？解：(1) 分类讨论：①1位自然数有4个；②2位自然数有9个；③3位自然数有18个，即A 34－A 23＝3A 33＝18个；④4位自然数中，“10XY ”型有A 22＝2个，1 203，1 230共有4个；由分类计数原理知1 230是此数列的第4＋9＋18＋4＝35项．(2) 四位数中的偶数有A 33＋A 12A 22＝10个．10. 某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有多少种不同的抽调方法？解：(解法1)(分类法)在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车．可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C 17种；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A 27种；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C 37种．故共有C 17＋A 27＋C 37＝84(种)抽调方法．(解法2)(隔板法)由于每个车队的车辆均多于4辆，只需将10个份额分成7份．可将10个小球排成一排，在相互之间的9个空当中插入6个隔板，即可将小球分成7份．按顺序分别对应车队应抽调车辆数．故共有C 69＝84(种)抽调方法．11. 按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？ (1) 6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2) 6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球； (3) 6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球．解：(1) 每个小球都有4种方法，根据分步计数原理共有46＝4 096种不同方法．(2) 分两类：第1类，6个小球分3，1，1，1放入盒中；第2类，6个小球分2，2，1，1放入盒中，共有C 36·C 14·A 33＋C 26·C 24·A 24＝1 560种不同放法．(3) (解法1)按3，1，1，1放入有C 14种方法，按2，2，1，1，放入有C 24种方法，共有C 14＋C 24＝10种不同放法．(解法2)(挡板法)在6个球之间的5个空中任选三空隔开，共有C 35＝10种不同方法．第3课时 二项式定理(理科专用)1. ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x 15的二项展开式中，常数项是第________项．答案：10解析：T r ＋1＝C r15()x 15－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x r ＝C r15·x 45－5r 6(r ＝0，1，2，…，14)，当r ＝9时，T r ＋1为常数项．2. 若⎝⎛⎭⎫a x －x 29的展开式中x 3的系数为94，则常数a ＝________．答案：4解析：T r ＋1＝C r 9⎝⎛⎭⎫a x 9－r ⎝⎛⎭⎫－x 2r ＝(－1)r ⎝⎛⎭⎫22r a 9－r C r 9x 3r 2－9， 令3r 2－9＝3，r ＝8，(－1)8⎝⎛⎭⎫228aC 89＝916a ＝94，a ＝4. 3. (x －2y)8的展开式中，x 6y 2项的系数是________． 答案：56解析：由二项式定理通项公式得，所求系数为C 28(－2)2＝56. 4. 若(a ＋x)5展开式中x 2的系数为10, 则实数a ＝______． 答案：1解析：根据公式T r ＋1＝C r n a n －r b r 得含有x 2的项为T 3＝C 25a 3x 2＝10x 2，所以a ＝1.5. (x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中的x 3的系数是________． 答案：15解析：原式＝（x －1）[1＋（x －1）5]1＋（x －1）＝（x －1）＋（x －1）6x ，(x －1)6中含有x 4的项是C 26x 4(－1)2＝15x 4，所以展开式中的x 3的系数是15.6. 已知等比数列{a n }的第5项是二项式⎝⎛⎭⎫x －13x 6展开式的常数项，则a 3a 7＝________．答案：259解析：⎝⎛⎭⎫x －13x 6的展开式的通项是T r ＋1＝C r 6·(x)6－r ·⎝⎛⎭⎫－13x r ＝C r 6·⎝⎛⎭⎫－13r ·x3－3r 2.令3－3r 2＝0得r ＝2，因此⎝⎛⎭⎫x －13x 6的展开式中的常数式是C 26·⎝⎛⎭⎫－132＝53，即有a 5＝53，a 3a 7＝(a 5)2＝⎝⎛⎭⎫532＝259.7. 已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x ＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈Z )是一个单调递增数列，则k 的最大值是________．答案：6解析：∵ (x ＋1)10＝(1＋x)10＝C 010＋C 110x ＋C 210x 2＋…＋C 1010x 10，∴ a 1＝C 010，a 2＝C 110，a 3＝C 210，…，a 6＝C 510，…，a 11＝C 1010，要使a 1，a 2，a 3，…，a k 是一个递增数列，只需2≤k ≤6，∴ k 的最大值是6.8. 若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝________． 答案：1解析：(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)＝(2＋3)4·(2－3)4＝1.9. 求证：(1) 32n ＋2－8n －9能被64整除(n ∈N *)；(2) 3n ＞(n ＋2)·2n －1(n ∈N *，n ＞2)．证明：(1) ∵ 32n ＋2－8n －9＝32·32n －8n －9 ＝9·9n －8n －9＝9(8＋1)n －8n －9＝9(C 0n 8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －1n ·8＋C nn ·1)－8n －9＝9(8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －2n 82)＋9·8n ＋9－8n －9 ＝9×82(8n －2＋C 1n ·8n －3＋…＋C n －2n )＋64n＝64[9(8n －2＋C 1n 8n －3＋…＋C n －2n )＋n]．∴ 32n ＋2－8n －9能被64整除．(2) 因为n ∈N *，且n ＞2，所以3n ＝(2＋1)n 展开后至少有4项．(2＋1)n ＝2n ＋C 1n ·2n －1＋…＋C n －1n ·2＋1≥2n＋n·2n －1＋2n ＋1＞2n ＋n·2n －1＝(n ＋2)·2n －1，故3n ＞(n ＋2)·2n －1. 10. 二项式(2x －3y)9的展开式中，求： (1) 二项式系数之和； (2) 各项系数之和；(3) 所有奇数项系数之和．解：设(2x －3y)9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1) 二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2) 各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3) 由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，将两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即为所有奇数项系数之和．11. 已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项． (1) 求n ；(2) 求含x2的项的系数；(3) 求展开式中所有的有理项．解：通项公式为T r＋1＝C r n x n－r3(－3)r x－r3＝(－3)r C rnxn－2r3.(1) ∵第6项为常数项，∴r＝5时，有n－2r3＝0，解得n＝10.(2) 令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝2，∴x2的项的系数为C210(－3)2＝405.(3) 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z，0≤r≤10，r∈Z令10－2r3＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－32k.∵r∈Z，∴k应为偶数，∴k＝2，0，－2，即r＝2，5，8.∴第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236，295 245x－2.第4课时离散型随机变量及分布列、超几何分布(理科专用)1. 若随机变量X的分布列为X 1 2 3 4P13m1618则m＝________．答案：38解析：根据随机变量概率的性质有13＋m＋16＋18＝1，解得m＝38.2. 一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为________．答案：27220解析：由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝C23C19C312＝27220.3. 在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至14名，但只取其中7名裁判的评分作为有效分．若14名裁判中有2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是________．(结果用数值表示)答案：313解析：有效分应该是没有受贿裁判的评分，因此，7名裁判应从12中选出，有C712种，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是C712C714＝313.4. 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是________．答案：23解析：三位同学每人从三个项目选其中1个项目有C 13C 13C 13＝27种，若有且仅有两人选择的项目完全相同，则有C 23C 13C 12＝18，所以有且仅有两人选择的项目完全相同的概率为1827＝23. 5. 若某一射手射击所得环数X 的分布列如下：答案：0.88解析：P(X ≥7)＝P(X ＝7)＋P(X ＝8)＋P(X ＝9)＋P(X ＝10)＝0.88.6. 如图所示，A 、B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为X ，则P(X ≥8)＝________．答案：45解析：由已知，X 的取值为7，8，9，10，∵ P(X ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，∴ P(X ≥8)＝1－P(X＝7)＝45.7. 随机变量X 的分布列为P(X ＝k)＝ck （k ＋1）(k ＝1、2、3、4)，其中c 为常数，则P ⎝⎛⎭⎫12＜X ＜52＝________． 答案：56解析：由随机变量概率分布的性质可得c 1×2＋c 2×3＋c 3×4＋c4×5＝1，即c ⎝⎛⎭⎫1－15＝1，∴ c ＝54，故P ⎝⎛⎭⎫12<X<52＝P(X ＝1)＋P(X ＝2)＝54×⎝⎛⎭⎫11×2＋12×3＝56. 8. 袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为________．答案：25解析：1个红球，2个白球和3个黑球记为a 1，b 1，b 2，c 1，c 2，c 3，从袋中任取两球共有a 1，b 1；a 1，b 2；a 1，c 1；a 1，c 2；a 1，c 3；b 1，b 2；b 1，c 1；b 1，c 2；b 1，c 3；b 2，c 1；b 2，c 2；b 2，c 3；c 1，c 2；c 1，c 3；c 2，c 315种；满足两球颜色为一白一黑有6种，概率为615＝25.9. 某学院为了调查本校学生2012年11月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0，5]，(5，10]，(10，15]，…，(25，30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．(1) 根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数； (2) 现从这40名学生中任取2名，设Y 为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y 的分布列．解：(1) 由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10. (2) 随机变量Y 的所有可能取值为0，1，2.P(Y ＝0)＝C 230C 240＝2952；P(Y ＝1)＝C 110C 130C 240＝513；P(Y ＝2)＝C 210C 240＝352.所以Y 的分布列为10. 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．(1) 求袋中原有白球的个数； (2) 求取球次数X 的分布列．解：(1) 设袋中原有n 个白球，由题意知17＝C 2nC 27＝n （n －1）27×62＝n （n －1）7×6， 所以n(n －1)＝6，解得n ＝3(舍去n ＝－2)． 即袋中原有3个白球．(2) 由题意，X 的可能取值为1，2，3，4，5.P(X ＝1)＝37；P(X ＝2)＝4×37×6＝27；P(X ＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P(X ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P(X ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以，取球次数X 的分布列为11. 设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1) 求概率P(ξ＝0)； (2) 求ξ的分布列．解：(1) 若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱，因此P(ξ＝0)＝C 18C 23C 212＝8×366＝411.(2) 若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P(ξ＝2)＝6C 212＝111，于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝1－411－111＝611，所以随机变量ξ的分布列为第5课时 独立性及二项分布(理科专用)1. 已知X ～B ⎝⎛⎭⎫6，13，则P(X ＝2)＝________. 答案：80243解析：P(X ＝2)＝C 26⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫234＝80243. 2. 某校航模小组在一个棱长为6 m 的正方体房间试飞一种新型模型飞机，为保证模型飞机安全，模型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁的距离均大于1 m ，则模型飞机“安全飞行”的概率为________．答案：827解析：依题意得，模型飞机“安全飞行”的概率为⎝⎛⎭⎫6－263＝827.3. 从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量小于4.85 g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85](g)范围内的概率是________．答案：0.02解析：由互斥事件可得概率为0.32－0.3＝0.02.4. 在一次考试中出了6道判断题，正确的记“ ”，不正确的记“ ”．若某考生完全随意记上了6个符号，则正确答案不少于4道的概率为________．答案：1132解析：“正确答案不少于4道”包括有4道题正确、有5道题正确和有6道题全正确，故所求概率是P 6(4)＋P 6(5)＋P 6(6)＝C 46·⎝⎛⎭⎫124·⎝⎛⎭⎫122＋C 56·⎝⎛⎭⎫125·⎝⎛⎭⎫12＋C 66·⎝⎛⎭⎫126＝1132.5. 一个口袋中装有3个白球和2个红球，现从袋中取球，每次任取一个，记下颜色后放回，直到红球出现3次时停止，总取球数记为ξ，则“ξ＝4”的概率为________．答案：72625解析：当ξ＝4时，即前3次取球恰有一次取到白球，因每次取到白球的概率P ＝35，每次取到红球的概率P′＝25，所以P(ξ＝4)＝C 13⎝⎛⎭⎫35⎝⎛⎭⎫253＝72625(或前3次取球中恰有两次取到红球，一次取到白球，而第四次又恰好取到红球，因为每次取到红球的概率P ＝25，所以P(ξ＝4)＝C 23⎝⎛⎭⎫252·35·25＝72625)． 6. 高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是________．答案：14解析：设“甲、乙二人相邻”为事件A ，“甲、丙二人相邻”为事件B ，则所求概率为P(B|A)，由于P(B|A)＝P （AB ）P （A ），而P(A)＝2A 44A 55＝25，AB 是表示事件“甲与乙、丙都相邻”，故P(AB)＝2A 33A 55＝110，于是P(B|A)＝11025＝14.7. 根据多年的气象记录，甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，则乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率为________；甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为________．答案：23 35解析：设甲地为雨天为事件A ，乙地为雨天为事件B ，则P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12.P(A|B)＝P （AB ）P （B ）＝23.P(B|A)＝P （AB ）P （A ）＝35.8. (改编)某校组织“上海世博会”知识竞赛．已知某学生答对第一题的概率是0.6，答对第二题的概率是0.5，并且回答两个问题相互之间没有影响．则该学生至少答对第一、二两题中一题的概率为________．答案：0.8解析：设“该学生答对第一题”为事件A ，“该学生答对第二题”为事件B.则“该学生至少答对第一、二两题中一题”的概率为P ＝P(AB ＋AB ＋AB)＝P(AB)＋P(AB)＋P(AB)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＋0.5×0.6＝0.8.9. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1) 任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2) 任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列． 解：(1) 任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与事件B 相互独立，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.75.所以该下岗人员没有参加过培训的概率是P(AB)＝P(A －)·P(B －)＝(1－0.6)(1－0.75)＝0.1. 所以该人参加过培训的概率为1－0.1＝0.9.(2) 因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布B(3，0.9)，P(ξ＝k)＝C k 30.9k ×0.13－k，k ＝0，1，2，3， 所以ξ的分布列为10. 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1) 求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2) 求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3) 用X 、Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y|.求随机变量ξ的分布列．解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4)，则P(A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎫13i ⎝⎛⎭⎫234－i .(1) 这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A 2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827. (2) 设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3＋A 4.由于A 3与A 4互斥，故P(B)＝P(A 3)＋P(A 4)＝C 34⎝⎛⎭⎫133⎝⎛⎭⎫23＋C 44⎝⎛⎭⎫134＝19. 所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3) ξ的所有可能取值为0，2，4.由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P(ξ＝0)＝P(A 2)＝827，P(ξ＝2)＝P(A 1)＋P(A 3)＝4081，P(ξ＝4)＝P(A 0)＋P(A 4)＝1781.所以ξ的分布列为11. 20、8∶40这三个时刻随机发出，且在8∶00发出的概率为14，8∶20发出的概率为12，8∶40发出的概率为14；第二班客车在9∶00、9∶20、9∶40这三个时刻随机发出，且在9∶00发出的概率为14，9∶20发出的概率为12，9∶40发出的概率为14.两班客车发出时刻是相互独立的，张先生预计8∶10到站．(1) 请预测张先生乘到第一班客车的概率； (2) 求张先生候车时间的分布列．解：(1) 第一班若在8∶20或8∶40发出，则张先生能乘到，其概率为P ＝12＋14＝34.(2) 张先生候车时间的分布列为第6课时 离散型随机变量的均值与方差(理科专用)1. 已知随机变量ξ的分布列如图所示，若η＝3ξ＋2，则E(η)＝________．答案：152解析：由概率之和等于1，得12＋t ＋13＝1，得t ＝16，∴ E(ξ)＝1×12＋2×16＋3×13＝116，∴ E(η)＝3E(ξ)＋2＝152.2. 一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分，某人每次击中目标的概率为23，此人得分的数学期望与方差分别为________．答案：20 2003解析：记此人三次射击击中目标η次得分为ξ分，则η～B ⎝⎛⎭⎫3，23，ξ＝10η，∴ E(ξ)＝10E(η)＝10×3×23＝20，V(ξ)＝100V(η)＝100×3×23×13＝2003.3. 一个盒中有9个正品和3个废品，每次取1个产品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的废品数ξ的期望E(ξ)＝________．答案：310解析：P(ξ＝0)＝A 19A 112＝34，P(ξ＝1)＝A 13A 19A 212＝944，P(ξ＝2)＝A 23A 19A 312＝9220，P(ξ＝3)＝A 33A 19A 412＝1220.∴ E(ξ)＝0×34＋1×944＋2×9220＋3×1220＝310.4. 已知离散型随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的方差为________．答案：2解析：根据离散型随机变量ξ的分布列知m ＝14.∴ E(ξ)＝－2×14＋0×12＋2×14＝0，V(ξ)＝(－2－0)2×14＋(0－0)2×12＋(2－0)2×14＝2.5. 抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X 的数学期望是________．答案：509解析：抛掷两个骰子至少有一个4点或5点的概率为P ＝1－4×46×6＝59(或用列举法求概率)，根据题意得X ～B ⎝⎛⎭⎫10，59，∴ E(X)＝10×59＝509. 6. (改编)甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A 、B 、C 三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．设随机变量ξ为四名同学中到A 社区的人数，则E(ξ)＝________．答案：43解析：随机变量ξ可能取的值为1、2.事件“ξ＝i(i ＝1，2)”是指有i 个同学到A 社区，则P(ξ＝2)＝C 24A 22C 24A 33＝13，所以P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝2)＝23.则ξ的分布列为E(ξ)＝1×23＋2×13＝43.7. 如果随机变量ξ服从B(n ，p)，且E(ξ)＝4，且V(ξ)＝2，则p ＝________．答案：12解析：∵ ξ服从B(n ，p)，且E(ξ)＝4，∴ np ＝4.∵ V(ξ)＝2，∴ np(1－p)＝2，∴ p ＝12.8. 设整数m 是从不等式x 2－2x －8≤0的整数解的集合S 中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ＝m 2，则ξ的数学期望E(ξ)＝________．答案：5解析：由不等式x 2－2x －8≤0，得－2≤x ≤4，∴ S ＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，∴ ξ＝0，1，4，9，16，其分布列为∴ E(ξ)＝0×17＋1×27＋4×27＋9×17＋16×17＝357＝5.9. (2014·盐城二模)一批产品需要进行质量检验，质检部门规定的检验方案是：先从这批产品中任取3件作检验，若3件产品都是合格品，则通过检验；若有2件产品是合格品，则再从这批产品中任取1件作检验，这1件产品是合格品才能通过检验，否则不能通过检验，也不再抽检；若少于2件是合格品，则不能通过检验，也不再抽检．假设这批产品的合格率为80%，且各件产品是否为合格品相互独立．(1) 求这批产品通过检验的概率；(2) 已知每件产品检验费为125元，并且所抽取的产品都要检验，记这批产品的检验费为ξ元，求ξ的概率分布及数学期望．解：(1) P ＝⎝⎛⎭⎫453＋C 23·⎝⎛⎭⎫452·⎝⎛⎭⎫151·45＝512625.(2) P(ξ＝375)＝⎝⎛⎭⎫453＋C 13⎝⎛⎭⎫451⎝⎛⎭⎫152＋⎝⎛⎭⎫153＝77125，P(ξ＝500)＝C 23⎝⎛⎭⎫452⎝⎛⎭⎫151＝48125， ∴ E(ξ)＝375×77125＋500×48125＝423.10. (2014·扬州期末)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次．在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次．某同学在A 处的命中率为p ，在B 处的命中率为q.该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用X 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为(1) 若p ＝0.25，p 1＝分的概率；(2) 若该同学在B 处连续投篮3次，投中一次得2分，用Y 表示该同学投篮结束后所得的总分．若p<23q ，试比较E(X)与E(Y)的大小．解：(1) 设该同学在A 处投中为事件A ，在B 处投中为事件B ，则事件A 、B 相互独立，且p ＝0.25，P(A －)＝0.75 ，P(B)＝q ，P(B －)＝1－q. P(X ＝0)＝P(A －B －B －)＝P(A －)P(B －)P(B －)＝0.75(1－q)2＝0.03，所以q ＝0.8.P(X ＝5)＝P(A B －B ＋AB)＝P(A B －B)＋P(AB)＝P(A)P(B －)P(B)＋P(A)P(B) ＝0.25q(1－q)＋0.25q ＝0.24.(2) 依题意，随机变量X 的分布列为3p ＋4q －2pq 2，随机变量Y 的分布列为数学期望为E(Y)＝6(1－q)2q ＋4(3q 2－3q 3)＋6q 3＝6q. E(X)－E(Y)＝－2pq 2＋3p －2q ＝p(3－2q 2)－2q.因为p<23q 且3－2q 2>0，所以E(X)－E(Y)<2q 3(3－2q 2)－2q ＝－4q 33<0，所以，p<23q 时，该同学选择三次都在B 处投篮的数学期望较大．11. (2014·无锡期末)从集合M ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取三个元素构成子集{a ，b ，c}．(1) 求a 、b 、c 中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率；(2) 记a 、b 、c 三个数中相邻自然数的组数为ξ(如集合{3，4，5}中3和4相邻，4和5相邻，ξ＝2)，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．解：(1) 从9个不同的元素中任取3个不同元素，为古典概型．记“a 、b 、c 中任意两数之差的绝对值均不小于2”为事件A ，其基本事件总数为n ＝C 39.由题意，a 、b 、c 均不相邻，利用插空法得，事件A 包含基本事件数m ＝C 37.故P(A)＝C 37C 39＝512. ∴ a 、b 、c 中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率为512.(2)∴ E(ξ)＝0×512＋1×12＋2×112＝23.。