高中数学导数的应用习题课人教版

导数的应用习题课
教学目标掌握导数的几何意义，会求多项式函数的单调区间、极值、最值教学重点多项式函数的单调区间、极值、最值的求法
教学难点多项式函数极值点的求法、多项式函数最值的应用
一、课前预习
1.设函数
)
(x
f
y=在某个区间内有导数，如果在这个区间内＿＿＿＿，则)
(x
f
y=是这个区
间内的＿＿＿＿＿；如果在这个区间内＿＿＿，则
)
(x
f
y=是这个区间内的＿＿＿＿＿.
2.设函数
)
(x
f
y=在0x
x=
及其附近有定义，如果
)
(
x
f
的值比0
x
附近所有各点的值都大
（小），则称
)
(
x
f
是函数
)
(x
f
y=的一个＿＿＿＿＿＿.
3.如果
)
(x
f
y=在某个区间内有导数，则可以这样求它的极值：
（1）求导数＿＿＿＿＿；（2）求方程＿＿＿＿＿＿＿＿的根（可能极值点）；
（3）如果在根的左侧附近为＿，右侧附近为＿，则函数
)
(x
f
y=在这个根处取得极＿值；如
果在根的左侧附近为＿，右侧附近为＿，则函数
)
(x
f
y=在这个根处取得极＿值.
4.设
)
(x
f
y=是定义在[a，b]上的函数，)
(x
f
y=在(a，b)内有导数，可以这样求最值：
（1）求出函数在(a，b)内的可能极值点（即方程
)
(/=
x
f在(a，b)内的根n x
x
x,
,
,
2
1
Λ
）；
（2）比较函数值
)
(a
f，)
(b
f与)
(
,
),
(
),
(
2
1n
x
f
x
f
x
fΛ
，其中最大的一个为最大值，最小
的一个为最小值.
二、举例
例1.确定函数
3
12
9
2
)
(2
3-
+
-
=x
x
x
x
f的单调区间.
例2.设一质点的运动速度是
3
15
7
4
3
)(2
3
4+
+
-
=t
t
t
t
v
，问：从t＝0到t＝10这段时间内，
运动速度的改变情况怎样？
例3.求函数
4931)(3+-=
x x x f 的极值.
例4.设函数x bx ax x f ++=232131)(在1x ＝1与2x ＝2处取得极值，试确定a 和b 的值，并
问此时函数在1x 与2x 处是取极大值还是极小值？
例5.求函数
593)(3+-=x x x f 在[－2,2]上的最大值和最小值.
例6.矩形横梁的强度与它断面的高的平方与宽的积成正比例，要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽和高应为多少？
例7.求内接于抛物线
2
1x
y-
=与x轴所围图形内的最大矩形的面积.
例8.某种产品的总成本C（单位：万元）是产量x（单位：万件）的函数：
3
202
.0
04
.0
6
100
)
(x
x
x
x
C+
-
+
=，试问：当生产水平为x＝10万件时，从降低单位成本角度看，继续提高产量是否得当？
三、巩固练习
1.若函数
)
(x
f在区间[a，b]内恒有0
)
(/<
x
f，则此函数在[a，b]上的最小值是＿＿＿＿
2.曲线
1
2
1
3
1
4
1
2
3
4+
-
-
+
=x
x
x
x
y
的极值点是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
3.设函数
a
ax
ax
ax
x
f-
-
-
=2
3)
(
)
(在x＝1处取得极大值－2，则a＝＿＿＿＿.
4.求下列函数的单调区间：
（1）
1
12
3
22
3+
-
+
=x
x
x
y（2）)2
(
)1
(2+
+
=x
x
y
5.求下列函数的极值：
（1）
6
4
2+
-
=x
x
y
，（2）
5
9
32
3+
-
-
=x
x
x
y
，[－4,4]
6.求下列函数的最值：
（1）642+-=x x y ，[－3,10] （2）233x x y -=，[－1,4]
7.设某企业每季度生产某个产品q 个单位时，总成本函数为cq bq aq q C +-=23)(，（其中a
＞0，b ＞0，c ＞0），求：（1）使平均成本最小的产量（2）最小平均成本及相应的边际成本.
8.一个企业生产某种产品，每批生产q 单位时的总成本为q q C +=3)(（单位：百元），可得
的总收入为26)(q q q R -=（单位：百元），问：每批生产该产品多少单位时，能使利润最大？
最大利润是多少？
9.在曲线)0,0(12≥≥-=y x x y 上找一点（00,y x ），过此点作一切线，与x 轴、y 轴构成一
个三角形，问：
0x 为何值时，此三角形面积最小？
10.已知生产某种彩色电视机的总成本函数为73108102.2)(⨯+⨯=q q C ，通过市场调查，可
以预计这种彩电的年需求量为
p
q50
10
1.35-
⨯
=，其中p（单位：元）是彩电售价，q（单
位：台）是需求量. 试求使利润最大的销售量和销售价格.。