高二理科矩阵复习
高考数学矩阵的应用及实例分析
高考数学矩阵的应用及实例分析高考数学是所有文理科生必备的重要课程，而矩阵则是其中必不可少的基础知识点之一。
然而，在实际应用中，矩阵的作用远不止于此，尤其是在计算机领域的广泛应用。
本文将就高考数学矩阵的应用及实例展开阐述和分析。
矩阵的基本定义矩阵是数学中经常用到的对象，其由数或其他数或向量组成的矩形阵列所构成。
例如，一个行列均为m的矩阵记作A=[a_{ij}]，其中i表示行，j表示列，a_{ij}表示A的第i行第j列的元素。
在矩阵中，元素之间的顺序是有意义的，这也是矩阵与普通数组不同的地方。
矩阵的加法和乘法矩阵的加法和乘法是矩阵计算中最基础的两个操作，其定义如下：1.矩阵加法设A=[a_{ij}]，B=[b_{ij}]均为m行n列的矩阵，令C=A+B，且C=[c_{ij}]，则矩阵C的第i行第j列的元素c_{ij}为a_{ij}+b_{ij}。
2.矩阵乘法设A=[a_{ij}]是m行n列的矩阵，B=[b_{ij}]是n行k列的矩阵，令C=A*B，且C=[c_{ij}]，则矩阵C的第i行第j列的元素c_{ij}为c_{ij}=a_{i1}*b_{1j}+a_{i2}*b_{2j}+...+a_{in}*b_{nj}矩阵的应用矩阵的应用不仅局限于高考数学的范畴，其在计算机领域中也有着广泛的应用。
1.图像处理在图像处理中，矩阵被广泛应用于图像滤波和处理算法中。
比如，利用矩阵卷积的方法对图像进行模糊和锐化处理等。
2.数据分析在机器学习和数据分析领域中，矩阵被广泛用于特征向量和特征值计算、预处理和数据降维等方面。
其中，主成分分析（PCA）就是一种常用的算法，它通过矩阵的特征向量和特征值来实现降维和特征提取。
3.计算机图形学在计算机图形学领域中，矩阵被广泛应用于更加复杂的三维图形的建模和变换中。
其中，矩阵变换（旋转、平移等）是基本操作之一，而矩阵在计算机图形学中的应用更加广泛，包括贝塞尔曲线、NURBS曲线等都离不开矩阵的支持。
高考数学(理)二轮专题复习专题突破课件：选修4-2 矩阵与变换
[思考 1] 关于 x 轴、y 轴，直线 y＝x 的反射变换对应的矩阵分别
是10 －01、－01 01、01 10正确吗？
• 提示：正确． • [思考2] 将点的横坐标变为原来的k1倍，纵坐
标变为原来的k2倍(k1·k2≠0)的伸缩变换对应 的矩阵是什么？
提示：对应的矩阵为k01 k02.
解 (1)∵det A＝13 － －27＝－1≠0. ∴矩阵 A 是可逆的，
(2)∵AX＝31 05∴A－1AX＝A－131 05， ∴X＝73 － －2131 05＝189 －－150.
•[探究提升] 1.逆矩阵的求法有两种：一是利用 待定系数法，二是利用公式法．
•2．若 A，B 两 个矩 阵均存在可逆 矩 阵时，则 有 (AB)－1＝
真题感悟
•考向一 二阶矩阵与线性变换
•常考查：①二阶矩阵的乘法；②求点或曲线在 某种变换下得到的点坐标或曲线方程；③求变 换矩阵．
• 【例1】 二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1) 与(－2,1)分别变成点(－1，－1)与(0，－2)．
• (1)求矩阵M； • (2)设直线l在矩阵M对应变换的作用下得到
(2)∵M＝13 24，∴坐标变换公式为xy′′＝＝x3＋x＋2y4，y， ∵(x′，y′)是直线 m：x－y＝4 上的点． ∴(x＋2y)－(3x＋4y)＝4， 即 x＋y＋2＝0， ∴直线 l 的方程为 x＋y＋2＝0.
•[探究提升] 1.二阶矩阵与线性变换的题目往往 和矩阵的基本运算相结合命题．包括二阶矩阵 的乘法，矩阵与向量的乘法等．
了直线m：x－y＝4.求直线l的方程．
[思路点拨]设出二阶矩阵 M，利用变换求出 M，然后根据变换
公式求直线 l 的方程．
高中数学选修42矩阵与变换知识点复习课课件苏教
坐标变换：通过矩阵运算实 现图形的平移、旋转、缩放 等变换
动画制作：通过矩阵运算实 现图形的动画效果，如变形、
运动等
矩阵在其他领域中的应用
物理：在力学、电磁学、量子力学等领域，矩阵被用来描述物理系统的状态和变化
计算机科学：在计算机图形学、人工智能、数据挖掘等领域，矩阵被用来处理和表示数据
高中数学选修4-2矩阵 与变换知识点复习课 课件
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目录
CONTENTS
01 添加目录标题 02 矩阵与变换概述 03 矩阵的逆与行列式 04 矩阵的秩与特征值 05 矩阵的几何意义与线性变换的矩阵表示
06 矩阵的应用举例
单击添加章节标题
第一章
矩阵与变换概述
第二章
矩阵的定义与性质
矩阵的定义：由m行n列的数组 成的m*n个数阵
矩阵与线性变换的关系
矩阵是线性变换的一种表示方法 线性变换可以通过矩阵乘法来实现 矩阵的逆矩阵表示线性变换的逆操作 矩阵的秩表示线性变换的维数
矩阵的逆与行列式
第三章
矩阵的逆
逆矩阵的定义：满足AB=BA=I的矩阵B称为矩阵A的逆矩阵 逆矩阵的性质：逆矩阵的唯一性、逆矩阵的线性性、逆矩阵的乘法性质 逆矩阵的求法：利用初等行变换求逆矩阵、利用伴随矩阵求逆矩阵 逆矩阵的应用：求解线性方程组、求解矩阵方程、求解线性规划问题
行列式的定义与性质
行列式的定义： 矩阵中主对角线 元素的乘积
行列式的性质： 行列式等于其转 置行列式的值
行列式的计算方 法：利用行列式 的性质进行计算
行列式的应用： 求解线性方程组、 判断矩阵是否可 逆等
行列式的计算方法
初等变换法：通过行变换或列变换 将矩阵化为行阶梯形或列阶梯形， 然后计算行列式
高中矩阵基本知识
高中矩阵基本知识
嘿，朋友们！今天咱来聊聊高中矩阵那些超级有趣的基本知识呀！
矩阵就像是一个神秘的魔法盒子！比如说，咱可以把一个班级里同学们的身高和体重用矩阵来表示呀。
每个同学的信息就是矩阵里的一个小格子。
矩阵的运算也很神奇哟！就像搭积木一样，把不同的矩阵拼在一起，能得出新的结果呢！打个比方，你去超市买东西，每种物品的价格和数量可以构成矩阵，然后通过运算就能知道你一共要花多少钱啦。
还有啊，矩阵的乘法可不能随便乱来哦！它是有规则的。
这就好像跳舞一样，得按照特定的舞步来，不然可就跳错啦。
还记得小明和小红一起做矩阵乘法的练习题吗？小明总是粗心大意弄错规则，把小红急得不行，直说他：“你怎么又弄错啦！”
那矩阵到底有啥用呢？哈哈，用处可大啦！在很多领域都能看到它的身影呢。
比如在计算机图形学里，就能用矩阵来变换图像，让图像动起来呢，是不是超级酷？
咱学矩阵的时候，可不能怕困难哟！虽然有时候会觉得头大，但只要坚持，就一定能搞明白呀。
就像爬山一样，虽然过程累，但爬到山顶看到美丽的风景，那感觉太棒啦！
我觉得高中矩阵基本知识就像是一把钥匙，能打开通往更广阔知识世界的大门！让我们一起好好探索这个神奇的矩阵世界吧！。
【理科附加】专题01 矩阵-2019年高考数学母题题源系列(江苏专版)(原卷版)
【理科附加】专题01 矩阵【母题来源一】【2019年高考江苏】已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A . （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值. 【答案】（1）2=A 115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）121,4λλ==. 【解析】本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.【母题来源二】【2018年高考江苏】已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． （1）求A 的逆矩阵1-A ；（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标． 【答案】（1）1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；（2）(3，–1)． 【解析】本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，det()221310=⨯-⨯=≠A ， 所以A 可逆， 从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （2）设P (x ，y )，则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ，因此，点P 的坐标为(3，–1)．【母题来源三】【2017年高考江苏】 已知矩阵0110,.1002⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B （1）求AB ；（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程．【答案】（1）0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）228x y +=． 【解析】试题分析：（1）直接由矩阵乘法可得；（2）先根据矩阵乘法可得坐标之间关系，代入原曲线方程可得曲线2C 的方程．试题解析：（1）因为A =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以AB =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）设00(,)Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(,)P x y ，则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩． 因为点00(,)Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=．因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2:C 228x y +=．【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）矩阵变换：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''．【命题意图】高考主要考查矩阵的逆，矩阵变换，矩阵运算以及矩阵的特征值与特征向量，考查推理运算能力以及对知识的理解掌握水平. 【命题规律】江苏高考中，主要考查的是如何求二阶矩阵的逆矩阵以及二阶矩阵的特征值和特征向量，矩阵变换下的曲线方程和矩阵的运算，其落脚点是对运算能力的考查. 【方法总结】（一）线性变换、二阶矩阵及其乘法（1）二阶矩阵与列向量的乘法规则：若a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，则a b x ax by c d y cx dy +⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦AB .（2）二阶矩阵乘法规则： 若a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，m p n q ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，则a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦AB . 矩阵乘法满足结合律：（AB ）C ＝A （BC ）. （3）线性变换的基本性质： ①设向量x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，则x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦λλλα. ②设向量1212,x x y y ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦αβ，则1212x x y y +⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦αβ.③矩阵变换注意变化前后对应点：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''.④A 是一个二阶矩阵，α，β是平面上任意两个向量，λ是任一实数，则A （λα）＝λAα，A （α＋β）＝Aα＋Aβ.⑤二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）. （4）几种常见的平面变换 ①当M ＝1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，对应的变换是恒等变换. ②由矩阵M ＝001k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦或M ＝100k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（k >0，且k ≠1）确定的变换称为（垂直）伸压变换. ③反射变换是轴反射变换、中心反射变换的总称. ④当M ＝cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形（或点）绕某个定点逆时针旋转角度θ.⑤将一个平面图形投影到某条直线（或某个点）的变换称为投影变换.⑥由矩阵M ＝101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦或M ＝101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（k ∈R ，k ≠0）确定的变换称为切变变换.（二）逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量（1）逆变换与逆矩阵①对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵.②若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且（AB ）－1＝B －1A －1.③逆矩阵求法：1||||(||0)||||其中d b a b ad bc c d c a --⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⇒==-≠⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A A A A A A A . （2）特征值与特征向量①设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量.②从几何上看，特征向量经过矩阵A 对应的变换作用后，与原向量保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变（λ>0），或者方向相反（λ<0）.特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成了零向量.③计算矩阵M ＝a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征向量的步骤如下： i.由矩阵M 得到特征多项式f (λ)＝λa b c λd----；ii.求特征多项式的根，即求λ2－(a ＋d )λ＋(ad －bc )＝0的根； iii.将特征多项式的根(特征值)代入特征方程()0()0λa x by cx λd y --=⎧⎨-+-=⎩，求解得非零解对应的向量，即是矩阵M 对应的特征向量．1．【江苏省徐州市2018−2019学年高三考前模拟检测数学试题】已知,a b ∈R ，向量1a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α是矩阵130b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的属于特征值2-的一个特征向量，求矩阵1-A .2．【江苏省南通市2019届高三模拟练习卷（四模）数学试题】已知矩阵 1 2 0x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 5 72 3⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，B 的逆矩阵1-B 满足17 17 7y --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦AB． （1）求实数,x y 的值；（2）求矩阵A 的特征值．3．【江苏省南通市2019届高三适应性考试数学试题】已知1是矩阵102a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的一个特征值，求点(1,2)在矩阵A 对应的变换作用下得到的点的坐标.4．【江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷数学试题】变换1T 是逆时针旋转π2的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ，变换2T 对应的变换矩阵是21101⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求曲线221x y +=的图象依次在12,T T 变换作用下所得曲线的方程.5．【江苏省扬州中学2019届高三4月考试数学试题】已知矩阵1a ⎡=⎢⎣A 11⎤⎥⎦，在平面直角坐标系xOy 中，直线:30l x y ++=在矩阵1-A 对应的变换下得到直线:10l x by '++=，求实数,a b 的值.6．【江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试数学试题】已知直线l ：x ＋y ＝1在矩阵A ＝ 0 1m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线l'：x ﹣y ＝1，求矩阵A ．7．【江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研考试数学试题】已知，，，a b c d ∈R ，矩阵20a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的逆矩阵111c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ．若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线21y x =+，求曲线C 的方程．8．【江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二）数学试题】已知矩阵A ＝210a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其逆矩阵1-A ＝01b c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求2A ．9．【江苏省南通市2019届高三下学期4月阶段测试数学试题】已知矩阵123a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的一个特征值是1-，求矩阵A 的另一个特征值λ，及属于λ的一个特征向量.10．【江苏省2019届高三第二学期联合调研测试试题】已知直线1C ：1x y +=，对它先作矩阵1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应的变换，再作矩阵010m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B 对应的变换（其中0m ≠），得到直线2C ：112x y +=，求实数m 的值．11．【江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试数学试题】已知矩阵23b a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1101⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，2141⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AB .（1）求a ，b 的值； （2）求A 的逆矩阵1-A .12．【江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考数学试题】已知二阶矩阵A 有特征值4=-λ，其对应的一个特征向量为14-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，并且矩阵A 对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵A ．13．【江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月）模拟数学试题】已知矩阵=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M ，10=102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦N ，且()110402-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ，求矩阵M ．14．【江苏省扬州市2018−2019学年度第一学期期末检测试题高三数学】已知矩阵A ＝ab ⎡⎢⎣12⎤⎥⎦，满足A 13⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝68⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的特征值．15．【江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港））2019届高三年级第一次质量检测数学试题】已知矩阵0123⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A，1820⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B，求1-A B．。
高考理科数学一轮复习选修4-2 矩阵与变换
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
3．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零 向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α
称为A的一个属于特征值λ的一个特征向量．
(2)特征多项式与特征方程 设 λ 是二阶矩阵 量为
x ξ＝ ，则 y a A＝ c
ax＋ by＝ m， 次方程组 cx＋ dy＝ n x a 该方程组有唯一解 ＝ y c
的系数矩阵
b － 1m ， d n
a A＝ c
b 可逆，那么 d
－b d ad－ bc ad－ bc －1 其中 A ＝ . －c a ad－ bc ad－ bc
所以
1 . 0
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
4．(2012· 上海)函数
2 f(x)＝ sin
cos x 的值域是________． x －1
1 解析 因为 f(x)＝－2－sin xcos x＝－2－ sin 2x， 且 sin 2x 2 5 3 ∈[－1，1]，所以函数 f(x)的值域是－2，－2.
－b d ad－ bc ad－ bc －c a －1 ad － bc ad － bc A ＝ _________________.
抓住3个考点
a A＝ c
b d
突破3个考向
揭秘3年高考
(3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量 x，y 的二元一
视(AB)－1＝Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1A－1性质的应用．
抓住3个考点
突破3个考向
选修4-2矩阵与变换
0.5 1 作用下，直线 l 变为 y=-2x-3,则直线 l 为 2 1
2、复合变换与二阶矩阵的乘法 （1）复合变化 复合公式与对应矩阵
（2）二阶矩阵的乘积 定义：设矩阵 A＝
a1 b1 a2 b2 ，B＝ c d ，则 A 与 B 的乘积 c1 d1 2 2 a1 b1 a2 b2 a1a2 b1c2 c d ＝ c a d c c d 1 1 2 2 1 2 1 2
a b 有： f E A a d bc 0 c d
例 8 已知矩阵 M＝
2 a 2 1
，其中 a∈R，若点 P(1，－2)在矩阵 M 的变换下得到点 P′(－
4,0)，求： (1)实数 a 的值； (2)矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量．
1 2 0 1
④特别地：直线 x=a 关于 x 轴的投影变换？
【变式 1】下列线性变换中不会使正方形变为其他图形的是（ A.反射变换 B.投影变换 C.切变变换
）
D.伸缩变换
【变式 2】在切变变换 ：
1 0 作用下，直线 y=2x-1 变为 2 1
【变式 3】 在 A＝
（Ⅱ）把矩阵 M 所对应的变换作用在曲线 3 x 8 xy 6 y 1 上，求所得曲线的方程.
2 2
【点拨】本小题主要考查矩阵的解法与矩阵变换，掌握本部分的基础知识是解决本类问题 的关键。
1 1 1 【变式 1】已知矩阵 A ，向量 ．求向量 ，使得 A2 ． 2 1 2
【变式 3】P（1，2）经过平行于 y 轴的切变变换后变为点 P1(1,-5)，则该切变变换对应 的坐标公式为 【变式 4】在平面直角坐标系中，关于直线 y=-x 的正投影变换对应的矩阵为
高考数学总复习 第1节 矩阵变换及其性质、变换的复合与二阶矩阵的乘法课件 新人教A版选修4-2
0 对应的 1
变换，都把自己变成自己．因此，我们把这种特殊的矩阵称 为 恒等变换矩阵 换称做 恒等变换 或 单位矩阵 ． ，所实施的对应变
2．伸压变换 1 像矩阵 0 0 2 0 1 ， 0 1这种将平面图形作沿 y 轴方向伸 2
长或压缩，或作沿 x 轴方向伸长或压缩的变换矩阵，通常称 做沿 y 轴或 x 轴的 为
3x＋2y＝2， 即 解得 x－3y＝－4，
2 14 x＝－ ，y＝ . 11 11
2 14 ∴P 点的坐标为(－11，11)．
【活学活用】 1.在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 4x2 ＋y ＝1 在矩阵 的方程．
2
2 A＝ 0
0 对应的变换下得到曲线 F，求 F 1
的象． (1)直线l1，y＝2x； (2)直线l2，y＝－x； (3)正方形OABC，其中O(0，0)，A(2，1)，C(－1，2)．
【思路点拨】找准投影变换的矩阵是解决此类题目的关
键，另外注意运用数形结合的思想方法．
【自主解答】直线方程 y＝x 的一般式为 x－y＝0. 设 T：P(x，y)⇒P′(x′，y′)． 易知平面到直线 l：x－y＝0 的投影变换的矩阵为 1 1 2 2 ． 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 x＋2y x′ x′＝2x＋2y， x 2 2 2 ， ∴ ＝ ＝ 即 ① 1 1 y 1 1 1 1 y′ x＋ y y′＝ x＋ y 2 2 2 2 2 2
二、二阶矩阵与平面列向量的乘法 1．乘法规则 一般地，我们规定行矩阵 [a11
b11 a12] 与列矩阵 b ) 的乘法规则 21
b11 a11 a12 [a11 a12] b )＝[a11×b11＋a12×b21] 21 为 ， 二阶矩阵 a )与列向量 a 21 22 a11 a12 x0 a11×x0＋a12×y0 x0 a y ＝ a a × x ＋ a × y 21 22 0 ) 的乘法规则为 21 0 22 0 ． y 0
高二数学基本概念——第9章-矩阵和行列式初步复习进程
第9章 矩阵和行列式初步一、 矩阵9.1 矩阵的概念矩阵及其相关的概念1、矩形数表叫做矩阵矩阵中的每个数叫做矩阵的元素由个数排成的行列的数表n m ⨯m n ()n j m i a ij ,,2,1;,,2,1 ==mnm m nn a a a a a a a a a212222111211称为矩阵.n m ⨯记作⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A212222111211n m ij a ⨯=)(2、矩阵叫做方程组的系数矩阵。
⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1321它是2行2列的矩阵，记为22⨯A ，矩阵可简记为An m A ⨯注意: 矩阵的符号，是“（）”，不能是“| |”.列元素。
行第称为矩阵的第其中j i a ij 一般的记为大写字母A 、B 、C 、…等。
等，或者必要时可记为n m ij n m n m a B A ⨯⨯⨯)(,说明：通过对线性方程组的增广矩阵的变换可以得到线性方程组的解，这里所用的矩阵变换有下列三种：（1）互换矩阵的两行（2）把某一行同乘以（除以）一个非零常数（3）某行乘以一个数加到另一行通过上述三种矩阵变换，使线性方程组系数矩阵变成单位矩阵时，其增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。
9.2 矩阵的运算矩阵列的矩形表，称为一个行排列成一个个数由n m n m n j m i a n m ij ⨯==⨯),,2,1;,2,1( 111212122212.....................n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭记为列元素。
行第称为矩阵的第其中j i a ij 一般的记为大写字母A 、B 、C 、…等。
,()m n m n ij A B a ⨯⨯必要时可记为等，或者A=。
0m nO O ⨯所有元素均为的矩阵，称为零矩阵，记作或定义1一、复习定义2若两个矩阵A ，B 有相同的行数与相同的列数，并且对应的位置上的元素相等，则称矩阵A 与矩阵B 相等。
高中数学矩阵与变换知识点复习
建构数学
我们把a b 称为二阶行列式，它的运算结果 cd
是一个数值（或多项式），记为
det(A)= a
b ad bc
cd
用逆矩阵的知识理解二元一次方程组的求解过程.
ax by m
cx
dy
n
记 ： X y x ， B m n ,A a c d b 则
做沿y轴或x轴的垂直伸压变换矩阵.
伸压变换：
伸压变换矩阵对应的变换称为垂直伸压 变换,简称伸压变换.
一般地,称形如M1,M2,M3,M4,M5 这样的矩阵为反射变换矩阵,对应的变换 叫做反射变换,其中〔2〕叫做中心反射, 其余叫轴反射.其中定直线叫做反射轴, 定点称为反射点.
M<l1l2b> l1Ml2Mb
[定理1] 如果a是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量
,则对任意的非零常数t,ta也是矩阵A的属于特征 值l的特征向量.
属于矩阵的同一个特征值的特征向量共线.
[定理2] 属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线.
建构数学
【性质】
设 l1 、 l2 是二阶矩阵 M 的两个不同特征值， 1 、 2 是矩阵 A 的分别属于特征值 l1 、 l2 的特征向 量，对于平面上任意一个非零向量 b ，设
相应的变换称做投影变换.
<1>投影变换的几何要素: 投影方向, 投影到的某条直线L. <2>投影变换矩阵能反映投影变换的几何要素 <3>与投影方向平行的直线投影于L的情况是某个点 <4>投影变换是映射,但不是一一映射
切变变换
矩阵
1 0
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高二数学（理科）期末模拟试题
一、填空题：
1. 若x x C C +=17
27，则=x __________. 3．袋子中有6只大小型号完全一样的小球，其中红的有3只，黄的有2只，白的1只，现随机从中摸出1只小球，则摸不到黄球的概率为 . 6. 5
12x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的展开式中2x 的系数为____________. 7．()()34121x x +-展开式中x 的系数为____________.
8. 某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击,此人恰有两次击中目标的概率为_________.
9. 若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为__________.
10. 在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有__________个.
11. 若多项式=+++++++=+910102910102,)1()1()1(a x a x a x a a x x 则 ________.
12设*∈N n ,则=++++-12321666n n n n n n C C C C ___________. 13. 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有 种 ．
14. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有 个（用数字作答）．
二、解答题：
16. 若n x x )21
(4+)(*∈N n 展开式中前三项系数成等差数列，
（1）求展开式中第4项的系数和二项式系数；
（2）求展开式中的所有有理项．
17. 有4名同学准备利用假期到4个村庄进行社会实践调查，每个人都只去一个村庄，他们每个人事前并不知道其他同学的去向，问：
⑴ 共有多少种不同的去向结果？
⑵ 如果恰有一个村庄没有人去，有多少种不同的去向结果？
⑶ 如果恰有两个村庄没有人去，有多少种不同的去向结果？
18. 一袋子中装着标有数字1,2,3的小球各2个，共6个球，现从袋子中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球的数字之和．
求：（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）求随机变量ξ的概率分布及数学期望()E ξ．
19. 某校组织一次篮球投篮测试，已知甲同学每次投篮的命中率均为2
1. （1）若规定每投进1球得2分，甲同学投篮4次，求总得分X 的概率分布和数学期望。
（2）假设连续3次投篮未中或累计7次投篮未中，则停止投篮测试，问：甲同学恰好投篮10次，被停止投篮测试的概率是多少？
20. 一个袋中装有黑球，白球和红球共n (*n ∈N )个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25
．现从袋中任意摸出2个球． （1）若n =15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是47
，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望ξE ；
（2）当n 取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少?
高二数学（理科）期中模拟试题参考答案
一、填空题：
1. 1或2
2.. 2
3.
32 4. 40 5. 16 6. 52
7. 2 8. 12554 9. 1745 10. 24 11. －10 12. ()1761-n 13. 1320 14. 24
二、解答题：
15. 解：（1）基本事件(,)a b 共有36个，方程有正根等价于220,160,0a b ->->∆≥，即222,44,(2)a b a b >-<<-+≥16。
设“方程有两个正根”为事件A ，则事件A 包含的基本事
件为(6,1),(6,2),(6,3),(5,3)共4个，故所求的概率为41()369
P A ==； （2）试验的全部结果构成区域{(,)6,04}a b a b Ω=2≤≤≤≤，其面积为()16S Ω= 设“方程无实根”为事件B ，则构成事件B 的区域为
22{(,)6,04,(2)16}B a b a b a b =-+<2≤≤≤≤，其面积为21()444
S B ππ=⨯⨯= 故所求的概率为4()164
P B ππ==
16. 解：T 1+r =32)21(r n x
C r r n - （r=0，1，2，…n ） 前三项系数为 0n C 、112
n C 、214n C ∴20141n n n C C C +=，∴n =8 （1）第4项的系数为3381()72
C =， 二次项系数为3856C = (2) Z ∈4
3r -16 ∴r=0,4,8 ∴有理项 40081)21(x C T = x x C T 8354485)21(== 29256
1-=x T
17. 解：⑴共有25644=种去向结果．
⑵共有1443424=⋅A C 种不同的去向结果．
⑶ 共有2
414222424A C C C C ⋅+⋅⋅=84种不同的去向结果．
18．解：（1）记“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件”为A ， 则1112
2236C C C 2()C 5
P A == ． 所以取出的3个小球上的数字互不相同的概率为23． （2）由题意ξ可能的取值为4，5，6，7，8，
(4)P ξ==212236110C C C =， (5)P ξ==211222223615
C C C C C += ， 111222362(6)5C C C P C ξ===， (7)P ξ==122122223615C C C C C +=，
(8)P ξ==122236110
C C C =. 所以随机变量ξ的概率分布为
()4567861055510E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
19.
20. 解：（1）设袋中黑球的个数为x (个)，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件
A ，则2()155
x P A ==．∴6x =． 设袋中白球的个数为y (个)，记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B ，则2152154()17
y
C P B C -=-=， ∴2291200y y -+=， ∴5y =或24y =(舍)
． ∴红球的个数为15654--=(个)．
∴随机变量ξ的取值为0，1，2，分布列是
ξ的数学期望0122110535105
E ξ=⨯+⨯+⨯=． （2）设袋中有黑球z 个，则2(5,10,15,5
z n n ==…）． 设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C ，
则23521661()125251n n C P C C n =-=+⨯-， 当5n =时，()P C 最大，最大值为710
．。