高三数学期末试卷带答案
高三数学期末试卷带答案考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.若集合，则 ( )A ．B ．C ．D ．2.已知函数，若，则实数x 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3.已知那么 （ ）A ．B ．C ．D ．A=B4.“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b 2=ac”；“a,b,c 三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正确的有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5.若P ＝＋，Q ＝＋(a≥0)，则P ，Q 的大小关系( )A ．P>QB ．P ＝QC ．P<QD ．由a 取值决定6.已知函数，则A ．B ．C ．D ．7.下列命题中的真命题是 ( ) A ．,使得B ．C ．D ．8.已知函数有唯一的零点，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．或D ．或 9.为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A ．向右平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向左平移个单位 10.已知是圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值是（ ） A ．1 B ．0 C ． D ．11.已知双曲线C 1：的左准线l ，左右焦点分别为F 1、F 2，抛物线C 2的准线为l ，焦点为F 2，P 是C 1与C 2的一个交点，则|PF 2|= A ．40 B ．32 C ．8 D ．9 12.已知集合,.若,则实数的值是（ ）A ．B ．或C ．D ．或或13.已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．14.已知正数x ，y 满足的最大值为 （ ）A ．B ．C ．D ．15.对满足不等式组的任意实数，的最小值是（ ） A ．B ．0C ．1D ．616.若满足条件的整点恰有9个（其中整点是指横，纵坐标均为整数的点），则整数的值为（）A． B． C． D．017.已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象 ( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度18.函数的单调递增区间是（）A． B．(0,2 ) C．(1,4 ) D．(3, +∞)19.设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为()A．2 B．- C．4 D．-20.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD，为的中点，则A． B． C． D．二、填空题21.设向量，，且，则________.22.观察下列算式：13＝1，23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，……若某数n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则n＝________．23.(文)袋中有大小相同的5个白球和3个黑球,从中任意摸出4个,求至少摸出1个黑球的概率 .24.从双曲线的左焦点引圆的切线为，且交双曲线的右支于点，若点是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为__________． 25.已知在R 上是奇函数，且满足，当时，，则_______________26.已知实数条件，则2x +y 的最大值是_________;27.已知命题满足，命题满足，若是的必要条件，则的取值范围是 ． 28.等比数列的前n 项和为，已知成等差数列，则数列的公比为 ． 29.已知恒成立，则实数m 的最大值为 .30.定义区间的长度为,已知函数的定义域为,值域为,则区间长度的最大值为_______.三、解答题31.（本小题满分15分） 已知函数（I ）当的单调区间；（II ）若函数的最小值；（III ）若对任意给定的，使得的取值范围。
32. 如图，已知椭圆C ：+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F 、F ，A 是椭圆C 上的一点，AF ⊥F F ，O 是坐标原点，OB 垂直AF 于B ，且OF =3OB.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）求t ∈（0，b ），使得命题“设圆x +y =t 上任意点M （x ，y ）处的切线交椭圆C 于Q 、Q 两点，那么OQ ⊥OQ ”成立. 33.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点.（1）求抛物线的标准方程；（2）与圆相切的直线交抛物线于不同的两点若抛物线上一点满足，求的取值范围.34.在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB；（Ⅱ）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.35.已知数列为等差数列，且数列的前项和（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）设求数列的前项的和参考答案1 .C【解析】因为，则.本题选择C选项.2 .C【解析】略3 .A【解析】此题考查集合的运算解：，可以看出.答案：A4 .A【解析】数列0,0,0，0,……,是公差为0的等差数列。
但不是等比数列；等比数列是公比为的等比数列，是递增数列；但0,0,3不成等比数列；若成等差数列。
则若则输所以成等差数列；故选A.5 .C 【解析】假设P<Q，∵要证P<Q，只要证P2<Q2，只要证：2a＋7＋2<2a＋7＋2，只要证：a2＋7a<a2＋7a＋12，只要证：0<12，∵0<12成立，∴P<Q成立．6 .A【解析】本题考查反函数的概念，互为反函数的关系.若函数的反函数为则因为由解得所以故选A7 .B【解析】略8 .A【解析】函数为偶函数，在处有定义且存在唯一零点，所以唯一零点为，则，解得或，当时不合题意，故选A.9 .D【解析】故选D.10 .A【解析】试题分析：由题意得，，即为，其中为圆外点到圆心的距离，为半径，以内当取最小值时，的取值最小，可知的最小值为，故的最小值，故选A.考点：平面向量的数量积的运算；直线与圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查了平面向量的数量积的运算、直线与圆的位置关系，注意运用向量的平方即为模的平方，以及点到直线的距离公式，属于中档试题，着重考查了学生的推理、运算能力，本题的解答中运用向量的加减运算和数量积的性质，可得，在运用点到直线的距离公式，可得的最小值，进而得到结论.11 .D【解析】略12 .B【解析】试题分析：由可得，所以可取0或2考点：集合间的关系13 .C【解析】试题分析：依题意，，，.考点：交集的运算，对数不等式与二次不等式的解法.14 .B【解析】略15 .A【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC及其内部，且A（-1，-1），B（2，2），C（-1，5）．而目标函数可看作是可行域内的点（x，y）与点P（2，0）两点间的距离的平方再减4．易知三角形OBP为等腰直角三角形，显然过点P向AB作垂线交AB于点Q，则PQ 的长是点P与可行域内的点的距离的最小值且最小值为，所以目标函数z的最小值是．故选A．考点：线性规划求最值问题．【方法点睛】线性规划求最值和值域问题的步骤：（1）先作出不等式组表示的平面区域；（2）将线性目标函数看作是动直线在y轴上的截距；（3）结合图形看出截距的可能范围即目标函数z的值域；（4）总结结果．另外，常考非线性目标函数的最值和值域问题，仍然是考查几何意义，利用数形结合求解．例如目标函数为可看作是可行域内的点（x，y）与点（0，0）两点间的距离的平方；可看作是可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；本题目标函数可看作是可行域内的点（x，y）与点P（2，0）两点间的距离的平方再减4．16 .C【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图，要使整点恰有9个，即为，，，，，，，，，故整数的值为.故选C.考点：简单的线性规划，整点的含义.17 .B【解析】试题分析：因，故为了得到函数的图象，只要将的图象向右平移个单位长度考点：三角函数的性质18 .D【解析】分析：若求解函数f（x）的单调递增区间，利用导数研究函数的单调性的性质，对f（x）求导，令f′（x）＞0，解出x的取值区间，要考虑f（x）的定义域．解答：解：f′（x）=（x-4）′e x+（x-4）（e x）′=（x-3）e x，求f（x）的单调递增区间，令f′（x）＞0，解得x＞3，故选D．19 .C【解析】因为曲线y=g(x)在点(1,g (1))处的切线方程为y=2x+1,所以g'(1)=2.又f'(x)=g'(x)+2x,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)=g'(1)+2=4.20 .B【解析】试题分析：以为原点为x轴建立直角坐标系，所以各点坐标依次为,考点：向量运算点评：向量运算有两种思路：写出各点坐标，将向量转化为坐标，利用坐标实现向量的运算或借助于三角形法则，平行四边形法用有向线段来实现向量运算21 .【解析】试题分析：因为，所以，即，所以，，故应填.考点：1.向量的数量积与垂直的关系；2.向量的运算.22 .45【解析】观察所给算式的规律，我们发现：第一个式子的最后一个数为12＋0，第二个式子的最后一个数为22＋1，第三个式子的最后一个数为32＋2，…，所以第n个式子的最后一个数为n2＋n－1，而2013介于442＋43和452＋44之间，所以m＝4523 .【解析】略24 .【解析】设双曲线的右焦点为，O为坐标原点，，，，由双曲线的定义，，即，所以，所以双曲线的渐近线的方程为，即．25 .【解析】本试题主要是考查了抽象函数的奇偶性和周期性的运用。
因为在R上是奇函数，且满足，则周期为4，当时，，则，故答案为-2.解决该试题的关键是运用周期性和奇偶性将所求的变量转化为已知的定义域内。
26 .3【解析】略27 .【解析】试题分析：由条件知::,:,若是的必要条件,则,所以,解得．故正确答案为．考点：1．充分必要条件；2．解不等式．28 .【解析】试题分析：设等比数列的公比为则由成等差数列得：，因为所以而所以考点：等比数列29 .10【解析】由，得，即，；若恒成立，则，即，即数m的最大值为10.考点：基本不等式、不等式恒成立问题.30 .【解析】函数在（0,1）上递减，在（1，递增。
由图象特点得当时，区间度最大；所以区间长度的最大值为31 .（I）（II）（III）略【解析】解：（I）当…………1分由由…………3分故…………4分（II）因为上恒成立不可能，故要使函数上无零点，只要对任意的恒成立，即对恒成立。
北京市丰台区2023-2024学年高三上学期期末练习数学试卷含答案
丰台区2023～2024学年度第一学期期末练习高三数学（答案在最后）2024.01本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分选择题（共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{3,2,1,0,1,2}U =---，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，则()U A B ⋃=ð（）A.{3,2}-- B.{3,2,1,2}--C.{3,2,1,0,1}--- D.{3,2,1,0,2}---【答案】A【解析】【分析】由补集和并集的定义求解即可.【详解】因为{3,2,1,0,1,2}U =---，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，所以{}1,0,1,2A B ⋃=-，U ð(){}3,2A B ⋃=--.故选：A .2.若(1i)1i z -=+，则||z =（）A.iB.1C. D.2【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算法则进行运算，继而直接求模即可.【详解】因为(1i)1i z -=+，所以()()()()1i 1i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z +++====-+-，所以i 1z z =-=，，故选：B ．3.在6(2)x y -的展开式中，42x y 的系数为（）A.120- B.120C.60- D.60【答案】D【解析】【分析】求出6(2)x y -的通项，令2r =即可得出答案.【详解】6(2)x y -的通项为：()()66166C 2C 2r rr r r r r r T x y x y --+=-=-，令2r =可得：42x y 的系数为()226C 215460-=⨯=.故选：D .4.在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质．竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了．竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等．现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积129,,,a a a L （单位：L ）依次成等差数列，若1233a a a ++=，80.4a =，则129a a a +++= （）A.5.4B.6.3C.7.2D.13.5【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质及求和公式求解.【详解】∵129,,,a a a L 依次成等差数列，1233a a a ++=，∴233a =，即21a =，又80.4a =，则()()()81912299910.49 6.3222a a a a a a a +⨯+⨯+⨯+++==== .故选：B.5.已知直线y kx =与圆221x y +=相切，则k =（）A.1± B.C. D.2±【答案】B【解析】【分析】根据题意可得圆心(0,0)O 到0-=kx y 的距离等于半径1，即可解得k 的值．【详解】直线y kx =+即0-=kx y ，由已知直线y kx =+与圆221x y +=相切可得，圆221x y +=的圆心(0,0)O 到0kx y -=的距离等于半径1，1=，解得k =，故选：B ．6.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式π()tan 4f x x >的解集是（）A.{|20}x x -<< B.{|01}x x <<C.{|21}x x -<< D.{|12}x x -<<【答案】C【解析】【分析】利用正切型函数的图象与性质结合分段函数性质即可得到解集.【详解】设()πtan4h x x =，令π242k x k ππππ-<<+，且k ∈Z ，解得4242k x k -<<+，k ∈Z ，令0k =，则22x -<<，则()h x 在()2,2-上单调递增，()00h =1,1BC AC k k =-=，则2,02()2,20x x f x x x -+≤<⎧=⎨+-<<⎩，则当20x -<≤时，()0h x ≤，()0f x >，则满足()()f x h x >，即π()tan 4f x x >，当02x <<时，()11f =，且()f x 单调递减，()11h =，且()h x 单调递增，则()0,1x ∈时，()()f x h x >，即π()tan4f x x >；()1,2x ∈时，()()f x h x <，即()πtan 4f x x <；综上所述：π()tan4f x x >的解集为()2,1-，故选；C.7.在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板ABC 折起，使得二面角A BC D --为直二面角，得图2所示四面体ABCD ．小明对四面体ABCD 中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①CD ⊥平面ABC ；②AB ⊥平面ACD ；③平面ABD ⊥平面ACD ；④平面ABD ⊥平面BCD ．其中判断正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于①中，因为二面角A BC D --为直二面角，可得平面ABC ⊥平面BCD ，又因为平面ABC ⋂平面BCD BC =，DC BC ⊥，且DC ⊂平面BCD ，所以DC ⊥平面ABC ，所以①正确；对于②中，由DC ⊥平面ABC ，且AB ⊂平面ABC ，可得AB CD ⊥，又因为AB AC ⊥，且AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD ，所以②正确；对于③中，由AB ⊥平面ACD ，且AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面ACD ，所以③正确；对于④，中，因为DC ⊥平面ABC ，且DC ⊂平面BCD ，可得平面ABC ⊥平面BCD ，若平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面ABC AB =，可得AB ⊥平面BCD ，又因为BC ⊂平面BCD ，所以AB BC ⊥，因为AB 与BC 不垂直，所以矛盾，所以平面ABD 和平面BCD 不垂直，所以D 错误.8.已知,a b 是两个不共线的单位向量，向量c a b λμ=+r r r （,λμ∈R ）．“0λ>，且0μ>”是“()0c a b ⋅+> ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】举例验证必要性，通过向量的运算来判断充分性.【详解】当0λ>，且0μ>时，()()()()()22cos ,c a b a b a b a a b b a b λμλλμμλμλμ⋅+=+⋅+=++⋅+=+++ ()0λμλμ>+-+=，充分性满足；当()0c a b ⋅+> 时，()()cos ,c a b a b λμλμ⋅+=+++ ，当0λ>，0μ=时，()cos ,c a b a b λλ⋅+=+ 是可以大于零的，即当()0c a b ⋅+> 时，可能有0λ>，0μ=，必要性不满足，故“0λ>，且0μ>”是“()0c a b ⋅+>”的充分而不必要条件.故选：A .9.在八张亚运会纪念卡中，四张印有吉祥物宸宸，另外四张印有莲莲．现将这八张纪念卡平均分配给4个人，则不同的分配方案种数为（）A.18B.19C.31D.37【答案】B【分析】设吉祥物宸宸记为a ，莲莲记为b ，将这八张纪念卡分为四组，共有3种分法，再分给四个人，分别求解即可.【详解】设吉祥物宸宸记为a ，莲莲记为b①每人得到一张a ，一张b ，共有1种分法；②将这八张纪念卡分为()()()(),,,,,,,a a a a b b b b 四组，再分给四个人，则有2242C C 6=种分法③将这八张纪念卡分为()()()(),,,,,,,a b a a a b b b 四组，再分给四个人，则有2142C C 12=种分法共有：161219++=种.故选：B .10.已知函数2()||2||f x x a x =++，当[2,2]x ∈-时，记函数()f x 的最大值为()M a ，则()M a 的最小值为（）A.3.5B.4C.4.5D.5【答案】C【解析】【分析】先利用函数的奇偶性，转化为求()f x 在[]0,2上的最大值；再根据a 的取值范围的不同，讨论函数()f x 在[]0,2上的单调性，求函数()f x 的最大值.【详解】易判断函数()f x 为偶函数，根据偶函数的性质，问题转化为求函数()22f x x a x =++，[]0,2x ∈上的最大值()M a .当0a ≥时，()22f x x x a =++，二次函数的对称轴为1x =-，函数在[]0,2上单调递增，所以()()288M a f a ==+≥；当10a -≤<时，()222,022x x a x f x x x ax ⎧-+-≤≤⎪=⎨++≤⎪⎩，1≤，所以()f x在⎡⎣上递增，在2⎤⎦上也是递增，所以()()287M a f a ==+≥；当41a -<<-时，()222,022x x a x f x x x ax ⎧-+-≤≤⎪=⎨++≤⎪⎩，因为12<<，所以()f x 在[]0,1上递增，在(上递减，在2⎤⎦上递增，所以()()11M a f a ==-或()()28M a f a ==+，若18a a -≥+⇒742a -≤≤-，则()()9112M a f a ==-≥；若18a a -<+⇒712a -<<-，则()()9282M a f a ==+>;当4a ≤-时，()22f x x x a =-+-，[]0,2x ∈2≥），所以函数()f x 在[]0,1上递增，在(]1,2上递减，所以()()115M a f a ==-≥.综上可知：()M a 的最小值为92.故选：C【点睛】关键点点睛：问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题，然后讨论函数在给定区间上的单调性，从而求最大值.认真分析函数的单调性是关键.第二部分非选择题（共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.双曲线2214x y -=的渐近线方程________．【答案】12y x =±【解析】【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【详解】∵双曲线2214x y -=的a=2，b=1，焦点在x 轴上而双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y=±b x a ∴双曲线2214x y -=的渐近线方程为y=±12x故答案为y=±12x 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想12.已知()44x x f x -=-，则11(()22f f -+=___．【答案】0【解析】【分析】由解析式直接代入求解即可.【详解】因为1122113()442222f -=-=-=，1122113()442222f --=-=-=-，所以11((022f f -+=.故答案为：0.13.矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，且,E F 分为,BC CD 的中点，则AE EF ⋅= ___．【答案】74-##-1.75【解析】【分析】以A 为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，求出,AE EF ，由数量积的坐标表示求解即可.【详解】以A 为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，()()()()()10,0,2,0,2,1,0,1,2,,1,12A B C D E F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以112,,1,22AE EF ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()11172122244AE EF ⋅=⨯-+⨯=-+=- .故答案为：74-.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角(0π)αα<<的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆O 交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ．若记点M 到直线OP 的距离为()f α，则()f α的极大值点为___，最大值为___．【答案】①.π4或3π4②.12##0.5【解析】【分析】根据三角函数的概念得(cos ,sin )P αα及,,OP OM MP ，利用面积法求得()f α，根据α的范围及三角函数的性质讨论()f α的单调性，进而求得答案.【详解】由题意(cos ,sin )P αα，1,cos ,sin OP OM MP αα===，由()1122OP f OM MP α⋅=⋅，得()1πsin 2,0122cos sin sin cos sin 21π2sin 2,π22f αααααααααα⎧<<⎪⎪=⋅===⎨⎪-<<⎪⎩，∴当π04α<<时，()f α单调递增；当ππ42α<<时，()f α单调递减；当π3π24α<<时，()f α单调递增；当3ππ4α<<时，()f α单调递减，则()f α的极大值点为π4或3π4，∵0πα<<，022πα<<，∴当sin 21α=±，即π4α=或3π4α=时，()f α取最大值为12．故答案为：π4或3π4；12.15.在平面直角坐标系内，动点M 与定点(0,1)F 的距离和M 到定直线:3l y =的距离的和为4．记动点M 的轨迹为曲线W ，给出下列四个结论：①曲线W 过原点；②曲线W 是轴对称图形，也是中心对称图形；③曲线W 恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）；④曲线W 围成区域的面积大于则所有正确结论的序号是___．【答案】①③④【解析】【分析】根据题目整理方程，分段整理函数，画出图象，可得答案.【详解】设(),M x y ，则MF =，M 到直线l 的距离3d y =-，34y +-=，222(1)(43)x y y +-=--，22221168369x y y y y y +-+=--+-+，224483x y y =---，当3y ≥时，2214812412x y y x =-=-+，，则2214312,12x x x -+≥≤-≤≤，当3y <时，22144x y y x ==，，则2134x <，212x <，x -<<可作图如下：由图可知：曲线W 过原点，且是轴对称图形，但不是中心对称图形，故①正确，②错误；曲线W 经过()()()()0,02,10,42,1O A C E -，，，4个点，没有其它整点，故③正确；由()B ，()D -，()0,3F ，四边形AFEO 的面积113462S =⨯⨯=，122ABF EFD S S ==⨯= ，112BCD S =⨯⨯= ，多边形ABCDEO 的面积626S =+⨯=+曲线W 围成区域的面积大于，故④正确.故答案为：①③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在△ABC 中，a =，2π3A =．（1）求C 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求出AC 边上的中线的长度．条件①：2a b =；条件②：△ABC 的周长为4+ABC 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π6（2【解析】【分析】（1）由正弦定理可解得；（2）条件②由余弦定理可得；条件③由三角形的面积公式和余弦定理可得.【小问1详解】在ABC 中，因为sin sin a cA C=，又a =，所以sin A C =．因为2π3A =，所以1sin 2C =．因为π03C <<，所以π6C =．【小问2详解】选择条件②：因为ABC 中，2π3A =，π6C =，πA B C ++=，所以π6B =，即ABC 为等腰三角形，其中b c =．因为a =，所以24a b c b ++=+=+．所以2b =．设点D 为线段AC 的中点，在ABD △中，1AD =．因为ABD △中，2222cos BD AB AD AB AD BAD=+-⋅∠22221221cos73π=+-⨯⨯⨯=，所以7BD =AC 7．选择条件③：因为ABC 中，2π3A =，π6C =，πA B C ++=，所以π6B =，即ABC 为等腰三角形，其中b c =．因为ABC 的面积为312πsin 323ABC S bc ∆==，所以2b c ==．设点D 为线段AC 的中点，在ABD △中，1AD =．因为ABD △中，2222cos BD AB AD AB AD BAD=+-⋅∠22221221cos73π=+-⨯⨯⨯=，所以7BD =AC 7．由题可知3a b =，故①不合题意.17.如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AD PA =，点E 为PA 中点．（1）求证：AD //平面BCE ；（2）点Q 为棱BC 上一点，直线PQ 与平面BCE 所成角的正弦值为515，求BQ BC 的值．【答案】（1）证明见解析（2）12BQ BC =【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可得Q 的坐标，即可得解.【小问1详解】因为正方形ABCD 中，//BC AD ．因为BC ⊂平面BCE ，AD ⊄平面BCE ，所以//AD 平面BCE ．【小问2详解】因为PA ⊥底面ABCD ，正方形ABCD 中AB AD ⊥，分别以,,AB AD AP的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，如图不妨设2PA =，因为AD PA =，点E 为PA 的中点，点Q 为棱BC 上一点，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,0,1)E ，(0,0,2)P ，(2,,0)Q m (02)m ≤≤．所以(0,2,0)BC = ，(2,0,1)BE =- ，(2,,2)PQ m =-．设(,,)n x y z =为平面BCE 的法向量，则BCn ⊥ ，BE n ⊥．所以2020BC n y BE n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得102x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以(1,0,2)n = ．设直线PQ 与平面BCE 所成角为θ，则sin cos ,15PQ n PQ n PQ n θ⋅==== ，解得21m =，因为02m ≤≤，所以1m =，所以12BQ BC =．18.2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹．某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异．在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值a ，将该指标小于a 的人判定为阳性，大于或等于a 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p a ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q a ．假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率．（1）当临界值20a =时，求漏诊率()p a 和误诊率()q a ；（2）从指标在区间[20,25]样本中随机抽取2人，记随机变量X 为未患病者的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）在该地患病者占全部人口的5%的情况下，记()f a 为该地诊断结果不符合真实情况的概率．当[20,25]a ∈时，直接写出使得()f a 取最小值时的a 的值．【答案】（1）(20)0.1p =，(20)0.05q =（2）分布列见解析；期望为65（3）20a =【解析】【分析】（1）由频率分布直方图计算可得；（2）利用超几何分布求解；（3）写出()f a 的表达式判单调性求解.【小问1详解】由频率分布直方图可知(20)0.0250.1p =⨯=，(20)0.0150.05q =⨯=．【小问2详解】样本中患病者在指标为区间[20,25]的人数是200.0252⨯⨯=，未患病者在指标为区间[20,25]的人数是200.0353⨯⨯=，总人数为5人．X 可能的取值为0，1，2．202325C C 1(0)10C P X ===，112325C C 3(1)C 5P X ===，022325C C 3(2)10C P X ===．随机变量X 的分布列为X012P11035310随机变量X 的期望为1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】由题，()()()95%5%f a q a p a =⨯+⨯，[20,25]a ∈时，令()20,0,1,2,3,4,5a t t =+=()()50.010.03,50.020.0255t t q a p a ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()()50.010.0395%50.020.025%55t t f a g t ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，关于t 的一次函数系数为()50.0319%0.021%0⨯-⨯>，故()g t 单调递增，则0=t 即20a =时()f a 取最小值19.已知函数2()e ()x f x x ax a =--．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求实数a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间．【答案】（1）1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）先求函数()f x 的导函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，只需保证()01f '=，求实数a 的值即可；（2）求得()0f x '=有两个根“2x =-和x a =”，再分2a <-、2a =-和2a >-三种情况分析函数()f x 的单调性即可.【小问1详解】由题可得2()e [(2)2]x f x x a x a '=+--，因为()f x 在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，所以()01f '=，即e(33)0a -=，解得1a =，经检验1a =符合题意．【小问2详解】因为2()e [(2)2]x f x x a x a '=+--，令()0f x '=，得2x =-或x a =．当2a <-时，随x 的变化，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x(,)a -∞a(,2)a -2-(2,)-+∞()f 'x +-+()f x 单调递增()f a 单调递减(2)f -单调递增所以()f x 在区间(,)a -∞上单调递增，在区间(,2)a -上单调递减，在区间(2,)-+∞上单调递增．当2a =-时，因为2()e (2)0x f x x '=+≥，当且仅当2x =-时，()0f x '=，所以()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增．当2a >-时，随x 的变化，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x(,2)-∞-2-(2,)a -a(,)a +∞()f 'x +-+()f x 单调递增(2)f -单调递减()f a 单调递增所以()f x 在区间(,2)-∞-上单调递增，在区间(2,)a -上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增．综上所述，当2a <-时，()f x 的单调递增区间为(,)a -∞和(2,)-+∞，单调递减区间为(,2)a -；当2a =-时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当2a >-时，()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(,)a +∞，单调递减区间为(2,)a -．20.已知椭圆22:143x y E +=．（1）求椭圆E 的离心率和焦点坐标；（2）设直线1:l y kx m =+与椭圆E 相切于第一象限内的点P ，不过原点O 且平行于1l 的直线2l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，点A 关于原点O 的对称点为C ．记直线OP 的斜率为1k ，直线BC 的斜率为2k ，求12k k 的值．【答案】（1）离心率为12，焦点坐标分别为(1,0)-，(1,0)（2）121k k =【解析】【分析】（1）根据椭圆方程直接求出离心率与焦点坐标；（2）根据直线1l 与椭圆E 相切求出P 坐标并得到134k k=-，法一：设直线2l 的方程为y kx n =+，由韦达定理求出234k k=-证得结论．法二：记1122(,),(,)A x y B x y ，由点差法求2k k ⋅可证得结论．【小问1详解】由题意得2222243a b c a b ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．所以椭圆E 的离心率为12c e a ==，焦点坐标分别为(1,0)-，(1,0)．【小问2详解】由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：222()4384120k x kmx m +++-=①其判别式Δ0=得222(8)4(43)(412)0km k m -+-=，化简为2243m k =+．此时方程①可化为2228160m x kmx k ++=，解得4kx m=-，(由条件知,k m 异号)．记00(,)P x y ，则04k x m=-，所以220443()k m k y k m m m m -=-+==，即点43(,)k P m m -．所以OP 的斜率13344m k k k m==--．法一：因为12//l l ，所以可设直线2l 的方程为(0,)y kx n n n m =+≠≠．由22,143y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：222(43)84120k x knx n +++-=．当其判别式大于零时，有两个不相等的实根，设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212228412,4343kn n x x x x k k -+=-=++．因为C 是A 关于原点O 的对称点，所以点C 的坐标为11(,)C x y --．所以直线BC 的斜率22121221212122243384443y y kx n kx n n n k k k k k kn x x x x x x k k k +++++===+=+=-=-+++-+．所以121k k =．法二：记1122(,),(,)A x y B x y ，因为点C 与点A 关于原点对称，所以11(,)C x y --．因为12//l l ，所以直线AB 的斜率为k ，所以22212121222212121y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-．因为点,A B 在椭圆上，所以2211143x y +=，2222143x y+=．两式相减得：22222121043x x y y --+=．所以2221222134y yx x-=--，即234k k⋅=-，所以234kk=-．所以121kk=．【点睛】方法点睛：将P视为1l与椭圆相交弦中点，由中点弦定理得212bk ka⋅=-，设AB中点为M，由中点弦定理得22OMbk ka⋅=-，由2OMk k=得222bk ka⋅=-，故12k k=.21.对于数列{}n a，如果存在正整数T，使得对任意*()n n∈N，都有n T na a+=，那么数列{}na就叫做周期数列，T叫做这个数列的周期．若周期数列{}n b，{}n c满足：存在正整数k，对每一个*(,)i i k i∈N≤，都有i ib c=，我们称数列{}n b和{}n c为“同根数列”．（1）判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；①sinπna n=；②121,1,3,2,, 3.nn nnb nb b n--=⎧⎪==⎨⎪-≥⎩（2）若{}n a和{}n b是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：6k≤；（3）若{}n a和{}n b是“同根数列”，且周期的最小值分别是2m+和4m+*()m∈N，求k的最大值．【答案】（1）{}n a、{}n b均是周期数列，数列{}n a周期为1（或任意正整数），数列{}n b周期为6（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由周期数列的定义求解即可；（2）由“同根数列”的定义求解即可；（3）m是奇数时，首先证明25k m+≥不存在数列满足条件，其次证明24k m=+存在数列满足条件.当m 是偶数时，首先证明24k m+≥时不存在数列满足条件,其次证明23k m=+时存在数列满足条件．【小问1详解】{}n a 、{}n b 均是周期数列，理由如下：因为1sin (1)π0sin πn n a n n a +=+===，所以数列{}n a 是周期数列，其周期为1（或任意正整数）．因为32111n n n n n n n b b b b b b b +++++=-=--=-，所以63n n n b b b ++=-=．所以数列{}n b 是周期数列，其周期为6（或6的正整数倍）．【小问2详解】假设6k ≤不成立，则有7k ≥，即对于17i ≤≤，都有i i a b =．因为71a a =，722b b a ==，所以12a a =．又因为63a a =，611b b a ==，所以13a a =．所以123a a a ==，所以1=n n a a +，与1T 的最小值是3矛盾．所以6k ≤．【小问3详解】当m 是奇数时，首先证明25k m +≥不存在数列满足条件．假设25k m +≥，即对于125i m +≤≤，都有i i a b =．因为()54m t m t a b t m ++=≤≤+，所以()24454t t t a b a t m ---==≤≤+，即1352m a a a a +==== ，及2461m a a a a +==== ．又5t m =+时，12(2)12511m m m m a a b b a +++++====，所以1=n n a a +，与1T 的最小值是2m +矛盾．其次证明24k m =+存在数列满足条件．取(2)31,=21(1)212,2(1)2m l im i k k a m i k k +++⎧-≤≤⎪⎪=⎨+⎪=≤≤⎪⎩()l ∈N及()431,=21(1)212,2(1)21,32,4m l i m i k k m i k k b i m i m +++⎧-≤≤⎪⎪+⎪=≤≤=⎨⎪=+⎪⎪=+⎩()l ∈N ，对于124i m +≤≤，都有i i a b =．当m 是偶数时，首先证明24k m +≥时不存在数列满足条件．假设24k m +≥，即对于124i m +≤≤，都有i i a b =．因为()53m t m t a b t m ++=≤≤+，所以()24453t t t a b a t m ---==≤≤+，即1351m a a a a +==== ，及246m a a a a ==== ．又4t m =+时，2m m m a b a +==，所以2=n n a a +，与1T 的最小值是2m +矛盾．其次证明23k m =+时存在数列满足条件．取()221,=21(1)22,2(1)23,2m l i m i k k a m i k k i m +++⎧-≤≤⎪⎪=⎨=≤≤⎪⎪=+⎩()l ∈N 及()421,=21(1)22,2(1)23,21,32,4m l im i k k m i k k b i m i m i m +++⎧-≤≤⎪⎪⎪=≤≤⎪=⎨⎪=+⎪=+⎪⎪=+⎩()l ∈N ，对于123i m +≤≤，都有i i a b =．综上，当m 是奇数时，k 的最大值为24m +；当m 是偶数时，k 的最大值为23m +．【点睛】关键点睛：本题(3)的突破口是利用“同根数列”的定义分类讨论，当m 是奇数时，首先证明25k m +≥不存在数列满足条件，其次证明24k m =+存在数列满足条件.当m 是偶数时，首先证明24k m +≥时不存在数列满足条件，其次证明23k m =+时存在数列满足条件．。
2023-2024学年广东省珠海市珠海一中高三(上)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年广东省珠海一中高三（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|1<2x≤16}，则A∩N的元素个数为( )A. 3B. 4C. 5D. 62.已知复数z=(1−i)3，则−z在复平面对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列推断正确的是( )A. 若m⊂α，n与α相交，则m与n异面B. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//nC. 若α⊥β，m⊥α，则m//βD. 若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β4.设等比数列{a n}的前n项积为T n，设甲：{T n}为递增数列，乙：{a n}为递增数列，则( )A. 甲是乙的充要条件B. 甲是乙的充分条件但不是必要条件C. 甲是乙的必要条件但不是充分条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5.已知sinα−cosα=23,0<α<π,则sin3α+cos3α=( )A. 131454B. −131454C. 131427D. −1314276.已知直角三角形ABC的面积为S，AB=2BC，AB⊥BC，D、E分别在边AB、AC上，满足DE=λBC(0<λ<1)，若BE⋅CD=139S，则λ=( )A. 13B. 23C. 14D. 347.若整数a，b，c，d满足a+b+c+d=2024，则满足条件“a≥2，b≥0，c≥2，d≥4”的数组(a,b,c,d)的个数为( )A. C42019B. C32019C. C42020D. C320208.若动直线2x+y+m=0交曲线y=e x于点A，交直线y=x于点B，则|AB|的最小值为( )A. 13B. 23C. 53D. 253二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2023-2024学年江苏省苏州市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |log 2x ＜1}，N ＝{x |x ＞1}，则集合{x |0＜x ≤1}＝（ ） A ．M ∪NB ．M ∩NC ．（∁U M ）∩ND ．（∁U N ）∩M2．设i 为虚数单位，复数z 满足（3﹣i ）z ＝4+2i ，则|z |＝（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．43．2023年9月28日，沪宁沿江高速铁路开通运营，形成上海至南京间的第二条城际高速铁路，沪宁沿江高速铁路共设8座车站（如图）．为体验高铁速度，游览各地风光，甲乙两人准备同时从南京南站出发，甲随机选择金坛、武进、江阴、张家港中的一站下车，乙随机选择金坛、武进、江阴、张家港、常熟中的一站下车．已知两人不在同一站下车，则甲比乙晚下车的概率为（ ）A ．320B ．14C ．120D ．384．已知函数f （x ）＝cos （ωx +π3）+1（ω＞0）的最小正周期为π，则f （x ）在区间[0，π2]上的最大值为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．25．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =π2，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，以下底BC 所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ） A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π6．在平面直角坐标系xOy 中，已知A 是圆C 1：x 2+（y ﹣3）2＝1上的一点，B ，C 是圆C 2：（x ﹣4）2+y 2＝4上的两点，则∠BAC 的最大值为（ ） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π37．已知正实数a ，b ，c 满足2a+1a=2a ﹣a ，3b+1b =3b ﹣b ，4c+1c=4c ﹣c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜a ＜c8．若sin π10是函数f （x ）＝ax 3﹣bx +1（a ，b ∈N *）的一个零点，则f （1）＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年四川省成都外国语学校高三(上)期末数学试卷(理科)(含答案)
2023-2024学年四川省成都外国语学校高三（上）期末数学试卷（理科）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x ∈N ∗|x 2−5x ≤0}，B ={x ∈Z||x−1|<2}，则A ∩B =( )A. {0,1,2,3,4,5}B. {0,1,2}C. {1,2}D. {1,2,3,4,5}2.命题：“∀x ∈R ，x 2−x +2≥0”的否定是( )A. ∃x ∈R ，x 2−x +2≥0B. ∀x ∈R ，x 2−x +2≥0C. ∃x ∈R ，x 2−x +2<0D. ∀x ∈R ，x 2−x +2<03.已知i 为虚数单位，复数z 满足zi−i =z +1，则|z +1|=( )A. 2 B. 1 C. 5 D. 24.已知向量a =(−1,2),b =(1,−2λ)，若a //(a−b )，则实数λ的值为( )A. 1B. 0C. 43D. −235.设函数f(x)满足对∀x ∈R ，都有f(−x)=f(x)，且在(0,+∞)上单调递增，f(2)=0，g(x)=x 2，则函数y =f(x)g(x)的大致图象是( )A. B.C. D.6.已知x 和y 满足约束条件{y ≥0x +2y +1<0x +y +2>0，则y−2x−1的取值范围为( )A. (0,14) B. (14,12) C. (14,1) D. (12,1)7.随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为13，13，13，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为14，15，16，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是( )A. 1237B. 1537C. 35D. 478.等腰直角三角形ABC 中，A =90°，该三角形分别绕AB ，BC 所在直线旋转，则2个几何体的体积之比为( )A. 1： 2B. 2：1C. 1：2D. 2：19.在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若a−c =bcosC−bcosA ，则△ABC 的形状为( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形10.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，其导函数为f′(x)，若xf′(x)−1<0.f(e)=2，则关于x 的不等式f(e x )<x +1的解集为( )A. (0,1)B. (1,e)C. (1,+∞)D. (e,+∞)11.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A ⋅F 1B =0，F 2B =−F 2A ，则双曲线C 的离心率为( )A. 3+12B. 3+1C. 5+12D. 5+112.已知log 6a =14，log 4b =13，c =(1+e )1e ，则( )A. a <b <cB. b <c <aC. b <a <cD. a <c <b 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年山东省德州市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省德州市高三（上）期末数学试卷一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．设集合U＝R，集合M＝{x||x|＜2}，N＝{x|y＝lg（1﹣x）}，则（∁U M）∩N＝（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣2]C．（﹣∞，1）∪[2，+∞）D．（2，+∞）2．已知复数z=2i，则|z﹣2i|＝（）1+iA．√2B．2C．√5D．53．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：30，31，37，m，42，60；乙组：28，n，33，44，48，70，若这两组数据的第30百分位数，第50百分位数都分别对应相等，则m+n＝（）A．60B．65C．70D．714．设点P是直线3x﹣4y+7＝0上的动点，过点P引圆C：（x﹣1）2+y2＝3的切线P A，PB（切点为A，B），则当∠APB取最大值时，|PC|＝（）A．1B．2C．3D．45．米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具，鉴于其储物功能和吉祥富足的寓意，现今多在超市、粮店等广泛使用．如图为一个正四棱台形米斗（忽略其厚度），其上、下底面边长分别为30√2cm，20√2cm，侧棱长为2√61cm，若将该米斗盛满大米（沿着上底面刮平后不溢出），设每立方分米的大米重0.8千克，则该米斗盛装大米约（）A．6.08千克B．10.16千克C．12.16千克D．11.16千克6．已知函数f（x）＝2sin x﹣2x，若对任意m∈[﹣2，2]，f（ma﹣8）+f（a2）＞0恒成立，则a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）7．设函数f(x)=sin(ωx−π)(ω＞0)在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（）3A ．10π9B ．32π27C ．4π3D ．25π188．在三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，△P AC 是边长为2的正三角形，二面角P ﹣AC ﹣B 的大小为150°，则三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为（ ） A ．28π3B ．52π9C ．28√21π27D ．52√13π81二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．下列四个表述中，正确的是（ ）A ．设有一个回归直线方程y =3−5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位B ．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高C ．在一个2×2列联表中，根据表中数据计算得到K 2的观测值k ，若k 的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大D ．具有相关关系的两个变量x ，y 的相关系数为r ，那么|r |越接近于0，则x ，y 之间的线性相关程度越高10．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是（ ） A ．点A 1到DC 1的距离为√62B ．面BC 1D 与面AB 1D 1的距离为√33C ．直线A 1C 1与平面ABC 1D 1所成的角为π3 D ．点A 1到平面BC 1D 的距离为√2211．双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 23−y 2=1的左，右焦点，过C 右支上一点A (x 0，y 0)(x 0＞√3)作双曲线的切线交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，则（ ） A ．平面上点B （4，1），|AF 2|+|AB |的最小值为√37−2√3B ．直线MN 的方程为xx 0﹣3yy 0＝3C ．过点F 1作F 1H ⊥AM ，垂足为H ，则|OH |＝2（O 为坐标原点）D ．四边形AF 1NF 2面积的最小值为412．已知定义域为（0，+∞）的函数f （x ）满足f （x ）+xf '（x ）＝e x ，f '（1）＝1，数列{a n }的首项为1，且f(a n+1)=f(a n )−1a n+1，则（ ） A ．f （ln 2）＝log 2e B ．f （x ）≥1 C ．a 2023＜a 2024D ．0＜a n ≤1三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．在(1−√2x)6的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为 ．14．已知平行四边形ABCD 中，DE →=12DC →，若AE →=λAC →+μBD →，则λ﹣μ＝ ．15．若直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 且与抛物线交于A 、B 两点，AB 的中垂线交对称轴于点D ，则|AB||DF|= ．16．已知函数f （x ）＝e x +alnx ﹣x a ﹣x （a ＞0），若f （x ）≥0对∀x ∈（1，+∞）恒成立，则实数a 的取值范围为 ．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝3，S 5＝20，数列{b n }的前n 项和T n 满足关系式T n =1−b n (n ∈N ∗)．（1）求数列{a n }、{b n }的通项公式； （2）求数列{a n •b n }的前n 项和R n ．18．（12分）在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，a ＝c •cos B 且cosB =c−a2a． （1）求B 的大小；（2）若c ＝3，D 为AB 边上一点，且AD ＝1，求sin ∠BCD ．19．（12分）如图，在四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB =π3，A 1D ＝A 1B ，A 1B 1＝CC 1＝1，AA 1＝2，点E 分别为BC 的中点． （1）证明：直线B 1E ∥面A 1AC ； （2）求二面角C 1﹣BB 1﹣A 的余弦值．20．（12分）已知椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，且过焦点垂直于x 轴的弦长为1．左顶点为B ，定点C （4，0），过点C 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，直线BP 、BQ 分别与y 轴交于M 、N 两点． （1）求椭圆方程；（2）试探究|OM |•|ON |是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．21．（12分）某市号召市民尽量减少开车出行，以绿色低碳的出行方式支持节能减排．原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天在骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种方式出行．从即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式上班，随后每天用“一次性抛掷4枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式．（1）设P n(n∈N∗)表示事件“第n天王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率．①求P3；②用P n﹣1表示P n（n≥2）；（2）依据P n值，阐述说明王先生的这种随机选择出行方式是否积极响应市政府的号召．22．（12分）已知常数a＞0，函数f(x)=ln(2+ax)−2x．x+2（1）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．2023-2024学年山东省德州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．设集合U＝R，集合M＝{x||x|＜2}，N＝{x|y＝lg（1﹣x）}，则（∁U M）∩N＝（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣2]C．（﹣∞，1）∪[2，+∞）D．（2，+∞）解：集合M＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，∴∁U M＝{x|x≤﹣2或x≥2}，又∵N＝{x|y＝lg（1﹣x）}＝{x|x＜1}，∴（∁U M）∩N＝{x|x≤﹣2}．故选：B．2．已知复数z=2i1+i，则|z﹣2i|＝（）A．√2B．2C．√5D．5解：z=2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i，则|z﹣2i|＝|1+i﹣2i|=√2．故选：A．3．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：30，31，37，m，42，60；乙组：28，n，33，44，48，70，若这两组数据的第30百分位数，第50百分位数都分别对应相等，则m+n＝（）A．60B．65C．70D．71解：因为6×30%＝1.8，6×50%＝3，则由题意甲组数据的第30百分位数为31，乙组数据的第30百分位数为n，所以n＝31；甲组数据的第50百分位数为37+m2，乙组数据的第50百分位数为33+442=772，所以37+m2=772，解得m＝40，则m+n＝40+31＝71．故选：D．4．设点P是直线3x﹣4y+7＝0上的动点，过点P引圆C：（x﹣1）2+y2＝3的切线P A，PB（切点为A，B），则当∠APB取最大值时，|PC|＝（）A．1B．2C．3D．4解：若∠APB取最大值，则∠APC=12∠APB亦取最大，又P A与圆C相切，故P A⊥AC，故sin∠APC=|AC||PC|，由|AC|＝r，故需|PC|取最小，又点P是直线3x﹣4y+7＝0上的动点，故|PC|最小为点C到直线3x﹣4y+7＝0的距离，由C：（x﹣1）2+y2＝3，可得C（1，0），故d=√3+4=105=2，即|PC|＝2．故选：B．5．米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具，鉴于其储物功能和吉祥富足的寓意，现今多在超市、粮店等广泛使用．如图为一个正四棱台形米斗（忽略其厚度），其上、下底面边长分别为30√2cm，20√2cm，侧棱长为2√61cm，若将该米斗盛满大米（沿着上底面刮平后不溢出），设每立方分米的大米重0.8千克，则该米斗盛装大米约（）A．6.08千克B．10.16千克C．12.16千克D．11.16千克解：设该正棱台为ABCD﹣A1B1C1D1，其中上底面为ABCD，取对角面为AA1C1C，由题意得四边形AA1C1C为等腰梯形，如图，∵上、下底面边长分别为30√2cm，20√2cm，侧棱长为2√61cm，且AC＝60，A1C1＝40，AA1＝CC1＝2√61，分别过点A1，C1作A1E⊥AC，C1F⊥AC，垂足分别为E，F，可得EF＝A1C1＝40，由等腰梯形的几何性质，可得AA1＝CC1，∵∠A1AE＝∠C1CF，∠AEA1＝∠CFC1＝90°，∴Rt△AA1E≌Rt△CC1F，∴AE＝CF=AC−EF2=10，∴A1E=√AA12−AE2=12，即棱台的高为12cm，∴该米斗的体积为V=13×[（20√2）2+（30√2）2+√(20√2)2+(30√2)2]×12＝15200cm3＝15.2（立方分米），∴该米斗所成大米的质量为15.2×0.8＝12.16（千克）．故选：C．6．已知函数f（x）＝2sin x﹣2x，若对任意m∈[﹣2，2]，f（ma﹣8）+f（a2）＞0恒成立，则a的取值范围是（）A ．（﹣2，2）B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C ．（﹣1，1）D ．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）解：由题意得函数定义域为R ，f （﹣x ）＝2sin （﹣x ）+2x ＝﹣2（sin x ﹣x ）＝﹣f （x ），即f （x ）是奇函数， f '（x ）＝2（cos x ﹣1）≤0，即f （x ）在R 上单调递减，对任意m ∈[﹣2，2]，f （ma ﹣8）+f （a 2）＞0恒成立，即f （ma ﹣8）＞﹣f （a 2）＝f （﹣a 2）， ∴ma ﹣8＜﹣a 2对任意m ∈[﹣2，2]恒成立，即ma ﹣8+a 2＜0， 令g （m ）＝ma ﹣8+a 2，m ∈[﹣2，2]，∴{g(−2)＜0g(2)＜0，即{−2a −8+a 2＜02a −8+a 2＜0，解得﹣2＜a ＜2，∴a 的取值范围是（﹣2，2）． 故选：A ．7．设函数f(x)=sin(ωx −π3)(ω＞0)在[﹣π，π]的图象大致如图，则f （x ）的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．32π27C ．4π3D ．25π18解：根据f(x)=sin(ωx −π3)(ω＞0)在[﹣π，π]的图象，∵图象过点（−4π9，0）， ∴ω×（−4π9）−π3=k π（k ∈Z ），解得ω=−9k+34（k ∈Z ）， 设函数的最小正周期为T ，由函数的图象得12T ＞−4π9−（﹣π）=5π9，T ＜π﹣（−4π9）=13π9，即10π9＜T ＜13π9，∴10π9＜2πω＜13π9，∴1813＜ω＜95，当且仅当k ＝﹣1时，符合题意，此时ω=32，故f （x ）的最小正周期为2πω=4π3．故选：C ．8．在三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，△P AC 是边长为2的正三角形，二面角P ﹣AC ﹣B 的大小为150°，则三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为（ ）A．28π3B．52π9C．28√21π27D．52√13π81解：如图，取AC的中点H，连接BH，PH，由题意，AB=BC=√22AC=√2，PA=PC=2，所以BH⊥AC，PH⊥AC，所以∠BHP为二面角P﹣AC﹣B的平面角，所以∠BHP＝150°，因为△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且AC＝2，所以AH＝BH＝CH＝1，H为△ABC外接圆的圆心，又△P AC是边长为2的等边三角形，所以HP=√3，过点H作与平面ABC垂直的直线，则球心O在该直线上，设球的半径为R，连接OB，OP，可得OH2＝OB2﹣BH2＝R2﹣1，在△OPH中，∠OHP＝60°，利用余弦定理可得OP2＝OH2+HP2﹣2HO•HP•cos60°，所以R2=R2−1+3−2×√R2−1×√3×12，解得R2=73，所以外接球的表面积为4πR2=28π3．故选：A．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．下列四个表述中，正确的是（）A．设有一个回归直线方程y=3−5x，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位B．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高C．在一个2×2列联表中，根据表中数据计算得到K2的观测值k，若k的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大D．具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，那么|r|越接近于0，则x，y之间的线性相关程度越高解：对于A，因为y=3−5x，所以变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位，故A错误；对于B，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟合精度越高，故B 正确；对于C，观测值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大，故C正确；对于D ，|r |越接近于1，则x ，y 之间的线性相关程度越高，故D 错误． 故选：BC ．10．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是（ ） A ．点A 1到DC 1的距离为√62B ．面BC 1D 与面AB 1D 1的距离为√33C ．直线A 1C 1与平面ABC 1D 1所成的角为π3 D ．点A 1到平面BC 1D 的距离为√22解：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在的直线分别为x 、y 、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 对于A ：A 1（1，0，1），C 1（0，1，1），D （0，0，0）， C 1D →=（0，﹣1，﹣1），C 1A 1→=（1，﹣1，0），所以点A 1到DC 1的距离d =√|C 1A 1→|2−|C 1A 1→|cos 2＜C 1A 1→，C 1D →＞=√|C 1A 1→|2−|C 1A 1→⋅C 1D →|2|C 1D →|2=√62，故A 正确；对于B ：B （1，1，0），C 1（0，1，1），A （1，0，0），B 1（1，1，1），D 1（0，0，1）， AD 1→=（﹣1，0，1），AB 1→=（0，1，1），DC 1→=（0，1，1），DB →=（1，1，0）， 设n 1→=（x 1，y 1，z 1），n 2→=（x 2，y 2，z 2）分别为平面AB 1D 1，平面BC 1D 的一个法向量， 所以{AD 1→⋅n 1→=−x 1+z 1=0AB 1→⋅n 1→=y 1+z 1=0，令x 1＝1，可得y 1＝﹣1，z 1＝1，所以n 1→=(1，−1，1)，{DC 1→⋅n 2→=y 2+z 2=0DB →⋅n 2→=x 2+y 2=0，令x 2＝1，可得y 2＝﹣1，z 2＝1，所以n 2→=(1，−1，1)， 所以n 1→=n 2→，所以平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，可得B 1点到平面BC 1D 的距离即为所求， BB 1→=（0，0，1），所以B 1点到平面BC 1D 的距离为：|BB 1→|•|cos ＜BB 1→，n 2→＞|=|BB 1→⋅n 2→||n 2→|=13=√33，故B 正确； 对于C ：B （1，1，0），C 1（0，1，1），A （1，0，0），A 1（1，0，1）， A 1C 1→=（﹣1，1，0），AB →=（0，1，0），BC 1→=（﹣1，0，1）， 设n 3→=(x 3，y 3，z 3)为平面ABC 1D 1的一个法向量， 所以{BC 1→⋅n 3→=−x 3+z 3=0AB →⋅n 3→=y 3=0，令x 3＝1，可得y 3＝0，z 3＝1，所以n 3→=(1，0，1)，设直线A 1C 1与平面ABC 1D 1所成的角为θ(θ∈[0，π2])，所以sin θ＝|cos ＜A 1C 1→，n 3→＞|=|A 1C 1→⋅n 3→||A 1C 1→|⋅|n 3→|=1√2×√2=12， 因为θ∈[0，π2]，所以θ=π6，故C 错误；对于D ，因为平面BC 1D的一个法向量为n 2→=(1，−1，1)，A 1C 1→=（﹣1，1，0），所以点A 1到平面BC 1D 的距离为|A 1C 1→|•|cos ＜A 1C 1→，n 2→＞|=|A 1C 1→⋅n 2→||n 2→|=√3×√2=√63，故D 错误． 故选：AB ．11．双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 23−y 2=1的左，右焦点，过C 右支上一点A (x 0，y 0)(x 0＞√3)作双曲线的切线交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，则（ ） A ．平面上点B （4，1），|AF 2|+|AB |的最小值为√37−2√3B ．直线MN 的方程为xx 0﹣3yy 0＝3C ．过点F 1作F 1H ⊥AM ，垂足为H ，则|OH |＝2（O 为坐标原点）D ．四边形AF 1NF 2面积的最小值为4解：对于A ，由双曲线定义得|AF 1|−|AF 2|=2a =2√3，且F 1（﹣2，0）， 则|AF 2|+|AB |＝|AF 1|+|AB |﹣2√3≥|BF 1|﹣2√3=√(4+2)2+1=√37−2√3， 所以|AF 2|+|AB |的最小值为√37−2√3，故A 正确； 对于B ，设直线MN 的方程为y ﹣y 0＝k （x ﹣x 0），k ≠±√33，联立方程组{y −y 0=k(x −x 0)x 2−3y 2=3，消去y 整理得(1−3k 2)x 2+(6k 2x 0−6ky 0)x −3k 2x 02+6kx 0y 0−3y 02−3=0，∴Δ＝0，化简整理得9y0k2−6x0y0k+x02=0，解得k=x03y0，可得直线MN的方程为y−y0=x03y0(x−x0)，即x0x﹣3y0y＝3，故B正确；对于C，由双曲线的光学性质可知，AM平分∠F1AF2延长F1H与AF2的延长线交于点E，则AH垂直平分F1E，即|AF1|＝|AE|，H为F1E的中点，又O是F1F2中点，所以|OH|=12|F2E|=12(|AE|−|AF2|)=12(|AF1|−|AF2|)=a=√3，故C错误；对于D，由直线MN的方程为x0x﹣3y0y＝3，令x＝0，得y=−1y0，则N(0，−1y0)，S AF1NF2=S△AF1F2+S△NF1F2=12|F1F2|×（|y0|+1|y0|≥12×4×2√|y0|×1|y0|=4，当且仅当|y0|=1|y0|，即y0＝±1时等号成立，所以四边形AF1NF2面积的最小值为4，故D项正确．故选：ABD．12．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足f（x）+xf'（x）＝e x，f'（1）＝1，数列{a n}的首项为1，且f(a n+1)=f(a n)−1a n+1，则（）A．f（ln2）＝log2e B．f（x）≥1 C．a2023＜a2024D．0＜a n≤1解：∵[xf（x）]′＝f（x）+xf′（x）＝e x，则xf（x）＝e x+c，取x＝1可得f（1）＝e+c，由f（x）+xf'（x）＝e x，令x＝1，得f（1）+f'（1）＝e，∵f′（1）＝1，∴c＝﹣1，f(x)=e x−1 x，则f（ln2）＝log2e，故A正确；令φ（x）＝e x﹣x﹣1，则φ′（x）＝e x﹣1，当x ＜0时，φ'（x ）＜0，当x ＞0时，φ′（x ）＞0，所以φ（x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，故φ（x ）≥φ（0）＝0，即e x ≥x +1，当且仅当x ＝0时，等号成立，故f （x ）＞1，故B 正确． 由f(a n+1)=f(a n )−1a n+1=e a n+1−1a n+1，得e a n+1=f （a n ），所以e a n+1=e a n −1a n， 即a n ⋅e a n+1=e a n −1≥1+a n ﹣1＝a n ，即a n (e a n+1−1)≥0．因为函数f （x ）定义域为（0，+∞），所以a n ＞0，e a n+1−1≥0，即a n +1≥0， 下证数列{a n }单调递减，即证e a n+1＜e a n，即证e a n −1a n＜e a n ，即证e a n −1＜a n e a n ，即证（1﹣a n ）e a n −1＜0，令g （x ）＝（1﹣x ）e x ﹣1，则g ′（x ）＝﹣xe x ，当x ＞0时，g '（x ）＜0，所以g （x ）在（0，+∞）上单调递减， 因为a n ＞0，g （a n ）＜g （0）＝0，所以a n +1＜a n ，即数列{a n }单调递减， 所以0＜a n ≤a 1＝1，故D 正确，C 错误． 故选：ABD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．在(1−√2x)6的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为47． 解：(1−√2x)6的二项展开式中，通项公式为T r +1=C 6r •(−√2x)r =(−√2)r •C 6r •x r ，当且仅当r 为偶数时，该项系数为有理数，而r ∈[0，6]（r ∈N ），所以r ＝0，2，4，6满足题意， 又因为展开式共有7项，所以所求的概率为P =47．故答案为：47．14．已知平行四边形ABCD 中，DE →=12DC →，若AE →=λAC →+μBD →，则λ﹣μ＝ 12．解：已知平行四边形ABCD 中，DE →=12DC →，如图所示：故AE →=12(AD →+AC →)=12AD →+12AD →+12AB →=AD →+12AB →，由于AE →=λAC →+μBD →=λ(AD →+AB →)+μ(AD →−AB →)=(λ+μ)AD →+(λ−μ)AB →， 故{λ+μ=1λ−μ=12，解得λ−μ=12．故答案为：12．15．若直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 且与抛物线交于A 、B 两点，AB 的中垂线交对称轴于点D ，则|AB||DF|=2 ．解：由抛物线的方程可得焦点F （1，0），准线方程x ＝﹣1， 显然直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为x ＝my +1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{x =my +1y 2=4x，整理可得：y 2﹣4my ﹣4＝0， 可得y 1+y 2＝4m ，x 1+x 2＝m （y 1+y 2）+2＝4m 2+2， 所以AB 的中点M （2m 2+1，2m ），所以AB 的中垂线的方程为y ﹣2m ＝﹣m （x ﹣2m 2﹣1）， 令y ＝0，可得x D ＝2m 2+3， 所以|DF |＝2m 2+3﹣1＝2m 2+2，由抛物线的性质可得：|AB |＝x 1+x 2+2＝4m 2+2+2＝4m 2+4， 所以|AB||DF|=4m 2+42m 2+2．故答案为：2．16．已知函数f （x ）＝e x +alnx ﹣x a ﹣x （a ＞0），若f （x ）≥0对∀x ∈（1，+∞）恒成立，则实数a 的取值范围为 （0，e ] ．解：因为e x +alnx ﹣x a ﹣x ≥0对∀x ∈（1，+∞）恒成立， 所以lnx a ﹣x a ≥lne x ﹣e x 对∀x ∈（1，+∞）恒成立， 令m （t ）＝lnt ﹣t （t ＞1），则m ′(t)=1t −1=1−tt＜0，所以m （t ）＝lnt ﹣t （t ＞1）在（1，+∞）单调递减， 因为m （x a ）≥m （e x ）对∀x ∈（1，+∞）恒成立，a ＞0， 所以x a ≤e x ，两边取对数得：alnx ≤x （x ＞1），即a ≤xlnx（x ＞1）， 令g(x)=x lnx （x ＞1），则g ′(x)=lnx−1(lnx)2(x ＞1)， 所以当x ∈（1，e ）时，g '（x ）＜0，g(x)=xlnx在（1，e ）单调递减； 当x ∈（e ，+∞）时，g '（x ）＞0，g(x)=xlnx在（e ，+∞）单调递增； 所以g(x)=xlnx（x ＞1）的最小值为g （e ）＝e ， 故0＜a ≤e ． 故答案为：（0，e ]．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝3，S 5＝20，数列{b n }的前n 项和T n 满足关系式T n =1−b n (n ∈N ∗)．（1）求数列{a n }、{b n }的通项公式； （2）求数列{a n •b n }的前n 项和R n ． 解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可知{a 1+d =35a 1+5×42×d =20，解得{a 1=2d =1， ∴a n =n +1(n ∈N ∗)，当n ≥2时，b n ＝T n ﹣T n ﹣1＝1﹣b n ﹣1+b n ﹣1，∴b n b n−1=12，又T 1＝1﹣b 1，∴b 1=12，∴{b n }是以12为首项，12为公比的等比数列，∴b n =12n ； （2）由（1）知a n ⋅b n =(n +1)12n ，n ∈N ∗， R n =2×12+3×122+⋯+(n +1)12n ①，12R n =2×122+⋯+n ⋅12n+(n +1)12n+1②，①﹣②得12R n =12+12+122+⋯+12n −n+12n+1=12+1−12n −n+12n+1，∴R n=3−n+3 2n．18．（12分）在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，a＝c•cos B且cosB=c−a2a．（1）求B的大小；（2）若c＝3，D为AB边上一点，且AD＝1，求sin∠BCD．解：（1）由a＝c•cos B得cosB=ac，又cosB=c−a2a，所以c−a2a=ac，整理可得：2a2﹣c2+ac＝0，即（2a﹣c）（a+c）＝0，可得c＝2a，可得cosB=1 2，又B∈（0，π），所以B=π3；（2）由a＝c cos B及正弦定理，得sin A＝sin C•cos B，即sin（B+C）＝sin C•cos B，即sin B cos C＝0，因为sin B≠0，所以cos C＝0，解得C=π2；由已知，c＝3，AD＝1，所以BD＝2，BC=3 2，△BCD中，由余弦定理得CD2=BC2+BD2−2BC⋅BD⋅cosB=134，解得CD=√134=√132，在△BCD中，由正弦定理得：BDsin∠BCD=CDsinB，B=π3，所以sin∠BCD=BD⋅sinBCD=2√3913．19．（12分）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=π3，A1D＝A1B，A1B1＝CC1＝1，AA1＝2，点E分别为BC的中点．（1）证明：直线B1E∥面A1AC；（2）求二面角C1﹣BB1﹣A的余弦值．解：（1）证明：如图，设AC与BD相交于点O，连接A1O，OE，∵O 、E 分别为AC 、BC 中点， ∴OE =12AB ，又 A 1B 1=12AB ，∵OE ＝A 1B 1，∴四边形A 1B 1EO 为平行四边形， ∴B 1E ∥OA 1，∵OA 1⊂平面AA 1C ，B 1 E ⊄面 AA 1C ，∴直线B 1E ∥面 AA 1C ． （2）∵A 1D ＝A 1B ，O 为BD 中点，∴A 1O ⊥BD ， 连接A 1C 1，则A 1C 1∥OC ，且A 1C 1＝OC ， ∴四边形A 1OCC 1 为平行四边形，∴C 1C ＝A 1O ＝1，等边△ABD 中，AO =√3，∴A 1O 2+AO 2=4=AA 12，从而AO ⊥AC ，∵A 1O ⊥BD ，AC ∩BD ＝O ，AC ，BD ⊂平面ABCD ，∴A 1O ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C 1(−√3，0，1)，B 1(−√32，12，1)，B （0，1，0），A(√3，0，0)，设平面C 1B 1B 的法向量为m →=（x ，y ，z ），C 1B 1→=(√32，12，0)，B 1B →=(√32，12，−1)，则{m →⋅C 1B 1→=√32x +12y =0m →⋅B 1B →=√32x +12y −z =0，取x ＝1，得m →=（1，−√3，0）， 设平面ABB 1的法向量为n →=（a ，b ，c ），AB →=(−√3，1，0)， 则{n →⋅AB →=−√3a +b =0n →⋅B 1B →=√32a +12b −c =0，取a ＝1，得n →=（1，√3，√3）， ∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=−22×√7=−√77，由图可知，二面角 C 1﹣BB 1﹣A 为钝角， ∴二面角C 1﹣BB 1﹣A 的余弦值为−√77．20．（12分）已知椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，且过焦点垂直于x 轴的弦长为1．左顶点为B ，定点C （4，0），过点C 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，直线BP 、BQ 分别与y轴交于M、N两点．（1）求椭圆方程；（2）试探究|OM|•|ON|是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．解：（1）由已知：ca=√32，即c2a2=34，即a2−b2a2=34⇒a＝2b，在x2a2+y2b2=1中，令x＝c，解得y=±b2a，所以2b2a=1，即2b22b=b=1，所以a＝2，b＝1，所以椭圆方程为：x24+y2=1；（2）由题意设PQ：x＝my+4，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程{x=my+4 x24+y2=1，消去x化简得：（m2+4）y2+8my+12＝0，Δ＝（8m）2﹣4（m2+4）×12＝16m2﹣192＞0，即m2＞12，所以y1+y2=−8mm2+4，y1y2=12m2+4，又B（﹣2，0），所以直线BP的方程：y=y1x1+2(x+2)，令x＝0得：y M=2y1x1+2，同理y N=2y2x2+2=2y2x2+2，所以|OM|⋅|ON|=|y M⋅y N|=|2y1x1+2⋅2y2x2+2|=|4y1y2(my1+6)(my2+6)|=|4y1y2m2y1y2+6m(y1+y2)+36|=|4×12m2+4m2×12m2+4+6m×(−8mm2+4)+36|=|4812m2−48m2+36(m2+4)|=|48144|=13，即|OM|⋅|ON|为定值1 3．21．（12分）某市号召市民尽量减少开车出行，以绿色低碳的出行方式支持节能减排．原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天在骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种方式出行．从即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式上班，随后每天用“一次性抛掷4枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式．（1）设P n (n ∈N ∗)表示事件“第n 天王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率． ①求P 3；②用P n ﹣1表示P n （n ≥2）；（2）依据P n 值，阐述说明王先生的这种随机选择出行方式是否积极响应市政府的号召． 解：（1）根据题意，设一次性抛掷4枚均匀的硬币得到正面向上的枚数为ξ，则ξ～（4，12），则P （ξ≥3）=C 43（12）3（1−12）=C 44（12）4=516，P （ξ＜3）＝1﹣P （ξ≥3）＝1−516=1116， ①第一天选择骑自行车方式上班，易得P 2=1116， 则P 3＝P 2P （ξ＜3）+（1﹣P 2）P （ξ≥3）=1116×1116+516×516=146256=73128， ②根据题意，易得P n ＝P n ﹣1P （ξ＜3）+（1﹣P n ﹣1）P （ξ≥3）＝P n ﹣1×1116+（1﹣P n ﹣1）×516=38P n ﹣1+516， 故P n =38P n ﹣1+516；（2）根据题意，由（1）的结论，P n =38P n ﹣1+516，变形可得P n −12=38（P n ﹣1−12），又由P 1−12=12，故数列{P n −12}是以12为首项，公比为38的等比数列，故P n −12=（P 1−12）×（38）n ﹣1=12×（38）n ﹣1，变形可得P n =12+12×（38）n ﹣1＞12； 故王先生每天选择骑自行车出行的概率始终大于选择开车出行的概率，积极响应市政府的号召． 22．（12分）已知常数a ＞0，函数f(x)=ln(2+ax)−2xx+2． （1）讨论f （x ）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，且f （x 1）+f （x 2）＞0，求a 的取值范围． 解：（1）∵f(x)=ln(2+ax)−2x x+2，f ′(x)=a 2+ax −4(x+2)2=ax 2+4(a−2)(2+ax)(x+2)2，∴当a ≥2时，f '（x ）≥0恒成立，则函数f （x ）在（0，+∞）单调递增， 当0＜a ＜2时，由f '（x ）＝0得x =±2√a(2−a)a，则函数f（x）在(0，2√a(2−a)a)单调递减，在(2√a(2−a)a，+∞)单调递增．（2）由（1）知，当a≥2时，f'（x）≥0，此时f（x）不存在极值点．因此要使f（x）存在两个极值点x1，x2，则必有0＜a＜2，又f（x）的极值点值是x1=2√a(2−a)a，x2=−2√a(2−a)a，且由f（x）的定义域可知x＞−1a且x≠﹣2，∴−2√a(2−a)a＞−2a且−2√a(2−a)a≠−2，解得a≠1，则x1，x2分别为函数f（x）的极小值点和极大值点，x1+x2＝0，x1x2=4(a−2)a，∴f（x1）+f（x2）=ln[2+ax1]−2x1x1+2+ln(2+ax2)−2x2x2+2=ln[4+2a(x1+x2)+a2x1x2]−4x1x2+4(x1+x2) x1x2+2(x1+x2)+4=ln(2a−2)2−4(a−2)2a−2=ln(2a−2)2+42a−2−2．令2a﹣2＝x，由0＜a＜2且a≠1得，当0＜a＜1时，﹣2＜x＜0；当1＜a＜2时，0＜x＜2，令g(x)=lnx2+4x−2．①当﹣2＜x＜0时，g(x)=2ln(−x)+4x−2，g′(x)=2x−4x2=2x−4x2＜0，则g（x）在（﹣2，0）上单调递减，g（x）＜g（﹣2）＝2（ln2﹣2）＜0，∴当0＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＜0；②当0＜x＜2时，g（x）＝2lnx+4x−2，g′(x)=2x−4x2=2x−4x2＜0，则g（x）在（0，2）上单调递减，g（x）＞g（2）＝0，∴当1＜a＜2时，f（x1）+f（x2）＞0；综上所述，a的取值范围是（1，2）．。
高三数学期末考试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得极值，则下列选项中正确的是（）A. a=0，b=0，c=0B. a=0，b≠0，c≠0C. a≠0，b=0，c≠0D. a≠0，b≠0，c≠0答案：C解析：函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得极值，则f'(1) = 0。
由导数公式可得f'(x) = 2ax + b，将x=1代入得2a+b=0，即b=-2a。
因此，a≠0，b=0，c≠0。
2. 已知等差数列{an}的公差为d，首项为a1，则第10项an+1的值是（）A. a1 + 9dB. a1 + 10dC. a1 + 11dD. a1 + 12d答案：A解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，将n=10代入得an+1 = a1 + 9d。
3. 函数y = log2(x+1)的图像在下列哪个象限（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：A解析：对数函数y = log2(x+1)的定义域为x>-1，且当x>-1时，y>0。
因此，该函数的图像位于第一象限。
4. 已知向量a = (2, -3)，向量b = (-1, 2)，则向量a·b的值为（）A. -7B. -1C. 1D. 7答案：A解析：向量点积公式为a·b = axbx + ayby，将a和b的坐标代入得a·b = 2(-1) + (-3)2 = -2 - 6 = -7。
5. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则角C的度数是（）A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°答案：B解析：根据勾股定理，若a、b、c为直角三角形的边长，则a^2 + b^2 = c^2。
将a、b、c的值代入得3^2 + 4^2 = 5^2，满足勾股定理，因此△ABC为直角三角形，角C为直角，即90°。
2023-2024学年江苏省连云港市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省连云港市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足（1+i ）•z ＝i ，则此复数z 的虚部为（ ） A ．12B ．−12C ．12iD ．−12i2．已知集合S ＝{x |x ＝k −12，k ∈Z }，T ＝{x |x ＝2k +12，k ∈Z }，则S ∩T ＝（ ）A ．SB ．TC ．ZD ．R3．随机变量X ～N （2，σ2），若P （X ≤1.5）＝m ，P （2≤X ≤2.5）＝1﹣3m ，则P （X ≤2.5）＝（ ） A ．0.25B ．0.5C ．0.75D ．0.854．图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面ABCD 与平面ATBS 的夹角为45°，则cos ∠ASB ＝（ ）A ．√22B ．√32 C ．13D ．2√235．某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（ ） A ．108种B ．90种C ．72种D ．36种6．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的左顶点为M ，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线交C 于A ，B 两点，若∠AMB 为锐角，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．（1，√3）B ．（1，2）C ．（√3，+∞）D ．（2，+∞）7．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝4，A =π3，且BE 为边AC 上的高，AD 为边BC 上的中线，则AD →•BE →的值为（ ）A ．2B ．﹣2C ．6D ．﹣68．已知a ＝ln 3，b ＝log 2e ，c =6(2−ln2)e，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期末考试 数学含答案
海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学（答案在最后）2024.01本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}1,2,3B =，则()U A B = ð（）A ．{}2,4,5,6B ．{}4,6C ．{}2,4,6D ．{}2,5,62．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则复数12z z ⋅的虚部为（）A ．i-B ．1-C ．3i -D ．3-3．已知直线1:12yl x +=，直线2:220l x ay -+=，且12l l ∥，则a =（）A ．1B ．1-C ．4D ．4-4．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，4MF =，O 为坐标原点，则MO =（）A ．B ．4C ．5D ．5．在正四棱锥P ABCD -中，2AB =，二面角P CD A --的大小为4π，则该四棱锥的体积为（）A ．4B ．2C ．43D ．236．已知22:210C x x y ++-= ，直线()10mx n y +-=与C 交于A ，B 两点．若ABC △为直角三角形，则（）A ．0mn =B ．0m n -=C ．0m n +=D ．2230m n -=7．若关于x 的方程log 0xa x a -=（0a >且1a ≠）有实数解，则a 的值可以为（）A ．10B ．eC ．2D ．548．已知直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，倾斜角分别为1α，2α，则“()12cos 0->αα”是“120k k >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知{}n a 是公比为q （1q ≠）的等比数列，n S 为其前n 项和．若对任意的*N n ∈，11n a S q<-恒成立，则（）A ．{}n a 是递增数列B ．{}n a 是递减数列C ．{}n S 是递增数列D ．{}n S 是递减数列10．蜜蜂被誉为“天才的建筑师”．蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构．下图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱AG ，BH ，CI ，DJ ，EK ，FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形PGHI ，PIJK ，PKLG 构成．设1BC =，GPI IPK ∠=∠KPG =∠=θ10928'≈︒，则上顶的面积为（）（参考数据：1cos 3=-θ，tan2=θ）A ．B ．2C ．2D ．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．在51x ⎫-⎪⎭的展开式中，x 的系数为______．12．已知双曲线221x my -=0y -=，则该双曲线的离心率为______．13．已知点A ，B ，C 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则AB BC ⋅=______；点C 到直线AB 的距离为______．14．已知无穷等差数列{}n a 的各项均为正数，公差为d ，则能使得1n n a a +为某一个等差数列{}n b 的前n 项和（1n =，2，…）的一组1a ，d 的值为1a =______，d =______．15．已知函数()cos f x x a =+．给出下列四个结论：①任意a ∈R ，函数()f x 的最大值与最小值的差为2；②存在a ∈R ，使得对任意x ∈R ，()()π2f x f x a +-=；③当0a ≠时，对任意非零实数x ，ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝+⎭≠；④当0a =时，存在()0,πT ∈，0x ∈R ，使得对任意n ∈Z ，都有()()00f x f x nT =+．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ABB A 是正方形，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，12AD DC AB ==，M 为线段AB 的中点，1AD B M ⊥．（Ⅰ）求证：1C M ∥平面11ADD A ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值．17．（本小题14分）在ABC △中，2cos 2c A b a =-．（Ⅰ）求C ∠的大小；（Ⅱ）若c =ABC △存在，求AC 边上中线的长．条件①：ABC △的面积为条件②：1sin sin 2B A -=；条件③：2222b a -=．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题13分）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（Ⅰ）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（Ⅱ）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X 表示乙得分大于丙得分的场数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设1Y 为甲获胜的场数，2Y 为乙获胜的场数，3Y 为丙获胜的场数，写出方差()1D Y ，()2D Y ，()3D Y 的大小关系．19．（本小题15分）已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）过点()3,0A ，焦距为（Ⅰ）求椭圆E 的方程，并求其短轴长；（Ⅱ）过点()1,0P 且不与x 轴重合的直线l 交椭圆E 于两点C ，D ，连接CO 并延长交椭圆E 于点M ，直线AM 与l 交于点N ，Q 为OD 的中点，其中O 为原点．设直线NQ 的斜率为k ，求k 的最大值．20．（本小题15分）已知函数()2sin f x ax x x b =-+．（Ⅰ）当1a =时，求证：①当0x >时，()f x b >；②函数()f x 有唯一极值点；（Ⅱ）若曲线1C 与曲线2C 在某公共点处的切线重合，则称该切线为1C 和2C 的“优切线”．若曲线()y f x =与曲线cos y x =-存在两条互相垂直的“优切线”，求a ，b 的值．21．（本小题15分）对于给定的奇数m （3m ≥），设A 是由m m ⨯个实数组成的m 行m 列的数表，且A 中所有数不全相同，A 中第i 行第j 列的数{}1,1ij a ∈-，记()r i 为A 的第i 行各数之和，()c j 为A 的第j 列各数之和，其中{},1,2,,i j m ∈⋅⋅⋅．记()()()()2212m r r m f r A -++⋅⋅⋅+=．设集合()()(){}{},00,,1,2,,ij ij H i j a r a c j i m i j =⋅<⋅<∈⋅⋅⋅或，记()H A 为集合H 所含元素的个数．（Ⅰ）对以下两个数表1A ，2A ，写出()1f A ，()1H A ，()2f A ，()2H A 的值；1A 2A （Ⅱ）若()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数．求证：()2H A mt ms ts ≥+-；（Ⅲ）当5m =时，求()()H A f A 的最小值．海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A7．D8．B9．B10．D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．5-12．213．1-514．11（答案不唯一）15．②④三、解答题（共6小题，共85分）16．（共13分）解：（Ⅰ）连接1AD ．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11C D CD ∥，11C D CD =．因为AB CD ∥，12CD AB =，M 为AB 中点，所以CD AM ∥，CD AM =．所以11C D AM ∥，11C D AM =．所以四边形11MAD C 为平行四边形．所以11MC AD ∥．因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1C M ∥平面11ADD A ．（Ⅱ）在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥．因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD ．所以1AA AD ⊥．因为1AD B M ⊥，1B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，所以AD ⊥平面11ABB A ．所以AD AB ⊥．如图建立空间直角坐标系A xyz -．不妨设1AD =，则()0,0,0A ，()11,2,1C ，()10,2,2B ，()0,0,1M ．所以()11,2,1AC = ，()111,0,1C B =- ，()11,2,0MC =．设平面11MB C 的法向量为(),,n x y z = ，则1110,0,n C B n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20.x z x y -+=⎧⎨+=⎩令2x =，则1y =-，2z =．于是()2,1,2n =-．因为1116cos ,9AC n AC n AC n⋅==⋅，所以直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值为69．17．（共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==及2cos 2c A b a =-，得2sin cos 2sin sin C A B A =-．①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+．②由①②得2sin sin sin 0A C A -=．因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠．所以1cos 2C =．因为()0,πC ∈，所以π3C =．（Ⅱ）选条件②：1sin sin 2B A -=．由（Ⅰ）知，π2ππ33B A A ∠=--∠=-∠．所以2πsin sin sin sin 3B A A A -=--⎛⎫⎪⎝⎭31cos sin sin 22A A A =+-31cos sin 22A A =-πsin 3A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以π1sin 32A ⎛⎫-=⎪⎝⎭．因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭．所以ππ36A -=，即π6A =．所以ABC △是以AC 为斜边的直角三角形．因为c =2πsin sin 3AB AC C ===．所以AC 边上的中线的长为1．选条件③：2222b a -=．由余弦定理得223a b ab +-=．设AC 边上的中线长为d ，由余弦定理得2222cos 42b ab d a C =+-⋅2242b ab a =+-2222342b a b a +-=+-1=．所以AC 边上的中线的长为1．18．（共13分）解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场．设A 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则()310P A =．（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场．所以X 的所有可能取值为0，1，2．()202426C C 10C 15P X ===，()112426C C 81C 15P X ⋅===，()022426C C 22C 5P X ===．所以X 的分布列为X 012P11581525所以()1824012151553E X =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）()()()213D Y DY D Y >>．19．（共15分）解：（Ⅰ）由题意知3a =，2c =．所以c =，2224b a c =-=．所以椭圆E 的方程为22194x y +=，其短轴长为4．（Ⅱ）设直线CD 的方程为1x my =+，()11,C x y ，()22,D x y ，则()11,M x y --．由221941x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()22498320m y my ++-=．所以122849m y y m -+=+．由()3,0A 得直线AM 的方程为()1133y y x x =-+．由()11331y y x x x my ⎧=-⎪+⎨⎪=+⎩，得11123y y x my -=+-．因为111x my =+，所以12y y =-，112122y my x m ⎛⎫⎭-=⎪⎝- =+．所以112,22my y N --⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为Q 为OD 的中点，所以221x my =+，所以221,22my y Q +⎛⎫⎪⎝⎭．所以直线NQ 的斜率()212212221212884922128112912249m y y y y m m k my my m m y y m m -+++====+--+-+--+．当0m ≤时，0k ≤．当0m >时，因为912m m+≥=，当且仅当2m =时，等号成立．所以281299m k m =≤+．所以当2m =时，k取得最大值9．20．（共15分）解：（Ⅰ）①当1a =时，()()2sin sin f x x x x b x x x b =-+=-+．记()sin g x x x =-（0x ≥），则()1cos 0g x x '=-≥．所以()g x 在[)0,+∞上是增函数．所以当0x >时，()()00g x g >=．所以当0x >时，()()sin f x x x x b b =-+>．②由()2sin f x x x x b =-+得()2sin cos f x x x x x '=--，且()00f '=．当0x >时，()()1cos sin f x x x x x '=-+-．因为1cos 0x -≥，sin 0x x ->，所以()0f x '>．因为()()f x f x ''-=-对任意x ∈R 恒成立，所以当0x <时，()0f x '<．所以0是()f x 的唯一极值点．（Ⅱ）设曲线()y f x =与曲线cos y x =-的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为1x ，2x ，其斜率分别为1k ，2k ，则121k k =-．因为()cos sin x x '-=，所以1212sin sin 1x x k k ⋅==-．所以{}{}12sin ,sin 1,1x x =-．不妨设1sin 1x =，则1π2π2x k =+，k ∈Z ．因为()1111112sin cos k f x ax x x x '==--，由“优切线”的定义可知111112sin cos sin ax x x x x --=．所以1124ππa x k ==+，k ∈Z ．由“优切线”的定义可知2111111sin cos x x x b x x ⋅-+=-，所以0b =．当24ππa k =+，k ∈Z ，0b =时，取1π2π2x k =+，2π2π2x k =--，则()11cos 0f x x =-=，()22cos 0f x x =-=，()11sin 1f x x ='=，()22sin 1f x x ='=-，符合题意．所以24ππa k =+，k ∈Z ，0b =．21．（共15分）解：（Ⅰ）()110f A =，()112H A =；()212f A ，()215H A =．由定义可知：将数表A 中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），()H A ，()f A 的值不变．因为m 为奇数，{}1,1ij a ∈-，所以()1r ，()2r ，…，()r m ，()1c ，()2c ，…，()c m 均不为0．（Ⅱ）当{}0,s m ∈或{}0,t m ∈时，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,i m =⋅⋅⋅．若0t =，结论显然成立；若0t ≠，不妨设()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则(),i j H ∈，1,2,,i m =⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()H A mt ≥，结论成立．当{}0,s m ∉且{}0,t m ∉时，不妨设()0r i >，1,2,,i s =⋅⋅⋅，()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则当1s i m +≤≤时，()0r i <；当1t j m +≤≤时，()0c j <．因为当1,2,,i s =⋅⋅⋅，1,2,,j t t m =++⋅⋅⋅时，()0r i >，()0c j <，所以()()()()()()20ij ij ij a r i a c j a r i c j ⋅=⋅⋅⋅<⋅．所以(),i j H ∈．同理可得：(),i j H ∈，1,2,,m i s s =++⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()()()2H A s m t m s t mt ms st ≥-+-=+-．（Ⅲ）当5m =时，()()H A f A 的最小值为89．对于如下的数表A ，()()89H A f A =．下面证明：()()89H A f A ≥．设()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数，{},0,1,2,3,4,5s t ∈．①若{}0,5s ∈或{}0,5t ∈，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,5i =⋅⋅⋅．所以当1ij a =时，(),i j H ∈．由A 中所有数不全相同，记数表A 中1的个数为a ，则1a ≥，且()()()()251252r r r f A +++⋅⋅⋅+=()252252a a a +--==，()H A a ≥．所以()()819H A f A ≥>．②由①设{}0,5s ∉且{}0,5t ∉．若{}2,3s ∈或{}2,3t ∈，不妨设2s =，则由（Ⅱ）中结论知：()51041011H A t t t ≥+-=+≥．因为()()()()251250122r r r f A -++⋅⋅⋅+<=≤，所以()()118129H A f A ≥>．③由①②设{}0,2,3,5s ∉且{}0,2,3,5t ∉．若{}{},1,4s t =，则由（Ⅱ）中结论知：()25817H A ≥-=．因为()012f A <≤，所以()()178129H A f A ≥>．若s t =，{}1,4s ∈，不妨设1s t ==，()10r >，()10c >，且()()1H A f A<，由（Ⅱ）中结论知：()8H A ≥．所以()()8f A H A >≥．若数表A 中存在ij a （{},2,3,4,5i j ∈）为1，将其替换为1-后得到数表A '．因为()()1H A H A '=-，()()1f A f A '≥-，所以()()()()()()11H A H A H A f A f A f A '-≤<'-．所以将数表A 中第i 行第j 列（,2,3,4,5i j =）为1的数替换为1-后()()H A f A 值变小．所以不妨设1ij a =-（,2,3,4,5i j =）．因为()5528H A ≥+-=，()9f A ≤，。
2023-2024学年山东省潍坊市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合P ＝{x |x ＜2}，Q ＝{y |y ＝（12）x }，则P ∩Q ＝（ ）A ．(−∞，14)B ．(0，14)C ．（0，2）D ．∅ 2．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为（﹣3，4），则z4+3i=（ ）A ．iB ．﹣iC ．1+iD ．1﹣i3．已知角φ的终边落在y =√3x(x ＞0)上，下列区间中，函数f （x ）＝2sin （x +φ）单调递增的区间是（ ） A ．(−π2，0)B ．(0，π2)C ．(π2，π)D ．(π，3π2) 4．已知圆锥的侧面展开图是半径为2√3的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A ．√3πB ．2√3πC ．3πD ．9π5．如图，谢尔宾斯基地毯是一种无限分形结构，由波兰数学家谢尔宾斯基于1916年发明．它的美妙之处在于，无论将其放大多少次，它总是保持着相同的结构．它的构造方法是：首先将一个边长为1的正方形等分成9个小正方形，把中间的小正方形抠除，称为第一次操作；然后将剩余的8个小正方形均重复以上步骤，称为第二次操作；依次进行就得到了谢尔宾斯基地毯．则前n 次操作共抠除图形的面积为（ ）A ．18(89)nB ．1−(89)nC ．1−8(19)nD ．18−18(19)n6．若函数f （x ）＝ln |e x ﹣1|﹣mx 为偶函数，则实数m ＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．12D ．−127．已知甲：x ≥1，乙：关于x 的不等式x−ax−a−1＜0(a ∈R)，若甲是乙的必要不充分条件，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1 B ．a ＞1C ．a ＜0D ．a ≤08．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，点P 在C 上，且|PF 1|＝2|AF 1|，∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为（ ） A ．√22B ．√32C ．√33D ．12二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．某校举行演讲比赛，6位评委对甲、乙两位选手的评分如下： 甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 乙：7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 则下列说法正确的是（ ）A ．评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数B ．评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差C ．评委对甲评分的40%分位数为7.8D ．评委对乙评分的众数为7.810．双曲线E ：mx 2+ny 2＝1（m ＞0，n ＜0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在E 上，则（ ） A ．||PF 1|﹣|PF 2||＝2√1m B ．|F 1F 2|＝2√n−mmnC ．E 的离心率为√|mm+n |D ．E 的渐近线方程为y =±√−m nx 11．如图，棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为棱D 1C 1的中点，N 为棱CC 1上的动点，则（ ）A ．直线AM 与BN 为异面直线B ．存在点N ，使得MN ⊥平面BDNC ．当AM ∥平面BDN 时，CN =23D ．当N 为CC 1的中点时，点C 到平面BDN 的距离为√6312．已知函数f （x ）＝ax 2+2x +|x 2+ax +1|（a ∈R ），则（ ） A ．当a ＝﹣1时，f （x ）为增函数B ．若f （x ）有唯一的极值点，则a ＞0C ．当a ≤﹣2时，f （x ）的零点为±1D ．f （x ）最多有2个零点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．已知向量a →，b →满足|a →|＝|b →|＝2，＜a →，b →＞=60°，则|a →−b →|＝ ． 14．已知函数f(x)={ln(−x +e)，x ≤02f(x −1)，x ＞0，则f （2）＝ ．15．无重复数字且各位数字之和为8的三位数的个数为 ．16．已知a n =1n ，若对任意的n （n ∈N *），都有(a 1+2)(a 2+2)⋯(a n +2)≥kn 2，则实数k 的最大值为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知等比数列{a n }满足a 1=12，a 42=a 6． （1）求{a n }的通项公式； （2）求数列{na n }的前n 项和．18．（12分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E ，F 在边BC ，AD 上，且CE ＝DF ＝2．将矩形CDFE 沿EF 折起至C 'D 'FE ，使得∠C 'EB ＝60°，M ，N 分别为AB ，C 'D '的中点． （1）证明：EN ⊥平面MNF ；（2）求EN 与平面C ′AE 所成角的正弦值．19．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a +c ＝2√3b ，A −C =π3． （1）求cos B ；（2）若b =√5，求△ABC 的面积．20．（12分）已知函数f （x ）＝a （e x +a ）﹣2lnx （a ＞0），f （x ）的导函数为f '（x ）． （1）当a ＝1时，解不等式f （x ）＞e x ； （2）判断f ′（x ）的零点个数；（3）证明：f(x)≥4+a 2+ln a 24．21．（12分）某人从A 地到B 地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有n 个路口，第二条路线上有m 个路口．（1）若n ＝2，m ＝2，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为23；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为34，第二个路口遇到红灯的概率为35，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由．（2）已知：随机变量X i 服从两点分布，且P （x i ＝1）＝1﹣P （x i ＝0）＝P ，则E （∑ n i=1X i ）=∑ n i=1p i ，且E[(∑ n i=1X i )2]=∑ n i=1p i +2∑ i≠j p i p j （i ，j ＝1，2，⋯，n ）．若第一条路线的第i 个路口遇到红灯的概率为12i ，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差．22．（12分）在直角坐标系xOy 中，点P 到直线y =92的距离等于点P 到点（0，72）的距离，记动点P 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）设A ，B 是C 上位于y 轴两侧的两点，过A ，B 的C 的切线交于点Q ，直线QA ，QB 分别与x 轴交于点M ，N ，求△QMN 面积的最小值．2023-2024学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合P ＝{x |x ＜2}，Q ＝{y |y ＝（12）x }，则P ∩Q ＝（ ）A ．(−∞，14)B ．(0，14)C ．（0，2）D ．∅解：P ＝{x |x ＜2}，Q ＝{y |y ＝（12）x }＝{y |y ＞0}，则P ∩Q ＝（0，2）． 故选：C ．2．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为（﹣3，4），则z 4+3i=（ ）A ．iB ．﹣iC ．1+iD ．1﹣i解：∵复数z 在复平面内对应点的坐标为（﹣3，4），∴z ＝﹣3+4i ， ∴z 4+3i=−3+4i 4+3i=(−3+4i)(4−3i)(4+3i)(4−3i)=i ．故选：A ．3．已知角φ的终边落在y =√3x(x ＞0)上，下列区间中，函数f （x ）＝2sin （x +φ）单调递增的区间是（ ） A ．(−π2，0)B ．(0，π2)C ．(π2，π)D ．(π，3π2)解：角φ的终边落在y =√3x(x ＞0)上，则φ=π3+2kπ，k ∈Z ， 不妨取当k ＝0时，φ=π3，令−π2+2kπ≤x +π3≤π2+2kπ，k ∈Z ，解得−56π+2kπ≤x ≤π6+2kπ，k ∈Z ， 当k ＝0时，函数f （x ）的单调递增区间为（−56π，π6）， 由选项可知，(−π2，0)符合题意． 故选：A ．4．已知圆锥的侧面展开图是半径为2√3的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A ．√3πB ．2√3πC ．3πD ．9π解：设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝π×2√3，解得r =√3， 所以圆锥的高为h =√(2√3)2−(√3)2=3， 所以圆锥的体积为V =13π×(√3)2×3＝3π．故选：C ．5．如图，谢尔宾斯基地毯是一种无限分形结构，由波兰数学家谢尔宾斯基于1916年发明．它的美妙之处在于，无论将其放大多少次，它总是保持着相同的结构．它的构造方法是：首先将一个边长为1的正方形等分成9个小正方形，把中间的小正方形抠除，称为第一次操作；然后将剩余的8个小正方形均重复以上步骤，称为第二次操作；依次进行就得到了谢尔宾斯基地毯．则前n 次操作共抠除图形的面积为（ ）A ．18(89)nB ．1−(89)nC ．1−8(19)nD ．18−18(19)n解：根据题意，设第n 次扣除的图形的面积为a n ， 最初正方形的边长为1，其面积为1，第一次操作中，扣除图形的面积为19，即a 1=19，从第二次操作开始，每次扣除图形的面积为上一次扣除图形面积的89，即a n =89a n ﹣1，故数列{a n }是首项a 1=19，公比为89的等比数列，其前n 项和S n =a 1(1−q n )1−q =19×[1−(89)n]1−89=1﹣（89）n ，即前n 次操作共抠除图形的面积为1﹣（89）n ．故选：B ．6．若函数f （x ）＝ln |e x ﹣1|﹣mx 为偶函数，则实数m ＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．12D ．−12解：根据题意，函数f （x ）＝ln |e x ﹣1|﹣mx ， 则f （﹣x ）＝ln |e ﹣x ﹣1|+mx ＝ln |1e x−1|+mx ＝ln |e x ﹣1|﹣x +mx ，函数f （x ）＝ln |e x ﹣1|﹣mx 为偶函数，则f （﹣x ）＝f （x ），即ln |e x ﹣1|﹣x +mx ＝ln |e x ﹣1|﹣mx ， 变形可得：（2m ﹣1）x ＝0，必有m =12． 故选：C ．7．已知甲：x ≥1，乙：关于x 的不等式x−ax−a−1＜0(a ∈R)，若甲是乙的必要不充分条件，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1B ．a ＞1C ．a ＜0D ．a ≤0解：关于x 的不等式x−a x−a−1＜0(a ∈R)，则a ＜x ＜a +1，甲是乙的必要不充分条件， 则{x |a ＜x ＜a +1}⫋{x |x ≥1}， 故a ≥1． 故选：A ．8．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，点P 在C 上，且|PF 1|＝2|AF 1|，∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为（ ） A ．√22B ．√32C ．√33D ．12解：如图，设|AF 1|＝a ﹣c ，则|PF 1|＝2（a ﹣c ），由椭圆的性质可得：|PF 2|＝2c ，所以在△PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，由余弦定理可得：cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2−|PF 1|22|PF 2|⋅|F 1F 2|=12，化简得：a ＝2c ，所以e =12． 故选：D ．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．某校举行演讲比赛，6位评委对甲、乙两位选手的评分如下： 甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 乙：7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 则下列说法正确的是（ ）A．评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数B．评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差C．评委对甲评分的40%分位数为7.8D．评委对乙评分的众数为7.8解：甲的平均数为x=16×（7.5+7.5+7.8+7.8+8.0+8.0）=46.66，乙的平均数为y=16×（7.5+7.8+7.8+7.8+8.0+8.0）=46.96，所以甲评分的平均数低于乙评分的平均数，选项A正确；甲的平均数约为7.8，方差为s x2=16×[（﹣0.3）2+（﹣0.3）2+02+02+0.22+0.22]=0.266，乙的平均数约为7.8，方差为s y2=16×[（﹣0.3）2+02+02+02+0.22+0.22]=0.176，所以甲评分的方差大于乙评分的方差，选项B错误；因为6×40%＝2.4，所以甲评分的40%分位数是第3个数，为7.8，选项C正确；乙评分的众数为7.8，选项D正确．故选：ACD．10．双曲线E：mx2+ny2＝1（m＞0，n＜0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在E上，则（）A．||PF1|﹣|PF2||＝2√1m B．|F1F2|＝2√n−mmnC．E的离心率为√|mm+n |D．E的渐近线方程为y=±√−mnx解：mx2+ny2＝1，则x21m−y2−1n=1，即a=√1m，b=√−1n，c=√a2−b2=√1m +(−1n)=√1m−1n=√n−mmn，||PF1|﹣|PF2||＝2a=2√1m，故A正确；|F1F2|＝2c＝2√n−mmn，故B正确；E的离心率为ca =√n−mn，故C错误；E的渐近线方程为y=±√−mnx，故D正确．故选：ABD．11．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱D1C1的中点，N为棱CC1上的动点，则（）A ．直线AM 与BN 为异面直线B ．存在点N ，使得MN ⊥平面BDNC ．当AM ∥平面BDN 时，CN =23D ．当N 为CC 1的中点时，点C 到平面BDN 的距离为√63解：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，对于A ：因为A ，B ，M 在平面ABC 1D 1内，N 在平面ABC 1D 1外，所以AM 与BN 是异面直线，故A 正确；对于B ：N(0，2，a)，NM →=(0，−1，2−a)，DB →⋅NM →=−2，所以DB 与MN 不垂直，故MN 与平面BDN 不垂直，故B 错误；对于C ：若CN =23，则B(2，2，0)，N(0，2，23)，DB →=(2，2，0)，DN →=(0，2，23)，设平面BDN 的法向量为n →1＝（x 1，y 1，z 1），则{2x 1+2y 1=02y 1+23z 1=0，令x 1=1，则n →1=(1，−1，3)，A(2，0，0)，M(0，1，2)，所以AM →=(−2，1，2)，AM →⋅n →1=−2−1+6≠0，故C 错误； 对于D ：N(0，2，1)，DN →=(0，2，1)，DB →=(2，2，0)， 设平面BDN 的法向量为n 2→=（x 2，y 2，z 2），则{2x 2+2y 2=02y 2+z 2=0，令x 2=1，n 2→=(1，−1，2)，又C(0，2，0)，CN →=(0，0，1)，所以点C 到平面BDN 的距离为|CN →⋅n 2→||n 2→|=√6=√63，故D 正确． 故选：AD ．12．已知函数f （x ）＝ax 2+2x +|x 2+ax +1|（a ∈R ），则（ ） A ．当a ＝﹣1时，f （x ）为增函数B ．若f （x ）有唯一的极值点，则a ＞0C ．当a ≤﹣2时，f （x ）的零点为±1D ．f （x ）最多有2个零点解：对于A 选项，当a ＝﹣1时，f （x ）＝﹣x 2+2x +|x 2﹣x +1|，因为x 2﹣x +1＝（x −12）2+34＞0，所以f （x ）＝﹣x 2+2x +x 2﹣x +1＝x +1，函数单调递增，故A 正确； 对于B 选项，当a ＝0时，f （x ）＝x 2+2x +1有一个极值点，故B 错误； 对于选项C ，当a ≤﹣2时，设x 2+ax +1＝0的两根分别为x 1，x 2且x 1≤x 2， 则x 1+x 2＝﹣a ≥2，x 1x 2＝1，所以0＜x 1≤1，x 2≥1，当x ＜x 1或x ＞x 2时，f （x ）＝（a +1）x 2+（a +2）x +1，图像开口向下，对称轴为x =−a+22(a+1)＜0，f （﹣1）＝0，当x 1＜x ＜x 2时，f （x ）＝（a ﹣1）x 2+（2﹣a ）x ﹣1，图像开口向下，对称轴为x =a−2a−1＞0，f （1）＝0，如下图所示，故C 正确；对于D 选项，由选项C 可知，当a ≤﹣2时，f （x ）有两个零点，当﹣2＜a ≤2时，Δ＝a 2﹣4＜0，所以f （x ）＝（a +1）x 2+（a +2）x +1至多有两个零点，当a ＞2时，设x 2+ax +1＝0的两根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则x 1+x 2＝﹣a ＜﹣2，x 1x 2＝1，所以x 1＜﹣2，﹣1＜x 2＜0，当x ＜x 1或x ＞x 2时，f （x ）＝（a +1）x 2+（a +2）x +1，图像开口向上，对称轴为x =−a+22(a+1)＜−12，f （0）＝1，f （﹣1）＝0，当x 1＜x ＜x 2时，f （x ）＝（a ﹣1）x 2+（2﹣a ）x ﹣1，图像开口上，对称轴为x ＝a ﹣2∈（0，1），f （1）＝0，f （0）＝﹣1，f （﹣1）＝2（a ﹣2）＞0，如下图所示，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．已知向量a →，b →满足|a →|＝|b →|＝2，＜a →，b →＞=60°，则|a →−b →|＝ 2 ．解：因为|a →|＝|b →|＝2，＜a →，b →＞=60°，所以(a →−b →)2=a →2−2a →•b →+b →2=22﹣2×2×2×cos60°+22＝4， 所以|a →−b →|＝2．故答案为：2．14．已知函数f(x)={ln(−x +e)，x ≤02f(x −1)，x ＞0，则f （2）＝ 4 ． 解：因为f(x)={ln(−x +e)，x ≤02f(x −1)，x ＞0， 则f （2）＝2f （1）＝4f （0）＝4lne ＝4．故答案为：4．15．无重复数字且各位数字之和为8的三位数的个数为 24 ．解：无重复数字且之和为8的三个数有：0，1，7；0，2，6；0，3，5；1，2，5；1，3，4，当三个数为0，1，7时，组成三位数的个数为C 21⋅A 22=4个，当三个数为0，2，6时，组成三位数的个数为C 21⋅A 22=4个，当三个数为0，3，5时，组成三位数的个数为C 21⋅A 22=4个，当三个数为1，2，5时，组成三位数的个数为A 33=6个，当三个数为1，3，4时，组成三位数的个数为A 33=6个，所以一共有4+4+4+6+6＝24个．故答案为：24．16．已知a n =1n ，若对任意的n （n ∈N *），都有(a 1+2)(a 2+2)⋯(a n +2)≥kn 2，则实数k 的最大值为 158 ．解：a n =1n ，若对任意的n （n ∈N *），都有(a 1+2)(a 2+2)⋯(a n +2)≥kn 2，可得k ≤(1+2)(12+2)...(1n +2)n 2恒成立， 设b n =(1+2)(12+2)...(1n +2)n 2，则b n +1=(1+2)(12+2)...(1n +2)(1n+1+2)(n+1)2， b n+1b n =n 2(1n+1+2)(n+1)2=2n 3+3n 2(n+1)3，由2n 3+3n 2﹣（n +1）3＝2n 3+3n 2﹣n 3﹣3n 2﹣3n ﹣1＝n 3﹣3n ﹣1，当n ＝1时，2n 3+3n 2＜（n +1）3；当n ≥2时，2n 3+3n 2＞（n +1）3；即有b 1＞b 2＜b 3＜b 4＜...＜b n ，则b 2为b n 的最小值，且为158， 则k ≤158，即k 的最大值为158． 故答案为：158．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等比数列{a n }满足a 1=12，a 42=a 6．（1）求{a n }的通项公式；（2）求数列{na n }的前n 项和．解：（1）因为等比数列{a n }满足a 1=12，a 42=a 6，所以（12q 3）2=12q 5， 解得，q ＝2，故a n =12×2n−1=2n ﹣2； （2）由（1）得na n ＝n •2n ﹣2，设数列{na n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×2﹣1+2×20+3×2+•+n •2n ﹣2， 2S n ＝1×20+2×21+•+（n ﹣1）•2n ﹣2+n •2n ﹣1，两式相减得，﹣S n ＝2﹣1+20+•+2n ﹣2﹣n •2n ﹣1=12(1−2n )1−2−n •2n ﹣1＝（1﹣n ）•2n ﹣1−12， 所以S n ＝（n ﹣1）•2n ﹣1+12． 18．（12分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E ，F 在边BC ，AD 上，且CE ＝DF ＝2．将矩形CDFE 沿EF 折起至C 'D 'FE ，使得∠C 'EB ＝60°，M ，N 分别为AB ，C 'D '的中点．（1）证明：EN ⊥平面MNF ；（2）求EN 与平面C ′AE 所成角的正弦值．解：（1）证明：在矩形C 'D 'FE 中，C 'N ＝C 'E ＝2，∠C '＝90°，所以∠C 'NE ＝45°，同理∠D 'NF ＝45°，故EN ⊥NF ①，连结BC '、ME ，在△BEC ′中，由余弦定理知：BC ′2＝EB 2+EC ′2﹣2EB •EC ′•cos ∠C ′EB ＝16+4﹣8＝12，所以BC ′=2√3，MN =2√3，又因为NE =√C′N 2+C′E 2=√4+4=2√2，ME =√BM 2+BE 2=√4+16=2√5，所以ME 2＝MN 2+NE 2，所以∠ENM ＝90°，即 EN ⊥MN ②，由①，②及MN ∩NF ＝N 可得EN ⊥平面MNF ；（2）以E 为坐标原点，EF ，EB 所在直线为x ，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 E ﹣xyz ． 则E （0，0，0），C ′(0，1，√3)，A （4，4，0），N(2，1，√3)，EC ′→=（0，1，√3），EA →=(4，4，0)，设平面C ′AE 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{y +√3z =04x +4y =0， 令x =√3，则y =−√3，z =1，所以n →=（√3，−√3，1），因为EN →=(2，1，√3)，所以cos ＜n →，EN →＞=n⋅EN→|n|EN →|=2√3√7×√8=√4214， 所以EN 与平面C ′AE 所成角的正弦值为√4214． 19．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a +c ＝2√3b ，A −C =π3．（1）求cos B ；（2）若b =√5，求△ABC 的面积．解：（1）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a +c ＝2√3b ，A −C =π3．所以由正弦定理可得：sin A +sin C ＝2√3sin B ，因为A ﹣C =π3，A +B +C ＝π，所以C =π3−B 2，A =2π3−B 2，所以sin （2π3−B 2）+sin （π3−B 2）＝2√3sin B ， 即sin 2π3cos B 2−cos 2π3sin B 2+sin π3cos B 2−cos π3sin B 2=2√3sin B ， √3cos B2=2√3sin B ，所以cos B 2=4sin B 2cos B 2， 因为0＜B 2＜π2，所以sin B 2=14， 所以cos B ＝1﹣2sin 2B2=78；（2）由余弦定理可得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，即5＝（a +c ）2﹣2ac −74ac ，5＝（2√3b ）2−154ac ， 得ac =443，因为cos B =78，所以sin B =√158，所以S △ABC =12ac sin B =11√1512． 20．（12分）已知函数f （x ）＝a （e x +a ）﹣2lnx （a ＞0），f （x ）的导函数为f '（x ）．（1）当a ＝1时，解不等式f （x ）＞e x ；（2）判断f ′（x ）的零点个数；（3）证明：f(x)≥4+a 2+ln a 24．解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝e x +1﹣2lnx ＞e x ，所以lnx ＜12，所以0＜x ＜√e ，所以不等式的解集为(0，√e)．（2）函数f （x ）的定义域为(0，+∞)，f ′(x)=ae x −2x =axe x −2x ． 令g （x ）＝axe x ﹣2，则g ′（x ）＝a （x +1）e x ＞0，所以g （x ）在区间（0，+∞）上单调递增．又因为g(0)=−2＜0，g(2a )=2e 2a −2=2(e 2a −1)＞0，所以存在x 0∈(0，2a )使得g （x 0）＝0，所以f ′（x ）在区间（0，+∞）上有且只有一个零点x 0．（3）证明：由（2）知，当x ∈（0，x 0）时，f ′（x ）＜0，f （x ）在（0，x 0）上单调递减，当x ∈（x 0，+∞）时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（x 0，+∞）上单调递增，所以f(x)⩾f(x 0)=a(e x 0+a)−2lnx 0．因为ax 0e x 0−2=0，所以ae x 0=2x 0，lna +x 0=ln2−lnx 0． 所以f(x 0)=a(e x 0+a)−2lnx 0=2x 0+a 2−2(ln2−lna −x 0) =2x 0+2x 0+a 2+ln a 24⩾4+a 2+ln a 24， 所以f(x)⩾4+a 2+ln a 24． 21．（12分）某人从A 地到B 地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有n 个路口，第二条路线上有m 个路口．（1）若n ＝2，m ＝2，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为23；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为34，第二个路口遇到红灯的概率为35，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由．（2）已知：随机变量X i 服从两点分布，且P （x i ＝1）＝1﹣P （x i ＝0）＝P ，则E （∑ n i=1X i ）=∑ n i=1p i ，且E[(∑ n i=1X i )2]=∑ n i=1p i +2∑ i≠j p i p j （i ，j ＝1，2，⋯，n ）．若第一条路线的第i 个路口遇到红灯的概率为12i ，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差．解：（1）应选择第一条路线，理由如下：设走第一、二条路线遇到的红灯次数分别为随机变量X 1，X 2，则X 1＝0，1，2；X 2＝0，1，2；P （X 1＝0）=(13)2=19，P(X 1=1)=C 21×23×13=49，P(X 1=2)=C 22⋅(23)2=49， 所以E(X 1)=49+89=43； 又因为P(X 2=0)=14×25=110，P （X 2＝1）=34×25+14×35=920，P(X 2=2)=34×35=920；所以E(X 2)=920+2×920=2720； 因为43＜2720，所以应选择第一条路线．（2）设选择第一条路线时遇到的红灯次数为X ，所以E （X ）＝E （∑ n i=1X i ）=∑ n i=1p i ，E （X 2）=E[(∑ n i=1X i )2]=∑ n i=1p i +2∑ i≠j p i p j （i ，j ＝1，2，⋯，n ）． 设随机变量Y ，Y 取值为Y i （i ＝1，2，3，⋯，n ），其概率分别为q i ，且∑ n i=1q i ＝1，D （Y ）=∑ n i=1{[Y i −E(Y)]2q i }=∑ n i=1{Y i 2•q i ﹣2E （Y ）•Y i q i +[E （Y ）]2•q i }=∑ n i=1Y i 2q i ﹣2E （Y ）•∑n i=1（Y i q i ）+[E （Y ）]2•∑ n i=1q i ＝E （Y 2）﹣[E （Y ）]2，所以D （X ）＝E （X 2）﹣（E （X ））2=∑ n i=1pp i +2∑ i≠j pp i p j −(∑ n i=1p i )2=∑ n i=1pp i +2∑ i≠j pp i p j ﹣（∑ n i=1p i 2+2∑ i≠j p i p j ）=∑ n i=1（p i −p i 2）； 又因为p i =12i ，所以D （X ）=∑ n i=112i −∑ n i=114i =12×(1−12n )1−12−14×(1−14n )1−14=23+13×4n −12n ． 22．（12分）在直角坐标系xOy 中，点P 到直线y =92的距离等于点P 到点（0，72）的距离，记动点P 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）设A ，B 是C 上位于y 轴两侧的两点，过A ，B 的C 的切线交于点Q ，直线QA ，QB 分别与x 轴交于点M ，N ，求△QMN 面积的最小值．解：（1）设P （x ，y ），则√x 2+(y −72)2=|y −92|，整理得x 2＝8﹣2y ；（2）设A(a ，4−a 22)，B(b ，4−b 22)，不妨设a ＜0＜b ，因为y =4−x 22，所以y '＝﹣x ， 所以过点A 的切线方程为y −(4−a 22)=−a(x −a)，即y =−ax +4+a 22，同理可得过点B 的切线方程y =−bx +4+b 22，联立QA，QB方程，得Q(a+b2，8−ab2)，令y＝0，得M(4a+a2，0)，N(4b+b2，0)，所以|MN|=4(a−b)ab+b−a2，所以△QMN的面积S=12|MN|×(8−ab2)=12[4(a−b)ab+b−a2](8−ab2)，因为﹣a＞0，所以S=12|4[b+(−a)]−ab+b+(−a)2|(8−ab2)≥12（4×2√−ab−ab+2√−ab2）(8−ab2)≥（4√−ab−ab+√−ab2）(8−ab2)，令√−ab=t，得S min=(4t+t2)(8+t 22)=14(t3+16t+64t)，所以S′=14(3t2+16−64t2)，令S'＝0，得t2=83，经检验，满足题意，所以当t=2√63时，S min=64√69．。
2023-2024学年浙江省杭州市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，B ={x|3x−1≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．[1，3]B ．（1，3]C ．[﹣1，1]D ．[﹣1，1）2．已知复数z 满足z =−z i （i 为虚数单位），且|z |=√2，则z 2＝（ ） A ．2iB ．﹣2iC ．√2+√2iD ．√2−√2i3．已知随机变量X 1，X 2分别满足二项分布X 1～B （n 1，13），X 2～B （n 2，13），则“n 1＞n 2”是“D （X 1）＞D （X 2）”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若0＜x ＜12，则不等式1x +11−2x的最小值是（ ）A ．3+2√2B ．6C ．4√2D ．95．冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：lg 2≈0.3）（ ） A ．3小时B ．4小时C ．5小时D ．6小时6．已知定义在R 上的函数f （x ）满足sin xf （x ）+cos xf ′（x ）＞0，则（ ） A ．f(π3)＜√3f(π6)B ．f(π6)＜√3f(π3)C ．f(π3)＞√3f(π6)D ．f(π6)＞√3f(π3)7．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝1，a n +1＝a n +b n ，b n +1＝a n ﹣b n ，则a n ＝（ ） A ．2n ﹣1B ．2n−12C ．2n+12D ．22n−1+(−1)n48．已知四面体ABCD ，△ABC 是边长为6的正三角形，DA ＝DB ＝2√3，二面角D ﹣AB ﹣C 的大小为23π，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．40πB ．52πC ．72πD ．84π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。