插值法习题5.3
第二章 插值法--课堂
考察函数
右图给出了 和 的图像,当n 增大时, 在两端 会发出激烈的振荡 ,这就是所谓龙格现 象。该现象表明,在 大范围内使用高次 插值,逼近的效果往 往是不理想的
另外，从舍入误差来看，高次插值误差的传播 也较为严重，在一个节点上产生的舍入误差会在计 算中不断扩大，并传播到其它节点上。因此，次数 太高的高次插值多项式并不实用，因为节点数增加 时，计算量增大了，但插值函数的精度并未提高。 为克服在区间上进行高次插值所造成的龙格现象， 采用分段插值的方法，将插值区间分成若干个小的 区间，在每个小区间进行线性插值，然后相互连接 ，用连接相邻节点的折线逼近被插函数，这种把插 值区间分段的方法就是分段线性插值法。
有2n+2个根，但 是不高于2n+1次的多项式
，所以
，即
惟一性得证。
定理5.4 若f(x)在a,b上存在2n+2阶导数，则 2n+1次Hermite插值多项式的余项为
其中 定理的证明可仿照Lagrange插值余项的证 明方法请同学们自行证明
实际中使用最广泛的是三次Hermite插值多项式, 即 n=1的情况
表示互为逆运算。
至于如何实现这些基本运算之
间的联系和转化，途径是多种 多样的，结果是丰富多彩的，魅力是无群无尽的
§4 埃尔米特插值
注： N 个条件可以确定 N 1 阶多项式。 要求在1个节点 x0 处直到m0 阶导数都相等的插值
多项式即为Taylor多项式 其余项为
一般只考虑 f 与f ’的值。
二、分段三次埃尔米特插值
分段线性插值函数导数间断，若已知节点上函数值和
导数，可构造一个导数连续的插值函数Ih(x)，满足
§6 三次样条插值
一、样条插值的概念
数值方法课后习题答案
数值方法课后习题答案习题1：插值法给定一组数据点 \((x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)\)，使用拉格朗日插值法构造一个多项式 \(P(x)\)，使其通过所有给定的数据点。
答案：拉格朗日插值法的多项式 \(P(x)\) 可以表示为：\[ P(x) = \sum_{i=1}^{n} y_i \prod_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \]习题2：数值积分使用梯形法则和辛普森法则分别计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\) 的近似值。
答案：- 梯形法则的近似值：\[ \text{Trapezoidal Rule} \approx \frac{h}{2}(y_0 + 2y_1 +2y_2 + \ldots + y_{n-1}) \]- 辛普森法则的近似值：\[ \text{Simpson's Rule} \approx \frac{h}{3}(y_0 + 4y_1 +2y_2 + 4y_3 + \ldots + y_{n-1}) \]习题3：微分方程数值解考虑常微分方程 \(y' = f(x, y)\)，其中 \(f(x, y) = x^2 - y^2\)，初始条件 \(y(0) = 1\)。
使用欧拉方法和改进的欧拉方法分别计算\(y(0.1)\) 的近似值。
答案：- 欧拉方法：\[ y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n) \]- 改进的欧拉方法：\[ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} \cdot (f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, y_{n+1})) \]习题4：线性方程组的数值解给定线性方程组 \(Ax = b\)，其中 \(A\) 是一个 \(n \times n\)的矩阵，\(b\) 是一个 \(n \times 1\) 的向量。
第五章插值法PPT课件
三、几何意义、
四、多项式插值问题
对于不同的函数族Φ的选择，得到不同的插值问题 – 当Φ为一些三角函数的多项式集合时:三角插值; – 当Φ为一些有理分式集合时：有理插值； – 当Φ为一些多项式集合时：多项式插值（代数插
值）
特别的取 = Pn span 1, x, x2,, xn , 即
Pn (x) (x) a0 a1x a2x2 anxn, ai R, 0 i n
求得 V n(x0,x1, ,xn) (xixj) 0jin
由于假设ij时，xixj，故所有因子xi-xj0，于 是Vn(x0,x1,…,xn)0。由克莱姆(Grammer)法则，
方程组的解存在且唯一，从而插值多项式是存在唯
一的。
证毕
六、插值余项
引理 已知函数f(x)在[a,b]上具有m-1阶连续导函 数，且在（a,b）上存在m阶导数。 若它在该区间 上有m+1个零点，则它的m阶导函数在(a,b)内至
(xi
) n i0
。
若函数族 中的函数(x) 满足条件
(xi ) f (xi ), i 0,1,, n
（1）
则称 ( x)
为
f
(x)
在
中关于节点
xi
n i0
的一个插值函数。
f (x) ——被插值函数； [a, b] ——插值区间；
xi
n i0
——插值节点；
式（1）——插值条件.
求插值函数(x)的问题称为插值问题。
n
n
若记 n1(x) ，(x则x有i)
n1(x，k)从而(xk xi)
i0
lk(x)(xxkn) 1(n'x)1(xk)
i0,ik
3.插值基函数的性质
插值方法练习题
插值方法练习题一．已知函数y = f (x)的一组数据对这些数据进行多项式插值和三次样条插值，并求：x = 3.5 4.1 6.2 4.5时，y相应的多项式插值和三次样条插值函数值。
二．绘制上题中函数y = f (x)在区间[0, 10]上的多项式插值函数图形，并将已知点用“o”标出。
三．求出上题中每一小段内的三次函数。
绘制上题中函数y = f(x)在区间[0, 10]上的三次样条插值函数图形，并将已知点用“ ”标出。
四．对函数y = 1/(1+x2)在[-5, 5]上进行多项式插值，如何避免Runge现象。
五．对下表给出的数据作曲面插值参考答案：一．y = 13.2476 12.6730 9.8032 11.9877附：命令行x=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];y=[12.34 13.02 13.98 13.52 12.81 11.08 9.96 9.51 10.23 11.14 12.25];xx=[3.5 4.1 6.2 4.5];p=polyfit(x,y,10);y1=polyval(p,xx)yy=spline(x,y,xx)二．附：命令行x=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];y=[12.34 13.02 13.98 13.52 12.81 11.08 9.96 9.51 10.23 11.14 12.25];xx=0:0.0001:10;p=polyfit(x,y,10);y1=polyval(p,xx);plot(xx,y1,‘-‘,x,y,’o’)三．p1 = -0.4440 1.4719 -0.3479 12.3400p2 = -0.4440 1.4719 -0.3479 12.3400p3 = 0.5198 -4.3109 11.2177 4.6295p4 = -0.4654 4.5561 -15.3834 31.2307p5 = 0.5717 -7.8892 34.3977 -35.1441p6 = -0.1915 3.5588 -22.8420 60.2554p7 = 0.2542 -4.4634 25.2912 -36.0109p8 = -0.3253 7.7064 -59.8974 162.7624p9 = 0.0671 -1.7107 15.4393 -38.1354p10 = 0.0671 -1.7107 15.4393 -38.1354附：命令行x=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];y=[12.34 13.02 13.98 13.52 12.81 11.08 9.96 9.51 10.23 11.14 12.25];xx=0:0.0001:10;yy=spline(x,y,xx);for k=1:10;p=polyfit(xx(3*k-2:3*k+1),yy(3*k-2:3*k+1),3)endplot(xx,yy,‘-‘,x,y,’x’)四．切比雪夫点插值x i =5cos((i-1)π /10)，i=1, 2, ⋯, 11，附：命令行x=-5:0.001:5;y=1./(1+x.^2);n=11;k=1:n;x0=5cos((k-1)/(n-1).*pi);y0=1./(1+x0.^2);p=polyfit(x0,y0,n-1);yy=polyval(p,x);plot(x,y,'-',x0,y0,'o',x,yy,'--')五．x0=1:5;y0=1:5;[xx,yy]=meshgrid(x0,y0); m=length(x0);n=length(y0);z=[12.52 9.58 7.26 6.34 8.49; 14.26 10.98 6.63 5.04 7.56;15.02 9.23 5.38 6.26 9.57;13.94 8.58 6.26 7.53 11.29;10.28 7.05 7.72 9.15 14.33];xp=1:0.01:5;yp=1:0.01:5;[xxp,yyp]=meshgrid(xp,yp);zp=interp2(xx,yy,z,xxp,yyp,'spline');mesh(xp,yp,zp)。
第5章 插值方法
第5章插值方法5.1 插值问题概述假设f(x)是某个表达式很复杂,甚至根本写不出来的实函数,且已知f(x)在某个区间[a,b]上的n+1个互异的点x0,x1,…,x n处的函数值f(x0),f(x1),…,f(x n)，我们希望找到一个简单的函数y=P(x),使得P(x k)=f(x k),k=0,1,…,n.这就是插值问题。
如果我们找到了这样的函数y=P(x),我们就可以在一定范围内利用P(x)近似表示f(x),从而解决了相应的计算问题。
1.利用函数值列表来表示插值问题对于一个插值问题来说，我们的已知条件就是n+1个互异的点处的函数值.回顾高等数学中学习过的函数的表示方法，我们可用下面表1的形式列出已知的函数值，并简称为由表1给出的插值问题。
表1：插值问题的函数值列表2.重要术语对于n+1个基点的插值问题，我们称：f(x) 为被插值函数;P(x)为插值函数；x0,x1,…,x n为插值基点或插值节点;P(x k)=f(x k),k=0,1,…,n为插值条件；[a,b]为插值区间。
注释：对于早期的插值问题来说，f(x)通常是已知的，比如对数函数，指数函数，三角函数等这些问题现在已经不用插值法来计算了；对于现在的许多实际问题来说，我们并不知道f(x)的具体形式，所对应的函数值可能是由测量仪器或其他物理设备中直接读出来的，f(x)只是一个概念中的函数。
3．多项式插值对于n+1个基点的插值问题，如果要求插值函数是次数不超过n 的多项式，记为P n(x)，则相应的问题就是多项式插值，并且把P n(x)称为插值多项式。
实际上，我们所考虑的插值函数通常都是多项式函数或分段多项式函数。
由于次数不超过n的多项式的一般形式为P n((x)=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n （1）所以只要确定了n+1个系数a 0,a 1,a 2,a n ，我们便确定了一个插值多项式。
4．多项式插值的一般方法对于n+1个基点的多项式插值问题，我们完全可以用上一章中的办法来求插值多项式P n (x)的系数，a 0,a 1,a 2,a n ，它们可表为下面的线性方程组的解，所以多项式插值相对说来是很简单的。
第三章多项式插值方法习题
4、经过点(0,1)，(1,2)，(2,5)的插值多项式 P(x) （ D ）
（A） x
（B） x 1
（C） 2x 1 （D） x2 1
x 0 2 51
5、已知函数 y f (x) 的数据表
，
y 3 6 9 0
则 y f (x) 的拉格朗日插值基函数 l2 (x) （ A ）
（A） x(x 2)( x 1) （B） (x 2)( x 5)( x 1)
第三章 习 题
1、 n 次拉格朗日插值多项式的余项是( A )
(A) Rn (x)
f (n (n
1) ( )
1)!
n1
(
x)
(B) Rn (x)
f
(n)
n
(
!
)
n
(
x)
f (n1) ( )
(C) Rn (x) (n 1)!
(D)
Rn (x)
f (n) ( )
n!
x 0 0.5 1 1.5 2 1 1 x x 1 x 2 1 x3 3 x2 1。
2
2
22
又： R3 x f x px 满足： R0 1, R1 2, R2 3, R0 0 ，
使
xi
x
xi1 ，
令 h xi1 xi ，则： R(x)
f
'' (
2
)
(x
xi
)(x
xi1 )
，
解：对
x
[0,
2
]
，必有某个
x
i
使
xi
x
xi1 ，
令 h xi1 xi ，则： R(x)
f
'' (
数值分析_第二章_插值法
１ x０
x２ ０
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
…
xn－ １ ０
…… ………
V n－ １ （ x０ ，x１ ，… ，xn－ １ ） ＝
１
xn－ ２
x２ n－ ２
…
xn－ １ n－ ２
１
xn－ １
x２ n－ １
…
xn－ １ n－ １
∏ ＝
（ xi － xj ） ．
０ ≤ j ＜ i ≤ n－ １
故 知 V n （ x） ＝ V n－ １ （ x０ ，x１ ，… ，xn－ １ ）（ x － x０ ）（ x － x１ ） … （ x －
＝ R截 ＋ R舍
＝
f″２（！ξ）（ x －
xi ）（ x －
xi＋ １ ） ＋
×
（－
０
．６９３１４７）
＋
（０ ．５４ （０ ．６
－ －
０ ０
．４）（０ ．４）（０
．５４ － ０ ．５） ．６ － ０ ．５）
× （ － ０ ．５１０８２６） ≈ － ０ ．６１５３２０ ．
４畅 解
由题设知 ０° ≤
x≤
９０° ，h ＝
xi＋ １
－
xi
＝
（
１ ６０
）°
．记
xi
处的准确值为 f i ，带有误差的值为 f i ，则
７ ，
x
∈
［１ ，２］ ，
－
１９ ２
x３
＋ ６７ x２
－
２９３ ２
x
＋
１０５ ，
x
∈
（２ ，３］ ．
四 、习题
１畅 根据范德蒙行列式的定义 ，令
V n （ x） ＝ V n （ x０ ，x１ ，… ，xn－ １ ，x）
第二章插值法
第二章插值法第二章插值法1．已知5125,464,327333===，构造二次拉格朗日插值多项式，1）计算3100；2）估计误差。
----4.68782, 0.6181312.用插值点)25,5(),9,3(),4,2(构造牛顿插值多项式，并计算)5.3(N 。
----12.253.设4)(x x f =，试利用插值余项定理写出以-1，0，1，2 为插值节点的三次插值多项式。
----x x x 2223-+4．已知)())(()(10n x x x x x x x f ---= ，求差商],,,,[10x x x x f n 。
----15．设],[)(2b a C x f ∈，由))(,(a f a 和))(,(b f b 构造的插值函数为)(1x L ，证明： M a b x L x f x R 211)(81|)()(||)(|-≤-= 其中，|)("|max x f M bx a ≤≤=6．设],[)(2b a C x f ∈，且0)()(==b f a f ，证明： M a b x f 2)(81|)(|-≤其中，|)("|max x f M b x a ≤≤=7．设n x x x ,,,10 为1+n 个互异的节点，)(x l i 为拉格朗日插值基函数，试证：n k x l t xn i i k i ,,2,1,0)()(0 ==-∑=8．给出函数表： i x 1.05 1.10 1.15 1.20 )(i x f 2.13 2.20 2.17 2.32 构造分段线性插值函数，计算)065.1(f 的近似值。
----02.1519.给定)('),(),(010x f x f x f ，构造满足上述插值条件的二次插值多项式。
----2020100101000)()()(')()()()(')()()(x x x x x f x x x f x f x f x x x f x -----+-+=?10．给出x x f cos )(=的等距节点函数表，如用线性插值计算)(x f 的近似值，使其截断误差为51021-?，则函数表的步长应取多大？----310102-?≤h。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
东南大学
数学建模实验报告实验内容：第五章数值分析法建模习题5.3
一实验目的
(1)掌握插值法的基本思想及方法
(2)学会使用软件进行差值拟合
二实验内容与要求
3.(1)已知某平原地区的一条公路经过如下坐标点，请用不同的插值方法绘出这条公路（不考虑公路的宽度）。
(2)对于上表给出的数据,估计公路长度.
采用三种差值法,分别进行线性拟合,调用Matlab中函数
格式：
yi = interp1(x,Y,xi,method) %用指定的算法计算插值：
’nearest’：最近邻点插值;
’spline’：三次样条函数插值;
’cubic’：分段三次Hermite插值。
所得图像公路长度
三实验小结
此次实验采用插值法对数据进行拟合,总共采用了三种方法分别进行拟合,通过查找资料找到了在Matlab中进行差值的函数,大大简化了代码编写过程.。