专题3 圆与相似综合压轴题

专题三圆压轴题

一、核心讲练

1.如图，在⊙O的内接四边形ACDB中，AB为直径，AC：BC=1：2，点D为弧AB的中点，BE⊥CD垂足为E．

(1)求∠BCE的度数；

(2)求证：D为CE的中点；

(3)连接OE交BC于点F，若AB OE的长度．

2.如图，半圆O中，将一块含60°的直角三角板的60°角顶点与圆心O重合，角的两条边分别与半圆圆弧交于C，D两点(点C在∠AOD内部)，AD与BC交于点E，AD与OC交于点F．

(1)求∠CED的度数；

(2)若C是弧AD的中点，求AF：ED的值；

(3)若AF=2，DE=4，求EF的长．

3.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC．延长AD到E，使得∠EBD=∠CAB．

(1)如图1，若BD AC=6．①求证：BE是⊙O的切线；②求DE的长；

(2)如图2，连结CD，交AB于点F，若BD CF=3，求⊙O的半径．

4.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，AC=8，以C为圆心，4为半径作⊙C．

(1)试判断⊙C与AB的位置关系，并说明理由；

(2)点F是⊙C上一动点，点D在AC上且CD=2，试说明△FCD～△ACF；

(3)点E是AB边上任意一点，在(2)的情况下，试求出EF+1

2

F A的最小值．

二、满分突破

5.如图，已知△ABC 内接于⊙O ，点E 在弧BC 上，AE 交BC 于点D ，EB 2=ED ?EA 经过B 、C 两点的圆弧交AE 于I ．

(1)求证：△ABE ∽△BDE ；

(2)如果BI 平分∠ABC ，求证=AB

AE

BD EI ;

(3)设O 的半径为5，BC =8，∠BDE =45°，求AD 的长．

专题三 课堂小测

1.在实数-3，2，0，﹣4中，最大的数是( )

A.-3

B.2

C.0

D.-4

2.下列图形中是轴对称图形的是( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

3.计算x 6÷x 2正确的是( )

A.3

B.x 3

C.x 4

D.x 8

4.下列调查中，最适合采用全面调查(普查)方式的是( )

A.对重庆市初中学生每天阅读时间的调查

B.对端午节期间市场上粽子质量情况的调查

C.对某批次手机的防水功能的调查

D.对某校九年级3班学生肺活量情况的调查

5.若x =-13

，y =4，则代数式3x +y -3的值为( ) A.-6 B.0 C.2 D.6 6.要使分式

43x -有意义，x 应满足的条件是( ) A.x ＞3 B.x =3 C.x ＜3 D.x ≠3

7.若△ABC ～△DEF ，相似比为3：2，则对应高的比为( )

A.3：2

B.3：5

C.9：4

D.4：9

8.如图，矩形ABCD 的边AB =1，BE 平分∠ABC ，交AD 于点E ，若点E 是AD 的中点，以点B 为圆心，BE

长为半径画弧，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积是( ) A.2-4π B.32-4π C.2-8π D.32-8

π 9.下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形

中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规

律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为( )

A.73

B.81

C.91

D.109

10.“渝新欧”国际铁路联运大通道全长11000千米，成为服务“一带一路”的大动脉之一，将数11000用科学记数法表示为 ．

11.如图，BC 是⊙O 的直径，点A 在圆上，连接AO ，AC ，∠AOB =64°，则∠ACB = ．

12.某班体育委员对本班学生一周锻炼时间(单位：小时)进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则该班这些学生一周锻炼时间的中位数是 小时．

13.如图，AB ∥CD ，点E 是CD 上一点，∠AEC =42°，EF 平分∠AED 交AB 于点F ，则∠AFE = 度．

14.A 、B 两地之间的路程为2380米，甲、乙两人分别从A 、B 两地出发，相向而行，已知甲先出发5分钟后，乙才出发，他们两人在A 、B 之间的C 地相遇，相遇后，甲立即返回A 地，乙继续向A 地前行．甲到达A 地时停止行走，乙到达A 地时也停止行走．在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y (米)与甲出发的时间x (分钟)之间的关系如图所示，则乙到达A 地时，甲与A 地相距的路程是 米．

15.若数a 使关于x 的分式方程2+=4-11-a x x 的解为正数，且使关于y 的不等式组21323()0

y y y a +?->???-≤?的解集为y ＜-2，则符合条件的所有整数a 的和为 .

参考答案

一、核心讲练

1. (1) 45°；(2)∵BE ⊥CD ，又∵∠ECB =45°，∴∠CBE =45°，∴CE =BE ，∵四边形ACDB 是圆O 的内接四边形，∴∠A +∠BDC =180°，又∵∠BDE +∠BDC =180°，∴∠A =∠BD ，又∵∠ACB =∠BED =90°，∴△ABC ∽△DBE ，∴DE ：AC =BE ：BC ，∴DE ：BE =AC ：BC =1：2，又∵CE =BE ，∴DE ：CE =1：2，∴D 为CE 的中点；

(3)连接EO ，∵CO =BO ，CE =BE ，∴OE 垂直平分BC ，∴F 为BC 中点，又∵O 为AB 中点，∴OF 为△ABC

的中位线，∴OF =

12AC ，∵∠BEC =90°，EF 为中线，∴EF =12

BC ，在Rt △ACB 中，AC 2+BC 2=AB 2，∵AC ：

BC =1：2，AB AC BC OE =OF +EF 2. (1) 120°，(2) AF ：ED =3：2．

(3)连接CD ，过点F 作AC 的垂线，垂足为H ．设CE =x ，则AC ，AE =2x ，EF =2x -2，

在Rt △AFH 中，∠HAF =30°，AF =2，∴FH =1，AH CH FCE =∠OBC =∠CDF ，∠CFE =∠DFC ，∴△CFE ∽△DFC ，∴=FC FD FE FC

，∴FC 2=EF ?DF =(2x -2)(2x +2)=4x 2-4，在Rt △FCH 中，∵

CH 2+FH 2=CF 2，∴2+12=4x 2-4，解得x 或舍)，∴EF =2x -8．

3. (1)①如图1，连接OB ，∵BD =BC ，∴∠CAB =∠BAD ，∵∠EBD =∠CAB ，∴∠BAD =∠EBD ，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD =90°，OA =BO ，∴∠BAD =∠ABO ，∴∠EBD =∠ABO ，∴∠OBE =∠EBD +∠OBD =∠ABD +∠OBD =∠ABD =90°，∵点B 在⊙O 上，∴BE 是⊙O 的切线；②∵四边形ACBD 是圆的内接四边形，∴∠

ACB =∠BDE ，且∠EBD =∠CAB ，∴△ACB ∽△BDE ，∴=AC BC

BD DE ，解得DE =103； (2)如图2，延长DB 、AC 交于点H ，∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ABD =∠ABH =90°，∵BD =BC ，∴∠DAB =∠

HAB ，∴△ABD ≌△ABH (ASA )，∴BD =HB ∵∠DCH =∠FBD =90°，∴△DCH ∽△DBF ，∴=DC DH BD DF ，

DF =5，设⊙O 的半径为r ，则AD =AH =2r ，在Rt △DCH 中，CH =4，∴AC =2r -4，在Rt △ACD 中， AD 2=AC 2+CD 2，∴(2r )2=(2r -4)2+82，解得r =5，即⊙O 的半径为5．

4. (1)相切．理由：作CM ⊥AB 于M ．在Rt △ACM 中，∵∠AMC =90°，∠CAM =30°，AC =8，∴CM =12AC =4，∵⊙O 的半径为4，∴CM =r ，∴AB 是⊙C 的切线．

(2)∵CF =4，CD =2，CA =8，∴CF 2=CD ?CA ，∴

=CF CA CD CF ，∵∠FCD =∠ACF ，∴△FCD ∽△ACF ．

(3)作AE ′⊥AB 于E ′，交⊙C 于F ′．∵△FCD ∽△ACF ，∴

1=2DF CF AF CA ，∴DF =12AC ，∴EF +12AF =EF +DF ，∴欲求EF +12

AF 的最小值，就是要求EF +DF 的最小值，当E 与E ′，F 与F ′重合时，EF +DF 的值最小，最小值=DE ′=12

AD =3． 二、满分突破

5.(1)略； (2)∵△ABE ∽△BDE ，∴

=AB AE BD BE

，∠BAE =∠DBE ，∵BI 平分∠ABC ，∴∠ABI =∠DBI ， ∵∠EBI =∠EBD +∠DBI ，∠BIE =∠BAD +∠ABI ，∴∠EBI =∠EIB ，∴BE =EI ，∴=AB AE BD EI ； (3)连接EC 、OB 、OC 、OE ，设OE 交BC 于F ，如图，∵∠BAE =∠EBC ，∠EBC =∠EAC ，∴∠BAE =∠EAC ，∵∠BOE =2∠BAE ，∠COE =2∠CAE ，∴∠BOE =∠COE ，∴=BE CE ，∴EB =EC ，∴EB =EC =EI ，

∴点E 是过点I 的BC 的圆心，EB 是过点I 的BC 的半径，∵OB =OC ，∠BOE =∠COE ，∴BF =CF =12

BC =4，

在Rt △OFC 中，∵OC =5，FC =4，∴OF =3，∴EF =OE ﹣OF =5﹣3=2，∴BE ∵∠BDE =45°，∠DFE =90°，

∴∠DEF =90°﹣45°=45°=∠FDE ，∴DF =EF =2，∴BD =BF +DF =4+2=6，DE

∵AE ?DE =BE 2，∴(AD 2，∴AD

课堂小测

1.B ；

2.C ；

3.C ；

4.D ；

5.B ；

6.D ；

7.A ；

8.B ；

9.C ；10.1.1×104；11.32°；12.11；13.69°；14.180；15.10；