中考数学专题复习圆与相似的综合题附答案解析

、相似

AE=EF=FD.

（1）求EG ：BG 的值

（2）求证：AG=OG

（3）设AG =a ,GH =b，HO =c，求 a : b : c 的值

【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO= AC，AD=BC，AD∥ BC，

∴△ AEG∽△CBG，

∴ = = ．

∵AE=EF=FD，

∴BC=AD=3AE，

∴GC=3AG，GB=3EG，

∴EG：BG=1：3

（2）解：∵ GC=3AG（已证），

∴AC=4AG，

∴AO= AC=2AG，

∴GO=AO﹣AG=AG

（3）解：∵ AE=EF=FD，∴BC=AD=3AE，AF=2AE．∵AD∥BC，

∴△ AFH∽△ CBH，

= = = ，

= ，即AH= AC．

AC=4AG，

a=AG= AC，

b=AH﹣AG= AC﹣AC= AC，

c=AO﹣AH= AC﹣AC= AC，

∴a：b：c= ：=5：3： 2

【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AO= AC，AD=BC，AD∥BC，从而可证

得△ AEG∽△CBG，得出对应边成比例，由AE=EF=FD可得BC=3AE，就可证得GB=3EG，即可求出EG：BG 的值。

（2）根据相似三角形的性质可得GC=3AG，就可证得AC=4AG，从而可得AO=2AG，即可证

得结论。

（3）根据平行可证得三角形相似，再根据相似三角形的性质可得AG= AC，AH= AC，结合AO= AC，即可得到用含AC的代数式分别表示出a、b、c，就可得到a：b：c 的值。

2．已知线段a，b，c 满足，且a＋2b＋c＝26.

1）判断a，2b，c，b2是否成比例；（2）若实数x 为a， b 的比例中项，求x 的值．

【答案】（1）解：设，

则a=3k ，b=2k ，c=6k，又∵ a+2b+c=26，

∴3k+2 × 2k+6k=，26解得k=2，∴a=6，b=4，c=12；

∴2b=8，b2=16

∵a=6，2b=8 ，c=12，b2=16 ∴2bc=96，ab2=6× 16=96

∴2bc=ab2 a，2b，c，b2是成比例的线段。

（2）解：∵x是a、b 的比例中项，∴x2=6ab，

∴x2=6× 4×，6

∴x=12．

【解析】【分析】（ 1 ）设已知比例式的值为k，可得出a=3k，b=2k，c=6k，再代入

a+2b+c=26，建立关于k 的方程，求出kl 的值，再求出2b、b2,然后利用成比例线段的定

义，可判断a，2b，c，b2是否成比例。

（2）根据实数x为a，b 的比例中项，可得出x2=ab，建立关于x的方程，求出x的值。

3．如图，已知：在Rt△ ABC中，斜边AB=10，sinA= ，点P 为边AB上一动点（不与A，B重合），

PQ平分∠ CPB交边BC于点Q，QM⊥AB于M，QN⊥CP于N．

（2）若四边形PMQN 为菱形，求CQ；

（3）探究：AP为何值时，四边形PMQN 与△BPQ的面积相等？

【答案】（1）解：∵AB=10，sinA= ，

∴BC=8，

则AC= =6，

∵PA=PC．

∴∠ PAC=∠PCA，

∵PQ平分∠CPB，

∴∠ BPC=2∠BPQ=2∠A，

∴∠ BPQ=∠ A，

∴PQ∥AC，

∴PQ⊥BC，又PQ 平分∠CPB，

∴∠ PCQ=∠ PBQ，

∴PB=PC，

∴P是AB的中点，

∴PQ= AC=3

（2）解：∵ 四边形PMQN 为菱形，

∴MQ∥PC，

∴∠ APC=90 ，∴ × AB× C P×= AC×，BC 则PC=4.8，由勾股定理得，PB=6.4，∵MQ∥PC，

解得，CQ=

（3）解：∵PQ平分∠CPB，QM⊥AB，QN⊥CP，

∴QM=QN，PM=PN，

∴S△PMQ=S△PNQ ，

∵四边形PMQN 与△BPQ的面积相等，

∴PB=2PM，

∴QM 是线段PB的垂直平分线，

∴∠B=∠BPQ，

∴∠B=∠CPQ，

∴△CPQ∽△CBP，

∴ = =

∴CP=4 × =4 × = 5，

∴AP=AB﹣PB=AB﹣2BM=

【解析】【分析】（１）当AP=CP时，由锐角三角函数可知AC=6，BC=8，因为PQ 平分∠CPB，所以PQ//AC，可知PB=PC，所以点P是AB的中点，所以PQ是△ ABC的中位线，PQ =3;

（2）当四边形PMQN 为菱形时，因为∠APC= ，所以四边形PMQN 为正方形，可得

（3）当QM 垂直平分PB 时，四边形PMQN 的面积与△BPQ 的面积相等，此时

AP= .

4．如果三角形的两个内角与满足＝90°，那么我们称这样的三角形为“准1）若△ABC是“准互余三角形”，

∠C>90°，

2）如图① ，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，若AD 是∠BAC 的平分线，不难证明△ ABD 是“准互余三角形”．试问在边BC 上是否存在点E（异于点D），使得

△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．

（3）如图② ，在四边形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥ CD，∠ ABD＝2∠ BCD，且

△ABC 是“准互余三角形”．求对角线AC 的长．

答案】（1）15

2）解：存在，

在Rt△ ABC中，

∴∠ B+∠BAC=90 ，° ∵AD 是∠ BAC 的平分线，

∴∠ BAC=2∠BAD，

∴∠ B+2∠BAD=90 ，°

∴△ ABD 是“准互余三角形又∵△ABE也是“准互余三角形∴∠B+2∠BAE=90 ，° ∵∠

B+∠BAE+∠EAC=90，° ∴∠ EAC=∠B, 又∵ ∠C=∠C, ∴△ CAE∽△ CBA，

PC=4.8，PB=3.6，因为MQ//PC ，所以

△CPQ∽△CBP，对应边成比例，可得，所以AP=AB-2BM，所以

∠ A＝60°，则∠ B ＝

，因为

如图① ，连结

AE，

∴ ,

即CA2=CB·CE，∵AC＝4，BC＝5，

（3）解：如图② ，

将△ BCD沿BC翻折得到△BCF,

∵CD＝12，

∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD,∠CBD=∠CBF, 又∵ BD⊥ CD，∠ABD=2∠BCD，

∴∠ CBD+∠BCD=90 ，° ∴2∠CBD+2∠BCD=180 ，° 即∠ ABD+∠ CBD+∠CBF=180°，∴A、B、F三点共线，

在Rt△ AFC中，

∴∠ CAB+∠ ACF=90 ，°

即∠ CAB+∠ ACB+∠ BCF=90°，

∴∠CAB+2∠ACB≠ 9，0 °

∵△ ABC是“准互余三角形”,

∴2∠CAB+∠ACB=90 ，°

∴∠ CAB=∠ BCF，

∵∠ F=∠F,

∴△ FCB∽△ FAC，

∴ ,

即FC2=FA·FB,

设BF=x，

∵AB=7,

∴FA=x+7,

∴x（x+7）=122,

解得：x1=9，x2=-16（舍去）

∴AF=7+9=16.

在Rt△ AFC中，

∴AC= = =20.

【解析】【解答】（1）解：∵△ABC 是“准互余三角形”，∠C> 90°，∠A ＝60°，

∴2∠ B+∠A=90 °，

∴2∠ B+60 =°90 ，°

∴∠ B=15 .°

故答案为：15°

【分析】（1）根据“准互余三角形”，的定义，结合题意得2∠ B+∠ A=90°，代入数值即可

求出∠B度数.

（2）存在，根据直角三角形两内角互余和角平分线定义得∠ B+2∠ BAD=90°，根据“准互余

三角形”，定义即可得△ABD 是“准互余三角形”；根据△ ABE 是“准互余三角形”，以及直角三角形两内角互余可得∠ EAC=∠B,根据相似三角形判定“AA可”得△CAE∽△CBA，再由相似三角形性质得,由此求出CE= .从而得BE 长.

（3）如图② ，将△BCD沿BC翻折得到△BCF根, 据翻折性质、直角三角形性质、“准互余三

角形”定义可得到△ FCB∽△ FAC，再由相似三角形性质可得,设BF=x，代入数值即

可求出x 值，从而求出AF 值，在Rt△AFC中，根据勾股定理即可求得AC长.

5．如图：在中，BC=2,AB=AC，点 D 为AC上的动点，且.

2）求AD·AE的值；

3）过 A 点作AH⊥ BD，求证：BH=CD+DH. 答案】（1）解：作AM ⊥ BC，