(精选)数值计算方法上机实习题

数值计算方法上机实习题

1． 设?+=1

05dx x

x I n

n ， （1） 由递推公式n

I

I

n n 1

51+

-=-，从, 0=0.1823I 出发，计算20I ；

（2） 20=0I ，20=10000I , 用n

I I n n 51

5111+-

=--，计算0I ； (1)由I 0计算I 20

递推子程序：

function f=fib(n,i) if n>=1

f=fib(n-1,i)*(-5)+(1/(n)); elseif n==0 f=i; end

计算和显示程序：

I=0.1824; I1=0.1823; fib1=fib(20,I); fib2=fib(20,I1);

fprintf('I_0=0.1824时，I_20=%d\n',fib1); fprintf('I_0=0.1823时，I_20=%d\n',fib2);

计算结果显示：

I_0=0.1824时，I_20=7.480927e+09 I_0=0.1823时，I_20=-2.055816e+09

(2)由I 20计算I 0

程序：

n=21; i1=0; i2=10000; f1=i1; f2=i2; while n~=0;

f1=f1*(-1/5)+(1/(5*n)); f2=f2*(-1/5)+(1/(5*n)); n=n-1; end

fprintf('I_20=0 时，I_0=%4.8f\n',f1); fprintf('I_20=10000时，I_0=%4.8f\n',f2);

计算结果显示：

I_20=0 时，I_0=0.18232156 I_20=10000时，I_0=0.18232156

（3） 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。 答：第一个算法可得出

易知第一个算法每一步计算都把误差放大了5倍，n 次计算后更是放大了5n

倍，可靠性低。 第二个算法可得出

可以看出第二个算法每一步计算就把误差缩小5倍，n 次后缩小了5n

倍，可靠性高。

2． 求方程0210=-+x e x

的近似根，要求41105-+?<-k k x x ，并比较计算量。 （1） 在[0，1]上用二分法； (1) [0，1]上的二分法

二分法子程序：

function [root,n]=EFF3(f,x1,x2) %第二题(1)二分法

f1=subs(f,symvar(f),x1);%函数在x=x1的值 f2=subs(f,symvar(f),x2);%x=x2 n=0;%步数 er=5*10^-4;%误差 if(f1==0) root=x1; return; elseif(f2==0) root=x2; return; elseif(f1*f2>0)

disp('两端点函数值乘积大于0！'); return; else

while(abs(x1-x2)>er)%循环 x3=(x1+x2)/2;

f3=subs(f,symvar(f),x3); n=n+1; if(f3==0) root=x3; break; elseif(f1*f3>0) x1=x3; else x2=x3; end end

root=(x1+x2)/2;%while 循环少一步需加上 end

计算根与步数程序：

fplot(@(x) exp(x)+10*x-2,[0,1]); grid on; syms x;

f=exp(x)+10*x-2; [root,n]=EFF3(f,0,1);

fprintf('root=%6.8f ,n=%d \n',root,n);

计算结果显示：

root=0.09057617 ,n=11

（2） 取初值00=x ，并用迭代10

21

x k e x -=+；

（4） 取初值00 x ，并用牛顿迭代法；

（5） 分析绝对误差。

答：可以看到，在同一精度下，二分法运算了11次，题设迭代算式下运算了4次，加速迭代下运算了2次，牛顿迭代下运算了2次。因不动点迭代法和二分法都是线性收敛的，但二分法压缩系数比题设迭代方法大，收敛速度较慢。加速迭代速度是超线性收敛，牛顿法是二阶，收敛速度快。

3．钢水包使用次数多以后，钢包的容积增大，数据如下：

试从中找出使用次数和容积之间的关系，计算均方差。（用ax b

y c x

+=

+拟合）

xlabel('次数

','FontSize',14,'FontWeight','Bold'); ylabel('容积

','FontSize',14,'FontWeight','Bold'); set(gxt,'LineWidth',1.5);

grid on;

%计算均方差

for i=1:15

y2(i)=(f(1).*x(i)+f(2))./(f(3)+x(i)); （接下页）

end

j=0;

for i=1:15

j=j+(y(i)-y2(i))^2;

end

jfc=sqrt(j/15);

fprintf('拟合出的方程

为:(x+%4.4f)y=%4.4fx+%4.4f \n均方差为:%4.8f \n',f(3),f(1),f(2),jfc);指标选择，因题设方程为非线性的，要转化为线性方程故需提指标为：

其驻点方程为:

计算结果显示：

4．设??????????

??----------------=410100141010014101101410010141001014A ，??????

???

?

??--=625250b ，b x =A

分析下列迭代法的收敛性，并求42

110-+≤-k k x x 的近似解及相应的迭代次数。

(1) Jacobi 迭代

Jacobi 迭代子程序：

function [x,k]=Jacobifl2(A,b,x0,eps,max1) %jacobi 按矩阵的分量算法

%x0初值，eps 误差，max1最大迭代次数 n=length(x0);

Jacobi 迭代计算程序：

A=[4 -1 0 -1 0 0;-1 4 -1 0 -1 0;0 -1 4 -1 0 -1; -1 0 -1 4 -1 0; 0 -1 0 -1 4 -1;0 0 -1 0 -1 4;];

b=[0 5 -2 5 -2 6]'; x0=[0 0 0 0 0 0]';

（3）SOR迭代（取

，找到迭代步数最少的）。

5．用逆幂迭代法求????

? ??=111123136A 最接近于11的特征值和特征向量，准确到3

10-。

6．用经典R-K 方法求解初值问题

（1）???-+-='++-='x x y y y x y y y sin 2cos 22sin 22212211，]10,0[∈x ， ???==3)0(2

)0(2

1y y ；

（2）???-+-='++-='x x y y y x y y y sin 999cos 999999998sin 22212

211，]10,0[∈x ， ???==3)0(2

)0(21y y

。

和精确解???+=+=--x e x y x

e x y x

x cos 2)(sin 2)(2

1比较，进行误差分析得到结论，图形显示精确解和数值解。

计算结果显示：

(1)Ode 23的题1

(2)Ode 3的题2

(3)Ode 45的题1

7．用有限差分法求解边值问题（h=0.1），并图形显示。

??

?==-=+-''1

)1()1(0

)1(2y y y x y .

b=b';% n-1

u(1)=b(1)/B(1);

v(1)=C(1)/B(1);

for k=2:n-2;

u(k)=(b(k)-u(k-1)*C(k-1))/(B(k)-v(k-1)*C(k-1)); v(k)=C(k)/(B(k)-v(k-1)*C(k-1));

end

u(n-1)=(b(n-1)-u(n-2)*C(n-2))/(B(n-1)-v(n-2)*C(n-2)) ;

V(n-1)=u(n-1);

for k=n-2:-1:1

V(k)=u(k)-v(k)*V(k+1);

end

y=[1,V,1];总结：

对比两个步长下，求边值问题，步长小，越精确。

（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）