考研数学模拟考试(数学一)

考研数学模拟考试(数学一)

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2

2014年考研数学模拟试题（数学一）

参考答案

一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）

1.设()f x 在(,)-∞+∞内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（）. （A ）sin ()f x '（B ）

sin ()x t f t dt ??

（C ）

(sin )x f t dt ?

（D ）

[sin ()]x t f t dt +?

解 选择B. 由题设知，sin ()t f t ?为偶函数，故

sin ()x t f t dt ??

为奇函数.

2.设1

1

1e ,0,()1e 1,

0,x x

x f x x ?

+?≠?=?-??=? 则0x =是()f x 的（）.

（A ）可去间断点（B ）跳跃间断点（C ）第二类间断点（D ）连续点

解 选择B. 1

10

1e lim ()lim 11e

x x x x

f x -

-→→+==-，1

10

1e lim ()lim 11e

x x x x

f x ++

→→+==--，故0x =是()f x 的跳跃间断点.

3.若函数()f x 与()g x 在(,)-∞+∞内可导，且()()f x g x <，则必有（）. （A ）()()f x g x ->- （B ）()()f x g x ''< （C ）0

lim ()lim ()x x x x f x g x →→< （D ）

()()x x

f t dt

g t dt

?

解 选择 C. 由函数()f x 与()g x 在(,)-∞+∞内可导知， ()f x 与()g x 在(,)-∞+∞内连续，0

0lim ()()x x f x f x →=，

0lim ()()x x g x g x →=，而00()()f x g x <，故0

lim ()lim ()x x x x f x g x →→<.

4.已知级数

1

1

(1)

n n n a ∞

-=-∑和21

n n a ∞=∑分别收敛于,a b ，则级数1

n n a ∞

=∑（）.【C 】

(A)不一定收敛 (B) 必收敛，和为2a b + (C)必收敛，和为2a b - (D) 必收敛，和为2a b +

解 选择D. 由级数

1

1

(1)

n n n a ∞

-=-∑收敛知，lim 0n n a →∞

=，

设

1

1

(1)

n n n a ∞

-=-∑，21

n n a ∞

=∑

1

n

n a

∞

=∑的前n 项和分别为,,n n n s S σ，则lim ,lim n n n n s a S b →∞

→∞

==，

2122k k a a a σ=+++L

故22lim lim(2)2k k k k k s S a b σ→∞

→∞

=+=+，21221lim lim()2k k k k k a a b σσ++→∞→∞

=+=+，

所以lim 2n n a b σ→∞

=+，级数

1

n

n a

∞

=∑收敛，和为2a b +.

5.设矩阵A 与101020101B -?? ?

= ? ?-??

相似，则()(2)r A r A E +-=（）.

(A)3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

解 选择A. 矩阵A 与B 相似，则2A E -与2B E -相似， 故()(2)()(2)213r A r A E r B r B E +-=+-=+=.

6.设3阶方阵A 的特征值是1,2,3，它们所对应的特征向量依次为123,,ααα，令312(3,,2)P ααα=，则1

P AP -=（）.

（A ）900010004?? ? ? ???（B ）300010002?? ? ? ???

（C ）100020003?? ? ? ???（D ）100040009?? ? ? ???

解 因为3123,,2ααα分别为A 的对应特征值3,1,2的特征向量，故1

P AP -=300010002??

? ? ???

.

7. 设随机变量X 服从[1,1]-上的均匀分布，则X 与e

X

Y -=（）.

（A ）不相关 （B ）相关 （C ）独立 （D ）相关且不独立 解 选择A. 经计算得，(,)(,e

)(e

)e

0X

X

X

Cov X Y Cov X E X EXE ---==-=，0XY ρ=.

8. 设1,,n X X L 是取自正态总体(0,1)N 一个简单随机样本，则下列结论中错误的是（）.

（A ）~(0,1)nX N （B ）2

2

(1)~(1)n S n χ--（C ）~(1)nX t n S

-（D ）2

12

1~(1,)n i i nX F n X =∑ 解 选择 D. 由一个正态总体的抽样分布知A ，B ，C 都正确，22

221

1

~(1),

~()n

i

i X X

n χχ=∑，但是它们不独立，不能推出

2

121

~(1,)n

i

i nX F n X

=∑.

9.设函数(,)f x y 具有连续偏导数，且2

(,234)f x x x x -+=，(1,3)2x f =，则(1,3)y f = .

解 答案为1-. 方程2

(,234)f x x x x -+=两边对x 求导，得

22(,234)(,234)(43)1x y f x x x f x x x x -++-+?-=，

令1x =，得(1,3)(1,3)1x y f f +=，故(1,3)1y f =-. 10.微分方程(e 1)1x

y y -'+-=的通解为 .

解 答案为e e (1e )x

x

y C -=+. (e 1)(e

1)e [e ]x x

dx

dx

y dx C -----?

?

=+?

e

e e

e e e (e e )e (e )e (1e )x

x

x

x

x

x

x x

x dx C C C -----+--+-=+=+=+?.

11.设2

cos n

n x a

nx ∞

==

∑，则2a = .

解 答案为1. 220

2

cos 21a x xdx π

π

==?

12.设S 为锥面22(01)z x y z =

+≤≤外侧，则 S

y dydz =?? .

解 答案为0. S 关于yoz 面反向对称，y 关于x 为偶函数，故

0S

ydydz =??.

13.设A 为n 阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为1，则齐次方程组0Ax =的通解为 .

解 答案为T

(1,1,,1)k L ，k 为任意常数. 由题设知，*

()1r A =，()1r A n =-，()1n r A -=且*AA A E O ==，故*

A 的列

向量T

(1,1,,1)L 是0Ax =的基础解系.

14.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布(0,1)N ，则{}max(,)0P X Y ≥= .解 答案为

34

. {}{}{}max(,)01max(,)010,0P X Y P X Y P X Y ≥=-<=-<<

{}{}231001(0)4

P X P Y Φ=-<<=-=

.

三、解答题（本题共9小题，满分94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15. （本题满分9分）设(,)u f x z =，而(,)z z x y =是由方程()z x y z ?=+所确定的隐函数，其中f 具有连续偏导数，而?具有连续导数，求du .

解 取全微分x z du f dx f dz =+，()()()1()

dx z dy

dz dx z dy y z dz dz y z ????+'=++?=

'-，

故()11z z x f f du f dx dy y y ?

??=+

+''

--.

16. （本题满分10分）

设()f x 在(,)-∞+∞上连续，且

()e cos t x n

f x t dt x -=?

.

⑴求()f x ；⑵ 设(0)n a f =，求级数1

112

n

n n a ∞

+=+

∑的和. 解 ⑴令u x t =-，则

()e ()e

e

()e t x u x u x x n

n

n

n

x

f x t dt f u du f u du --

-=-=?

??

，

故0

e

()e cos x u x n

n

f u du x -

=?

，即0

()e e cos u x x n

n

f u du x -

-

=?，

上式两边对x 求导，得1()e

e cos e sin x x x

n

n

n

f x x x n

-

--=--，

即1

()cos sin f x x x n

=-

-. ⑵ 1

(0)n a f n ==-，级数111111122

n n n n n a n ∞∞

++==+=-∑∑，

11

0011

1()1111ln(1),11n x x n n n x s x x x dx x dx x x x n x +∞

∞-===-=-=-=+-<-∑∑??

1

1

11

1()1ln 2222n n n a s ∞

+=+==-∑

. 17. （本题满分10分）设球体2

2

2

2(0)x y z az a ++≤>的各点密度与坐标原点到该点的距离成反比（比例系数0k >），求球体的质量M 及球体绕z 轴旋转的转动惯量z I . 解 由题设知，球体Ω上任一点的密度2

2

2

(,,)k x y z x y z ρ=

++，

球体的质量2

2

2

(,,)k M x y z dV dV x y z

Ω

Ω

ρ=

=++??????

22cos 2220

4

sin 3

a k d d r dr ka r π

π?θ??π==?

??

. 转动惯量222

2

2

2

2

()()(,,)z k x y I x y x y z dV dV x y z

Ω

Ω

ρ+=

+=++??????

22cos 334216

sin a d d kr dr ka π

π?θ??π==

?

??

.

18. （本题满分11分）设函数()f x 在[2,4]上连续，在(2,4)内可导，且423

(2)(1)()f x f x dx =-?

，证明：存在(2,4)ξ∈，

使得2()

()1f f ξξξ

'=

-. 证 令2

()(1)()F x x f x =-，则2

()2(1)()(1)()F x x f x x f x ''=-+-， 由积分中值定理知，存在[3,4]c ∈，使得

4

223

(2)(1)()(1)()f x f x dx c f c =-=-?，即(2)()F F c =，

由罗尔定理知，存在(2,)(2,4)c ξ∈?，使得()0F ξ'=，即2

2(1)()(1)()0f f ξξξξ'-+-=，即2()

()1f f ξξξ

'=-. 19. （本题满分10分）

（数学一）证明：在右半平面0x >上，曲线积分

22(4)()4L

x y dy x y dx

x y ++-+?与路径无关，并求一个二元函数(,)u u x y =，使得22

(4)()4x y dy x y dx

du x y ++-=

+.

证 2222

4,44x y x y

P Q x y x y

-+=

=++， 2222

22222242(4)48(4)(4)Q x y x x y y xy x x x y x y ?+-+--==?++， 2222

222222

(4)8()48(4)(4)P x y y x y y xy x y x y x y ?-+----==?++， 在右半平面0x >上，

Q P

x y ??=??，故曲线积分22

(4)()4L

x y dy x y dx x y ++-+?与路径无关. 解 所求函数(,)22

(1,0)

(4)()4x y x y dy x y dx

u x y ++-=

+?

，

取积分路径为(1,0)到(,0)x ，再到(,)x y 的折线段，则

22

221

00

1(4)121ln [arctan ln(4)]422y

x y x y dy y u dx x x y x x y x +=+=++++?

? 22121

arctan ln(4)22

y x y x =++. 20. （本题满分11分）

设二维随机向量(,)X Y 联合概率密度为, 0,(,)0, y xe x y f x y -?<<=??

其它.

求⑴条件概率密度()Y X f y x ；⑵Z X Y =+概率密度. 解 画出联合概率密度的非零区域. ⑴关于的边缘密度0,0,

()(,)x f x f x y dy +∞≤?=

=??

条件概率密度0,,

(,)()(),.

Y X x y

X y x f x y f y x f x e y x -≤?=

=?>? ⑵Z X Y =+的取值范围为(0,)+∞ 当0z ≤时，()0Z F z =，

当0z >时，{}{}()(,)Z x y z

F z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=

??

2220

()z z z z x z x y

y

x x z x

x

dx xe dy dx xe dy x e e dx ------===-??

??

?

220

z z x

z

x xe dx e

xe dx --=-??

2

0,0()()(1),02

z Z z z f z F z z e e z -

-≤??'==?-+>?? 21.（本题满分11分）

设1,,n X X L 是取自总体X 一个简单随机样本，X 的概率密度为

ln ,0,()010,0,

x x f x x θθθ?->=<

⑴求未知参数θ的矩估计量；

⑵求未知参数θ的最大似然估计量. 解 ⑴1()ln EX xf x dx θ

+∞-∞

=

=-

?

，令11ln X

X EX e θθ-==-?=， 所以θ的矩估计为1

?X

e θ

-

=.

⑵似然函数11()ln (ln )(ln )n

i

n

i x x x

n L θθθθ

θθθ=∑=--=-L ，

1

ln ()()ln ln(ln )n

i i L x n θθθ==+-∑

1

ln ()1()0ln n i i L n x θθθθθ=?=+=?∑，解得1ln x θ=-，1

x e θ-=， 所以θ的最大似然估计为x

e 1-

∧=θ.

22.（11分）已知两个向量组()()T

T

121,2,3,1,0,1αα==与()()T

T

121,2,,4,1,5t ββ=-=. ⑴t 为何值时，两个向量组等价？

⑵两个向量组等价时，求出它们之间的线性表示式. 解 ⑴对矩阵()1212,,,A ααββ=作初等行变换，得

()1212111411

14,,,2021~024********A t t ααββ--???? ? ?

==-- ? ? ? ?-+-????

1114~02470010t -??

?-- ? ?-??

， 当1t =时，12112(,,)(,)r r ααβαα=，12212(,,)(,)r r ααβαα=，12,ββ可由12,αα线性表示，且12112(,,)(,)r r ββαββ=，

⑵两个向量组等价时，

1101211147~0247~012

200000000A ?

? ?-?? ?

? ?--- ? ? ?

?

?? ? ???

， 故112212172,22βααβαα=-=+，1122127412

,9999

αββαββ=+=+. 23.（11分）已知二维向量α不是二阶方阵A 的特征向量.

⑴证明,A αα线性无关；

⑵若2

60A A ααα+-=，求A 的全部特征值，并判断A 能否与对角矩阵相似. ⑴证 设120k k A αα+=，则20k =，否则1

2

k A k αα=-

，α是的A 特征向量，与题设矛盾，将20k =代入120k k A αα+=，得10k α=，又0α≠，故10k =，所以,A αα线性无关； ⑵解 2

2

60(6)0A A A A αααα+-=?+-=

(3)(2)0A E A E α?+-=或者(2)(3)0A E A E α-+=，

(3)(2)(3)(2)0A E A E A E A ααα+-=+-=，又20A αα-≠，故3A E +有一个特征值为0，从而A 有一个特征值为3-，

同理，2A E -有一个特征值为0，从而A 有一个特征值为2，故A 的特征值为3-和2. 由于二阶方阵A 有两个不同的特征值，故A 能与对角矩阵相似.