初等数论中的几个重要定理
初等数论中的几个重要定理
基础知识
定义(欧拉(Euler)函数)一组数称为是模的既约剩余系,如果对任意的,
且对于任意的,若=1,则有且仅有一个是对模的剩余,即
。并定义中和互质的数的个数,称为欧拉(Euler)函数。
这是数论中的非常重要的一个函数,显然,而对于,就是1,2,…,中与互素的数的个数,比如说是素数,则有。
引理:;可用容斥定理来证(证明略)。
定理1:(欧拉(Euler)定理)设=1,则。
分析与解答:要证,我们得设法找出个相乘,由个数我们想到
中与互质的的个数:,由于=1,从而也是与
互质的个数,且两两余数不一样,故
(),而()=1,故。
证明:取模的一个既约剩余系,考虑,由于与互质,
故仍与互质,且有,于是对每个都能找到唯一的一
个,使得,这种对应关系是一一的,从而
,。
,,故。证毕。
这是数论证明题中常用的一种方法,使用一组剩余系,然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。
定理2:(费尔马(Fermat)小定理)对于质数及任意整数有。
设为质数,若是的倍数,则。若不是的倍数,则由引理及
欧拉定理得,,由此即得。
定理推论:设为质数,是与互质的任一整数,则。
定理3:(威尔逊(Wilson)定理)设为质数,则。
分析与解答:受欧拉定理的影响,我们也找个数,然后来对应乘法。
证明:对于,在中,必然有一个数除以余1,这是因为
则好是的一个剩余系去0。
从而对,使得;
若,,则,,故对于
,有。即对于不同的对应于不同的,即中数可两两配对,其积除以余1,然后有,使,即与它自己配对,这时,
,或,或。
除外,别的数可两两配对,积除以余1。故。
定义:设为整系数多项式(),我们把含有的一组同余式()称为同余方组程。特别地,,当均为的一次整系数多项式时,该同余方程组称为一次同余方程组.若整数同时满足:
,则剩余类(其中)称为同余方程组的一个
解,写作
定理4:(中国剩余定理)设是两两互素的正整数,那么对于任意整数,
一次同余方程组,必有解,且解可以写为:
这里,,以及满足,(即为
对模的逆)。
中国定理的作用在于它能断言所说的同余式组当模两两互素时一定有解,而对于解的形式并不重要。
定理5:(拉格郎日定理)设是质数,是非负整数,多项式是一个
模为次的整系数多项式(即),则同余方程至多有个解(在模有意义的情况下)。
定理6:若为对模的阶,为某一正整数,满足,则必为的倍数。
以上介绍的只是一些系统的知识、方法,经常在解决数论问题中起着突破难点的作用。另外还有一些小的技巧则是在解决、思考问题中起着排除情况、辅助分析等作用,有时也会起到意想不到的作
用,如:,。这里我们只介绍几个较为直接的应用
这些定理的例子。
典例分析
例1.设,求证:。
证明:因为,故由知,从而,但是,
故由欧拉定理得:,,从而;同理,。
于是,,即。
注明:现考虑整数的幂所成的数列:若有正整数使,则有
,其中;
因而关于,数列的项依次同余于这个数列相继的项成一段,各段是完全相同的,因而是周期数列。如下例:
例2.试求不大于100,且使成立的自然数的和。
解:通过逐次计算,可求出关于的最小非负剩余(即为被11除所得的余数)为:
因而通项为的数列的项的最小非负剩余构成周期为5的周期数列:
3,9,5,4,1,3,9,5,4,1,………
类似地,经过计算可得的数列的项的最小非负剩余构成周期为10的周期数列:
7,5,2,3,10,4,6,9,8,1,………
于是由上两式可知通项为的数列的项的最小非负剩余,构成周期为10(即上两式周期的
最小公倍数)的周期数列:
3,7,0,0,4,0,8,7,5,6,………
这就表明,当时,当且仅当时,,即;
又由于数列的周期性,故当时,满足要求的只有三个,即
从而当时,满足要求的的和为:
.
下面我们着重对Fetmat小定理及其应用来举例:
例3.求证:对于任意整数,是一个整数。
证明:令,则只需证是15的倍数即可。
由3,5是素数及Fetmat小定理得,,则
;
而(3,5)=1,故,即是15的倍数。所以是整数。
例4.求证:(为任意整数)。
证明:令,则;
所以含有因式
由Fetmat小定理,知13|7|
又13,7,5,3,2两两互素,所以2730=能整除。
例5.设是直角三角形的三边长。如果是整数,求证:可以被30整除。
证明:不妨设是直角三角形的斜边长,则。
若2 ,2 ,2 c,则,又因为矛盾!
所以2|.
若3 ,3 ,3 c,因为,则,又
,矛盾!从而3|.
若 5 ,5 ,5 c,因为,,
所以或0(mod5)与矛盾!
从而5|.
又(2,3,5)=1,所以30|.
下面讲述中国剩余定理的应用
例6.证明:对于任意给定的正整数,均有连续个正整数,其中每一个都有大于1的平方因子。
证明:由于素数有无穷多个,故我们可以取个互不相同的素数,而考虑同余组
①
因为显然是两两互素的,故由中国剩余定理知,上述同余组有正整数解。于是,连
续个数分别被平方数整除。
注:(1)本题的解法体现了中国剩余定理的一个基本功效,它常常能将“找连续个正整数具有某种性质”的问题转化为“找个两两互素的数具有某种性质”,而后者往往是比较容易解决的。
(2)本题若不直接使用素数,也中以采用下面的变异方法:由费尔马数两两
互素,故将①中的转化为后,相应的同余式也有解,同样可以导出证明。
例7.证明:对于任意给定的正整数,均有连续个正整数,其中每一个都不是幂数。
分析:我们来证明,存在连续个正整数,其中每一个数都至少有一个素因子,在这个数的标准分解中仅出现一次,从而这个数不是幂数。
证明:取个互不相同的素数,考虑同余组
因为显然是两两互素的,故由中国剩余定理知,上述同余组有正整数解。
对于因为,故,但由①式可知,即在的
标准分解中恰好出现一次,故都不是幂数。
例8.设是给定的偶数,且是偶数。
证明:存在整数使得,且。
证明:我们先证明,当为素数幂时结论成立。实际上,能够证明,存在使
且:
若,则条件表明为偶数,此时可取;
若,则与中有一对满足要求。
一般情形下,设是的一个标准分解,上面已经证明,对每个存在整
数使得且,而由中国剩余定理,
同余式①有解,
同余式②有解。
现不难验证解符合问题中的要求:因,故,
于是,又由①②知,
故。
注:此题的论证表现了中国剩余定理最为基本的作用:将一个关于任意正整数的问题,化为为素数幂的问题,而后者往往是比较好处理的。
初等数论练习题及答案
初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27;?(2420)=_880_ 2、设a ,n 是大于1的整数,若a n -1是质数,则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ,y=700+18t t ∈Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。 7 8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数,则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为二、计算题 1、解同余方程:3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。 解:因105 = 3?5?7, 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3), 同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0,3 (mod 5), 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2,6 (mod 7), 故原同余方程有4解。 作同余方程组:x ≡b 1 (mod 3),x ≡b 2 (mod 5),x ≡b 3 (mod 7), 其中b 1 = 1,b 2 = 0,3,b 3 = 2,6, 由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13,55,58,100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解? 11074217 271071107713231071107311072107 710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-)()()()(),()()()(),()())()(( )(解: 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。 3、求(127156+34)28除以111的最小非负余数。
4月浙江自考初等数论试题及答案解析试卷及答案解析真题
1 浙江省2018年4月高等教育自学考试 初等数论试题 课程代码:10021 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.20被-30除的余数是( ) A .-20 B .-10 C .10 D .20 2.176至545的正整数中,13的倍数的个数是( ) A .27 B .28 C .29 D .30 3.200!中末尾相继的0的个数是( ) A .49 B .50 C .51 D .52 4.从以下满足规定要求的整数中,能选取出模20的简化剩余系的是( ) A .2的倍数 B .3的倍数 C .4的倍数 D .5的倍数 5.设n 是正整数,下列选项为既约分数的是( ) A . 3144 21++n n B . 121 -+n n C .2 512+-n n D .1 31++n n 二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.d(120)=___________。 2.314162被163除的余数是___________。 3.欧拉定理是___________。 4.同余方程3x ≡5(mod13)的解是___________。 5.不定方程10x-8y=12的通解是___________。
2 6.ο ___________)1847 365 ( = 7.[-π]=___________。 8.为使n-1与3n 的最大公因数达到最大的可能值,则整数n 应满足条件___________。 9.如果一个正整数具有21个正因数,问这个正整数最小是___________。 10.同余方程x 3+x 2-x-1≡0(mod 3)的解是___________。 三、计算题(本大题共4小题,每小题10分,共40分) 1.解同余方程组 ???? ?? ?≡≡≡≡) 9(mod 4)7(mod 32)4(mod 23) 25(mod 1x x x x 2.解不定方程15x+10y+6z=19。 3.试求出所有正整数n ,使得2n -1能被7整除。 4.判断同余方程 x 2≡-1457(mod 2389) 是否有解? 四、证明题(本大题共2小题,每小题10分,共20分) 1.证明形如4n+3的素数有无穷多个。 2.证明不定方程 x 2+y 2+z 2=x 2y 2 没有正整数解。
初等数论
初等数论 初等数论从表面意义来讲,就是作为一门研究数的相关性质的数学学科。准确地按照潘承洞、潘承彪两位数论大师的说法:初等数论是研究整数最基本的性质,是一门十分重要的数学基础课。它不仅是中、高等师范院校数学专业,大学数学各专业的必修课,而且也是计算机科学等相关专业所需的课程。纵观数论发展过程,我国出现了许许多多的数论大师,如:华罗庚的早期研究方向、陈景润、潘承洞等。 第一部分:整除 初接触初等数论,经过《初等数论》课本知整除理论是初等数论的基础。整除理论首先涉及整除。现向上延伸则想到整除的对象,即自然数、整数。从小学、中学再到大学,我们从接触最初的1、2、3再到后来的有理数、无理数、实数再到复数,可谓种类繁多。但数论中的整除运算仅仅局限于自然数及其整数等相关范围内。首先大学数学中绝大多数数学定义中的自然数不包括0 ,这似乎与中学有一点差别,当然整数的定义改变就相对少得多。另外,自然数、整数的相关基本性质需懂得及灵活利用,如分配律、交换律、反对称性等。在初等代数中曾系统地介绍了自然数的起源问题:自然数源于经验,自然数的本质属性是由归纳原理刻画的,它是自然数公理化定义的核心。自然数集合严格的抽象定义是由Peano定理给出的,他刻画了自然数的本质属性,并导出有关自然数的有关性质。 Peano定理:设N是一个非空集合,满足以下条件: (ⅰ)对每一个n∈N,一定有唯一的一个N中的元素与之对应,这个元素记作n+,称为是n的后继元素(或后继); (ⅱ)有元素e∈N,他不是N中任意元素的后继; (ⅲ)N中的任意一个元素至多是一个元素的后继,即从a+=b+ 一定可以推出a=b; (ⅳ)(归纳原理)设S是N的一个子集合,e∈S, 如果n∈S则必有n+ ∈S,那么,S=N. 这样的集合N称为自然数集合,它的元素叫做自然数。 其中的归纳原理是我们常用的数学归纳法的基础。数学归纳法在中学已属重点内容,此处就不作介绍。主要描述一下推广状态下的第二种数学归纳法:(第二种数学归纳法)设P(n)是关于自然数n的一种性质或命题。如果 (1)当n=1时,P(1)不成立; (2)设n>1,若对所有的自然数m 2013年春西南大学《初等数论》作业及答案(共4次,已整理) 第一次作业 1、设n,m为整数,如果3整除n,3整除m,则9()mn。 A:整除 B:不整除 C:等于 D:小于 正确答案:A 得分:10 2、整数6的正约数的个数是()。 A:1 B:2 C:3 D:4 正确答案:D 得分:10 3、如果5|n ,7|n,则35()n 。 A:不整除 B:等于 C:不一定 D:整除 正确答案:D 得分:10 4、如果a|b,b|a ,则()。 A:a=b B:a=-b C:a=b或a=-b D:a,b的关系无法确定 正确答案:C 得分:10 5、360与200的最大公约数是()。 A:10 B:20 C:30 D:40 正确答案:D 得分:10 6、如果a|b,b|c,则()。 A:a=c B:a=-c C:a|c D:c|a 正确答案:C 得分:10 7、1到20之间的素数是()。 A:1,2,3,5,7,11,13,17,19 B:2,3,5,7,11,13,17,19 C:1,2,4,5,10,20 D:2,3,5,7,12,13,15,17 正确答案:B 得分:10 8、若a,b均为偶数,则a + b为()。 A:偶数 B:奇数 C:正整数 D:负整数 正确答案:A 得分:10 9、下面的()是模12的一个简化剩余系。 A:0,1,5,11 B:25,27,13,-1 C:1,5,7,11 D:1,-1,2,-2 正确答案:C 得分:10 10、下面的()是模4的一个完全剩余系。 A:9,17,-5,-1 B:25,27,13,-1 C:0,1,6,7 D:1,-1,2,-2 正确答案:C 得分:10 11、下面的()是不定方程3x + 7y = 20的一个整数解。 A:x=0,y=3 B:x=2,y=1 C:x=4,y=2 D:x=2,y=2 正确答案:D 得分:10 12、设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系,则a+b+c+d对模5同余于()。 A:0 B:1 C:2 D:3 正确答案:A 得分:10 13、使3的n次方对模7同余于1的最小的正整数n等于()。 A:6 B:2 初等数论试卷一 一、 单项选择题:(1分/题×20题=20分) 1.设x 为实数,[]x 为x 的整数部分,则( ) A.[][]1x x x ≤<+; B.[][]1x x x <≤+; C.[][]1x x x ≤≤+; D.[][]1x x x <<+. 2.下列命题中不正确的是( ) A.整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数; B.整数12,, ,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 C.整数a 与它的绝对值有相同的倍数 D.整数a 与它的绝对值有相同的约数 3.设二元一次不定方程ax by c +=(其中,,a b c 是整数,且,a b 不全为零)有一整数解 ()00,,,x y d a b =,则此方程的一切解可表为( ) A.00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+ =±± B.00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+= -=±± C.00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+= -=±± D.00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-= -=±± 4.下列各组数中不构成勾股数的是( ) A.5,12,13; B.7,24,25; C.3,4,5; D.8,16,17 5.下列推导中不正确的是( ) A.()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ B.()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ C.()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ D.()()112 2 11mod mod .a b m a b m ≡?≡ 6.模10的一个简化剩余系是( ) A.0,1,2, ,9; B.1,2,3,,10; 初等数论 1. 整除性质 a) 若a|b,a|c,则a|(b±c)。 b) 若a|b,则对任意c,a|bc。 c) 对任意非零整数a,±1|a,±a|a。 d) 若a|b,b|a,则|a|=|b|。 e) 如果a能被b整除,c是任意整数,那么积ac也能被b整除。 f) 如果a同时被b与c整除,并且b与c互质,那么a一定能被积bc整除,反 过来也成立。 g) 如果a∣b且b∣c,则a∣c。 h) 如果c∣a且c∣b,则c∣ua+vb,其中u,v是整数。 i) 对任意整数a,b,b>0,存在唯一的数对q,r,使a=bq+r,其中0≤r0是两个不全为零的整数a,b的公因子,如果a,b的任何公因子都整除c,则c称为a,b的最大公因子,记为c= (a,b). a) (a,b)=(-a,b)=(a,-b)=(-a,-b) b) (0,a)=a c) 设a,b是两个不全为零的整数,则存在两个整数u,v,使 (a,b)= ua+vb. 4. 欧几里德除法(辗转相除法): 已知整数a,b,记r0=a,r1=b, r0=q1r1+r2,0 ≤r2<r1=b; r1=q2r2+r3,0 ≤r3<r2; … r n-2=q n-1r n-1+r n,0 ≤r n<r n-1; r n-1=q n r n 初等数论中的几个重要定理(竞赛必备) 初等数论中的几个重要定理 基础知识 定义(欧拉(Euler)函数)一组数称为是模的既约剩余系,如果对任意的, 且对于任意的,若=1,则有且仅 有一个是对模的剩余,即。并定义 中和互质的数的个数,称为欧 拉(Euler)函数。 这是数论中的非常重要的一个函数,显然, 而对于,就是1,2,…,中与互素的 数的个数,比如说是素数,则有。 引理:;可用容斥定理来证(证明略)。 定理1:(欧拉(Euler)定理)设=1, 则。 分析与解答:要证,我们得设法找出个相乘,由个数我们想到中与 互质的的个数:,由于=1,从而 也是与互质的个数,且两两余数 不一样,故 (),而()=1,故。 证明:取模的一个既约剩余系 ,考虑,由于与互质, 故仍与互质,且有 ,于 是对每个都能找到唯一的一个,使 得,这种对应关系是一一的,从而 ,。 ,,故。证毕。 这是数论证明题中常用的一种方法,使用一组剩余系,然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。 定理2:(费尔马(Fermat)小定理)对于质数及任意整数有。 设为质数,若是的倍数,则。 若不是的倍数,则由引理及欧拉定理得 ,,由此即得。 定理推论:设为质数,是与互质的任 一整数,则。 定理3:(威尔逊(Wilson)定理)设为质数,则。 分析与解答:受欧拉定理的影响,我们也找个数,然后来对应乘法。 证明:对于,在中,必然有 一个数除以余1,这是因为则好是的 一个剩余系去0。 从而对,使得 ; 若,,则, ,故对于,有 。 即对于不同的对应于不同的,即中数可 两两配对,其积除以余1,然后有,使 ,即与它自己配对,这时, ,或,或。 除外,别的数可两两配对,积除以 余1。故。 定义:设为整系数多项式(),我们把 含有的一组同余式()称为同 余方组程。特别地,,当均为的一次整系数多项式时,该同余方程组称为一次同余方程组.若整数同时满足: ,则剩余类(其中 )称为同余方程组的一个解,写作 定理4:(中国剩余定理)设是两两 互素的正整数,那么对于任意整数,一次 “4-6 初等数论初步”简介 北京师范大学胡永建 初等数论是研究整数的性质和不定方程(组)的整数解的一门学问,它与几何学是最古老的两个数学分支。初等数论中至今仍有许多没有解决的问题,如哥德巴赫(Goldbach)问题,孪生素数猜想,奇完全数的存在性问题等,它们对人类智慧产生了极大挑战。人们在解决一些初等数论问题的过程中所作的贡献,对数论乃至整个数学的发展起了重要的推动作用,产生了一些直接与数学有关的新的重要数学分支。初等数论在计算机科学和信息工程中有许多重大的实际应用。在本专题中,同学们将通过具体的问题,学习初等数论的一些基本知识,如有关整数和整除的知识,用辗转相除法求解一次同余方程(组)和简单的一次不定方程等,初等数论中蕴含的一些思想方法,以及我国古代数学在初等数论的研究方面取得的一些重要成就。 一、内容与课程学习目标 本专题的学习初等数论的一些基本知识,具体包括:整数的整除、同余与同余方程、一次不定方程和数论在密码中的应用四部分内容。通过本专题的学习,要引导学生:1.通过实例,认识带余除法,理解同余和剩余类的概念及意义,探索剩余类的运算性质(加法和乘法),并且理解它的实际意义。体会剩余类运算与传统数的运算的异同(会出现零因子)。 2.理解整除、因数和素数的概念,了解确定素数的方法,如埃拉托斯特尼(Eratoshenes)筛法,知道素数有无穷多个。 3.了解十进制表示的整数的整除判别法,探索整数能被3,9,11,7等整除的判别法。会检查整数加法、乘法运算错误的一种方法,如弃九验算法。 4.通过实例,探索利用辗转相除法求两个整数的最大公约数的方法,理解互素的概念,并能用辗转相除法证明:若a能整除bc,且a,b互素,则a能整除c。探索公因数和公倍数的性质。了解算术基本定理。 5.通过实例,理解一次不定方程的模型,利用辗转相除法求解简单的一次不定方程。并尝试写出算法的程序框图,在条件允许的情况下上机实现。 6.通过实例(如物不知其数问题),理解一次同余方程组的模型。 7.理解大衍求一术和孙子定理的证明。 8.理解费马小定理(当m是素数时,a m-1≡1(mod m))和欧拉定理(aφ(m)≡1(mod m),其中φ(m)是1,2,…,m-1中与m互素的数的个数)及其证明。 9.了解数论在密码中的应用——公开密钥。 二、内容安排 本专题共安排了四讲,其中最后一讲“数论在密码中的应用”可根据教学时间的实际情况机动安排,可由教师讲授,也可作为学生课后的阅读材料。本专题教学时间约需18课时,具体分配如下(仅供参考): 第一讲整数的整除约5课时 一、整除的概念和性质约2课时 二、最大公因数与最小公倍数约2课时 第一章 §1 1 证明:n a a a ,,21 都是m 的倍数。 ∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111 又n q q q ,,,21 是任意n 个整数 m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数 2 证: )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n 3 证: b a , 不全为0 ∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数,因而 有形如by ax +的最小整数00by ax + Z y x ∈?,,由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则 S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00,由00by ax +是S 中的最小整数知0=r by ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题 by ax by ax ++/00 (y x ,为任意整数) b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+ 4 证:作序列 ,2 3, ,2 , 0,2 ,,2 3,b b b b b b - -- 则a 必在此序列的某两项之间 《初等数论》期末练习二 一、单项选择题 1、=),0(b ( ). A b B b - C b D 0 2、如果1),(=b a ,则),(b a ab +=( ). A a B b C 1 D b a + 3、小于30的素数的个数( ). A 10 B 9 C 8 D 7 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C (mod )ac bc m ≡/ D b a ≠ 5、不定方程210231525=+y x ( ). A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果a b ,b a ,则( ). A b a = B b a -= C b a ≥ D b a ±= 8、公因数是最大公因数的( ). A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 9、大于20且小于40的素数有( ). A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 10、模7的最小非负完全剩余系是( ). A -3,-2,-1,0,1,2,3 B -6,-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5,6 D 0,1,2,3,4,5,6 11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解. A [12,15]不整除7 B (12,15)不整除7 C 7不整除(12,15) D 7不整除[12,15] 12、同余式)593(mod 4382≡x ( ). A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解 二、填空题 1、有理数 b a ,0,(,)1a b a b <<=,能写成循环小数的条件是( ). 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解,而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ). 4、设n 是一正整数,Euler 函数)(n ?表示所有( )n ,而且与n ( )的正整数的个数. 5、设b a ,整数,则),(b a ( )=ab . 6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的( )数码的和能被3整除. 7、+=][x x ( ). 8、同余式)321(mod 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数. 第五节 初等数论中的几个重要定理 基础知识 定义(欧拉(Euler)函数)一组数s x x x ,,,21 称为是模m 的既约剩余系,如果对任意的s j ≤≤1,1),(=m x j 且对于任意的Z a ∈,若),(m a =1,则有且仅有一个j x 是a 对模m 的剩余,即)(mod m x a j ≡。并定义},,2,1{)(m s m ==?中和m 互质的数的个数,)(m ?称为欧拉(Euler )函数。 这是数论中的非常重要的一个函数,显然1)1(=?,而对于1>m ,)(m ?就是1,2,…,1-m 中与m 互素的数的个数,比如说p 是素数,则有1)(-=p p ?。 引理:∏? =为质数)-(P |P 11)(m P m m ?;可用容斥定理来证(证明略)。 定理1:(欧拉(Euler )定理)设),(m a =1,则)(mod 1)(m a m ≡?。 证明:取模m 的一个既约剩余系))((,,,,21m s b b b s ?= ,考虑s ab ab ab ,,,21 ,由于a 与m 互质,故)1(s j ab j ≤≤仍与m 互质,且有i ab )1(s j i ab j ≤<≤?,于是对每个 s j ≤≤1都能找到唯一的一个s j ≤≤)(1σ, 使得)(mod )(m b ab j j σ≡,这种对应关系σ是一一的,从而)(mod )(mod )(11)(1m b m b ab s j j s j j s j j ∏∏∏===≡≡σ,∴))(mod ()(11m b b a s j j s j j s ∏∏==≡。 1),(1=∏=s j j b m ,)(mod 1m a s ≡∴,故)(mod 1)(m a m ≡?。证毕。 分析与解答:要证)(mod 1)(m a m ≡?,我们得设法找出)(m ?个n 相乘,由)(m ?个数我们想到m ,,2,1 中与m 互质的)(m ?的个数:)(21,,,m a a a ? ,由于),(m a =1,从而)(21,,,m aa aa aa ? 也是与m 互质的)(m ?个数,且两两余数不一样,故)(21m a a a ???? ≡)(21,,,m aa aa aa ? ≡)(m a ?)(21m a a a ???? (m mod ),而 ()(21m a a a ???? m )=1,故)(mod 1)(m a m ≡?。 这是数论证明题中常用的一种方法,使用一组剩余系,然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。 作业次数:学号姓名作业成绩 第0章序言及预备知识 第一节序言(1) 1、数论人物、资料查询:(每人物写600字左右的简介) (1)华罗庚 2、理论计算与证明: (1 是无理数。 (2)Show that there are infinitely many Ulam numbers 3、用Mathematica 数学软件实现 A Ulam number is a member of an which was devised by and published in in 1964. The standard Ulam sequence (the (1, 2-Ulam sequence starts with U 1=1 and U 2=2 being the first two Ulam numbers. Then for n > 2, U n is defined to be the smallest that is the sum of two distinct earlier terms in exactly one way 。 By the definition, 3=1+2 is an Ulam number; and 4=1+3 is an Ulam number (The sum 4=2+2 doesn't count because the previous terms must be distinct. The integer 5 is not an Ulam number because 5=1+4=2+3. The first few terms are 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, 初等数论考试试卷 一、 单项选择题:(1分/题×20题=20分) 1.设x 为实数,[]x 为x 的整数部分,则( A ) A.[][]1x x x ≤<+; B.[][]1x x x <≤+; C.[][]1x x x ≤≤+; D.[][]1x x x <<+. 2.下列命题中不正确的是( B ) A.整数12,, ,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数; < B.整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 【有最小的吗】 C.整数a 与它的绝对值有相同的倍数 D.整数a 与它的绝对值有相同的约数 3.设二元一次不定方程ax by c +=(其中,,a b c 是整数,且,a b 不全为零)有一整数解 ()00,,,x y d a b =,则此方程的一切解可表为( C ) A.00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+=±± B.00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+=-=±± C.00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+=-=±± D.00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-=-=±± ( 4.下列各组数中不构成勾股数的是( D ) A.5,12,13; B.7,24,25; C.3,4,5; D.8,16,17 5.下列推导中不正确的是( D ) A.()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ B.()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ C.()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ 1 证明:n a a a ,,21 都是m 的倍数。 ∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111 又n q q q ,,,21 是任意n 个整数 m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数 2 证: )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n 1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 12)(1(/6++n n n 3 证: b a , 不全为0 ∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数,因而 有形如by ax +的最小整数00by ax + Z y x ∈?,,由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00,由00by ax +是S 中的最小整数知0=r ax by ax + +∴/00 下证8P 第二题 by ax by ax ++/00 (y x ,为任意整数) b by ax a by ax /,/0000++∴ ,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 0/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+ 4 证:作序列 ,2 3, ,2 , 0,2 ,,2 3,b b b b b b - -- 则a 必在此序列的某两项之间 初等数论中的几个重要定理 基础知识 定义(欧拉(Euler)函数)一组数称为是模的既约剩余系,如果对任意的,且对于任意的,若=1,则有且仅有一个是对模 的剩余,即。并定义中和互质的数的个数, 称为欧拉(Euler)函数。 这是数论中的非常重要的一个函数,显然,而对于,就是1,2,…,中与互素的数的个数,比如说是素数,则有。 引理:;可用容斥定理来证(证明略)。 定理1:(欧拉(Euler)定理)设=1,则。 分析与解答:要证,我们得设法找出个相乘,由个数我们想到中与互质的的个数:,由于=1,从而 也是与互质的个数,且两两余数不一样,故 (),而()=1,故。 证明:取模的一个既约剩余系,考虑,由于与互质,故仍与互质,且有,于是对每个都能找到唯一的一个,使得,这种对应关系 是一一的,从而,。 ,,故。证毕。 这是数论证明题中常用的一种方法,使用一组剩余系,然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。 定理2:(费尔马(Fermat)小定理)对于质数及任意整数有。 设为质数,若是的倍数,则。若不是的倍数,则 由引理及欧拉定理得,,由此即得。 定理推论:设为质数,是与互质的任一整数,则。 定理3:(威尔逊(Wilson)定理)设为质数,则。 分析与解答:受欧拉定理的影响,我们也找个数,然后来对应乘法。 证明:对于,在中,必然有一个数除以余1,这是因为则好是的一个剩余系去0。 从而对,使得; 若,,则,,故对于,有。即对于不同的对应于不同的,即中数可两两配对,其积除以余1,然后有,使,即与它自己配对,这时,,或,或。 除外,别的数可两两配对,积除以余1。故。 定义:设为整系数多项式(),我们把含有的一组同余式 ()称为同余方组程。特别地,,当均为的一次整系数多项式时,该同余方程组称为一次同余方程组.若整数同时满足: ,则剩余类(其中)称为同余方程组的一个解,写作 定理4:(中国剩余定理)设是两两互素的正整数,那么对于任意整数,一次同余方程组,必有解,且解可以写为: 这里,,以及满足,(即为对模的逆)。 中国定理的作用在于它能断言所说的同余式组当模两两互素时一定有解,而对于解的形式并不重要。 定理5:(拉格郎日定理)设是质数,是非负整数,多项式 是一个模为次的整系数多项式(即),则同余方程至多有个解(在模有意义的情况下)。 定理6:若为对模的阶,为某一正整数,满足,则必为的倍数。 以上介绍的只是一些系统的知识、方法,经常在解决数论问题中起着突破难点的作用。另外还有一些小的技巧则是在解决、思考问题中起着排除情况、辅助分析等作用,有时也会起到 附录1 习题参考答案 第一章习题一 1. (ⅰ) 由a b知b = aq,于是b = (a)(q),b = a(q)及b = (a)q,即a b,a b及a b。反之,由a b,a b及a b 也可得a b; (ⅱ) 由a b,b c知b = aq1,c = bq2,于是c = a(q1q2),即a c; (ⅲ) 由b a i知a i= bq i,于是a1x1a2x2a k x k = b(q1x1 q2x2q k x k),即b a1x1a2x2a k x k;(ⅳ) 由b a知a = bq,于是ac = bcq,即bc ac; (ⅴ) 由b a知a = bq,于是|a| = |b||q|,再由a 0得|q| 1,从而|a| |b|,后半结论由前半结论可得。 2. 由恒等式mq np= (mn pq) (m p)(n q)及条件m p mn pq可知m p mq np。 3. 在给定的连续39个自然数的前20个数中,存在两个自然数,它们的个位数字是0,其中必有一个的十位数字不是9,记这个数为a,它的数字和为s,则a, a 1, , a 9, a 19的数字和为s, s 1, , s 9, s 10,其中必有一个能被11整除。 4. 设不然,n1= n2n3,n2p,n3p,于是n = pn2n3p3,即p3n,矛盾。 5. 存在无穷多个正整数k,使得2k1是合数,对于这样的k,(k1)2 不能表示为a2p的形式,事实上,若(k 1)2= a2p,则(k 1 a)( k 1 a) = p,得k 1 a = 1,k 1 a = p,即p = 2k 1,此与p为素数矛盾。 第一章习题二 1. 验证当n =0,1,2,… ,11时,12|f(n)。 2.写a = 3q1r1,b = 3q2r2,r1, r2 = 0, 1或2,由3a2b2 = 3Q r12r22知r1 = r2 = 0,即3a且3b。 3.记n=10q+r, (r=0,1,…,9),则n k+4-n k被10除的余数和r k+4-r k=r k(r4-1)被10 除的余数相同。对r=0,1,…,9进行验证即可。 4. 对于任何整数n,m,等式n2 (n 1)2 = m2 2的左边被4除的余数为1,而右边被4除的余数为2或3,故它不可能成立。 5 因a4 3a2 9 = (a2 3a 3)( a2 3a 3),当a = 1,2时,a2 3a 3 = 1,a4 3a2 9 = a2 3a 3 = 7,13,a4 3a2 9是素数;当a 3时,a2 3a 3 > 1,a2 3a 3 > 1,a4 3a2 9是合数。 6. 设给定的n个整数为a1, a2, , a n,作 s1 = a1,s2 = a1a2,,s n = a1a2a n, 如果s i中有一个被n整除,则结论已真,否则存在s i,s j,i < j,使得s i与s j 被n除的余数相等,于是n s j s i = a i + 1a j。 初等数论第三次作业 计算题 1. 求75与105的最大公因数。 解:因为75 = 3错误!未找到引用源。52,105 = 3错误!未找到引用源。5错误!未找到引用源。7, 所以75与105的最大公因数是15。 2. 求66与121的最大公因数。 解:因为66=6×11,121=11×11, 所以66与121的最大公因数是11 3.求不定方程3x - 4y = 1的一切整数解。 答;因为(3,4)= 1,所以不定方程有整数解。 观察知x = 3,y = 2是其一个整数解。 由公式知其一切整数解为???+=+=t y t x 3243,t 为整数。 4.求不定方程7x + 2y = 1的一切整数解。 答;因为(7,2)=1,1|1,所以不定方程有解。观察知其一个整数解是 0013 x y =??=-?。 于是其一切整数解为1237x t y t =+??=--? ,t 取一切整数。 5.解同余式3x ≡ 1 (mod 7)。 答;因为(3,7)= 1,所以同余式有解且有一个解。 由3x - 7y = 1得???+=+=t y t x 3275, 所以同余式的解为)7(mod 5≡x 6.解同余式3x ≡ 8 (mod 10)。 答;因为(3,10)=1,1|8,所以同余式有解,并且只有一个解。由3108x y -=得 一个解00 61x y =??=?,所以同余式的解为6(mod10)x ≡。 7.解同余式28x ≡ 21 (mod 35)。 答:因为(28,35) = 7,而7|21,所以同余式28x ≡ 21(mod 35)有解,且有7个解。同余式28x ≡ 21(mod 35)等价于4x ≡ 3(mod 5),解4x ≡ 3(mod 5)得x ≡ 2(mod 5),故同余式28x ≡ 21(mod 35)的7个解为x ≡ 2,7,12,17,22,27,32(mod 35)。 8.解同余式组: ???≡≡) 5(mod 2)3(mod 1x x 。 答;由)3(mod 1≡x 得13+=k x ,将其代入)5(mod 2≡x 得)5(mod 213≡+k , 解得)5(mod 2≡k ,即25+=t k , 所以715+=t x ,所以解为)15(mod 7≡x 。 9. 求不定方程3x + 2y = 2的一切整数解。 解:因为(3,2) = 1,所以不定方程有整数解。 显然1,0==y x 是其一个特解, 所以不定方程的一切整数解为错误!未找到引用源。,其中t 取一切整数。 10.解同余式)5(mod 14≡x 答;因为(4,5)= 1,所以同余式有解且有一个解。 由4x - 5y = 1得???+=+=t y t x 3275, 所以同余式的解为)7(mod 5≡x 初等数论试卷和答案 初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分,共18分) 1、如果a b ,b a ,则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3,n 5,则15( )n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数( ). A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分,共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是( ). 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 试卷1答案 一、单项选择题(每题3分,共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分,共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是(唯一的). 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),(). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0. 三、计算题(每题8分,共32分) 1、 求[136,221,391]=?(8分) 解 [136,221,391] =[[136,221],391] =[391,17221136?] =[1768,391] ------------(4分) = 17391 1768? 《初等数论》本科 一 填空题(每空2分) 1.写出30以内的所有素数 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 . 2.,( ,)(,)(,) a b a b a b a b =设是任意两个不为零的整数,则 1 . 3.若,a b 是非零整数,则a 与b 互素的充要条件是存在整数,x y ,适1ax by += 4.写出180的标准分解式是 22235?? ,其正约数个数有 (2+1)(2+1)(1+1)=18个. 5.,1,2,,a b a b L 设与是正整数则在中能被整除的整数恰有 []a b 个. 6.设,a b 是非零整数,c 是整数,方程ax by c +=有整数解(,x y )的充要条件是 (,)|a b c 7. 若整数集合A 是模m 的完全剩余系,则A 中含有 m 个整数. 8.?(3)= 2 ;?(4)= 2 . 9.当p 素数时,(1)()p ?= 1p - ;(2)()k p ?= 1k k p p -- . 10.(),(,)1,1m m a m a ?=-≡设是正整数则 0 (mod ).m 11.,,p p a a a -≡设是素数则对于任意的整数有 0 (mod ).p 12.已知235(mod7)x +≡,则x ≡ 1 (mod7). 13.同余方程22(mod 7)x ≡的解是 4(mod7) . 14.同余方程2310120(mod 9)x x ++≡的解是 .X=6. . 15.(,)1n p =若,n p 是模的二次剩余的充要条件是 -121(mod ).p n p ≡ . 16.(,)1n p =若,n p 是模的二次非剩余的充要条件是 -12 1(mod ).p n p ≡- . 17.3()=5 -1 ; 4 ()=5 1 . 18.,p 设是奇素数则2 ()p = 218(1).p -- . 19.,p 设是奇素数则1()p = 1 ;-1 ()p = -1 2(-1).p . 20. 5()=9 1 ; 2 ()=45 -1 . 二 判断题(判断下列结论是否成立,每题2分). 1. ||,|a b a c x y Z a bx cy ?∈+且对任意的有.成立 2. (,)(,),[,][,]a b a c a b a c ==若则.不成立2013年春_西南大学《初等数论》作业及答案(共4次_已整理)
初等数论试卷模拟试题和答案
初等数论定理
初等数论中的几个重要定理(竞赛必备)
“4-6 初等数论初步”简介
初等数论第2版习题答案
(完整word版)初等数论练习题一(含答案)
第五节初等数论中的几个重要定理
初等数论练习册汇总
0初等数论试卷及答案
初等数论习题与答案、及测试卷
初等数论中的几个重要定理高中数学竞赛
初等数论1习题参考答案
初等数论计算题答案
初等数论试卷和答案
初等数论复习题题库及答案