上海市黄浦区高考数学三模试卷解析版
高考数学三模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.关于三个不同平面α，β，γ与直线l，下列命题中的假命题是（ ）A. 若α⊥β，则α内一定存在直线平行于βB. 若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC. 若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γD. 若α⊥β，则α内所有直线垂直于β2.在一次化学测试中，高一某班50名学生成绩的平均分为82分，方差为8.2，则下列四个数中不可能是该班化学成绩的是（ ）A. 60B. 70C. 80D. 1003.已知双曲线：，过点作直线，使与有且仅有一个公共点，则满足上述条件的直线共有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条4.有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（）种A. 48B. 72C. 78D. 84二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.若全集为实数集R，，则∁R M=______6.抛物线的准线方程为______．7.关于x方程=0的解为______ ．8.函数f（x）=2sin x+1，的反函数f-1（x）=______9.函数的图象相邻的两条对称轴之间的距离是______10.若，则二项式（x-2a）10展开式的系数和是______11.某校要从名男生和名女生中选出人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的志愿者中,男、女都有的概率为______(结果用数值表示).12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是______13.设实数x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则2a+3b的值为______14.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A、B两点，则线段AB的长是______15.定义在R上的偶函数f（x）对任意的x∈R有f（1+x）=f（1-x），且当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．若函数y=f（x）-log a x在（0，+∞）上有四个零点，则a的值为______ ．16.已知向量、满足，，则的取值范围是______三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，已知多面体ABC-A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sin A的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．19.某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后这x名员工他们平均每人创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整多少名员工从事第三产业？（2）设x≤400，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求a的最大值．20.如图，以椭圆=1（a＞1）的右焦点F2为圆心，1-c为半径作圆F2（其中c为已知椭圆的半焦距），过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T．（1）若a=，P为椭圆的右顶点，求切线长|PT|；（2）设圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若|PT|≥（a-c）恒成立，且OA⊥OB．求：①c的取值范围；②直线l被圆F2所截得弦长的最大值．21.给定数列{a n}，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，即A i=max{a1，a2，…，a i}；该数列后n-i项a i+1，a i+2，…，a n中的最小项为B i，即B i=min{a i+1，a i+2，…，a n}；d i=A i-B i（i=1，2，3，…，n-1）（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d1，d2，d3；（2）若S n是数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*，有，其中λ为实数，λ＞0且．①设，证明数列{b n}是等比数列；②若数列{a n}对应的d i满足d i+1＞d i对任意的正整数i=1，2，3，…，n-2恒成立，求实数λ的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：对于A，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故A正确；对于B，假设α内存在直线a垂直于β，则α⊥β，与题设矛盾，故假设错误，故B正确；对于C，设α∩γ=c，β∩γ=d，在γ内任取一点P，作PM⊥c于点M，PN⊥d于点N则PM⊥α，PN⊥β，且PM、PN不可能共线．又l⊂α，l⊂β，∴PM⊥l，PN⊥l．又PM∩PN=P，PM⊂γ，PN⊂γ，∴l⊥γ．故C正确．对于D，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故D错误．故选：D．根据空间线面位置关系的判定和性质判断或距离说明．本题主要考查了直线与平面位置关系的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．2.【答案】A【解析】解：高一某班50名学生成绩的平均分为82分，方差为8.2，根据平均数、方差的意义，可知60分不可能是该班化学成绩．故选A．根据平均数、方差的意义，可知结论．本题考查平均数、方差的意义，比较基础．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生数形结合和转化和化归的思想的运用，属于一般题.先确定双曲线的右顶点，进而根据图形可推断出当l垂直x轴时与C相切，与x轴不垂直且与C相切，与渐近线平行且与C较与1点（两种情况）满足l与C有且只有一个公共点．【解答】解：根据双曲线方程可知a=1，①当直线l斜率不存在时，直线l方程为：x=1，满足与曲线C只有一个公共点；②当直线l斜率存在时，设直线l方程为：y-1=k(x-1),即：y=k(x-1)+1，联立,整理可得：，当,即k=时，此时方程有且仅有一个实数根，∴直线l:与曲线C有且仅有一个公共点，当时，,解得：,∴直线l:与曲线C有且仅有一个公共点，综上所述：满足条件的直线l有4条．故选：D.4.【答案】A【解析】解：将五个球排成一行共有种不同的排法，当两个红色球相邻共有种不同的排法，当两个黄色球相邻共有种不同的排法，当两个黄色球、两个红色球分别相邻共有种不同的排法，则将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有--+=120-48-48+24=48（种），故选：A．由排列组合及简单的计数问题得：将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有--+=48（种），得解．本题考查了排列组合及简单的计数问题，属中档题．5.【答案】【解析】解：∵；∴．故答案为：．可以求出集合M，然后进行补集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，对数函数的单调性及对数函数的定义域，以及补集的运算．6.【答案】y=1【解析】解：由，得x2=-4y，∴2p=4，即p=2，则抛物线的准线方程为y==1．故答案为：y=1．化抛物线方程为标准式，求得p，则直线方程可求．本题考查抛物线的简单性质，是基础题．7.【答案】x=或x=，k∈Z【解析】解：由=0，得4sin x cosx-1=0，即sin2x=．∴2x=或x=，则x=或x=，k∈Z．故答案为：x=或x=，k∈Z．由已知可得sin2x=．求出2x的值，则原方程的解可求．本题考查二阶矩阵的应用，考查了三角函数值的求法，是基础题．8.【答案】，x∈[1，3]【解析】解：由y=2sin x+1，得sin x=，∵，∴x=，把x与y互换，可得f-1（x）=，x∈[1，3]．故答案为：，x∈[1，3]．由已知利用反正弦求得x，把x与y互换得答案．本题考查三角函数的反函数的求法，注意原函数的定义域是关键，是基础题．9.【答案】【解析】解：=（sin x+cos x）cos x==，所以f（x）的周期T=，所以f（x）的图象相邻的两条对称轴之间的距离为，故答案为：．化简f（x），然后根据f（x）图象相邻的两条对称轴之间的距离为即可得到结果．本题考查了三角函数的图象与性质，属基础题．10.【答案】1024【解析】解：由，知a≠1，∴===，∴a=，∴（x-2a）10=（x+1）10，∴其展开式系数之和为C100+C101+C102+…+C1010=210=1024，故答案为：1024．根据数列的极限求出a的值，然后代入二项式（x-2a）10中求其展开式的系数和即可．本题考查了数列的极限和二项式展开式系数和的求法，属基础题．11.【答案】【解析】【分析】本题考查等可能事件的概率计算，在求选出的志愿者中，男、女生都有的情况数目时，可以先求出只有男生、女生的数目，进而由排除法求得．根据题意，首先计算从2名男生和4名女生中选出4人数目，再分析选出的4人中只有男生、女生的数目，由排除法可得男、女生都有的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，从2名男生和4名女生中选出4人，有C64=15种取法，其中全部为女生的有C44=1种情况，没有全部为男生的情况，则选出的4名志愿者中，男、女生都有的情况有15-1=14种，则其概率为.故答案为.12.【答案】【解析】解：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），其底面积：S=×2×1+=，高h=3，故棱锥的体积V==，故答案为：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），代入锥体体积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，难度中档．13.【答案】1【解析】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-x+，∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率-＜0，作出不等式对应的平面区域如图：平移直线得y=-x+，由图象可知当直线y=-x+经过点B时，直线y=-x+的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，6），此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，即4a+6b=2，即2a+3b=1，故答案为：1．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，即可得到结论．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．14.【答案】【解析】解：由得x2+=1，将代入到x2+=1并整理得：t2+4t=0，设A，B对应的参数为t1，t2，则t1=0，t2=-，∴|t1-t2|=故答案为：．联立直线的参数方程与曲线C的普通方程，利用参数的几何意义可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．15.【答案】【解析】【分析】由已知中f（x+1）=f（1-x），故可能函数是以2为周期的周期函数，又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，结合当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．我们易得函数f（x）的图象，最后利用图象研究零点问题即可．本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，函数的周期性，考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化与数形结合的数学思想，属于中档题．【解答】解：由函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=f（1-x）成立，可得f（x+2）=f（-x）=f（x），∴函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．函数y=f（x）-log a x在（0，+∞）上的零点个数等于函数y=f（x）和函数y=log a x的图象在（0，+∞）上的交点个数，如图所示：当y=log a x的图象过点A（4，-1）时，函数y=f（x）-log a x在（0，+∞）上有四个零点，∴-1=log a4，∴a=．故答案为：．16.【答案】【解析】解：向量、满足，，由题意可设，=（0，1）、=（x，y）；、满足，，且x2+y2=4；则：+=（x，1+y）；-=（-x，1-y）；则=+转换成所求为点（x．y）到（0，-1）与点（0，1）的距离之和大小，且（x，y）可看成在x2+y2=4表示的圆周上的点；由数形结合法知即：当（x，y）在（2，0）或（-2，0）时，则值最小为3+1=4；当（x，y）在（0，2）或（0，-2）时，则值最大为2=2；则的取值范围是故答案为：．利用设向量、的坐标表示法，利用向量模长转换成函数求最值，利用数形结合法求转换后的最值即可．本题考查了向量模长应用的问题，采用数形结合法，分类讨论解题时应根据平面向量的线性运算法则进行化简．．17.【答案】（1）证明：由余弦定理得，所以，∵A1A⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AA1∥BB1，AB⊥BB1，∵AA1=4，BB1=2，AB=2，∴A1B1==2，又AB1==2，∴，∴AB1⊥A1B1，,,即即AB1⊥B1C1，又A1B1∩B1C1=B1，A1B1，B1C1平面A1B1C1，∴AB1⊥平面A1B1C1．（2）解：取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交A1C1于D，∵AB=BC，∴OB⊥OC，以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则A（0，-，0），B（1，0，0），B1（1，0，2），C1（0，，1），∴=（1，，0），=（0，0，2），=（0，2，1），设平面ABB1的法向量为=（x，y，z），则，∴，令y=1可得=（-，1，0），∴cos===．设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ，则sinθ=|cos|=．∴直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为．【解析】本题主要考查了线面垂直的判定定理，线面角的计算与空间向量的应用，考查计算能力与空间想象能力，属于中档题．（1）利用勾股定理的逆定理证明AB1⊥A1B1，AB1⊥B1C1，从而可得AB1⊥平面A1B1C1；（2）以AC的中点为坐标原点建立空间坐标系，求出平面ABB1的法向量，计算与的夹角即可得出线面角的正弦值．18.【答案】解：（1）由题意可得=cos（A-B）cos B-sin（A-B）sin B=cos[（A-B）+B]=cos A=，∴sin A==；（2）由正弦定理可得，∴sin B===，∵a＞b，∴A＞B，∴B=，由余弦定理可得=，解得c=1，或c=-7（舍去），故向量在方向上的投影为cos B=c cos B=1×=．【解析】（1）由数量积的坐标表示和涉及函数的公式可得=cos A=，由同角三角函数的基本关系可得sin A；（2）由正弦定理可得sin B=，结合大边对大角可得B值，由余弦定理可得c值，由投影的定义可得．本题考查平面向量的数量积和两角和与差的三角函数公式，属中档题．19.【答案】解：（1）由题意得：10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，即x2-500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）由题意得：10x（a-）≤10（1000-x）（1+0.2x%），即ax≤+1000+x，因为x＞0，所以a≤在（0，400]恒成立，令f（x）=，则f（x）=≥2×2+1=5，当仅当时取等，此时x=500，但因为x≤400，且函数f（x）=在（0，500）上单调递减，所以x=400时，f（x）取最小值为f（400）=，所以a最大值为．【解析】本题考查函数的实际应用，涉及不等式、函数基本性质等知识点，属于中档题．（1）根据题意列出不等式10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，求出解集即可；（2）根据题意可列10x（a-）≤10（1000-x）（1+0.2x%），化成a≤在（0，400]恒成立，构造函数令f（x）=，利用对勾函数性质求出最值即可．20.【答案】解：（1）由a=，得c=，则当P为椭圆的右顶点时|PF2|=a-c=，故此时的切线长|PT|=；（2）①当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，而|PF2|min=a-c，由|PT|≥（a-c）恒成立，得≥（a-c），解得≤c＜1；②由题意Q点的坐标为（1，0），则直线l的方程为y=k（x-1），代入，得（a2k2+1）x2-2a2k2x+a2k2-a2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，，可得=，又OA⊥OB，则=0，得k=a．可得直线l的方程为ax-y-a=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离d=，半径r=1-c，则直线l被圆F2所截得弦长为L=2=，设1-c=t，则0＜t≤，又=，∴当t=时，的最小值为，即当c=时L的最大值为．【解析】（1）通过a=，求出c，得到椭圆的方程，P为椭圆的右顶点，利用勾股定理直接求切线长|PT|；（2）①当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，|PF2|min=a-c，通过|PT|≥（a-c）恒成立，求出c的取值范围；②联立直线方程与椭圆方程，得（a2k2+1）x2-2a2k2x+a2k2-a2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），通过韦达定理以及OA⊥OB，可得直线l的方程，通过圆心F2（c，0）到直线l的距离，半径，弦长满足勾股定理，然后求解直线l被圆F2所截得弦长的最大值．本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系的应用，切线方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．21.【答案】解：（1）∵给定数列{a n}，A i=max{a1，a2，…，a i}，B i=min{a i+1，a i+2，…，a n}，d i=A i-B i（i=1，2，3，…，n-1）对于数列：3，4，7，1，A1=3，B1=1，d1=3-1=2，A2=4，B2=1，d2=4-1=3，A3=7，B3=1，d3=7-1=6，∴d1=2，d2=3，d3=6．（3分）证明：（2）①当n=1时，（1-λ）a1=-λa1+1，∴a1=1，（4分）当n≥2时，，，两式相减得，∴=，又，∴数列{b n}是以为首项、λ为公比的等比数列．（9分）解：②由①知：；又d i=max{a1，a2，…，a i}-min{a i+1，a i+2，…，a n}，d i+1=max{a1，a2，…，a i+1}-min{a i+2，a i+3，…，a n}由于min{a i+1，a i+2，…，a n}≤min{a i+2，a i+3，…，a n}，∴由d i+1＞d i推得max{a1，a2，…，a i}＜max{a1，a2，…，a i+1}．∴max{a1，a2，…，a i+1}=a i+1对任意的正整数i=1，2，3，…，n-2恒成立．（13分）∵d i=a i-a i+1，d i+1=a i+1-a i+2，∴．（14分）由d i-d i+1＜0，得，但λ＞0且λ≠1，∴，解得，∴．（16分）【解析】（1）由A i=max{a1，a2，…，a i}，B i=min{a i+1，a i+2，…，a n}，d i=A i-B i，对于数列：3，4，7，1，能求出d1，d2，d3．（2）①推导出a1=1，，由此能证明数列{b n}是以为首项、λ为公比的等比数列．②由，得max{a1，a2，…，a i+1}=a i+1对任意的正整数i=1，2，3，…，n-2恒成立，由此能求出实数λ的取值范围．本题考查等比数列的证明，考查实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求较高，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．。
上海市黄浦区市级名校2024届中考三模数学试题含解析
上海市黄浦区市级名校2024届中考三模数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．化简a1a11a+--的结果为（）A．﹣1 B．1 C．a1a1+-D．a11a+-2．已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( ).A．12 B．10 C．8 D．63．下面说法正确的个数有()①如果三角形三个内角的比是1∶2∶3，那么这个三角形是直角三角形；②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；④如果∠A=∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；⑥在△ABC中，若∠A＋∠B=∠C，则此三角形是直角三角形.A．3个B．4个C．5个D．6个4．如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OAB C的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为P n，则点P2018的坐标是（）A．（1，4）B．（4，3）C．（2，4）D．（4，1）5．如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于（ ）A ．90°B ．120°C ．60°D ．30°6．如图，已知直线l 1：y =﹣2x +4与直线l 2：y =kx +b （k ≠0）在第一象限交于点M ．若直线l 2与x 轴的交点为A （﹣2，0），则k 的取值范围是（ ）A ．﹣2＜k ＜2B ．﹣2＜k ＜0C ．0＜k ＜4D ．0＜k ＜27．如图，A 、B 、C 、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD=50°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°8．已知二次函数2(0)y x x a a =-+>，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，则下列结论正确的是（ ） A ．x 取1m -时的函数值小于0B ．x 取1m -时的函数值大于0C ．x 取1m -时的函数值等于0D ．x 取1m -时函数值与0的大小关系不确定9． “可燃冰”的开发成功，拉开了我国开发新能源的大门，目前发现我国南海“可燃冰”储存量达到800亿吨，将800亿用科学记数法可表示为（ ）A ．0.8×1011B ．8×1010C ．80×109D ．800×10810．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ） A ．16 B ．17 C ．18 D ．19二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．已知x 1，x 2是方程x 2+6x+3＝0的两实数根，则2112x x x x +的值为_____． 12．有三个大小一样的正六边形，可按下列方式进行拼接：方式1：如图1；方式2：如图2；若有四个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长是_______.有n 个边长均为1的正六边形，采用上述两种方式的一种或两种方式混合拼接，若得图案的外轮廓的周长为18，则n 的最大值为__________．13．关于x 的一元二次方程2kx x+1=0-有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ▲ ．14．如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心，若AC ＝3DF ，则OE ：EB ＝_____．15．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=8，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接DB ，若tan ∠CBD=34，则BD=_____．16．计算22111x x x +--的结果为 ． 17．现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，天猫和淘宝的支付交易额突破67000000000元，将67000000000元用科学记数法表示为_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）先化简，再求值：22122()121x x x xx x x x----÷+++，其中x满足x2－2x－2=0.19．（5分）为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具、图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm．点A、C、E在同一条直线上，且∠CAB=75°．（参考数据：sin75°=0.966，cos75°=0.259，tan75°=3.732）（1）求车架档AD的长；（2）求车座点E到车架档AB的距离（结果精确到1cm）．20．（8分）北京时间2019年3月10日0时28分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功将中星6C 卫星发射升空，卫星进入预定轨道.如图，火星从地面C处发射，当火箭达到A点时，从位于地面雷达站D处测得DA 的距离是6km，仰角为42.4︒；1秒后火箭到达B点，测得DB的仰角为45.5︒.(参考数据：sin42.4°≈0.67，cos42.4°≈0.74，tan42.4°≈0.905，sin45.5°≈0.71，cos45.5°≈0.70，tan45.5°≈1.02)求发射台与雷达站之间的距离CD；求这枚火箭从A到B 的平均速度是多少(结果精确到0.01)？21．（10分）如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连结AE、BF．求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．22．（10分）某中学为开拓学生视野，开展“课外读书周”活动，活动后期随机调查了九年级部分学生一周的课外阅读时间，并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计图的信息回答下列问题：（1）本次调查的学生总数为_____人，被调查学生的课外阅读时间的中位数是_____小时，众数是_____小时；并补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，课外阅读时间为5小时的扇形的圆心角度数是_____；（3）若全校九年级共有学生800人，估计九年级一周课外阅读时间为6小时的学生有多少人？23．（12分）已知二次函数()2220y ax ax a =--≠． （1）该二次函数图象的对称轴是；（2）若该二次函数的图象开口向上，当15x -≤≤时，函数图象的最高点为M ，最低点为N ，点M 的纵坐标为112，求点M 和点N 的坐标；（3）对于该二次函数图象上的两点()11,A x y ，()22,B x y ，设11t x t ≤≤+，当23x ≥时，均有12y y ≥，请结合图象，直接写出t 的取值范围．24．（14分）如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2经过点A （4，0），B （1，0）．（1）求出抛物线的解析式；（2）点D 是直线AC 上方的抛物线上的一点，求△DCA 面积的最大值；（3）P 是抛物线上一动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、B【解题分析】先把分式进行通分，把异分母分式化为同分母分式，再把分子相加，即可求出答案．【题目详解】解：a1a1a11 a11a a1a1a1-+=-==-----．故选B．2、B【解题分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．【题目详解】解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．故选：B．【题目点拨】本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．3、C【解题分析】试题分析：①∵三角形三个内角的比是1：2：3，∴设三角形的三个内角分别为x，2x，3x，∴x+2x+3x=180°，解得x=30°，∴3x=3×30°=90°，∴此三角形是直角三角形，故本小题正确；②∵三角形的一个外角与它相邻的一个内角的和是180°，∴若三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则此三角形是直角三角形，故本小题正确；③∵直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，∴若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形，故本小题正确；④∵∠A=∠B=∠C ，∴设∠A=∠B=x ，则∠C=2x ，∴x+x+2x=180°，解得x=45°，∴2x=2×45°=90°，∴此三角形是直角三角形，故本小题正确；⑤∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，三角形的一个内角等于另两个内角之差，∴三角形一个内角也等于另外两个内角的和，∴这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补，∴有一个内角一定是90°，故这个三角形是直角三角形，故本小题正确；⑥∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，又一个内角也等于另外两个内角的和，由此可知这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补，∴有一个内角一定是90°，故这个三角形是直角三角形，故本小题正确．故选D ．考点：1.三角形内角和定理；2.三角形的外角性质．4、D【解题分析】先根据反射角等于入射角先找出前几个点，直至出现规律，然后再根据规律进行求解.【题目详解】由分析可得p(0,1）、1(2,0)p 、)(24,1p 、)(30,3p 、()42,4p 、)(54,3p 、)(60,1p 等，故该坐标的循环周期为7则有则有2018128837+＝，故是第2018次碰到正方形的点的坐标为（4，1）.【题目点拨】本题主要考察规律的探索，注意观察规律是解题的关键.5、C【解题分析】解：∵A （0，1），B （0，﹣1），∴AB =1，OA =1，∴AC =1．在Rt △AOC 中，cos ∠BAC =OA AC =12，∴∠BAC =60°．故选C ．点睛：本题考查了垂径定理的应用，关键是求出AC 、OA 的长．解题时注意：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．6、D【解题分析】解：∵直线l1与x轴的交点为A（﹣1，0），∴﹣1k+b=0，∴242y xy kx k=-+⎧⎨=+⎩，解得：42282kxkkyk-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩．∵直线l1：y=﹣1x+4与直线l1：y=kx+b（k≠0）的交点在第一象限，∴42282kkkk-⎧>⎪⎪+⎨⎪>⎪+⎩，解得0＜k＜1．故选D．【题目点拨】两条直线相交或平行问题；一次函数图象上点的坐标特征．7、D【解题分析】试题分析：连接OC，根据平行可得：∠ODC=∠AOD=50°，则∠DOC=80°，则∠AOC=130°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角度数的一半可得：∠B=130°÷2=65°.考点：圆的基本性质8、B【解题分析】画出函数图象，利用图象法解决问题即可；【题目详解】由题意，函数的图象为：∵抛物线的对称轴x=12，设抛物线与x轴交于点A、B，∴AB＜1，∵x取m时，其相应的函数值小于0，∴观察图象可知，x=m-1在点A的左侧，x=m-1时，y＞0，故选B．【题目点拨】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用函数图象解决问题，体现了数形结合的思想．9、B【解题分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【题目详解】解：将800亿用科学记数法表示为：8×1．故选：B．【题目点拨】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10、A【解题分析】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n-1）边形．故当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形.故选A.【题目点拨】此题主要考查了多边形，减去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条.二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、1．【解题分析】试题分析：∵1x ，2x 是方程的两实数根，∴由韦达定理，知126x x +=-，123x x =，∴2112x x x x +=2121212()2x x x x x x +-=2(6)233--⨯=1，即2112x x x x +的值是1．故答案为1． 考点：根与系数的关系．12、18 1【解题分析】有四个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，利用4n +2的规律计算；把六个正六边形围着一个正六边按照方式2进行拼接可使周长为8，六边形的个数最多．【题目详解】解：有四个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长为4×4+2=18； 按下图拼接，图案的外轮廓的周长为18，此时正六边形的个数最多，即n 的最大值为1．故答案为：18；1．【题目点拨】本题考查了正多边形和圆，以及图形的变化类规律总结问题，根据题意，得出规律是解决此题的关键．13、k ＜14且k≠1． 【解题分析】根据一元二次方程kx2-x+1=1有两个不相等的实数根，知△=b 2－4ac ＞1，然后据此列出关于k 的方程，解方程，结合一元二次方程的定义即可求解：∵2kx x+1=0有两个不相等的实数根，∴△=1－4k＞1，且k≠1，解得，k＜14且k≠1．14、1:2【解题分析】△ABC与△DEF是位似三角形，则DF∥AC，EF∥BC，先证明△OAC∽△ODF，利用相似比求得AC＝3DF，所以可求OE：OB＝DF：AC＝1：3，据此可得答案．【题目详解】解：∵△ABC与△DEF是位似三角形，∴DF∥AC，EF∥BC∴△OAC∽△ODF，OE：OB＝OF：OC∴OF：OC＝DF：AC∵AC＝3DF∴OE：OB＝DF：AC＝1：3，则OE：EB＝1：2故答案为：1：2【题目点拨】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，位似图形的对应顶点的连线平行或共线．15、【解题分析】由tan∠CBD=CDBC=34设CD=3a、BC=4a，据此得出BD=AD=5a、AC=AD+CD=8a，由勾股定理可得（8a）2+（4a）2=82，解之求得a的值可得答案．【题目详解】解：在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=CDBC=34，∴设CD=3a、BC=4a，则BD=AD=5a，∴AC=AD+CD=5a+3a=8a，在Rt△ABC中，由勾股定理可得（8a）2+（4a）2=82，解得： 或（舍），则故答案为【题目点拨】本题考查线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，解题关键是熟记性质与定理并准确识图．16、11x - 【解题分析】直接把分子相加减即可.【题目详解】22111x x x +--=11(1)(1)1x x x x +=+--,故答案为：11x -. 【题目点拨】本题考查了分式的加减法，关键是要注意通分及约分的灵活应用．17、106.710⨯【解题分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．【题目详解】67000000000的小数点向左移动10位得到6.7，所以67000000000用科学记数法表示为106.710⨯，故答案为：106.710⨯．【题目点拨】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．三、解答题（共7小题，满分69分）18、12【解题分析】分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由x 2-2x-2=0得x 2=2x+2=2（x+1），整体代入计算可得．详解：原式=()()()()2222112[]111x x x x x x x x x x ----÷+++ =()()()2121•121x x x x x x +-+- =21x x +， ∵x 2-2x-2=0，∴x 2=2x+2=2（x+1），则原式=()11212x x +=+． 点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．19、63cm.【解题分析】试题分析：（1）在Rt ACD ，AC ＝45，DC ＝60，根据勾股定理可得AD ＝即可得到AD 的长度；（2）过点E 作EF AB ，垂足为F ，由AE ＝AC+CE ，在直角 EFA 中，根据EF ＝AEsin75°可求出EF 的长度，即为点E 到车架档AB 的距离；试题解析：20、 (Ⅰ)发射台与雷达站之间的距离CD 约为4.44km ；(Ⅱ)这枚火箭从A 到B 的平均速度大约是0.51/km s .【解题分析】(Ⅰ)在Rt △ACD 中，根据锐角三角函数的定义，利用∠ADC 的余弦值解直角三角形即可；(Ⅱ)在Rt △BCD 和Rt △ACD中，利用∠BDC 的正切值求出BC 的长，利用∠ADC 的正弦值求出AC 的长，进而可得AB 的长，即可得答案.【题目详解】(Ⅰ)在Rt ACD 中，6DA km =，42.4A CD ADC cos DC AD∠∠=︒=，≈0.74， ∴()642.4 4.44km CD AD cos ADC cos ∠=⋅=⨯︒≈.答：发射台与雷达站之间的距离CD 约为4.44km . (Ⅱ)在Rt BCD 中， 4.44km 45.5,BC CD BDC tan BDC CD∠∠==︒=，， ∴()4.4445.5 4.44 1.02 4.5288km BC CD tan BDC tan ∠=⋅=⨯︒≈⨯=.∵在Rt ACD 中，AC sin ADC AD∠=， ∴()642.4 4.02km AC AD sin ADC sin ∠=⋅=⨯︒≈.∴()4.5288 4.020.50880.51km AB BC AC =-=-=≈.答：这枚火箭从A 到B 的平均速度大约是0.51/km s .【题目点拨】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键.21、见解析【解题分析】（1）可以把要证明相等的线段AE ，CF 放到△AEO ，△BFO 中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO ，OE=OF ，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE 的结果，所以相等，由此可以证明△AEO ≌△BFO ； （2）由（1）知：∠OAC=∠OBF ，∴∠BDA=∠AOB=90°，由此可以证明AE ⊥BF【题目详解】解：（1）证明：在△AEO 与△BFO 中，∵Rt △OAB 与Rt △EOF 等腰直角三角形，∴AO=OB ，OE=OF ，∠AOE =90°-∠BOE =∠BOF ，∴△AEO ≌△BFO ，∴AE=BF ；（ 2）延长AE 交BF 于D ，交OB 于C ，则∠BCD =∠ACO由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，∴AE⊥BF．22、（1）50；4；5；画图见解析；（2）144°；（3）64【解题分析】（1）根据统计图可知，课外阅读达3小时的共10人，占总人数的20%，由此可得出总人数；求出课外阅读时间4小时与6小时男生的人数，再根据中位数与众数的定义即可得出结论；根据求出的人数补全条形统计图即可；（2）求出课外阅读时间为5小时的人数，再求出其人数与总人数的比值即可得出扇形的圆心角度数；（3）求出总人数与课外阅读时间为6小时的学生人数的百分比的积即可．【题目详解】解：（1）∵课外阅读达3小时的共10人，占总人数的20%，∴1020%=50（人）．∵课外阅读4小时的人数是32%，∴50×32%=16（人），∴男生人数=16﹣8=8（人）；∴课外阅读6小时的人数=50﹣6﹣4﹣8﹣8﹣8﹣12﹣3=1（人），∴课外阅读3小时的是10人，4小时的是16人，5小时的是20人，6小时的是4人，∴中位数是4小时，众数是5小时．补全图形如图所示．故答案为50，4，5；（2）∵课外阅读5小时的人数是20人， ∴2050×360°=144°． 故答案为144°；（3）∵课外阅读6小时的人数是4人，∴800×450=64（人）． 答：九年级一周课外阅读时间为6小时的学生大约有64人．【题目点拨】本题考查了统计图与中位数、众数的知识点，解题的关键是熟练的掌握中位数与众数的定义与根据题意作图.23、 (1)x=1;(2)115,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,5 1,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭;(3) 12t -≤≤ 【解题分析】 （1）二次函数的对称轴为直线x=-2b a,带入即可求出对称轴, （2）在区间内发现能够取到函数的最低点,即为顶点坐标,当开口向上是,距离对称轴越远,函数值越大,所以当x=5时,函数有最大值.（3）分类讨论,当二次函数开口向上时不满足条件,所以函数图像开口只能向下,且1x 应该介于-1和3之间,才会使12y y ≥,解不等式组即可.【题目详解】（1）该二次函数图象的对称轴是直线212a x a==； （2）∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线1x =，15x -≤≤，∴当5x =时，y 的值最大，即115,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 把115,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入222y ax ax =--，解得12a =． ∴该二次函数的表达式为2122y x x =--． 当1x =时，52y =-， ∴51,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭． （3）易知a <0,∵当23x ≥时，均有12y y ≥，∴113t t ≥-⎧⎨+≤⎩,解得12t -≤≤ ∴t 的取值范围12t -≤≤．【题目点拨】本题考查了二次函数的对称轴,定区间内求函数值域,以及二次函数图像的性质,难度较大,综合性强,熟悉二次函数的单调性是解题关键.24、（1）y=﹣12x 2+52x ﹣2；（2）当t=2时，△DAC 面积最大为4；（3）符合条件的点P 为（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14）．【解题分析】（1）把A 与B 坐标代入解析式求出a 与b 的值，即可确定出解析式；（2）如图所示，过D 作DE 与y 轴平行，三角形ACD 面积等于DE 与OA 乘积的一半，表示出S 与t 的二次函数解析式，利用二次函数性质求出S 的最大值即可；（3）存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△OAC 相似，分当1＜m ＜4时；当m ＜1时；当m ＞4时三种情况求出点P 坐标即可．【题目详解】（1）∵该抛物线过点A （4，0），B （1，0），∴将A 与B 代入解析式得：，解得：，则此抛物线的解析式为y=﹣x 2+x ﹣2；（2）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为﹣t2+t﹣2，过D作y轴的平行线交AC于E，由题意可求得直线AC的解析式为y=x﹣2，∴E点的坐标为（t，t﹣2），∴DE=﹣t2+t﹣2﹣（t﹣2）=﹣t2+2t，∴S△DAC=×（﹣t2+2t）×4=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，则当t=2时，△DAC面积最大为4；（3）存在，如图，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为﹣m2+m﹣2，当1＜m＜4时，AM=4﹣m，PM=﹣m2+m﹣2，又∵∠COA=∠PMA=90°，∴①当==2时，△APM∽△ACO，即4﹣m=2（﹣m2+m﹣2），解得：m=2或m=4（舍去），此时P（2，1）；②当==时，△APM∽△CAO，即2（4﹣m）=﹣m2+m﹣2，解得：m=4或m=5（均不合题意，舍去）∴当1＜m＜4时，P（2，1）；类似地可求出当m＞4时，P（5，﹣2）；当m＜1时，P（﹣3，﹣14），综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14）．【题目点拨】本题综合考查了抛物线解析式的求法，抛物线与相似三角形的问题，坐标系里求三角形的面积及其最大值问题，要求会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形,解决相似三角形问题时要注意分类讨论．。
上海市黄浦区2019-2020学年高考第三次模拟数学试题含解析
上海市黄浦区2019-2020学年高考第三次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（）．金牌（块）银牌（块）铜牌（块）奖牌总数24 5 11 12 2825 16 22 12 5426 16 22 12 5027 28 16 15 5928 32 17 14 6329 51 21 28 10030 38 27 23 88A．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5【答案】B【解析】【分析】根据表格和折线统计图逐一判断即可.【详解】A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；D. 统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为545956.52+=,不正确； 故选：B 【点睛】此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.2．当输入的实数[]230x ∈，时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（ ）A ．914B ．514C ．37D ．928【答案】A 【解析】 【分析】根据循环结构的运行，直至不满足条件退出循环体，求出x 的范围，利用几何概型概率公式，即可求出结论. 【详解】程序框图共运行3次，输出的x 的范围是[]23247，， 所以输出的x 不小于103的概率为24710314492472322414-==-.故选:A. 【点睛】本题考查循环结构输出结果、几何概型的概率，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.3．已知椭圆2y +2x =1(a>b>0)与直线1y x -=交于A ，B 两点，焦点F(0，-c)，其中c 为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） AB．C．14D．14【答案】A 【解析】 【分析】联立直线与椭圆方程求出交点A ，B 两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式，解方程求解即可. 【详解】联立方程222211y x a b y x a b⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解方程可得0x y a =⎧⎨=⎩或0x b y =-⎧⎨=⎩，不妨设A(0，a)，B(-b ，0)，由题意可知，BA u u u r ·BF u u u r=0，因为(),BA b a =u u u r ，(),BF b c =-u u u r，由平面向量垂直的坐标表示可得，0b b ac ⋅-=， 因为222b a c =-，所以a 2-c 2=ac ， 两边同时除以2a 可得，210e e +-=， 解得e=2或12e -=，故选：A 【点睛】本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型. 4．已知函数()cos 221f x x x =++，则下列判断错误的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的值域为[1,3]-C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称【解析】 【分析】先将函数()cos 221f x x x =++化为()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】Q()cos 221f x x x =++可得1()2cos 2sin 212sin 2126f x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于A ，()f x 的最小正周期为22||2T πππω===,故A 正确； 对于B ，由1sin 216x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，可得1()3f x -≤≤，故B 正确； 对于C ，Q 正弦函数对称轴可得：()02,62x k k Z πππ+=+∈解得：()0,612x k k Z ππ=+∈， 当0k =，06x π=，故C 正确；对于D ，Q 正弦函数对称中心的横坐标为：()02,6x k k Z ππ+=∈解得：()01,212x k k Z ππ=+∈ 若图象关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则12124k πππ+=-解得：23k =-，故D 错误； 故选：D. 【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）A ．30010B ．40010C ．50010D ．60010【答案】A 【解析】 【分析】结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解 【详解】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为29101222211023+++⋅⋅⋅+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg230021010=≈.故选：A 【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n 项和公式应用，属于中档题 6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．3C ．83D ．73【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可得几何体，利用体积计算即可.由题意，该几何体如图所示：该几何体的体积11110222222323V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．7．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，函数()f x 满足()()4f x f x =+，且(]0,1x ∈时，()2()log 1f x x =+，则()()20182019f f +=（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】D 【解析】 【分析】()()4f x f x =+说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值．【详解】由()()4f x f x =+知函数()f x 的周期为4，又()f x 是奇函数，(2)(2)f f =-，又(2)(2)f f -=-，∴(2)0f =，∴()()()()()()201820192301011f f f f f f +=+=+-=-=-． 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础． 8．已知i 为虚数单位，若复数12z i =+，15z z ⋅=，则||z = A ．1 B 5C ．5 D ．5【答案】B【分析】 【详解】 由15z z ⋅=可得15z z =，所以155||2i ||||z z +====B ． 9．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ） A ．32B ．12C ．78 D ．98【答案】C 【解析】 【分析】求得等比数列{}n a 的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得63S S 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，2019201680a a +=Q ，32019201618a q a ∴==-，12q ∴=-， 因此，6363317118S q q S q -==+=-. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题. 10．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（ ） A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内 D ．上述三种情况都有可能【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离小于半径可得,a b 满足的条件，利用(),M a b 与圆心的距离判断即可. 【详解】Q 直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，∴圆心(0,0)到直线1ax by +=的距离1d =<，1>．即点(,)M a b 与圆C 的位置关系是点M 在圆C 外． 故选：B 【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题．11．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D 21r r 【答案】B 【解析】 【分析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解. 【详解】在图1中，液面以上空余部分的体积为211r h π；在图2中，液面以上空余部分的体积为222r h π.因为221122r h r h ππ=，所以21221h r h r ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本题考查圆柱的体积，属于基础题.12．以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的是 A ．函数()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B ．直线8x π=需是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心 D ．将函数()y f x =图象向左平移需8π个单位，可得到2y x =的图象 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数得到())4f x x π=-，再逐项判断正误得到答案.【详解】()sin 2cos 2)4f x x x x π=-=-A 选项，132(,)4413220,x x ππππ⎛⎫∈⇒ ⎪⎝⎭-∈-函数先增后减，错误 B 选项，2084x x ππ=⇒-=不是函数对称轴，错误 C 选项，2444x x πππ=⇒-=，不是对称中心，错误D 选项，图象向左平移需8π个单位得到))284y x x ππ=+-=，正确故答案选D 【点睛】本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市黄浦区2019-2020学年高考数学第三次调研试卷含解析
上海市黄浦区2019-2020学年高考数学第三次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π-C ．23π D ．23π-【答案】B 【解析】 【分析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的16，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为11263ππ-⨯=-. 故选：B 【点睛】本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.2．若实数,x y 满足不等式组121210x y x y x y +≥-⎧⎪-≤-⎨⎪--≤⎩，则234x y -+的最大值为（ ）A ．1-B ．2-C ．3D ．2【答案】C 【解析】 【分析】作出可行域，直线目标函数对应的直线l ，平移该直线可得最优解． 【详解】作出可行域，如图由射线AB ，线段AC ，射线CD 围成的阴影部分（含边界），作直线:2340l x y -+=，平移直线l ，当l 过点(1,1)C 时，234z x y =-+取得最大值1． 故选：C ．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形． 3．过点6(26P ，的直线l 与曲线213y x =-交于A B ，两点，若25PA AB =u u u r u u u r，则直线l 的斜率为( ) A ．23B ．23+C ．23或23D ．2331【答案】A 【解析】 【分析】利用切割线定理求得,PA AB ，利用勾股定理求得圆心到弦AB 的距离，从而求得30APO ∠=︒，结合45POx ∠=o ，求得直线l 的倾斜角为15o ，进而求得l 的斜率.【详解】曲线213y x -为圆2213x y +=的上半部分，圆心为()0,013设PQ 与曲线213y x =-Q ， 则()2PQ PA PB PA PA AB =⋅=⋅+2225375PA PO OQ -=== 所以5,2PA AB ==，O 到弦AB 13123-=23231sin 2262OP APO ===⨯∠，所以30APO ∠=︒，由于45POx ∠=o ，所以直线l 的倾斜角为453015-=o o o ，斜率为()tan 45tan 30tan15tan 4530231tan 45tan 30-=-==+⨯o ooooo o故选：A【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.4．已知A ，B 是函数()2,0ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点，若曲线()y f x =在点A ，B 处的切线重合，则实数a 的最小值是（ ） A ．1- B ．12-C ．12D ．1【答案】B 【解析】 【分析】先根据导数的几何意义写出()f x 在,A B 两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出()122112x a x e =-，令函数()()()22102x g x x e x =-≤ ，结合导数求出最小值，即可选出正确答案. 【详解】解：当0x ≤ 时，()2f x x x a =++，则()'21f x x =+;当0x >时，()ln x x a f x =-则()'ln 1f x x =+.设()()()()1122,,,A x f x B x f x 为函数图像上的两点， 当120x x << 或120x x <<时，()()12''f x f x ≠，不符合题意，故120x x <<. 则()f x 在A 处的切线方程为()()()2111121y x x a x x x -++=+-；()f x 在B 处的切线方程为()()2222ln ln 1y x x a x x x -+=+-.由两切线重合可知 21221ln 121x x x a a x +=+⎧⎨--=-⎩ ，整理得()()12211102x a x e x =-≤.不妨设()()()22102x g x x e x =-≤则()()22',''12xxg x x e g x e =-=- ，由()''0g x = 可得11ln 22x =则当11ln 22x =时，()'g x 的最大值为11111'ln ln 022222g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭. 则()()2212x g x x e =-在(],0-∞ 上单调递减，则()102a g ≥=-. 故选:B. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出a 和x 的函数关系式.本题的易错点是计算.5．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∧【答案】A 【解析】 【分析】先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可. 【详解】当1m =时，直线0x my -=和直线0x my +=，即直线为0x y -=和直线0x y +=互相垂直， 所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分条件， 当直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直时，21m =，解得1m =±. 所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的不必要条件.p ：“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分不必要条件，故p 是假命题．当1a =时，2()1f x x =+没有零点， 所以命题q 是假命题．所以()()p q ⌝∧⌝是真命题，()p q ∧⌝是假命题，p q ∨是假命题，p q ∧是假命题． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象， 考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．已知集合1,2,3,4,6{}5,A =的所有三个元素的子集记为123,,,*,n B B B B n N ⋯∈．记i b 为集合i B 中的最大元素，则123n b b b b +++⋯+=（ ） A ．45 B ．105 C ．150 D ．210【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论，分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数，即可得解. 【详解】集合M 含有3个元素的子集共有3620C =，所以20k =．在集合1,2,3,,i B i k =⋯（）中： 最大元素为3的集合有221C =个；最大元素为4的集合有233C =；最大元素为5的集合有246C =； 最大元素为6的集合有2510C =；所以12345314356610105b b b b b ++++⨯+⨯+⨯+⨯＝＝． 故选：B ． 【点睛】此题考查集合相关的新定义问题，其本质在于弄清计数原理，分类讨论，分别求解. 7．已知集合{}2(,)|A x y y x ==，{}22(,)|1B x y xy =+=，则A B I 的真子集个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】求出A B I 的元素，再确定其真子集个数． 【详解】由2221y x x y ⎧=⎨+=⎩，解得12x y ⎧⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩或12x y ⎧⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩，∴A B I 中有两个元素，因此它的真子集有3个． 故选：C. 【点睛】本题考查集合的子集个数问题，解题时可先确定交集中集合的元素个数，解题关键是对集合元素的认识，本题中集合,A B 都是曲线上的点集．8．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A ⋃B ，则集合中的元素共有 （ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】A 【解析】试题分析：{}3,4,5,7,8,9U A B =⋃=,{}4,7,9A B ⋂=,所以{}()3,5,8U C A B ⋂=，即集合()U C A B ⋂中共有3个元素，故选A ． 考点：集合的运算．9．ABC V 是边长为23的等边三角形，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，沿EF 把AEF V 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，当四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时，四棱锥P BCFE -的体积为（ ） A ．534B ．334C ．64D ．364【答案】D 【解析】 【分析】首先由题意得，当梯形BCFE 的外接圆圆心为四棱锥P BCFE -的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现，BC 的中点即为梯形BCFE 的外接圆圆心，也即四棱锥P BCFE -的外接球球心，则可得到3PO OC ==，进而可根据四棱锥的体积公式求出体积. 【详解】如图，四边形BCFE 为等腰梯形，则其必有外接圆，设O 为梯形BCFE 的外接圆圆心，当O 也为四棱锥P BCFE -的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过A 作BC 的垂线交BC 于点M ，交EF 于点N ，连接,PM PN ，点O 必在AM 上，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则必有AN PN MN ==，90APM ∴∠=o ，即APM △为直角三角形.对于等腰梯形BCFE ，如图：因为ABC V 是等边三角形，E 、F 、M 分别为AB 、AC 、BC 的中点， 必有MB MC MF ME ===，所以点M 为等腰梯形BCFE 的外接圆圆心，即点O 与点M 重合，如图132PO OC BC ∴===222336PA AO PO =-=-= 所以四棱锥P BCFE -底面BCFE 的高为3623PO PA AM ⋅== 113131362332334342P BCFE BCFE ABC V S h S h -==⨯=⨯⨯⨯=V 故选：D. 【点睛】本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力和分析能力，是一道难度较大的题目.10．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是 （ ）A ．0B ．2-C ．52-D ．3-【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：将参数a 与变量x 分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论． 解：不等式x 2+ax+1≥0对一切x ∈(0，12]成立，等价于a≥-x-1x 对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立，∵y=-x-1x在区间10,2⎛⎤⎥⎝⎦上是增函数∴115222xx--≤--=-∴a≥-52∴a的最小值为-52故答案为C．考点：不等式的应用点评：本题综合考查了不等式的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题11．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A．20 B．27 C．54 D．64【答案】B【解析】【分析】设大正方体的边长为x，312x x-，设落在小正方形内的米粒数大约为N，利用概率模拟列方程即可求解。
上海黄浦区2023-2024学年高考数学三模试卷含解析
2024年高考数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ）A ．单调递增B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减2．将函数2()22cos f x x x =-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ） A ．3,08π⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,18⎛⎫-- ⎪⎝⎭π C ．3,08⎛⎫-⎪⎝⎭π D ．3,18⎛⎫-⎪⎝⎭π 3．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是A ．13- B ．13 C ．12-D ．124．设12,x x 为()()cos 0f x x x ωωω=->的两个零点，且12x x -的最小值为1，则ω=（ ） A ．πB ．2π C ．3π D ．4π 5．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ） A ．1B ．1或12CD． 6．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅ 7．函数()cos2xf x π=与()g x kx k =-在[]6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),x y （1i =，……，n ），则()1nii i xy =+=∑（ ）A ．7B ．8C ．9D ．108．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数()2331x x f x x ++=+，()2g x x m =-++，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[)17,9,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．4179,,2⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭10．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A ．413B 213C ．926D 31311．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝12．要得到函数1cos 2y x =的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年上海市黄埔区高考数学冲刺模拟试题(三模)含解析
2023-2024学年上海市黄埔区高考数学冲刺模拟试题（三模）一、填空题1．已知集合{}{}1,2,3,0,3A B ==，则A B = __________.【正确答案】{}3【分析】直接计算交集得到答案.【详解】集合{}{}1,2,3,0,3A B ==，则{}3A B ⋂=.故答案为.{}32．在4(21)x +的展开式中，2x 的系数为__________．（用数字作答）【正确答案】24【分析】写出展开式的通项公式，求出2x 的系数.【详解】4(21)x +的展开式通项公式为()414C 2rr r T x -+=，令2r =，得()22234C 224T x x ==，故2x 的系数为24.故24.3．已知随机事件,A B 满足()()11,32P A B P A ⋂==，则()P B A =__________.【正确答案】23【分析】直接根据条件概率公式计算得到答案.【详解】()()()123132P AB P B A P A ===.故答案为.234．已知直线1:0l x y +=和()2:230R l x ay a -+=∈，若12l l ⊥，则=a __________.【正确答案】2【分析】直接根据直线垂直公式计算得到答案.【详解】直线1:0l x y +=和()2:230R l x ay a -+=∈，12l l ⊥，则1210a ⨯-⨯=，解得2a =.故答案为.25．在复平面内，复数z 所对应的点为(1,1)，则z z ⋅=___________．【正确答案】2【分析】根据复数的几何意义可得1i z =+，由乘法运算即可求解.【详解】由题意可知1i z =+，所以()()1i 1i 2z z ⋅=+-=，故26．若一个圆柱的侧面积是4π，高为1，则这个圆柱的体积是_______．【正确答案】4π【分析】根据圆柱的侧面积公式求出底面圆的半径，进而可求解.【详解】圆柱的侧面积是2π2π14π2S rh r r ==⨯=∴=，，所以体积2π4πV Sh r h ==⋅=．故答案为:4π.7．在数列{}n a 中，11a =，且1210n n a a +-=，设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则lim n n S →+∞=__________.【正确答案】2【分析】确定数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，计算1222nn S ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，再计算极限得到答案.【详解】1210n n a a +-=，则112n n a a +=，11a =，数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，11121221212nnn S ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=⨯=-⨯ ⎪⎝⎭-，故2l 1im 2li 22m n nn n S →+∞→+∞⎡⎤⎛⎫-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎦=⎢⎥⎣.故28．在平面直角坐标系中，若双曲线22Γ:12x y -=的右焦点恰好是抛物线22(0)y px p =>的焦点，则p =__________.【正确答案】【分析】确定双曲线右焦点，得到2p=.【详解】双曲线22Γ:12x y -=的右焦点为)，则2p=p =故答案为.9．某学校为了解该校学生开展志愿者活动的情况，随机抽取了40名学生，对他们本学期参与志愿者活动时长进行了统计，已知统计数据如下表所示：时长（小时）7891011人数（人）610987则该校学生开展志愿者活动时长的第40百分位数是__________.【正确答案】8.5【分析】确定4040%16⨯=，第40百分位数是第16个数和第17个数的平均数，计算得到答案.【详解】4040%16⨯=，故第40百分位数是第16个数和第17个数的平均数，即898.52+=.故答案为.8.510．已知a b c､､是同一个平面上的向量，若a c b == ，且0,2,1a b c a c b ⋅=⋅=⋅= ，则,c a =__________.【正确答案】arcsin5【分析】根据向量的数量积公式确定cos ,2cos ,c a c b = ，根据垂直得到π,,2c a c b += ，代入计算得到答案.【详解】设a c b m === ，则2cos ,2c a m c a ⋅== ，2cos ,1c b m c b ⋅== ，故cos ,2cos ,c a c b = ，[]0,,0,πa b a b ⋅=∈，则π,2a b = ，20c a ⋅=> ，10c b ⋅=>，故π,,2c a c b += ，设,c a θ= ，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πcos 2cos 2sin 2θθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又22sin cos 1θθ+=，解得sin 5θ=，故,c a =.故答案为.arcsin511．已知函数()y f x =的表达式为()321xf x =⋅-，若对于任意[]10,1x ∈，都存在[]20,1x ∈，使得()()1210f x f x m ++=成立，则实数m 的取值范围是__________.【正确答案】[]2log 31,1-【分析】确定函数单调递增，计算()[]12,5f x ∈，得到()[]25,8f x m +∈，确定132153218m m +⎧⋅-≤⎨⋅-≥⎩，解得答案.【详解】()321xf x =⋅-在R 上单调递增，当[]0,1x ∈时，()()min 02f x f ==，()()max 15f x f ==，()()1210f x f x m ++=，[]10,1x ∈，即()[]1105,8f x -∈，故[]5,8是()2f x m +值域的子集，故132153218m m +⎧⋅-≤⎨⋅-≥⎩，解得2log 311m -≤≤.故答案为.[]2log 31,1-12．已知数列{}n a 是等差数列，若1111112342023nnnnni i i i i i i i i i a a a a a ======+=+=+=+=∑∑∑∑∑，则数列{}n a 的项数n 的最大值是__________.【正确答案】44【分析】构造函数()1ni f x x id ==-∑，则()f x 的图像与直线2023y =至少有5个公共点，确定20232n f d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，4d ≥，得到22023n ≤，得到答案.【详解】设等差数列的公差为d ，构造函数()1ni f x x id ==-∑，则()f x 的图像与直线2023y =至少有5个公共点，横坐标分别为n a d +，1n a d ++，2n a d ++，3n a d ++，4n a d ++，根据绝对值函数的性质知：当n 为奇数时，函数图像关于12n x d +=对称，12n x d +=时有最小值，此时最多有2个交点，不满足题意，当n 为偶数时，函数图像在2,22n n d d +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是一条水平的线段，可以有5个交点，故2123422n n n n n n n d a d a d a d a d a d d +≤+<++<++<++<++≤，且2202322n n f d f d +⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故24422n n n nd d d a d a d +-=≥++--=，即4d ≥，2202324n nf d d ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故2420232023n d ⨯=≤，故44n ≤.故答案为.44关键点睛：本题考查了等差数列，数列的绝对值求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造函数()1ni f x x id ==-∑，再根据其性质得到22023n ≤是解题的关键.二、单选题13．如果0a b <<，那么下列不等式中正确的是（）A ．a b >B<C ．22a b <D ．11a b<【正确答案】D【分析】根据0a b <<，结合不等式的基本性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，若1,2a b =-=，则a b <，故A 不正确；对于B 中，当a<0B 不正确；对于C 中，22()()a b a b a b -=+-，由0a b <<，可得0a b -<，但a b +不确定，所以2a 与2b 无法确定大小关系，故C 不正确；对于D 中，11b aa b ab--=，由0a b <<，可得0b a ->，且0ab <，所以110b a a b ab--=<，所以11a b <，故D 正确.故选：D.14．已知a b，是平面内两个非零向量，那么“a b ∥ ”是“存在0λ≠，使得||||||a b a b λλ+=+ ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断.【详解】若a b ∥ ，则存在唯一的实数0μ≠，使得a b μ= ，故a b b b b λμλμλ+ =+=+，而()||||||||a b b b b λμλλμ++==+，存在λ使得λμλμ+=+成立，所以“a b ∥”是“存在0λ≠，使得||||||a b a b λλ+=+ ”的充分条件，若0λ≠且||||||a b a b λλ+=+ ，则a 与b λ 方向相同，故此时a b ∥ ，所以“a b ∥”是“存在0λ≠，使得||||||a b a b λλ+=+”的必要条件，故“a b ∥”是“存在0λ≠，使得||||||a b a b λλ+=+ ”的充分必要条件，故选：C15．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 上一点，若平面1MBD 与棱1CC 交于点N ，则下列说法中正确的是（）A ．存在平面1MBND 与直线1BB 垂直B ．四边形1MBND 可能是正方形C ．不存在平面1MBND 与直线11A C 平行D ．任意平面1MBND 与平面1ACB 垂直【正确答案】D【分析】根据正方体的性质判断A ，根据面面平行的性质得到四边形1MBND 是平行四边形，再由11A D BM ⊥，即可判断B ，当M 为1AA 的中点时N 为1CC 的中点，即可判断C ，建立空间直角坐标系，利用向量法说明D.【详解】对于A ：在正方体1111ABCD A B C D -中1BB ⊥平面1111D C B A ，显然平面1MBND 与平面1111D C B A 不平行，故直线1BB 不可能垂直平面1MBND ，故A 错误；对于B ：在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 上一点，平面1MBD 与棱1CC 交于点N ，由平面11//BCC B 平面11ADD A ，并且1,,,B M N D 四点共面，平面11BCC B 平面1BND M BN =，平面11ADD A 平面11BND M MD =，∴1//MD BN ，同理可证1//ND MB ，故四边形1MBND 是平行四边形，在正方体1111ABCD A B C D -中，由几何知识得，11A D ⊥平面11ABB A ，∵BM ⊂平面11ABB A ，∴11A D BM ⊥，若1MBND 是正方形，有1MD BM ⊥，此时M 与1A 重合时，但显然四边形11A BCD 不是正方形，故B 错误；对于C ：当M 为1AA 的中点时，N 为1CC 的中点，所以11//A M C N 且11=A M C N ，所以11A MNC 为平行四边形，所以11//AC NM ，11A C ⊄平面1MBND ，MN ⊂平面1MBND ，所以11//A C 平面1MBND ，故C 错误；对于D ：设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，由几何知识得，()()()()()112,0,0,2,2,0,0,2,0,2,2,2,0,0,2A B C B D ,∴()()()112,2,2,2,2,0,0,2,2D B AC AB =-=-= ,∵1110D B AC D B AB ⋅=⋅=，∴111,D B AC D B AB ⊥⊥，∵1AC AB A ⋂=，AC ⊂平面1ACB ，1AB ⊂平面1ACB ，∴1D B ⊥平面1ACB ，∵1D B ⊂平面1MBND ，∴任意平面1MBND 与平面1ACB 垂直，故D 正确.故选：D16．已知点I 在ABC 内部，A I 平分BAC ∠，12IBC ACI BAC ∠=∠=∠，对满足上述条件的所有ABC ，下列说法正确的是（）A ．ABC 的三边长一定成等差数列B ．ABC 的三边长一定成等比数列C ．ABI △，ACI ，CBI 的面积一定成等差数列D ．ABI △，ACI ，CBI 的面积一定成等比数列【正确答案】B【分析】设出,IA IB 与IBC ∠，由余弦定理与三角形面积公式化简，结合等差数列与等比数列的概念判断，【详解】设,,IBC ACI BAI CAI IA IC m IB n θ∠=∠=∠=∠====．在IAC 中，可得2cos bm θ=．在,,ABI BCI ABC 中，分别由余弦定理得2222cos n c m cm θ=+-，①2222cos m a n an θ=+-，②2222cos 2a b c bc θ=+-．③由①+②整理得222()cos cm an a c θ+=+，∴222cos a c cm an θ++=，将2cos b m θ=代入可得222cos a c bcn a θ+-=．又由三角形面积公式得1111sin 2sin sin sin 2222bc mc an bm θθθθ=++，∴2cos ()bc mc an bm m b c an θ=++=++，∴22222()2cos 2cos 2cos 2cos b b c a c bc a b c bc θθθθ++-++=+=，∴22224cos bc a b c θ=++，∴2222(1cos 2)bc a b c θ+=++．由③得222cos 22b c a bc θ+-=，∴2222222(1)2b c a bc a b c bc+-+=++，整理得2a bc =．ABC 的三边长一定成等比数列，而111sin ,sin ,sin 222mc bm an θθθ既不是等差数列，也不是等比数列，故C ，D 错误，故选：B关键点点睛：本题解题关键是利用正弦定理，余弦定理进行边角之间的转化，结合面积公式及等差等比的定义．三、解答题17．已知()2sin cos c 2πos 6f x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)求方程()0f x =的解集；(2)求函数()y f x =在[]0,π上的单调增区间.【正确答案】(1)ππ,Z 26k x x k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭(2)π0,12⎡⎤⎢⎣⎦和7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）化简得到()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，取π2π,Z 3x k k +=∈，解得答案.（2）取πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈，解不等式，取0k =和1k =得到单调增区间.【详解】（1）()12sin cos cos 2sin 2cos 2si 2622πn f x x x x x x x ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭1sin 222πsin 23x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=，取()πsin 203f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则π2π,Z 3x k k +=∈，解得ππ,Z 26k x k =-∈.故方程()0f x =的解集为ππ,Z 26k x x k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭.（2）取πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈，解得5ππππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈，当0k =时，π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦满足条件；当1k =时，7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦满足条件；综上所述：单调增区间是π0,12⎡⎤⎢⎣⎦和7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦18．已知ABC 和ADE V 所在的平面互相垂直，AD AE ⊥，2AB =，4AC =，120BAC ∠=︒，D 是线段BC的中点，AD =(1)求证：AD BE ⊥；(2)设2AE =，在线段AE 上是否存在点F （异于点A ），使得二面角A BF C --的大小为45︒.【正确答案】(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析【分析】（1）根据余弦定理计算BC =，根据勾股定理得到AD AB ⊥，确定AD ⊥平面ABE ，得到证明.（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，平面ABF 的一个法向量为()10,1,0n = ，平面CBF的一个法向量为2,,23n a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，根据向量的夹角公式计算得到答案.【详解】（1）2222cos120416828BC AC AB AC AB =+-⋅⋅︒=++=，故BC =，BD =222BD AB AD =+，故AD AB ⊥，又AD AE ⊥，,AE AB ⊂平面ABE ，⋂=AE AB A ，故AD ⊥平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，故AD BE ⊥，（2）△ABC 和△ADE 所在的平面互相垂直，则平面ABC ⋂平面ADE AD =，AD AE ⊥且AE ⊂平面ADE ，故⊥AE 平面ABC ，如图所示：以,,AB AD AE 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,23,0C -，设()0,0,F a ，(]0,2a ∈，平面ABF 的一个法向量为()10,1,0n = ，设平面CBF 的一个法向量为()2,,n x y z =u u r ，则22234020n BC y x n BF x az ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取x a =得到22323a n a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则12122122323cos ,2743a n n n n n n a ⋅==⋅+ ，解得23a =，不满足题意.综上所述：不存在点F ，使二面角A BF C --的大小为45︒.19．由于X 病毒正在传染蔓延，对人的身体健康造成危害，某校拟对学生被感染X 病毒的情况进行摸底调查，首先从两个班共100名学生中随机抽取20人，并对这20人进行逐个抽血化验，化验结果如下.1,9,5,6,2,3,8,5,3,4,2,6,10,5,5,2,1,7,6,6已知指数不超过8表示血液中不含X 病毒；指数超过8表示血液中含X 病毒且该生已感染X 病毒.(1)从已获取的20份血样中任取2份血样混合，求该混合血样含X 病毒的概率；(2)已知该校共有1020人，现在学校想从还未抽血化验的1000人中，把已感染X 病毒的学生全找出.方案A ：逐个抽血化验；方案B ：按40人分组，并把同组的40人血样分成两份，把其中的一份血样混合一起化验，若发现混合血液含X 病毒，再分别对该组的40人的另一份血样逐份化验；方案C ：将方案B 中的40人一组改为4人一组，其他步骤与方案B 相同.如果用样本频率估计总体频率，且每次化验需要不少的费用.试通过计算回答：选用哪一种方案更合算？（可供参考数据：4041450.90.014,0.90.013,0.90.656,0.90.5905≈≈≈≈）【正确答案】(1)37190(2)C ，理由见解析【分析】（1）确定不含X 病毒的有18份，含有X 病毒的有2份，218220C 1C P =-，计算得到答案.（2）设每次化验的费用为m ，分别计算,,A B C 方案所需要的费用分别为1000m ，1010m ，594m ，对比得到答案.【详解】（1）20分血样中，不含X 病毒的有18份，含有X 病毒的有2份，混合血样含X 病毒的概率218220C 371C 190P =-=（2）设每次化验的费用为m ，每个人感染病毒的概率为120.120P ==，方案A ：费用为1000m ；方案B ：每组化验次数Y 的分布列为：Y141P 400.94010.9-()()404010.910.94140.44E Y =⨯+-⨯≈,故总费用为()251011E Y m m ⨯=；方案C ：每组化验次数Z 的分布列为：Z 15P 40.9410.9-()()4410.910.95 2.376E Y =⨯+-⨯≈,故总费用为()250594E Z m m ⨯=；综上所述：选用C 方案更合算.20．已知椭圆222Γ:1(02)4x y b b+=<<的离心率是12，点A 是椭圆的上顶点，点P是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点.(1)求椭圆Γ的方程；(2)设圆22:870C x y x ++-+=.若直线AP 与圆C 相切，求点P 的坐标；(3)若点M 是椭圆Γ上不与椭圆顶点重合且异于点P 的任意一点，点M 关于x 轴的对称点是点N ，直线MP NP ､分别交x 轴与点(),0E m ､点(),0F n ，探究m n ⋅是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由.【正确答案】(1)22143x y +=(2)8,5P ⎛⎝⎭或8,5P ⎛- ⎝⎭(3)定值为4，理由见解析【分析】（1）根据离心率得到23b =，得到椭圆方程.（2）确定圆心和半径，设出直线，根据圆心到直线的距离等于半径得到斜率，解得答案.（3）设出点坐标，根据三点共线得到122121x y x y m y y -=-，122121x y x y n y y +=+，代入计算得到答案.【详解】（1）椭圆222Γ:1(02)4x yb b +=<<的离心率是12c e a ===，解得23b =.故椭圆方程为.22143x y +=（2）圆22:870C x y x++-+=，即()(22412x y ++-=，故圆心(C -，半径R =(A ，设直线AP 的方程为3y kx =，即30-+=kx y ，2431kk -=+，解得3k =±，当3k =22331 43y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得85x =-或0x =（舍），故833,55P ⎛- ⎝⎭，当3k =-22331 43y x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得85x =或0x =（舍），故833,55P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故833,55P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或833,55P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭（3）设()11,M x y ，()11,N x y -，()22,P x y ，,,M P E 三点共线，则ME MP λ= ，即()()112121,,m x y x x y y λ--=--，解得122121x y x y m y y -=-，同理可得122121x y x y n y y +=+，2222222212211221122112212222212121214444334y y y y x y x y x y x y x y x y m n y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭⋅====-+--.关键点睛：本题考查了椭圆方程，直线和圆的位置关系，定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用三点共线确定122121x y x y m y y -=-，122121x y x y n y y +=+是解题的关键.21．已知()3222,f x x ax a x a =+-+∈R .(1)当0a <时，求函数()y f x =的单调减区间；(2)当0a =时，曲线()y f x =在相异的两点,A B 点处的切线分别为1l 和21,l l 和2l 的交点位于直线2x =上，证明：,A B 两点的横坐标之和小于4；(3)当0a >时，如果对于任意[]123,,0,1x x x ∈，总存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，求a 的取值范围.【正确答案】(1),3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)证明过程见解析(3)⎛ ⎝【分析】（1）先求定义域，再求导，结合a<0，利用导函数小于0求出单调递减区间；（2）分别求出点,A B 处切线方程，联立得到两切线交点的横坐标，由基本不等式求出,A B 两点的横坐标之和小于4；（3）转化为对于一切[]123,,0,1x x x ∈，()()()123f x f x f x +>，且()()()123,,f x f x f x 均正，即()()min max 2f x f x >，先令3120,1x x x ===，得到02a <<，进而由导函数得到函数的单调性，得到不等式组，求出0a <<【详解】（1）()f x 的定义域为R ，()()()22323f x x ax a x a x a '=+-=-+，因为a<0，所以()0f x '<的解集为,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故函数()y f x =的单调减区间为,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）证明：当0a =时，()32f x x =+，()23f x x '=，设()()331122,2,,2A x x B x x ++，12x x ≠，点A 处切线方程为()()3211123y x x x x -+=-，点B 处切线方程为()()3222223y x x x x -+=-，故()()()()23231112223232x x x x x x x x -++=-++，解得()()2212121223x x x x x x x ++=+，故两切线交点的横坐标为()()2212121223x x x x x x +++，所以()221212123x x x x x x ++=+，结合12x x ≠，所以()()221212121232x x x x x x x x +⎛⎫+-+=< ⎪⎝⎭，解得1204x x <+<，（3）原命题等价与对于一切[]123,,0,1x x x ∈，()()()123f x f x f x +>，且()()()123,,f x f x f x 均正，即()()min max 2f x f x >，令3120,1x x x ===，代入可得220a a --<，解得1a 2-<<，因为0a >，所以02a <<，又()()()22323f x x ax a x a x a '=+-=-+，因为02a <<，所以()f x 在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,13a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()()03203213a f a f f a f f ⎧⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得()()33352027522027522127a a f a f ⎧-+>⎪⎪⎪⎛⎫-+>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+>⎪ ⎪⎝⎭⎩①②③，由①②得，0a <<，由不等式③得32101027a a a -+-<，令()3210127g a a a a =-+-，则()2102109g a a a '=-+>，故()g a 在()0,2上单调递增，又()20g <，所以0a <<时，③成立，故a的取值范围是⎛ ⎝.当已知切点坐标为()00,x y 时，根据导函数的几何意义可得到切线的斜率，再利用()()()000y f x f x x x '-=-求出切线方程；当不知道切点坐标时，要设出切点坐标，结合切点既在函数图象上，又在切线方程上，列出等式，进行求解.。
上海市黄浦区高考数学三模试卷解析版
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21. 设数列{an}的各项都是正数，若对于任意的正整数 m，存在 k∈N*，使得 am、am+k、 am+2k 成等比数列，则称数列{an}为“Dk 型”数列．
（1）若{an}是“D1 型”数列，且
，求
的值；
（2）若{an}是“D2 型”数列，且 a1=a2=a3=1，a8=8，求{an}的前 n 项和 Sn； （3）若{an}既是“D2 型”数列，又是“D3 型”数列，求证：数列{an}是等比数列．
A. α＞β B. α=β C. α＜β D. 不能确定
4. 已知 n∈N，x∈R，则函数
的大致图象是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）
5. 已知幂函数 f（x）过点
，则 f（x）的反函数为 f-1（x）=______．
6.______．
7. 在△ABC 中，AC=3，3sinA=2sinB，且∠C 的大小是 ，则 AB=______．
8. 函数 f（x）=loga（x2-4x+3）（a＞0，a≠1）在 x∈[m，+∞）上存在反函数，则 m 的 取值范围是______．
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9. 已知复数
（x，y∈R，i 是虚数单位）的对应点 z 在第四象限，且
高考数学三模试卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）
1. 已知 z∈C，i 是虚数单位， 是 z 的共轭复数，则下列说法与“z 为纯虚数”不等价
的是（ ）
A. z2＜0
B. z=|z|i 或 z=-|z|i，且|z|≠0
上海市黄浦区高考数学三模试卷解析版
高考数学三模试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.关于三个不同平面α，β，γ与直线l，下列命题中的假命题是（）A. 若α⊥β，则α内一定存在直线平行于βB. 若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC. 若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γD. 若α⊥β，则α内所有直线垂直于β2.在一次化学测试中，高一某班50名学生成绩的平均分为82分，方差为8.2，则下列四个数中不可能是该班化学成绩的是（）A. 60B. 70C. 80D. 1003.已知双曲线：，过点作直线，使与有且仅有一个公共点，则满足上述条件的直线共有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条4.有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（）种A. 48B. 72C. 78D. 84二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.若全集为实数集R，，则∁R M=______6.抛物线的准线方程为______．7.关于x方程=0的解为______ ．8.函数f（x）=2sin x+1，的反函数f-1（x）=______9.函数的图象相邻的两条对称轴之间的距离是______10.若，则二项式（x-2a）10展开式的系数和是______11.某校要从名男生和名女生中选出人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的志愿者中,男、女都有的概率为______(结果用数值表示).12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是______13.设实数x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则2a+3b的值为______14.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A、B两点，则线段AB的长是______15.定义在R上的偶函数f（x）对任意的x∈R有f（1+x）=f（1-x），且当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．若函数y=f（x）-log a x在（0，+∞）上有四个零点，则a的值为______ ．16.已知向量、满足，，则的取值范围是______三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，已知多面体ABC-A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sin A的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．19.某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后这x名员工他们平均每人创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整多少名员工从事第三产业？（2）设x≤400，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求a的最大值．20.如图，以椭圆=1（a＞1）的右焦点F2为圆心，1-c为半径作圆F2（其中c为已知椭圆的半焦距），过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T．（1）若a=，P为椭圆的右顶点，求切线长|PT|；（2）设圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若|PT|≥（a-c）恒成立，且OA⊥OB．求：①c的取值范围；②直线l被圆F2所截得弦长的最大值．21.给定数列{a n}，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，即A i=max{a1，a2，…，a i}；该数列后n-i项a i+1，a i+2，…，a n中的最小项为B i，即B i=min{a i+1，a i+2，…，a n}；d i=A i-B i（i=1，2，3，…，n-1）（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d1，d2，d3；（2）若S n是数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*，有，其中λ为实数，λ＞0且．①设，证明数列{b n}是等比数列；②若数列{a n}对应的d i满足d i+1＞d i对任意的正整数i=1，2，3，…，n-2恒成立，求实数λ的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：对于A，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故A正确；对于B，假设α内存在直线a垂直于β，则α⊥β，与题设矛盾，故假设错误，故B正确；对于C，设α∩γ=c，β∩γ=d，在γ内任取一点P，作PM⊥c于点M，PN⊥d于点N则PM⊥α，PN⊥β，且PM、PN不可能共线．又l⊂α，l⊂β，∴PM⊥l，PN⊥l．又PM∩PN=P，PM⊂γ，PN⊂γ，∴l⊥γ．故C正确．对于D，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故D错误．故选：D．根据空间线面位置关系的判定和性质判断或距离说明．本题主要考查了直线与平面位置关系的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．2.【答案】A【解析】解：高一某班50名学生成绩的平均分为82分，方差为8.2，根据平均数、方差的意义，可知60分不可能是该班化学成绩．故选A．根据平均数、方差的意义，可知结论．本题考查平均数、方差的意义，比较基础．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生数形结合和转化和化归的思想的运用，属于一般题.先确定双曲线的右顶点，进而根据图形可推断出当l垂直x轴时与C相切，与x轴不垂直且与C相切，与渐近线平行且与C较与1点（两种情况）满足l与C有且只有一个公共点．【解答】解：根据双曲线方程可知a=1，①当直线l斜率不存在时，直线l方程为：x=1，满足与曲线C只有一个公共点；②当直线l斜率存在时，设直线l方程为：y-1=k(x-1),即：y=k(x-1)+1，联立,整理可得：，当,即k=时，此时方程有且仅有一个实数根，∴直线l:与曲线C有且仅有一个公共点，当时，,解得：,∴直线l:与曲线C有且仅有一个公共点，综上所述：满足条件的直线l有4条．故选：D.4.【答案】A【解析】解：将五个球排成一行共有种不同的排法，当两个红色球相邻共有种不同的排法，当两个黄色球相邻共有种不同的排法，当两个黄色球、两个红色球分别相邻共有种不同的排法，则将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有--+=120-48-48+24=48（种），故选：A．由排列组合及简单的计数问题得：将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有--+=48（种），得解．本题考查了排列组合及简单的计数问题，属中档题．5.【答案】【解析】解：∵；∴．故答案为：．可以求出集合M，然后进行补集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，对数函数的单调性及对数函数的定义域，以及补集的运算．6.【答案】y=1【解析】解：由，得x2=-4y，∴2p=4，即p=2，则抛物线的准线方程为y==1．故答案为：y=1．化抛物线方程为标准式，求得p，则直线方程可求．本题考查抛物线的简单性质，是基础题．7.【答案】x=或x=，k∈Z【解析】解：由=0，得4sin x cosx-1=0，即sin2x=．∴2x=或x=，则x=或x=，k∈Z．故答案为：x=或x=，k∈Z．由已知可得sin2x=．求出2x的值，则原方程的解可求．本题考查二阶矩阵的应用，考查了三角函数值的求法，是基础题．8.【答案】，x∈[1，3]【解析】解：由y=2sin x+1，得sin x=，∵，∴x=，把x与y互换，可得f-1（x）=，x∈[1，3]．故答案为：，x∈[1，3]．由已知利用反正弦求得x，把x与y互换得答案．本题考查三角函数的反函数的求法，注意原函数的定义域是关键，是基础题．9.【答案】【解析】解：=（sin x+cos x）cos x==，所以f（x）的周期T=，所以f（x）的图象相邻的两条对称轴之间的距离为，故答案为：．化简f（x），然后根据f（x）图象相邻的两条对称轴之间的距离为即可得到结果．本题考查了三角函数的图象与性质，属基础题．10.【答案】1024【解析】解：由，知a≠1，∴===，∴a=，∴（x-2a）10=（x+1）10，∴其展开式系数之和为C100+C101+C102+…+C1010=210=1024，故答案为：1024．根据数列的极限求出a的值，然后代入二项式（x-2a）10中求其展开式的系数和即可．本题考查了数列的极限和二项式展开式系数和的求法，属基础题．11.【答案】【解析】【分析】本题考查等可能事件的概率计算，在求选出的志愿者中，男、女生都有的情况数目时，可以先求出只有男生、女生的数目，进而由排除法求得．根据题意，首先计算从2名男生和4名女生中选出4人数目，再分析选出的4人中只有男生、女生的数目，由排除法可得男、女生都有的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，从2名男生和4名女生中选出4人，有C64=15种取法，其中全部为女生的有C44=1种情况，没有全部为男生的情况，则选出的4名志愿者中，男、女生都有的情况有15-1=14种，则其概率为.故答案为.12.【答案】【解析】解：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），其底面积：S=×2×1+=，高h=3，故棱锥的体积V==，故答案为：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），代入锥体体积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，难度中档．13.【答案】1【解析】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-x+，∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率-＜0，作出不等式对应的平面区域如图：平移直线得y=-x+，由图象可知当直线y=-x+经过点B时，直线y=-x+的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，6），此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，即4a+6b=2，即2a+3b=1，故答案为：1．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，即可得到结论．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．14.【答案】【解析】解：由得x2+=1，将代入到x2+=1并整理得：t2+4t=0，设A，B对应的参数为t1，t2，则t1=0，t2=-，∴|t1-t2|=故答案为：．联立直线的参数方程与曲线C的普通方程，利用参数的几何意义可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．15.【答案】【解析】【分析】由已知中f（x+1）=f（1-x），故可能函数是以2为周期的周期函数，又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，结合当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．我们易得函数f（x）的图象，最后利用图象研究零点问题即可．本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，函数的周期性，考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化与数形结合的数学思想，属于中档题．【解答】解：由函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=f（1-x）成立，可得f（x+2）=f（-x）=f（x），∴函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．函数y=f（x）-log a x在（0，+∞）上的零点个数等于函数y=f（x）和函数y=log a x的图象在（0，+∞）上的交点个数，如图所示：当y=log a x的图象过点A（4，-1）时，函数y=f（x）-log a x在（0，+∞）上有四个零点，∴-1=log a4，∴a=．故答案为：．16.【答案】【解析】解：向量、满足，，由题意可设，=（0，1）、=（x，y）；、满足，，且x2+y2=4；则：+=（x，1+y）；-=（-x，1-y）；则=+转换成所求为点（x．y）到（0，-1）与点（0，1）的距离之和大小，且（x，y）可看成在x2+y2=4表示的圆周上的点；由数形结合法知即：当（x，y）在（2，0）或（-2，0）时，则值最小为3+1=4；当（x，y）在（0，2）或（0，-2）时，则值最大为2=2；则的取值范围是故答案为：．利用设向量、的坐标表示法，利用向量模长转换成函数求最值，利用数形结合法求转换后的最值即可．本题考查了向量模长应用的问题，采用数形结合法，分类讨论解题时应根据平面向量的线性运算法则进行化简．．17.【答案】（1）证明：由余弦定理得，所以，∵A1A⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AA1∥BB1，AB⊥BB1，∵AA1=4，BB1=2，AB=2，∴A1B1==2，又AB1==2，∴，∴AB1⊥A1B1，,,即即AB1⊥B1C1，又A1B1∩B1C1=B1，A1B1，B1C1平面A1B1C1，∴AB1⊥平面A1B1C1．（2）解：取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交A1C1于D，∵AB=BC，∴OB⊥OC，以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则A（0，-，0），B（1，0，0），B1（1，0，2），C1（0，，1），∴=（1，，0），=（0，0，2），=（0，2，1），设平面ABB1的法向量为=（x，y，z），则，∴，令y=1可得=（-，1，0），∴cos===．设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ，则sinθ=|cos|=．∴直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为．【解析】本题主要考查了线面垂直的判定定理，线面角的计算与空间向量的应用，考查计算能力与空间想象能力，属于中档题．（1）利用勾股定理的逆定理证明AB1⊥A1B1，AB1⊥B1C1，从而可得AB1⊥平面A1B1C1；（2）以AC的中点为坐标原点建立空间坐标系，求出平面ABB1的法向量，计算与的夹角即可得出线面角的正弦值．18.【答案】解：（1）由题意可得=cos（A-B）cos B-sin（A-B）sin B=cos[（A-B）+B]=cos A=，∴sin A==；（2）由正弦定理可得，∴sin B===，∵a＞b，∴A＞B，∴B=，由余弦定理可得=，解得c=1，或c=-7（舍去），故向量在方向上的投影为cos B=c cos B=1×=．【解析】（1）由数量积的坐标表示和涉及函数的公式可得=cos A=，由同角三角函数的基本关系可得sin A；（2）由正弦定理可得sin B=，结合大边对大角可得B值，由余弦定理可得c值，由投影的定义可得．本题考查平面向量的数量积和两角和与差的三角函数公式，属中档题．19.【答案】解：（1）由题意得：10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，即x2-500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）由题意得：10x（a-）≤10（1000-x）（1+0.2x%），即ax≤+1000+x，因为x＞0，所以a≤在（0，400]恒成立，令f（x）=，则f（x）=≥2×2+1=5，当仅当时取等，此时x=500，但因为x≤400，且函数f（x）=在（0，500）上单调递减，所以x=400时，f（x）取最小值为f（400）=，所以a最大值为．【解析】本题考查函数的实际应用，涉及不等式、函数基本性质等知识点，属于中档题．（1）根据题意列出不等式10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，求出解集即可；（2）根据题意可列10x（a-）≤10（1000-x）（1+0.2x%），化成a≤在（0，400]恒成立，构造函数令f（x）=，利用对勾函数性质求出最值即可．20.【答案】解：（1）由a=，得c=，则当P为椭圆的右顶点时|PF2|=a-c=，故此时的切线长|PT|=；（2）①当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，而|PF2|min=a-c，由|PT|≥（a-c）恒成立，得≥（a-c），解得≤c＜1；②由题意Q点的坐标为（1，0），则直线l的方程为y=k（x-1），代入，得（a2k2+1）x2-2a2k2x+a2k2-a2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，，可得=，又OA⊥OB，则=0，得k=a．可得直线l的方程为ax-y-a=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离d=，半径r=1-c，则直线l被圆F2所截得弦长为L=2=，设1-c=t，则0＜t≤，又=，∴当t=时，的最小值为，即当c=时L的最大值为．【解析】（1）通过a=，求出c，得到椭圆的方程，P为椭圆的右顶点，利用勾股定理直接求切线长|PT|；（2）①当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，|PF2|min=a-c，通过|PT|≥（a-c）恒成立，求出c的取值范围；②联立直线方程与椭圆方程，得（a2k2+1）x2-2a2k2x+a2k2-a2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），通过韦达定理以及OA⊥OB，可得直线l的方程，通过圆心F2（c，0）到直线l的距离，半径，弦长满足勾股定理，然后求解直线l被圆F2所截得弦长的最大值．本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系的应用，切线方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．21.【答案】解：（1）∵给定数列{a n}，A i=max{a1，a2，…，a i}，B i=min{a i+1，a i+2，…，a n}，d i=A i-B i（i=1，2，3，…，n-1）对于数列：3，4，7，1，A1=3，B1=1，d1=3-1=2，A2=4，B2=1，d2=4-1=3，A3=7，B3=1，d3=7-1=6，∴d1=2，d2=3，d3=6．（3分）证明：（2）①当n=1时，（1-λ）a1=-λa1+1，∴a1=1，（4分）当n≥2时，，，两式相减得，∴=，又，∴数列{b n}是以为首项、λ为公比的等比数列．（9分）解：②由①知：；又d i=max{a1，a2，…，a i}-min{a i+1，a i+2，…，a n}，d i+1=max{a1，a2，…，a i+1}-min{a i+2，a i+3，…，a n}由于min{a i+1，a i+2，…，a n}≤min{a i+2，a i+3，…，a n}，∴由d i+1＞d i推得max{a1，a2，…，a i}＜max{a1，a2，…，a i+1}．∴max{a1，a2，…，a i+1}=a i+1对任意的正整数i=1，2，3，…，n-2恒成立．（13分）∵d i=a i-a i+1，d i+1=a i+1-a i+2，∴．（14分）由d i-d i+1＜0，得，但λ＞0且λ≠1，∴，解得，∴．（16分）【解析】（1）由A i=max{a1，a2，…，a i}，B i=min{a i+1，a i+2，…，a n}，d i=A i-B i，对于数列：3，4，7，1，能求出d1，d2，d3．（2）①推导出a1=1，，由此能证明数列{b n}是以为首项、λ为公比的等比数列．②由，得max{a1，a2，…，a i+1}=a i+1对任意的正整数i=1，2，3，…，n-2恒成立，由此能求出实数λ的取值范围．本题考查等比数列的证明，考查实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求较高，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．。
2020届上海市黄浦区大同中学高考数学三模试卷(含解析)
2020届上海市黄浦区大同中学高考数学三模试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1. 如果a 和b 是异面直线，直线a//c ，那么直线b 与c 的位置关系是( )A. 相交B. 异面C. 平行D. 相交或异面2. 某交警部门对城区上下班交通情况作抽样调查，上下班时间各抽取12辆机动车的行驶速度(单位：km/ℎ)作为样本进行研究，做出样本的茎叶图如图，则上班、下班时间行驶速度的中位数分别是( )A. 28、27.5B. 28、28.5C. 29、27.5D. 29、28.53. 若抛物线y 2=2px(p >0)的焦点与双曲线9x 2−16y 2=144的右焦点重合，则p 的值为( )A. 5B. 10C. 4√7D. 2√74. 高三某班课外演讲小组有四位男生三位女生，从中选出3位男生，2位女生，然后5人在班内逐个进行演讲，则2位女生不连续演讲的方式有( )A. 864种B. 432种C. 288种D. 144种二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 15.定义平面点集R 2={x,y)|x ∈R ，y ∈R 丨}，对于集合，若对，，则称集合从为“开集”.给出下列命题：①集合{| (x—1)2+ (y—3)2<1}是开集； ②集合{|x ≥0，y >0}是开集；③开集在全集R 2上的补集仍然是开集； ④两个开集的并集是开集．其中你认为正确的所有命题的序号是______．6. 设抛物线y 2=8x 的焦点为F ，M 是抛物线上一点，FM 的延长线与y 轴相交于点N ，若NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|FN|=______．7. 若cosx =12，x ∈(π,3π)，则x = ______ ． 8. 已知f (x )= A sin(ωx + φ)( A >0，ω>0，| φ|≤)是定义域为R 的奇函数，且当x =2时，f (x )取得最大值2，则f (1)+ f (2)+ f (3)+⋯+ f (100)=________．9. 函数y =sin(π6−2x)在[0,5π6]内的单调递减区间为______． 10. 在的展开式中，项的系数是 (用数字作答)．11. 若实数m 取值是区间[0,6]上的任意数，则关于x 的方程x 2−mx +4=0有实数根的概率为______．12. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．13. 已知实数x 、y 满足不等式组{x +y ≤52x +y ≤6x ≥0y ≥0，则z =3x +4y 的最大值是______． 14. (参数方程与极坐标)已知F 是曲线{x =2cosθy =1+cos2θ(θ∈R)的焦点，M(12,0)，则|MF|的值是______ ．15. 已知函数f(x)={log 2x(x >0)3x (x≤0)，且关于x 的方程f(x)+x −a =0有且仅有两个实根，则实数a的取值范围是 ．16. 已知向量满足|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=2，且a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影等于b ⃗ 在a ⃗ 方向上的投影，则|a ⃗ −b ⃗ |=______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 若一个三角形的三边是连续的三个自然数，且三角形最大内角是最小内角的2倍，求此三角形三边的长．18. 已知方向向量为V⃗⃗ =(1,√3)的直线l 过椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦点以及点(0,−2√3)，直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且A 、B 两点与另一焦点围成的三角形周长为4√6． (1)求椭圆C 的方程；(2)过左焦点F 1且不与x 轴垂直的直线m 交椭圆于M 、N 两点，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4√63tan∠MON≠0(O 坐标原点)，求直线m 的方程．19. 某市共有100万居民的月收入是通过“工资薪金所得”得到的，如图是抽样调查后得到的工资薪金所得X 的频率分布直方图．工资薪金个人所得税税率表如表所示．表中“全月应纳税所得额”是指“工资薪金所得”减去3500元所超出的部分(3500元为个税起征点，不到3500元不缴税).工资个税的计算公式为：“应纳税额”=“全月应纳税所得额”乘以“适用税率”减去“速算扣除数”．适用税率全月应纳税所得额速算扣除数(%)不超过1500元30超过1500元至4500元10105超过4500元至9000元20555………例如：某人某月“工资薪金所得”为5500元，则“全月应纳税所得额”为5500−3500=2000元，应纳税额为2000×10%−105=95(元)在直方图的工资薪金所得分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，工资薪金所得落入该区间的频率作为x取该区间中点值的概率．(Ⅰ)试估计该市居民每月在工资薪金个人所得税上缴纳的总税款；(Ⅱ)设该市居民每月从工资薪金所得交完税后，剩余的为其月可支配额y(元)，试求该市居民月可支配额y的数学期望．=λ(λ20.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且点A(−1,0)，B(1,0)，动点C满足a+bc 为常数且λ>1)，动点C的轨迹为曲线E．(Ⅰ)试求曲线E的方程；(Ⅱ)当λ=√3时，过定点B(1,0)的直线与曲线E交于P，Q两点，N是曲线E上不同于P，Q的动点，试求△NPQ面积的最大值．21.(本小题满分12分)若和分别表示数列和数列的前项和，对任意正整数，有【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵a，b是两条异面直线，直线c//a∴过b任一点可作与a平行的直线c，此时c与b相交．另外c与b不可能平行理由如下：若c//b则由c//a可得到a//b这与a，b是两条异面直线矛盾，故c与b异面．故选：D．两条直线的位置关系有三种：相交，平行，异面．由于a，b是两条异面直线，直线c//a则c有可能与b相交且与a平行，但是c不可能与b平行，要说明这一点采用反证比较简单．此题考查了空间中两直线的位置关系：相交，平行，异面．做题中我们可采用逐个验证再结合反证法的使用即可达到目的，这也不失为常用的解题方法！2.答案：C解析：解：上班时间12辆机动车的行驶速度按从小到大顺序排在第6位的是28，排在第7位的是30，∴上班时间行驶速度的中位数为：28+302=29，下班时间12辆机动车的行驶速度按从小到大顺序排在第6位的是27，排在第7位的是28，∴下班时间行驶速度的中位数为：27+282=27.5．故选：C．利用茎叶图和中位数计算公式求解．本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图的灵活运用．3.答案：B解析：解：双曲线x216−y29=1的a=4，b=3，∴c=√16+9=5，可得右焦点为(5,0)，抛物线y2=2px(p>0)的焦点为(p2,0)，则p2=5，解得p=10，故选：B ．求得双曲线的a ，b ，c ，可得右焦点，求出抛物线的焦点，解方程可得p ．本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，注意运用双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．4.答案：A解析：解：高三某班课外演讲小组有四位男生三位女生，从中选出3位男生，2位女生，有C 43C 32=12种方法，5人在班内逐个进行演讲，则2位女生不连续演讲的方式，有A 33A 42=72，∴共有12×72=864种， 故选：A ．高三某班课外演讲小组有四位男生三位女生，从中选出3位男生，2位女生，有C 43C 32=12种方法，5人在班内逐个进行演讲，则2位女生不连续演讲的方式，有A 33A 42=72，利用乘法原理，可得结论． 本题考查排列、组合知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．5.答案：①④解析：本题考查集合的概念及运算。
上海高三三模数学试题(解析版)
华师大一附中2023届高三年级三模考试数学试卷一､填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 已知集合，则_________．{}21,1,0,1,21x A x B x ⎧⎫=≥=-⎨⎬-⎩⎭A B = 【答案】 {1,2}-【解析】【分析】解分式不等式得到集合，求交集即可. {}11A x x x =≤->或【详解】对于集合，解不等式， 211x A xx ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭211xx ≥-所以，即，等价于， 2101x x -≥-101x x +≥-()()11010x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩解得或，所以，1x ≤-1x >{}11A x x x =≤->或，则.{}1,0,1,2B =-{}1,2A B =- 故答案为：.{}1,2-2. 若复数满足，则________． z 20z z+=z = 【解析】【分析】设，，依题意可得，根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的i z a b =+,R a b ∈220z +=充要条件得到方程，即可求出、的值，从而求出其模. a b 【详解】设，，由，所以， i z a b =+,R a b ∈20z z+=220z +=即，所以，()2i 20a b ++=222i 20a b ab -++=所以，所以，则.22220a b ab⎧-=-⎨=⎩0ab =⎧⎪⎨=⎪⎩==z3. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为x y +_______．【答案】13 【解析】 【分析】根据平均数的算法，可得，将乙班的学生成绩按从小到大的顺序排好序，以及中位数的概念，可得结x 果.【详解】观察茎叶图，甲班学生成绩的平均分是，故； 868x =乙班学生成绩的中位数是，故. 835y =∴． 13x y +=故答案为：13【点睛】本题主要根据茎叶图计算中位数与平均数，属基础题.4. 已知若向量在向量，则实数_______．(2,1),(4,),a b m =--=- b am=【答案】3 【解析】【分析】根据数量投影公式，代入求值.【详解】由条件可知，向量在向量方向上的数量投影为， b a a b b⋅==解得：. 3m =故答案为：35. 已知等比数列中，若成等差数列，则______． {}n a 0n a >13214,,32a a a 2021202320202022a a a a -=-【答案】4 【解析】【分析】由已知可得，观察所求分式即可得． 4q =【详解】设等比数列的公比为，因为， 成等差数列， {}n a q 1314,2a a 23a 所以，所以，且，12343a a a +=211143a a q a q +=10a ≠所以，解得或，2340q q --=4q =1q =-为保证有意义，则，所以，2021202320202022a a a a --21q ≠4q =所以． ()202020222021202320202022202020224q a a a a q a a a a --===--故答案为：4．6. （n 为正整数）的二项展开式中，若第三项与第五项的系数相等，则展开式中的常数项为1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭______． 【答案】20 【解析】【分析】根据第三项与第五项的系数相等，建立方程求出，然后进行计算即可． 6n =【详解】第三项与第五项的系数相等，，得，∴24C C n n =246n =+=则的展开式中的常数项为．61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭36C 20=故答案为：20． 7. 已知，则的最小值为___________. 11,0,4x y x y >>+=11y x +-【答案】 43【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为，所以， 11,0,4x y x y >>+=110,0,13x y x y->>-+=故()()11111112113131y x y x y x y x x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++=+-+⎢⎥ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎣⎦，14233⎡≥+=⎢⎢⎣当且仅当且，即时，等号成立， ()()111x y x y -=-14x y +=52,23x y ==所以，则的最小值为.1413y x +≥-11y x +-43故答案为：. 438. 已知是抛物线的焦点，P 是抛物线C 上一动点，Q 是曲线上F 2:4C y x =2282160x y x y +--+=一动点，则的最小值为_______． PF PQ +【答案】 4【解析】【分析】根据题意，过点作，垂足为，过点，垂足为，根据抛物线的定义，转化为P PA l ⊥A M 1A ，结合图象，得到，当且仅当在一条直线上时，的1PF PQ PA PM +=+-111,,,M P Q A PF PQ +最小值，即可求解.【详解】由抛物线，可得焦点坐标为，准线方程为，2:4C y x =(1,0)F :1l x =-又由曲线，可化为，2282160x y x y +--+=-+-=22(4)(1)1x y 可得圆心坐标为，半径，(4,1)M 1r =过点作，垂足为，过点作，垂足为，交抛物线于，如图所示， P PA l ⊥A M 1MA l ⊥1A 1P 根据抛物线的定义，可得，1PF PQ PA PM +=+-要使得取得最小值，只需使得点与重合，此时与重合，PA PM +P 1P A 1A 即，当且仅当在一条直线上时， 1115PA PM P A PM +≥+=111,,,M P Q A 所以的最小值为. PF PQ +514-=故答案为：.49. 若关于x 的不等式的解集，则实数的取值范围是__________． 24x a x x ++-≤-[]1,2A ⊇a 【答案】 [3,0]-【解析】【分析】不等式转换为对任意的，都有不等式恒成立，则按照绝对值不等[]1,2x ∈24x a x x ++-≤-式即可求得实数的取值范围.a 【详解】关于x 的不等式的解集，则对任意的，都有不等式24x a x x ++-≤-[]1,2A ⊇[]1,2x ∈恒成立24x a x x ++-≤-此时，故原不等式化为，故，20,40x x -≤-≤24x a x x ++-≤-2x a +≤则对任意的成立，故实数的取值范围是. 22x a -≤+≤[]1,2x ∈a [3,0]-故答案为：.[3,0]-10. 已知平面向量满足，则的取值范围是__________．,,a b e1,1,4a e b e a b ⋅=⋅=--= a b - 【答案】(-【解析】【分析】不妨设，则，得到，结合绝对值三角不等式，即()1,0e = ()()1,,1,a x b y ==-x y -=可求解.【详解】不妨设，则，()1,0e = ()()1,,1,a x b y ==-由，可得， 4a b -=x y -=则，|||a -|||yx y -≤-=所以的取值范围是.a b -(-故答案为：.(-11. 已知函数点M ､N 是函数图象上不同的两个点，则（为坐1e 1,0()0x x x f x x -⎧+≥⎪=<()f x tan MON ∠O 标原点）的取值范围是_________． 【答案】 (0,3)【解析】【分析】根据给定的条件，求出过原点与曲线相切的切线斜率，曲线的(),0y f x x =≥(),0y f x x =<渐近线，再确定的范围，进而求出的范围作答. MON ∠tan MON ∠【详解】当时，，求导得，即函数在上单调递0x ≥1()e 1x f x x -=+1()(1)e 0x f x x -'=+>()f x [0,)+∞增，当时，由，得，于是函数的图0x <y =221(0,1)y x x y -=<>(),0y f x x =<象是焦点在y 轴上的双曲线在第二象限的部分，是其渐近线，如图，y x =-令过原点的直线与曲线相切的切点为，则，(),0y f x x =≥0100(,e 1)x x x -+0011000e 1(1)ex x x x x --++=整理得，令，，函数在上单调递0120e 1x x -=21()e ,0x g x x x -=>21()(+2)e 0x g x x x -'=>()g x (0,)+∞增，而，因此当且仅当时，，则的解为，(1)1g =1x =()1g x =01200e1(0)x x x -=≥01x =即过原点的直线与曲线相切的切点为，切线方程为，设其倾斜角为，有(),0y f x x =≥(1,2)2y x =α，tan 2α=因为点M 、N 是函数图象上不同的两个点，则， ()f x 3ππ042MON α<∠<-<而正切函数在上单调递增，因此， tan y x =π(0,23π0tan tan()4MON α<∠<-又， 3πtantan 3π124tan()33π41(1)21tan tan 4ααα----===+-⨯+所以的取值范围是. tan MON ∠(0,3)故答案为：(0,3)12. 若存在实数及正整数，使得在区间内恰有个零点，则所有满a n ()cos 2sin f x x a x =-(0,π)n 2022足条件的正整数的值共有_________个． n 【答案】 5【解析】【分析】利用换元思想将问题转化为方程在实数范围内一定有两个异号的根，根据方程与2210t at +-=函数的应用进行讨论分析. 【详解】由题意知，，()2cos 2sin 2sin sin 1f x x a x x a x =-=--+令，，此时，()0f x =sin t x =2210t at +-=而，，， 280a ∆=+>1212t t =-122a t t +=-则上述方程在实数范围内一定有两个异号的根， 当时，，21t <-101t <<一个周期内有两个零点，则或； 2π2022n =2021n =当时，， 21t =-112t =一个周期内有三个零点，则需要个周期， 2π20226743=即；67421348n =⨯=当时，此时，解得， 210t -<<210a -->1a <若，此时， 11a -<<101t <<则一个周期内有四个零点， 2π则需要个周期， 2022150542=+即； 250511011n =⨯+=若，此时，， 1a =-212t =-11t =则一个周期内有三个零点， 2π则需要个周期， 20226743=即； 67421348n =⨯=若，此时， 1a <-11t >一个周期内有两个零点， 2π则或.2022n =2023n =综上所述，这样的正整数有个， n 5分别是. 1011,1348,2021,2022,2023故答案为：5【点睛】关键点睛：本题主要考查函数与方程的应用，利用分类讨论思想进行求解是解决本题的关键，属于中档题.二､选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13. “”是“直线与直线平行”的（ ） 1m =-20x my +-=0x y n -+=A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用两直线平行求出实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. m 【详解】若直线与直线平行，则且， 20x my +-=0x y n -+=1m =-2n ≠-因为“”“且”， 1m =-⇒1m =-2n ≠-但“”“且”，1m =-⇐1m =-2n ≠-因此，“”是“直线与直线平行”的必要不充分条件. 1m =-20x my +-=0x y n -+=故选：B.14. 从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取一个数，这个数比m 大的概率为，若m 为上述数据中的第x 14百分位数，则x 的取值可能为（ ） A. 50 B. 60C. 70D. 80【答案】C 【解析】【分析】先求出，再结合百分位数的定义，即可求解．m 【详解】从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取一个数，这个数比大的概率为，则， m 147m =为数据2，3，4，5，6，7，8，9的第6个数，m 为上述数据中的第百分位数，，则的取值可能为70．m x 70%8 5.6⨯=x 故选：C ．15. 已知圆锥SO （O 是底面圆的圆心，S ，高为1，P ､Q 为底面圆周上任意两点．有以下三个结论： ①三角形SPQ 面积的最大值为2； ②三棱锥体积的最大值为； O SPQ -23③四面体SOPQ 外接球表面积的最小值为． 9π以上所有正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】首先确定的最大值，再结合三角形面积公式，即可判断①； PSQ ∠利用三棱锥等体积转化，再集合三角形面积公式，即可判断②； 首先表示四面体SOPQ 外接球的半径，再判断有无最值.【详解】①如图，由条件可知，，点是直径的两个端点，4MN ==,M N，所以是钝角，3cos 05MSN ∠==-<MSN ∠，当时，的面积最大，最大值是15sin sin 22SPQ S SP SQ PSQ PSQ =⨯⨯⨯∠=∠ 90PSQ ∠= SPQ 52，故①错误； ②， 1133O SPQ S OPQ OPQ OPQ V V S SO S --==⨯⨯=⨯ ，当时，的最大值是，122sin 2OPQ S POQ =⨯⨯⨯∠ 90POQ ∠= POQ S △2所有三棱锥的最大值是，故②正确； O SPQ -23③设外接圆的半径为，四面体SOPQ 外接球的半径 OPQ △r R =中，根据正弦定理可得， ，得，OPQ △22sin r OPQ =∠1sin r OPQ=∠，所以，则外接球的半径也无最小值，所以四面体SOPQ 外接球表面积无最()0,90OPQ ∠∈ 1r >R 小值，故③错误.故选：B16. 设是两个非零向量的夹角，若对任意实数t ，的最小值为1．命题p ：若确定，则θ,a ba tb + a r θ唯一确定；命题q ：若确定，则唯一确定．下列说法正确的是（ ）θa rA. 命题p 是真命题，命题q 是假命题B. 命题p 是假命题，命题q 是真命题C. 命题p 和命题q 都是真命题D. 命题p 和命题q 都是假命题 【答案】B 【解析】【分析】由向量的最小值为1，分析可得，然后判断命题真假即可.a tb + ()221cos 1a θ-=【详解】因为a tb +=所以当时，取得最小值. 2a b t b ⋅=- a tb + 所以，()22224214a b a b b-⋅= 化简得()221cos 1aθ-= 所以若确定，则唯一确定，若确定，则不唯一.θa r a rθ所以命题p 为假命题，命题q 为真命题. 故选：B.三､解答题（本大题共5题，满分78分）17.已知圆锥的顶点为S ，底面圆心为O ，半径为2，母线SA ､SB 的长为，且M 为线90AOB ∠=︒段AB 的中点．（1）证明：平面SOM 平面SAB ； ⊥（2）求直线SM与平面SOA 所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析（2）arctan 【解析】【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明线面垂直再由面面垂直判定定理证明即可； （2）由线面角定义求线面角求正切再求角即可.【小问1详解】因为为中点，所以， ,AO BO M =AB OM AB ⊥因为平面，平面，SO ⊥AOB AB ⊂AOB 所以，且，平面，平面， SO AB ⊥OM SO O = OM ⊂SOM SO ⊂SOM 所以平面，AB ⊥SOM又因为平面，所以平面平面． AB ⊂SAB SAB ⊥SOM 【小问2详解】设的中点为，连接，则， AO N MN SN ､//MN OB 因为，所以，OA OB ⊥OA MN ⊥因为底面，所以,平面，平面，, SO ⊥AOB SO MN ⊥SO ⊂SOA OA ⊂SOA OA OS O = 所以平面，MN ⊥SOA 所以即是直线与平面所成角．MSN ∠SM SOA因为圆锥的底面半径为2，母线长为，所以高， 2SO =得．1SN MN ==因为， SN MN ⊥所以， tan MN MSN SN ∠==所以． arctanMSN ∠=18. 全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；m（2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望； ξξ【答案】（1），中位数；0.012m =68（2）分布列见解析，. 911【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积为1，结合中位数的定义进行求解即可； （2）根据分层抽样的性质，结合古典概型公式、数学期望公式进行求解即可. 【小问1详解】由频率分布直方图的性质可得，， (0.0040.0220.030.0280.004)101m +++++⨯=解得，0.012m =设中位数为， 解得； a ()0.004100.02210600.30.5a ∴⨯+⨯+-⨯=68a =【小问2详解】的三组频率之比为0.28：0.12：0.04=7：3：1[)[)[]70,80,80,90,90,100 从中分别抽取7人，3人，1人，∴[)[)[]70,80,80,90,90,100所有可能取值为0，1，2，3，ξ，，， 38311C 56(0)C 165P ξ===2183311C C 28(1)C 55P ξ===1283311C C 8(2)C 55P ξ===33311C 1(3)C 165P ξ===故的分布列为：ξξ0 1 2 3P 56165 2855 855 1165故 ()56288190123.165555516511E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=19. 若数列满足（n 为正整数，p 为常数），则称数列为等方差数列，p 为公方{}n a 221n n a a p +-={}n a 差．（1）已知数列的通项公式分别为判断上述两个数列是否为等方差数{}{},n n x y 13,n n n x y -==列，并说明理由；（2）若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，数列满足，且{}n a {}n b 2212,1log ,2n n n a n b a n +=⎧⎪=⎨≥⎪⎩，求正整数m 的值；1238m b b b b ⋅⋅⋅= （3）在（1）､（2）的条件下，若在与之间依次插入数列中的项构成新数列，k y 1k y +{}2n a k {}1:n c y，求数列中前50项的和．222222122334564,,,,,,,,,a y a a y a a a y ⋯⋯{}n c 50T 【答案】（1）数列为等方差数列，数列不是等方差数列，理由见解析；{}n x {}n y （2）40 （3）11522【解析】【分析】（1）根据等方差数列的定义，即可判断；（2）首先求得数列的通项公式，再根据数列的通项公式，结合对数换底公式，{}2n a {}n b 即可求解；（3）首先确定的取值，再根据等比数列和等差数列求和公式，即可求解. k 【小问1详解】因为（常数），2211n n x x +-=所以数列为等方差数列，1为公方差；{}n x 因为， 22222222222221322132318,9372,y y y y y y y y -=-=-=-=-≠-所以数列不是等方差数列． {}n y 【小问2详解】由题意得，，()2222112,1,11221n n n a a a a n n +-===+-⋅=-显然()()123357212,2log 5log 7log 9log 21m m m b b b b m -≥⋅⋅=⋅⋅⋅⋅+ ，解得． ()()()3lg 21lg5lg7lg922log 218lg3lg5lg7lg 21m m m +=⋅⋅⋅⋅=+=- 40m =【小问3详解】由题意得：新数列中，（含） {}n c 1k y +1k y +前共有：项，由，得，()()()()1212312k k k k ++++++++=()()12502k k ++≤8k ≤所以新数列中的前50项含有数列的前9项，含有数列的前41项，{}n c {}n y {}2n a 即()9501134140411211522.132T ⨯-⨯=+⨯+⨯=-20. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为，短轴长为12（1）求椭圆C 的标准方程（2）直线与椭圆C 交于P 、Q 两点，A ，B 是椭圆C 上位于直线PQ 两侧的动点，且直线AB 的斜2x =率为12①求四边形APBQ 的面积的最大值②设直线PA 的斜率为，直线PB 的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由.1k 2k 12k k +【答案】（1）；（2）①，②是常数，理由见解析．2211612x y +=【解析】 【分析】（1）设椭圆的方程为，由题可得，再结合，即C ()222210x y a b a b+=>>122c b a ==222a b c =+可求得,从而求得椭圆的标准方程；,a b C （2）①设点、，联立，整理得：，四边形()11,A x y ()22,B x y 221211612y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22120x tx t ++-=的面，而易求，代入韦达定理即可求得的表达式，从而求得的最APBQ 1212S PQ x x =⨯⨯-PQ S S 大值；②直线的斜率，直线的斜率，代入韦达定理化简整理可得的值为PA 11132y k x -=-PB 22232y k x -=-12k k +常数．0【详解】（1）设椭圆的方程为．C ()222210x y a b a b+=>>由题意可得，解得222212b c a a b c⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩42a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的标准方程为；C 2211612x y +=（2）①由（1）可求得点、的坐标为，，则， P Q ()2,3P ()2,3Q -6PQ =设直线的方程为，设点、， AB 12yx t =+()11,A x y ()22,B x y联立，整理得：， 221211612y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22120x tx t ++-=由，可得.()2224124830t t t ∆=--=->44t -<<由韦达定理知：，，12x x t +=-21212x x t =-四边形的面积，APBQ1212116322S PQ x x x x =⨯⨯-=⨯⨯-==故当时，0=t max S =②由题意知，直线的斜率，直线的斜率， PA 11132y k x -=-PB 22232y k x -=-则 1212121212113333222222x t x t y y k k x x x x +-+---+=+=+---- ()()()()()12121212121211222224222211222224x t x t t x x t t x x x x x x x x -+--+--+---=+=++=+-----++.()()222242811110122428t t t t t t t t -----+=+=+=-=-+++-所以的值为常数．12k k +0【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的标准方程，及椭圆中最值，定值问题,圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略：(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 21. 已知函数（､）． ()(1)x x f x ae be a x -=--+a R b ∈（1）当a =2，b =0时，求函数图象过点的切线方程；(0,(0))f （2）当b =1时，既存在极大值，又存在极小值，求实数a 的取值范围；()f x （3）当，b =1时，分别为的极大值点和极小值点，且，求实数k (0,1)a ∈12,x x ()f x ()()120f x kf x +>的取值范围．【答案】（1）20x y +-=（2）()()0,11,+∞ （3）(],1-∞-【解析】【分析】（1）利用导数求函数在某一点的切线方程即可； （2）利用导数分析函数的单调性，极值求参数的取值范围即可.（3）利用导数分析的极值，从而求得恒成立求参数k 的取值范围，然后构造()f x ()()120f x kf x +>函数利用导数分类讨论求解即可. 【小问1详解】当时，，2,0a b ==()()23,23xxf x e x f x e '=-=-()()01,02f f =-='所以切线方程为，即为．()20y x -=--20x y +-=【小问2详解】，()()()()()2x e 1e 1e 1e 1e e 1e e xx x x x xxa a a f x a a -'---++=+-+==一方面，因为函数既存在极大值，又存在极小值， ()f x 则必有两个不等的实根，则，()0f x '=0a >由可得，且，解得且； ()0f x '=120,ln x x a ==-ln 0a -≠0a >1a ≠另一方面，当且时，不妨考虑的情形，列表如下：0a >1a ≠12x x <x ()1,x -∞1x ()20,x2x ()2,x +∞ ()f x '+-+()f x极大值极小值可知分别在取得极大值和极小值，符合题意． ()f x 12x x x x ==､综上，实数的取值范围是． a ()()0,11,+∞ 【小问3详解】由，可得，列表如下：()0,1a ∈ln 0a ->x(),0∞-0()0,ln a -ln a -()ln ,-+∞a ()f x '+0 -+()f x极大值极小值所以在取得极大值；()f x 10x =()11f x a =-在取得极小值，()f x 2ln x a =-()()211ln f x a a a =-++由题意可得对任意的恒成立， ()111ln 0a k a a a -+-++>⎡⎤⎣⎦()0,1a ∈由于此时，则， ()()210f x f x <<0k <所以，则， ()()()1ln 11k a a k a +>--11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅⎪+⎝⎭构造函数，其中， ()11ln 11x g x x k x -⎛⎫=--⋅⎪+⎝⎭01x <<则， ()2222212(1)2111121(1)(1)(1)x x x x k k g x x k x x x x x ⎛⎫+'--++ ⎪⎛⎫⎝⎭=--⋅== ⎪+++⎝⎭令，则． 2210x x k ++=()222414Δ4k k k-=-=①当，即时，在上是严格增函数， Δ0≤1k ≤-()()0,g x g x '≥()0,1所以，即，符合题意； ()()10g x g <=11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅⎪+⎝⎭②当，即时，设方程的两根分别为， Δ0>10k -<<2210x x k++=34x x ､则，设， 343420,1x x x x k+=->=3401x x <<<则当时，，则在上是严格减，31x x <<()0g x '<()g x ()3,1x 所以当时，，即，不合题意． 31x x <<()()10g x g >=11ln 11a a k a -⎛⎫>-⋅⎪+⎝⎭综上所述，的取值范围是．k (],1-∞-【点睛】对于不等式恒成立求参数的取值范围问题，一般构造新函数利用导数分析函数的单调性最值，要注意分类讨论求解即可.。
上海市黄浦区2019-2020学年高考数学三月模拟试卷含解析
上海市黄浦区2019-2020学年高考数学三月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线C ：2222x y a b -=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为3y x =，则C 为（ ） A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．2211648x y -= D ．2214816x y -= 【答案】A【解析】【分析】由题意求得c 与b a 的值，结合隐含条件列式求得a 2，b 2，则答案可求. 【详解】由题意，2c ＝8，则c ＝4，又3b a=，且a 2+b 2＝c 2， 解得a 2＝4，b 2＝12.∴双曲线C 的方程为221412x y -=. 故选：A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.2．如图，矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，E 是AD 的中点，将ABE △沿BE 折起至A BE 'V ，记二面角A BE D '--的平面角为α，直线A E '与平面BCDE 所成的角为β，A E '与BC 所成的角为γ，有如下两个命题：①对满足题意的任意的A '的位置，αβπ+≤；②对满足题意的任意的A '的位置，αγπ+≤，则( )A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立C ．命题①成立，命题②不成立D ．命题①不成立，命题②成立【答案】A【分析】作出二面角α的补角、线面角β、线线角γ的补角，由此判断出两个命题的正确性.【详解】①如图所示，过'A 作'AO ⊥平面BCDE ，垂足为O ，连接OE ，作OM BE ⊥，连接'A M .由图可知'A MO πα∠=-，''A EO A MO βπα∠=≤∠=-，所以αβπ+≤，所以①正确.②由于//BC DE ，所以'A E 与BC 所成角''A ED A MO γππα=-∠≤∠=-，所以αγπ+≤，所以②正确.综上所述，①②都正确.故选：A【点睛】本题考查了折叠问题、空间角、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p ﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P ﹣1（其中p 是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】【分析】 模拟程序的运行即可求出答案．解：模拟程序的运行，可得：p ＝1，S ＝1，输出S 的值为1，满足条件p≤7，执行循环体，p ＝3，S ＝7，输出S 的值为7，满足条件p≤7，执行循环体，p ＝5，S ＝31，输出S 的值为31，满足条件p≤7，执行循环体，p ＝7，S ＝127，输出S 的值为127，满足条件p≤7，执行循环体，p ＝9，S ＝511，输出S 的值为511，此时，不满足条件p≤7，退出循环，结束，故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5，故选：C ．【点睛】本题主要考查程序框图，属于基础题．4．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ）A ．9πB ．29πC ．18πD ．24π【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的变换规则表示出()g x ，根据()g x 是奇函数，可得m 的取值，再求其最小值.【详解】 解：由题意知，将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，得()sin 36y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，再将sin 336y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，1()sin(3)26g x x m π∴=-+， 因为()g x 是奇函数， 所以3,6m k k Z ππ-+=∈，解得,183k m k Z ππ=-∈， 因为0m >，所以m 的最小值为18π. 故选：C【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.5．如图，ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，,//,,,DC BE DC BE DC CB DC CA =⊥⊥22AB EB ==，则三棱锥E ABC -体积的最大值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】B【解析】【分析】根据已知证明BE ⊥平面ABC ，只要设AC x =，则)2402BC x x =-<<，从而可得体积()222114466E ABC V x x x x -=-=- 【详解】 因为,//DC BE DC BE =，所以四边形DCBE 为平行四边形.又因为,,,DC CB DC CA CB CA C CB ⊥⊥⋂=⊂平面ABC ，CA ⊂平面ABC ，所以DC ⊥平面ABC ，所以BE ⊥平面ABC .在直角三角形ABE 中，22AB EB ==，设AC x =，则)2402BC x x =-<<， 所以211422ABC S AC BC x x ∆=⋅=- 以()222114466E ABC V x x x x -=-=-又因为()22222442x x x x ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭，当且仅当()22222442x x x x ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭，即2x 时等号成立， 所以()max 13E ABC V -=. 故选：B ．【点睛】本题考查求棱锥体积的最大值．解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后设出底面三角形一边长为x ，用建立体积V 与边长x 的函数关系，由基本不等式得最值，或由函数的性质得最值．6．已知函数()x e f x ax x=-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,]e -∞B ．(,)e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】D【解析】【分析】由()()1221f x f x x x <变形可得()()1122x f x x f x <,可知函数()()g x xf x =在(0,)x ∈+∞为增函数, 由()20x g x e ax '=-≥恒成立,求解参数即可求得取值范围.【详解】(0,),x ∈+∞Q()()1122x f x x f x ∴<,即函数2()()x g x xf x e ax ==-在(0,)x ∈+∞时是单调增函数.则()20xg x e ax '=-≥恒成立. 2xe a x∴≤. 令()x e m x x =,则2(1)()xx e m x x-'= (0,1)x ∈时,()0,()m x m x '<单调递减,(1,)x ∈+∞时()0,()m x m x '>单调递增.min 2()(1),2e a m x m e a ∴≤==∴≤故选:D.【点睛】 本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难.7．已知集合{}2{|23,},|1=-<<∈=>A x x x N B x x A ，则集合A B =I （ ）A ．{2}B ．{1,0,1}-C ．{2,2}-D ．{1,0,1,2}- 【答案】A【解析】【分析】化简集合A ,B ，按交集定义，即可求解.【详解】集合{|23,}{0,1,2}=-<<∈=A x x x N ，{|11}=><-或B x x x ，则{2}A B =I .故选:A.【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.8．已知数列{}n a 的通项公式是221sin 2n n a n π+⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．0B ．55C ．66D ．78 【答案】D【解析】【分析】 先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值，可进一步得到数列{}n a 的通项公式，然后代入12312a a a a +++⋅⋅⋅+转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.【详解】解：由题意得，当n 为奇数时，213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当n 为偶数时，21sin sin sin 1222n n ππππ+⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以当n 为奇数时，2n a n =-；当n 为偶数时，2n a n =，所以12312a a a a +++⋅⋅⋅+22222212341112=-+-+-⋅⋅⋅-+222222(21)(43)(1211)=-+-+⋅⋅⋅+-(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)=+-++-+⋅⋅⋅++-12341112=++++⋅⋅⋅++121+122⨯=（） 78=故选：D【点睛】此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.9．定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2019f =（） A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】推导出()()()()220194035441log 2f f f f =⨯+==-=，由此能求出()2019f 的值．【详解】 ∵定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩， ∴()()()()22019403544211log f f f f =⨯+=-===，故选C ．【点睛】本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题.10．二项式52x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为（ ） A ．80-B ．80C ．160-D ．160 【答案】A【解析】【分析】求出二项式52x ⎫-⎪⎭的展开式的通式，再令x 的次数为零，可得结果. 【详解】解：二项式52x ⎫-⎪⎭展开式的通式为()()55225215512r r r r r r r r r T C x C x ---+-+=-=-， 令5202r r --+=，解得1r =， 则常数项为()11451280C -=-.故选：A.【点睛】本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题.11．设复数z ＝213i i-+，则|z|＝（ ）A ．13B ．3C ．12D ．2【答案】D【解析】【分析】先用复数的除法运算将复数z 化简，然后用模长公式求z 模长.【详解】解：z ＝213i i -+＝(2)(13)(13)(13)i i i i --+-＝1710i --＝﹣110﹣710i ,则|z|2. 故选：D.【点睛】本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.12．下列选项中，说法正确的是（ ）A ．“20000x R x x ∃∈-≤，”的否定是“2000x R x x ∃∈->，”B ．若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r 的夹角为钝角C ．若22am bm ≤，则a b ≤D ．“()x A B ∈U ”是“()x A B ∈I ”的必要条件【答案】D【解析】【分析】对于A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，即可判断出；对于B 若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r 的夹角为钝角或平角；对于C 当m=0时，满足am 2≤bm 2，但是a≤b 不一定成立；对于D 根据元素与集合的关系即可做出判断．【详解】选项A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，因此A 不正确；选项B 若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r 的夹角为钝角或平角，因此不正确.选项C 当m=0时,满足am 2≤bm 2，但是a≤b 不一定成立，因此不正确；选项D 若“()x A B ∈I ”，则x A ∈且x B ∈，所以一定可以推出“()x A B ∈U ”，因此“()x A B ∈U ”是“()x A B ∈I ”的必要条件，故正确.故选：D.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等，属于简单题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。