二次移动平均法
一次移动平均法和一次指数平滑法线性二次移动平均法
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由一次指数平滑法的通式可见： 一次指数平滑法是一种加权预测，权数为
α。它既不需要存储全部历史数据，也不需要
存储一组数据，从而可以大大减少数据存储问 题，甚至有时只需一个最新观察值、最新预测
值和α值，就可以进行预测。它提供的预测值
是前一期预测值加上前期预测值中产生的误差 的修正值。
计算公式：
St xt 1 St1 St St 1 St1 St St 1 St1
at 3S 3St St
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bt
t
21
2
6
5 St 10
8
St 4
3
St
ct
t
1
2
St
2St
St
Ft m
at
bt m
1 2
ct m2
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5.5 温特线性和季节性指数平滑法
平滑法只利用三个数据和一个α值就可进
行计算；
• 在大多数情况下，一般更喜欢用线性二次 指数平滑法作为预测方法。
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一、布朗单一参数线性指数平滑法
• 其基本原理与线性二次移动平均法相 似 ，因为当趋势存在时，一次和二次 平滑值都滞后于实际值，将一次和二 次平滑值之差加在一次平滑值上，则 可对趋势进行修正。
权数等于0，而实际上往往是最新观察值 包含更多信息，应具有更大权重。
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例题分析
•例 1
分析预测我国平板玻璃月产量。
下表是我国1980-1981年平板玻璃月产量，试选用N=3 和N=5用一次移动平均法进行预测。计算结果列入表中。
时间 序号 实际观测值 三个月移动平均值 五个月移动平均值
二次移动平均法
二次移动平均 法
点击此处添加副标题
远方
一、一次移动平均法公式：
Xｔ+１＝Mｔ（1） ＝（X t +Xt-1+···Xt-n+1）/n
○ Xｔ+１ 为第t+1期预测值； Mｔ（1）为第t期一次移动平均值； X t为第t期的观 测值；n为数据的个数，也是移动的平均期数。
○ 各组数据的移动平均值 Mｔ（1）在数值上和下一期预测值的数值相等。
26.32 29.68 29.13 31.22 30.88 35.66 36.11
Ft+T= at + btT
四、总结
一次移动平均值和 二次平均值并不是 直接运用于预测， 只是用以求出线性 预测模型的平滑系 数。
在观察期内各期估 计值a、b值是变 化的，而在预测期 各预测值的a、b 值是一致的，即最 后一个观察期的a、 b值。
n
=
3
（1）
M
t
n=3
M
（2） t
Ft+1
13.00 16.33 19.66 23.00 24.67 27.00 28.00 31.00 32.33
13.00 16.33 19.66 23.00 24.67 27.00 28.00 31.00 32.33 34.67
16.33 19.66 22.44 24.89 26.56 28.67 30.44 32.67
Ft+T= at + btT
at bt
= =
22Mt n-1
（1） - Mt (Mt）)
某地区某种商品的销售量资料
期数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
销售量，Yt （吨）
二次移动平均法公式推导过程
二次移动平均法公式推导过程好啦，今天咱们就来聊一聊二次移动平均法。
这东西听起来可能有点高深，其实说白了，就是一种平滑数据的方法，让我们更容易看清楚趋势。
你想，咱们有时候做事情，眼前的局面会让人眼花缭乱，啥都看不清楚。
这个时候就得有个办法，帮我们把这些“杂乱无章”的数据处理得更清晰、简单，不至于在一堆数字中迷失方向。
咱们得搞清楚什么叫“移动平均”。
你别看这名字听起来有点拗口，实际上，它就是把一段时间内的数据加起来，然后除以那个时间段的数量，得出的结果就叫“平均值”。
好比你做个数学题，给你一堆数字，要求你算算平均成绩，结果就是“加加加，然后除除除”出来的那个数值。
这个方法有个好处，就是它能把那些特别高的、特别低的极端值给平滑掉，让我们对整体的走势有个大概的了解。
但单单这么一来，还是不够完美的。
你想啊，数据本身就是个“活物”，它们时而跳跃，时而平稳，时而突飞猛进，时而平淡无奇。
如果你光靠一层移动平均，虽然能减少波动，但总觉得缺了点什么，像是做饭少了点儿盐，吃着没滋味。
这时候，咱们就得派上“二次移动平均法”的大用场了。
那啥是“二次移动平均法”呢？简单说，它就是把第一次移动平均的结果，再进行一次平滑。
怎么理解呢？你可以把它想象成做菜时，先加一点调味料，觉得不够再加点儿，最后总算调成了你喜欢的味道。
就像这样，先对数据做一次平滑，再对平滑后的数据做一次再平滑，直到那些波动不再让我们抓狂。
这不就跟生活中的事情一样嘛，做得不顺的时候，重新调整下，慢慢就能找到合适的节奏。
具体怎么操作呢？别急，我们慢慢来。
第一步是先计算原始数据的移动平均。
就像咱们拿一堆考试成绩，想知道这段时间的平均水平。
比如说，今天、昨天和前天的成绩加起来，除以3，得出个平均值，这就算是一次“平滑”。
不过，咱们这时候是计算每个时间点的平滑值，数据会变得相对“稳”一些。
但这些平均值依然会有一些小的波动，这就像你在跑步的时候，脚步虽然变得轻快了，但总感觉不够顺畅。
二次移动平均法
二次移动平均法，是对 一次移动平均数再进行 第二次移动平均，再以 一次移动平均值和二次 移动平均值为基础建立 预测模型，计算预测值值， 存在滞后偏差。特别是在时间序列数据呈 现线性趋势时，移动平均值总是落后于观 察值数据的变化。二次移动平均法，正是 要纠正这一滞后偏差，建立预测目标的线 性时间关系数学模型，求得预测值。二次 移动平均预测法解决了预测值滞后于实际 观察值的矛盾，适用于有明显趋势变动的 市场现象时间序列的预测， 同时它还保留 了一次移动平均法的优点。二次移动平均 法适用于时间序列，呈现线性趋势变化的 预测。
二次移动平均法的优点
对于具有明显上升趋势的市场现 象，二次移动平均法同样是很适 用的，但它不是用一个固定的 at , bt 值，各期的at , bt 值是有所变 化的，这样就保留了市场现象客 观存在的波动。最后一个 at , bt值 是固定的，不但可以用于短期预 测，也可以用于近期预测。二次 移动平均法比一次移动平均法的 适用面更广，在实践中应用较多。
F+T = at +bT t t
a 式中，T为向未来预测的期数； t 为截距，即第t期 现象的基础水平；b 为斜率，即第t期现象的单位 t 时间变化量。
at = 2 M
(1) t
−M
( 2) t
2 (1) ( 2) bt = (M t − M t ) n −1
例题分析
见课本 P 131
【例4——4】
二次移动平均值的公式
M
M
(1) t
Yt + Yt −1 + L + Yt − n +1 = n
= M
(1) t
( 2) t
+M
二次移动平均法公式
二次移动平均法公式二次移动平均法公式，这可是个在数据分析中挺有用的家伙！咱们先来说说啥是二次移动平均法。
简单来讲，它就是通过对数据进行多次移动平均，来更好地预测未来趋势的一种方法。
就拿咱们平常生活中的事儿来说吧，比如说卖水果的王老板。
王老板卖苹果，他发现每个月苹果的销量不太稳定，一会儿高一会儿低的。
这时候他就想着能不能用个办法来预测一下下个月大概能卖多少，好提前准备，免得进货太多或者太少。
这二次移动平均法就派上用场啦！它的公式看起来可能有点复杂，但咱们慢慢拆解。
二次移动平均法的公式是：MAt(1) = (Xt + Xt - 1 + Xt - 2 +... + Xt - n + 1) / n （这是一次移动平均）MAt(2) = (MAt(1) + MAt(1) - 1 + MAt(1) - 2 +... + MAt(1) - n + 1) / n （这是二次移动平均）这里面的 Xt 就是第 t 期的实际数据，n 呢，就是移动平均的期数。
咱们还是回到王老板卖苹果这事儿。
假如王老板想以过去 3 个月的销量来做移动平均，那第一个月他卖了100 斤，第二个月卖了120 斤，第三个月卖了 150 斤。
一次移动平均就是：（100 + 120 + 150）÷ 3 = 123.33 斤。
然后再算二次移动平均，假设前三个月算出来的一次移动平均分别是 110 斤、120 斤、123.33 斤。
那二次移动平均就是：（110 + 120 + 123.33）÷ 3 ≈ 117.78 斤。
有了这二次移动平均的值，王老板就能根据一些其他的计算和判断，来大致预测下个月的销量啦。
不过呢，这二次移动平均法也不是万能的。
比如说，如果数据的波动特别大，或者有突然的异常值，那它的预测可能就不太准了。
就像王老板有一个月赶上附近开大会，好多人来买苹果，一下卖了300 斤。
这个异常值要是直接放进计算，可能就会让后面的预测都跑偏。
一次移动平均法和一次指数平滑法线性二次移动平均法
计算公式：
St xt 1 St1 bt1
（5.5）
bt St St1 1 bt1 （5.6）
Ftm St btm
（5.5）式是利用前一期的趋势值 bt1 直接修正 St （5.6）式用来修正趋势项 bt ，趋势值用相邻两次平
滑值之差来表示。
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215.9 222.6 224.8 214.6 209.0 211.6 214.3 220.6 227.0
218.4 217.4 216.1 215.8 212.4 213.6 223.5
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二、一次指数平滑法 一次指数平滑法是利用前一期的预测值 Ft
代替 xtn 得到预测的通式，即 ：
月我国平板玻璃月产量进行预测（取α=0.3，0.5 ， 0.7）。并计算均方误差选择使其最小的α进行预
测。
拟选用α=0.3，α=0.5，α=0.7试预测。
结果列入下表：
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时间
1980.01 1980.02 1980.03 1980.04 1980.05 1980.06 1980.07 1980.08 1980.09 1980.10 1980.11 1980.12 1981.01
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计算公式：
St axt 1 a St1
St aSt 1 a St1
St为一次指数平滑值；St 为二次指数平滑值；
at 2St St
bt
1
St
St
Ftm at btm m为预测超前期数
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二、霍尔特双参数线性指数平滑法 其基本原理与布朗线性指数平滑法相 似，只是它不用二次指数平滑，而是对趋 势直接进行平滑。
二次移动平均法
首先，取时间序列移动平均的项数N （即步长），设时间序列为018,,,,,t y y y y （其中时间t 表示2000t +年），简记为{}t y 。
一次移动平均计算公式为：11(1)()t t y N t y y y M t N N--++++=≥式中：(1)t M ——第t 期的一次移动平均值。
在一次移动平均序列的基础上在进行一次移动平均，即二次移动平均法。
其计算公式为：(1)(1)(1)(2)11t t t N tM M M MN--++++=式中：(2)t M ——第t 期的二次移动平均值。
其次，为了消除滞后偏差对预测的影响，我们在一次、二次移动平均值的基础上，利用滞后偏差的规律来建立线性趋势模型，利用线性趋势模型进行预测。
利用(1)tM 和(2)tM估计线性趋势模型的截距t a ∧和斜率t b ∧，计算公式如下：(1)(2)(1)(2)22()1t t t t t t a M M b M M N ∧∧⎧=-⎪⎨=-⎪-⎩建立线性趋势预测模型：t t t y a b ττ∧∧∧+=+式中：t ——当前期； τ——预测期；t y τ∧+——第t τ+期的预测值； t a ∧——截距的估计值； t b ∧——斜率的估计值。
综上所述，建立预测城乡居民各类型消费支出模型如下：(1)(2)(1)(2)22()1t t t t t tt t t y a b a M M b M M N ττ∧∧∧+∧∧⎧=+⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎩最后得到二次、三次指数平滑法优化模型如下：二次指数平滑：Min MAPE.. s t(1)(1)1(2)(1)(2)1(1)(2)(1)(2)1(1)(1)2()101t t tt t tt t tt t tt ttS y SS S Sa S Sb S Sy a bααααααα--∧∧∧∧∧+⎧=+-⎪=+-⎪⎪=-⎪⎪⎨=-⎪-⎪⎪=+⎪⎪<<⎩三次次指数平滑：Min MAPE.. s t(1)(1)1(2)(1)(2)1(3)(2)(3)1(1)(2)(3)(1)(2)(3)22(1)(2)(3)21(1)(1)(1)33[(65)2(54)(43)] 2(1)[2]2(1)01t t tt t tt t tt t t tt t t tt t t tt t ttS y SS S SS S Sa S S Sb S S Sc S S Sy a b cαααααααααααααα---∧∧∧∧∧∧∧+=+-=+-=+-=-+=---+--=-+-=++<<⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩。
二次移动平均法简单例题
二次移动平均法简单例题说白了，二次移动平均法就是把数据分成若干段，分别计算每段的平均值。
举个例子，假设你这周的气温变化是：周一27度，周二29度，周三33度，周四28度，周五25度。
先算出前两天的平均温度，哎呀，看看，这俩天的平均温度是28度。
接着再加上后面的一天，周三的33度，再计算一次，嘿，周一到周三的平均就变成了29.67度。
然后你再考虑周四和周五，把它们也纳入计算，这样就能得出一个更稳定的温度走势，没那么剧烈了。
这就像做面包一样，先把原料准备齐全，再慢慢揉合，才能发酵出松软的口感。
用这个方法，不仅能让你的数据变得平滑，也能帮助你捕捉到隐藏在数据背后的趋势。
有点像骑自行车，你得先掌握平衡，才能在各种路况下畅快骑行。
比如说，你在做股票分析，发现某只股票一会儿涨一会儿跌，真让人心里慌得像打鼓。
这时候，运用二次移动平均法，就能让你更清楚地看到这只股票的长期走势，不再被短期的波动搞得心烦意乱。
说实话，市场波动就像过山车，起起伏伏，让人觉得自己快被晃晕了。
二次移动平均法就是你的安全带，让你在这个疯狂的旅程中，稳稳当当地坐着。
当然了，二次移动平均法并不是完美无瑕，不能解决所有问题。
比如说，它在快速变化的市场里，反应有点慢。
就像你去餐馆点菜，服务员跑得飞快，你却等得心焦。
这时候你就会发现，虽然它帮你理顺了数据，但却不能及时捕捉到那突如其来的市场变化。
这就要求我们在使用它的时候，结合其他工具，才能做出更明智的决策。
再说了，咱们还得考虑数据本身的性质。
有些数据像小猫咪一样，特爱捣蛋，波动得厉害；而有些数据则像大狗狗，老实得很，稳稳当当。
因此，在应用这个方法之前，了解数据的特点就显得格外重要。
不然，你就像大海捞针，费劲巴拉却抓不着，心里可就别提多郁闷了。
掌握二次移动平均法的过程，既是对数据的深度挖掘，也是对自己分析能力的提升。
这不光是数学问题，还是个思维的挑战，逼着你得多动脑筋。
用得当了，数据就会像那满天繁星，闪闪发光；用得不好，数据就成了一锅杂烩，啥味儿都有，反而让人眼花缭乱。
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二次移动平均法的优点
对于具有明显上升趋势的市场现 象，二次移动平均法同样是很适 用的，但它不是用一个固定的 at , bt 值，各期的at , bt 值是有所变 化的，这样就保留了市场现象客 观存在的波动。最后一个 at , bt值 是固定的，不但可以用于短期预 测，也可以用于近期预测。二次 移动平均法比一次移动平均法的 适用面更广，在实践中应用较多。
F+T = at +bT t t
a 式中，T为向未来预测的期数； t 为截距，即第t期 现象的基础水平；b 为斜率，即第t期现象的单位 t 时间变化量。
at = 2 M
(1) t
−M
( 2) t
2 (1) ( 2) bt = (M t − M t ) n −1
例题分析
见课本 P 131
【例4——4】Leabharlann 二次移动平均值的公式M
M
(1) t
Yt + Yt −1 + L + Yt − n +1 = n
= M
(1) t
( 2) t
+M
(1) t −1
+L+ M n
(1) t − n +1
Mt(1)为第t期的一次移动平均值； t(2)为第t期的 M 式中，
二次移动平均值;n为计算移动平均值得跨越期。
二次移动平均预测法的预测模型
什么叫 二次移动平均法？
二次移动平均法，是对 一次移动平均数再进行 第二次移动平均，再以 一次移动平均值和二次 移动平均值为基础建立 预测模型，计算预测值 的方法。
运用一次移动平均法求得的移动平均值， 存在滞后偏差。特别是在时间序列数据呈 现线性趋势时，移动平均值总是落后于观 察值数据的变化。二次移动平均法，正是 要纠正这一滞后偏差，建立预测目标的线 性时间关系数学模型，求得预测值。二次 移动平均预测法解决了预测值滞后于实际 观察值的矛盾，适用于有明显趋势变动的 市场现象时间序列的预测， 同时它还保留 了一次移动平均法的优点。二次移动平均 法适用于时间序列，呈现线性趋势变化的 预测。