大学高等数学第一章课件

−1
( y ) 改写为 y = f
−1
( x ).
7
0.3.2 有界函数
设 f ( x ) 在 D上有定义 . 若 ∃M > 0, 使得 ∀x ∈ D ,
有 f ( x) ≤ M
则称 f ( x ) 在 D上有界 , 也称 f ( x ) 是 D上的有界函数 ;
否则, 称 f ( x ) 在 D上无界 .
e − x + y − 1 = 0.
xy
例如, 例如 表示单位圆的隐函数 x + y = 1,
例如： = u, 例如： y
形如 f ( x )
g( x )
x x 复合成 y = cot . u = cotv, v = , 2 2
的函数称为幂指函数 的函数称为幂指函数, 幂指函数 幂指函数 因 f ( x ) g ( x ) = e g ( x ) ln f ( x ) .
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也是复合函数, 也是复合函数
定义域为 ( −∞ , + ∞ ), 值域为 [−1, 1]. − 该函数是偶函数
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cos x sin x . . 余切函数 y = cot x = 正切函数 y = tan x = sin x cos x
y
y = tan x
y y = cot x
−
3π 2
−π −π 2
O
π
2
π
3π 2
x
−π
−
4
如果用集合的记号, 如果用集合的记号 则一元函数 y = f ( x ) 可表示为
f = {( x , y ) | x ∈ D f , y = f ( x )}
R 2 的子集 这个子集在平面上表示的就是 集合 f 是 的子集,
的图像. 函数 y = f ( x ) 的图像 集合论是现代数学的基础, 函数也可以从集合 集合论是现代数学的基础 角度进行定义. 角度进行定义 是两个非空集合, 设 A, B是两个非空集合 称 是两个非空集合
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需注意: 需注意 一个函数与其反函数的自变量与因 变量是互换的. 变量是互换的 为自变量, 函数 y = f ( x ) 以 x 为自变量 而其反函数
x = f −1 ( y ) 以 y 为自变量. 为自变量.
在初等数学中, 作自变量， 在初等数学中 约定总是以 x 作自变量， 所以才把 x = f
∀x ∈ R , 有
当x > 0 当x = 0 当x < 0
x = x x .
y 1 o -1 x
11
表示不超过x 的最大整数. 例 取整函数 y = [ x ]表示不超过 的最大整数
y = [x]= n, 当 n ≤ x < n + 1 , n∈ Z
如
[2.5] = 2
[5.2] = 5
y
M M
y
y = f ( x)
o
−M
x
x0
o
y = f ( x) −M
有界 D
8
D
x
无界
六个常见的有界函数: 六个常见的有界函数
| sin x |≤ 1,
| cos x |≤ 1,
x ∈ ( −∞ ,+∞ )
| arcsin x |≤
π
2
,
− | arccos x |≤ π , x ∈ [−1,1]
如果∀x ∈ I ( I为区间), 都存在唯一的 y, 满足方程
F ( x, y) = 0
则称 y是由方程 F ( x , y ) = 0 确定的 x的隐函数 是由方程 的隐函数.
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通常很难或无法写出隐函数的显式表达式. 通常很难或无法写出隐函数的显式表达式 例如, 例如 1. 参数方程
x = x(t ) 称为参数方程 其中t 称为参数. 参数方程, 称为参数方程 其中 称为参数 (t y = y(t )
0.3.1 一元函数与集合
为实数集R的非空子集 设D为实数集 的非空子集 如果对任意的 x ∈ D , 为实数集 的非空子集, 与之对应, 则称y是 的函数, 都存在唯一的 y ∈ R 与之对应 则称 是x的函数 表示, 可用 y = f ( x ) 表示 并称 x为自变量 称y为因变量 为自变量, 为因变量. 而定义域就是自变量的取值范围 值域就是 定义域就是自变量的取值范围, 值域就是 就是自变量的取值范围 因变量的取值范围, 因变量的取值范围 分别记为 dom( f ) 与ran( f ). 或者简记为 D f 和 R f .
常用三角函数公式： 常用三角函数公式：
(1) sin 2 x + cos 2 x = 1
( 2) tan x + 1 = sec x
2 2
( 3) cot 2 x + 1 = csc 2 x
19
(4) sin 2 x = 2 sin x cos x
(5) cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x
| arctan x |<
π
2
, | arc cot x |< π , x ∈ ( −∞ ,+∞ )
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0.3.3 分段函数与 分段函数与Dirichlet函数 函数
在自变量的不同变化范围中, 在自变量的不同变化范围中 对应法则用不 同的式子来表示的函数, 称为分段函数 分段函数. 同的式子来表示的函数 称为分段函数
1 问题 : y = = x −1 x
x>0
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x<0
是初等函数吗 ?
0.6 函数的表示
数学中表示函数的传统方式包括显函数(解析 数学中表示函数的传统方式包括显函数 解析 表达式)、由方程确定的隐函数、 表达式 、由方程确定的隐函数、参数方程和极坐 标方程. 标方程
y = f ( x ) 称为显函数 称为显函数 显函数.
2 x − 1, 例 f ( x) = 2 x − 1,
x>0 x≤0
y = x2 − 1
y = 2x − 1
1, 当x 是有理数时 , 例 狄里克莱函数 D( x ) = 0, 当x 是无理数时 .
10
例 符号函数
1, y = sgn x = 0, − 1,
定义 设函数 y = f (u) 的定义域为 dom( f ), 而函数
u = g ( x ) 的值域为 ran( g ), 若 dom( f ) I ran( g ) ≠ ∅ ,
复合函数. 则称函数 y = f [ g( x)] 为x 的复合函数 x 是自变量 u 称为中间变量 y 是因变量 是自变量, 称为中间变量, 是因变量.
y
3•
阶 梯 曲 线
•
•
•
2•
1•
[− 2.5] = −3
dom( f ) = R,
−2
•
−1 o 1 •−1
• −2
•
•
2
3 4
x
ran( f ) = Z .
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0.4 基本初等函数
基本初等函数可分为五大类 包括幂函数, 基本初等函数可分为五大类, 包括幂函数 可分为五大类 指数函数, 对数函数, 三角函数和反三角函数. 指数函数 对数函数 三角函数和反三角函数 1. 幂函数 y = x µ ( µ 是常数 , µ ≠ 0)
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注意: 不是任何两个函数都可以复合成一个复 注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的; 合函数的
例如 y = arcsin u, u = 2 + x ; y ≠ arcsin(2 + x )
2
2
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成. 合构成
π
2
O
π
2
π
3π 2
2π
x
定义域 x ≠ ( 2n + 1) , n ∈ Z 值域 ( −∞ ,+∞ ). 该函数是奇函数
2
π
定义域 x ≠ nπ , n ∈ Z 值域 ( −∞ ,+∞ ). 该函数是奇函数
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1 . 正割函数 y = sec x = cos x
余割函数
1 y = csc x = . sin x
A × B = {( x , y ) | x ∈ A, y ∈ B }
称为有序对. 为A与B的直积 或笛卡尔积 ( x , y ) 称为有序对 与 的直积, 笛卡尔积,
5
A× B 的任意子集都称为集合 到集合 的 × 的任意子集都称为集合A 到集合B的
一个二元关系 一个二元关系. 二元关系 是集合A 的一个二元关系, 如果 f 是集合 到B的一个二元关系 并且 ∀x ∈ A, 的一个二元关系 都存在唯一的 y ∈ B , 使得 ( x , y ) ∈ f , 则称 f 是A到B的 到 的 一个函数 一个函数. 函数 是一元函数, 设 y = f ( x ) 是一元函数 如果 ∀y ∈ R f , 都存在 唯一的 x ∈ D f ,使得 y = f ( x ), 记之为 x = f −1 ( y ), 反函数. 称为 y = f ( x ) 的反函数
y
1
y = sin x
− 2π
•
−
3π 2
•
−π
•
•
−
π
2
O
−1
π
2
•
π
•
3π 2
•
2π
•
x
定义域为 ( −∞ , + ∞ ), 值域为 [−1, 1]. − 该函数是奇函数
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余弦函数 y = cos x
y
1
y = cos x
π
2
•
−
3π 2