平衡中的临界极值问题
平衡中的临界极值问题
平衡中的临界和极值问题所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。
极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。
临界问题往往是和极值问题联系在一起的。
平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要被破坏但尚未被破坏的状态。
求解平衡的临界问题一般用极限法。
极限分析法是一种预测和处理临界问题的有效方法，它是指：通过恰当选择某个变化的物理量将其推向极端（“极大”、“极小”、“极右”或“极左”等）,从而把比较隐蔽的临界现象（或“各种可能性”）暴露出来，使问题明朗化，以便非常简捷地得出结论。
在平衡中最常见的临界问题有以下两类： 一、以弹力为情景1. 两接触物体脱离与不脱离的临界条件是：相互作用力为零。
2. 绳子断与持续的临界条件是：作用力达到最大值；绳子由弯到直（或由直变弯）的临界条件是：绳子的拉力等于零。
例1：如图所示，物体的质量为2kg ，两根轻绳AB 和AC 的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=60°的拉力F ，若要使两绳都能伸直，求拉力F 的大小范围。
解：作出A 受力图如图所示，由平衡条件有：F ．cos θ-F 2-F 1cos θ=0, F sin θ+F 1sin θ-mg =0要使两绳都能绷直，则有：F 10,02≥≥F 由以上各式可解得F 的取值范围为：N F N 33403320≤≤变式训练1：两根长度不一的细线a 和b ，一根连在天花板上，另一端打结连在一起，如图，已知a 、b 的抗断张力（拉断时最小拉力）分别为70N ，80N.它们与天花板的夹角分别为37°、53°， 现在结点O 处加一个竖直向下的拉力F ，(sin37°=cos53°=0.6, cos37°=sin53°=0.8) 求： (1)当增大拉力F 时，哪根细绳先断?(2)要使细线不被拉断，拉力F 不得超过多少？变式训练2两根长度相等的轻绳，下端悬挂一质量为m 的物体，上端分别固定在水平天花板上的M 、N 点，M 、N 两点间的距离为s ，如图所示，已知两绳所能承受的最大拉力均为T ，则每根绳的长度不得短于__ ____．例2：如图所示，半径为R ，重为G 的均匀球靠竖直墙放置，左下方有厚为h 的木块，若不计摩擦，用至少多大的水平推力F 推木块才能使球离开地面。
处于平衡状态中的极值问题和临界问题
处于平衡状态中的极值问题和临界问题预备知识：1、极值问题：平衡物体的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
解决临界问题的方法：是解析法，即根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据临界条件求极值。
另外图解法也是常用的一种方法，即根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平等四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
2、临界问题：由某种物理现象变化灰另一种物理现象或由某种物理状态变化为另一种物理状态时，发生转折的状态叫临界状态，往往利用“恰好出现”或“恰好不出现”的语句来表述。
解决这类问题的基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后再根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。
例1（两物体刚好发生相对滑动模型）（单选）如图所示，在水平板左端有一固定挡板，挡板上连接一轻质弹簧，紧贴弹簧放一质量为m 的滑块，此时弹簧处于自然长度。
已知滑块与板的动摩擦因数及最大静摩擦因数均为3，现将板的右端缓慢抬起使板与水平面间的夹角为θ，最后直到竖直，此过程中弹簧的弹力大小F 随夹角θ的变化关系可能是图中的哪一个？分析：这是临界问题—两物体刚好发生相对滑动的模型。
由关键词“缓慢”，可知滑块处于动态平衡。
在板的右端缓慢抬起的过程中，可知在夹角θ较小时，滑块与板相对静止；夹角θ较大时，滑块相对板滑动。
进而分析可知，板与水平面的夹角存在一临界值α，此时滑块所受的摩擦力恰为最大静摩擦力。
易知，板与水平面的夹角小于临界角时，滑块所受的摩擦力为静摩擦力；大于临界角时，摩擦力为滑动力，从而问题得解。
解析：设板与水平面的夹角为α时，滑块相对于板刚要滑动。
则由sin cos mg mg αμα=得：tan αμ==，030α= 则θ在0030 的范围内，弹簧处于原长，弹力F ＝0。
当板与水平面的夹角大于α时，滑块相对板缓慢滑动，由平衡条件得：()()()()()sin sin cos sin cos sin cos cos (sin cos sin cos )sin sec sin cos cos F mg mg mg mg mg mg mg βθμθθμθθθβθββθθββθβββθβθβ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭=-=-=-=-=- (注意：其中tan βμ=)小结：解决这类问题的关键是寻找临界条件。
动态平衡问题平衡中的临界、极值问题课件59
问题解决能力
02
学生能够独立分析和解决一些复杂的动态平衡问题，具备了一
定的问题解决能力。
创新思维Байду номын сангаас养
03
课程鼓励学生提出新的想法和解决方案，培养了学生的创新思
维和解决问题的能力。
未来研究方向展望
更复杂的动态平衡问题
研究更复杂的动态平衡问题，如非线性、时变等条件下的临界、 极值问题。
临界、极值问题的优化算法
不等式法
通过构建不等式并求解，找到物体 的极值状态。
数值模拟法
通过计算机模拟物体的运动过程， 找到极值状态和对应的物理量。
03
CATALOGUE
平衡中的极值问题
极值条件的确定
确定平衡状态
首先分析物理系统或数学 模型的平衡状态，明确平 衡条件。
寻找极值条件
在平衡状态下，寻找使某 一物理量达到极值的条件 ，如最小势能、最大承载 力等。
动态平衡
物体在受到外力作用下，通过内部调节保持平衡状态，如人 体在行走中的平衡。
临界条件的确定
临界状态
物体处于平衡与不平衡之间的临界状态，稍微偏离平衡就会导致失稳。
临界条件
使物体保持平衡的最小条件，如支撑面的大小、摩擦系数等。
临界问题的求解方法
01
02
03
解析法
通过建立数学模型和方程 ，求解临界条件下的物理 量。
结果讨论
结合已有知识和文献资料，对实验结果进行深入 分析和讨论，解释实验现象的原因和机制。
结果应用
将实验结果应用于实际问题中，提出针对性的建 议和措施。
06
CATALOGUE
课程总结与展望
课程重点回顾
1 2 3
高中物理-平衡中的临界极值问题-答案
微专题4平衡中的临界极值问题1．三力平衡下的极值问题，常用图解法，将力的问题转化为三角形问题求某一边的最小值.2.多力平衡时求极值一般用解析法，由三角函数、二次函数、不等式等求解.3.若物体受包括弹力、摩擦力在内的四个力平衡，可以把弹力、摩擦力两个力合成一个力，该力方向固定不变(与弹力夹角正切值为μ)，从而将四力平衡变成三力平衡，再用图解法求解．1．如图所示，两质量均为M＝10kg的物体甲、乙静置于水平地面上，两物体与地面间的动摩擦因数均为μ＝0.5，两物体通过一根不可伸长的细绳绕过光滑的动滑轮连接，滑轮质量m＝1kg，现用一竖直向上的力F拉滑轮，当滑轮拉起至细绳伸直，甲、乙两物体刚要开始滑动时，连接乙的细绳与水平方向的夹角为θ＝53°，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，下列说法正确的是()A．力F的大小为80NB．力F的大小为90NC．轻绳对甲物体的拉力大小为60ND．轻绳对甲物体的拉力大小为80N答案B解析对甲、乙两物体分别受力分析，由平衡可知μ(Mg－F T sin53°)＝F T cos53°，解得绳子的拉力F T＝50N，则对滑轮受力分析可知F＝2F T sin53°＋mg＝90N，故选B.2．如图两个体重相同的人静止坐在秋千上，两秋千绳子能承受的最大张力是一样的．往两人身上同时慢慢加相同重量的物体，直到绳子断开，则下面的叙述正确的是()A．甲中绳子先断B．甲、乙中绳子同时断C．乙中绳子先断D．不确定答案C解析人的重力和两根绳子拉力的合力等值反向，合力一定，两分力夹角越大，分力越大，所以夹角越大，绳子拉力越大．则乙中绳子容易断，A 、B 、D 错误，C 正确．3．(多选)如图所示，一个重为5N 的大砝码用细线悬挂在O 点，在力F 作用下处于静止状态，现不断调整力F 的方向，但砝码始终静止在如图所示的位置处，则下列说法正确的是()A ．调整力F 的方向的过程中，力F 最小值为2.5NB ．力F 在竖直方向时，力F 最小C ．力F 在竖直方向时，另一侧细线上的张力最小D ．当力F 处于水平方向和斜向右上与水平方向夹角60°时，力F 大小相等答案ACD 解析对砝码受力分析如图所示根据平行四边形定则，可知当F 的方向与另一侧细线垂直时，力F 最小，最小值为F min ＝G sin 30°＝2.5N ，故A 正确，B 错误；当力F 在竖直方向时，另一侧细线上的张力F T ＝0最小，故C 正确；当力F 处于水平方向时，力F 与细线拉力F T 的合力竖直向上，大小等于mg ，由几何关系得F ＝mg tan 30°＝33mg .当力F 处于斜向右上与水平方向夹角为60°时，此时F 、细线拉力F T 与竖直方向的夹角相等，则两力大小相等，合力竖直向上，大小等于mg ，由几何关系得F ＝mg 2cos 30°＝33mg ，故D 正确．4.如图所示，足够长的光滑平板AP 与BP 用铰链连接，平板AP 与水平面成53°角并固定不动，平板BP 可绕水平轴在竖直面内自由转动，质量为m 的均匀圆柱体O 放在两板间，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，重力加速度为g .在使BP 板由水平位置逆时针缓慢转动到竖直位置的过程中，下列说法正确的是()A ．平板BP 受到的最小压力为0.8mgB．平板BP受到的最小压力为0C．平板AP受到的最小压力为0.6mgD．平板AP受到的最大压力为1.25mg答案A解析圆柱体受重力，平板AP的弹力F1和平板BP的弹力F2，将F1与F2合成为F，如图：圆柱体一直处于平衡状态，三个力中任意两个力的合力与第三个力等值、反向、共线，故F1与F2的合力F与重力等值、反向、共线；从图中可以看出，BP板由水平位置逆时针缓慢转动过程中，F1越来越大，F2先减小后增大；由几何关系可知，当F2的方向与AP的方向平行(即与F1的方向垂直)时，F2有最小值F2min＝45mg，根据牛顿第三定律，平板BP受到的最小压力为45mg，故A正确，B错误；当平板BP沿水平方向时，平板AP对圆柱体的弹力F1＝0，即平板AP受到的最小压力为0，故C错误．由图可知，当BP转到竖直方向时，AP对圆柱体的弹力F1最大F1max＝mgcos53°＝53mg，根据牛顿第三定律知，平板AP受到的最大压力为53mg，故D错误．5．(2022·湖南长郡中学高三月考)固定斜面上的物体A用跨过滑轮的细线与小砂桶相连，连接A的细线与斜面平行，不计细线与滑轮间的摩擦力，若要使物体A在斜面上保持静止，砂桶中砂的质量有一定的范围，已知其最大值和最小值分别为m1和m2(m2＞0)，重力加速度为g，由此可求出()A．物体A的质量B．斜面的倾角C．物体A与斜面间的动摩擦因数D．物体A与斜面间的最大静摩擦力答案D解析设物体A的质量为M，砂桶的质量为m0，物体与斜面间的最大静摩擦力为F fm，斜面倾角为θ，由平衡条件可得物体A将要上滑时，有m0g＋m1g＝Mg sinθ＋F fm.物体A将要下滑时，有m 0g ＋m 2g ＝Mg sin θ－F fm ，可得F fm ＝m 1g －m 2g 2，即能求解物体A 与斜面间的最大静摩擦力，不能求出其他的物理量，则A 、B 、C 错误，D 正确．6．三角形具有稳定性，生活中随处可见利用三角形支架固定的物体．浴室里洗手盆下的支架、空调外挂机的支架、手机支架等如图甲所示．现有一个悬挂物体的支架，如图乙所示，倾斜支撑杆a 端用铰链固定在墙上，且Oa 杆不可伸长，拉杆bO 左端可上下移动和旋转并且可伸缩以便调节拉杆的长度，轻绳一端固定在O 点，另一端悬挂重物．已知初始时bO 杆水平，aO 杆与竖直方向成60°角，悬挂物质量为m ，重力加速度为g .(1)初始状态下，aO 、bO 杆的作用力大小分别为多少？(2)保持O 点不动，调节拉杆的长度同时左端向上移动到某点c 后固定，可使拉杆上的作用力最小，此时cO 与竖直墙面的夹角为多少？此时aO 、cO 的作用力大小分别为多少？答案(1)2mg 3mg (2)30°12mg 32mg 解析(1)对O 点受力分析如图a 所示，可得F a cos 60°＝mg ，F a sin 60°＝F b ，联立可得F a ＝2mg ，F b ＝3mg(2)重力大小方向不变，aO 方向不变，分析可知，当cO 与aO 垂直时，cO 上的拉力最小，如图b 所示，由几何关系可得此时cO 与竖直墙面的夹角为30°，受力分析如图所示，可得可得F a ′＝12mg ，F c ＝32mg .7．筷子是中国人常用的饮食工具，也是中华饮食文化的标志之一．筷子在先秦时称为“梜”，汉代时称“箸”，明代开始称“筷”．如图所示，用筷子夹质量为m 的小球，筷子均在竖直平面内，且筷子和竖直方向的夹角均为θ，已知小球与筷子之间的动摩擦因数为μ(μ＜tan θ)，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g .为使小球静止，求每根筷子对小球的压力F N 的取值范围．答案mg 2(sin θ＋μcos θ)≤F N ≤mg 2(sin θ－μcos θ)解析筷子对小球的压力最小时，小球恰好不下滑，小球所受最大静摩擦力沿筷子向上，如图甲所示．有2F N sin θ＋2F f cos θ＝mg ，F f ＝μF N ，联立解得F N ＝mg 2(sin θ＋μcos θ)，筷子对小球的压力最大时，小球恰好不上滑，小球所受最大静摩擦力沿筷子向下，如图乙所示．有2F N ′sin θ＝mg ＋2F f ′cos θ，F f ′＝μF N ′，联立解得F N ′＝mg 2(sin θ－μcos θ)，综上可得，筷子对小球的压力的取值范围为mg 2(sin θ＋μcos θ)≤F N ≤mg 2(sin θ－μcos θ).8.如图，倾角为α＝37°的粗糙斜劈固定在水平面上，质量为5kg 的物体a 放在斜面上且与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5.一根平行于斜面的不可伸长的轻质细线一端固定在物体a 上，另一端绕过两个光滑小滑轮固定在c 处，滑轮2下吊有一物体b 且β＝74°，物体a 受到斜劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g 取10m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：保证系统静止时，b 的质量范围．答案1.6kg ≤m b ≤8kg 解析a 刚要下滑时b 的质量最小，a 受到沿斜面向上的静摩擦力作用，m a g sin α＝μm a g cos α＋F T.研究b的受力情况2F T cos β2＝m b1g，联立解得m b1＝1.6kg，a刚好上滑时，a受到沿斜面向下的静摩擦力作用，m a g sinα＋μm a g cosα＝F T′，研究b的受力情况2F T′cos β2＝m b2g，联立解得m b2＝8kg.综上可知，保证系统静止时，b的质量范围为1.6kg≤m b≤8kg.。
平衡中的临界与极值问题
突破5平衡中的临界与极值问题1.临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述.常见的临界状态有：(1)两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0(主要体现为两物体间的弹力为0);(2)绳子断与不断的临界条件为绳中张力达到最大值；绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中张力为0；(3)存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。
突破临界问题的三种方法(1)【解析】法根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值。
通常用到的数学知识有二次函数求极值、讨论分式求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等。
(2)图解法根据平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。
(3)极限法极限法是一种处理临界问题的有效方法，它是指通过恰当选取某个变化的物理量将问题推向极端(“极大'、“极小”、“极右”、“极左”等)，从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来，使问题明朗化，便于分析求解。
2.极值问题平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题.一般用图解法或【解析】法进行分析.处理极值问题的两种基本方法(1)【解析】法：根据物体的平衡条件列方程，通过数学知识求极值的方法.此法思维严谨，但有时运算量比较大，相对来说较复杂，而且还要依据物理情境进行合理的分析讨论.学％科网(2)图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量三角形，然后由图进行动态分析，确定极值的方法.此法简便、直观.【典例1】倾角为0=37°的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G的物体A，物体A与斜面间的动摩擦因数《=0.5。
现给A施加一水平力F如图所示。
设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等(sin 37°= 0.6, cos 37°= 0.8)，如果物体A能在斜面上静止，水平推力F与G的比值不可能是()A.3B.2【答案】A【典例2】如图所示，一球A 夹在竖直墙与三角劈B 的斜面之间，三角形劈的重力为G ,劈的底部与 水平地面间的动摩擦因数为用劈的斜面与竖直墙面是光滑的，问欲使三角劈静止不动，球的重力不能超过 多大？（设劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力）【答案】：球的重力不得超过 1 兴G【跟踪短训】1.将两个质量均为m 的小球a 、b 用细线相连后，再用细线悬挂于O 点，如图所示。
【物理课件】平衡状态中的临界和极值问题 2023-2024学年高一物理人教版2019必修第一册
（1）AO的拉力；
（2）为保证绳子不断，所挂重物的最大质量是多少？
题型二：绳子承受最大拉力问题
【变式1】用一根长1m的轻质细绳将一幅质量为1kg的画框对称悬挂在墙壁上，
已知绳能承受的最大张力10N，为使绳不断裂，画框上两个钉的间距最大为（g
前推进。槽表面光滑，摩擦力可以不计；部件A与部件B界面具有摩擦系数μ，
且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，界面与水平面呈45°夹角。部件B质量为m，
重力加速度为g，为了使门闩启动，施加在部件A上的水平力F至少是（
）
【详解】设A、B刚好发生相对滑动，A、B的受力如图所示
题型三：物体间相对滑动问题
【变式2】扩张机的原理如图所示，A、B、C为活动铰链，在A处作用一水平力
1
为m2的钩码，平衡后绳的ac段正好水平，则重物和钩码的质量比 为（
2
）
考向2：限定条件下的平衡问题
【详解】对绳子上c点进行受力分析
THANKS
求：
（1）A、B接触面间的动摩擦因数μ2；
（2）若F=10N，地面对物体A的摩擦力大小？A对物体B的摩擦力大小？
（3）若F=20N，地面对物体A的摩擦力大小？物体B对物体A的摩擦力大小？
题型三：物体间相对滑动问题
题型三：物体间相对滑动问题
【变式1】竖直门闩简化结构的侧视图如图所示。下方部件A可以在水平槽内向
此过程中某段绳子被拉断，则（ B ）
A．绳AC段先断
B．绳OA段先断
C．绳AB段先断
D．OA与AB段可能同时拉断
题型三：物体间相对滑动问题
【典例3】如图所示，物体A重40N，物体B重20N，A与地面间的动摩擦因数
专题平衡状态中的临界极值问题
专题平衡状态中的临界极值问题一、相关基础知识：1、处于静止或匀速直线运动状态的物体所受合外力一定零。
反之，物体所受合外力为零，则一定处于静止或匀速直线运动状态，将这样的状态，称为平衡状态。
2、正确的对物体进行受力分析。
3、运用平行四边形定则或三角形定则按照解题的需要进行力的合成或分解；受多个力的情况下，正确运用正交分解。
4、临界状态是指物体从一种状态变为另一种状态的临界点。
二、典型习题1、质量为m的物体，物体与水平面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力为F m。
则至少用多大的水平力才能拉动物体？物体被拉动后，需多大的才能维持物体做匀速运动？2、悬挂物体的轻质线能承受最大拉力是物体重力的2倍，用一水平力F将物体拉离原来的位置，细线与竖直方向的夹角β的最大值为多少？3、如图所示，轻质细线下拴一质量为m的小球，在力F作用下，保持细线与竖直方向夹角β不变，当力F与水平方向的夹角为θ多大时，力F最小？最小力为多少？4、质量为m的小物块，与半圆弧面间的动摩擦因数为μ=34，小物块的边长远小于圆弧半径。
最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
要使小物块静止于圆弧面上，物块与圆心O 的连线与竖直方向的夹角θ最大为：5、（多选）如图所示，三根承受最大拉力相同的轻质细线OA、OB、OC系于同一点O，悬挂一质量为m的物体。
已知α<β<θ。
现逐渐增大物体的质量，则下列说法正确的是：A．可能OA先断B．可能OB先断C．可能OC先断D．可能OB、OC同时先断6、如图所示，一倾角为α粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有光滑定滑轮，一细绳跨过滑轮，其一端悬挂质量为m物块，另一端与斜面上的质量为M物体相连，已知M与斜面间的动摩擦因数为μ<tanα，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
要使系统于静止状态，求m的取值范围。
7、如图所示，物体的质量为2kg，两根轻绳AB、AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，两绳都拉直时，AB与水平方向成的角度θ=60O，AC与墙垂直。
动态平衡 平衡中的临界与极值问题-高考物理复习
目录
目录
CONTENTS
01 研透核心考点 02 提升素养能力
目录
1
研透核心考点
考点一 动态平衡问题
考点二 平衡中的临界与极值问题
目录
研透核心考点
考点一 动态平衡问题
目录
研透核心考点
方法总结
模型
情境
OA 绳方向不 一力恒
变，OB 绳缓慢 力，另一
向上转动至竖 力方向
直位置，结点 O 不变
的位置不动
受力图
方法 图解法：两个力的合力 和第三个力等大、反 向，即 FA 逐渐减小， FB 先变小后变大
目录
研透核心考点
一力恒 用手拉住绳的
定，另外 另一端 N，将
两力方 重物向右上方
相似三角形法：力三角 形和几何三角形相似， 即mlCOg＝FRN＝lFATC
目录
研透核心考点
考点二 平衡中的临界与极值问题
1.临界、极值问题特征 (1)临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物 体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用 “刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。 ①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 ②绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 ③刚好离开接触面，支持力FN＝0。 (2)极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值。
图2
目录
研透核心考点
解析 将A、B整体受力分析，如图甲所示，由平衡条件得FN＝(M＋m)g，可知 FN不变，f＝F；隔离B，受力分析如图乙所示，由平衡条件知F＝Mgtan θ，水 平力F缓慢地拉起B的过程中，θ增大，外力F逐渐增大，所以f增大，故C正确。
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平衡中的临界和极值问题
所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。
极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。
临界问题往往是和极值问题联系在一起的。
平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要被破坏但尚未被破坏的状态。
求解平衡的临界问题一般用极限法。
极限分析法是一种预测和处理临界问题的有效方法，它是指：通过恰当选取某个变化的物理量将其推向极端（“极大”、“极小”、“极右”或“极左”等）,从而把比较隐蔽的临界现象（或“各种可能性”）暴露出来，使问题明朗化，以便非常简捷地得出结论。
在平衡中最常见的临界问题有以下两类： 一、以弹力为情景
1. 两接触物体脱离与不脱离的临界条件是：相互作用力为零。
2. 绳子断与不断的临界条件是：作用力达到最大值；
绳子由弯到直（或由直变弯）的临界条件是：绳子的拉力等于零。
例1：如图所示，物体的质量为2kg ，两根轻绳AB 和AC 的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=60°的拉力F ，若要使两绳都能伸直，求拉力F 的大小范围。
解：作出A 受力图如图所示，由平衡条件有：
F ．cos θ-F 2-F 1cos θ=0, F sin θ+F 1sin θ-mg =0
要使两绳都能绷直，则有：F 10,02≥≥F 由以上各式可解得F 的取值范围为：
N F N 3
3
403320≤≤
变式训练1：两根长度不一的细线a 和b ，一根连在天花板上，另一端打结连在一起，如图，已知a 、b 的抗断张力（拉断时最小拉力）分别为70N ，80N.它们与天花板的夹角分别为37°、53°， 现在结点O 处加一个竖直向下的拉力F ，(sin37°=cos53°=0.6, cos37°=sin53°=0.8) 求： (1)当增大拉力F 时，哪根细绳先断?
(2)要使细线不被拉断，拉力F 不得超过多少？
变式训练2两根长度相等的轻绳，下端悬挂一质量为m 的物体，上端分别固定在水平天花板上的M 、N 点，M 、N 两点间的距离为s ，如图所示，已知两绳所能承
受的最大拉力均为T ，则每根绳的长度不得短于__ ____．
例2：如图所示，半径为R ，重为G 的均匀球靠竖直墙放置，左下方有厚为h 的木块，若不计摩擦，用至少多大的水平推力F 推木块才能使球离开地面。
解析 以球为研究对象，如图所示。
有
R h Rh 2cos R
h R sin F cos F G sin F 2
2N 1N 1N -=
θ-=
θ=θ=θ
再以整体为研究对象得F F 2N =
即
G
·h
R )h R 2(h F --=
变式训练3：如图所示，平台重600N ，滑轮重不计，要使系统保持静止，人重不能小于（ B ）
A ．150N
B ．200N
C ．300N
D ．600N
二、以最大静摩擦力为情景
靠摩擦力连接的物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。
例3：如图所示，跨过定滑轮的轻绳两端分别系着物体A 和B ，物体A 放在倾角为θ的斜面上。
已知物体A 的质量为m ，物体A 与斜面间的动摩擦因数为μ（μ<tan θ）,滑轮的摩擦不计，要使物体A 静止在斜面上，求物体B 的质量的取值范围。
（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力） 解析 以B 为研究对象，B 受重力g m B ，绳子的拉力T ，
由平衡条件得g m T B =
再以A 为研究对象，它受重力mg 、斜面对A 的支持力N F 、绳的拉力T 和斜面对A 的摩擦力f 。
假设A 处于临界状态，即A 受最大静摩擦作用，方向如图6甲、乙所示的两种情况，根据平衡条件有：
甲图：0sin mg f T m =θ-+
N m F f μ=
A
B
θ
F
a b 370530
O F
乙图：θ=cos mg F N
N
m m F f 0sin mg f T μ==θ--
综上所得，B 的质量取值范围是：
)cos (sin m m )cos (sin m B θμ+θ≤≤θμ-θ
变式训练4：物体A 重为100N ，B 重为20N ，A 与水平面最大静摩擦力为30N ，整个系统处于静止状态，如图所示，这时A 受摩擦力大小为 20 N 。
如果逐渐增大B 重量而保持系统静止，则B 的重力最大值为 30 N ．
变式训练5：如图所示，定滑轮光滑，货物质量为m ，滑轮离地面高度为4m ，人拉绳处距地面lm ，若人对地面最大静摩擦力为 mg/2，则要匀速提升货物，人离货物的水平距离应不大于 m ．
例4：一质量为m 的物体，置于水平长木板上，物体与木板间的动摩擦因数为μ。
现将长木板的一端缓慢抬起，要使物体始终保持静止，木板与水平地面间的夹角θ不能超过多少？设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
分析：
这是一个斜面问题。
当θ增大时，重力沿斜面的分力增大。
当此分力增大到等于最大静摩擦力时，物体处于动与不动的临界状态，此时是θ最大。
依题意，有：mgsinθ=μmgcosθ ∴μ=tanθ
∴θ≤arctan μ 说明：
tanθ=μ是一重要临界条件。
其意义是：tanθ<μ时，重力沿斜面向下的分力小于滑动摩擦力；tanθ=μ时，重力沿斜面向下的分力等于滑动摩擦力；tanθ>μ时，重力沿斜面向下的分力大于滑动摩擦力；
①将物体静止置于斜面上，如tanθ≤μ，则物体保持静止；如tanθ>μ，则物体不能保持静止，而加速下滑。
②将物体以一初速度置于斜面上，如tan<μ，则物体减速，最后静止；如tanθ=μ，则物体保持匀速运动；如tanθ>μ，则物体做加速运动。
因此，这一临界条件是判断物体在斜面上会如何运动的一个条件。
变式训练6：如图所示，在倾角为θ的粗糙斜面上，一个质量为m 的物体被水平力F 推着静止于斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，且μ＜tanθ，求力F 的取值范围(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力).
例5：如图所示，重20N 的物体静止在倾角为θ=30°的粗糙斜面上静止，物体与固定在斜面上的轻弹簧连接，设物体所受最大静摩擦力为12N ，则弹簧的弹力为（弹簧与外面平行）（ D ） ① 可能为零 ②可能为22N ，方向沿斜面向上 ③可能为2N ，方向沿斜面向上 ④可能为2N ，方向沿斜面向下 A ．①②③ B ．②③④ C ．①②④ D ．①②③④
F
ө。