概率论与数理统计复习(完整)
概率论与数理统计总复习
pi
1 1 1 5 5
5 1 5 1 5
1
1 65 EXY xi y j Pij COV ( X , Y ) EXY EX EY 8 8 i j
COV ( X , Y ) 3 20 320 DX DY
6. 设随机变量X ~N (1,3 ), Y ~ N (0, 4 ),已知
X z M z Y z
由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布 函数为: FM(z) =P(X≤z)P(Y≤z)
即有 FM(z)= FX(z)FY(z)
2. N = min(X,Y) 的分布函数 FN(z)=P(N≤z) =1-P(N>z)
=1-P(X>z,Y>z)
例1 设 X 具有概率密度f X ( x ), 求 Y=X2 的概率密度.
解 设Y 和 X 的分布函数分别为 FY ( y)和 FX ( x)，
2
注意到Y X 0, 故当y 0时有，FY ( y) P(Y y) 0
当 y>0 时,
2 P ( X y) FY ( y ) P(Y y )
P ( y X y ) FX ( y ) FX ( y )
FY y P Y y
求导可得
1 f X ( y ) f X ( y ) , dFY ( y ) fY ( y ) 2 y dy 0,
y0 y0
若
1 fX ( x) 2
2、解：设 X 表示电子管寿命，
Y 表示5个电子管使用1000小时后损坏的个数。则
Y ~ b(5, p),其中p P( X 1000 ) x 1 e 1000 , x 0 f ( x) 1000 0, 其他
(完整版)概率论与数理统计复习提纲
1.基本思想: 用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体矩.
2.求总体X的分布中包含的m个未知参数 的矩估计步骤：
① 求出总体矩,即 ；② 用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程：
③ 解上述方程（或方程组）得到 的矩估计量为：
④ 的矩估计值为：
3. 矩估计法的优缺点：
优点：直观、简单; 只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式.
（1） 分布的 分位点 （2） 分布的 分位点 其性质：
（3） 分布的 分位点 其性质
（4）N(0,1)分布的 分位点 有
第六章 参数估计
一、点估计:设 为来自总体X的样本， 为X中的未知参数， 为样本值，构造某个统计
量 作为参数 的估计，则称 为 的点估计量， 为 的估计值.
2.常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法.
合概率函数（或联合密度函数） （或
称为似然函数.
3. 求最大似然估计的步骤：
（1）求似然函数:X离散： X连续：
（2）求 和似然方程：
（3）解似然方程，得到最大似然估计值：
（4）最后得到最大似然估计量：
4. 最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法，但是它需要知道总体X的分布形式.
四、估计量的评价标准
4.伯努利概型：
1.事件的对立与互不相容是等价的。（X）
2.若 则 。（X）
3. 。(X)
4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为 。(∨)
5.n个事件若满足 ，则n个事件相互独立。(X)
6.当 时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（∨）
第二章 随机变量及其分布
一、随机变量的定义：设样本空间为 ，变量 为定义在 上的单值实值函数，则称 为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。
-频率和概率的关系，概率的基本性质。
-古典概型和几何概型的概念。
-条件概率和乘法定理。
-全概率公式和贝叶斯公式。
-随机变量和概率分布函数的概念。
-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。
2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。
-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。
-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。
3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。
-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。
4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。
-样本统计量和抽样分布的概念。
-点估计和区间估计的概念。
-假设检验的基本思想和步骤。
-正态总体的参数的假设检验和区间估计。
5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。
-矩估计的原理和方法。
-最小二乘估计的原理和方法。
-一般参数的假设检验和区间估计。
6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。
-回归分析的一般原理。
-简单线性回归的估计和检验。
7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。
-秩相关系数的计算和检验。
8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。
-正态总体参数的拟合优度检验。
-贝叶斯估计的基本思想和方法。
9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。
-时间序列预测的方法和模型。
-质量控制的基本概念和控制图的应用。
以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。
概率论与数理统计期末复习
概率统计期末知识点复习一、概率计算⒈事件的关系和运算⑴ 子事件(事件的包含)B A ⊂：若A 发生，则B 必然发生； ⑵ 相等事件A B =：B A ⊂且A B ⊃； ⑶ 并事件B A ：“,A B 中至少发生一个”； ⑷ 交（积）事件AB ：“,A B 都发生”； ⑸ 互不相容（互斥）事件:AB =∅； ⑹ 对立事件：若AB =Ω，且AB =∅，称B 为A 的对立事件，记为A B =．⑺ 差事件B A -：“A 发生，而B 不发生”． ⑻ 事件的运算律 ①交换律：A B B A =，AB BA =；②结合律：()()A B C A B C =，()()AB C A BC =； ③分配律：()A B C ACBC =，()()()AB C A C B C =；④摩根律：AB A B =，AB A B =．⒉概率计算的基本公式⑴非负性：设A 为任一随机事件，则0()1P A ≤≤． ⑵规范性：()1P Ω=，()0P ∅=． ⑶并事件概率计算公式：()()()()P AB P A P B P AB =+-；()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+．如果事件12,n A A A ,,两两互不相容，则1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++．⑷差事件概率计算公式：()()()()()P A B P AB P A AB P A P AB -==-=-； 若B A ⊂，则①()()()P A B P A P B -=-； ②()()P B P A ≤． ⑸对立事件概率计算公式：()1()P A P A =-．1A 2A 3A nA 21(|)P A A 1()P A 312(|)P A A A11(|)nnP A AA -B2A ∙1A nA 1()P A 2()P A ()n P A 1()P B A 2()P B A ()n P B A ⒊条件概率公式、乘法公式 ⑴条件概率：()P B A ．①公式法：()(),()0()P AB P B A P A P A =>；②代入法：改变样本空间直接计算．⑵乘法公式：()0P A >，有()()()P AB P A P B A =． 设12()0n P A A A >，2n ≥，则12()n P A A A 12131211()(|)(|)(|)-=n n P A P A A P A A A P A A A ．适用范围：链式结构⒋全概公式、逆概公式 ⑴全概率公式：1,,n A A 为一完备事件组，则1()()()ni i i P B P A P B A ==∑．适用范围：并列结构⑵贝叶斯公式(逆概公式):1()()()()()i i i nkkk P A P B A P A B P A P B A ==∑．⒌古典概型、几何概型、贝努里概型 ⑴古典概型：()A P A =事件所含样本点的个数所有样本点的个数．掌握简单的排列组合．⑵几何概型：()A P A =Ω的几何测度的几何测度，其中几何测度分别为长度或面积．对比均匀分布．⑶贝努里概型：在n 重贝努里试验中事件A 恰好发生k 次的概率为(1)kkn kn C p p --，其中0,1,2,,k n =，()p P A =，01p <<．对比二项分布．⒍事件的独立性⑴事件A 和B 相互独立的直观理解为事件A 和B 各自发生与否没有任何关系．并会根据实际问题判断事件A 和B 的独立性．⑵事件,A B 相互独立()()()P AB P A P B ⇔=(|)()(()0)P B A P B P A ⇔=>.⑶,,A B C 两两独立⇔()()(),()()(),()()().P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C =⎧⎪=⎨⎪=⎩⑷,,A B C 相互独立⇔,,()()()().A B C P ABC P A P B P C ⎧⎨=⎩两两独立,⑸独立性的有关结论：①设()0P B >，则事件A 和B 相互独立的充要条件为()()P A B P A =．②设,A B 为两个随机事件，如果A 和B 相互独立，则A 和B 相互独立；A 和B 相互独立； A 和B 也相互独立．③设,A B 为两个随机事件，且0()1P B <<，则A 和B 相互独立的充要条件为()()P A B P A B =．④如果随机事件12,,,n A A A 相互独立，则12,,,n A A A 的任一部分事件（至少两个事件）也相互独立．⑤如果随机事件12,,,n A A A 相互独立，则分别将i A 不变或换成i A 后所得事件仍相互独立．例如12,,,n A A A ，12,,,n A A A 等也分别相互独立．⑥如果随机事件1212,,,,,,,m n A A A B B B 相互独立，则由12,,,m A A A 组成的随机事件与由12,,,n B B B 组成的随机事件相互独立．⒎切比雪夫不等式（估计概率） 设μ=EX，2σ=DX ，则对任意的0ε>，有22{}1P X σμεε-<≥- 或22{}P X σμεε-≥≤．⒏利用分布计算概率⑴利用分布函数计算概率：①{}()()P a X b F b F a <≤=-，000{}()(0)P X x F x F x ==--等等． ②1212{,}<≤<≤P x X x y Y y 22211211(,)(,)(,)(,)F x y F x y F x y F x y =--+． ⑵利用分布律计算概率：①{}P X L ∈=i ix Lp ∈∑． ②(,){(,)}i j ij x y DP X Y D p ∈∈=∑．⑶利用密度函数计算概率：①{}{}P a X b P a X b <≤=≤≤{}P a X b =≤<{}P a X b =<<()b af x dx =⎰．②{(,)}(,)DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰．③00{}()X Y LP X L Y y f x y dx ∈==⎰；00{}()Y X LP Y L X x f y x dy ∈==⎰．二、随机变量的分布⒈分布函数及性质⑴一维随机变量的分布函数：(){},F x P X x x =≤-∞<<+∞． ⑵一维随机变量分布函数的性质：①0()1F x ≤≤； ②()0F -∞=，()1F +∞=； ③()F x 处处单调不减； ④()F x 处处右连续． ⑶二维随机变量的分布函数：(,){,}=≤≤F x y P X x Y y ，2(,)x y R ∈． ⑷二维随机变量分布函数的性质： ①0(,)1F x y ≤≤，其中2(,)x y R ∈；②(,)1,(,)(,)(,)0F F x F y F +∞+∞=-∞=-∞=-∞-∞=； ③(,)F x y 分别为关于变量x 和y 单调不减的函数； ④(,)F x y 分别关于变量x 和y 处处右连续． ⒉分布律及性质⑴一维离散型随机变量的分布律：{}i i P X x p ==，1,2,i =；或1212~i ix x x X p p p ⎛⎫⎪⎝⎭． ⑵一维离散型随机变量分布律的性质：①0i p ≥，1,2,i =； ②1iip=∑．⑶二维离散型随机变量的分布律：{,}i j ij P X x Y y p ===，1,2,,1,2,i j ==；或2j y121j p⑷二维离散型随机变量分布律的性质： ①0ij p ≥，1,2,,1,2,i j ==； ②1ijijp=∑∑．⒊密度函数及性质⑴一维连续型随机变量的密度()f x ：()f x 满足()()x F x f t dt -∞=⎰，x -∞<<+∞．⑵一维连续型随机变量密度函数的性质： ①()0,(,)f x x ≥∈-∞+∞； ②()1f x dx +∞-∞=⎰．⑶二维连续型随机变量的密度(,)f x y ：(,)f x y 满足(,)(,)x yF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰，2(,)x y R ∈．⑷二维连续型随机变量密度函数的性质： ①(,)0≥f x y ，2(,)x y R ∈； ②(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰．⒋常见分布及其数字特征⑴01-分布~(1,)X B p ：1{}(1)k k P X k p p -==-，0,1;,k EX p DX pq ===． ⑵二项分布(,)B n p ：{}(1),0,1,2,,,01kkn kn P X k C p p k n p -==-=<<；,EX np DX npq ==．应用背景．．：记X 为n 重贝努利试验中A 发生的次数．．,则(,)X B n p .⑶泊松分布()P λ：{},0,0,1,2,!kP X k e k k λλλ-==>=，EX DX λ==.⑷均匀分布~[,]X U a b ：1,,()0,a x b f x b a ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其它.()2,212b a a b EX DX -+==. ⑸指数分布()E λ：,0,()00,0.x e x f x x λλλ-⎧>=>⎨≤⎩,211,EX DX λλ==.⑹正态分布X ~),(2σμN：22()2()x f x μσ--=，x -∞<<+∞；2,EX DX μσ==.5．常见分布的性质⑴（了解）设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(,),1,2,,i i X B n p i n =，则11~(,)nnii i i XB n p ==∑∑．特别地，设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(1,),1,2,,i X B p i n =，则1~(,)nii XB n p =∑．反之，服从二项分布(,)B n p 的随机变量X 可以分解为n 个相互独立，且均服从(1,)B p 的随机变量12,,n X X X 之和．⑵（了解）设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(),1,2,,i i X P i n λ=，则11~()nnii i i XP λ==∑∑．⑶（了解）设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(),1,2,,i i X E i n λ=，则121min{,,,}~()nn i i X X X E λ=∑．⑷（了解）设随机变量12~[,]X U θθ，则12~[,](0)aX b U a b a b a θθ+++>；21~[,](0)aX b U a b a b a θθ+++<．⑸（了解）设二维随机变量(,)X Y 服从均匀分布，,,U aX bY V cX dY =+⎧⎨=+⎩且0ad bc -≠，则(,)U V 也服从均匀分布．⑹设随机变量2~(,)X N μσ，则22~(,)Y aX b N a b a μσ=++，其中0a ≠．特别地，~(0,1)X N μσ-．⑺设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且2~(,),1,2,,i i i X N i n μσ=，12,,,n a a a 是不全为零的常数，则22111~(,)n n ni i i i i i i i i a X N a a μσ===∑∑∑．特别地，设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且2~(,),1,2,,i X N i n μσ=，则211~(,)n i i X N n nσμ=∑． ⑻设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，,,U aX bY V cX dY =+⎧⎨=+⎩且0ad bc -≠，则(,)U V 也服从二维正态分布．⑼设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则X 和Y 相互独立⇔0ρ=．⒌边缘分布 ⑴离散型{}i ij jP X x p ==∑，1,2,i =；{}j ijiP Y y p==∑，1,2,j =．关于X 的边缘分布律可对表中的i j p 进行纵向求和即得；关于Y 的边缘分布律可对表中的i j p 进行横向求和即得．⑵连续型()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰,x -∞<<+∞；()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰,y -∞<<+∞．()X f x 可通过在给定点x 处，),(y x f 的纵向积分（对y 从-∞到+∞积分）求得，()Y f y 可通过在给定点y 处，),(y x f 的横向积分（对x 从-∞到+∞积分）求得．⒍条件分布 ⑴离散型1212()~i jj ij j jjjx x x p p p X Y y p pp⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；1212()~j ij i i i iiiy y y p Y X x p p p p p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． ⑵连续型(,)()()X Y Y f x y f x y f y =，x -∞<<+∞；(,)()()Y X X f x y f y x f x =，y -∞<<+∞．⒎随机变量的独立性⑴随机变量X 和Y 相互独立的直观意义是指X 和Y 的各自取值情况没有任何关系． ⑵利用分布函数：(,)()()X Y F x y F x F y =． ⑶利用分布律：ij i j p p p =，1,2,,1,2,i j ==．⑷利用密度函数：(,)()()X Y f x y f x f y =． ⑸随机变量独立性的有关结论①设随机变量X 与Y 相互独立，则对任意实数集合12,L L ，有1212{,}{}{}P X L Y L P X L P Y L ∈∈=∈∈．②如果随机变量12(,,,)m X X X 和12(,,,)n Y Y Y 相互独立，,g h 分别为m 元连续函数和n 元连续函数，则随机变量12(,,,)m g X X X 与12(,,,)n h Y Y Y 也相互独立．特别地，设随机变量X 与Y 相互独立，(),()g x h y 是连续函数，则随机变量()g X 与()h Y 也相互独立．⒏随机变量函数的分布⑴离散型随机变量函数的分布可直接列表求得． ⑵连续型随机变量函数分布采用分布函数法①()Y g X =：先求()(){}{()}()Y X g x yF y P Y y P g X y f x dx ≤=≤=≤=⎰,②(,)Z g X Y =：先求(,)(){}{(,)}(,)Z g x y zF z P Z z P g X Y z f x y dxdy ≤=≤=≤=⎰⎰，然后对y 或z 进行讨论然后求导数.⑶熟记1max i i nM X ≤≤=和1min i i nN X ≤≤=的分布函数和密度函数公式.①若随机变量12,,,n X X X 相互独立，i X 的密度函数为()i f x ，分布函数为()i F x ，1,2,,i n =，则M 和N 的分布函数(),()M N F x F x 和密度函数(),()M N f x f x 分别为12(){}()()()M n F x P M x F x F x F x =≤=，()()M Mf x F x '=； ()()()12(){}1[1][1][1]N n F x P N x F x F x F x =≤=----，()()N Nf x F x '=． ②当12,,,n X X X 独立同分布时，()()i f x f x =，()()i F x F x =，1,2,,i n =，则 ()[()]n M F x F x =，1()[()]()n M f x n F x f x -=；()1[1()]n N F x F x =--，1()[1()]()n N f x n F x f x -=-．⒐数字特征计算⑴数学期望(均值)：①一维随机变量函数的数学期望：1(),(())()().i i i g x p E g X g x f x dx ∞=+∞-∞⎧⎪=⎨⎪⎩∑⎰注: 2,()EX E X 为其特例．②二维随机变量函数的数学期望：11(,),((,))(,)(,).i j i j i j g x y p E g X Y g x y f x y dxdy ∞∞==+∞+∞-∞-∞⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩∑∑⎰⎰注: 22,(),,(),()EX E X EY E Y E XY 为其特例．⑵方差：222()()()DX E X EX E X EX =-=-．⑶协方差：ov(,)[()()]()C X Y E X EX Y EY E XY EXEY =--=-．⑷相关系数：XY ρ=．⑸数字特征的性质（见教材）． ⑹不相关：①若0XY ρ=，称X 与Y 不相关；X 与Y 不相关的直观意义指X 与Y 没有线性关系． ②X 与Y 不相关ov(,)0C X Y ⇔=()D X Y DX DY ⇔±=+()E XY EXEY ⇔=．③设221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则X 与Y 的相关系数XY ρρ=．④设221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则X 和Y 相互独立⇔0ρ=⇔X 与Y 不相关．⑤如果X 与Y 相互独立，且X 与Y 的相关系数XY ρ存在，则X 与Y 不相关．反之未必．⒑中心极限定理的应用 ⑴设12,,n X X X 独立同分布，且2,0i i EX DX μσ==≠(1,2,)i =，则当n 充分大（30n ≥）时，有21~(,)nii XN n n μσ=∑近似．⑵设~(,)X B n p ，则当n 充分大（30n ≥）时，~(,(1))X N np np p -近似．三、计算过程中需要分段讨论的几种类型与方法⒈已知X 的分布律，求X 的分布函数()F x ．三个特征： ⑴分1n +段；⑵每段上，将概率逐次累加（初始值为0，终值为1）； ⑶每个区间为左闭右开． ⒉已知X 的密度函数()f x （分段函数），求X 的分布函数()F x ． ⑴分1n +段；⑵每段上，将()f x 在(,]x -∞上积分；⑶由于()F x 为连续函数，故每个区间为开闭均可．⒊已知(,)X Y 的密度函数(,)f x y （分段函数），求X 的分布函数(,)F x y ． ⑴结合(,)F x y 的原理图和(,)f x y 特征图，将全平面分若干块； ⑵每块上，将(,)f x y 在区域(,](,]x y D -∞⨯-∞上积分．⒋连续型随机变量函数的分布⑴一维连续型随机变量函数()Y g X =的分布函数()Y F y ：①先确定()Y g X =取值范围；例如m Y M ≤≤，其中,m M 为实数，则采用三段式讨论．②当y m <时，()0Y F y =．③当m y M <≤时，利用定积分()()()Y X g x yF y f x dx ≤=⎰计算．④当y M ≥时，()1Y F y =．⑤当m =-∞或M =+∞或其它情况时，还可能采用两段式或四段式讨论等． ⑥若Y 为连续型随机变量，则Y 的密度函数()()Y Y f y F y '=． ⑵二维连续型随机变量函数(,)Z g X Y =的分布函数()Z F z ：①确定(,)Z g X Y =的取值范围；例如m Z M ≤≤，其中,m M 为实数，则采用三段式讨论．②当z m <时，()0Z F z =．③当m z M <≤时，利用二重积分(,)()(,)Z g x y zF z f x y dxdy ≤=⎰⎰计算．④当z M ≥时，()1Z F z =．⑤当m =-∞或M =+∞或其它情况时，还可能采用两段式或四段式讨论等． ⑥若Z 为连续型随机变量，则Z 的密度函数()()Z Z f z F z '=． ⒌二维连续型随机变量(,)X Y 的边缘密度 ⑴()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰，x -∞<<+∞．①作出),(y x f 的特征图．②用垂直直线x m =和x M =将D 夹住． ③当x m <或x M >时，()0X f x =． ④当m x M ≤≤时，()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰．⑤当m =-∞或M =+∞或其它情况时，也可能采用其它方式讨论． ⑵()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰,y -∞<<+∞．①作出),(y x f 的特征图．②用水平直线y m =和y M =将D 夹住． ③当y m <或y M >时，()0Y f y =． ④当m y M ≤≤时，()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰．⑤当m =-∞或M =+∞或其它情况时，也可能采用其它方式讨论．四、数理统计的基础知识⒈总体X ，样本12(,,,)n X X X 和观察值的概念．关注简单随机样本的独立性和代表性．⒉常用统计量：样本均值∑==n i i X n X 11，样本方差2211()1n i i S X X n ==--∑， 顺序统计量*11min i i nX X ≤≤=，*1max n i i nX X ≤≤=．⒊常见分布⑴正态分布：见概率论中的内容． ⑵2χ分布：设12(,,,)n X X X 为来自总体~(0,1)X N 的一个样本，就称统计量22222121ni ni X X X X ===+++∑χ服从自由度为n 的2χ分布，记作)(~22n χχ． ①设)(~22n χχ，则2()E n =χ，2()2D n =χ． ②设~(0,1)X N ，则22~(1)X χ．③设22~()i i n χχ，1,2i =，且2212,χχ相互独立，则2221212~()n n ++χχχ．⑶ t 分布：设随机变量~(0,1)X N ，2~()Y n χ，且X 与Y 相互独立，就称T =服从自由度为n 的t 分布，记作)(~n t T ．⑷F 分布：设随机变量)(~12n X χ，)(~22n Y χ，且X 与Y 相互独立，就称21n Y n X F =服从第一自由度为1n ，第二自由度为2n 的F 分布，记作),(~21n n F F ． ①如果~()T t n ，则2~(1,)T F n ． ②如果12~(,)F F n n ，则211~(,)F n n F． ⒋上侧分位点p x ：{},{}1p p P X x p P X x p ≥≥≤≥-． 如U α，2()t n α，21()n αχ-，2121(,)Fn n α-等等（下标为该点处右侧的面积）． 注意：1U U αα-=-，1()()t n t n αα-=-，112211(,)(,)F n n F n n αα-=．⒌单正态总体2~(,)X N μσ中X 和2S 的分布（其中12(,,,)n X X X 为样本）： ⑴2~(,)X N nσμ，或nX /σμ-~)1,0(N ；⑵nS X /μ-～)1(-n t ；⑶2212()()nii Xn μχσ=-∑；⑷222122()(1)(1)nii XX n Sn χσσ=--=-∑,且X 与2S 相互独立．五、参数估计⒈点估计 ⑴矩估计：①原理：用样本矩估计理论矩．②方法：建立方程（组）11()n rr i i X E X n ==∑，1,2,r =，解出θ，得θ的矩估计θ．⑵最大似然估计：①原理：概率最大的事件最有可能出现． ②方法：构造似然函数)(L θ=12)(,,,;n L x x x θ（似然函数体现了样本12(,,,)n X X X 出现的概率大小），求似然函数L 的最大值点，即为θ的极大使然估计θ． ③步骤：第一步：写出似然函数)(L θ．如果连续型总体X 的密度函数为(;)f x θ，则1()(;)n i i L f x θθ==∏．如果离散型总体X 的分布律为(;)p x θ，则1()(;)ni i L p x θθ==∏． 第二步：取对数ln )(L θ，并令ln 0)(d d L θθ=，或ln 0)(i L θθ∂=∂，1,2,,i k =，建立方程(组)．如果从中解得惟一驻点θˆ，则θˆ即为θ的最大似然估计； 第三步：如果上述方程无解，则通过单调性的讨论，在某边界点处，求出θ的最大似然估计量θˆ． ⒉估计量的评价标准⑴无偏性：如果E θθ=，就称θ为θ的无偏估计．主要结论有：①如果总体X 的数学期望EX 存在，则X 是μ的无偏估计，即E X μ=． ②如果总体X 的方差DX 存在，则2S 是2σ的无偏估计，即22()E S σ=．③设估计量12ˆˆˆ,,m θθθ均为θ的无偏估计，12,,,m c c c 为常数，且11mi i c ==∑，则1ˆmi i i c θ=∑仍为θ的无偏估计．注意：即使ˆθ为θ的无偏估计，而ˆ()g θ未必为．．．()g θ的无偏估计． ⑵（较）有效性：设21ˆ,ˆθθ均为θ的无偏估计，如果12ˆˆD D θθ<，就称1ˆθ比2ˆθ有效．⑶一致性（相合性）：设ˆθ为θ的估计量，如果对任意的0ε>，均有ˆl i m {}1n P θθε→∞-<=，就称θˆ为θ的一致估计量或相合估计量． ⒊单正态总体2(,)N μσ中2,σμ的区间估计⑴2σ已知，μ的置信度1α-的置信区间为22X u X u αα⎛⎫-+ ⎝． ⑵2σ未知，求μ的置信度为1α-的置信区间为2(X t n α⎛⎫±- ⎝． ⑶2σ的置信度为1α-的置信区间为2222122(1)(1),(1)(1)n Sn S n n ααχχ-⎛⎫-- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭． 六、假设检验⒈假设检验的有关概念了解假设检验的背景，假设的提法，假设检验中的反证法思想，假设检验的基本原理，显著性检验，双侧检验和单侧检验等相关内容．⒉假设检验的两类错误⒊假设检验的四个步骤⑴根据给定的问题，建立假设检验问题01(,)H H ． ⑵根据检验问题01(,)H H 及条件，选择检验统计量12(,,,)n g X X X ．当0H 为成立时，确定该统计量12(,,,)n g X X X 的分布．⑶根据显著性水平α，确定临界值和原假设0H 的拒绝域W ． ⑷通过样本值12(,,,)n x x x ，计算统计量12(,,,)n g X X X 的值12(,,,)n g x x x ．若12(,,,)n g x x x W ∈，则拒绝0H ，否则接受0H ．⒋单正态总体中均值和方差的假设检验。
概率论与数理统计总复习
概率论与数理统计总复习1、研究和揭示随机现象 统计规律性的科学。
随机现象：是在个别试验中结果呈现不确定性，但在大量重复试验中结果又具有统计规律性的现象。
2、互斥的或互不相容的事件：A B φ⋂=3、逆事件或对立事件：φ=⋂=⋃B A S B A 且4、德∙摩根律：B A B A ⋂=⋃，B A B A ⋃=⋂5、在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值/A n n 称为事件A 发生的频率，并记为()n f A 。
6、概率的性质（1）非负性：(A)0P ≥； （2）规范性：(S)1P =；（3）有限可加性：设A 1，A 2，…，A n ，是n 个两两互不相容的事件，即A i A j ＝φ，(i ≠j), i , j ＝1, 2, …, n , 则有∑==ni i n A P A A P 11)()...(（4）()0P φ=；（5）单调不减性：若事件A ⊂B ，则P(B)≥P(A) （6）对于任一事件A ，P(A)≤1 （7）差事件概率：对于任意两事件A 和B ，()()()P B A P B P AB -=-（8）互补性（逆事件的概率）：对于任一事件A ，有 P(A )=1-P(A) （9）加法公式：P(A ⋃B)＝P(A)＋P(B)－P(AB))()()()()()()()(321323121321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P +---++=⋃⋃7、古典概型中的概率: ()()()N A P A N S =①乘法原理：设完成一件事需分两步， 第一步有n 1种方法，第二步有n 2种方法， 则完成这件事共有n 1n 2种方法。
例：从甲、乙两班各选一个代表。
②加法原理：设完成一件事可有两类方法，第一类有n 1种方法，第二类有n 2种方法，则完成这件事共有n 1+n 2种方法。
概率论与数理统计复习汇总
第二章：随机变量及其相关内容
基本概念：随机变量、分布律、概率密度、分布函数 随机变量：设随机试验的样本空间为 S = {e}, X = X (e) 是定义在样本空间 S 上的
实值单值函数，称 X = X (e) 为随机变量. ( 样本点到数的对应法则) 随机变量的分类：离散型随机变量和连续型随机变量(基于 r.v. 的取值类型) 离散型随机变量 取值为有限个或者无限可列个的随机变量 分布律 若 r.v. X 的取值为 x1, x2 , , xn , 对应概率值为 p1, p2 , , pn , ，即
(1) 任取一件产品为次品的概率是多少？ (2) 已知取得的产品为次品，求此次品来自甲厂生产的概率是多少？ 2. 人们为了了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票 价格的基本因素，比如利率的变化. 现假设人们经分析评估知利率下降的概率为 60%，利率不变的概率为 40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该
一个划分.或者 B1, B2 , , Bn 为一个完备事件组.
全概率公式：设设 S 为随机试验 E 的样本空间， B1, B2, , Bn 为一个完备事件组，
则有 P( A) = P(B1)P( A B1) + P(B2 )P( A B2 ) + + P(Bn )P( A Bn )
Bi 称为原因， A 称为结果；全概率公式由原因找结果； 贝叶斯公式： 由结果找造成的原因
运算规律：德摩根律 AB = A ∪ B; A ∪ B = AB
加法原理： n1 + n2 + + nm (分类)，乘法原理： n1 ⋅ n2 ⋅ ⋅ nm (分步)
概率论与数理统计要点复习.docx
概率论与数理统计要点复习.docx概率论与数理统计复习资料第⼀章随机事件与概率1.事件的关系AuB AuB AB A-B A Q AB =(/>(1)包含：若事件A发⽣，⼀定导致事件B发⽣，那么，称事件B包含事件A ,记作AuB(或Bz)A)?(2)相等：若两事件A与〃相互包含，即AnB且Bn A,那么，称事件A与B相等，记作A = B .(3)和事件：“事件A与事件B中⾄少有⼀个发⽣”这⼀事件称为A与B的和事件，记作AuB；“n个事件观出?…，⼈中⾄少有⼀事件发⽜”这⼀事HI J A件称为鱼…，⼈的和，记作Au⼊5??uA”(简记为* ').(4)积事件：“事件A与事件B同时发⽣”这⼀事件称为A与B的积事件，记作AcB(简记为AB)；a n个事件观出，…，⼼同时发⽜”这⼀事件称为nA,⾎.…，⼈的积事件，记作(简记为A4??4或以').(5)互不相容：若事件A和B不能同时发⽣，即⼼?,那么称事件A与B互不相容(或互斥)，若n个事件观出?…，⼈中任意两个事件不能同时发⽣，即A"⼴0(iwi(6)对⽴事件:若事件A和B互不相容、且它们中必有⼀事件发⽣，即AB = Q 且AuB⼆Q,那么，称A与B是对⽴的.事件A的对⽴事件(或逆事件)记作⼊(7)差事件：若事件A发⽣且事件B不发⽣，那么，称这个事件为事件A 与B的差事件，记作A-B(或⼈⽤)?2?运算规则(1)交换律：AuB = BuA AB = BA(2)结合律：(AuB)uC = Au(BuC) (AB)C = A(BC)(3)分配律(A u B)C = (AC) u (BC) (AB) uC = (Au C)(B u C)(4)德［摩根(DeMorgan)法则：AuB = AB AB = AuB3.概率P( A)满⾜的三条公理及性质:(1)0 < P(A) < 1 (2) P(Q) = 1(3)对互不相容的事件￡,凡，…,有P(|J 4) = JP(A k) (n可以取co) k=[Bl(4)P(0) = O (5) P(A) = 1 - P(A)(6)P(A-B) = P(A)-P(AB),若AuB,则P(B-A) = P(B)-P(A), P(A)< P(B)(7)P(A u B) = P(A) + P(B) - P(AB)(8)P(AufiuC) = P(A) + P(B) + P(C) ⼀P( AB) - P(AC)⼀P(BC) + P(ABC)4.古典概型：基本事件有限且等可能5.⼏何概率：如果随机试验的样本空间是⼀个区域(可以是直线上的区间、平⾯或空间⼬的区域)，且样本空间⼬每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件A的概率为= A的长度(或⾯积、体积)(，⼀样本空间的的长度(或⾯积、体积)?6.条件概率(1)定义：若P(B)> 0,则P(A|B)⼆巴也P(B)(2)乘法公式：P(AB) = P(B)P(A | B)若⽿，场,3”为完备事件组，P(BJ>0,贝ij有(3)全概率公式：P(A) =》P(BJP(A | BJ/=!(4)Bayes 公式：P(B* | A) = ￡(拔)⼙(川伐)￡P(BJP(A\BJ/=!(5)贝努⾥概型与⼆项概率设在每次试验中，随机事件A发⽣的概率P(A) = p(0复独⽴试验中?，事件A恰发⽣￡次的概率为巳伙)⼆7 //(I —"1,20,1,…⼩k7.事件的独⽴性：A, 3独⽴o P(AB) = P(A)P(B)(注意独⽴性的应⽤)下列四个命题是等价的：(i)事件A与B相互独⽴；(ii)事件A与⽤相互独⽴;(iii)事件広与B相互独⽴;(iv)事件A与B相互独⽴.8、思考题1 . ⼀个⼈在⼝袋⾥放2盒⽕柴，每盒⽄⽀，每次抽烟时从⼝袋⼬随机拿出⼀盒(即每次每盒有同等机会被拿到)并⽤掉⼀⽀，到某次他迟早会发现：取出的那⼀盒已空了?问：“这时另⼀盒中恰好有加⽀⽕柴”的概率是多少？2?设⼀个居民区有〃个⼈，设有⼀个邮局，开c个窗⼝，设每个窗⼝都办理所有业务.c太⼩，经常排长队；c?太⼤⼜不经济.现设在每⼀指定时刻，这〃个⼈中每⼀个是否在邮局是独⽴的，每个⼈在邮局的概率是P?设计要求：“在每⼀时刻每窗⼝排队⼈数(包括正在被服务的那个⼈)不超过加”这个事件的概率要不⼩于Q (例如，Q = 0?&0?9或o.95),问⾄少须设多少窗⼝？3.设机器正常时，⽣产合格品的概率为9 5%,当机器有故障时，⽣产合格品的概率为5 0 %,⽽机器⽆故障的概率为9 5%.某天上班时，⼯⼈⽣产的第⼀件产品是合格品，问能以多⼤的把握判断该机器是正常的？第⼆章随机变量与概率分布1.离散随机变量：取有限或可列个值，P(X =xj = Pi满⾜(1) p,. > 0 , (2)⼯戸=1I(3)对任意DuR, P(X E D)= ^Pii: DJ+oof(x)dx = 1:-oo(2)P(aJu3.⼉个常⽤随机变量标准正态分布的分布函数记作①(X),即CX ] ----①⑴=I ——e 2 dt①(兀) '⼗问t ,当出“no时，①(%)可查表得到；当xvo时，①⑴可由下⾯性质得到①(I兀)=1 ⼀①(X)设X~N(“,k),则有F⑴=①(⼆)P(aer c ?4.分布函数F(x) = P(X(1)F(-oo) = 0, F(+oo) = l； (2)单调⾮降；(3)右连续；(4)P(a a) = l-F(a)；特别的P(X = a) = F(a) - F(a -0)(5)对离散随机变量，F(Q =⼯⼙汀/：Xf(6)对连续随机变量，F(x) = f 为连续函数，且在.f(x)连续点上，F (x) = f(x)J—85.正态分布的概率计算以①(x)记标准正态分布2(0,1)的分布函数，则有(1)①(0) = 0.5； (2)①(⼀兀)=1 ⼀①⑴；(3)若X ?N(“Q2)，则F(Q⼆①(^^)；(7(4)以％记标准正态分布2(0,1)的上侧a分位数，则P(X >%) = a = l—①(⾎) 6.随机变量的函数Y = g(X)(1)离散时，求Y的值，将相同的概率相加；(2)X连续，g(x)在X的取值范围内严格单调，且有⼀阶连续导数，则/y(y) = /x (gT (y ))l (gT ()‘))'l ，若不单调，先求分布函数，再求导。
《概率论与数理统计》综合复习资料全
《概率论与数理统计》综合复习资料一、填空题1、一个盒子中有10 个球，其中有 3 个红球， 2 个黑球， 5 个白球，从中取球两次，每次取一个（无放回），则：第二次取到黑球的概率为；取到的两只球至少有一个黑球的概率为。
2、 X 的概率密度为 f ( x)1 e x2 2 x 1(x) ，则DX。
3、已知随机变量X ~N(1，1)，Y~N(3，1) 且 X 与Y 相互独立，设随机变量Z 2X Y 5，则EX；DX。
4、已知随机变量X 的分布列为X-102P k0.40.2p则： EX=；DX =。
5、设X与Y独立同分布，且X~N(2,22) ，则D( 3X2Y) =。
6、设对于事件A、B、 C有 P(A)P(B)1，P(ABC)1P(C)，412P( AB) P( BC )P(AC)1。
，则 A 、 B、 C 都不发生的概率为87、批产品中一、二、三等品各占60% 、30%、 10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是二等品的概率为。
8、相互独立，且概率分布分别为1，1 y 3f (x)e ( x 1)x) ；( y)(，其它则：E(X Y)=；E(2X3 2 )=。
Y9 、已知工厂A、 B 生产产品的次品率分别为2%和1%，现从由A、 B 工厂分别占30%和70%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品是 B 工厂的概率为。
10、设X、Y的概率分布分别为， 1 x 54e4 y，y01/ 4( x)；( y)，，其它0y0则： E(X 2Y) =；(X 2 4 ) =。
E Y二、选择题1、设X 和 Y 相互独立，且分别服从N(1,22) 和N (1,1)，则。
A ．P{ X Y 1}1/ 2B．P{ X Y0}1/ 2C ．P{ X Y0}1/ 2D．P{ X Y 1}1/ 22、已知P( A)0.4，P(B)0.6，P(B | A)0.5 ，则P( A B)。
A ．1B．0.7C ．0.8D ．0.53、设某人进行射击，每次击中的概率为1/3，今独立重复射击10 次，则恰好击中 3 次的概率为。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
概率论与数理统计复习一、概率论的基本概念： 1、事件的运算律：交换律：A B B A =，BA AB =；结合律：()()C B A C B A =，()()C B A C B A =； 分配律：()()()BC AC C B A =，()()()C A B A BC A =； 德·摩根法则：B A B A =，B A B A =； 减法运算：AB A B A B A -==-。
2、概率的性质： 性质1 ()0=φP ；性质2 （有限可加性）当n 个事件n A A ,,1 两两互不相容时，()()()n n A P A P A A P ++= 11；性质3 对于任意一个事件A ，()()A P A P -=1； 性质4 当事件B A ,满足B A ⊂时，()()()A P B P A B P -=-，()()B P A P ≤；性质5 对于任意两个随机事件B A ,，()()()AB P B P A B P -=-； 性质6 对于任意一个事件()1≤A P ；性质7 （广义加法法则）对于任意两个事件B A ,，()()()()AB P B P A P B A P -+= 。
3、条件概率：在已知A 发生的条件下，B 事件的概率为：()()()A P AB P A B P =（()0>A P ）。
注意：所有概率的性质对条件概率依然适用，但使用公式必须在同一条件下进行。
4、全概率公式与贝叶斯公式：设n 个事件n A A ,,1 构成样本空间Ω的一个划分，B 是一个事件，当()0>i A P（n i ,,1 =）时， 全概率公式：()()()∑==ni iiA B P A P B P 1；贝叶斯公式：当()0>B P 时，()()()()()∑==nl lli i i A B P A P A B P A P B A P 1， n i ,,1 =。
应用全概率公式和贝叶斯公式计算事件A 的概率或其在已知条件下的条件概率时，关键的问题是找到一个完备事件组n B B B ,,,21 ，使得A 能且仅能与n B B B ,,,21 之一同时发生，然后运用古典概型、概率的加法和乘法法则计算出()i B P 和()i B A P ，n i ,,1 =，并套用全概率公式或贝叶斯公式即可。
若一个较复杂的事件是由多种“原因”产生的样本点构成时，多考虑用全概率公式，而这些样本点就构成一个完备事件组；若已知试验结果而要追查“原因”时，往往使用贝叶斯公式，这些“原因”的全体即是所求的完备事件组。
5、随机事件的独立性： 事件独立性的结论： （1）事件A 与B 独立⇔()()()B P A P AB P =；（2）若事件A 与B 独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 中的每一对事件都相互独立； （3）若事件A 与B 独立，且()0>A P ，()0>B P ，则()()A P B A P =，()()B P A B P =；（4）若事件n A A ,,1 相互独立，则()()∏==ni in A P A A P 11 ；（5）若事件n A A ,,1 相互独立，则()∏∑==-=⎪⎭⎫⎝⎛ni i n i i A P A P 111。
注意：（1）事件B A ,相互独立只要求满足()()()B P A P AB P =，而事件B A ,互斥（互不相容）只要求φ=AB ，这两个概念前一个与事件的概率有关，后一个与事件有关，两者之间没有必然的联系；（2）如果事件B A ,相互独立，则A 与B 不相关，反之一般不成立。
（3）对于任意n 个随机事件n A A ,,1 ，相互独立则两两独立，反之未必；（4）对于任意n 个相互独立的随机事件n A A ,,1 ，它们中任意一部分事件的运算结果（和、差、积、逆等）与其他一部分事件或它们的运算结果都相互独立，如：21A A +与3A ，21A A -与3A ，21A A 与3A 都相互独立；6、贝努利概型与二项概率公式：设一次试验中事件A 发生的概率为p ()10<<p ，则n 重贝努利试验中，事件A 恰好发生k 次的概率()k P n 为()()kn kk n n p p C k P --=1，n k ,,1 =。
贝努利试验每次试验相互独立，只关心某一次试验中事件A 或A 是否发生，且每次事件A 发生的概率都相同。
二、随机变量及其分布：（一）离散型随机变量及其分布： 1、分布律（概率函数）及其性质：离散型随机变量X 的分布律（概率函数）为：()i i p x X P ==， ,2,1=i 。
分布律也可以写成表格形式，列表法是求解离散型随机变量问题的常用方法。
离散型随机变量X 的分布律（概率函数）的性质： （1）()0≥==i i p x X P ， ,2,1=i ； （2）1=∑iip。
注意：确定分布律中的未知常数大多考虑随机变量分布律的性质。
2、离散型随机变量X 的分布律与分布函数和事件概率的关系：如果已知X 的分布律为()i i p x X P ==， ,2,1=i ，则X 的分布函数()()∑≤=≤=xa i i p x X P x F ；而事件{}b X a ≤<的概率为()∑≤<=≤<bx a ii pb X a P 。
3、离散型随机变量函数的分布：如果已知X 的分布律为()i i p x X P ==， ,2,1=i ，则当()X g Y =的所有取值为jy（ ,2,1=j ）时，随机变量Y 有分布律()()()∑====ji y x g ij x X P y Y P 。
注意：（1）若X 和()X g Y =均为无限可列的离散型随机变量，需要注意函数关系的转化求分布律，如：已知()4~P X ，要求23-=X Y 的分布律，则()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+===-==3223k X P k X P k Y P ；（2）求离散型随机变量函数()X g Y =分布时，要注意对应不同的i x 时，j y 的值有没有重复，若j y 的值有重复，则()()∑===ji y x g ij p y Y P 。
（二）连续型随机变量及其概率密度：1、连续型随机变量的概率密度函数()x f 的性质： （1）()0≥x f ； （2）()1=⎰+∞∞-dx x f ；（3）()0==a X P 。
2、连续性随机变量的概率密度与分布函数和事件概率之间的关系： （1）若X 的概率密度为()x f ，则X 的分布函数为()()⎰∞-=xdt t f x F ，当()x f 为分段函数时其分布函数()x F 要做分段讨论；（2）()b X a P <<=()b X a P <≤=()b X a P ≤<=()b X a P ≤≤ =()()()⎰=-badx x f a F b F ；（3）若X 的分布函数为()x F ，则在连续点处有()()x F x f '=。
3、连续性随机变量函数的分布：方法一：设随机变量X 的概率密度函数为()x f X ()+∞<<∞-x ，那么()X g Y =的分布函数为()()()()()()⎰≤=≤=≤=yx g XY dx x f y X g P y Y P y F ，其概率密度函数为()()y F y f Y Y '=。
方法二：设随机变量X 的概率密度函数为()x f X ()+∞<<∞-x ，那么()X g Y =的概率密度为()()[]()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其余,0,'βαy y h y h f y f X Y 其中()y h 是()x g 的反函数，()(){}∞+∞-=g g ,min α，()(){}∞+∞-=g g ,max β。
三、多维随机变量及其分布： （一）二维离散型随机变量： 1、联合分布律（概率函数）：二维离散型随机变量()Y X ,的联合分布律为：()ij i i p y Y x X P ===,， ,2,1,=j i ；联合概率函数可以计算概率：对于平面上任意一个集合D ，()()()()()()()∑∑∑∑∈∈====∈j i Db a ijj i Db a jij i ji pb Y a X P D Y X P ,,,,,,。
2、边缘分布律：二维离散型随机变量()Y X ,关于X 和Y 的边缘分布律分别为：()∑∞=⋅===1j i ij i x X P p p ， ,2,1=i ；()∑∞=⋅===1i j ij j y Y P p p ， ,2,1=j 。
注意：（1）求离散型随机变量的边缘分布函数，常先求出其边缘分布律，将其化为求一元离散型随机变量的分布函数；（2）列表法是解决联合分布和边缘分布问题常用的方法。
3、条件分布律：()Y X ,是二维离散型随机变量，在{}j y Y =条件下随机变量X 的条件分布律为：()jij j i p p y Y x X p ⋅===， 0>⋅j p ， ,2,1=i ；在{}i x X =条件下随机变量Y 的条件分布律为：()⋅===i ij i j p p x X y Y p ，0>⋅i p ， ,2,1=j 。
4、随机变量的独立性：离散型随机变量相互独立的条件是j i ij p p p ⋅⋅=， ,2,1,=j i 。
5、随机变量函数的分布律：已知离散型随机变量()Y X ,的分布律()ij j i p y Y x X P ===,，则()Y X g Z ,=的分布为：()()()()∑=====kj i z y x g ijk k p z Y X g P z Z P ,,。
（二）二维连续型随机变量： 1、联合概率密度：若()y x f ,为()Y X ,的联合概率密度，则分布函数为()()⎰⎰∞-∞-=x xdudv v u f y x F ,,；联合概率函数可以计算概率：对于xOy 平面上任意一个区域G ，()()()⎰⎰=∈Gdxdy y x f G Y X P ,,。
2、边缘概率密度：二维连续型随机变量()Y X ,关于X 和Y 的边缘概率密度分别为：()()⎰+∞∞-=dy y x f x f X , 和 ()()⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ,。
3、条件概率密度：()Y X ,是二维连续型随机变量，在{}y Y =条件下随机变量X 的条件概率密度为：()()()y f y x f y x f Y Y X ,=， ()0>y f Y ；在{}x X =条件下随机变量Y 的条件概率密度为：()()()x f y x f x y f X X Y ,=， ()0>x f X ； 4、随机变量的独立性：连续型随机变量相互独立的充要条件是()()()y f x f y x f Y X =,。