概率论及数理统计要点复习

概率论与数理统计 复习资料第一章随机事件与概率1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A(1) 包含：若事件A 发生，一定导致事件B 发生，那么，称事件B 包含事件A ，记作A B ⊂(或B A ⊃)． (2) 相等：若两事件A 与B 相互包含，即A B ⊃且B A ⊃，那么，称事件A 与B 相等，记作A B =． (3) 和事件：“事件A 与事件B 中至少有一个发生”这一事件称为A 与B 的和事件，记作A B ⋃；“n 个事件1,2,,nA A A 中至少有一事件发生”这一事件称为1,2,,nA A A 的和，记作12nA A A ⋃⋃⋃（简记为1nii A =）． (4) 积事件：“事件A 与事件B 同时发生”这一事件称为A 与B 的积事件，记作A B ⋂(简记为AB )；“n 个事件1,2,,nA A A 同时发生”这一事件称为1,2,,nA A A 的积事件，记作12n A A A ⋂⋂⋂（简记为12nA A A 或1nii A =)． (5) 互不相容：若事件A 和B 不能同时发生，即AB φ=，那么称事件A 与B互不相容(或互斥)，若n 个事件1,2,,nA A A 中任意两个事件不能同时发生，即i j A A φ=(1≤i<j ≤几)，那么，称事件 1,2,,n A A A 互不相容． (6) 对立事件：若事件A 和B 互不相容、且它们中必有一事件发生，即AB φ=且A B ⋃=Ω，那么，称A 与B 是对立的．事件A 的对立事件(或逆事件)记作A ． (7) 差事件：若事件A 发生且事件B 不发生，那么，称这个事件为事件A 与B 的差事件，记作A B -(或AB ) ．2．运算规则 （1）交换律：BA AB A B B A =⋃=⋃（2）结合律：)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃ （3）分配律))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）德摩根（De Morgan ）法则：B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率： 如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域)，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件Ａ的概率为()A P A =的长度（或面积、体积）样本空间的的长度（或面积、体积）·6．条件概率（1） 定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有 （3） 全概率公式： ∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(（4） Bayes 公式： ∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(（5）贝努里概型与二项概率设在每次试验中，随机事件Ａ发生的概率()(01)P A p p =<<，则在n 次重复独立试验中．，事件Ａ恰发生k 次的概率为()(1),0,1,,k n k n n P k p p k n k -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用）下列四个命题是等价的：(i) 事件A 与B 相互独立；(ii) 事件A 与B 相互独立；(iii) 事件A 与B 相互独立；(iv) 事件A 与B 相互独立．8、思考题１．一个人在口袋里放2盒火柴，每盒n 支，每次抽烟时从口袋中随机拿出一盒（即每次每盒有同等机会被拿到）并用掉一支，到某次他迟早会发现：取出的那一盒已空了．问：“这时另一盒中恰好有m 支火柴”的概率是多少？２．设一个居民区有n 个人，设有一个邮局，开c 个窗口，设每个窗口都办理所有业务．c 太小，经常排长队；c 太大又不经济．现设在每一指定时刻，这n 个人中每一个是否在邮局是独立的，每个人在邮局的概率是p ．设计要求：“在每一时刻每窗口排队人数（包括正在被服务的那个人）不超过m ”这个事件的概率要不小于a （例如，0.8,0.9.95a o =或），问至少须设多少窗口？ ３．设机器正常时，生产合格品的概率为９５％，当机器有故障时，生产合格品的概率为５０％，而机器无故障的概率为９５％．某天上班时，工人生产的第一件产品是合格品，问能以多大的把握判断该机器是正常的？第二章 随机变量与概率分布1． 离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑iip=1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2． 连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P3． 几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望 方差0—1分布 两点分布 ),1(p B p X P ==)1(，p q X P -===1)0(p pq二项式分布),(p n Bn k q p C k X P k n k kn ,2,1,0,)(===-，np npq泊松分布)(λP,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλλλ几何分布)(p G,2,1 ,)(1===-k p qk X P kp1 2p q 均匀分布),(b a Ub x a a b x f ≤≤-= ,1)(，2ba + 12)(2a b - 指数分布)(λE 0 ,)(≥=-x e x f x λλλ1 21λ正态分布),(2σμN222)(21)(σμσπ--=x ex fμ2σ标准正态分布的分布函数记作()x Φ，即()x Φ221()2t xx e dtπ--∞Φ=⎰，当出0x ≥时，()x Φ可查表得到；当0x <时，()x Φ可由下面性质得到()1()x x Φ-=-Φ．设2~(,)X N μσ，则有()()x F x μσ-=Φ；()()()b a P a X b μμσσ--<≤=Φ-Φ．4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续； （4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>； 特别的 ()()(0)P X a F a F a ==-- （5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5． 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有 （1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6． 随机变量的函数 )(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。

7、思考题 １．某地有２５００人参加人寿保险，每人在年初向保险公司交付把费１２元，若在这一年内死亡，则由其家属从保险公司领取２０００元．设该地人口死亡率为１．５％，求保险公司获利不少于１００００元的概率． ２．已知二维随机变量(,)X Y 的联合概率函数为 YX ０ １ ２０ 19 118 16１ α β 19 问,αβ取何值时，X 与Y 相互独立？第三章 随机向量1． 二维离散随机向量，联合分布列ij j i p y Y x X P ===),(，边缘分布列⋅==i i p x X P )(，j j p y Y P ⋅==)(有（1）0≥ij p ；（2）∑=ijijp1；（3）∑=⋅jij i p p ，∑=⋅iij j p p 2． 二维连续随机向量，联合密度),(y x f ，边缘密度)( ),(y f x f Y X ，有 （1）0),(≥y x f ；（2）⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(y x f ；（3）⎰⎰=∈Gdxdy y x f G Y X P ),()),((；（4）⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(，⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(3． 二维均匀分布⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它 0, ),( ,)(1),(G y x G m y x f ，其中)(G m 为G 的面积4． 二维正态分布),,,,(~) ,(222121ρσσμμN Y X ，其密度函数（牢记五个参数的含义）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-------=2222212121212221)())((2)()1(21ex p 121),(σμσσμμρσμρρσπσy y x x y x f 且),(~ ),,(~222211σμσμN Y N X ；5． 二维随机向量的分布函数 ),(),(y Y x X P y x F ≤≤=有(1) (,)0,,f x y x y ≥-∞<<+∞； (2) (,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰；(3) 设(,)X Y 为二维连续型随机变量，则对任意一条平面曲线L ，有((,))0P X Y L ∈=；（4）关于y x ,单调非降；（2）关于y x ,右连续； （5）0),(),(),(=-∞-∞=-∞=-∞F y F x F ；（6）1),(=+∞+∞F ，)(),(x F x F X =+∞，)(),(y F y F Y =+∞；（7）),(),(),(),() ,(111221222121y x F y x F y x F y x F y Y y x X x P +--=≤<≤<；（8）对二维连续随机向量，yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2(9) 设(,)X Y 为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域D 有((,))(,)DP X Y D f x y dxdy∈=⎰⎰．6．概率密度()f x 及连续型随机变量的性质 （１）()0;f x ≥ （２）()1f x dx +∞-∞=⎰；（３）连续型随机变量X 的分布函数为()F x 是连续函数，且在()F x 的连续点处有()()F x f x '=；（4）设X 为连续型随机变量，则对任意一个实数c ，()0P X c ==； (5) 设()f x 是连续型随机变量X 的概率密度，则有()()()()P a X b P a X b P a X b P a X b <<=≤<=≤≤=<≤＝()ba f x dx⎰．7．二维连续型随机变量(,)X Y 的边缘概率密度设(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X 的边缘概率密度为()(,)X f x f x y dy+∞-∞=⎰；Y 的边缘概率密度为()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰．8．二维连续型随机变量(,)X Y 的条件概率密度设(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X 在给定Y y =的条件下的条件概率密度为|(,)(|),()X Y Y f x y f x y x f y =-∞<<+∞，其中()0Y f y >；Y 在给定X x =的条件下的条件概率密度为|(,)(|),()Y X X f x y f y x y f x =-∞<<+∞，其中()0X f x >．9．常用的二维连续型随机变量 (1) 均匀分布如果(,)X Y 在二维平面上某个区域G 上服从均匀分布，则它的联合概率密度为1,(,)x y f x y G ⎧∈⎪=⎨⎪⎩，（)G;的面积0,其余. (2) 二维正态分布221212(,,,,)N μμσσρ 如果(,)X Y 的联合概率密度2211212222112112()()()()11(,)exp 22(1)21x x y x f x y μμμμρρσσσσπσσρ⎧⎫⎡⎤----⎪⎪=--+⎨⎬⎢⎥-⎪⎪-⎣⎦⎩⎭则称(,)X Y 服从二维正态分布，并记为221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ.如果221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ，即二维正态分布的边缘分布还是正态分布．7．随机变量的独立性 Y X ,独立)()(),(y F x F y x F Y X =⇔ （1） 离散时 Y X ,独立j i ij p p p ⋅⋅=⇔（2） 连续时 Y X ,独立)()(),(y f x f y x f Y X =⇔（3） 二维正态分布Y X ,独立0=⇔ρ，且),(~222121σσμμ+++N Y X 8．随机变量的函数分布（1）和的分布 Y X Z +=的密度⎰⎰+∞∞-+∞∞--=-=dx x z x f dy y y z f z f Z ),(),()(以上两个公式也称为卷积公式．（2）最大最小分布 max(,)Z X Y =的分布函数为()()()Z X Y F z F z F z =特别有下面的结论：设211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ，且X 与Y 相互独立，则221212~(,)X Y N μμσσ+++．9、思考题１．设随机变量(,)X Y 的概率密度为(),0,0,(,)0,x y xye x y f x y -+⎧≥≥=⎨⎩其它. 求(3).P X Y ≥２．若X Y 与为相互独立的分别服从[0,1]上均匀分布的随机变量，试求Z X Y =+的分布密度函数．第四章 随机变量的数字特征1．期望(1) 离散时 ∑=iii px X E )(，∑=iiipx g X g E )())(( ；(2) 连续时⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(，⎰+∞∞-=dx x f x g X g E )()())((；(3) 二维时∑=ji ij jip yx g Y X g E ,),()),((，dy dx y x f y x g Y X g E ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=),(),()),((()(,)E x xf x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰,()(,)E Y yf x y dxdy+∞+∞-∞-∞=⎰⎰.2．数学期望的性质(1) ()E c c = (其中c 为常数)；(2) ()()E kX b kE X b +=+ (,k b 为常数)； (3) ()()()E X Y E X E Y +=+；(4) 如果X 与相互独立，则()()()E XY E X E Y =.3．方差（1）方差222)()())(()(EX X E X E X E X D -=-=，标准差)()(X D X =σ；（2）)()( ,0)(X D C X D C D =+=； （3）)()(2X D C CX D =；（4）Y X ,独立时，)()()(Y D X D Y X D +=+当X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分2(())()x E X f x dx+∞-∞-⎰收敛，则X 的方差为2()(())()D X x E x f x dx+∞-∞=-⎰.3．协方差（1）)()()())]())(([(),(Y E X E XY E Y E Y X E X E Y X Cov -=--=； （2）),(),( ),,(),(Y X abCov bY aX Cov X Y Cov Y X Cov ==； （3）),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+；（4）0),(=Y X Cov 时，称Y X ,不相关，独立⇒不相关，反之不成立，但正态时等价； （5）),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ++=+ 4．相关系数 )()(),(Y X Y X Cov XY σσρ=；有1||≤XY ρ，1)( ,,1||=+=∃⇔=b aX Y P b a XY ρ相关系数XY ρ反映了随机变量X 与Y 之间线性关系的紧密程度，当||XY ρ越大，X 与Y 之间的线性相关程度越密切，当0XYρ=时，称X 与Y 不相关．相关系数具有下列性质：(1) ||1XY ρ≤；(2) ||1XY ρ=的充要条件是()1P Y aX b =+=，其中,a b 为常数；(3) 若随机变量X 与Y 相互独立，则X 与Y 不相关，即0XY ρ=，但由0XY ρ=不能推断X 与Y 独立．(4) 下列5个命题是等价的： ．(i) 0XYρ=；(ii) cov(,)0X Y =；(iii) ()()()E XY E X E Y =；(iv) ()()()D X Y D X D Y +=+)； (v) ()()()D X Y D X D Y -=+． 利用协方差或相关系数可以计算()()()2cov(,)()()2()()XY D X Y D X D Y X Y D X D Y D X D Y ρ±=+±=+±．5．随机变量X 的k 阶原点矩定义为()kE X ； 随机变量X 的k 阶中心矩定义为[(())]k E X E X -]； 随机变量(,)X Y 的(,)k l 阶混合原点矩定义为()k lE X Y ； 随机变量(,)X Y 的(,)k l 阶混合中心矩定义为[(())(())]k l E X E X Y E Y --． 一阶原点矩是数学期望()E X ；二阶中心矩是方差D(X)；(1,1)阶混合中心矩为协方差cov(,)X Y . 9．常用分布的数字特征(1) 当X 服从二项分布(,)B n p 时，(),()(1)E X np D X np p ==-． (2) 当X 服从泊松分布()p λ时，(),()E X D X λλ==， (3) 当X 服从区间(,)a b 上均匀分布时，2()(),()212a b b a E X D X +-==(4) 当X 服从参数为λ的指数分布时，211(),()E X D X λλ== (5) 当X 服从正态分布2(,)N μσ时， 2(),()E X D X μσ==．(6) 当(,)X Y 服从二维正态分布221212(,,,,)N μμσσρ时， 211(),()E X D X μσ==；222(),()E Y D Y μσ==；12cov(,),XY X Y ρσσρρ==10．分位数设X 为任意一个随机变量，对于01p <<，如果实数c 满足()()1P X c p P X c p ≤≥≥≥-且，则称c 是X （或X 所服从的分布）的p 分位数，记作p v．当12p =时，称1/2v 为中位数．对连续型随机变量X ，记其密度函数为()f x ，如果X 的值域是某个区间，则().pv f x dx p -∞=⎰三、思考题１．设2~(,)X N μσ，求||kE X μ-．２．设X 的密度函数为22/22,0,()(0,0.x a x ex f x a a x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩为正常数）记1Y X =，求Y 的数学期望().E Y 3. 一学徒工用车床接连加工10个零件，设第i 个零件报废的概率为11i +(1,2,,10)i =，求报废零件个数的数学期望.第五章 大数定律与中心极限定理1．Chebyshev 不等式 （切比雪夫不等式）2)(}|)({|εεX D X E X P ≤≥- 或2)(1}|)({|εεX D X E X P -≥<-2．大数定律1）．切比雪夫大数定律设随机变量12,,,,n X X X ，相互独立，数学期望(),(),1,2,i i E X D X i =…，都存在，且方差是一致有上界的，即存在常数c ，使得(),1,2,,,i D X c i n <=则对于任何正数ε，有1111lim (|()|)1n ni i n i i P X E X n n ε→∞==-<=∑∑2）．辛钦大数定律(独立同分布大数定律)设随机变量12,,,,n X X X 相互独立且同分布，并具有有限的数学期望μ和方差2σ，则对任何正数ε，有11lim (||)1ni n i P X n με→∞=-<=∑3）．伯努里大数定律设随机变量(,)n Y B n p ，则对任意正数ε，有lim (||)1n n YP p n ε→∞-<=3．中心极限定理（1）设随机变量n X X X ,,,21 独立同分布2)( ,)(σμ==i i X D X E ，则) ,(~21σμn n N X ni i ∑=近似， 或) ,(~121n N X n n i i σμ∑=近似 或)0,1(~ 1N n n X ni i近似σμ∑=-，（2）棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理设随机变量(,)n Y B n p ，则对任意一个实数x ，有lim ()()(1n n Y npP x x np p→∞-≤=Φ-．这个定理的直观意义是，当n 足够大时，服从二项分布的随机变量n Y可认为近似服从正态分布(,(1))N np np p -．思考题１．用切比雪夫不等式确定当掷一均匀硬币时，需投多少次才能保证使得正面出现的频率在0.4至0.6之间的概率不小于90%，并用正态逼近计算同一问题.２．根据遗传学理论，红黄两种番茄杂交第二代结红果植株和黄果植株的比率为3：1，现种植杂交种432株，试问（1）黄株介于108和117之间的概率;是多少？ （2）红株介于315和324之间的概率是多少？ （提示：使用中心极限定理计算）第六章 样本及抽样分布1．总体、样本（1）当 X 服从正态分布时，称总体X 为正态总体。