概率统计试卷复习资料
概率统计总复习(含答案)
概率统计总复习一填空选择题考点1 掌握事件的关系与运算，会写样本空间1．试验E 为抛一枚硬币,观察正面H ,反面T 出现的情况,则E 的样本空间S = .2．设,,A B C 为随机事件,则,,A B C 中至少有一个发生可表示为 ,,A B C 同时发生可表示为考点2古典概型的计算；1.同时抛掷3枚均匀的硬币,则恰好有2枚正面朝上的概率是2.袋中有5个球,其中3个新球,2个旧球,每次取一个,无放回地取两次,则两次取到的均为新球的概率为 .3．一袋中装有6个球，其中3个白球，3个红球，依次从中取出2个球（不放回），则两次取到的均为白球的概率为 15。
4．从1,2,3,4,5五个数中任意取两个数,则这两个数中含偶数的概率是 考点3 概率的计算A 概率的性质和事件的独立性综合计算1．已知(),()0.2,()0.96P A a P B P A B ==⋃=，若事件AB 相互独立，则 a =1/20 2 设()0.4,()0.3P A P B ==，,A B 独立，则()P AB = ()____P A B -=. 3．设事件A 与B 相互独立,已知()0.5,()0.8P A P A B == , ()P AB = . B 条件概率相关计算1．设事件A 与B 独立,且()0.4P A =,(|)0.5P B A =,则()P AB = 2．设()0.3P AB =,(|)0.4P B A =,则()P A = .3．已知()0.5,()0.6,()0.4P A P B P B A ===，那么()P AB = __0.2_____，()P AB =_0.4____, ()P A B ⋃=_______0.7_____.C 正态分布概率相关计算1．设随机变量~(1,1)X N ,则{02}P X <<= .（(1)0.8413Φ=）2.已知2~(1,)X N σ，{12}0.3P X <<=，则{0}P X <=____0.2_____.3 设随机变量(1,4)X N ，则(13)P X -<<= ;若()0.5,P X a >= 则a = .0.6826,14．随机变量),2(~2σN X ，(04)0.3,<<=P X 则(0)<=P X 。
概率论与数理统计考研复习资料
概率论与数理统计复习第一章 概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德•摩根律B A B A = B A B A =三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率.(1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+…2.性质(1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 .(2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) .(4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n()()()()+∑+∑-∑=≤<<≤≤<≤=nk j i k j i nj i j i ni i n A A A P A A P A P A A A P 11121…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)=()()i ni i B A P B P∑=1当P(A)>0, P(B i )>0时,有贝叶斯公式P (B i |A)=()()()()()()∑==ni i i i i i B A P B P B A P B P A P AB P 1. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件.(1)两个事件A,B 相互独立⇔ P(B)= P (B|A) .(2)若A 与B ,A 与B ,A 与B, ,A 与B 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kkii i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2). (3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1). 二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为: (1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX kk P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1) (3))X~π(λ)参数为λ的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (λ>0) 三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数). 2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(xx dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 .3.三种重要的连续型随机变量的分布 (1)X ～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布⎩⎨⎧=-0)(1a b x f其它b x a << . (2)X 服从参数为θ的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 (θ>0). (3)X~N (μ,σ2)参数为μ,σ的正态分布222)(21)(σμσπ--=x ex f -∞<x<∞, σ>0. 特别, μ=0, σ2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, Φ(-x)=1-Φ(x) .若X ～N ((μ,σ2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z α}= P{Z<-z α}= P{|Z|>z α/2}= α,则点z α,-z α, ±z α/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧α分位点. 注意：Φ(zα)=1-α , z 1- α= -z α.四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法： (1)分布函数法 先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f ky X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法 若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y其它βα<<y其中h(y)是g(x)的反函数 , α= min (g (-∞),g (∞)) β= max (g (-∞),g (∞)) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 α= min (g (a),g (b)) β= max (g (a),g (b)) .第三章 二维随机变量及其概率分布 一.二维随机变量与联合分布函数1.定义 若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数. 2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ∞)=0, F(-∞,y)=0, F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质(1)非负性 0≤p i j ≤1 .(2)归一性∑∑=i jij p 1 .3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y ,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-yxdudv v u f ),(则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度. 2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-d x d y y x f .(3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2(4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<∞}= F (x , ∞) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<∞, Y ≤y}= F (∞,y)2.二维离散型随机变量(X,Y) 关于X 的边缘分布律 P{X= x i }=∑∞=1j ij p = p i·( i =1,2,…) 归一性11=∑∞=∙i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p·j( j =1,2,…) 归一性11=∑∞=∙j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dyy f Y五.相互独立的随机变量1.定义 若对一切实数x,y ,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j= p i ··p ·j( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j成立.3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X(x)f Y(y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立.六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称 P{X=x i |Y=y j }为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律. 同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称,}{},{jj i j j i p p y Y P y Y x X P ∙=====P{Y=y j |X=x i }为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量 连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)数学期望(均值)E(X)∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛)⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2}[]∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛) 函数数学期望E(Y)=E[g(X)] i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差σ(X)=√D(X) .二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2D(X) . 2.X,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0 ⇔P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X)1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p)2.X~ b (n,p) (0<p<1) n p n p (1- p)3.X~ π(λ) λ λ4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/12 5.X 服从参数为θ的指数分布 θ θ2 6.X~ N (μ,σ2) μ σ2 四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E {[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l}第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i i XX n S 12211 样本标准差S样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==n i ki k X X n B 1)(1( k=1,2,…),}{},{∙=====i j i i j i p p x X P y Y x X P二.抽样分布 即统计量的分布 1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n .特别,若X~ N (μ,σ2 ) ,则X ~ N (μ, σ2/n) .2.χ2分布 (1)定义 若X ～N (0,1) ,则Y =∑=ni i X 12~ χ2(n)自由度为n 的χ2分布.(2)性质 ①若Y~ χ2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ χ2(n 1) Y 2~ χ2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ χ2(n 1 + n 2).③若X~ N (μ,σ2 ), 则22)1(σS n -~ χ2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点 若Y~ χ2(n),0< α <1 ,则满足αχχχχαααα=<>=<=>--))}(())({()}({)}({22/122/212n Y n Y P n Y P n Y P的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为χ2分布的上、下、双侧α分位点. 3. t 分布(1)定义 若X~N (0,1),Y~ χ2(n),且X,Y 相互独立,则t=nY X~t(n)自由度为n 的t 分布. (2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ～N (μ,σ2 )时, nS X μ-~ t (n-1) .③两个正态总体相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N (μ1,σ12 ) 且σ12=σ22=σ2 X 1 ,X 2 ,…,X n1 X S 12Y~ N (μ2,σ22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2Y S22则212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w(3)分位点 若t ~ t (n) ,0 < α<1 , 则满足αααα=>=-<=>)}({)}({)}({2/n t t P n t t P n t t P的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧α分位点.注意: t 1- α (n) = - t α (n).4.F 分布 (1)定义 若U~χ2(n 1), V~ χ2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③)22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点 若F~ F(n 1,n 2) ,0< α <1,则满足)},({)},({21121n n F F P n n F F P αα-<=>ααα=<>=-))},(()),({(212/1212/n n F F n n F F P的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧α分位点. 注意:.).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数θ1, θ2,…, θk .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,以样本矩A l 取代总体矩μ l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p (x, θ1, θ2,…, θk ),称样本X 1 ,X 2 ,…,Xn的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧kθθθ,,,21 ,称为参数θ1, θ2,…,θk 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(θ1, θ2,…, θk )关于θ1, θ2,…, θk 可微,则一般可由 似然方程组0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性 若E(∧θ)=θ,则估计量∧θ称为参数θ的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=μk =E(X k ),即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩μk 的无偏估计,(2)有效性 若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= θ, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数θ的相合估计量.文 - 汉语汉字 编辑词条文，wen ，从玄从爻。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。
-频率和概率的关系，概率的基本性质。
-古典概型和几何概型的概念。
-条件概率和乘法定理。
-全概率公式和贝叶斯公式。
-随机变量和概率分布函数的概念。
-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。
2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。
-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。
-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。
3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。
-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。
4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。
-样本统计量和抽样分布的概念。
-点估计和区间估计的概念。
-假设检验的基本思想和步骤。
-正态总体的参数的假设检验和区间估计。
5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。
-矩估计的原理和方法。
-最小二乘估计的原理和方法。
-一般参数的假设检验和区间估计。
6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。
-回归分析的一般原理。
-简单线性回归的估计和检验。
7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。
-秩相关系数的计算和检验。
8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。
-正态总体参数的拟合优度检验。
-贝叶斯估计的基本思想和方法。
9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。
-时间序列预测的方法和模型。
-质量控制的基本概念和控制图的应用。
以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。
概率统计复习题
概率统计练习题一、选择题1. 设C B A ,,是三个随机事件，则事件“C B A ,,不多于一个发生”的对立事件是（ B ）A ．CB A ,,至少有一个发生 Ｂ.C B A ,,至少有两个发生 C. C B A ,,都发生 Ｄ. C B A ,,不都发生2．如果（ C ）成立，则事件A 与B 互为对立事件。
(其中S 为样本空间)A ．ABＢ.AB S C.AB A BSＤ.0)(=-B A P3．设,A B 为两个随机事件，则()P A B ⋃=（ D ） A ．()()P A P B -Ｂ. ()()()P A P B P AB -+C. ()()P A P AB -Ｄ. ()()()P A P B P AB +-4．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现4点的概率为（D ）。
A ．12Ｂ. 23 C. 16 Ｄ.135．设~(1.5,4)X N ，则{24}P X -<<=（ ）A ．0.8543 Ｂ. 0.1457 C. 0.3541 Ｄ. 0.2543 6．设)4,1(~N X ，则{0 1.6}P X <<=（ ）。
A ．0.3094Ｂ. 0.1457 C. 0.3541 Ｄ. 0.25437．设2~(,)X N μσ则随着2σ的增大，2{}P X μσ≤-=（ ）A ．增大 Ｂ. 减小 C. 不变 Ｄ. 无法确定8．设随机变量X 的概率密度21()01x x f x x θ-⎧>=⎨≤⎩，则θ=（ ）。
A ．1Ｂ.12 C. -1 Ｄ.329．设随机变量X 的概率密度为21()01tx x f x x -⎧>=⎨≤⎩，则t =（ ） A ．12Ｂ. 1 C. -1 Ｄ.3210．设连续型随机变量X 的分布函数和密度函数分别为()F x 、()f x ，则下列选项中正确的是（ ） A ．0()1F x ≤≤Ｂ.0()1f x ≤≤ C. {}()P X x F x == Ｄ.{}()P X x f x ==11．若随机变量12Y X X =+，且12,X X 相互独立。
概率统计大题综合(解析版)
概率统计大题综合知识点总结1.数字样本特征（1）众数：在一组数据中出现次数最多的数（2）中位数：将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若为偶数个，中位数为中间两个数的平均数（3）平均数：x =x 1+x 2+⋯⋯+x nn ，反映样本的平均水平（4）方差：s 2=(x 1−x )2+(x 2−x )2+⋯⋯(x n −x )2n反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度；s 2越大，样本波动越大，越不稳定；s 2越小，样本波动越小，越稳定；（5）标准差：σ=s 2，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样（6）极差：等于样本的最大值−最小值2.求随机变量X 的分布列的步骤：(1)理解X 的意义，写出X 可能取得全部值；(2)求X 取每个值的概率；(3)写出X 的分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验.还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.3.求随机变量的期望和方差的基本方法：(1)已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；(2)已知随机变量X 的期望、方差，求aX +b a ,b ∈R 的期望与方差，利用期望和方差的性质E aX +b =aE X +b ，D aX +b =a 2D X 进行计算；(3)若能分析出所给的随机变量服从常用的分布(如：两点分布、二项分布等)，可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算，若ξ~B (n ,p ),则Eξ=np ，Dξ=np (1-p ).4.求解概率最大问题的关键是能够通过P ξ=k ≥P ξ=k +1P ξ=k ≥Pξ=k -1构造出不等关系，结合组合数公式求解结果5.线性回归分析解题方法：(1)计算x ,y,ni =1x i 2 ,ni =1x i y i 的值；(2)计算回归系数a ,b ；(3)写出回归直线方程y =b x +a.线性回归直线方程为：y =b x +a ，b=ni =1x i −x y i −yni =1x i −x2=ni =1x i y i −nx yni =1x i 2−nx2，a =y −b x其中x ,y为样本中心，回归直线必过该点(4)线性相关系数(衡量两个变量之间线性相关关系的强弱)r =n i =1x i −x y i −y n i =1x i −x 2 n i =1y i −y 2 =ni =1x i y i −nx yn i =1x i 2−nx 2ni =1y i 2−ny2r >0，正相关；r <0，负相关r ≤1,且r 越接近于1，线性相关性越强；r 越接近于0，线性相关性越弱，几乎不存在线性相关性6.独立性检验解题方法：(1)依题意完成列联表；(2)用公式求解；(3)对比观测值即可得到所求结论的可能性独立性检验计算公式：K 2=n ad -bc 2a +b c +d a +c b +d模拟训练一、解答题1.(2023·福建三明·统考三模)在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取3局2胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手M 对乙队每名队员的胜率均为34，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12.(注：比赛结果没有平局)(1)求甲队最终2:1获胜且种子选手M 上场的概率；(2)已知甲队2:1获得最终胜利，求种子选手M 上场的概率.【答案】(1)740(2)711【分析】(1)设事件A i =“种子选手M 第i 局上场”i =1,2,3 ，事件B =“甲队最终2:1获胜且种子选手M 上场”，求出P A i 、P B A i i =1,2,3 的值，利用全概率公式可求得P B 的值；(2)设事件A 0=“种子选手M 未上场”，事件C =“甲队2:1获得胜利”，计算出P C 、P A 0C 的值，利用贝叶斯公式可求得P A 0C 的值.【详解】(1)解：设事件A i =“种子选手M 第i 局上场”i =1,2,3 ，事件B =“甲队最终2:1获胜且种子选手M 上场”.由全概率公式知，P B =P B A 1 ⋅P A 1 +P B A 2 ⋅P A 2 +P B A 3 ⋅P A 3因为每名队员上场顺序随机，故P A i =15i =1,2,3 ，P B A 1 =34×12×12+14×12×12=14，P B A 2 =12×34×12+12×14×12=14，P B A 3 =C 12⋅12×12×34=38.所以P B =∑3i =1P B A i P A i =14×15+14×15+38×15=740，所以甲队最终2:1获胜且种子选手M 上场的概率为740.(2)解：设事件A 0=“种子选手M 未上场”，事件C =“甲队2:1获得胜利”，P A 0 =A 34A 35=25，P A 0 =1-25=35，P C A 0 =C 12×12×12×12=14，P C =P B +P C A 0 ⋅P A 0 =740+14×25=1140，因为P A 0 C =P A 0CP C.由(1)知P A 0 C =P B =740，所以P A 0 C =P A 0 C P C =7401140=711.所以，已知甲队2:1获得最终胜利，种子选手M 上场的概率为711.2.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．(1)若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，ξ表示选取的人中来自该中学的人数，求ξ的分布列和数学期望；(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为p 1，p 2，且p 1+p 2=43，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？【答案】(1)分布列见解析，E (ξ)=54(2)11轮【分析】(1)根据超几何分布列分布列计算数学期望即可；(2)先求每轮答题中取得胜利的概率的最大值，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数.【详解】(1)由题意可知ξ的可能取值有0、1、2、3，P (ξ=0)=C 37C 312=744，P (ξ=1)=C 15C 27C 312=2144，P (ξ=2)=C 17C 25C 312=722，P (ξ=3)=C 35C 312=122所以，随机变量ξ的分布列如下表所示：ξ0123P7442144722122所以E (ξ)=0×744+1×2144+2×722+3×122=54．(2)他们在每轮答题中取得胜利的概率为Q =C 12p 11-p 1 C 22p 22+C 22p 21C 12p 21-p 2 +C 22p 21C 22p 22=2p 1p 2p 1+p 2 -3p 1p 2 2=83p 1p 2-3p 1p 2 2，由0≤p 1≤1，0≤p 2≤1，p 1+p 2=43，得13≤p 1≤1，则p1p2=p143-p1=43p1-p21=-p1-232+49，因此p1p2∈13,49，令t=p1p2∈13,49，Q=83t-3t2=-3t-492+1627，于是当t=49时，Q max=1627．要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值16 27．设他们小组在n轮答题中取得胜利的次数为X，则X∼B n,16 27，E(X)=1627n，由E(X)≥6，即1627n≥6，解得n≥10.125．而n∈N*，则n min=11，所以理论上至少要进行11轮答题．3.(2023·福建宁德·校考二模)某科研团以为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下列联表．患病未患病总计服用药物1045末服用药物50总计30(1)请将上面的列联表补充完整．(2)认为“药物对预防疾病有效”犯错误的概率是多少？(3)为了进一步研究，现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只，设其中未服用药物的动物数为ξ，求ξ的分布列与期望．下面的临界值表供参考：P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.0722706 3.841 5.024 6.6357.87910.828(参考公式：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d)【答案】(1)列联表见解析(2)2.5%(3)分布列见解析，数学期望为1.6【分析】(1)根据表中的数据完成列联表即可；(2)由公式K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)计算K2，然后根据临界值表进行判断；(3)由题意可得ξ的值可能为0，1，2，3，4，求出相应的概率，从而可求得ξ的分布列与期望．【详解】(1)列联表补充如下：患病末患病总计服用药物104555末服用药物203050总计3075105(2)K2=105×(10×30-20×45)230×75×55×50=33655≈6.109>5.024．∵P K2≥5.024=0.025，∴认为“药物对预防疾病有效”犯错误的概率是2.5%．(3)根据题意，10只未患病动物中，有6只服用药物，4只未服用药物，所以ξ的值可能为0，1，2，3，4，则P (ξ=0)=C 46C 410=15210，P (ξ=1)=C 36C 14C 410=80210，P (ξ=2)=C 26C 24C 410=90210，P (ξ=3)=C 16C 34C 410=24210，P (ξ=4)=C 44C 410=1210，ξ的分布列如下：ξ01234P152108021090210242101210则E (ξ)=0×15210+1×80210+2×90210+3×24210+4×1210=1.6．4.(2023·江苏常州·校考一模)设X ,Y 是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为a i ,b j ，其中i ,j ∈N *，令p ij =P X =a i ,Y =b j ，称p ij i ,j ∈N * 是二维离散型随机变量X ,Y 的联合分布列，与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式；X ,Yb 1b 2b 3⋅⋅⋅a 1p 11p 12p 13⋅⋅⋅a 2p 21p 22p 23⋅⋅⋅a 3p 31p 32p 33⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅现有n n ∈N * 个球等可能的放入编号为1,2,3的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为X ，落入第2号盒子中的球的个数为Y ．(1)当n =2时，求X ,Y 的联合分布列，并写成分布表的形式；(2)设p k =nm =0P X =k ,Y =m ,k ∈N 且k ≤n ，求nk =0kp k 的值．(参考公式：若X ~B n ,p ，则nk =0kC k n p k1-p n -k =np )【答案】(1)答案见解析(2)n 3【分析】(1)X 的取值为0，1，2，Y 的取值为0，1，2，分别计算概率即可；(2)计算得p k =Ckn13k23n -k，则n k =0kp k =nk =0kC k n 13k23n -k，最后利用二项分布的期望公式即可得到答案.【详解】(1)若n =2，X 的取值为0，1，2，Y 的取值为0，1，2，则P X =0,Y =0 =132=19，P X =0,Y =1 =C 12×13×13=29，P X =0,Y =2 =132=19，P X =1,Y =0 =C 12×13×13=29，P X =1,Y =1 =C 12×13×13=29，P X =2,Y =0 =132=19，P X =1,Y =2 =P X =2,Y =1 =P X =2,Y =2 =0，故X ,Y 的联合分布列为X ,Y 0120192919129290219(2)当k +m >n 时，P X =k ,Y =m =0，故p k =nm =0P X =k ,Y =m =n -km =0P X =k ,Y =m =n -km =0P C k n C m n -k ⋅13n=C k n 3n n -k m =0C m n -k =C kn 3n 2n -k =C k n13 k23n -k所以nk =0kp k =nk =0kC k n13k23n -k，由二项分布的期望公式可得nk =0kp k =n 3．5.(2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测)某种疾病可分为A ，B 两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的2倍，男性患A 型疾病的人数占男性患者的56，女性患A 型疾病的人数占女性患者的13.A 型病B 型病合计男女合计(1)填写2×2列联表，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为‘所患疾病的类型'与‘性别'有关”的结论，求被调查的男性患者至少有多少人？(2)某团队进行预防A 型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为m m >0 元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为p 0<p <1 ，如果一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期.若p =23，试验人数为1000人，试估计该试验用于接种疫苗的总费用.K 2=n ad -bc 2a +b c +d a +c b +d，P K 2≥k 0 0.100.050.010.0050.001k 02.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，被调查的男性患者至少有12；(2)340009m 元【分析】(1)设男性患者有x 人，结合题设写出列联表，应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思想列不等式求x 范围，再由x 6∈Z ，x3∈Z 确定x 最小值；(2)由题意试验每人的接种费用为ξ的可能取值为3m ，6m ，独立事件乘法公式求出对应概率，进而求出期望，根据总人数求出总费用的期望即可.【详解】(1)设男性患者有x 人，则女性患者有2x 人，2×2列联表如下：A 型病B 型病合计男5x6x 6x 女2x 34x 32x 合计3x 23x 23x假设H 0：患者所患疾病类型与性别之间无关联，根据列联表中的数据K 2=3x 5x 6⋅4x 3-x 6⋅2x 3 23x 2⋅3x 2⋅2x ⋅x =2x 3，要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，则2x 3>7.879，解得x >11.8185，因为x 6∈Z ，x3∈Z ，所以x 的最小整数值为12，因此，男性患者至少有12人.(2)设该试验每人的接种费用为ξ元，则ξ的可能取值为3m ，6m .则P ξ=3m =C 23p 21-p +p 3=-2p 3+3p 2，P ξ=6m =1+2p 3-3p 2，所以E ξ =3m ⋅-2p 3+3p 2 +6m ⋅1+2p 3-3p 2 =3m 2p 3-3p 2+2 ，因为p =23，试验人数为1000人，所以该试验用于接种疫苗的总费用为1000E ξ ，所以1000×3m 2×23 3-3×23 2+2 =340009m 元.6.(2023·安徽蚌埠·统考三模)某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计(1)根据所给数据完成上表，依据α=0.001的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知这两名男生进球的概率均为23，这名女生进球的概率为12，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数X 的分布列和数学期望.附：χ2=n ad -bc 2a +b c +d a +c b +dα0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关；(2)分布列见解析，数学期望为116.【分析】(1)完善列联表，计算χ2的观测值，再与临界值表比对作答.(2)求出X 的可能值，求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.【详解】(1)依题意，2×2列联表如下：喜欢足球不喜欢足球合计男生6040100女生3070100合计90110200零假设H 0：该校学生喜欢足球与性别无关，χ2的观测值为χ2=200(60×70-30×40)2100×100×90×110≈18.182>10.828=x 0.001，根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H 0不成立，所以有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.(2)依题意，X 的可能值为0,1,2,3，P (X =0)=1-23 2×1-12 =118，P (X =1)=C 12×231-23 ×1-12 +1-23 2×12=518，P (X =2)=C 12×231-23 ×12+23 2×1-12 =818=49，P (X =3)=23 2×12=29，所以X 的分布列为：X0123P1185184929数学期望E (X )=0×118+1×518+2×49+3×29=116.7.(2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测)在以视觉为主导的社交媒体时代，人们常借助具有美颜功能的产品对自我形象进行美化.移动端的美颜拍摄类APP 主要有两类：A 类是以自拍人像、美颜美妆为核心功能的APP ；B 类是图片编辑、精修等图片美化类APP .某机构为调查市民对上述A ，B 两类APP 的使用情况，随机调查了部分市民.已知被调查的市民中使用过A 类APP 的占60%，使用过B 类APP 的占50%，设个人对美颜拍摄类APP 类型的选择及各人的选择之间相互独立.(1)从样本人群中任选1人，求该人使用过美颜拍摄类APP 的概率；(2)从样本人群中任选5人，记X 为5人中使用过美颜拍摄类APP 的人数，设X 的数学期望为E X ，求P X =E X ；(3)在单独使用过A ，B 两类APP 的样本人群中，按类型分甲、乙两组，并在各组中随机抽取8人，甲组对A 类APP ，乙组对B 类APP 分别评分如下：甲组评分9486929687939082乙组评分8583859175908380记甲、乙两组评分的平均数分别为x 1 ，x 2 ，标准差分别为s 1，s 2，试判断哪组评价更合理.(设V i =s ix i (i =1,2)，V i 越小，则认为对应组评价更合理.)参考数据：0.1925≈0.439，0.2325≈0.482.【答案】(1)0.8(2)256625(3)甲组对A 类APP 的评价更合理.【分析】(1)求出“使用过A 类APP ”和“使用过B 类APP ”的概率，再由对立事件的概率公式求解即可.(2)题意知X ∼B 5,45，由二项分布的数学期望公式可求出E X ，再由二项分布的概率公式即可求出P X =E X .(3)由平均数和方差的公式求解即可得出答案.【详解】(1)设事件A 表示“使用过A 类APP ”，事件B 表示“使用过B 类APP ”，由题意知P A =0.6，P B =0.5.任选一人，该人使用过美颜拍摄类APP 的概率:P =1-P A B=1-0.4×0.5=0.8.(2)由题意知X ∼B 5,45，则X 的数学期望E X =5×45=4.P X =E X =P X =4 =C 4545 4×15=256625.(3)x 1 =94+86+92+96+87+93+90+828=90，x 2 =85+83+85+91+75+90+83+808=84，s 1=1842+-4 2+22+62+-3 2+32+02+-8 2 =19.25≈4.39，s 2=1812+-1 2+12+72+-9 2+62+-1 2+-4 2 =23.25≈4.82，V 1=s 1x 1=4.3990<V 2=s 2x 2=4.8284，故甲组对A 类APP 的评价更合理.8.(2023·广东·统考模拟预测)某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是14，且一台机器的故障由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲乙两人共同维护6台机器，丙负责其他工作.(1)对于方案一，设X 为甲维护的机器某一时刻发生故障的台数，求X 的分布列与数学期望E (X )；(2)在两种方案下，分别计算某一时刻机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？【答案】(1)分布列见解析，12(2)7214096，3472048，方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高．【分析】(1)根据题意得到随机变量X ~B 2,14，结合独立重复试验的概率计算公式求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解；(2)根据题意，分别求得方案一和方案二中，结合对立事件和独立重复试验的概率计算公式，分别求得机器发生故障时不能及时维修的概率P 1和P 2，根据大小关系，即可得到结论.【详解】(1)解：由题意，车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是14，可得方案一中，随机变量X ~B 2,14，则P X=0=342=916，P X=1=C12⋅14⋅34=38，P X=2=142=116，所以随机变量X的分布列为：X012P 91638116所以期望为E X=2×14=12．(2)解：对于方案一：“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有一人负责的2台机器同时发生故障”，设机器发生故障时不能及时维修的概率为P1，则其概率为P1=1-1-P X=23=1-1-1 163=7214096．对于方案二：设机器发生故障时不能及时维修的概率为P2，则P2=1-346-C16⋅14⋅34 5-C26⋅14 2⋅34 4=1-36+6×35+15×344096=3472048，可得P2<P1，即方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高．9.(2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测)相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上.某健身连锁机构对其会员的年龄等级和一个月内到健身房健身次数进行了统计，制作成如下两个统计图.图1为会员年龄分布图(年龄为整数)，其中将会员按年龄分为“年轻人”(20岁-39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或40岁及以上)两类；图2为会员一个月内到健身房次数分布扇形图，其中将一个月内到健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有56是“年轻人”.(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100的样本，根据图表数据，补全2×2列联表，并依据小概率值α=0.05的独立性检验，是否可以认为“健身达人”与年龄有关？年轻人非年轻人合计健身达人健身爱好者合计(2)该健身机构在今年年底将针对全部的150名会员举办消费返利活动，预设有如下两种方案.方案1：按分层抽样从健身爱好者和健身达人中总共抽取20位“幸运之星”给予奖励.其中，健身爱好者和健身达人中的“幸运之星”每人分别奖励500元和800元.方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球(球只有颜色不同)的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球.若摸到红球的总数为2，则可获得100元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励.如果每位健身爱好者均可参加1次摸奖游戏；每位健身达人均可参加3次摸奖游戏(每次摸奖的结果相互独立).以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由.附：χ2=n(ad-bc)2a+bc+da+cb+d.α0.100.050.0250.0100.0050.001χα 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，“健身达人”与年龄无关(2)施行方案1投资较少，理由见解析【分析】(1)根据题意计算相关数据填好列联表，利用公式计算χ2，对照参考数据得出结论；(2)按分层抽样计算方案1奖励的总金额ξ1；方案2中，设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则η的可能取值为0,100,300，计算对应概率，得出分布列，数学期望Eη ，进而计算按照方案2奖励的总金额ξ2，比较ξ1,ξ2即可得出答案.【详解】(1)根据年轻人标准结合图1可得年轻人占比为80%，则年轻人人数为100×80%=80，非年轻人为20人，根据图2表格得健身达人所占比60%，所以其人数为100×60%=60，根据其中年轻人占比56，所以健身达人中年轻人人数为60×56=50，非年轻人为10人；健身爱好者人数为100-60=40，再通过总共年轻人合计为80人，则健身爱好者中年轻人人数为80-50=30，根据非年轻人总共为20人，健身爱好者中非年轻人人数为20-10=10，所以列联表为：年轻人非年轻人合计健身达人501060健身爱好者301040合计8020100零假设为H0：“健身达人”与年龄无关联，根据列联表中的数据，可得χ2=100×(50×10-30×10)280×20×60×40=2524≈1.042<3.841，依据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即“健身达人”与年龄无关.(2)方案1：按分层抽样从健身爱好者和健身达人中总共抽取20位“幸运之星”，则“幸运之星”中的健身爱好者和健身达人的人数分别为18.2%+21.8%×20=8,30.1%+19.2%+10.7%×20=12，按照方案1奖励的总金额为ξ1=8×500+12×800=13600(元).方案2：设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，全部的150名会员中的健身爱好者和健身达人的人数分别为18.2%+21.8%×150=60,30.1%+19.2%+10.7%×150=90，则η的可能取值为0,100,300.由题意，每摸球1次，摸到红球的概率为P =C 12C 15=25，所以P η=0 =C 0335 325 0+C 1335 225 1=81125，P η=100 =C 2335 125 2=36125，P η=300 =C 3335 025 3=8125.所以η的分布列为：η0100300P81125361258125数学期望为E η =0×81125+100×36125+300×8125=48(元)，按照方案2奖励的总金额为ξ2=60+3×90 ×48=15840(元)，因为由ξ1<ξ2，所以施行方案1投资较少.10.(2023·云南昭通·校联考模拟预测)为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行临床人体试验.研究人员将疫苗注射到200名志愿者体内，一段时间后测量志愿者的某项指标值，按0,20 ，20,40 ，40,60 ，60,80 ，80,100 分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现志愿者体内产生抗体的共有160人，其中该项指标值不小于60的有110人.假设志愿者注射疫苗后是否产生抗体相互独立.(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及小概率值α=0.05的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关.抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40名志愿者进行第二次注射疫苗，结果又有m 名志愿者产生抗体.(i )用频率估计概率，已知一名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的概率p =0.9，求m 的值；(ⅱ)以(i )中的概率p 作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，再进行另一组人体接种试验，记110名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X，求P X=k最大时的k的值.参考公式：χ2=n ad-bc2a+bc+da+cb+d(其中n=a+b+c+d为样本容量).α0.500.400.250.150.1000.0500.025xα0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024【答案】(1)列联表见解析，认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关；(2)(i)20；(ⅱ)99.【分析】(1)完善列联表，计算χ2的观测值，再与临界值表比对作答.(2)(i)利用对立事件、相互独立事件的概率公式求解作答；(ⅱ)利用二项分布的概率公式，列出不等式组并求解作答.【详解】(1)由频率分布直方图，知200名志愿者按指标值分布为：在[0,20)内有0.0025×20×200=10 (人)，在[20,40)内有0.00625×20×200=25(人)，在[40,60)内有0.00875×20×200=35(人)，在[60,80)内有0.025×20×200=100(人)，在80,100内有0.0075×20×200=30(人)，依题意，有抗体且指标值小于60的有50人，而指标值小于60的志愿者共有10+25+35=70人，则指标值小于60且没有抗体的志愿者有20人，指标值不小于60且没有抗体的志愿者有20人，所以2×2列联表如下：抗体指标值合计小于60不小于60有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设H0：注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60无关联，根据列联表中数据，得χ2=200×(50×20-20×110)2160×40×70×130≈4.945>3.841，根据小概率值α=0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.(2)(i)令事件A=“志愿者第一次注射疫苗产生抗体”，事件B=“志愿者第二次注射疫苗产生抗体”，事件C=“志愿者注射2次疫苗后产生抗体”，记事件A,B,C发生的概率分别为P(A),P(B),P(C)，则P A=160200=0.8,P B =m40,P C =1-P AP B=1-0.2×1-m40=0.9，解得：m=20，所以m=20.(ⅱ)依题意，随机变量X∼B(110,0.9)，P(X=k)=C k110×0.9k×0.1110-k(k∈N,k≤110)，显然P(X=0),P(X=110)不是最大的，即当P(X=k)最大时，k∈N∗,k<110，于是P(X=k)≥P(X=k-1)P(X=k)≥P(X=k+1)，即C k110×0.9k×0.1110-k≥C k-1110×0.9k-1×0.1111-kC k110×0.9k×0.1110-k≥C k+1110×0.9k+1×0.1109-k，则110!k!(110-k)!×0.9≥110!(k-1)!(111-k)!×0.1110!k!(110-k)!×0.1≥110!(k+1)!(109-k)!×0.9，整理得9(111-k)≥kk+1≥9(110-k)，解得98910≤k≤99910，因此k=99，所以P(X=k)最大时，k的值为99.11.(2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模)首批全国文明典范城市将于2023年评选，每三年评选一次，2021年长沙市入选为全国文明典范城市试点城市，目前我市正全力争创首批全国文明典范城市，某学校号召师生利用周末从事创建志愿活动.高一(1)班一组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宣传员、文明监督员三项可供选择，每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为12；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为12，每人每参加1项活动可获得综合评价10分，选择参加几项活动彼此互不影响，求：(1)在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；(2)记随机选取的两人得分之和为X，求X的期望．【答案】(1)8 9(2)E X =1303【分析】(1)根据条件概率求解即可；(2)先求出参加人数的分布列及期望，再根据参加人数与得分的关系求出得分的期望即可.【详解】(1)设事件A为：“至少有一名女生参加活动”，设事件B为：“恰有一名女生参加活动”.则P AB=C14⋅C12C26=815，P A =1-C24C26=35.所以在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率为：P B A=P ABP A=89；(2)因为女生参加活动得分为12×10+12×20=15；男生参加活动得分为12×20+12×30=25.设恰有Y名女生参加活动，则有2-Y名男生参加活动，所以P Y=0=C24C26=25，P Y=1=C14⋅C12C26=815，P Y=2=C22C26=115，所以E Y=1×815+2×115=23，又X=15Y+252-Y=50-10Y，所以E X=50-10E Y=50-10×23=1303.12.(2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测)为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动．活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答．假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是34且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成．(1)求小明至少正确完成其中3道题的概率；(2)设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望；(3)现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛(活动规则不变)会更好，并说明理由．【答案】(1)189256(2)分布列见解析，3(3)选择小宇，理由见解析【分析】(1)小明至少正确完成其中3道题包含两种情况：一是小明正确完成3道题，二是小明正确完成4道题，然后由互斥事件的概率公式求解即可；(2)由题意得X 的可能取值为2，3，4，然后求各自对应的概率，从而可求出X 的分布列及数学期望；(3)分别计算出他们两人至少完成其中3道题的概率，通过比较概率的大小可得答案.【详解】(1)记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A ，则P A =C 3434 314+C 4434 4=189256．(2)X 的可能取值为2，3，4P X =2 =C 22C 26C 48=1570=314，P X =3 =C 12C 36C 48=4070=47，P X =4 =C 02C 46C 48=1570=314，X 的分布列为；X 234P31447314数学期望E X =2×314+3×47+4×314=3．(3)由(1)知，小明进入决赛的概率为P A =189256；记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B ，则P B =47+314=1114；因为P B >P A ，故小宇进决赛的可能性更大，所以应选择小宇去参加比赛．13.(2023·广东·校联考模拟预测)某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.(1)若甲第一关通过的概率为23，第二关通过的概率为56，求甲可以进入第三关的概率；(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励.①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由；②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.附：若随机变量Z ∼N μ,σ2 ，则P μ-σ≤X ≤μ+σ ≈0.6827；P μ-2σ≤X ≤μ+2σ ≈0.9545；P μ-3σ≤X ≤μ+3σ ≈0.9973.【答案】(1)7081。
(完整版)自考概率论与数理统计复习资料要点总结
i《概率论与数理统计》复习提要(1) 0 P(A) 1 ( 2)P( ) 1(1) 定义：若 P(B) 0,则 P(A| B)P(AB)P(B)(2)乘法公式：P(AB) P(B)P(A| B)若B 1, B 2, B n 为完备事件组，P(B i )0，则有n(3)全概率公式： P(A) P(B i )P(A| B i )i 1(4)Bayes 公式： P(B k | A)P(Bk)P(A|B k)P(B i )P(A|BJi 17.事件的独立性：A, B 独立 P( AB) P(A)P(B)(注意独立性的应用)第二章随机变量与概率分布1 •离散随机变量：取有限或可列个值，P(X x i ) p i 满足(1) p i 0 , (2) p i =11.事件的关系 AB A B AB A B AAB2.运算规则(1)A B BA ABBA(2) (AB) CA (BC)(AB)C A(BC)(3) (AB)C (AC) (BC) (AB) C (A C)(B(4) AB ABABAB第一章随机事件与概率3•概率P(A)满足的三条公理及性质: C)(4) P() 0 (5) P(A) 1 P(A)(6) P(A B) P(A) P(AB) ，若 A B , 则P(BA) P(B) P(A) ,P(A) P(B)(7) P(A B) P(A) P(B) P(AB)(8) P(ABC) P(A) P(B) P(C)P(AB)P(AC) P(BC)P(ABC)n(3)对互不相容的事件 A l , A 2, , A n ，有P( A k )k 1k 1(n 可以取)4. 古典概型：基本事件有限且等可能5. 几何概率6. 条件概率P(A k )(3)对任意D R, P(X D) p:X i D2.连续随机变量：具有概率密度函数f (x)，满足(1) f (x) 0, f(x)dx 1 ；b(2) P(a X b) f (x)dx ； ( 3)对任意a R，P(X a) 0a4.分布函数F(x) P(X x)，具有以下性质(1)F( ) 0, F( ) 1 ; (2)单调非降；(3)右连续；(4)P(a X b) F(b) F(a)，特别P(X a) 1 F(a)；(5)对离散随机变量，F(x) P i ；i:为x(6)对连续随机变量，F(x) x'f(t)dt为连续函数，且在f (x)连续点上，F (x) f (x)5.正态分布的概率计算以(x)记标准正态分布N (0,1)的分布函数，则有(1)(0) 0.5 ; (2)(2 x x) 1 (x) ； (3)若X ~ N(,)，则F(x) ((4)以u记标准正态分布N(0,1)的上侧分位数，则P(X u ) 1 (u )6.随机变量的函数Y g(X)(1)离散时，求Y的值，将相同的概率相加；(2)X连续，g(x)在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则f Y(y) f x(g 1(y)) |(g 1(y))' |单调，先求分布函数，再求导。
14-15（一）概率统计（多概率）复习资料
14-15（⼀）概率统计（多概率）复习资料14-15（⼀）概率统计(多概率)复习资料⼀、填空题（'105'2=?）1. 古典概型（第⼀章）例：（1）2013-2014期末A ⼀1：掷两枚质地均匀的骰⼦，则点数之和为4的概率P = 1/12 .（2）2012-2013期末A ⼆1：袋中有3⽩1红共4只质量、⼤⼩相同的球，甲先任取⼀球，观察后放回；然后⼄再任取⼀球，则⼆⼈取相同颜⾊球的概率为（① 1016）（3）检2⼀1,2,3⼆.检4⼆2.2. 分布列和概率密度（第⼆章）例：（1）2012-2013期末A ⼀4：若随机变量X 的概率密度为 (),()x f x ae x -=-∞<<+∞，则=a 0.5 ；(0)P X == 0 .(2) 检5⼀3: 若随机变量X 的概率密度为 41,0()40,0x e x f x x -?>?=??≤?，则(4)P X ≤= ；(48)P X <<= .（3）检4⼀⼆1，3.检5⼀⼆.检7⼀⼆.检8⼀4.3. 数学期望与⽅差（第三章）例：（1）2013-2014期末A ⼀3,4：3.若随机变量X 服从泊松分布)(λP ，已知=)(X E 1,则λ= 1 , (2)D X = 4 .4.已知两个相互独⽴随机变量)9.0,10(~B X ，)1(~e Y ,则=-)2(Y X E 7 ，()D X Y -= 1.9 .（2）2012-2013期末A ⼀3,5：3. 若随机变量X 的概率函数为1.03.03.02.01.043210p X ，则()3P X >= 0.1 ；()E X = 2.1 .5. 若相互独⽴的随机变量X 与Y 满⾜1)(=X D ，4)(=Y D ，则=-)2(Y X D 8 .（3）检8⼀1,2,3,5,⼆三1.检11⼀1.检13⼀2.4. 协⽅差（第三章）例：（1）2013-2014期末A ⼀5：若~N(0,1),Y ~N(0,1)X ，相关系数41),(-=Y X R ，则(,)cov X Y =-1/4 ；=+)2(Y X D 4 . （2）检9⼆2：随机变量X 与Y 相互独⽴是0),cov(=Y X 的（充分）条件.（3）检9⼀2,3,⼆2.检11⼆3.5. 未知参数的矩估计（第六章）例：（1）检15⼀1：设总体~(6,)X B p ,n X X X ,,,21 为来⾃总体X 的样本，则未知参数p 的矩估计量为．（2）检15三2：设连续总体X 的概率密度函数为1,01( )0,x x f x θθθ-?<<=??；其他其中0θ>.n X X X ,,,21 为来⾃总体X 的样本，求未知参数θ的矩估计量.⼆、选择题（'155'3=?）1. 随机变量的分布函数（第⼆章）例：（1）2013-2014期末A ⼆3：若随机变量X 的分布函数为)(x F ，则以下结论⼀定正确的是（ A ）.（2012-2013期末A ⼆2类似）A ．()()()P a X b F b F a <≤=-；B ．()()()P a X b F b F a <<=-；C ． ()()()P a X b F b F a <<≠-；D ． ()0P X a ==（2）检4⼆1：设随机变量X 的分布列为01230.10.30.40.2X p ,)(x F 为其分布函数，则)2(F = ( ③ ) ① 0.2 ② 0.4 ③ 0.8 ④ 1（3）检7⼆1：设X 的分布函数为)(x F ，则随机变量函数13+=X Y 的分布函数为①① 1()3y F -；② )13(+y F ；③ 1)(3+y F ；④ 31)(31-y F 2. 相关系数（第三章）例：（1）2012-2013期末A ⼆3：若随机变量X 与Y ⽅差存在，且满⾜1Y X =-，则相关系数=),(Y X R （②）① 1；② -1；③ 0.5；④ -0.5.3. 正态分布（第四章）例：（1）检11⼆1,2：1. 设随机变量2(,)X N µσ，则随σ的增⼤，概率{}P X µσ-<应（③）.①单调增⼤；②单调减少；③保持不变；④增减不定.2. 设随机变量X 的概率密度为2(3) 4()x f x e +-=则服从标准正态分布的随机变量是（②）.① 32X +；②；③ 32X -；④. 4. 统计量的分布（第五章）例：（1）2013-2014期末A ⼆2：设随机变量~(2)X t ，则2X 服从__B _．A ．()22χB ．()1,2FC ．()2,2FD ．()2,1F（2）2012-2013期末A ⼆5：设总体2~(,)X N µσ，X 为该总体的样本均值，则()P X µ>__④__．①14< ② 14= ③ 12> ④ 12= （3）检14⼀⼆（尤其注意⼀1⼆2）.5. 待定例：有可能是条件概率和概率乘法公式；随机变量函数的分布；连续性随机变量概率密度；切⽐雪夫不等式；中⼼极限定理；最⼤似然估计；估计量的⽆偏性等（1）2013-2014期末A ⼀6：设123,,X X X 为来⾃总体X 的样本，123()X X X µθ=++是总体均值µ的⽆偏估计量，则θ= 1/3 ．（2）检5⼆1,检10全部,检12⼆,检15⼆.三⾄九（或⼗）、计算与证明题（'75）1. 条件概率和概率乘法公式。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)
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总复习一、填空题（每题3分）1、已知事件A 与B 独立，且5.0)(=A P ，7.0)(=B P ，则=)(AUB P2、设X 服从正态分布)3.2(2N ，且21C) X (=≤P ，则=C 3、设每次试验中成功的概率为P )1(<<P o ，则在二次重复独立试验中，至少失败一次的概率为 。
4、评价估计量优劣的三条标准是无偏性，一致性和 性。
5、已知随机变量X 服从),(2σμN ，则X 的概率密度函数为6、设X 1，…，X n 是总体X 的一个样本,且X 的期望μ=EX 和方差2σ=DX 均未知，则2σ的无偏估计是=∧2σ7、设X 服从二项分布),(p n B ，则)(X E =8、若X 与Y 独立，且6)(=X D ，3)(=Y D ，则)2(Y X D -=9、设X 服从),(2σμN ，则≤≥-)3(σμX P10、一口袋中装有8只球，在这6只球上分别标有-1,1,1，1,1,3,,3，3这样的数字，现从这只口袋中任取一球，用随机变量X 表示取得的球上标明的数字，求:（1）X 的概率分布律；（2）X 的概率分布函数；（3）)34(-X E .11.袋中有4个乒乓球, 其中3个是黄球, 1个是白球. 今有两人依次随机地从袋中各取一球, 取后不放回, 则第2个人取得黄球的概率是 . 12、对事件,A B 和C ,已知1()()()5P A P B P C ,()()0P AB P BC ,1()8P AC ,则,A B ,C 中至少有一个发生的概率是_________.13、已知随机变量X 在区间[ 5，15 ]上服从均匀分布，则EX= .14、中心极限定理告诉我们，若随机变量X 服从参数为1000，0.06的二项分布，则X 也近似服从参数为___ __和______的正态分布.15、设(X 1,X 2,...,X n )是取自正态总体N (μ,σ2)的简单随机样本,统计量∑==n i i X n T 121，则T 的数学期望ET=16、设X 表示独立射击目标10次所击中目标的次数，每次击中的概率为0.3，则X 2的数学期望E(X 2)= ．17、设随机变量X 服从正态分布N(2,0.22),已知标准正态分布函数值 Φ(2.5)=0.9938,则P{2<X<2.5}=___ .18、设随机变量X 和Y 满足DX =25, DY =9, ρXY =0.4, 则D (X-Y) =19 、设总体X 的概率密度为,,020)(⎩⎨⎧<<=其它x Ax x f 则A=20、若随机变量X 服从参数为1=λ的分布，则大数定律告诉我们：∑=ni i X n 11依概率收敛于21 ，设总体X 服从),(2σμN 分布，X 1，…，X n 是X 的一个样本，则统计量n / X σμ- 服从分布;)(1_1222X XS nni i-=∑=οο 服从 分布；212)(1μο-∑=ni iX服从 分布二，单选1 .若随机变量X 具有性质)()(X D X E =，则X 服从 分布 a 、正态 b 、二项 c 、泊松 d 、均匀2、若)()(1)(B P A P B A P -=+，则A 与B a 、互不相容 b 、独立c 、为对立事件d 、为任意事件3、设随机变量X 服从)2,1(2N ，12-=X Y ，则Y 服从 分布 a 、)4,2(2N b 、)4,1(2N c 、)4,1(N d 、)4,2(N4、设A 与B 为两个随机事件，若0)(=AB P ，则下列命题正确的是 a 、A 、B 互不相容 b 、AB 未必是不可能事件 c 、A ，B 独立 d 、0)(=A P 或0)(=B P5、从总体X 中抽取样本X ，X 2，若X 服从)1,(θN 分布，则θ的估计量中，最有效的是a 、217671X X + b 、212121X X + c 、215451X X + d 、216561X X +6、“A 、B 、C 三事件恰有一个发生”可表为 a 、C U B U A b 、C B Ac 、ABCd 、C B A C B A C B U U A7、5.0)(=A P ，8.0)(=B P ，9.0)(=AUB P ，则B A 与的关系是 a 、互不相容 b 、独立 c 、B A ⊃ d 、A B ⊃8、设随机变量X 服从分布， 则2)] X [E() X (=D a 、均匀 b 、标准正态 c 、二项 d 、泊松9、设),(y x F 是随机变量Y), X (的分布函数，则下列式子 成立。
a 、0)1,(=-∞Fb 、1),1(=+∞Fc 、0)0,0(=Fd 、1),0(=+∞F10，设),(y x F 是随机变量Y), X (的分布函数，则下列式子 成立。
a 、1)(0≤≤x Fb 、当21x x <时，)()(21x F x F <c 、0).(>x Fd 、1)(=⎰+∞∞dx x F11，对于两个随机变量X 和Y ，若)()()(Y E X E XY E =则a 、X 和Y 独立，b 、X 和Y 不独立，c 、 )()()(Y D X D XY D =d 、 )()()(Y D X D Y X D +=+ 12， B A 与互不相容, 且0)(≠A P ，0)(≠B P 则a 、--B A 与互不相容, b 、0)(>BA Pc 、 )()()(B P A P AB P =d 、)()(_A PB A P =13、已知X 和Y 独立，且6) X (=D ，3(Y) D =，则Y)- 2(X D = a 、9 b 、15c 、21d 、2714、“A 、B 、C 三事件恰有一个发生”可表为 a 、C U B U A b 、C B Ac 、ABCd 、C B A C B A C B U U A15、设A 表示事件”洗衣机产品畅销,冰箱产品滞销”,则其对立事件A 为______.A. 洗衣机产品滞销B. 洗衣机产品畅销,冰箱产品畅销C. 洗衣机产品滞销或冰箱产品畅销D. 洗衣机产品滞销,冰箱产品畅销 16、任何一个连续型随机变量的概率密度)(x ϕ一定满足 A 、1)(0≤≤x ϕ. B 、0)(=x ϕ. C 、1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ. D 、0)(>x ϕ17、设X,Y 是两个相互独立的随机变量,且都服从参数为p(0<p<1)的(0--1)分布,则有( ).A. 2()P X Y p ==B. 22()(1)P X Y p p ==+- C ．X=Y D. P(X=Y)=118、设样本(X 1,X 2,...,X n )取自总体X ，而且总体X 的期望μ，方差σ2均未知,则下列统计量可作为σ2 的无偏估计。
(A) ∑=--n i i X n 12)(11μ (B) ∑=n i i X n 121 (C) ∑=--n i i X X n 12)(11 (D) ∑=-n i i X X n 12)(1 19、随机变量X 有密度函数⎩⎨⎧>=-其它003)(3x e x f x,则 EX=A 、⎰+∞∞--⋅dx e x x 33 B 、⎰+∞-033dx e xC 、 3D 、1/320、设(X 1,X 2,...,X n )是取自正态总体N (μ,σ2)的简单随机样本，则样本均值X ~(A) N(0,1) (B).N(μ,σ2) (C). N(0,σ2) (D).N(μ, n2σ)三，计算与应用1设总体X 的概率密度为,,0102)(⎩⎨⎧<<=其它x x x f 求随机变量2x-1;的密度函数:2、袋中有3个白球、7个黑球，每次从袋中任取一球，取出的球不再放回，求第二次取出的球与第一次取出的球的颜色相同的概率。
3、设随机变量X 的概率分布律为：α0.3 0.5 P 5 4 3x X ， 且5.5)(=X E ，求α和3x 的值。
4、设二维随机变量（X ，Y ）分布求（1）α=？ （2）EX （3）判定X 与Y 的独立性。
5， 设总体X 的概率密度为,,010,)1()(⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它x x x f αα其中1->a 是未知数，n X X X ,,,21 是取自X 的样本, 求参数α的矩估计和最大似然估计.解 数学期望是一阶原点矩⎰+==11)1()(dx x X E ααμ,21)1(11++=+=⎰+ααααdx x6，某公司生产的机器其无故障工作时间 X 有密度函数 f( x) = 1 x 2 , x ≥1; 0, 其他. (单位:万小时)公司每售出一台机器可获利 1 600 元,若机器售出后使用 1. 2 万小时之内出故 障,则应予以更换,这时每台亏损 1 200 元;若在 1. 2 到 2 万小时之间出故障,则 予以维修,由公司负担维修费 400 元;在使用 2 万小时以后出故障,则用户自己 负责.求该公司售出每台机器的平均获利.解 设 Y 表示售出一台机器的获利.则 Y 是 X 的函数,即 Y = g( X) =- 1 200, 0≤X < 1. 2;1 600 - 400 = 1 200, 1. 2≤X≤2;1 600, X > 2.于是E( Y) = E( g( X)即该公司售出每台机器平均获利1 000 元.7，在人寿保险公司里有3 000 个同龄的人参加人寿保险.在1 年内每人的死亡率为0. 1 % ,参加保险的人在1 年的第一天交付保险费10 元,死亡时家属可以从保险公司领取2 000 元.试用中心极限定理求保险公司亏本的概率解设死亡人数为( ) 001 . 0 , 3000 ~ , B X X ，保险公司亏本当且仅当3000 10 2000 ×> X ，即15 > X 。
于是，由棣莫弗—拉普拉斯定理，公司亏本的概率为8. 设D( X) = 25, D( Y) = 36,ρX, Y = 0. 4,求(1) D( X + Y),(2) D( X - Y).9. 设随机变量X, Y 相互独立, X～N(1,1), Y～N( - 2,1),求E(2 X + Y), D(2 X + Y) 10．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。
如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间A , B,C生产的概率。
解12. 一口袋中有6 个球，在这6 个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2 这样的数字。
从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X 的分布律与分布函数。