2022年中考数学二次函数压轴突破 专题02 将军饮马模型(教师版含解析)
将军饮马模型考情分析：通过全国中考试题分析来看，将军饮马的模型多出现在中考二次函数压轴题第二问中出现，难度不大，但需要注意对称点的选择，动点通常在对称轴上，而且已知定点中往往有一个与x 轴的交点.考法主要有以下几种：1.求取最小值时动点坐标2.求最小值.3.求三角形或四边形周长最小值.模型一：两定点一动点如图，A,B 为定点，P 为l 上动点，求AP+BP 最小值解析：作点A 关于直线的对称点A'，连接P A'，则P A '=P A ，所以P A +PB =P A '+PB当A'、P 、B 三点共线的时候，P A'+PB =A'B ，此时为最小值(两点之间线段最短)PBAA 'ABP 折点端点A 'P BA如图，P 为定点，M 、N 分别为OA 和OB 上的动点，求△PMN 周长最小值解析：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点，则△PMN 的周长为PM +MN +NP =P'M +MN +NP ''，当P '、M 、N 、P ''共线时，△PMN 周长最小．模型三：两定点两动点如图，P 、Q 为两定点，M 、N 分别为OA 、OB 上的动点，求四边形PQMN 的最小值.解析：∵PQ 是条定线段，∴只需考虑PM +MN +NQ 最小值即可， 分别作点P 、Q 关于OA 、OB 对称， PM +MN +NQ =P 'M +MN +NQ '，当P '、M 、N 、Q '共线时，四边形PMNQ 的周长最小。
BBBB如图，P 为定点，M 、N 分别为OA 、OB 上的动点，求PM +MN 最小值。
解析：作点P 关于OA 对称的点P '，PM +MN =P 'M +MN ，过点P '作OB 垂线分别交OA 、OB 于点M 、N ， 得PM +MN 最小值(点到直线的连线中，垂线段最短)模型五：将军饮马有距离例一、如图，A 、D 为定点，B 、C 为直线l 上两动点，BC 为定值，求AB+BC+CD 最小值？解析：BC 为定值，只需求AB+CD 最小即可；平移AB 至CE ,则变成求CE+CD 的最小值，基本将军饮马的模型例二、如图，A 、D 为定点，B 、C 为直线l 1 、l 2上两动点，BC ⊥l 1，求AB+BC+CD 最小值？解析：BC 为定值，只需求AB+CD 最小即可；BB平移CD至BE，则变成求AB+BE最小，基本将军饮马.经典例题剖析：例一：如图1(注：与图2完全相同)，在直角坐标系中，抛物线经过点(1,0)A、(5,0)B、(0,4)C三点．(1)求抛物线的解析式和对称轴；(2)P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA PC+的值为最小的点P坐标(请在图1中探索)；【分析】(1)将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：2(1)(5)(65)y a x x a x x=--=-+，即可求解；(2)连接B、C交对称轴于点P，此时PA PC+的值为最小，即可求解；【解答】解：(1)将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：2(1)(5)(65)y a x x a x x=--=-+，则54a=，解得：45a=，抛物线的表达式为：224424(65)4555y x x x x=-+=-+，函数的对称轴为：3x=，顶点坐标为16(3,)5-；(2)连接B、C交对称轴于点P，此时PA PC+的值为最小，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y kx b=+得：054k bb=+⎧⎨=⎩，解得：454kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，直线BC的表达式为：445y x=-+，当3x =时，85y =， 故点8(3,)5P ；例二：如图，直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，抛物线2y x bx c =-++经过点B 、C ，与x 轴另一交点为A ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)在x 轴上找一点E ，使EC ED +的值最小，求EC ED +的最小值；【分析】(1)直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，则点B 、C 的坐标分别为(3,0)、(0,3)，将点B 、C 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；(2)如图1，作点C 关于x 轴的对称点C '，连接CD '交x 轴于点E ，则此时EC ED +为最小，即可求解； 【解答】解：(1)直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，则点B 、C 的坐标分别为(3,0)、(0,3)， 将点B 、C 的坐标代入二次函数表达式得：9303b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，故函数的表达式为：223y x x =-++，令0y =，则1x =-或3，故点(1,0)A -； (2)如图1，作点C 关于x 轴的对称点C '，连接CD '交x 轴于点E ，则此时EC ED +为最小，函数顶点D 坐标为(1,4)，点(0,3)C '-，将C '、D 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线C D '的表达式为：73y x =-， 当0y =时，37x =， 故点3(7E ，0)，则EC ED +的最小值为DC '=例三：如图，以D 为顶点的抛物线2y x bx c =-++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为3y x =-+． (1)求抛物线的表达式；(2)在直线BC 上有一点P ，使PO PA +的值最小，求点P 的坐标；【分析】(1)先求得点B 和点C 的坐标，然后将点B 和点C 的坐标代入抛物线的解析式得到关于b 、c 的方程，从而可求得b 、c 的值；(2)作点O 关于BC 的对称点O '，则(3,3)O '，则OP AP +的最小值为AO '的长，然后求得AO '的解析式，最后可求得点P 的坐标；【解答】解：(1)把0x =代入3y x =-+，得：3y =，(0,3)C ∴． 把0y =代入3y x =-+得：3x =，(3,0)B ∴，将(0,3)C 、(3,0)B 代入2y x bx c =-++得：9303b c c -++=⎧⎨=⎩，解得2b =，3c =．∴抛物线的解析式为223y x x =-++．(2)如图所示：作点O 关于BC 的对称点O '，则(3,3)O '． O '与O 关于BC 对称，PO PO ∴='．OP AP O P AP AO ∴+='+'．∴当A 、P 、O '在一条直线上时，OP AP +有最小值．设AP 的解析式为y kx b =+，则033k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得：34k =，34b =．AP ∴的解析式为3344y x =+． 将3344y x =+与3y x =-+联立，解得：127y =，97x =，∴点P 的坐标为9(7，12)7．例四：如图，抛物线2y ax bx c =++的图象过点(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得PAC ∆的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及PAC ∆的周长；若不存在，请说明理由；【分析】(1)由于条件给出抛物线与x 轴的交点(1,0)A -、(3,0)B ，故可设交点式(1)(3)y a x x =+-，把点C 代入即求得a 的值，减小计算量．(2)由于点A 、B 关于对称轴：直线1x =对称，故有PA PB =，则PAC C AC PC PA AC PC PB ∆=++=++，所以当C 、P 、B 在同一直线上时，PAC C AC CB ∆=+最小．利用点A 、B 、C 的坐标求AC 、CB 的长，求直线BC 解析式，把1x =代入即求得点P 纵坐标．【解答】解：(1)抛物线与x 轴交于点(1,0)A -、(3,0)B ∴可设交点式(1)(3)y a x x =+- 把点(0,3)C 代入得：33a -=1a ∴=-2(1)(3)23y x x x x ∴=-+-=-++∴抛物线解析式为223y x x =-++(2)在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PAC ∆的周长最小． 如图1，连接PB 、BC点P 在抛物线对称轴直线1x =上，点A 、B 关于对称轴对称PA PB ∴=PAC C AC PC PA AC PC PB ∆∴=++=++当C 、P 、B 在同一直线上时，PC PB CB +=最小 (1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C221310AC ∴=+=，223332BC =+=1032PAC C AC CB ∆∴=+=+最小设直线BC 解析式为3y kx =+把点B 代入得：330k +=，解得：1k =-∴直线:3BC y x =-+132P y ∴=-+=∴点(1,2)P 使PAC ∆的周长最小，最小值为1032+专题训练1．(2020秋•马山县期中)如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点A 、(1,0)B ，与y 轴交于点C ，直线122y x =-经过点A 、C ．抛物线的顶点为D ，对称轴为直线l ． (1)求抛物线的解析式；(2)设点G 是y 轴上一点，是否存在点G ，使得GD GB +的值最小，若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)利用一次函数的性质求得点A 、C 的坐标，然后把点A 、B 、C 的坐标分别代入二次函数解析式，利用待定系数法求得二次函数解析式；(2)利用轴对称-最短路径方法得点G ，先计算B D '的解析式，令0x =可得点G 的坐标． 【解答】解：(1)如图1，对于直线122y x =-，令0y =，得4x =，令0x =，得2y =-，∴点(4,0)A ，点(0,2)C -，将(4,0)A ，(1,0)B ，(0,2)C -代入抛物线解析式得：164002a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得：12522a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，∴抛物线解析式为215222y x x =-+-；(2)存在．如图3，取点B 关于y 轴的对称点B '，则点B '的坐标为(1,0)-，连接B D '，直线B D '与y 轴的交点G 即为所求的点．22151592()22228y x x x =-+-=--+，∴顶点5(2D ，9)8，设直线B D '的解析式为(0)y kx d k =+≠， 则05928k d k d -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：928928k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线B D '的解析式为992828y x =+， 当0x =时，928y =， ∴点G 的坐标为9(0,)28． 2．(2019•遵义)如图，抛物线21:2C y x x =-与抛物线22:C y ax bx =+开口大小相同、方向相反，它们相交于O ，C 两点，且分别与x 轴的正半轴交于点B ，点A ，2OA OB =．(1)求抛物线2C 的解析式；(2)在抛物线2C 的对称轴上是否存在点P ，使PA PC +的值最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由；【分析】(1)1C 、22:C y ax bx =+开口大小相同、方向相反，则1a =-，将点A 的坐标代入2C 的表达式，即可求解；(2)作点C 关于1C 对称轴的对称点(1,3)C '-，连接AC '交函数2C 的对称轴于点P ，此时PA PC +的值最小，即可求解；【解答】解：(1)令：220y x x =-=，则0x =或2，即点(2,0)B ，1C 、22:C y ax bx =+开口大小相同、方向相反，则1a =-，则点(4,0)A ，将点A 的坐标代入2C 的表达式得：0164b =-+，解得：4b =，故抛物线2C 的解析式为：24y x x =-+；(2)联立1C 、2C 表达式并解得：0x =或3，故点(3,3)C ，作点C 关于2C 对称轴的对称点(1,3)C '，连接AC '交函数2C 的对称轴于点P ，此时PA PC +的值最小为：线段AC '的长度=此时点(2,2)P ；3．(2020秋•金乡县期中)如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点(0,3)C -，A 点的坐标为(1,0)-．(1)求二次函数的解析式；(2)若Q 为抛物线对称轴上一动点，当Q 在什么位置时QA QC +最小，求出Q 点的坐标，并求出此时QAC ∆的周长．【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接BC 交函数对称轴于点Q ，连接AQ ，则此时QAC ∆的周长最小，进而求解．【解答】解：(1)(1,0)A -，(0,3)C -在2y x bx c =++上， 则103b c c -+=⎧⎨=-⎩，解得23b c =-⎧⎨=-⎩， ∴二次函数的解析式为223y x x =--；(2)点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接BC 交函数对称轴于点Q ，连接AQ ，则此时QAC ∆的周长最小，理由：QAC ∆的周长AC AQ QC AB AQ QC BC CQ =++=++=+为最小，由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为3y x =-，当1x =时，32y x =-=-，即点(1,2)Q -，则QAC ∆的周长最小值BC AC =+==．4．(2020秋•房县期中)如图，抛物线213y x mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点(0,1)C -，且对称轴1x =．(1)求出抛物线的解析式及A ，B 两点的坐标；(2)在对称轴上方是否存在点D ，使三角形ADC 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标；若不存在．说明理由(使用图1)；【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)连接CB 交对称轴于点D ，此时三角形DAC 周长最小，进而求解；【解答】解：(1)抛物线与y 轴交于点(0,1)C -，且对称轴x l =， 则11231m n -⎧-=⎪⎪⨯⎨⎪=-⎪⎩，解得231m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴抛物线解析式为212133y x x =--， 令2121033y x x =--=，得：11x =-，23x =， (1,0)A ∴-，(3,0)B ；(2)在对称轴上存在D 使三角形形DAC 的周长最小，连接CB 交对称轴于点D ，此时三角形DAC 周长最小．设BC 的解析式为y kx b =+，把(3,0)B 、(0,1)C -分别代入上式得：130b k b =-⎧⎨+=⎩，解得131k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 故直线BC 的解析式为113y x =-， 当1x =时，23y =-， 所以点D 的坐标为2(1,)3-； 5．(2020秋•青羊区校级期中)如图，抛物线25()2y a x h =-+经过点(1,0)A ，(0,3)C ． (1)求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；(2)如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得四边形PAOC 的周长最小？若存在，求出此时P 点坐标；若不存在，请说明理由；【分析】(1)根据函数的对称性即可求解；(2)A、B两点关于对称轴对称，连接BC交对称轴于点P，则P点即为所求，进而求解；【解答】解：(1)由抛物线表达式知，函数的对称轴为52x=，而点(1,0)A，根据点的对称性，则512(1)42xB=+⨯-=，故点B的坐标为(4,0)；(2)存在，理由：抛物线经过点(1,0)A，(4,0)B，A∴、B关于对称轴对称，如图1，连接BC，BC ∴与对称轴的交点即为所求的点P ，此时PA PC BC +=，∴四边形PAOC 的周长最小值为：OC OA BC ++，(1,0)A ，(4,0)B ，(0,3)C ，设直线BC 解析式为y kx n =+，把B 、C 两点坐标代入可得403k n n +=⎧⎨=⎩，解得343k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为334y x =-+， 由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为52x =， 当52x =时，39348y x =-+=， 故点P 的坐标为5(2，9)8； 6．(2019•柳州)如图，直线3y x =-交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，点B 的坐标为(1,0)，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过A ，B ，C 三点，抛物线的顶点为点D ，对称轴与x 轴的交点为点E ，点E 关于原点的对称点为F ，连接CE ，以点F 为圆心，12CE 的长为半径作圆，点P 为直线3y x =-上的一个动点． (1)求抛物线的解析式；(2)求BDP ∆周长的最小值；【分析】(1)直线3y x =-，令0x =，则3y =-，令0y =，则3x =，故点A 、C 的坐标为(3,0)、(0,3)-，即可求解；(2)过点B 作直线3y x =-的对称点B '，连接BD 交直线3y x =-于点P ，直线B B '交函数对称轴与点G ，则此时BDP ∆周长BD PB PD BD B B =++=+'为最小值，即可求解；【解答】解：(1)直线3y x =-，令0x =，则3y =-，令0y =，则3x =，故点A 、C 的坐标为(3,0)、(0,3)-，则抛物线的表达式为：2(3)(1)(43)y a x x a x x =--=-+，则33a =-，解得：1a =-，故抛物线的表达式为：243y x x =-+-⋯①；(2)连接DB '交于直线于P ；此时三角形BDP 周长BD PB PD BD DB =++=+'为最小值，(2,1)D ，则点(2,1)G -，即：BG EG =，即点G 是BB '的中点，过点(3,2)B '-，BDP ∆周长最小值BD B D =+'7．(2019•荆州)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(6,0)，(4,3)，经过B ，C 两点的抛物线与x 轴的一个交点D 的坐标为(1,0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)若AOC ∠的平分线交BC 于点E ，交抛物线的对称轴于点F ，点P 是x 轴上一动点，当PE PF +的值最小时，求点P 的坐标；【分析】(1)由平行四边形OABC 的性质求点B 坐标，根据抛物线经过点B 、C 、D 用待定系数法求解析式．(2)由OE 平分AOC ∠易证得COE AOE OEC ∠=∠=∠，故有CE OC =，求得点E 坐标，进而求得直线OE 解析式．求抛物线对称轴为直线7x =，即求得点F 坐标．作点E 关于x 轴的对称点点E '，由于点P 在x 轴上运动，故有PE PE '=，所以当点F 、P 、E '在同一直线上时，PE PF PE PF FE ''+=+=最小．用待定系数法求直线E F '解析式，即求得E F '与x 轴交点P 的坐标．【解答】解：(1)平行四边形OABC 中，(6,0)A ，(4,3)C6BC OA ∴==，//BC x 轴610B C x x ∴=+=，3B C y y ==，即(10,3)B设抛物线2y ax bx c =++经过点B 、C 、(1,0)D∴10010316430a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得：19149139a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩∴抛物线解析式为211413999y x x =-+-(2)如图1，作点E 关于x 轴的对称点E '，连接E F '交x 轴于点P (4,3)C5OC ∴= //BC OAOEC AOE ∴∠=∠ OE 平分AOC ∠AOE COE ∴∠=∠OEC COE ∴∠=∠5CE OC ∴==59E C x x ∴=+=，即(9,3)E∴直线OE 解析式为13y x = 直线OE 交抛物线对称轴于点F ，对称轴为直线：149712()9x =-=⨯-7(7,)3F ∴点E 与点E '关于x 轴对称，点P 在x 轴上 (9,3)E '∴-，PE PE '= ∴当点F 、P 、E '在同一直线上时，PE PF PE PF FE ''+=+=最小 设直线E F '解析式为y kx h =+ ∴93773k h k h +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：8321k h ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线8:213E F y x '=-+ 当82103x -+=时，解得：638x = ∴当PE PF +的值最小时，点P 坐标为63(8，0)．。
中考数学常见几何模型专题09 最值模型-将军饮马(解析版)
专题09 最值模型---将军饮马最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，将军饮马问题是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：【最值原理】两点之间线段最短。
上图中A’是A关于直线m的对称点。
例1．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形ABCD的边长为2，45ABC∠=︒，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ PQ+的最小值为______．【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG 的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，mABmmABm菱形ABCD 的边长为2，45ABC ∠=︒，Rt BEC ∴中，EC =∴PQ +QC 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键．例2．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点P 为矩形ABCD 的对角线AC 上一动点，点E 为BC 的中点，连接PE ，PB ，若4AB =，BC =PE PB +的最小值为________．【答案】6【分析】作点B 关于AC 的对称点B '，交AC 于点F ，连接B E '交AC 于点P ，则PE PB +的最小值为B E '的长度；然后求出B B '和BE 的长度，再利用勾股定理即可求出答案．【详解】解：如图，作点B 关于AC 的对称点B '，交AC 于点F ，连接B E '交AC 于点P ，则PE PB +的最小值为B E '的长度；⊥AC 是矩形的对角线，⊥AB =CD =4，⊥ABC =90°，在直角⊥ABC 中，4AB =，BC =⊥tanAB ACB BC ∠===，⊥30ACB ∠=︒，由对称的性质，得2B B BF '=，B B AC '⊥，⊥12BF BC ==⊥2B B BF '==⊥BE EF ==60CBF ∠=︒，⊥⊥BEF 是等边三角形，⊥BE BF B F '==，⊥BEB '∆是直角三角形，⊥6B E '==，⊥PE PB +的最小值为6；故答案为：6．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P 使得PE PB +有最小值．例3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点，将△CDE 沿CE 翻折得△CME ，点M 落在四边形ABCE 内．点N 为线段CE 上的动点，过点N 作NP //EM 交MC 于点P ，则MN +NP 的最小值为________．【答案】85【分析】过点M 作MF ⊥CD 于F ，推出MN +NP 的最小值为MF 的长，证明四边形DEMG 为菱形，利用相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】解：作点P 关于CE 的对称点P ′，由折叠的性质知CE 是⊥DCM 的平分线，⊥点P ′在CD 上，过点M 作MF ⊥CD 于F ，交CE 于点G ，⊥MN +NP =MN +NP ′≤MF ，⊥MN +NP 的最小值为MF 的长，连接DG ，DM ，由折叠的性质知CE 为线段 DM 的垂直平分线，⊥AD =CD =2，DE =1，⊥CE⊥12CE ×DO =12CD ×DE ， ⊥DO ⊥EO ⊥MF ⊥CD ，⊥EDC =90°，⊥DE ⊥MF ，⊥⊥EDO =⊥GMO ，⊥CE 为线段DM 的垂直平分线，⊥DO =OM ，⊥DOE =⊥MOG =90°，⊥⊥DOE ⊥⊥MOG ，⊥DE =GM ，⊥四边形DEMG 为平行四边形，⊥⊥MOG =90°，⊥四边形DEMG 为菱形，⊥EG =2OE GM = DE =1，⊥CG ， ⊥DE ⊥MF ，即DE ⊥GF ，⊥⊥CFG ⊥⊥CDE ，⊥FG CG DE CE =，即1FG = ⊥FG =35，⊥MF =1+35=85， ⊥MN +NP 的最小值为85．故答案为：85． 【点睛】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键．例4．（2022·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营,A B ．他总是先去A 营，再到河边饮马，之后，再巡查B 营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点B 关于直线l 的对称点B '，连结AB '与直线l 交于点P ，连接PB ，则AP BP +的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线l 上另取任一点P '，连结'AP ，BP '，B P ''，⊥直线l 是点B ，B '的对称轴，点P ，P '在l 上，（1）⊥PB =__________，P B '=_________，⊥AP PB AP PB '+=+=____________．在AP B ''∆中，⊥AB AP P B ''''<+，⊥AP PB AP P B '''+<+，即AP BP +最小．【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点,A B 在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P 为AB '与l 的交点，即A ，P ，B '三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．【模型应用】（2）如图④，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 的中点，F 是AC 上一动点．求EF FB +的最小值．解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点B 与D 关于直线AC 对称，连结DE 交AC于点F，则EF FB+的最小值就是线段ED的长度，则EF FB+的最小值是__________．（3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为14cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_____cm．（4）如图⑥，在边长为2的菱形ABCD中，60ABC∠=︒，将ABD∆沿射线BD的方向平移，得到A B D'''∆，分别连接A C'，A D'，B C'，则A C B C''+的最小值为____________．模型2.平移型将军饮马（将军过桥模型）【模型解读】已知，如图1将军在图中点A 处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN 长度恒定，只要求AM +NB 最小值即可．问题在于AM 、NB 彼此分离，所以首先通过平移，使AM 与NB 连在一起，将AM 向下平移使得M 、N 重合，此时A 点落在A ’位置（图2 ）．问题化为求A ’N +NB 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．图1 图2 图3【最值原理】两点之间线段最短。
2022年中考数学复习专题 将军饮马模型解答题
将军饮马模型解答题1.问题背景:如图()a ,点B A 、在直线l 的同侧,要在直线l 上找一点C ,使AC 与BC 的距离之和最小,我们可以作出点B 关于l 的对称点B ',连接B A '与直线l 交于点C ,则点C 即为所求.（1）实践运用：如图()b ,已知,⊙O 的直径CD 为4,点A 在⊙O 上,︒=∠30ACD ,B 为弧AD 的中点,P 为直径CD 上一动点,则AP BP +的最小值为（2）知识拓展：如图()c ,在ABC Rt ∆中,10=AB ,︒=∠45BAC ,BAC ∠的平分线交BC 于点F E D 、、分别是线段AD 和AB 上的动点,求EF BE +的最小值,并写出解答过程.2.如图已知GH EF //，EF AC ⊥于点C ，EF BD ⊥于点D 交HG 于点K ．3=AC ，2=DK ，4=BK ．()1若6=CD ，点M 是CD 上一点，当点M 到点A 和点B 的距离相等时，求CM 的长； ()2若213=CD ，点P 是HG 上一点，点Q 是EF 上一点，连接QB PQ AP ,,，求QB PQ AP ++的最小值．3.边作等边BDE ∆，连接AD ，CD ．（1）求证：ADE CDB ∆≅∆；（2）若BC AC 边上找一点H ，使得BH EH +最小，并求出这个最小值．4.如图，将一副直角三角板拼放在一起得到四边形ABCD ，其中︒=∠45BAC ，︒=∠30ACD ，点E 为CD 边上的中点，连接AE ，将ADE ∆沿AE 所在直线翻折得到E AD '∆，E D '交AC 于F 点．若cm AB 26=．（1）AE 的长为 cm ；（2）试在线段AC 上确定一点P ，使得EP DP +的值最小，并求出这个最小值；（3）求点'D 到BC 的距离．5.如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别是边AD ,BC 的中点,连接DF ,过点E 作DF EH ⊥,垂足为H ,EH 的延长线交DC 于点G .（1）猜想DG 与CF 的数量关系,并证明你的结论；（2）过点H 作CD MN //,分别交AD ,BC 于点M ,N ,若正方形ABCD 的边长为10,点P 是MN 上一点,求PDC ∆周长的最小值.6.且2==DE BF ．连接AE ，AF ，CE ，CF ．（1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）求四边形AECF 的面积；（3）如果M 为AF 的中点，P 为线段EF 上的一动点，求PM PA +的最小值．7.已知菱形OBCD 在平面直角坐标系中位置如图所示，点B 的坐标为)0,2(，︒=∠60DOB .（1）点D 的坐标为 ，点C 的坐标为 ；（2）若点P 是对角线OC 上一动点，点)3,0(-E ，求PB PE +的最小值．8.如图,在平面直角坐标系xoy 中,已知直线的解析式为，直线交轴于点，交轴于点.(1)若一个等腰直角三角形的顶点与点重合，直角顶点在第一象限内，请直接写出点的坐标；(2)过点作轴的垂线，在上是否存在一点，使得的周长最小?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.AC 22.1+-=x y AC x C y A OBD D C B B x l l P AOP ∆P9.在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点B A 、分别在，x 轴、y 轴的正半轴上，()03，A ，()40，B ，D 为边OB 的中点. （1）若E 为边OA 上的一个动点，求△CDE 的周长最小值；（2）若F E 、为边OA 上的两个动点，且1=EF ，当四边形CDEF 的周长最小时，求点F E 、的坐标.10.如图，在矩形OABC 中，已知A ，C 两点的坐标分别为()0,4A ,()2,0C ，D 为OA 的中点．设点P 是AOC ∠平分线上的一个动点（不与点O 重合）．（1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 总与PD 相等；（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，求P 的坐标；（3）已知()1,1-E ，当点P 运动到何处时，PDE ∆的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE ∆的周长．11.一次函数b kx y +=的图象与x 、y 轴分别交于点()0,2A ()4,0B ,O 为坐标原点，线段AB OA ，的中点分别为点P D C ,,为直线OB 上一动点．（1）当点P 在直线OB 上运动时，PCD △的面积是否发生变化？请说明理由；（2）当点P 在直线OB 上运动时，PCD △的周长是否发生变化？如果发生变化，求出PCD △的最小周长及周长最小时P 点的坐标；（3）直接写出PCD △为等腰三角形时P 点的坐标；（4）直接写出PCD △为直角三角形时P 点的坐标．12.一次函数2521+-=x y 的图象与反比例函数)0(＞k xk y =的图象交于B A 、两点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为M ，AOM ∆面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）在y 轴上求一点P ，使PB PA +的值最小，并求出其最小值和P 点坐标.13.如图，正方形AOCB 在平面直角坐标系xoy 中，点O 为原点，点B 在反比例函数)0(＞x xk y =图象上，BOC ∆的面积为8．（1）求反比例函数的关系式；（2）若动点E 从A 开始沿AB 向B 以每秒1个单位的速度运动，同时动点F 从B 开始沿BC 向C 以每秒2个单位的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．若运动时间用t 表示，BEF ∆的面积用S 表示，求出S 关于t 的函数关系式；（3）当运动时间为34秒时，在坐标轴上是否存在点P ，使PEF ∆的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．14．已知在中边的长与的长与边上的高的和为．试：（1）写出的面积与的长之间的函数解析式及自变量的取值范围；（2）当时求边上的高及此时三角形的面积；（3）当面积为（2）所求结果时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请求出其最小周长，如果不存在请说明理由．15.如图，抛物线522++=bx ax y 经过)0,1(-A ,)0,5(B 两点. （1）求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的顶点坐标；（2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使PC PA +的值最小，求点P 的坐标；（3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出N 点的坐标；若不存在，请说明理由.16.如图,直线b kx y +=交x 轴于点()0,1-A ,交y 轴于点()4,0B ,过A ,B 两点的抛物线交x 轴于另一点C .（1）直线的解析式为___________；（2）该抛物线对称轴上有一动点P ,连接PA ,PB ,若PB PA +最小值为5,求此时抛物线的解析式以及点P 坐标；（3）在（2）的条件下,在抛物线对称轴上是否存在点Q ,使ABQ ∆是等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q 点坐标；若不存在,请说明理由.ABC ∆BC BC BC 20ABC ∆y BC x x 10=BCBC17.如图,已知抛物线()02≠++=a c bx ax y 的对称轴为1-=x ，且抛物线经过)0,1(A ,)3,0(C 两点，与x 轴交于点B .(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴1-=x 上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求此时点M 的坐标；(3)设点P 为抛物线对称轴1-=x 上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.18.如图,以D 为顶点的抛物线c bx x y ++-=2交x 轴于B A 、两点,交y 轴于点C ,直线BC 的表达式为3+-=x y .（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC 上有一点P ,使PA PO +的值最小,求点P 的坐标；（3）在x 轴上是否存在一点Q ,使得以Q C A 、、为顶点的三角形与△BCD 相似?若存在,请求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由.19.如图，抛物线）（042≠-+=a bx ax y 与x 轴交于)0,4(A )0,1(-B 两点，过点A 的直线4+-=x y 交抛物线于点C ．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线AC 上有一动点E ，当点E 在某个位置时，使BDE △的周长最小，求此时E 点坐标；（3）当动点E 在直线AC 与抛物线围成的封闭线A D B C A →→→→上运动时，是否存在使BDE △为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E 点的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，已知抛物线83212-+=x x y 的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ．（1）求直线BC 的解析式；（2）点F 是直线BC 下方抛物线上的一点，当BCF △的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P ，使得BFP △的周长最小，请求出点F 的坐标和点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点),0(m Q ，使得BFQ △为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q 的坐标；如果没有，请说明理由．21.如图，直线343+=x y 分别与x 轴， y 轴交于点A ， B ，抛物线122++-=x x y 与y 轴交于点C ． 若点E 在抛物线122++-=x x y 的对称轴上移动，点F 在直线AB 上移动，求EF CE +的最小值．22.如图，已知抛物线经过点）（3,2-B ，原点O 和x 轴上一点另一点A ，它的对称轴与x 轴交于点）（0,2C .（1）求此抛物线的函数解析式（2）连接CB ，在抛物线的对称轴上找一点E ，使得CE CB =，求点E 的坐标（3）在（2）的条件下，连接BE ，设BE 的中点为G ，在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得PBG △的周长最小，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数432+-=x y 的图像与x 轴和y 轴分别相交于B A 、两点．动点P 从点A 出发，在线段AO 上以每秒3个单位长度的速度向点O 作匀速运动，到达点O 停止运动．点A 关于点P 的对称点为点Q ，以线段PQ 为边向上作正方形PQMN ．设运动时间为t 秒．（1）当31t =秒时，点Q 的坐标是______； （2）在运动过程中，设正方形PQMN 与△AOB 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数表达式；（3）若正方形PQMN 对角线的交点为T ，请直接写出在运动过程中PT OT +最小值．24.如图，矩形ABCD 中，6AB cm =，8BC cm =，动点E 从点A 出发，沿AC 向点C 运动，速度为1/cm s ，点E 到达点C 时停止运动，连接DE 并延长交矩形ABCD 的边于点F ．点M 与点C 重合，MN DF ⊥于点H 交矩形的边AD 于点N ．设点E 运动的时间为()t s ．（1）当点F 到达点B 时，求t 的值；（2）当2t =时，求ND 的长；（3）如图2，点M 从点C 开始沿CD 边向点D 运动，速度为1/cm s ，且与点E 同时开始运动，当点M 停止运动时，点E 也停止运动，其他条件不变．①连接FM ，点Q 为FM 的中点，点P 在CD 边上，4CP cm =，请直接写出点F 从点A 运动到点B 的过程中，PQC ∆周长的最小值；②当13EF ED =时，请直接写出线段ND 的长．25.如图，(2,0)B -，(0,4)C ，将BOC ∆绕原点O 顺时针旋转90︒得到DOA ∆，抛物线24y ax bx =++经过A ，B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将ADO ∆以秒一个单位的速度沿x 轴向左平移，平移后的三角形记为△D O A '''，平移时间为t 秒．①当D '落在抛物线上时，求t 的值；②连接A C '，当t 为何值时，△D A C '''的周长最小？直接写出t 的值和△D A C '''周长的最小值．26．如图①，已知抛物线c bx ax y ++=2的图象经过点)3,0(A 、)0,1(B ，其对称轴为直线l ：2=x ，过点A 作x AC ∥轴交抛物线于点C ，AOB ∠的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m ．（1）若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连结PE 、PO ，当m 为何值时，四边形AOPE 面积最大？当四边形AOPE 面积最大时，在抛物线对称轴直线上找一点M ，使得MP MB -的值最大，并求出这个最大值．（2）如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P 使POF △成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．27.阅读材料：“最值问题”是数学中的一类较具挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：海伦是古希腊精通数学、物理的学者，相传有位将军曾向他请教一个问题﹣﹣如图①，从A 点出发，到笔直的河岸l 去饮马，然后再去B 地，走什么样的路线最短呢？海伦轻松地给出了答案：作点A 关于直线l 的对称点'A ，连结B A '交l 于点P ，则B A PB PA '=+的值最小．解答问题：（1）如图，已知菱形ABCD 的边长为12， 60=∠DAB ．点P 为AC 线段上一动点，点E 为AD 线段上一动点，求线段PE DP +的最小值．（2）如图，已知菱形ABCD 的边长为12， 60=∠DAB ．将此菱形放置于平面直角坐标系中，各顶点恰好在坐标轴上．现有一动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度，沿A →C 的方向，向点C 运动．当到达点C 后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x 轴上某一点M 时，立即以每秒1个单位的速度，沿M →B 的方向，向点B 运动．当到达点B 时，整个运动停止． ①为使点P 能在最短的时间内到达点B 处，试确定点M 的位置，并说明理由．②在①的条件下，设点P 的运动时间为)(s t ，PAB ∆的面积为S ，在整个运动过程中，试求S 与t 之间的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围．28．（1）如图1，OC 平分AOB ∠，点D 是射线OA 边上一点，点P 、Q 分别在射线OC 、OB 上运动，已知10=OD ，︒=∠30AOC ，则PQ DP +的最小值是 ；（2）如图2，在菱形ABCD 中，8=AB ，︒=∠60DAB ，点E 是AB 边上的动点，点F 是对角线AC 上的动点，求BF EF +的最小值；（3）如图3，在矩形ABCD 中，8=AB ，4=AD ，点M 是AB 上一动点，点N 是对角线AC 上一动点，请直接写出BN MN +的最小值．29.【探究问题】正的边长为，是它的高线．（1）如图（1），点、分别是正的边和高上的两个动点，求BQ +QP 的最小值；（2）如图（2），点是正高上的一动点，当为何值时，最小？并ABC ∆cm 8AD P Q ABC ∆AB AD M ABC ∆AD AM MC AM +21求出这个最小值；【解决问题】如图（3），、两地相距，是一条沿东西方向向两边延伸的一条铁路．点到的最短距离为．今计划在铁路线上修一个中转站，再在间修一条笔直的公路到地．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍．那么，为使通过铁路由到再通过公路由到的总运费达到最小值，请求出的长．（结果保留根号）30.如图1，已知抛物线2y =++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，连接CD ，过点D 作DH x ⊥轴于点H ，过点A 作AE AC ⊥交DH 的延长线于点E ．（1）求线段DE 的长度；（2）如图2，试在线段AE 上找一点F ，在线段DE 上找一点P ，且点M 为直线PF 上方抛物线上的一点，求当CPF ∆的周长最小时，MPF ∆面积的最大值是多少；（3）在（2）问的条件下，将得到的CFP ∆沿直线AE 平移得到△C F P '''，将△C F P '''沿C P ''翻折得到△C P F ''''，记在平移过称中，直线F P ''与x 轴交于点K ，则是否存在这样的点K ，使得△F F K '''为等腰三角形？若存在求出OK 的值；若不存在，说明理由．31.如图，将边长为6的正三角形纸片ABC 按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕BE AD ，（如图①），点O 为其交点.（1）探求AO 与OD 的数量关系，并说明理由；（2）如图②，若N P ，分别为BC BE ，上的动点.①当PD PN +的长度取得最小值时，求BP 的长度；②如图③，若点Q 在线段BO 上，1=BQ ，则PD NP QN ++的最小值=.A B km 100AC B AC km 60AC M BM B A M M BAM32.已知,如图,二次函数()0322≠-+=a a ax ax y 图象的顶点为H ,与x 轴交于B A 、两点,点B H 、关于直线l :333+=x y 对称. （1）求B A 、两点坐标,并证明点A 在直线l 上；（2）求二次函数表达式；（3）过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于K 点,N M 、分别为直线AH 和直线l 上的两个动点,连接MK NM NH 、、,求MK NM NH ++的最小值.33.如图，抛物线44y 2+-=x x 与y 轴交于点A ，B 是OA 的中点．一个动点G 从点B 出发，先经过x 轴上的点M ，再经过抛物线对称轴上的点N ，然后返回到点A ．如果动点G 走过的路程最短，请找出点M 、N 的位置，并求最短路程．34.如图1,抛物线)0(y 2≠++=a c bx ax 的顶点为)4,1(C ,交x 轴于B A 、两点,交y 轴于点D ,其中点的坐标B 为()0,3.(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，过点A 的直线与抛物线交于点E ，交y 轴于点F ，其中点E 的横坐标为2，若直线PQ 为抛物线的对称轴，点G 为直线PQ 上的一动点，则X 轴上是否存在一点F H G D 、、、，使四点所围成的四边形周长最小?若存在，求出这个最小值及点H G 、的坐标；若不存在，请说明理由.35.如图，甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥．问：（1）桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？（注：桥必须与街道垂直）．（2）桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等？36.如图,二次函数x x y 42-=的图象与x 轴,直线y ＝x 的一个交点分别为点A .B ,CD 是线段OB 上的一动线段,且22=CD ,过点C .D 的两直线都平行于y 轴,与抛物线相交于点F ,E ，连接EF .（1）点A 的坐标为 ,线段OB 的长= ；（2）设点C 的横坐标为m ,①当四边形CDEF 是平行四边形时，求m 的值；②连接AC .AD ,求m 为何值时，△ACD 的周长最小，并求出这个最小值．37.已知平面直角坐标系中，A B 、两点的坐标分别为)3,2(-、)1,4(-.（1）若0P x （，）是x 轴上的一个动点，当PAB △的周长最短时，求x 的值； （2）若030C a D a +（，），（，）是x 轴上的两个动点，当四边形ABDC 的周长最短时，求a 的值．38.已知点()4,3A ，点B 为直线1-=x 上的动点，设()y B ,1．（1）如图1，若点()0，x C 且31＜＜x -，AC BC ⊥，求y 与x 之间的函数关系式； （2）在（1）的条件下，y 是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；（3）如图2，当点B 的坐标为)1,1(-时，在x 轴上另取两点F E ,，且1=EF ．线段EF 在x 轴上平移，线段EF 平移至何处时，四边形ABEF 的周长最小？求出此时点E 的坐标．40.如图，平面直角坐标系中，直线83+=x y 分别交x 轴，y 轴于B A ,两点，点C 为OB 的中点，点D 在第二象限，且四边形AOCD 为矩形．(1)直接写出点B A ,的坐标，并求直线AB 与CD 交点E 的坐标；(2)动点P 从点C 出发，沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动；同时，动点N 从点A 出发，沿射线AO 以每秒2个单位长度的速度运动，当点C 到达D 点时，两点同时停止运动．过点P 作PH OA ⊥，垂足为H ，连接NP ，设点P 的运动时间为t 秒．①是否存在NPH △的面积为4，如果存在，请说明理由；②点Q 是点B 关于点A 的对称点，问HQ PH BP ++是否有最小值?如果有，求出相应的点P 的坐标；如果没有，请说明理由．41.如图，对称轴为直线2=x 的抛物线经过)0,1(-A ，)5,0(C 两点，与x 轴另一交点为B ．已知)1,0(M ，)0,(a E ，)0,1(+a F ，点P 是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当1=a 时，求四边形MEFP 的面积的最大值，并求此时点P 的坐标；（3）若PCM △是以点P 为顶点的等腰三角形，求a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由．42.如图1，已知抛物线1(2)()(0)y x x a a a=-+>与x 轴从左至右交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．（1）若抛物线过点5(1,)4T -，求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D ，使得以A 、B 、D 三点为顶点的三角形与ABC ∆相似？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在（1）的条件下，点P 的坐标为(1,1)-，点(6,)Q t 是抛物线上的点，在x 轴上，从左至右有M 、N 两点，且2MN =，问MN 在x 轴上移动到何处时，四边形PQNM 的周长最小？请直接写出符合条件的点M 的坐标．43.如图，已知在平面直角坐标系xoy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，2==AB OA ，3=OC ，过点B 作BC BD ⊥，交OA 于点D ．将DBC ∠绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且1=PQ ，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标．44.如图，已知点()84-，A 和点()n ,2B 在抛物线2ax y =上． (1)求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得QB AQ +最短，求出点Q 的坐标；(2)平移抛物线2ax y =，记平移后点A 的对应点为A '，点B 的对应点为B '，点()0,2-C 和点()0,4-D 是x 轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个位置时，B C C A '+'最短，求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，5使四边形CD B A ''的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．45．在平面直角坐标系中，已知点()0,2-A ，点()4,0B ，点E 在OB 上，且OBA OAE ∠=∠．（1）如图①，求点E 的坐标；（2）如图②，将AEO △沿x 轴向右平移得到'''O E A △，连接B A '、'BE ．①设m '=AA ，其中2m 0＜＜，试用含m 的式子表示22''BE B A +，并求出使22''BE B A +取得最小值时点'E 的坐标；②当''BE B A +取得最小值时，求点'E 的坐标（直接写出结果即可）．46.在菱形中,cm AB 8=,︒60=ABC ∠,点E ,F 分别是BC ,CD 上的动点（不与B ,C ,D 重合）,连接AE ,AF .（1）如图1,若CF CE =,求证：AE =AF .（2）如图2,若BC DF BE =+.①AE 与AF 是否相等？并说明理由；②四边形AECF 的面积是2cm .（3）点E 从点B 出发以每秒3cm 的速度沿BC 方向向点C 匀速运动,同时点F 从点D出发以每ABCD秒cm 2的速度沿DC 方向向点C 匀速运动,当其中一点到达终点时另一个点也随之停止运动,又知点P 是ABC ∠平分线上一点,连接EP ,FP ,当FP EP +的值最小时,CE 的长是cm .47.如图,在平面直角坐标系中,抛物线234322+--=x x y 与x 轴交于C B 、两点,与y 轴交于点A ,抛物线的顶点为D .(1)填空:点A 的坐标为；点B 的坐标为；点D 的坐标为；(2)点P 是线段BC 上的动点（点P 不与点C B 、重合）.①过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点E ,若PC PE =,求点E 的坐标；②在①的条件下,点F 是坐标轴上的点,且点F 到EA 和ED 的距离相等,请直接写出线段EF 的长；③若点Q 是线段AB 上的动点（点Q 不与点B A 、重合）,点R 是线段AC 上的动点（点R 不与点C A 、重合）,请直接写出PQR △周长的最小值.48.如图，锐角中，，，的面积为．（）若点在边上且，，分别为边，上的动点．求PDE △周长的最小值；（）假设一只小羊在区域内，从路边某点出发跑到水沟边喝水，然后跑向路边吃草，再跑回出发点处休息，直接写出小羊所跑的最短路程．ABC ∆︒=∠30ACB 5=AB ABC ∆231P AB 103=CP D E AC BC 2ABC ∆AB AC BC49.如图,在直角坐标系中,已知点()10，A ,()44-，B 将点B 绕点A 顺时针方向旋转︒90到点C ,顶点在坐标原点的拋物线经过点B .(1)求抛物线的解析式和点C 的坐标；(2)抛物线上一动点P ,设点P 到x 轴的距离为1d ,点P 到点A 的距离为2d ,试说明112+=d d ；(3) 在(2)的条件下,请探究当点P 位于何处时,△PAC 的周长有最小值,并求出的△PAC 周长的最小值50.如图1，抛物线c bx x y ++-=232，与x 轴交于点A ())0,2(,0,3-B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC .（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，动点Q 在第一象限的抛物线上运动，连接QO 交线段AC 于点E ，过点A 作直线y AF ∥轴，点F 在x 轴上方，且满足CE AF =.①当AEF ∆是直角三角形时，求线段AF 的长；OE 的值最小时，直接写出线段AF的长.②当OF。
2.将军饮马模型-真题10道及答案PDF
[专题二] 将军饮马模型-真题10道及答案一、2023年安徽中考数学真题10. 如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点,P F分别是CD,AB的中点．若AB=4，则下列结论错误．．的是（）A. PA+PB的最小值为3√3B. PE+PF的最小值为2√3C. △CDE周长的最小值为6D. 四边形ABCD面积的最小值为3√3【答案】A【解析】【分析】延长AD,BC，则△ABQ是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当E点与F重合时，则Q,P,F三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解．【详解】解：如图所示，延长AD,BC，依题意∠QAD=∠QBA=60°∴△ABQ是等边三角形，∵P是CD的中点，∴PD=PC，∵∠DEA=∠CBA，∴ED∥CQ∴∠PQC=∠PED,∠PCQ=∠PDE，∴△PDE≌△PCQ∴PQ=PE，∴四边形DECQ是平行四边形，则P为EQ的中点如图所示，设AQ,BQ的中点分别为G,H，则GP=12AE,PH=12EB∴当E点在AB上运动时，P在GH上运动，当E点与F重合时，即AE=EB，则Q,P,F三点共线，PF取得最小值，此时AE=EB=12(AE+EB)=2，则△ADE≌△ECB，∴C,D到AB的距离相等，则CD∥AB，此时PF=√32AD=√3AP PB最小，此时△ADE和△BCE的边长都为2，则,∴PF=√3×2=√3，2∴PA=PB=√22+(√3)2=√7∴PA+PB=2√7，或者如图所示，作点B关于GH对称点B′，则PB=PB′，则当A,P,B′三点共线时，AP+ PB=AB′此时AB′=√AB2+BB′=√42+(2√3)2=2√7故A选项错误，根据题意可得P,Q,F三点共线时，PF最小，此时PE=PF=√3，则PE PF+=，故B选项正确；△CDE周长等于CD+DE+CE=CD+AE+EB=CD+AB=CD+4，即当CD最小时，△CDE周长最小，如图所示，作平行四边形GDMH，连接CM，∵∠GHQ=60°,∠GHM=∠GDM=60°，则∠CHM=120°如图，延长DE,HG，交于点N，则∠NGD=∠QGH=60°，∠NDG=∠ADE=60°∴△NGD是等边三角形，∴ND=GD=HM，在△NPD与△HPC中，{∠NPD=∠HPC∠N=∠CHP=60°PD=PC∴△NPD≌△HPC∴ND=CH∴CH=MH∴∠HCM=∠HMC=30°∴CM∥QF，则CM⊥DM，∴△DMC是直角三角形，在△DCM中，DC>DMAB=2∴当DC=DM时，DC最短，DC=GH=12∵CD=PC+2PC∴△CDE周长的最小值为2+2+2=6，故C选项正确；∵△NPD≌△HPC∴四边形ABCD面积等于S△ADE+S△EBC+S△DEC=S△ADE+S平行四边NEBC∴当△BGD的面积为0时，取得最小值，此时，D,G重合，C，H重合∴四边形ABCD面积的最小值为3×√3×22=3√3，故D选项正确，4故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当E点与F重合时得出最小值是解题的关键．二、2023年甘肃省武威市中考数学真题27. 如图1，抛物线y=−x2+bx与x轴交于点A，与直线y=−x交于点B(4,−4)，点C(0,−4)在y轴上．点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止．（1）求抛物线y=−x2+bx的表达式；（2）当BP=2√2时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD的形状，并说明理由．（3）如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值．【答案】（1）y=−x2+3x（2）四边形OCPD是平行四边形，理由见解析（3）4√3【解析】【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）作PD⊥OA交抛物线于点D，垂足为H，连接PC，OD，由点P在y=−x上，可知OH=PH，∠POH=45°，连接BC，得出OB=4√2，则OH=PH=√22OP=√22×2√2=2，当x D=2时，DH=y D=−4+3×2=2，进而得出PD=OC，然后证明PD∥OC，即可得出结论；（3）由题意得，BP OQ=，连接BC．在OA上方作△OMQ，使得∠MOQ=45°，OM= BC，证明△CBP≌△MOQ(SAS)，根据CP+BQ=MQ+BQ≥MB得出CP+BQ的最小值为MB，利用勾股定理求得MB，即可得解．【小问1详解】解：∵抛物线y=−x2+bx过点B(4,−4)，∴−16+4b=−4，∴b=3，∴y=−x2+3x；【小问2详解】四边形OCPD是平行四边形．理由：如图1，作PD⊥OA交抛物线于点D，垂足为H，连接PC，OD．∵点P在y=−x上，∴OH=PH，∠POH=45°，连接BC，∵OC=BC=4，∴OB=4√2，∵BP=2√2，∴OP=OB−BP=2√2，∴OH=PH=√22OP=√22×2√2=2，当x D=2时，DH=y D=−4+3×2=2，∴PD=DH+PH=2+2=4，∵C(0,−4)，∴OC=4，∴PD=OC，∵OC⊥x轴，PD⊥x轴，∴PD∥OC，∴四边形OCPD是平行四边形；【小问3详解】如图2，由题意得，BP OQ=，连接BC．在OA上方作△OMQ，使得∠MOQ=45°，OM=BC，∵OC=BC=4，BC⊥OC，∴∠CBP=45°，∴∠CBP=∠MOQ，∵BP OQ=，∠CBP=∠MOQ，BC=OM，∴△CBP≌△MOQ(SAS)，∴CP=MQ，∴CP+BQ=MQ+BQ≥MB（当M，Q，B三点共线时最短），∴CP+BQ的最小值为MB，∵∠MOB=∠MOQ+∠BOQ=45°+45°=90°，∴MB=√OM2+OB2=√42+(4√2)2=4√3，即CP+BQ的最小值为4√3．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．三、2023年湖北省黄冈市中考数学真题24. 已知抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A,B(4,0)两点，与y轴交于点(0,2)C，点P为第一象限抛物线上的点，连接,,,CA CB PB PC．（1）直接写出结果；b =_____，c =_____，点A 的坐标为_____，tan ABC ∠=______； （2）如图1，当2PCB OCA ∠=∠时，求点P 的坐标；（3）如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD =OB ，点Q 为抛物线上一点，∠QBD =90°，点E ，F 分别为△BDQ 的边DQ,DB 上的动点，QE =DF ，记BE QF +的最小值为m ．①求m 的值；②设△PCB 的面积为S ，若214S m k =−，请直接写出k 的取值范围． 【答案】（1）32，2，(−1,0)，12 （2）(2,3)（3）m =2√17， 13≤k ≤17 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可求得b =32、c =2，从而可得OB =4，OC =2，由y =0，可得2132022x x −++=，求得A (−1,0)，在Rt △COB 中，根据正切的定义求值即可；（2）过点C 作CD ∥x 轴，交BP 于点D ，过点P 作PE ∥x 轴，交y 轴于点E ， 由tan ∠OCA =tan ∠ABC =12，即∠OCA =∠ABC ，再由2PCB ABC ∠=∠，可得∠EPC =ABC ，证明△PEC ∼△BOC ，可得EP OB =EC OC ，设点P 坐标为(t,−12t 2+32t +2)，可得t4=−12t 2+32t2，再进行求解即可；（3）①作DH ⊥DQ ，且使DH =BQ ，连接FH ．根据SAS 证明△BQE ≌△HDF ，可得BE +QF =FH +QF ≥QH ，即Q ，F ，H 共线时，BE QF +的值最小．作QG ⊥AB 于点G ，设G(n,0)，则Q (n,−12n 2+32n +2)，根据QG =BG 求出点Q 的坐标，燃然后利用勾股定理求解即可；②作PT ∥y 轴，交BC 于点T ，求出BC 解析式，设T (a,−12a +2)，P (a,−12a 2+32a +2)，利用三角形面积公式表示出S ，利用二次函数的性质求出S 的取值范围，结合①中结论即可求解． 【小问1详解】解：∵抛物线y =−12x 2+bx +c 经过点B(4,0)，(0,2)C ， ∴{−8+4b +c =0c =2，解得：{b =32c =2，∴抛物线解析式为：y =−12x 2+32x +2，∵抛物线y =−12x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B(4,0)两点， ∴y =0时，2132022x x −++=，解得：11x =−，2=4x ， ∴A (−1,0)， ∴OB =4，OC =2，在Rt △COB 中，tan ∠ABC =OCOB =24=12， 故答案为：32，2，(−1,0)，12； 【小问2详解】解：过点C 作CD ∥x 轴，交BP 于点D ，过点P 作PE ∥x 轴，交y 轴于点E ，∵AO =1，OC =2，OB =4，∴tan ∠OCA =AO CO =12，由（1）可得，tan ∠ABC =12，即tan ∠OCA =tan ∠ABC ，∴∠OCA =∠ABC ，∵2PCB OCA ∠=∠，∴2PCB ABC ∠=∠，∵CD ∥x 轴，EP ∥x 轴，∴∠ACB =∠DCB ，∠EPC =∠PCD ，∴∠EPC =ABC ，又∵∠PEC =∠BOC =90°，∴△PEC ∽△BOC ，∴EP OB =EC OC ，设点P 坐标为(t,−12t 2+32t +2)，则EP =t ，EC =−12t 2+32t +2−2=−12t 2+32t ， ∴t 4=−12t 2+32t 2，解得：t =0（舍），t =2，∴点P 坐标为(2,3)．【小问3详解】解：①如图2，作DH ⊥DQ ，且使DH =BQ ，连接FH ．∵∠BQD +∠BDQ =90°，∠HDF +∠BDQ =90°，∴∠QD =∠HDF ，∵QE =DF ，DH =BQ ，∴△BQE ≌△HDF(SAS )，∴BE FH =，∴BE +QF =FH +QF ≥QH ，∴Q ，F ，H 共线时，BE QF +的值最小．作QG ⊥AB 于点G ，∵OB =OD ，∠BOD =90°，∴∠OBD =45°，∵∠QBD =90°，∴∠QBG =45°，∴QG =BG ．设G(n,0)，则Q (n,−12n 2+32n +2)，∴−12n 2+32n +2=4−n ，解得n =1或n =4（舍去），∴Q(2,3)，∴413QG BG ==−=，∴BQ DH ==QD =5√2，∴m =QH =√(3√2)2+(5√2)2=2√17；②如图3，作PT ∥y 轴，交BC 于点T ，待定系数法可求BC 解析式为y =−12x +2， 设T (a,−12a +2)，P (a,−12a 2+32a +2)， 则()221131224242222S a a a a ⎛⎫=−+++−⨯=−−+ ⎪⎝⎭， ∴0≤S ≤4，∴21044m k ≤−≤， ∴0≤17−k ≤4，∴13≤k ≤17．【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与x 轴的交点、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、二次函数最值、用分割法求三角形面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．四、 2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题24. 综合与探究如图，抛物线y =−x 2+bx +c 上的点A ，C 坐标分别为(0,2)，(4,0)，抛物线与x 轴负半轴交于点B ，点M 为y 轴负半轴上一点，且OM =2，连接AC ，CM ．（1）求点M 坐标及抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP ，CP ，当S △PAC =S △ACM 时，求点P 的坐标；（3）点D 是线段BC (包含点B ，C )上的动点，过点D 作x 轴的垂线，交抛物线于点Q ，交直线CM 于点N ，若以点Q ，N ，C 为顶点的三角形与△COM 相似，请直接写出点Q 的坐标；（4）将抛物线沿x 轴的负方向平移得到新抛物线，点A 的对应点为点A ′，点C的对应点为的点C′，在抛物线平移过程中，当MA′+MC′的值最小时，新抛物线的顶点坐标为______，MA′+MC′的最小值为______．【答案】（1）M(0,−2)，y=−x2+72x+2（2）P(2,5)（3）Q1(−12,0)，Q2(32,5)（4）(−1112,8116)，2√13【解析】【分析】（1）根据点M在y轴负半轴且OM=2可得点M的坐标为M(0,−2)，利用待定系数法可得抛物线的解析式为y=−x2+72x+2；（2）过点P作PF⊥x轴于点F，交线段AC于点E，用待定系数法求得直线AC的解析式为y=−12x+2，设点P的横坐标为p(0<p<4)，则P(p,−p2+72p+2)，E(p,−12p+2)，故PE=−p2+4p(0<p<4)，先求得S△ACM=8，从而得到S△PAC=12PE⋅OC=−2p2+ 8p=8，解出p的值，从而得出点P的坐标；（3）由∠COM=90°可知，要使点Q，N，C为顶点的三角形与△COM相似，则以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形，从而分∠CQN=90°和∠QCN=90°两种情况讨论，①当∠CQN=90°，可推导B与点Q重合，△CQN∽△COM，即此时符合题意，利用求抛物线与x轴交点的方法可求出点Q的坐标；②当∠QCN=90°时，可推导△QCN∽△COM，即此时符合题意，再证明△QDC∽△COM，从而得到QD=2DC，再设点Q的横坐标为q，则Q(q,−q2+72q+2)，D(q,0)，从而得到−q2+72q+2=2(3−q)，解得q的值，从而得到点Q的坐标，最后综合①②即可；（4）设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M右平移m个单位长度得到点M′，由平移的性质可知，MA′=M′A,MC′=M′C，MA′+MC′的值最小就是M′A+M′C最小值，作出点C关于直线y=−2对称的对称点C″，连接AC″交直线y=−2于点M′，连接M′C则此时M′A+M′C取得最小值，即为AC″的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线AC″的解析式，从而确定M′的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点．【小问1详解】解：∵点M 在y 轴负半轴且OM =2，∴M (0,−2)将A (0,2)，C (4,0)代入y =−x 2+bx +c ，得{c =2−16+4b +c =0解得{b =72c =2∴抛物线的解析式为y =−x 2+72x +2【小问2详解】解：过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交线段AC 于点E ，设直线AC 的解析式为y =kx +m (k ≠0)，将A (0,2)，C (4,0)代入y =kx +m ，得{m =24k +m =0，解得{k =−12m =2， ∴直线AC 的解析式为y =−12x +2设点P 的横坐标为p (0<p <4)则P (p,−p 2+72p +2)，E (p,−12p +2)，∴PE =−p 2+72p +2−(−12p +2)=−p 2+4p(0<p <4)∵S △ACM =8，∴S △PAC =12PE ⋅OC =−2p 2+8p =8，解得p 1=p 2=2，∴P (2,5)【小问3详解】Q 1(32,5)，Q 2(−12,0)，补充求解过程如下：∵在△COM 中，∠COM =90°，以点Q ，N ，C 为顶点的三角形与△COM 相似，∴以点Q ，N ，C 为顶点三角形也是直角三角形，又∵QD ⊥x 轴，直线QD 交直线CM 于点N ，∴∠CNQ ≠90°，即点N 不与点O 是对应点．故分为∠CQN =90°和∠QCN =90°两种情况讨论：①当∠CQN =90°时，由于QN ⊥x 轴，∴CQ ⊥y 轴，即CQ 在x 轴上，又∵点Q 在抛物线上，∴此时点B 与点Q 重合，作出图形如下：此时∠CQN =∠COM =90°，又∵∠QCN =∠OCM∴△CQN ∽△COM ，即此时符合题意，令y =−x 2+72x +2=0，解得：x 1=−12,x 2=3 (舍去)∴点Q 的坐标，也即点B 的坐标是Q 1(−12,0)．②当∠QCN =90°时，作图如下：∵QD ⊥x 轴，∠COM =90°的∴QD∥OM，∴∠CNQ=∠OMC，∵∠CNQ=∠OMC，∠QCN=∠COM=90°，∴△QCN∽△COM，即此时符合题意，∵△QCN∽△COM，∴∠CQN=∠OCM，即∠DQC=∠OCM∵∠DQC=∠OCM，∠QDC=∠COM，∴△QDC∽△COM∴QDDC =COOM=42=2，QD=2DC设点Q的横坐标为q，则Q(q,−q2+72q+2)，D(q,0)，∴QD=−q2+72q+2，CD=3−q∴−q2+72q+2=2(3−q)，解得：q1=32,q2=3 (舍去)，∴−q2+72q+2=5，∴点Q的坐标是Q2(32,5)综上所述：点Q的坐标是Q1(−12,0)，Q2(32,5)；【小问4详解】(−1112,8116)，2√13，补充求解过程如下：设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M向右平移m个单位长度得到点M′，作出图形如下：由平移的性质可知，MA ′=M ′A,MC ′=M ′C ，∴MA ′+MC ′的值最小就是M ′A +M ′C 最小值，显然点M ′在直线y =−2上运用，作出点C 关于直线y =−2对称的对称点C ″，连接AC ″交直线y =−2于点M ′，连接M ′C 则此时M ′A +M ′C 取得最小值，即为AC ″的长度，∵点C 关于直线y =−2对称的对称的点是点C ″，C (4,0)∴C ″(4,−4)，∴(MA ′+MC ′)(M ′A +M ′C )″√(4−0)2+(−4−2)2√13minmin ，设直线AC ″的解析式是：y =k 1x +b 1将点A (0,2)，C ″(4,−4)代入得：{b 1=24k 1+b 1=−4解得：{k 1=−32b 1=2直线AC ″的解析式是：y =−32x +2令y =−32x +2=−2，解得：x =83，∴M ′(83,−2)， ∴平移的距离是83m = 又∵y =−x 2+72x +2=−(x −74)2+8116， ∴平移前的抛物线的坐标是(74,8116)∴新抛物线的顶点坐标为(74−83,8116)即(−1112,8116)故答案是：(−1112,8116)，2√13． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，二次函数与相似三角形综合，最短路径问题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转换思想是解题的关键，第二问的解题技巧是使用铅锤公式计算面积，第三问的技巧是转化成直角三角形的讨论问题，如果直接按相似讨论，则有四种情况，可以降低分类讨论的种类，第四问的技巧，是将点M向反方向移动，从而将两个动点转化成一个动点来解决．五、2023年黑龙江省绥化市中考数学真题20. 如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C 顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是______．【答案】3+3√3##3√3+3【解析】【分析】根据题意，证明△CBE≌△CAF，进而得出F点在射线AF上运动，作点C关于AF的对称点C′，连接DC′，设CC′交AF于点O，则∠AOC=90°，则当D,F,C′三点共线时，FC+FD取得最小值，即FC+FD=F′C′+F′D=CD′，进而求得C′D，即可求解．【详解】解：∵E为高BD上的动点．∠ABC=30°∴∠CBE=12∵将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF．△ABC是边长为6的等边三角形，∴CE=CF,∠ECF=∠BCA=60°,BC=AC∴△CBE≌△CAF∴∠CAF=∠CBE=30°，∴F点在射线AF上运动，如图所示，作点C关于AF的对称点C′，连接DC′，设CC′交AF于点O，则∠AOC=90°AC=3，在Rt△AOC中，∠CAO=30°，则CO=12则当D,F,C′三点共线时，FC+FD取得最小值，即FC+FD=F′C′+F′D=CD′∵CC′=AC=6，∠ACO=∠C′CD，CO=CD∴△ACO≌△C′CD∴∠C′DC=∠AOC=90°在△C′DC中，C′D=√CC′2−CD2=√62−32=3√3,∴△CDF周长的最小值为CD+FC+CD=CD+DC′=3+3√3，故答案为：3+3√3．【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键．六、2023年广西壮族自治区中考数学真题18. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为______．【答案】√2【解析】AE，然后由正方形的性质和勾股【分析】首先证明出MN是△AEF的中位线，得到MN=12定理得到AE=√AB2+BE2=√4+BE2，证明出当BE最大时，AE最大，此时MN最大，进而得到当点E 和点C 重合时，BE 最大，即BC 的长度，最后代入求解即可．【详解】如图所示，连接AE ，∵M ，N 分别是EF ，AF 的中点，∴MN 是△AEF 的中位线，∴MN =12AE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B =90°，∴AE =√AB 2+BE 2=√4+BE 2，∴当BE 最大时，AE 最大，此时MN 最大，∵点E 是BC 上的动点，∴当点E 和点C 重合时，BE 最大，即BC 长度，∴此时AE =√4+22=2√2，∴MN =12AE =√2，∴MN 的最大值为√2．故答案：√2． 【点睛】此题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 七、 2023年四川省宜宾中考数学真题 17. 如图，M 是正方形ABCD 边CD 的中点，P 是正方形内一点，连接BP ，线段BP 以B 为中心逆时针旋转90°得到线段BQ ，连接MQ ．若AB =4，MP =1，则MQ 的最小值为___________．的为【答案】2√10−1【解析】【分析】连接BM ，将BM 以B 中心，逆时针旋转90°，M 点的对应点为E ，由 P 的运动轨迹是以M 为圆心，1为半径的半圆，可得：Q 的运动轨迹是以E 为圆心，1为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当M 、Q 、E 三点共线时，MQ 的值最小，可求ME =√2BM =2√10，从而可求解．【详解】解，如图，连接BM ，将BM 以B 中心，逆时针旋转90°，M 点的对应点为E ，∵P 的运动轨迹是以M 为圆心，1为半径的半圆，∴Q 的运动轨迹是以E 为圆心，1为半径的半圆，如图，当M 、Q 、E 三点共线时，MQ 的值最小，∵四边形ABCD 是正方形，∴CD =AB =BC =4，∠C =90°， M 是CM 中点，∴CM =2，∴BM =√CM 2+BC 2==，由旋转得：BM =BE ，∴ME =√2BM =2√10，∴MQ =ME −EQ=2√10−1，∴MQ 值最小为2√10−1．故答案：2√10−1．八、 2023年湖南省邵阳市中考数学真题18. 如图，在矩形ABCD 中，AB =2,AD =√7，动点P 在矩形的边上沿B →C →D →A 运动．当点P 不与点A 、B 重合时，将△ABP 沿AP 对折，得到△AB ′P ，连接CB ′，则在点P的运动过程的的中，线段CB′的最小值为__________．【答案】√11−2##−2+√11【解析】【分析】根据折叠的性质得出B′在A为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点P在BC上时，当点P在DC上时，当P在AD上时，即可求解．【详解】解：∵在矩形ABCD中，AB=2,AD=√7，∴BC=AD=√7，AC=√BC2+AB2=√7+4=√11，如图所示，当点P在BC上时，∵AB′=AB=2∴B′在A为圆心，2为半径的弧上运动，当A,B′,C三点共线时，CB′最短，此时CB′=AC−AB′=√11−2，当点P在DC上时，如图所示，此时CB′>√11−2当P在AD上时，如图所示，此时CB′>√11−2综上所述，CB′的最小值为√11−2，故答案为：√11−2．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．九、2023年四川省达州市中考数学真题15. 在△ABC中，AB=4√3，∠C=60°，在边BC上有一点P，且BP=12AC，连接AP，则AP的最小值为___________．【答案】2√13−2【解析】【分析】如图，作△ABC的外接圆，圆心为M，连接AM、BM、CM，过M作MD⊥AB于D，过B作BN⊥AB，交BP的垂直平分线于N，连接AN、BN、PN，以N为圆心，BN(PN)为半径作圆；结合圆周角定理及垂径定理易得AM=BM=CM=4，再通过圆周角定理、垂直及垂直平分线的性质、三角形内角和定理易得∠AMC=∠PNB，从而易证△AMC∼△PNB可得CMPN =ACPB=21即PN=12CM=2勾股定理即可求得AN=2√13在△APN中由三角形三边关系AP≥AN−PN即可求解．【详解】解：如图，作△ABC的外接圆，圆心为M，连接AM、BM、CM，过M作MD⊥AB 于D，过B作BN⊥AB，交BP的垂直平分线于N，连接AN、BN、PN，以N为圆心，BN(PN)为半径作圆；∵∠C=60°，M为△ABC的外接圆的圆心，∴∠AMB=120°，AM=BM，∴∠MAB=∠MBA=30°，∴MD=12AM，MD AB⊥，∴AD=12AB=2√3，在Rt△ADM中，∵AM2=MD2+AD2，∴AM2=(12AM)2+(2√3)2，4AM∴=，即AM=BM=CM=4，由作图可知BN⊥AB，N在BP的垂直平分线上，∴∠PBN=∠BPN=90°−∠ABC，∴∠PNB=180°−(∠PBN+∠BPN)=2∠ABC，又M为△ABC的外接圆的圆心，∴∠AMC=2∠ABC，∴∠AMC=∠PNB，∵CMPN =AMBN，∴△AMC∼△PNB，∴CMPN =ACPB，∵BP=12AC，∴CMPN =ACPB=21，即PN=12CM=2，∴PN=BN=2，在Rt△ABN中，AN=√AB2+BN2=√(4√3)2+22=2√13，在△APN中，AP≥AN−PN=2√13−2，即AP最小值为2√13−2，故答案为：2√13−2．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，三角形三边之间的关系；解题的关键是结合△ABC 的外接圆构造相似三角形．十、 2023年重庆市中考数学真题(B 卷)26. 如图，在等边△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，E 线段AD 上一动点（不与A ，D 重合），连接BE ，CE ，将CE 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CF ，连接AF ．（1）如图1，求证：∠CBE =∠CAF ；（2）如图2，连接BF 交AC 于点G ，连接DG ，EF ，EF 与DG 所在直线交于点H ，求证：EH =FH ；（3）如图3，连接BF 交AC 于点G ，连接DG ，EG ，将△AEG 沿AG 所在直线翻折至△ABC 所在平面内，得到△APG ，将△DEG 沿DG 所在直线翻折至△ABC 所在平面内，得到△DQG ，连接PQ ，QF ．若AB =4，直接写出PQ QF +的最小值．【答案】（1）见解析 （2）见解析（3）√3+2【解析】为【分析】（1）根据旋转的性质得出CE=CF，∠ECF=60°，进而证明△BCE≌△ACF(SAS)，即可得证；（2）过点F作FK∥AD，交DH点的延长线于点K，连接EK，FD，证明四边形四边形EDFK 是平行四边形，即可得证；（3）如图所示，延长AP,DQ交于点R，由（2）可知△DCG是等边三角形，根据折叠的性质可得∠PAG=∠EAG=30°，∠QDG=∠EDG=30°，进而得出△ADR是等边三角形，由（2）可得Rt△CED≌Rt△CFG，得出四边形GDQF是平行四边形，则QF=DC=12AC= 2，进而得出∠PGQ=360°−2∠AGD=120°，则PQ=√3PG=√3GQ，当GQ取得最小值时，即GQ⊥DR时，PQ取得最小值，即可求解．【小问1详解】证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC，∵将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，∴CE=CF，∠ECF=60°∴∠ACB=∠ECF∴∠ACB−∠ACE=∠ECF−∠ACE即∠BCE=∠ACF在△BCE和△ACF中{EC=FC∠BCE=∠ACFBC=AC，∴△BCE≌△ACF(SAS)，∴∠CBE=∠CAF；【小问2详解】证明：如图所示，过点F作FK∥AD，交DH点的延长线于点K，连接EK，FD，∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC =BC ，∵AD ⊥BC∴BD =CD∴AD 垂直平分BC ，∴EB =EC又∵△BCE ≌△ACF ，∴AF =BE,CF =CE ，∴AF =CF ,∴F 在AC 的垂直平分线上，∵AB =BC∴B 在AC 的垂直平分线上，∴BF 垂直平分AC∴AC ⊥BF ，AG =CG =12AC∴90AGF ∠=︒又∵DG =12AC =CG ，∠ACD =60°∴△DCG 是等边三角形，∴∠CGD =∠CDG =60°∴∠AGH =∠DGC =60°∴∠KGF =∠AGF −∠AGH =90°−60°=30°，又∵∠ADK=∠ADC−∠GDC=90°−60°=30°，KF∥AD∴∠HKF=∠ADK=30°∴∠FKG=∠KGF=30°，∴FG=FK在Rt△CED与Rt△CGF中，{CF=CECD=CG∴Rt△CED≌Rt△CFG=∴GF ED∴ED=FK∴四边形EDFK是平行四边形，∴EH=HF；【小问3详解】解：依题意，如图所示，延长AP,DQ交于点R，由（2）可知△DCG是等边三角形，∴∠EDG=30°∵将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△APG，将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG，∴∠PAG=∠EAG=30°，∠QDG=∠EDG=30°∴∠PAE=∠QDE=60°，∴△ADR是等边三角形，∴∠QDC=∠ADC−∠ADQ=90°−60°=30°由（2）可得Rt△CED≌Rt△CFG∴DE=GF，∵DE=DQ，∴GF=DQ，∵∠GBC=∠QDC=30°，∴GF∥DQ∴四边形GDQF是平行四边形，∴QF=DG=12AC=2由（2）可知G是AC的中点，则GA=GD∴∠GAD=∠GDA=30°∴∠AGD=120°∵折叠，∴∠AGP+∠DGQ=∠AGE+∠DGE=∠AGD=120°，∴∠PGQ=360°−2∠AGD=120°，又PG=GE=GQ，∴PQ=√3PG=√3GQ，∴当GQ取得最小值时，即GQ⊥DR时，PQ取得最小值，此时如图所示，∴GQ=12GC=12DC=1，∴PQ=√3，∴PQ+QF=√3+2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．。
专题36 几何最值之将军饮马问题【热点专题】备战2022年中考数学考点总复习(全国通用)(解析版)
△CF=2DG． （2）作点 C 关于 NM 的对称点 K，连接 DK 交 MN 于点 P，连接 PC，
此时△PDC 的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．
由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG= 5 ，EG= 5 5 ，DH= DE DG = 5 ，
P' B
N
P
O
M
A
P''
【例 5】如图，点 P 是△AOB 内任意一点，且△AOB＝40°，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和 射线 OB
上的动点，当△PMN 周长取最小值时，则△MPN 的度数为（ ）
A．140°
B．100°
C．50°
D．40°
【解答】解：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 P1、P2，
△△MPN＝△OPM+△OPN＝△OP1M+△OP2N＝100°，故选：B．
【例 6】如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD，BC 的中点，连接 DF，过点 E
作 EH△DF，垂足为 H，EH 的延长线交 DC 于点 G．
（1）猜想 DG 与 CF 的数量关系，并证明你的结论；
（2）过点 H 作 MN△CD，分别交 AD，BC 于点 M，N，若正方形 ABCD 的边长为 10，点
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模型 A
Байду номын сангаас
作法
结论
P PC＋CD＋DQ 的最小值为
【例 7】如图，抛物线 y=ax2﹣5ax+c 与坐标轴分别交于点 A，C，E 三点，其中 A（﹣3，0）， C（0，4），点 B 在 x 轴上，AC=BC，过点 B 作 BD△x 轴交抛物线于点 D，点 M，N 分别 是线段 CO，BC 上的动点，且 CM=BN，连接 MN，AM，AN． （1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标； （2）当△CMN 是直角三角形时，求点 M 的坐标； （3）试求出 AM+AN 的最小值．
初中数学重难点易错专题 最值模型之将军饮马11个常考模型(模型精练)(解析版)
最值模型之将军饮马(11个常考模型)1如图，正方形ABCD的边长为1，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 22 ．试题分析：过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D'，再过D'作D'P'⊥AD，由角平分线的性质可得出D'是D关于AE的对称点，进而可知D'P'即为DQ+PQ的最小值．答案详解：解：作D关于AE的对称点D'，再过D'作D'P'⊥AD于P'，∵DD'⊥AE，∴∠AFD=∠AFD'，∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D'AF(ASA)，∴D'是D关于AE的对称点，AD'=AD=1，∴D'P'即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD'=45°，∴AP'=P'D'，在Rt△Rt△AP'D'中，P'D'2+AP'2=AD'2，∵AP'=P'D'，2P'D'2=AD'2=1，∴P'D'=22，即DQ+PQ的最小值为2 2．所以答案是：2 2．2如图，在平面直角坐标系中，点A(0，a)在y轴正半轴上，点B(b，0)在x轴正半轴上，AB⊥AD且AB=AD，|a-4|+(b-3)2=0．(1)求线段AB的长；(2)若点P为y轴上的一个动点，则当PB+PD最小时，点P的坐标为(0，3)．试题分析：(1)根据题意求出a=4，b=3，可求OA、OB的长，再由勾股定理求AB即可；(2)过D 点作DE ⊥y 轴交于E ，证明△ADE ≌△BAO (AAS )，可求D 点坐标；作B 点关于y 轴的对称点F ，连接DF 交于y 轴于点P ，连接BP ，当P 、D 、F 三点共线时，PB +PD 有最小值，用待定系数法求值直线FD 的解析式，再求P 点坐标即可．答案详解：解：(1)∵|a -4|+(b -3)2=0，∴a =4，b =3，∴A (0，4)，B (3，0)，∴OA =4，OB =3，∴AB =5；(2)过D 点作DE ⊥y 轴交于E ，∵AD ⊥AB ，∴∠BAD =90°，∴∠EAD +∠OAB =90°，∵∠EDA +∠EAD =90°∴∠OAB =∠EDA ，∵AD =AB ，∴△ADE ≌△BAO (AAS )，∴EC =OA =4，AE =BO =3，∴D (4，7)，作B 点关于y 轴的对称点F ，连接DF 交于y 轴于点P ，连接BP ，由对称性可知，BP =PF ，∴PB +PD =PF +PD ≥FD ，当P 、D 、F 三点共线时，PB +PD 有最小值，∵B (3，0)，∴F (-3，0)，设直线DF 的解析式为y =kx +b ，∴-3k +b =04k +b =7，解得k =1b =3 ，∴y =x +3，∴P (0，3)，所以答案是：(0，3)．3如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，点E 是直线BC 上一动点．若AB =4，则AE +OE 的最小值是()A.42B.25+2C.213D.210试题分析：本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A 关于直线BC 的对称点A '，再连接A 'O ，运用两点之间线段最短得到A 'O 为所求最小值，再运用勾股定理求线段A 'O 的长度即可．答案详解：解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点A'，连接A'O，其与BC的交点即为点E，再作OF⊥AB交AB于点F，∵A与A'关于BC对称，∴AE=A'E，AE+OE=A'E+OE，当且仅当A'，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时AE+OE=A'E+OE=A'O，∵正方形ABCD，点O为对角线的交点，∴OF=FB=1AB=2，2∵A与A'关于BC对称，∴AB=BA'=4，∴FA'=FB+BA'=2+4=6，在Rt△OFA'中，OA'=FO2+FA'2=210，所以选：D．4如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则当DF+CF之和取最小值时，△DCF的周长为()A.35+3B.43+3C.52+3D.213+3试题分析：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，先证明△AED≌△GFE，即可得到点F在∠CBG的角平分线上运动，作点C关于BF的对称点C′，当点D，F，C三点共线时，DF+CF= DC'最小，根据勾股定理求出DC'=DF+CF的最小值为35，即可求出此时△DCF的周长为35 +3．答案详解：解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，∴EF⊥DE，EF=DE，∴∠DEA+∠FEG=∠DEA+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠FEG，又∵∠DAE=∠FGE=90°，∴△AED≌△GFE(AAS)，∴FG=AE，AD=EG，∴AD=EG=AB，即BG=AE=FG，∴∠CBF=∠GBF=45°，即点F在∠CBG的角平分线上运动，作点C关于BF的对称点C′，∴C'点在AB的延长线上，当点D，F，C三点共线时，DF+CF=DC'最小．在Rt△ADC'中，AD=3，AC'=6，∴DC'=35，∴DF+CF的最小值为35，∴此时△DCF的周长为35+3．所以选：A．5如图，点P是矩形ABCD的对角线BD上的点，点M，N分别是AB，AD的中点，连接PM，PN．若AB=2，BD=4，则PM+PN的最小值为()A.7B.2C.2+2D.1+3试题分析：作M点关于BD的对称点M'，过M'作M'E⊥AB交延长于点E，过M'作M'F⊥AD交于F，当M'、N、P三点共线时，MP+NP的值最小，求出NM'即为所求答案详解：解：作M点关于BD的对称点M'，过M'作M'E⊥AB交延长于点E，过M'作M'F⊥AD交于F，∴MP=M'P，∴MP+PN=M'P+NP≥M'N，当M'、N、P三点共线时，MP+NP的值最小，∵AB=2，BD=4，∴AD=23，∵AB=12BD，∴∠ADB=30°，∠ABD=60°，∵MM'⊥BD，∴∠BMM'=30°，∵M是AB的中点，∴BM=1，∴MM'=3，EM'=32，ME=3 2，∴AE=52，∴FM'=52，∵N是AD的中点，∴AN=3，∴FN=32，∴M'N=322+52 2=7，∴PM+PN的最小值为7，所以选：A．6如图，直线y=x+8分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P 为OA上一动点，当PC+PD值最小时，点P的坐标为()A.(-4，0)B.(-3，0)C.(-2，0)D.(-1，0)试题分析：根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y=0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．答案详解：解：作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，最小值为CD′，如图．令y=x+8中x=0，则y=8，∴点B的坐标为(0，8)；令y=x+8中y=0，则x+8=0，解得：x=-8，∴点A 的坐标为(-8，0)．∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴点C (-4，4)，点D (0，4)．∵点D ′和点D 关于x 轴对称，∴点D ′的坐标为(0，-4)．设直线CD ′的解析式为y =kx +b ，∵直线CD ′过点C (-4，4)，D ′(0，-4)，∴-4k +b =4b =-4 ，解得：k =-2b =-4 ，∴直线CD ′的解析式为y =-2x -4．令y =0，则0=-2x -4，解得：x =-2，∴点P 的坐标为(-2，0)．所以选：C ．7如图①，在正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，设PC =x ，PE +PB =y ，图②是y 关于x 的函数图象，则图象上最低点Q 的坐标可能为()A.(2，5)B.(22，35)C.(4，3)D.(42，35)试题分析：连接PD ．由B 、D 关于AC 对称，推出PB =PD ，推出PB +PE =PD +PE ，推出当D 、P 、E 共线时，PE +PB 的值最小，设正方形ABCD 的边长为2a ，则AE =BE =a ，AD =AB =2a ，分别求出PB +PE 的最小值，PC 的长即可解决问题．答案详解：解：如图，连接PD ，设正方形ABCD 的边长为2a ，则AE =BE =a ．∴AE =EB =a ，AD =AB =2a ，∵B 、D 关于AC 对称，∴PB =PD ，∴PB +PE =PD +PE ，∴当D 、P 、E 共线时，PE +PB 的值最小，如下图：在Rt △AED 中，DE =5a ，∴PB +PE 的最小值为5a ，∴点Q 的纵坐标为5a ，∵AE ∥CD ，∴PC PA =CD AE=2，∵AC =22a ，∴PC=22a×23=423a，∴点Q的横坐标为423a，∴Q423a，5a．结合选项可知，当a=3时，点Q的坐标为(42，35)．所以选：D．8如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ=2，则四边形APQB周长的最小值为12．试题分析：由于四边形APQB的周长可表示为AP+BQ+7，则要使其最小，只要AP+BQ最小即可．在AB边上截取AM=PQ，因为点F是BC的中点，所以点B关于EF的对称点为点C，连接CM，交EF于点Q，则CM即为AP+BQ的最小值．在Rt△BCM中，利用勾股定理可求出MC的值，进而可得出答案．答案详解：解：∵AB=5，PQ=2，∴四边形APQB的周长为AP+PQ+BQ+AB=AP+BQ+7，则要使四边形APQB的周长最小，只要AP+BQ最小即可．在AB边上截取AM=PQ，∵点F是BC的中点，∴点B关于EF的对称点为点C，连接CM，交EF于点Q，则CM即为AP+BQ的最小值．在Rt△BCM中，MB=AB-AM=5-2=3，BC=4，∴CM=32+42=5，∴四边形APQB的周长最小值为5+7=12．所以答案是：12．9如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P为矩形内一点，满足∠ABP=∠BCP．(1)若点E为AD的中点，B，P，E在同一条直线上，则BP的长为 161313 ；(2)若E为AD上一动点，则BE+PE的最小值为410-4 ．试题分析：(1)根据题意可得△ABE ∽△PCB ，所以AE BP =BE BC，再利用勾股定理可求得BE ，解方程即可求得BP ．(2)作点B 关于AD 的对称点B '，连接B 'E ，可知当B '，E ，P 三点在同一条直线上时，BE +PE 取得最小值，即为B 'P 的长．设BC 的中点为O ，连接B 'O ，交以BC 为直径的圆于点P ，此时即为B 'P 的最小值，再利用勾股定理可求得B 'O 的长，进而可得出答案．答案详解：解：(1)∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABP +∠PBC =90°，∵∠ABP =∠BCP ，∴∠BCP +∠PBC =90°，∴∠BPC =90°，∴点P 是在以BC 为直径为圆上．∵点B ，P ，E 在同一条直线上，∴△ABE ∽△PCB ，∴AE BP =BE BC，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，点E 为AD 的中点，∴AE =4，BE =AB 2+AE 2=62+42=213．∴4BP=2138，∴BP =161313．(2)作点B 关于AD 的对称点B '，连接B 'E ，则BE +PE =B 'E +PE ．∴当B '，E ，P 三点在同一条直线上时，BE +PE 取得最小值，即为B 'P 的长．设BC 的中点为O ，连接B 'O ，交以BC 为直径的圆于点P ，此时即为B 'P 的最小值．∴B 'P =B '0-OP ．在Rt △OBB '中，B 'O =BB '2+BO 2=122+42=410．∴B 'P =410-4．∴BE +PE 的最小值为410-4．10如图，正方形中，AB =2，连接AC ，∠ACD 的平分线交AD 于点E ，在AB 上截取AF =DE ，连接DF ，分别交CE ，AC 于点G ，H ，点P 是线段GC 上的动点，PQ ⊥AC 于点Q ，连接PH ．下列结论：①CE ⊥DF ；②DE +DC =AC ；③EA =2AH ；④PH +PQ 的最小值是22．其中所有正确结论的序号是①②③．试题分析：①先证△DEC≌△AFD，可得∠ADF=∠DCE，由∠ADF+∠CDG=90°，可得∠DCG+∠CDG=90°，即∠CGD=90°，则①正确；②由①可知∠CGD=90°，易证△CDG≌△△CHG，可得CD=CH，∠CDG=∠CHG，由AB∥CD，可得∠CDG=∠AFH，而∠AHF=∠CHG，则∠AFH=∠AHF，即AH=AF，从而可得②正确；③由于AD=CD=AH=2，根据勾股定理可得AC的长，进而可得AH的长，而AH=DE，所以EA 可求，即可得出③正确；④由①②可得DG=GH，CG⊥DH，即H关于CE的对称点是点D，过点D作GQ⊥AC，交CE于点P，此时PH+PQ取得最小值，最小值即为DQ的长，在等腰直角三角形ADQ中，可求得DQ的长，从而可得④不正确．答案详解：解：①∵在正方形ABCD中，DE=AF，∠CDE=∠DAF=90°，CD=AD，∴△DEC≌△AFD，∴∠ADF=∠DCE，∵∠ADF+∠CDG=90°，∴∠DCG+∠CDG=90°，即∠CGD=90°，∴CE⊥DF，∴①正确．②由①可知∠CGD=∠CGH=90°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACG=∠DCG，∵CG=CG，∴△CDG≌△△CHG，∴CD=CH，∠CDG=∠CHG，∵AB∥CD，∴∠CDG=∠AFH，∵∠AHF=∠CHG，∴∠AFH=∠AHF，即△AFH为等腰三角形，∴AH=AF，∴DE+DC=AF+CH=AH+CH=AC．∴②正确．③由②可知，AH=AF=DE，CD=CH，∵AB=2，∴AC=22，∴AH=22-2，∴EA=2-(22-2)=4-22，∴EA AH =2，∴③正确．④由①②可得DG =GH ，CG ⊥DH ，∴点H 关于CE 的对称点是点D ，过点D 作GQ ⊥AC ，交CE 于点P ，此时PH +PQ 取得最小值，最小值即为DQ 的长，在等腰直角三角形ADQ 中，AD =2，∴DQ =2，∴PH +PQ 的最小值为2，∴④不正确．所以答案是：①②③．11如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 上两个动点(点Q 在点P 的右边)．①若连结AP 、PE ，则PE +AP 的最小值为10；②连结QE ，若PQ =3，当CQ = 53 时，四边形APQE 的周长最小．试题分析：(1)延长AB 到M ，使BM =AB =4，则A 和M 关于BC 对称，连接EM ，交BC 于点P ，此时AP +PE 的值最小，过点M 作MN ⊥DC ，交DC 的延长线于点N ，在Rt △EMN 中，根据勾股定理求出EM 的长即可解答；(2)点A 向右平移3个单位到点G ，点E 关于BC 的对称点为点F ，连接GF ，交BC 于点Q ，此时GQ +QE 的值最小，根据题意可知AE ，PQ 的值是定值，要使四边形APQE 的周长最小，只要GQ +EQ 的值最小即可，然后根据A 字模型相似三角形证明△FCQ ∽△FDG ，利用相似三角形的性质，即可解答．答案详解：解：(1)延长AB 到M ，使BM =AB =4，则A 和M 关于BC 对称，∴AP =PM ，连接EM ，交BC 于点P ，此时AP +PE 的值最小，∴AP +PE =PM +EP =EM ，过点M 作MN ⊥DC ，交DC 的延长线于点N ，如图：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =4，∠ABC =∠BCD =90°，∴∠MBC =∠BCN =90°，∵∠MND =90°，∴四边形BMNC 是矩形，∴BM =CN =4，BC =MN =8，∵E 为CD 的中点，∴EC =12CD =2，∴EN =EC +CN =6，∴ME =MN 2+EN 2=82+62=10，∴PE +AP 的最小值为10，所以答案是：10；(2)点A 向右平移3个单位到点G ，点E 关于BC 的对称点为点F ，连接GF ，交BC 于点Q ，∴EQ =FQ ，∴GQ +EQ =GQ +FQ =FG ，此时GQ +QE 的值最小，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ∥AD ，∵AG =PQ =3，∴四边形APQG 是平行四边形，∴AP =GQ ，∴GQ +EQ =AP +EQ =FG ，∵AE ，PQ 的值是定值，∴要使四边形APQE 的周长最小，只要AP +EQ 的值最小即可，设CQ =x ，∵BC ∥AD ，∴∠BCF =∠D ，∠CQF =∠DGF ，∴△FCQ ∽△FDG ，∴CQ DG =CF DF ，∴x 5=26，∴x =53，∴当CQ =53时，四边形APQE 的周长最小，所以答案是：53．12如图，扇形AOB 中，OA =3，∠AOB =60°，点C 是AB 上的一个定点(不与A ，B 重合)，点D ，E 分别是OA ，OB 上的动点，则△CDE 周长的最小值为33 ．试题分析：如图，连接OC ，作点C 关于OA ，OB 的对称点T ，P ，连接OT ，OP ，PT ，PT 交AO 于点D ，交OB 于点E ，连接CD ，CE ，此时△CDE 的周长最小，最小值=线段TP 的长．解直角三角形求出PT的长，即可解决问题．答案详解：解：如图，连接OC，作点C关于OA，OB的对称点T，P，连接OT，OP，PT，PT交AO 于点D，交OB于点E，连接CD，CE，此时△CDE的周长最小，最小值=线段TP的长．过点O作OH⊥PT于点H．∵OC=OA=OP=OT=3，∠AOC=∠AOT，∠BOC=∠BOP，∴∠POT=2∠AOB=120°，∵OH⊥PT，OP=OT，∴TH=PH，∠TOH=∠POH=60°，∴TH=PH=OT•sin60°=332，∴PT=2TH=33，∴△CDE的周长的最小值为33．所以答案是：33．13如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作⊙O的切线DM交BC于点M．(1)求证：CM=BM．(2)若AD=23，P为AB上一点，当PM+PD为最小值时，求AP的长．试题分析：(1)连接OD，OM，先利用圆周角定理求出∠DOB=60°，再利用切线的性质可得∠ODM =90°，然后利用HL证明Rt△ODM≌Rt△OBM，从而利用全等三角形的性质可得∠DOM=∠BOM =30°，进而可得AC∥OM，即可解答；(2)连接DB，过点D作DE⊥AB，垂足为E，并延长交⊙O于点D′，连接D′M交AB于点P，连接DP，此时PM+PD的值最小，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，从而在Rt△ADB中，求出DB，AB的长，再在Rt△ABC中，求出BC的长，从而求出BM的长，然后证明△DOB是等边三角形，再利用等腰三角形的三线合一性质求出OE的长，从而求出DE的长，最后证明8字模型相似三角形△MBP∽△D′EP，利用相似三角形的性质求出BP的长，进行计算即可解答．答案详解：(1)证明：连接OD，OM，∵∠BAC=30°，∴∠DOB=2∠A=60°，∵DM与⊙O相切于点D，∴∠ODM=90°，∵∠ABC=90°，OD=OB，OM=OM，∴Rt△ODM≌Rt△OBM(HL)，∴∠DOM=∠BOM=12∠DOB=30°，∴∠A=∠BOM，∴AC∥OM，∵OA=OB，∴BM=CM；解法二：连接BD，∵DM，BC都是⊙O的切线，∴MD=MB，∴∠MBD=∠MDB，∵∠C+∠CBD=90°，∠CDM+∠BDM=90°，∴∠C=∠MDC，∴MC=MD，∴CM=MB．(2)连接DB，过点D作DE⊥AB，垂足为E，并延长交⊙O于点D′，则DE=D′E，∴点D与点D′关于AB对称，连接D′M交AB于点P，连接DP，此时PM+PD的值最小，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AD=23，∠DAB=30°，∴BD=AD•tan30°=23×33=2，∴AB=2BD=4，∴OA=OB=OD=12AB=2，在Rt△ABC中，BC=AB•tan30°=4×33=433，∴CM=BM=12BC=233，∵∠DOB=60°，∴△DOB是等边三角形，∵DE⊥OB，∴OE=EB=12OB=1，∴DE =3OE =3，∴DE =D ′E =3，∵∠D ′EP =∠CBP =90°，∠MPB =∠EPD ′，∴△MBP ∽△D ′EP ，∴BM D 'E =BP EP ，∴2333=BP 1-BP ，∴BP =25，∴AP =AB -BP =185，∴AP 的长为185．解法二：以B 为原点，构造平面直角坐标系．作点D 关于x 轴的对称点F ，连接FM 交AB 于点P ，连接PD ，此时PD +PM 的值最小．由方法一可知F (-1，-3)，M 0，233，设直线FM 的解析式为y =kx +b ，则有-k +b =-3b =233，∴直线FM 放解析式为y =533x +233，令y =0，可得x =-25，∴AP =AB -PB =185．14如图，抛物线与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C ，已知点A (-3，0)，抛物线的最低点的坐标为(-1，-4)．(1)求出该抛物线的函数解析式；(2)如图1，线段BC 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CD，CD 与抛物线相交于点E ，求点E 的坐标．(3)如图2，点M ，N 是线段AC 上的动点，且MN =2，求△OMN 周长的最小值．试题分析：(1)设抛物线的顶点式，然后用待定系数法求解即可；(2)过点C 作直线l ∥x 轴，过点D 作DG ⊥l 于点G ，则∠DGC =90°，所以∠D +∠DCG =90°，过点B 作BF ⊥l 于D ，则∠BFC =90°，先求出点B 、C 的坐标，得到BF =3，CF =1，再证△BCF ≌△CGD (AAS )，得到CG =BF =3，DG =CF =1，即可求出点D 的坐标，即可用待定系数法求出直线CD 的解析式，再与抛物线解析式联立求得点E 的坐标；(3)先求得直线AC 的解析式，然后设点M 的坐标为(m ，-m -3)，进而得到点N 的坐标为(m +1，-m -4)，再由两点间的距离公式求得OM +ON 的值，然后利用轴对称的性质和两点之间线段最短求得OM +ON 的最小值，最后得到△OMN 的周长最小值．答案详解：解：(1)∵抛物线的最低点的坐标为(-1，-4)，即顶点坐标为(-1，-4)，设抛物线的解析式为y =a (x +1)2-4，把点A (-3，0)代入解析式，得4a -4=0，∴a =1，∴抛物线的解析式为y =(x +1)2-4=x 2+2x -3．(2)当y =0时，x 2+2x -3=0，解得：x =-3或x =1，∴B (1，0)，如图1，过点C 作直线l ∥x 轴，过点D 作DG ⊥l 于点G ，则∠DGC =90°，∴∠D +∠DCG =90°，过点B 作BF ⊥l 于F ，则∠BFC =90°，∵线段BC 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CD ，∴BC =CD ，∠BCD =90°，∴∠DCG +∠BCF =90°，∴∠D =∠BCF ，又∵∠BFC =∠DGC =90°，∴△BCF ≌△CGD (AAS )，∴BF =CG ，CF =DG ，∵B (1，0)，C (0，-3)，∴BF =3，CF =1，∴CG =BF =3，DG =CF =1，∴BF -DG =2，∴D (-3，-2)，设直线CD 的解析式为y =kx +b ，则-3k +b =-2b =-3 ，解得：k =-13b =-3，∴直线CD 的解析式为y =-13x -3，由y =-13x -3y =x 2+2x -3，解得：x =-73y =-209或x =0y =-3 ，∴点E 的坐标为-73，-209．(3)设直线AC 的解析式为y =kx +b ，则-3k +b =0b =-3 ，解得：k =-1b =-3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x -3，设点M 的坐标为(m ，-m -3)，则点N 的坐标为(m +1，-m -4)，∴OM +ON =(m -0)2+(-m -3)2+[m -(-1)]2+(-m -4)2，∴OM +ON 表示点(m ，-m )到点P (0，3)和点Q (-1，4)的距离之和，点(m ，-m )在直线y =-x 上，如图2，作点P (0，3)关于直线y =-x 的对称点P '，连接P 'Q ，与直线y =-x 的交点即为点(m ，-m )，此时，OM +ON 取得最小值即为P 'Q 的值，∵直线y =-x 是第二、四象限的角平分线，∴∠POH =∠P 'OH =45°，由对称得，PP '⊥OH ，∴∠PHO =∠P 'HO =90°，∴△PHO 和△P 'HO 都是等腰直角三角形，∴OP '=OP =3，∴P '(-3，0)，∴P 'Q =[-1-(-3)]2+(4-0)2=25，∴OM +ON 的最小值为25，∴△OMN 的最小值为25+2．15(1)如图①，点A 、点B 在直线l 同侧，请你在直线l 上找一点P ，使得AP +BP 的值最小；(不需要说明理由)(2)如图②，∠AOB =60°，点P 为∠AOB 内一定点，OP =5，点E ，F 分别在OA ，OB 上，△PEF 的周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由；(3)如图③，已知四边形OABC 中，∠A =∠C =90°，∠B =150°，BC =2，OC =1033，点H 为OA 边上的一点且OH =4，点P ，F 分别在边AB ，OC 上运动，点E 在线段OH 上运动，连接EF ，EP ，PF ，△EFP 的周长是否存在最小值？若存在，请求出△EFP 周长最小值和此时OE 的长，若不存在，请说明理由．试题分析：(1)作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A 'B 交直线l 于点P ，即为所求；(2)作点P 关于OA 和OB 的对称点P '和P ''，连接P 'P ''，交OA 和OB 于点E 、F ，此时△PEF 的周长最小，连接OP '、OP ''，然后根据等腰三角形的性质求得P 'P ''的长即为△PEF 的周长最小值；(3)作点E 关于AB 和OC 的对称点E '和E ''，连接EE ''交OC 于点Q ，连接E 'E ''，交AB 和OC 于点P 、F ，此时△PEF 的周长最小，过点C 作CG ⊥OA 于点G ，过点B 作BN ⊥CG 于点N ，从而利用含30°角的直角三角形的三边关系求得BC 、AG 、OG 的长，即可得到OA 、OH 的长，设OE =x ，得到AE、EQ、AE'、EE''的长，过点E''作E''M⊥OA于点M，然后得到EM、E''M、E'M的长，再根据直角三角形的勾股定理求得E'E''2的大小，进而利用二次函数的最小值求得E'E''2的最小值，最后得到△PEF的周长最小值和OE的长．答案详解：解：(1)如图①，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，即为所求．(2)△PEF的周长存在最小值，理由如下，如图②，作点P关于OA和OB的对称点P'和P''，连接P'P''，交OA和OB于点E、F，此时△PEF的周长最小，连接OP'、OP''、OP，由对称得，OP'=OP=OP''=5，∠P'OA=∠POA，∠POB=∠P''OB，∴∠P'OP''=∠P'OA+∠AOB+∠P''OB=∠AOB+∠POA+∠POB=∠AOB+∠AOB=60°+60°=120°，∴∠OP'P''=30°，过点O作OH⊥P'P''于点H，则P'H=P''H，∠OHP'=∠OHP''=90°，∴OH=12OP'=12×5=52，∴P'H=OP'2-OH2=52-52 2=532，∴P'P''=2P'H=2×532=53，∴△PEF周长最小值为53．(3)△EFP周长存在最小值，理由如下，如图③，作点E关于AB和OC的对称点E'和E''，连接EE''交OC于点Q，则∠EQO=90°，连接E'E''，交AB和OC于点P、F，此时△PEF的周长最小，过点C作CG⊥OA于点G，过点B作BN⊥CG于点N，则∠BNC=∠ABN=90°，四边形ABNG是矩形，∴BN=AG，∵∠ABC=150°，∠OAB=∠OCB=90°，∴∠CBN=150°-90°=60°，∠AOC=30°，∴∠BCN=30°，∵BC=2，OC=1033，∴BN=12BC=12×2=1，CG=12OC=12×1033=533，∴AG=1，OG=OC2-CG2=10332-533 2=5，∴OA=AG+OG=1+5=6，设OE=x(0≤x≤4)，则AE=OA-OE=6-x，∵∠AOC=30°，∴EQ=12OE=12x，∠E''EM=60°，由对称的性质得，AE'=AE=6-x，EQ=E''Q=12 x，∴EE''=EQ+E''Q=12x+12x=x，过点E''作E''M⊥OA于点M，则∠E''ME=90°，∴∠EE''M=30°，∴EM=12E''E=12x，∴E''M=E″E2-EM2=x2-x2 2=32x，E'M=E'A+AE+EM=6-x+6-x+12x=12-32x，∴E'E''2=E'M2+E''M2=12-32x2+32x2=3x2-36x+144=3(x-6)2+36，∴当0≤x≤4时，E'E''的值随x的增大而减小，∴当x=4时，E'E''2最小值=3×(4-6)2+36=48，∴OE的长为4时，△EFP周长最小值为43．16问题提出(1)如图①，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4．若点P是边AC上一点，则BP的最小值为 125 ；问题探究(2)如图②，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，点E是BC的中点．若点P是边AC上一点，试求PB+PE的最小值；问题解决(3)某市一湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路，如图③所示．已知AD=2000米，CD=1000米，∠A=60°，∠B=90°，∠C=150°．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要修一条由CE，EF，FC连接而成的步行景观道，其中，点E，F分别在边AB，AD上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即CE+EF+FC的值最小，求此时BE，DF的长．(路面宽度忽略不计)试题分析：(1)过B作BP⊥AC于P，由垂线段最短可知，BP⊥AC时，BP的值最小，由面积法可得BP=AB⋅BCAC =3×45=125；(2)作E关于直线AC的对称点E'，连接CE'，EE'，BE'，BE'交AC于P，由E，E'关于直线AC对称，可知PB+PE=PB+PE'，而B，P，E'共线，故此时PB+PE最小，最小值为BE'的长度，根据∠B =90°，AB =BC =2，点E 是BC 的中点，可得CE =CE '=1，∠BCE '=90°，再用勾股定理可得答案；(3)作C 关于AD 的对称点M ，连接DM ，CM ，CM 交AD 于H ，作C 关于AB 的对称点N ，连接BN ，延长DC ，AB 交于G ，连接NG ，连接MN 交AB 于E ，交AD 于F ，由C ，N 关于AB 对称，C ，M 关于AD 对称，CE =NE ，CF =MF ，又N ，E ，F ，M 共线，知此时CE +EF +CF 最小，根据∠A =60°，∠ABC =90°，∠BCD =150°，可得∠ADC =60°，∠MCD =∠CMD =30°，即得DH =12CD =500米，CH =MH =3DH =5003米，CM =10003米，由∠ADC =60°，∠A =60°，知△ADG 是等边三角形，从而CG =DG -CD =1000米，同理可得CG =NG =1000米，∠BNG =∠BCG =30°，即得BG =12CG =500米，BC =BN =3BG =5003米，故CN =10003米=CM ，知∠CNM =∠CMN =30°，在Rt △BNE 中，BE =BN 3=50033=500米，在Rt △MHF 中，FH =MH 3=50033=500米，即得DF =FH +DH =1000米．答案详解：解：(1)过B 作BP ⊥AC 于P ，如图：由垂线段最短可知，BP ⊥AC 时，BP 的值最小，∵∠ABC =90°，AB =3，BC =4，∴AC =AB 2+BC 2=5，∵2S △ABC =AB •BC =AC •BP ，∴BP =AB ⋅BC AC =3×45=125，所以答案是：125；(2)作E 关于直线AC 的对称点E '，连接CE '，EE '，BE '，BE '交AC 于P ，如图：∵E ，E '关于直线AC 对称，∴PE =PE '，∴PB +PE =PB +PE '，∵B ，P ，E '共线，∴此时PB +PE 最小，最小值为BE '的长度，∵∠B =90°，AB =BC =2，∴∠ACB =45°，∵点E 是BC 的中点，∴CE =1，∵E ，E '关于直线AC 对称，∴∠ACE '=∠ACB =45°，CE =CE '=1，∴∠BCE '=90°，在Rt △BCE '中，BE '=BC 2+CE '2=22+12=5，∴PB +PE 的最小值为5；(3)作C 关于AD 的对称点M ，连接DM ，CM ，CM 交AD 于H ，作C 关于AB 的对称点N ，连接BN ，延长DC ，AB 交于G ，连接NG ，连接MN 交AB 于E ，交AD 于F ，如图：∵C，N关于AB对称，C，M关于AD对称，∴CE=NE，CF=MF，∴CE+EF+CF=NE+EF+MF，∵N，E，F，M共线，∴此时CE+EF+CF最小，∵∠A=60°，∠ABC=90°，∠BCD=150°，∴∠ADC=60°，∵C，M关于AD对称，∴∠MDH=∠CDH=60°，∠CHD=∠MHD=90°，CD=MD=1000米，∴∠MCD=∠CMD=30°，∴DH=12CD=500米，CH=MH=3DH=5003米，∴CM=10003米，∵∠ADC=60°，∠A=60°，∴△ADG是等边三角形，∴DG=AD=2000米，∴CG=DG-CD=1000米，∵∠BCD=150°，∴∠BCG=30°，∵C，N关于AB对称，∠ABC=90°，∴C，B，N共线，CG=NG=1000米，∠BNG=∠BCG=30°，∴BG=12CG=500米，BC=BN=3BG=5003米，∴CN=10003米=CM，∴∠CNM=∠CMN，∵∠BCD=150°，∠MCD=30°，∴∠NCM=120°，∴∠CNM=∠CMN=30°，在Rt△BNE中，BE=BN3=50033=500(米)，在Rt△MHF中，FH=MH3=50033=500(米)，∴DF=FH+DH=500+500=1000(米)，答：BE的长为500米，DF的长为1000米．17如图(1)，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)，直线l经过B、C两点．(1)求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；(2)点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM=12MN时，求点P的横坐标；(3)如图(2)，点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ=3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．试题分析：(1)用待定系数法求函数的解析式即可；(2)设P(t，-t+3)，则M(t，-t2+2t+3)，N(2-t，-t2+2t+3)，则PM=|t2-3t|，MN=|2-2t|，由题意可得方程|t2-3t|=12|2-2t|，求解方程即可；(3)由题意可知Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由QG∥BC，求出点G(2，0)，作A点关于GQ的对称点A'，连接A'D与AP交于点Q，则3AP+4DQ=4DQ+34AP=4 (DQ+AQ)≥4A'D，利用对称性和∠OBC=45°，求出A'(2，3)，求出直线DA'的解析式和直线QG的解析式，联立方程组y=-x+2y=3x-3，可求点Q54，34，再求DQ=5104．答案详解：解：(1)将点B(3，0)，C(0，3)代入y=-x2+bx+c，∴-9+3b+c=0 c=3，解得b=2 c=3 ，∴y=-x2+2x+3，∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴顶点坐标(1，4)；(2)设直线BC的解析式为y=kx+b，∴3k+b=0 b=3，解得k=-1 b=3 ，∴y=-x+3，设P (t ，-t +3)，则M (t ，-t 2+2t +3)，N (2-t ，-t 2+2t +3)，∴PM =|t 2-3t |，MN =|2-2t |，∵PM =12MN ，∴|t 2-3t |=12|2-2t |，解得t =1+2或t =1-2或t =2+3或t =2-3，∴P 点横坐标为1+2或1-2或2+3或2-3；(3)过Q 点作QG ∥BC ，∵C (0，3)，D 点与C 点关于x 轴对称，∴D (0，-3)，令y =0，则-x 2+2x +3=0，解得x =-1或x =3，∴A (-1，0)，∴AB =4，∵AQ =3PQ ，∴AQAP =AG BA，∴34=AG 4，∴AG =3，∴G (2，0)，∵OB =OC ，∴∠OBC =45°，作A 点关于GQ 的对称点A '，连接A 'D 与AP 交于点Q ，∵AQ =A 'Q ，∴AQ +DQ =A 'Q +DQ ≥A 'D ，∴3AP +4DQ =4DQ +34AP =4(DQ +AQ )≥4A 'D ，∵∠QGA =∠CBO =45°，AA '⊥QG ，∴∠A 'AG =45°，∵AG =A 'G ，∴∠AA 'G =45°，∴∠AGA '=90°，∴A '(2，3)，设直线DA '的解析式为y =kx +b ，∴b =-32k +b =3 ，解得k =3b =-3 ，∴y =3x -3，同理可求直线QG 的解析式为y =-x +2，联立方程组y =-x +2y =3x -3 ，解得x =54y =34 ，∴Q 54，34，∴DQ =5104．18在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A (-1，0)和点B (0，3)，顶点为C ，点D 在其对称轴上，且位于点C 下方，将线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处．(1)求抛物线的解析式；(2)求点P 的坐标；(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O ，这时点P 落在点E 的位置，在y 轴上是否存在点M ，使得MP +ME 的值最小，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．试题分析：(1)利用待定系数法求抛物线解析式；(2)利用配方法得到y =-(x -1)2+4，则根据二次函数的性质得到C 点坐标和抛物线的对称轴为直线x =1，如图，设CD =t ，则D (1，4-t )，根据旋转性质得∠PDC =90°，DP =DC =t ，则P (1+t ，4-t )，然后把P (1+t ，4-t )代入y =-x 2+2x +4得到关于t 的方程，从而解方程求出t ，即可得到点P 的坐标；(3)P 点坐标为(2，3)，顶点C 坐标为(1，4)，利用抛物线的平移规律确定E 点坐标为(1，-1)，找出点E 关于y 轴的对称点F (-1，-1)，连接PF 交y 轴于M ，则MP +ME =MP +MF =PF 的值最小，然后利用待定系数法求出直线PF 的解析式，即可得到点M 的坐标．答案详解：解：(1)把A (-1，0)和点B (0，3)代入y =-x 2+bx +c ，得-1-b +c =0c =3，解得：b =2c =3 ，∴抛物线解析式为y =-x 2+2x +3；(2)∵y =-(x -1)2+4，∴C (1，4)，抛物线的对称轴为直线x =1，如图，设CD =t ，则D (1，4-t )，∵线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处，∴∠PDC =90°，DP =DC =t ，∴P (1+t ，4-t )，把P (1+t ，4-t )代入y =-x 2+2x +3得：-(1+t )2+2(1+t )+3=4-t ，整理得t 2-t =0，解得：t 1=0(舍去)，t 2=1，∴P (2，3)；(3)∵P 点坐标为(2，3)，顶点C 坐标为(1，4)，将抛物线平移，使其顶点落在原点O ，这时点P 落在点E 的位置，∴E 点坐标为(1，-1)，∴点E 关于y 轴的对称点F (-1，-1)，连接PF 交y 轴于M ，则MP +ME =MP +MF =PF的值最小，设直线PF 的解析式为y =kx +n ，∴2k +n =3-k +n =-1，解得：k =43n =13 ，∴直线PF 的解析式为y =43x +13，∴点M 的坐标为0，13 ．19如图，已知抛物线y=ax2+bx+4经过A(-1，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC，求直线BC的解析式；(3)请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值；(4)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．试题分析：(1)利用待定系数法解决问题即可．(2)设BC的解析式为y=kx+b，把B，C两点坐标代入，转化为方程组解决．(3)可以连接BC交直线x=32于点P，连接PA，此时PA+PC的值最小，最小值为线段BC的长．(4)观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或-4，把问题转化为解方程求解即可．答案详解：解：(1)把A(-1，0)，B(4，0)代入y=ax2+bx+4，得到a-b+4=016a+4b+4=0 ，解得a=-1 b=3 ，∴y=-x2+3x+4；(2)在y=-x2+3x+4中，令x=0，则y=4，∴C(0，4)，设BC的解析式为y=kx+b，∵B(4，0)，C(0，4)，∴b=44k+b=0 ，∴k=-1 b=4 ，∴直线BC的解析式为y=-x+4．(3)如图1中，由题意A ，B 关于抛物线的对称轴直线x =32对称，连接BC 交直线x =32于点P ，连接PA ，此时PA +PC 的值最小，最小值为线段BC 的长=42+42=42，此时P 32，52．(4)如图2中，存在．观察图象可知，满足条件的点N 的纵坐标为4或-4，对于抛物线y =-x 2+3x +4，当y =4时，x 2-3x =0，解得x =0或3，∴N 1(3，4)．当y =-4时，x 2-3x -8=0，解得x =3±412，∴N 23+412，-4 ，N 33-412，-4 ，综上所述，满足条件的点N 的坐标为(3，4)或3+412，-4或3-412，-4 ．20已知反比例函数y =k x 和一次函数y =x -1，其中一次函数图象过(3a ，b )，3a +1，b +k 3两点．(1)求反比例函数的关系式；(2)如图，函数y =13x ，y =3x 的图象分别与函数y =k x(x >0)图象交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点P ，使得△ABP 周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．试题分析：(1)把(3a ，b )，3a +1，b +k 3代入y =x -1中，列出方程组进行计算即可解答；(2)作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点P ，连接BP ，此时AP +BP 的最小，即△ABP 周长最小，先求出A ，B 两点坐标，从而求出AB 的长，再根据点B 与点B ′关于y 轴对称，求出B ′的坐标，从而求出AB ′的长，进而求出△ABP 周长的最小值．答案详解：解：(1)把(3a ，b )，3a +1，b +k 3代入y =x -1中可得：b =3a -1b +k 3=3a +1-1，解得：k =3，∴反比例函数的关系式为：y =3x；(2)存在，作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点P ，连接BP ，此时AP +BP 的最小，即△ABP 周长最小，由题意得：y =3x y =3x ，解得：x =1y =3 或x =-1y =-3 ，∴B (1，3)，由题意得：y =3xy =13x，解得：x =3y =1 或x =-3y =-1 ，∴A (3，1)，∴AB =22，∵点B 与点B ′关于y 轴对称，∴B ′(-1，3)，BP =B ′P ，∴AB ′=25，∴AP +BP =AP +B ′P =AB ′=25，∴AP +BP 的最小值为25，∴△ABP 周长最小值=25+22，∴△ABP 周长的最小值为25+22．。
重难点05轴对称之“将军饮马”模型(解析版)-八年级数学
重难点05轴对称之“将军饮马”模型1.识别几何模型。
2.利用“将军饮马”模型解决问题如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【模型解析】作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）类型一：两定一动之点点在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．类型二：两定两动之点点在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。
类型三：一定两动之点线在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。
此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）一．选择题（共5小题）1．（2021秋•苏州期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2），点B（﹣5，6），在x轴上确定点C，使得△ABC的周长最小，则点C的坐标是（）A．（﹣4，0）B．（﹣3，0）C．（﹣2，0）D．（﹣2.5，0）【分析】作B点关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点C，连接BC，此时△ABC的周长最小，求出直线AB'的解析式y＝2x+4与x轴的交点即可．【解答】解：作B点关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点C，连接BC，∴BC＝B'C，∴BC+AC＝B'C+AC≥AB'，此时△ABC的周长最小，∵B（﹣5，6），∴B'（﹣5，﹣6），设直线AB'的解析式为y＝kx+b，将点A（﹣1，2），B'（﹣5，﹣6）代入，得，∴，∴y＝2x+4，令y＝0，则x＝﹣2，∴C（﹣2，0），故选：C．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，用待定系数法求函数解析式是解题的关键．2．（2022秋•江都区月考）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝3，S△ABC＝6，AD⊥BC于点D，EF是AB的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为（）A．3.5B．4C．4.5D．5【分析】由垂直平分线的性质知AP＝BP，则PB+PD＝AP+PD，从而PB+PD最小值为AD的长，利用面积即可求出AD的长．【解答】解：∵EF是AB的垂直平分线，∴AP＝BP，∴PB+PD＝AP+PD，即点P在AD上时，PB+PD最小值为AD的长，＝6，∵BC＝3，S△ABC∴×3×AD＝6，∴AD＝4，∴PB+PD最小值为4，故选：B．【点评】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质等知识，将PB+PD最小值转化为AD的长是解题的关键．3．（2020秋•如皋市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，P为直线BC上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC最小时，∠PBC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】由题意可知作B点关于该垂直平分线的对称点B'，连接B'C，交垂直平分线于P点，此时PB+PC 最小，证明△BCB'是等腰直角三角形，即可求∠PBC．【解答】解：∵△PBC的面积等于△ABC的面积的，∴P点在AD的垂直平分线上，作B点关于该垂直平分线的对称点B'，连接B'C，交垂直平分线于P点，由对称性可知，B'P＝BP，∴BP+PC＝B'P+PC＝B'C，此时PB+PC最小，∵AD＝BB'，AD＝BC，∴BB'＝BC，∴△BCB'是等腰直角三角形，∴∠B'CB＝∠B'＝45°，∴∠B'BP＝45°，∴∠PBC＝45°，故选：B．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等腰直角三角形的性质是解题的关键．4．（2021秋•如皋市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，D为AB上一动点，DE∥AC，DE＝2，则AE+CE的最小值等于（）A．4B．2C．3D．+2【分析】过E作EF∥AB交CA的延长线于点F，作点A关于EF的对称点A'，连接A'E和A'F．依据轴对称的性质即可得到∠BAC＝∠AFE＝∠A'FE，AE＝A'E，再根据四边形ADEF是平行四边形，即可得出AF ＝DE＝2，A'F＝AF＝2．当点C，点E，点A'在同一直线上时，AE+CE的最小值等于A'C的长，利用勾股定理求得A'C的长即可．【解答】解：如图所示，过E作EF∥AB交CA的延长线于点F，作点A关于EF的对称点A'，连接A'E和A'F，∴∠BAC＝∠AFE＝∠A'FE，AE＝A'E，∴AE+CE＝A'E+CE，由题可得，△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∴∠A'FC＝45°×2＝90°，∵AF∥DE，EF∥AD，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF＝DE＝2，A'F＝AF＝2，当点C，点E，点A'在同一直线上时，AE+CE的最小值等于A'C的长，如图所示．此时，Rt△A'FC中，A'C＝＝＝，∴AE+CE的最小值为，故选：B．【点评】此题主要考查了最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．5．（2022秋•如东县期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（）A．B．C．a+b D．a【分析】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE′+FE′的值最小．【解答】解：如图，∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AF＝CF＝a，BF＝b，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE′+FE′的值最小，∵CA＝CM，∠ACM＝60°，∴△ACM是等边三角形，∴AM＝AC，∵BF⊥AC，∴FM＝BF＝b，∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM＝a+b，故选：B．【点评】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．二．填空题（共5小题）6．（2022秋•句容市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的角平分线，若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是．【分析】作F关于AD的对称点F'，由角的对称性知，点F'在AB上，当CF'⊥AB时，EC+EF的最小值为CF'，再利用面积法求出CF'的长即可．【解答】解：作F关于AD的对称点F'，∵AD是∠BAC的平分线，∴点F'在AB上，∴EF＝EF'，∴当CF'⊥AB时，EC+EF的最小值为CF'，∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，＝，∴S△ABC∴12×8＝10×CF'，∴CF'＝，∴EC+EF的最小值为，故答案为：．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握将军饮马的基本模型是解题的关键．7．（2021秋•如皋市月考）如图，等边△ABC的边长为6，AD是高，F是边AB上一动点，E是AD上一动点，则BE+EF的最小值为．【分析】过C点作CF⊥AB交AB于F，交AD于E，连接BE，BE+EF的最小值为CF，求出CF即可．【解答】解：过C点作CF⊥AB交AB于F，交AD于E，连接BE，∵AD是等边三角形ABC的高，∴BE＝CE，∴BE+EF＝CE+EF≥CF，∴BE+EF的最小值为CF，∵BC＝6，AB＝6，∴BF＝3，∴CF＝＝＝3，∴BE+EF的最小值为3，故答案为：3．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等边三角形的性质，轴对称的性质，垂线段最短是解题的关键．8．（2022秋•镇江期中）如图，在△BCD中，∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，射线CN平分∠BCD，AB∥CD，AB＝10，BD＝24，点F为BC的中点，点M为射线CN上一动点，则MF+MA的最小值为26．【分析】连接AD，交NC于点G，连接FD，交NC于点P，连接GF，根据题意可得△DFC为等边三角形，由等边三角形的三线合一可得GF＝GD，以此得出MF+MA的最小值为GF+AG＝GD+AG＝AD，由AB∥CD 可得△ABD为直角三角形，最后根据勾股定理求解即可．【解答】解：如图，连接AD，交NC于点G，连接FD，交NC于点P，连接GF，∵∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，∴∠BCD＝60°，CD＝CD，∵点F为BC的中点，∴FD＝BF＝CF＝BC＝CD，∴△DFC为等边三角形，∵射线CN平分∠BCD，∴CP垂直平分DP，∴GF＝GD，点D为点F关于CN的对称点，∴当M在点G时，此时MF+MA为GF+AG＝GD+AG＝AD取得最小值，∵AB∥CD，∴∠ABD＝90°，∵AB＝10，BD＝24，∴．故答案为：26．【点评】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线，得出MF+MA的最小值为AD是解题关键．9．（2022秋•江宁区校级月考）如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为BC的中点，AD＝2，若P为AB上一个动点，则PC+PD的最小值为．【分析】作点D关于AB的对称点E，连接PE，BE，依据轴对称的性质，即可得到DB＝EB，DP＝EP，∠ABC＝∠ABE＝45°，根据PC+PD＝PC+PE，可得当C，P，E在同一直线上时，PC+PE的最小值等于CE 的长，根据全等三角形的对应边相等，即可得出PC+PD的最小值为2．【解答】解：如图所示，作点D关于AB的对称点E，连接PE，BE，则DB＝EB，DP＝EP，∠ABC＝∠ABE＝45°，∠CBE＝90°，∵D是BC的中点，∴BD＝BC＝2，∴BE＝2，∵PC+PD＝PC+PE，∴当C，P，E在同一直线上时，PC+PE的最小值等于CE的长，此时，PC+PD最小，∵AC＝BC＝4，D为BC的中点，∴CD＝DB＝BE，又∵∠ACD＝∠CBE＝90°，∴△ACD≌△CBE（SAS），∴CE＝AD＝2，∴PC+PD的最小值为2．故答案为：2．【点评】此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．10．（2022秋•海安市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝2，点E为射线AC上的动点，DE∥AB，且DE＝2．当AD+BD的值最小时，∠DBC的度数为45°．【分析】过点D作DF⊥AC于点F，可知点D在到AC的距离为1的直线上，作出该直线l，利用将军饮马模型，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点D′，此时AD′+BD′＝A′B，即点D 与点D′重合时，AD+BD的值最小．利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理分别求得∠ABA′和∠ABC的度数，则结论可求．【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，如图，∵DE∥AB，∴∠DEF＝∠BAC＝30°，∵DF⊥AC，∴DF＝DE＝1，∴点D到直线AC的距离等于定值1．过点D作直线l∥AC，则点D在直线l上运动，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点D′，由将军饮马模型可知：此时AD′+BD′＝A′B，即点D与点D′重合时，AD+BD的值最小．由题意：AA′⊥l，AG＝GA′，∵l∥AC，DF⊥AC，∴四边形AFDG为矩形，∴AG＝DF＝1，∴AA′＝AG+A′G＝2，∵AB＝AC＝2，∴AB＝AA′，∴∠ABA′＝∠A′．∵∠BAC＝30°，∠FAG＝90°，∴∠BAA′＝120°，∴∠ABA′＝∠A′＝＝30°．∵∠BAC＝30°，AB＝AC＝2，∴∠ABC＝∠ACB＝＝75°，∴∠DBC＝∠D′BC＝∠ABC﹣∠ABD′＝45°．故答案为：45°．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，轴对称的性质，平行线的判定与性质，利用将军饮马模型构造辅助线解答是解题的关键．三．解答题（共8小题）11．（2022秋•苏州期中）（1）如图，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB 上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短．请在图中作出点P，保留作图痕迹，并求出PC+PD的最小值．（2）借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式+的最小值＝17．【分析】（1）作点C关于AB的对称点F，连接DF交AB于点P，连接PC，点P即为所求；根据勾股定理可得DF的长，从而解答即可；（2）先作出点C关于AB的对称点F，连接DF，使AB＝15，AD＝5，BC＝BF＝3，DF就是代数式+的最小值，【解答】解：（1）作点C关于AB的对称点F，连接DF交AB于点P，连接PC，点P即为所求；作DE⊥BC交BC的延长线于E．在Rt△DEF中，∵DE＝AB＝200米，EF＝AD+BC＝80+70＝150米，∴DF＝＝＝250（米），∴PD+PC的最小值为250米；（2）：先作出点C关于AB的对称点F，连接DF，作DE⊥BC交BC的延长线于E．使AB＝15，AD＝5，BC＝BF＝3，DF就是代数式+的最小值，∵DF＝＝＝17，∴代数式+的最小值为17．故答案为：17．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．12．（2022秋•秦淮区校级月考）（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）；（2）在直线l上找一点P，使得PA+PC的和最小．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）连接A1C，与直线l交于点P，连接AP，此时PA+PC的和最小．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，点P即为所求．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．13．（2022秋•江都区校级月考）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；（2）在DE上画出点P，使△PBC的周长最小．（3）在DE上找一点M，使|MC﹣MB|值最大．（4）△ABC的面积是．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）连接B1C，交直线DE于点P，连接BP，此时PB+PC最小，即可得△PBC的周长最小．（3）延长CB，交直线DE于点M，此时|MC﹣MB|值最大．（4）利用割补法求三角形的面积即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，点P即为所求．（3）如图，点M即为所求．（4）△ABC的面积为3×3﹣﹣﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．14．（2022秋•宜兴市月考）请在如图所示的正方形网格中完成下列问题：（1）如图，请在图中作出△ABC关于直线MN成轴对称的△A′B′C′；（2）求出△ABC的面积．（3）在直线MN上找一点P，使得PC+PB最小．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可，（2）利用割补法求三角形的面积即可．（3）连接B'C，交直线MN于点P，连接PB，此时PC+PB最小．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．（2）△ABC的面积为3×6﹣﹣﹣＝8．（3）如图，点P即为所求．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．15．（2022秋•江阴市期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在边BC上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．（1）在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称；（2）△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积＝6；（3）在AE上找一点P，使得PC+PD的值最小．【分析】（1）利用轴对称的性质作出点B的对应点F，即可解决问题；（2）△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积＝四边形ADTE的面积，利用分割法求解；（3）作点D关于直线AE的对称点D′，连接CD′交AE于点P，点P即为所求．【解答】解：（1）如图，△AEF即为所求；（2）△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积＝四边形ADTE的面积＝2×4﹣×2×2＝6；（3）如图，点P即为所求．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，最短问题，四边形面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．16．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB边上一点，若AE ＝2，求EM+BM的最小值．【分析】要求EM+BM的最小值，需考虑通过作辅助线转化EM，BM的值，从而找出其最小值求解．【解答】解：连接CE，与AD交于点M．则CE就是BM+ME的最小值．取BE中点F，连接DF．∵等边△ABC的边长为6，AE＝2，∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，∴BF＝FE＝AE＝2，又∵AD是BC边上的中线，∴DF是△BCE的中位线，∴CE＝2DF，CE∥DF，又∵E为AF的中点，∴M为AD的中点，∴ME是△ADF的中位线，∴DF＝2ME，∴CE＝2DF＝4ME，∴CM＝CE．在直角△CDM中，CD＝BC＝3，DM＝AD，CM＝＝，CE＝×＝2，∵BM+ME＝CE，∴BM+ME的最小值为2．【点评】此题主要考查了轴对称﹣最短路线问题和等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，根据已知得出M点位置是解题关键．17．（2021秋•连云港期末）【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中，你发现线段AD与BE有什么关系？试说明你的结论；【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若∠B＝∠FDE＝∠C，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理；【拓展应用】如图3，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝45°，点D、F分别是边BC、AB上的动点，且AF＝2BD．以DF为腰向右作等腰△DEF，使得DE＝DF，∠EDF＝45°，连接CE．①试判断线段DC、BD、BF之间的数量关系，并说明理由；②如图4，已知AC＝2，点G是AC的中点，连接EA、EG，直接写出EA+EG的最小值．【分析】【问题情境】证明△ABD≌△BCE（AAS），即可求解；【变式探究】利用等量代换即可求解；【拓展应用】①用等量代换即可求解；②在CD上截取DM＝BF，连接EM，作点G关于CE的对称点N，连接CN，AN，先证明△BDF≌△MED （SAS），得到EM＝CM，在求出∠ECM＝∠MEC＝22.5°，即可确定E点在射线CE上运动，当A、E、N 三点共线时，EA+EG的值最小，最小值为AN，在Rt△ANC中求出AN即可．【解答】解：【问题情境】AD＝BE，理由如下：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠BAD＝∠CBE，∵AB＝BC，∴△ABD≌△BCE（AAS），∴AD＝BE；【变式探究】∠BED＝∠FDC，∠EDB＝∠DFC；∵∠B＝∠FDE＝∠C，∴∠EDB+∠BED＝∠EDB+∠FDC＝∠FDC+∠DFC＝180°﹣∠EDF，∴∠BED＝∠FDC，∠EDB＝∠DFC；【拓展应用】①∵AB＝BC，∴AF+BF＝BD+CD，∵AF＝2BD，∴2BD+BF＝BD+CD，∴BD+BF＝CD；②在CD上截取DM＝BF，连接EM，作点G关于CE的对称点N，连接CN，AN，∵∠B＝45°，∠EDF＝45°，∴∠BFD＝∠EDM，∵DF＝DE，∴△BDF≌△MED（SAS），∴BD＝EM，EM＝BD，∠B＝∠DME＝45°，∵CD＝BD+BF，∴CM＝BD，∴EM＝CM，∴∠MCE＝∠MEC，∵∠EMD＝45°，∴∠ECM＝∠MEC＝22.5°，∴E点在射线CE上运动，∵G点与N的关于CE对称，∴EG＝EN，∴EA+EG＝EA+EN≥AN，∴当A、E、N三点共线时，EA+EG的值最小，最小值为AN，∵∠B＝45°，AB＝BC，∴∠ACB＝67.5°，∴∠ACE＝45°，由对称性可知，∠ACE＝∠ECN，∴∠ACN＝90°，∵点G是AC的中点，AC＝2，∴CG＝1，∴CN＝1，在Rt△ANC中，AC＝，∴AE+EG的最小值为．【点评】本题是三角形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键．18．（2020秋•南京期中）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为；（2）代数应用：求代数式+（0≤x≤3）的最小值；（3）几何拓展：如图3，△ABC中，AC＝2，∠A＝30°，若在AB、AC上各取一点M、N使CM+MN的值最小，最小值是．【分析】（1）作点E关于直线BC的对称点E′，连接E′A，根据“将军饮马问题”得到PA+PE的最小值为E′A，根据勾股定理求出E′A，得到答案；（2）根据勾股定理构造图形，根据轴对称﹣﹣最短路线问题得到最小值就是求PC+PD的值，根据勾股定理计算即可；（3）作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，根据等边三角形的性质解答．【解答】解：（1）如图2，作点E关于直线BC的对称点E′，连接E′A，则E′A与直线BC的交点即为P，且PA+PE的最小值为E′A，作E′F⊥AC交AC的延长线于F，由题意得，E′F＝1，AF＝3，∴PA+PE的最小值E′A＝＝，故答案为：；（2）构造图形如图4所示，BD＝3，AC＝1，AP＝x，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，AB＝3，则PC+PD＝+，代数式+（0≤x≤3）的最小值就是求PC+PD的值，作点C关于AB的对称点C'，过C'作C'E⊥DB交DB的延长线于E．则C'E＝AB＝3，DE＝3+1＝4，C'D＝＝＝5，∴所求代数式的最小值是5；（3）如图3，作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，则C′A＝CA＝2，∠C′AB＝∠CAB＝30°，∴△C′AC为等边三角形，∴CM+MN的最小值为C′N＝，故答案为：．【点评】本题考查的是轴对称﹣﹣最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质，解这类问题的关键是将实际问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．一．选择题（共2小题）1．（2022秋•和平区校级期末）如图，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD＝8，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在EB+EF的最小值，则这个最小值是（）A．5B．6C．7D．8【分析】连接CF交AD于点E，连接BE，此时BE+EF的值最小，求出CF即可．【解答】解：连接CF交AD于点E，连接BE，∵△ABC是等边三角形，AD是高，∴BE＝CE，∴BE+EF＝CE+EF≥CF，此时BE+EF的值最小，∵F是AB边上的中点，∴CF＝AD，∵AD＝8，∴CF＝8，故选：D．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质是解题的关键．2．（2022秋•乌鲁木齐期末）如图，在锐角△ABC中，∠C＝40°；点P是边AB上的一个定点，点M、N 分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（）A．90°B．100°C．110°D．80°【分析】分别作P关于BC，AC的对称点E，D，连接DE，交AC于M，交BC于N，此时△MNP的周长最小，由条件求出∠DPE的度数，由轴对称的性质，等腰三角形的性质得到∠MPD+∠NPE＝∠D+∠E＝40°，从而求出∠MPN的度数．【解答】解：分别作P关于BC，AC的对称点E，D，连接DE，交AC于M，交BC于N，此时△MNP 的周长最小，∵∠PHM＝∠PGN＝90°，∠C＝40°，∴∠DPE＝360°﹣∠PHM﹣∠PGN﹣∠C＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∴∠D+∠E＝180°﹣∠DPE＝180°﹣140°＝40°，∵PM＝DM，NP＝NE，∴∠MPD＝∠D，∠NPE＝∠E，∴∠MPD+∠NPE＝∠D+∠E＝40°，∴∠MPN＝∠DPE﹣（∠MPD+∠NPE）＝140°﹣40°＝100°．故选：B．【点评】本题考查轴对称的性质，关键是分别作P关于BC，AC的对称点E，D，连接DE，交AC于M，交BC于N，找到周长最小的△PMN．二．填空题（共5小题）3．（2022秋•灵宝市期末）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7．MN为BC边上的垂直平分线，若点D在直线MN上，连接AD，BD，则△ABD周长的最小值为12．【分析】MN与AC的交点为D，AD+BD的值最小，即△ABD的周长最小值为AB+AC的长．【解答】解：MN与AC的交点为D，∵MN是BC边上的垂直平分线，∴AD＝CD，∴AD+BD＝AD+CD＝AC，此时AD+BD的值最小，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AC最小，∵AB＝5，AC＝7，∴AB+AC＝12，∴△ABD的周长最小值为12，故答案为：12．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的的方法，线段垂直平分线的性质是解题的关键．4．（2022秋•白云区校级期末）如图，等腰△ABC的底边长为8，面积是24，腰AB的垂直平分线MN交AB于点M，交AC于点N．点D为BC的中点，点E为线段MN上一动点，设△BDE的周长的最小值为a，则式子[2a3•a5+（3a4）2]÷a6值是1100．【分析】连接AD交MN于点E，连接BE，当A、E、D三点共线时，△BDE的周长最小，求出a＝10，再化简代数式求值运算即可．【解答】解：连接AD交MN于点E，连接BE，∵MN是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵△ABC是等腰三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴△BDE的周长＝BD+DE+BE＝BD+DE+AE≥BD+AD，当A、E、D三点共线时，△BDE的周长最小，∵腰△ABC的底边长为8，面积是24，∴×8×AD＝24，∴AD＝6，∴BD+AD＝×8+6＝10，∴△BDE的周长最小值为10，∴a＝10，[2a3•a5+（3a4）2]÷a6＝（2a8+9a8）÷a6＝11a8÷a6＝11a2，当a＝10时，原式＝1100，故答案为：1100．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，准确的化简代数式并代入求值是解题的关键．5．（2022秋•明水县校级期末）如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD＝6，则EP+CP的最小值为6．【分析】连接BE交AD于点P，连接CP，EP+CP的最小值为BE的长，求BE的长即为所求．【解答】解：连接BE交AD于点P，连接CP，∵△ABC是等边三角形，AD垂直平分BC，∴BP＝CP，∴EP+CP＝BP+CP≥BE，∴EP+CP的最小值为BE的长，∵E为AC边的中点，∴BE⊥AC，∵AD＝6，∴BE＝6，故答案为：6．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质是解题的关键．6．（2022秋•岳阳县期末）如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD＝6，点F是线段AD上的动点，则BF+EF的最小值为6．【分析】连接CE，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，证△ADB≌△CEB得CE＝AD＝6，即BF+EF 的最小值为6．【解答】解：连接CE，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF＝CF，∵等边△ABC中，BD＝CD，AE＝BE，∴AD⊥BC，CE⊥AB，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴CF＝BF，即BF+EF＝CF+EF＝CE，∵等边△ABC中，AE＝BE，∴CE⊥AB，∴BF+EF＝CE时最小，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，在△ADB和△CEB中，，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE＝AD＝6，即BF+EF的最小值为6，故答案为：6．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．7．（2022秋•滨城区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝115°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD 上分别找一个点M，N使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM＝130°．【分析】要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″′＝65°，进而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A″），即可得出答案．【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．∵∠DAB＝115°，∴∠AA′M+∠A″＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝65°，∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×65°＝130°故答案为：130°．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．三．解答题（共3小题）8．（2022秋•宜春期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB边的垂直平分线DE交AB于点D，若AE＝3，（1）求BC的长；（2）若点P是直线DE上的动点，直接写出PA+PC的最小值为9．【分析】（1）根据垂直平分线的性质可证△ABE为等腰三角形，由角度可证△ACE为30°直角三角形，再由线段之间的关系即可求出BC的长；（2）根据将军饮马原理即可得出PA+PC的最小值为BC的长度．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴，∵AB边的垂直平分线交AB于点D，∴BE＝AE＝3，∴∠BAE＝∠B＝30°，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝120°﹣30°＝90°，在Rt△CAE中，∠C＝30°，∴CE＝2AE＝6，∴BC＝BE+CE＝3+6＝9；（2）如图，取点A关于直线DE的对称点，即点B，∵PA＝PB，∴PA+PC＝PB+PC，根据两点之间线段最短，则BC即为PA+PC的最小值，最小值为9．【点评】本题考查了图形的轴对称，相关知识点有：垂直平分线的性质、将军饮马等，轴对称性质的充分利用是解题关键．9．（2022秋•新华区校级期末）如图所示．（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）在x轴上确定一点P，使得PA+PC最小；（3）求出△ABC的面积．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）过x轴作点A的对称点A'，连接A'C，与x轴交于点P，此时点P即为所求．（3）利用割补法求三角形的面积即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，点P即为所求．＝3×3﹣﹣﹣＝．（3）S△ABC∴△ABC的面积为．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．10．（2022秋•金牛区校级期末）已知A（1，4），B（2，0），C（5，2）．（1）在如图所示的平面直角坐标系中描出点A，B，C，并画出△ABC；（2）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；（3）点P在x轴上，并且使得AP+PC的值最小，请标出点P位置并写出最小值．【分析】（1）根据点的坐标确定点的位置，作图即可．（2）根据轴对称的性质作图即可．（3）作点A关于x轴的对称点A''，连接A''C，交x轴于点P，连接AP，此时AP+PC的值最小，利用勾股定理求出A''C的值即可得出答案．【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．（2）如图，△A'B'C'即为所求．（3）如图，点P即为所求．由勾股定理得A''C＝＝．∴AP+PC的最小值为．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．。
2022年中考数学几何模型之动点最值之将军饮马模型(讲+练)(解析版)
专题11 动点最值之将军饮马模型模型一、两定一动模型例题1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和P A+PB的最小值为．【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△P AB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝4，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝10，AE＝4+4＝8，∴BE＝＝＝2，即P A+PB的最小值为2．故答案为：2．【变式训练1】如图，正方形ABEF的面积为4，△BCE是等边三角形，点C在正方形ABEF外，在对角线BF 上有一点P，使PC＋PE最小，则这个最小值的平方为（）A. B. C. 12 D.【答案】B【解析】连接AC、AE，过点C作CG⊥AB，如图所示：∵正方形ABEF，∴AE⊥BF,OA＝OE，即可得：E关于BF的对称点是A，连接AC交BF于P，则此时EP＋CP的值最小，EP＋CP＝AC，∵正方形ABEF的面积为4，△BCE是等边三角形，∴AB＝BE＝2，BE＝BC＝2，在Rt△BCG中，∠CBG＝90º－60º＝30º，BC＝2，∴CG＝1，，，.【变式训练2】如图Rt△ABC和等腰△ACD以AC为公共边，其中∠ACB＝90°，AD＝CD，且满足AD⊥AB，过点D作DE⊥AC于点F，DE交AB于点E，已知AB＝5，BC＝3，P是射线DE上的动点，当△PBC 的周长取得最小值时，DP的值为（）A．B．C．D．【解答】解：连接PB、PC、P A，要使得△PBC的周长最小，只要PB+PC最小即可，∵PB+PC＝P A+PB≥AB，∴当P与E重合时，P A+PB最小，∵AD＝CD，DE⊥AC，∴AF＝CF，∵∠ACB＝90°，∴EF∥BC，∴AE＝BE＝AB＝2.5，∴EF＝BC＝1.5，∵AD⊥AB，∴△AEF∽△DEA，∴＝，∴DE＝＝，故选：B．【变式训练3】如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？【答案】∠ECF＝30º【解析】过E作EM∥BC，交AD于N，如图所示：∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM＝AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF＋CF的值最小，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60º，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝∠ACB＝30º.模型二、一定两动例.如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝4，则△PMN的周长的最小值为（）A．2B．4C．6D．8【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M′、N′，连接OC、OD、PM′、PN′．∵点P关于OA的对称点为C，∴PM′＝CM′，OP＝OC，∠COB＝∠POB；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN′＝DN′，OP＝OD，∠DOA＝∠POA，∴OC＝OD＝OP＝4，∠COD＝∠COB+∠POB+∠POA+∠DOA＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC＝OD＝4．∴当M、N与M′、N′重合时，△PMN周长最小＝PM′+M′N′+PN′＝DN′+M′N′+CM′＝CD＝4，选B．【变式训练1】如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB 上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故选：B．【变式训练2】如图，在菱形ABCD中，AB，∠A＝120º，点P,Q,K分别为线段BC,CD，BD上的任意一点，则PK＋QK的最小值为.【解析】过点C作CE⊥AB，如图所示：∵菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120º，∴∠ABC＝60º，BC＝2，BD平分∠ABD，∴BE＝，CE＝BE＝，∵BD平分∠ABD，∴在AB上作点P关于BD的对称点P'，∴PK＋QK＝P'K＋KQ，当P',K,Q三点共线且P'Q⊥AB时，PK＋QK有最小值，即最小值为平行线AB,CD的距离，则最小值为.【变式训练3】如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90º，∠C＝90º，∠D＝60º，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，则△BMN的周长最小值为（）A. B. C. 6 D. 3【答案】C【解析】作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，连接B'B''交DC和AD于点M和点N，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M’和N’（不同于点M和N），连接M'B，M'B'，N’B和N'B''，如图1所示：∵B'B''＜M'B'＋M'N'＋N'B"，B'M'＝BM'，B"N'＝BN'，∴BM'＋M'N'＋BN'＞B'B"，又∵B'B"＝B'M＋MN＋NB"，MB＝MB'，NB＝NB''，∴NB＋NM ＋BM＜BM'＋M’N'＋BN'NB＋NM＋BM时周长最小；连接DB，过点B'作B'H⊥DB''于B’’D的延长线于点H，如图示2所示：在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，，∴∠2＝30º，∴∠5＝30º，DB＝DB''，又∵∠ADC＝∠1＋∠2＝60º，∴∠1＝30º，∴∠7＝30º，DB'＝DB，∴∠B'DB''＝∠1＋∠2＋∠5＋∠7＝120º，DB'＝DB''＝DB，又∵∠B'DB"＋∠6＝180º，∴∠6＝60º，∴HD＝，HB'＝3，在Rt△B'HB''中，由勾股定理得：B'B"＝，NB＋NM＋BM＝6，故选C.【变式训练4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是2．【解答】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接CP′交AD于点Q，则CQ+PQ＝CQ+P′Q＝CP′．∵根据对称的性质知△APQ≌△AP′Q，∴∠P AQ＝∠P′AQ．又∵AD是∠A的平分线，点P在AC边上，点Q在直线AD上，∴∠P AQ＝∠BAQ，∴∠P′AQ＝∠BAQ，∴点P′在边AB上．∵当CP′⊥AB时，线段CP′最短．∵在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∴AB＝4，且当点P′是斜边AB的中点时，CP′⊥AB，此时CP′＝AB＝2，即CQ+PQ的最小值是2．故填：2．模型三、两段之差模型例.如图，在△ABC中，AB＝AC,AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12，△BMC的周长是20，若点P在直线MN上，则PA－PB的最大值为（）A. 12B. 8C. 6D. 2【解答】B【解析】∵MN垂直平分AC，∴MA＝MC，BM＋MC＋BC＝20，BM＋MA＝AB＝12，∴BC＝20－12＝8，在MN上取点P，∵MN垂直平分AC，如图所示，连接PA、PB、PC，∴PA＝PC，∴PA－PB＝PC－PB，在△PBC中PC－PB＜BC当P、B、C共线时（PC－PB）有最大值，此时PC－PB＝BC＝8，故选B.【变式训练1】如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60º，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN＝2，点M在BC上且BM＝BC,P为对角线BD上一点，则PM－PN的最大值为.【解答】2【解析】如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN',MN'，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM－PN＝PM－PN'≤MN'，当P,M,N'三点共线时，取“＝”,∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60º，∴AC＝6，∵O为AC中点，∴AO＝OC＝3，∵AN＝2，∴ON＝1，∴ON'＝1，CN'＝2，∴AN'＝4，，∴CM＝AB－BM＝6－4＝2，，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝60º，∵∠N'CM＝60º，∴△N'CM为等边三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM－PN的最大值为2.【变式训练2】如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC＝16，B到MN的距离BD＝10，CD＝8，点P在直线MN上运动，则|P A﹣PB|的最大值等于10．【答案】10【解答】解：延长AB交MN于点P′，∵P′A﹣P′B＝AB，AB＞|P A﹣PB|，∴当点P运动到P′点时，|P A﹣PB|最大，∵BD＝10，CD＝8，AC＝16，过点B作BE⊥AC，则BE＝CD＝8，AE＝AC﹣BD＝16﹣10＝6，∴AB＝＝＝10，∴|P A﹣PB|的最大值等于10，故答案为：10．模型四、特殊型例1.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ＝3，当CQ＝时，四边形APQE的周长最小．【解答】解：点A向右平移3个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，此时MQ+EQ最小，∵PQ＝3，DE＝CE＝2，AE＝＝2，∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，即AP+EQ＝MQ+EQ，过M作MN⊥BC于N，设CQ＝x，则NQ＝8﹣3﹣x＝5﹣x，∵△MNQ∽△FCQ，∴＝，∵MN＝AB＝4，CF＝CE＝2，CQ＝x，QN＝5﹣x，解得：x＝，则CQ＝故答案为：．【变式训练】如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ＝（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（）A．（，）B．（，）C．（0，0）D．（1，1）【解答】解：作点B关于直线y＝x的对称点B'（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y＝x，并沿MN向下平移单位后得A'（2，0），连接A'B'交直线y＝x于点Q，如图理由如下：∵AA'＝PQ＝，AA'∥PQ，∴四边形APQA'是平行四边形，∴AP＝A'Q∵AP+PQ+QB＝B'Q+A'Q+PQ且PQ＝，∴当A'Q+B'Q值最小时，AP+PQ+QB值最小根据两点之间线段最短，即A'，Q，B'三点共线时A'Q+B'Q值最小∵B'（0，1），A'（2，0），∴直线A'B'的解析式y＝﹣x+1∴x＝﹣x+1，即x＝∴Q点坐标（，），故选：A．，课后训练1.如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】D【解析】∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C+∠EPF＝180°，∵∠C＝50°，∠D+∠G+∠EPF＝180°，∴∠D+∠G＝50°，由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，∴∠GPN+∠DPM＝50°，∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，选D．2.如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB，DA＝6，∠B＋∠C＝150º，CD与BA的延长线交于E点，A刚好是EB 中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BP＋PQ最小值是( )A. 12B. 15C. 16D. 18【答案】D【解析】如图，作点B关于CE的对称点F，连接BF，EF，则EB＝EF，∵∠B＋∠C＝150º，∴∠BEC＝30º，∴∠BEF＝60º，∴△BEF是等边三角形，连接BP，PF，PQ，则BP＝FP，∴BP＋QP＝FP＋PQ，当F，P，Q在同一直线上且FQ⊥EB时，BP＋PQ的最小值为FQ的长，此时，Q为EB的中点，故与A重合，∵DA⊥AB.DA＝6，∴AE ，∴Rt△QEF中，FQ＝AE＝18，∴BP＋PQ最小值值为18，故选D.3.如图，已知等边△ABC的面积为4，P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR+QR的最小值是（）A．3B．2C．D．4【解答】解：如图，作△ABC关于AC对称的△ACD，点E与点Q关于AC对称，连接ER，则QR＝ER，当点E，R，P在同一直线上，且PE⊥AB时，PR+QR的最小值是PE的长，设等边△ABC的边长为x，则高为x，∵等边△ABC的面积为4，∴x×x＝4，解得x＝4，∴等边△ABC的高为x＝2，即PE＝2，故选：B．4.如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作⊙A、⊙B，M，N 分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（）A．5﹣4B．﹣1C．6﹣2D．【解答】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，∵点A坐标（2，3），∴点A′坐标（2，﹣3），∵点B（3，4），∴A′B＝＝5，∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝5﹣3﹣1＝5﹣4，∴PM+PN的最小值为5﹣4．故选：A．5.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD PC＋PD的最小值为.【解析】如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC.设AM＝，∵四边形ABC都是矩形，AB//CD，AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，，∴，∴＝2，∴AM＝2，DM＝EM＝4，在Rt△ECD，∵PM垂直平分线段DE，∴PD＝PE，∴PC＋PD＝PC＋PE≥EC，∴PD＋PC，∴PD＋PC.6.如图，矩形ABCO的边OC在x轴上，边OA在y轴上，且点C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点，点M，N分别是线段OA、AB上的动点（不与端点重合），则当四边形EFNM 的周长最小时，点N的坐标为（4，6）．【解答】解：如图所示：作点F关于AB的对称点F′，作点E关于y轴的对称点E′，连接E′F′交AB与点N．∵C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点，∴OE＝OE′＝4，FB＝CF＝3，∴E′C＝12，CF′＝9．∵AB∥CE′，∴△F′NB∽△F′E′C．∴＝＝，即＝，解得BN＝4，∴AN＝4．∴N（4，6）．故答案为：（4，6）．7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE（1）说明：AE＝CE＝BE；（2）若DA⊥AB,BC＝6，P是直线DE上的一点，则当P在何处时，PB＋PC最小，并求出此时PB＋PC的值.【答案】（1）见解析；（2）12【解析】（1）∵△ADC是等边三角形，DF⊥AC，∴DF垂直平分线段AC，∴AE＝EC，∴∠ACE＝∠CAE，∵∠ACB＝90º，∴∠ACE＋∠BCE＝90º＝∠CAE＋∠B＝90º，∴∠BCE＝∠B，∴CE＝EB，∴AE＝CE＝BE；（2）连接PA,PB,PC，如图所示：∵DA⊥AB，∴∠DAB＝90º，∵∠DAC＝60º，∴∠CAB＝30º，∴∠B＝60º，∴BC＝AE＝EB＝CE＝6.∴AB＝12，∵DE垂直平分AC，∴PC＝AP，∴PC＝PB＋PA，∴当PB＋PC最小时，也就是PB＋PA最小，即P,B,A共线时最小，∴当点P与点E共点时，PB＋PC的值最小，最小值为12.8.已知：矩形ABCD中，AD＝2AB，AB＝6，E为AD中点，M为CD上一点，PE⊥EM交CB于点P，EN平分∠PEM交BC于点N.（1）求证：PE＝EM；（2）用等式表示BP2、PN2、NC2三者的数量关系，并加以证明；（3）过点P作PG⊥EN于点G，K为EM中点，连接DK、KG，求DK＋KG＋PG的最小值.【答案】（1）见解析；（2）BP2＋NC2＝PN2；（3）【解析】（1）证明：过P作PQ⊥AD于Q，则PQ＝AB，如图所示：∵AD＝2AB，E为AD中点，∴AD＝2DE，∴PQ＝DE，∵PE⊥EM，∴∠PQE＝∠D＝∠PEM＝90º，∴∠QPE＋∠PEQ＝∠PEQ＋∠DEM＝90º，∴∠QPE＝∠DEM，∴△PQE≌△EDM（ASA），∴PE＝EM；（2）三者的数量关系是：BP2＋NC2＝PN2①点N与点C重合时，P为BC的中点，显然BP2＋NC2＝PN2成立；②点P与点B重合时，N为BC的中点，显然BP2＋NC2＝PN2成立；③证明：连接BE、CE，如图所示：∵四边形ABCD为矩形，AD＝2AB，E为AD中点，∴∠A＝∠ABC＝90º，AB＝CD＝AE＝DE，∴∠AEB＝45º，∠DEC＝45º，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS），∠BEC＝90º，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB＝45º，∴∠EBC＝∠ECD，又∵∠BEC＝∠PEM＝90º，∴∠BEP＝∠MEC，∠EBP＝∠ECM在△BEP和△CEM中，，∴△BEP≌△CEM（ASA），∴BP＝MC，PE＝ME，∵EN平分∠PEM，∴∠PEN＝∠MEN＝45º，在△EPN和△EMN中，，∴△EPN≌△EMN（SAS），∴PN＝MN，在Rt△MNC中有：MC2＋NC2＝MN2，∴BP2＋NC2＝PN2；（3）连接PM，如图所示：由（2），可得PN ＝MN，PE＝ME，∴EN垂直平分PM，PG⊥EN，∴P、G、M三点共线，且G为PM的中点，∵K为EM中点，D＝90º，，由（2），可得△PEM为等腰直角三角形，根据勾股定理，可得，，∴当ME取得最小值时，DK＋GK＋PG取得最小值，即当ME＝DE＝6时，DK＋GK＋PG有最小值，最小值为.。
中考数学二次函数与将军饮马最值问题
二次函数与将军饮马最值问题1.（黑龙江二模）如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝x2+bx﹣2上，∴×（﹣1）2+b×（﹣1）﹣2＝0，解得：b＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2．∵y＝x2﹣x﹣2＝（x2﹣3x﹣4 ）＝，∴顶点D的坐标为（，﹣）．（2）设点C关于x轴的对称点为C′，直线C′D的解析式为y＝kx+n，则，解得：．∴y＝﹣x+2．∴当y＝0时，﹣x+2＝0，解得：x＝．∴m＝．2．（2022•宁远县模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出P A+PD的最小值；【解答】解：（1）∴二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3），∴，解得：．∴二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴x＝﹣＝﹣1，D（﹣2，﹣3），C（0，﹣3），∴C、D关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，连接AC与对称轴的交点就是点P，此时P A+PD＝P A+PC＝AC＝＝＝3．∴P A+PD的最小值为3；3．（2022•乐业县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标是2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝x22x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为x＝1，∵A、B关于直线x＝1对称，所以AC与对称轴的交点为点P，此时C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC，此时△BPC的周长最短，∵点C的横坐标是2，y C＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，∴C（2，﹣3），设直线AC的解析式为y＝mx+n（m≠0），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，当x＝1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，∴P（1，﹣2）；4．（2022•江阴市校级一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x 轴分别相交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）．（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC 的最小值；【解答】解：（1）∵抛物线过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为M（1，4）．（2）如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C′（0，2），连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点Q′，过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，∵A、B关于直线x＝1对称，∴AQ′＝BQ′，∵CP′∥BC′，P′Q′∥CC′，∴四边形CC′Q′P′是平行四边形，∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝1，在Rt△BOC′中，BC′＝，＝＝．∴AQ′+Q′P′+P′C＝BQ′+C′Q′+Q′P′＝BC′+Q′P′＝+1，此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，∴AQ+QP+PC的最小值为+1．5．（2022秋•黄冈月考）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得|MB﹣MC|的值最大，求此点M的坐标；【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B关于对称轴对称，∴|MB﹣MC|＝|MA﹣MC|≤AC，∴当A、C、M三点共线时，|MB﹣MC|有最大值，设直线AC的解析式为y＝kx+m，∴，解得，∴y＝3x+3，∴M（1，6）；6．（2022•常德）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．（1）求此抛物线的解析式；（2）当△OAB的面积为15时，求B的坐标；（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当P A﹣PB的值最大时，求P的坐标以及P A﹣PB的最大值．【解答】解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5，解得：a＝1，∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，故此抛物线的解析式为y＝x2﹣4x；（2）∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，∴设B（2，m）（m＞0），设直线OA的解析式为y＝kx，则5k＝5，解得：k＝1，∴直线OA的解析式为y＝x，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），∴BH＝m﹣2，∵S△OAB＝15，∴×（m﹣2）×5＝15，解得：t＝8，∴点B的坐标为（2，8）；（3）设直线AB的解析式为y＝cx+d，把A（5，5），B（2，8）代入得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+10，当P A﹣PB的值最大时，A、B在同一条直线上，∵P是抛物线上的动点，∴，解得：，（舍去），∴P（﹣2，12），此时，P A﹣PB＝AB＝＝3．7．（2022春•良庆区校级期末）如图，已知抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+3，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于点C．（1）请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标；（3）若点P为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|NP﹣BP|最大时点P的坐标，并请直接写出|NP﹣BP|的最大值．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+4）（x﹣1）＝﹣（x+）2+，∴A（﹣4，0），B（1，0），C（0，3），对称轴为直线x＝﹣；（2）如图所示：过N作NQ⊥x轴于点Q，由旋转性质得MB⊥x轴，∠CBN＝90°，BM＝AB＝5，BN＝BC，∴M（1，5），∠OBC+∠QBN＝90°，∵∠OBC+∠BCO＝90°，∴∠BCO＝∠QBN，又∵∠BOC＝∠NQB＝90°，BN＝BC，∴△OBC≌△QNB（AAS），∴BQ＝OC＝3，NQ＝OB＝1，∴OQ＝1+3＝4，∴N（4，1）；（3）设直线NB的解析式为y＝kx+b．∵B（1，0）、N（4，1）在直线NB上，∴，解得：，∴直线NB的解析式为：y＝x﹣，当点P，N，B在同一直线上时|NP﹣BP|＝NB＝＝，当点P，N，B不在同一条直线上时|NP﹣BP|＜NB，∴当P，N，B在同一直线上时，|NP﹣BP|的值最大，即点P为直线NB与抛物线的交点．解方程组：，解得：或，∴当P的坐标为（1，0）或（﹣，﹣）时，|NP﹣BP|的值最大，此时最大值为．。
中考复习专题：中考中“将军饮马”问题的常见模型及典型例题 课件(共38张PPT)
（2）点P、Q分别是x轴、y轴上的动点,当四边形PABQ的周长取最小值时.
①求直线PQ的解析式；②求四边形PABQ周长的最小值。
y
y
B．
A
Q
PO
x
B ． B′
A
Q
PO
x
A′
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的 常见模 型及典 型例题 课件(共38张PPT)
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的 常见模 型及典 型例题 课件(共38张PPT)
典例探究
例7
如图，已知点A（
1 2
，y1），B（2，y2）为反比例函数
y
1 的图 x
象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当AP-BP最大时，点
P的坐标是（ D ）
A、（ 1 ，0） B、（ 1 ，0） 2
C、（ 3 ，0） 2
D、（ 5 ，0） 2
y
A
y x 5 2
B
O
P
P
x
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的 常见模 型及典 型例题 课件(共38张PPT)
梳理体系
【将军饮马问题模型5】同侧两点差的最值问题
A
B l
P （1）
|PA-PB|最大问题
A
B
P
l
（2）
|PA-PB|最小问题
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的 常见模 型及典 型例题 课件(共38张PPT)
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的 常见模 型及典 型例题 课件(共38张PPT)
y A
D E OC B x
y
A
C
D
E
C′O C
专题02 将军饮马(一)-中考数学二次函数压轴题核心考点突破
N
M
B
D
C
【分析】M 点为折点，作 B 点关于 AD 的对称点，即 C 点，连接 CN，即为所求的最小值．
A
N M
B
D
C
过点 C 作 AB 垂线，利用勾股定理求得 CN 的长为 2 倍根号 7．
A
N
H
M
B
D
C
【隐身的等边三角形】 如图，在 Rt△ABD 中，AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，N 为 AB 上一点且 BN=2AN ， M 是 AD 上的动点，连结 BM，MN，则 BM+MN 的最小值是___________．
y A
C P
A． (2, 2)
O
B．(5 ， 5) 22
D
Bx
C．(8 ， 8) 33
D． (3, 3)
【分析】此处点 P 为折点，可以作点 D 关于折点 P 所在直线 OA 的对称：
y D'
A
P
C
也可以作点 C 的对称：
O
D
Bx
y C' A
C P
O
D
Bx
【隐身的正方形】 （2017·辽宁营口）如图，在△ABC 中，AC=BC，∠ACB =90°，点 D 在 BC 上，BD=3，DC=1，
A ． 2 13
B ． 2 10
C．3 5
D． 41
D
C
P
A
B
【分析】由 SPAB
1 3 S矩形ABCD
可作出 P
点轨迹为直线
M N（A M =B N =2），作点
B
关于
MN 的对称点 B’，
化折线 PA+PB 为 PA+PB’．