第三节第三节格林公式及其应用
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第三节 格林公式
− y2
其中D 其中 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . ,则
y
B(0,1) A(1,1)
D
利用格林公式 , 有
y= x
= ∫ xe
∂D
− y2
dy
o
x
=∫
OA
xe
− y2
dy = ∫ ye
0
1
− y2
dy = 1(1 − e−1 ) 2
16
3. 计算平面图形的面积
y
由于 ∫OA xdy = 0,
∫BO xdy = 0,
A
D
1 2 ∴ ∫ xdy = − ∫∫ dxdy = − πr . AB 4 D
o
L
B
x
8
ydx − xdy L为以(1,0) , , 例2 计算第二型曲线积分 ∫ L x+ y
(0,1) , ( −1,0) , (0,−1)为顶点的正方形闭路， 取逆时针方向. 为顶点的正方形闭路，
推论: 推论 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 1 A = ∫ xdy − ydx 2 L x = acosθ , 0 ≤ θ ≤ 2π 所围面积 例如, 例如, 椭圆 L : y = bsinθ
1 2π = ∫ (abcos2 θ + absin2 θ )dθ = π ab 20
6
二、简单应用
∂Q ∂P ∫∫ ∂x − ∂ y dxdy = ∫ Pdx + Qdy ( 格林公式 ) D L
或
∫∫ P D
∂ ∂x
∂ ∂y
Q
dxdy = ∫ Pdx + Qdy
L
2
其中D 其中 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . ,则
y
B(0,1) A(1,1)
D
利用格林公式 , 有
y= x
= ∫ xe
∂D
− y2
dy
o
x
=∫
OA
xe
− y2
dy = ∫ ye
0
1
− y2
dy = 1(1 − e−1 ) 2
16
3. 计算平面图形的面积
y
由于 ∫OA xdy = 0,
∫BO xdy = 0,
A
D
1 2 ∴ ∫ xdy = − ∫∫ dxdy = − πr . AB 4 D
o
L
B
x
8
ydx − xdy L为以(1,0) , , 例2 计算第二型曲线积分 ∫ L x+ y
(0,1) , ( −1,0) , (0,−1)为顶点的正方形闭路， 取逆时针方向. 为顶点的正方形闭路，
推论: 推论 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 1 A = ∫ xdy − ydx 2 L x = acosθ , 0 ≤ θ ≤ 2π 所围面积 例如, 例如, 椭圆 L : y = bsinθ
1 2π = ∫ (abcos2 θ + absin2 θ )dθ = π ab 20
6
二、简单应用
∂Q ∂P ∫∫ ∂x − ∂ y dxdy = ∫ Pdx + Qdy ( 格林公式 ) D L
或
∫∫ P D
∂ ∂x
∂ ∂y
Q
dxdy = ∫ Pdx + Qdy
L
2
738-第三节 格林公式及其应用-PPT精选文档
解 用格林公式。 记右半圆域为 D。 A Q P ( )dxdy 原式 x y D D
OA
OA
L
D
3dxdy
D
3 2 1 . 3| D | 0 sinydy cos 2
2
5/23
OA : x 0
D
例2. 求 (2x y4 )dx (3x5y6 )dy , L:
L
(0 ,0 ) 、 (3 ,0 ) 、 (3 ,2 )为 顶 点 的 三 角 形 ， 的 顺 边 时针方向。 D。 解 用格林公式。 记 相 应 三 角 域 为
原式
D
Q P ( ) dxdy x y D
L
3) 在 D 上， Pdx Qdy 与路径无 ；
AB
4) 在 D 上， Pdx Qdy 是某个函数的全 ( x, y) （ Qdy 是一个原函 . 数 即 有原函数 (x ,y ) Pdx
0 0
8/23
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
P d xQ d y P dxQ dy AB A
21/23
r
x
Q P d x d y P d x Q d y 格林公式 x y D L
用格林公式易证： xOy 面上有界闭区 D 的面
| D| xdy D ydx
D
1 xdy ydx . 2 D
x a cos 所围面积 : ( 0 2 π) 例如, 椭圆 L y b sin 1 A x d y y d x 2L 2 π 1 2 2 πab ( ab cos ab sin ) d 0 2
第3节 格林公式及其应用
那末 Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
由于 Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
L2
即 Pdx Qdy 0 .
L1
L
2
L1 L2 是 G内一条有向闭曲线 .
因此 , G内由曲线积分与路径无关
可推出,在 G 内沿闭曲线的积分为零 .
G
DC
x
于是我们得到与定积分中莱布尼兹公式类似的公式 ,
(x, y) Pdx Qdy U (x, y) ( x0 , y0 )
(x , y) ( x0 , y0 )
U (x, y) U (x0 , y0 )
,
其中 L 为一条无重点 ` 分段光滑
且不经过坐标原点的连续曲线 , L的方向为逆时针方向.
解 令 P y , Q x .当 x2 y2 0 时,有
x2 y2
x2 y2
? ? Q
x
y2 x2 x2 y2 2
, P y
y 2 x2 , Q P . x 2 y 2 2 x y
记 L 所围的区域为 D : (1) 当 (0, 0) D , 由格林公式
y
L D
L
xdy x2
ydx y2
D
Q x
P y
dxdy
0
D
dxdy
0
.
o
x
(2) 当 (0, 0) D ,取 r 适当小, 作小圆l
l : x2 y 2 r 2 , 记 L l 所围的区域为 D1 .
y
第三节格林公式及其应用.
例4. 计算 圆周
其中L 为上半
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO , 它与L 所围 区域为D , 则
原式
L AO
( x 3 y ) d x ( y x) d y
OA
2
2
( x 2 3 y ) d x ( y 2 x) d y
A
D
B
bx
c
2 ( y ) Q Q d 则 d xd y d y dx D x 1 ( y) x c
d d c c
o a
C
Q( 2 ( y ), y ) d y Q( 1 ( y ), y ) d y
CBE
Q( x, y )d y
EAC
l
o D1
L
x
L l
2 0
r 2 cos 2 r 2 sin 2 d 2 2 r
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
二、平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关
设G是一个开区域 P(x y)、Q(x y)在区域G内具有一 阶连续偏导数 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A 到点B的任意两条曲线L1、L2 等式
山东农业大学
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主讲人： 苏本堂
格林公式的应用
1. 简化二重积分
例1. 计算 解: 令 P 0, Q xe
y2
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . ,则
y
B(0,1) A(1,1)
D
利用格林公式 , 有
格林公式及其应用
思考：如果L 取负向呢?
证明: 设 D 是 X 型区域,
D {( x , y ) a x b , 1 ( x ) y 2 ( x )}
P ( x , y )dx
L
L1
L2
L3
P ( x , y ) dx
L4
Pdx
L1 a b
Pdx
2( y)
1
x 1( y)
y
D
L3
L4
c
x 2( y)
[
c
D
Q ( x , y ) x
( y)
dx ]dy （把Q( x , y )看作x的函数
x dxdy .
Q
用牛顿 莱布尼兹公式）
如果D既是X型又是Y 型，则
L
P ( x , y ) dx
P y
，
则曲线积分 Pdx Qdy在该区域内与路径无关 .
L
( 2 ) 如果
Q x
P y
在复连通域内成立，则
曲线积分
不一定与路径无关。
前例，
xdy ydx x y
2 2
.
L
( 3)由定理的证明过程可知 u ( x, y)
( x, y) ( x 0 , y0 )
P ( x , y ) d x Q( x , y ) d y .
L3
( L2 , L4上 dx 0)
b a
L1 y ( x ) 2
L2
P ( x , 2 ( x )) dx
b a
P ( x , 1 ( x )) dx
证明: 设 D 是 X 型区域,
D {( x , y ) a x b , 1 ( x ) y 2 ( x )}
P ( x , y )dx
L
L1
L2
L3
P ( x , y ) dx
L4
Pdx
L1 a b
Pdx
2( y)
1
x 1( y)
y
D
L3
L4
c
x 2( y)
[
c
D
Q ( x , y ) x
( y)
dx ]dy （把Q( x , y )看作x的函数
x dxdy .
Q
用牛顿 莱布尼兹公式）
如果D既是X型又是Y 型，则
L
P ( x , y ) dx
P y
，
则曲线积分 Pdx Qdy在该区域内与路径无关 .
L
( 2 ) 如果
Q x
P y
在复连通域内成立，则
曲线积分
不一定与路径无关。
前例，
xdy ydx x y
2 2
.
L
( 3)由定理的证明过程可知 u ( x, y)
( x, y) ( x 0 , y0 )
P ( x , y ) d x Q( x , y ) d y .
L3
( L2 , L4上 dx 0)
b a
L1 y ( x ) 2
L2
P ( x , 2 ( x )) dx
b a
P ( x , 1 ( x )) dx
第三节 格林公式及其应用
取 P = y , Q = x , 得 2 ∫∫ dxdy = ∫L xdy ydx
D
闭区域 D 的面积
1 A = ∫L xdy ydx . 2
取 P = 0, Q = x , 得 取 P = y , Q = 0, 得
A = ∫L xdy
A = ∫L ydx
例 4 计算抛物线( x + y ) 2 = ax ( a > 0) 与 x 轴所 围成的面积. 围成的面积.
(2) 当( 0,0) ∈ D 时,
o
x
作位于 D 内圆周 l : x + y = r ,
2 2 2
y
L
D1
所围成, 记 D1 由 L 和 l 所围成
应用格林公式,得 应用格林公式 得
o
l
r
x
xdy ydx xdy ydx ∫L x 2 + y 2 ∫l x 2 + y 2 = 0 xdy ydx xdy ydx ∫L x 2 + y 2 = ∫l x 2 + y 2
L1
C F
+ = { ∫AB ∫L+ ∫BA ∫AFC ∫CE ∫L+ ∫EC ∫CGA } ( Pdx + Qdy ) + + + +
3
= ( ∫L + ∫L + ∫L )( Pdx + Qdy )
2 3 1
= ∫L Pdx + Qdy
格林公式的实质: 格林公式的实质:
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
D D
单连通区域
复连通区域
L1 L1
D
L2
D
L2
D
闭区域 D 的面积
1 A = ∫L xdy ydx . 2
取 P = 0, Q = x , 得 取 P = y , Q = 0, 得
A = ∫L xdy
A = ∫L ydx
例 4 计算抛物线( x + y ) 2 = ax ( a > 0) 与 x 轴所 围成的面积. 围成的面积.
(2) 当( 0,0) ∈ D 时,
o
x
作位于 D 内圆周 l : x + y = r ,
2 2 2
y
L
D1
所围成, 记 D1 由 L 和 l 所围成
应用格林公式,得 应用格林公式 得
o
l
r
x
xdy ydx xdy ydx ∫L x 2 + y 2 ∫l x 2 + y 2 = 0 xdy ydx xdy ydx ∫L x 2 + y 2 = ∫l x 2 + y 2
L1
C F
+ = { ∫AB ∫L+ ∫BA ∫AFC ∫CE ∫L+ ∫EC ∫CGA } ( Pdx + Qdy ) + + + +
3
= ( ∫L + ∫L + ∫L )( Pdx + Qdy )
2 3 1
= ∫L Pdx + Qdy
格林公式的实质: 格林公式的实质:
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
D D
单连通区域
复连通区域
L1 L1
D
L2
D
L2
D10_3格林公式
添线段 L1 , 它与L 所围区域为D , 则
I
L L1
L1
12xd xd y
D
1
(e1 12x1)d x 1
A
yL1
DB
L
1 o 1 x
D 的 边 1界1d为xL1x(2取12正x d向y)2e 2e
L
Pd
x
Qd
y
D
(
Q x
P y
里面顺时针方向.
D
负向
L
L的正向: 当观察者沿该方向行走时，D内在 他近处的那部分总在他的左边.
3、格林公式
定理1.设区域 D 由分段光滑正向闭曲线 L 围成 ,
函数
在 D 上有连续偏导数 , 则
L Pd x
Qd y
D
(
Q x
P )dxd y y
(格林公式)
注1 关键条件（1） L 是正向闭曲线；
3
xy
2
)d
y
P dx Q3dxy2 y2d[ux(yx3, y)] 的条件：P Q y x
此时：u( x, y) ( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)d y ( x0 , y0 )
x
y
x0 P( x, y0 )dx y0 Q( x, y)d y
, y1 ) P
y0 )dx
(x, y)
d
x
yQy01 (Qx(,x1y,)yd)dyy
( x0 , y0 )
()
注3 若P (x,y)d x + Q (x,y)d y d u(x, y)，
第三节格林公式及其应用
Qdx ddydy2(y)Q dx
Dx
c 1(y) x
d
d
cQ (2 (y )y ) ,d y cQ (1 (y )y ) ,dy
y
CQ B (x E ,y )d y CQ A (x E ,y )ddy
x1(y)
Q (x ,y )d yQ (x ,y )dy
y
L
D1
l
or
x
02r2co2sr2r2si2nd
2.
(其中l 的方向 取逆时针方向)
(注意格林公式的条件)
3. 计算平面面积
格 林 公 式 :D ( Q x P y )dx L d P y d Q xdy
取 Py,Qx, 得 2dxd yLxdyydx
即
(x2y3xex)d x1x3ysiyn d y
L
3
3e2π(12π)3.
xdy ydx
例 6
计算
L
x2 y2 , 其中 L 由点 A(- , - )
经曲线 y = cos x 到点 B(, - ) (如图).
（或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充
要条件是P Q 在G 内恒成立. y x
有关定理的说明：
( 1 ) 开 区 域 G 是 一 个 单 连 通 域 .
(2) 函 数 P (x,y),Q (x,y)在 G 内 具 有 一 阶 连
续 偏 导 数 . 两条件缺一不可
证 充分性：
因为 Q P , (x, y) G，所以对 G 内任
D
闭 区 域 D 的 面 积 A 1 2Lxd yyd . x
取 P0,Qx, 得ALxdy 取 Py,Q0, 得ALydx
格林公式及应用
则
∂P −1 = ∂y x2 + y2
(
) (x
n
n
−
2n( x − y ) y
2
(x
x＋y
2
+ y2
)
n
∂Q 1 = ∂x x2 + y2
(
) (x
2 n
−
2n( x + y )x
2
+y
2 n +1
)
+y
2 n +1
)
为使
(x − y )dx + (x + y )dy
= πab
例 计算
3 xydx + x 2 dy ,其中L是矩形闭曲线 (如图). ∫L
由格林公式
∫ = ∫∫ (2 x − 3x)dxdy
L
3 xydx + x 2 dy
2
= ∫ dy ∫ (− x)dx = A
例 计算
(e x sin y − my )dx + (e x cos y − m)dy ∫
=
∂P ∂y
在D内恒成立；
(2) 对于D内任一闭曲线C，C Pdx + Qdy = 0 ∫ (3) 在D内曲线积分 证 (1)→(2) 因为D是单连域,所以闭曲线C所围成的区域G全部在D内, 应用格林公式,有
∂Q ∂P ∫C Pdx + Qdy = ∫∫ ( ∂x − ∂y ) dxdy = 0 G
L
其中L是A到O的上半圆(如图).
L为非闭曲线,直接计算较繁.
O 作辅助线OA,在闭曲线L+OA上用格林公式
mπa 2 = ∫∫ [e x cos y − (e x cos y − m)]dσ = ∫∫ mdσ = 8 D D
第三节_格林公式及其应用
第三节_格林公式及其应用
格林公式是一个重要的微积分计算工具，用于计算微分方程在给定边
界条件下的解。
它可以用来解决一类非常有用的问题，例如求解复杂的微
分方程组、积分变分形式的物理问题。
此外，格林公式还可以应用于计算
微分函数在任意区间上的有限性以及在一些特定情况下的无穷性。
格林公式的主要思想是，给定边界以及满足一些条件的控制变量，可
以将一个微分方程组的解表示为不同常量的线性组合。
因此，可以通过解
决有限个简单的常系数非齐次线性微分方程来求解更复杂的微分方程组。
其中，常系数非齐次线性微分对应的格林公式是：
y(t) = A*exp(αt) + B*exp(βt)
其中，A、B是常数，α、β是解的根。
这个公式可以用来求解不同
类型的微分方程，包括拉普拉斯方程、伯努利方程、线性齐次微分方程组等。
应用：
1、求解拉普拉斯方程
拉普拉斯方程是一类重要的常微分方程，它可以用来描述物理系统的
传播过程以及电、热等物理场的扩散等现象。
拉普拉斯方程的一般形式为：y"+αy'+βy=f(t)
这里，α、β是常数，f(t)是一个任意函数。
可以用格林公式来求
解这个方程的解：
y(t) = A*exp(αt) + B*exp(-αt) + [1/α]*∫exp(-αt)f(t)dt
其中，A、B是常数，α是解的根。
2、求解伯努利方程。
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另一种记法 :
x
DP
Green 公式
y Q
dxdy
ÑL Pdx
Qdy.
分析：
待证表达式
D
(
Q x
P )dxdy y
L Pdx
Qdy
等价于证明
D
Q x
dxdy
L
Qdy
D
P y
dxdy
LPdx
Y型区域
X 型区域
证明依赖于区域的形状
既 X又 Y型
单连通 一般区域
复连通
证明:
y
1. 若区域 D既是 X 型
1r 2 dxdy xdy xdy xdy xdy
4
D
L
OA
AB
BO
xdy dxdy 1 r2.
AB D
4
例 2 计算抛物线( x y)2 ax(a 0)与 x轴所
围成的面积.
解 ONA为直线 y 0.
曲线 AMO:
y ax x, x从a变到0.
M
L2
L3
L1
L Pdx Qdy
格林公式
D
Q x
P y
dxd
y
L
Pd
x
Qd
y
1.它建立了二重积分与曲线积分的一种等式关系; 2.它揭示了函数在区域内部与边界之间的内在联系.
格林公式
D
Q x
P y
dxd
y
L
Pd
x
Qd
y
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
A 1 xdy y dx A xdy, A ydx.
r2
d
2π
Ñ 例4 计算 L
xdy 4x2
ydx y2
,
其中L是以点(1，0)为中心,
R为半径的圆周(R 1), 取逆时针方向.
解
P y
y2 4x2 (4x2 y2 )2
Q x
,
( x, y) (0,0).
在L内取一小椭圆l : 4x2 y2 a2 ,
并取l方向为逆时针方向.
由Green公式知 :
规定: 平面区域 D的边界曲线L的正方向? (负方向)
当观察者沿边界行走时, 区域D总在他的左侧.
(右侧)
D
D
定理1 设闭区域 D由分段光滑的曲线L 围成,函数
P( x, y)及Q( x, y)在D上具有一阶连续偏导数,则有
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
其中 L是 D的取正方向的边界曲线.
又是Y 型区域,
d
x 1( y)
A
即平行于坐标轴的直
线和 L至多交于两点.
c oa
E y 2(x)
DB
x 2( y) C y 1(x)
bx
D {( x, y)1( x) y 2( x),a x b} D {( x, y)1( y) x 2( y),c y d }
y
D
Q dxdy x
d
dy
2 ( y) Qdx
c
1( y) x
d
E
x 1( y) D B
d
d
c Q( 2 ( y), y)dy c Q( 1( y), y)dy c A
x 2( y)
C
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
CAE
o
x
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
2L
L
L
例如,
椭圆
L
:
x
y
a cos b sin
(0 2π) 所围面积
1 2π
2 0
(abcos2
absin2 ) d
π ab
例 1 计算 xdy,其中曲线 AB是半径为r 的圆
AB
在第一象限部分.
y
A
解 引入辅助曲线 L,
L OA AB BO 应用格林公式有：
D
o
L
Bx
Ox
当(0,0) D时, 在D 内作圆周 l : x2 y2 r 2, 取逆时
针方向, 记 L 和 l ¯所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格
林公式 , 得
y
xdy ydx l x2 y2
xdy ydx Ll x2 y2
0d xdy 0
D1
lL
O
x
D1
2π 0
r 2 cos2 r 2 sin2
直接用; 挖掉再用;
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
1. 定义
设D是一个区域, P( x, y)和Q( x, y)在D内
有一阶连续偏导数, 如果对D内任意给定的两点
A和B, 以及D内从A到B的任意两条曲线L1, L2 ,
都有 :
y
Pdx Qdy Pdx Qdy
N
A(a,0)
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2 ONA
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
1 xdy ydx a 0 xdx 1 a2 .
2 AMO
4a
6
例3. 计算
其中L为一无重点且不过原点
的分段光滑正向闭曲线. 解: 令
则当x2 y2 0时,
设 L 所围区域为D, 当(0,0) D时,由格林公式知 y L
I
L
xdy ydx 4x2 y2
l
xdy ydx 4x2 y2
1
a2
l
xdy
ydx
1
a2
2dxdy
4 x2 y2a2
.
Green公式应用技巧: 不闭则补，出奇则挖
1. 如L是非封闭曲线, 先补再用.
2. 如L是封闭曲线, 所围区域为D,则
(i) D内无奇点, (ii) D内有奇点,
添加直线段 AB, CE .
则D的边界线由AB, L2 , BA, AFC,CE, L3 , EC及CGA 构成.
G L2 B
由 2 知,
D
(
Q x
P y
)dxdy
L1
L3
E C
F A
{ } (Pdx Qdy) AB L2 BA AFC CE L3 EC CGA
( )(Pdx Qdy)
第三节
第十一章
格林公式及其应用
一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的
等价条件 *三、全微分方程
一、 格林公式
区域连通性的分类
设 D 为平面区域, 如果 D内任一闭曲线 所围成的部分都属于D, 则称 D 为平面单连 通区域; 否则称为复连通区域.
D
D
单连通区域
复连通区域
( 无“洞”(包含点洞)区域 ) ( 有“洞”(包含点洞)区域 )
( )dxdy
D x y
x D1 D2 D3 y
L3
D3
L2
D2
D1
L1
D
L
Q P
Q P
Q P
(
D1
x
y
)dxdy
(
D2 x
y
)dxdy
(
D3
x
y
)dxdy
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy L3 Pdx Qdy
L Pdx Qdy
3. 若区域不止由一条闭曲线所围成.
CBE
EAC
Q( x, y)dy
L
P(
x,
y)dx
两式相加得
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
2. 若区域 D由一条按段光滑的闭曲线围成.
D3
D2
D
D1
L
用光滑曲线将D分成三个既是X 型又是Y 型 的区域 D1 , D2 , D3 .
Q P
Q P
( )dxdy