2019-2020年高中数学必修四1.2《角的概念的推广》学案
高中数学 1.1.1 角的概念的推广学案 新人教B版必修4
1.1.1 角的概念的推广1.了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角.2.理解象限角的概念.3.掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置.(重点)[基础·初探]教材整理1 角的概念阅读教材P3～P4“例1”以上内容，完成下列问题.1.角的概念(1)角的形成：角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：①正角：按照逆时针方向旋转而成的角；②负角：按照顺时针方向旋转而成的角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角.2.角的加减法运算(1)射线OA绕端点O旋转到OB位置所成的角，记作∠AOB，其中OA叫做∠AOB的始边，OB叫做∠AOB的终边.(2)引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α－β可以化为α＋(－β).这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和.时钟经过1小时，时针转动的角的大小是________.【解析】时钟是顺时针转，故形成的角是负角，又经过12个小时时针转动一个周角，故经过1个小时时针转动周角的112，所以转动的角的大小是－112×360°＝－30°.【答案】－30°教材整理2 终边相同的角阅读教材P4“例1”以下～P5“第4行”以上内容，完成下列问题.1.前提：α表示任意角.2.表示：所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.( )(2)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.( )(3)终边相同的角的表示不唯一.( )【解析】由终边相同角的定义可知(1)(2)(3)正确.【答案】(1)√(2)√(3)√教材整理3 象限角阅读教材P5“第5行”～“例2”以上内容，完成下列问题.1.象限角：平面内任意一个角都可以通过移动，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合.这时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角.2.如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.下列说法：①第一象限角一定不是负角；②第二象限角大于第一象限角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角.其中错误的序号为________.(把错误的序号都写上)【解析】由象限角定义可知①②③④都不正确.【答案】①②③④[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________疑问2：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________疑问3：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________[小组合作型](1)已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A.A＝B＝CB.A⊆CC.A∩C＝BD.B∪C⊆C(2)下面与－850°12′终边相同的角是( )A.230°12′B.229°48′C.129°48′D.130°12′【精彩点拨】正确理解第一象限角、锐角、小于90°的角的概念.【自主解答】(1)第一象限角可表示为k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z；锐角可表示为0°<β<90°；小于90°的角可表示为γ<90°；由三者之间的关系可知，选D.(2)与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.【答案】(1)D (2)B1.判断角的概念问题的关键与技巧：(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可.2.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法：(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角.(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.常见360°的倍数如下：1×360°＝360°，2×360°＝720°，3×360°＝1 080°，4×360°＝1 440°，5×360°＝1 800°.[再练一题]1.有下列说法：①相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同；②终边相同的角一定相等；③终边关于x轴对称的两个角α，β之和为k·360°，(k∈Z).其中正确说法的序号是________.【导学号：72010000】【解析】①不正确.终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立；②不正确.由①可知终边相同的两个角一定相差k·360°，(k∈Z)；③正确.因为终边关于x轴对称的两个角，当α∈(－180°，180°)，且β∈(－180°，180°)时α＋β＝0°，当α，β为任意角时，α＋β＝k·360°(k∈Z).【答案】③(1)如图111，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是( )图111A.{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋45°，k∈Z}B.{α|k·180°＋150°<α<k·180°＋225°，k∈Z}C.{α|k·360°＋150°<α<k·360°＋225°，k∈Z}D.{α|k·360°＋30°<α<k·180°＋45°，k∈Z}(2)已知角β的终边在如图112所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围.图112k·360°k∈Z【自主解答】(1)在0°～360°内落在阴影部分角的范围为大于150°而小于225°，所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为{α|k·360°＋150°<α<k·360°＋225°，k∈Z}.【答案】 C(2)阴影在x轴上方部分的角的集合为：A＝{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k<Z}.阴影在x轴下方部分的角的集合为：B＝{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}.所以阴影部分内角β的取值范围是A∪B，即{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360＋285°，k∈Z)，其中B可以化为：{β|k·360°＋180°＋60°≤β<k·360°＋180°＋105°，k∈Z}.即{β|(2m＋1)×180°＋60°≤β<(2m＋1)×180°＋105°，m∈Z}.集合A可以化为{β|2m×180°＋60°≤β<2m×180°＋105°，m∈Z}.故A∪B可化为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}.表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合.[再练一题]2.写出图113中阴影部分(不含边界)表示的角的集合.图113【解】 在－180°～180°内落在阴影部分角集合为大于－45°小于45°，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|－45°＋k ·360°<α<45°＋k ·360°，k ∈Z }.[探究共研型]探究1 由α所在象限如何求k(k ∈N *)所在象限？【提示】 (1)画图法：将各象限k 等分，从x 轴正半轴开始逆时针方向依次标注1,2,3,4，循环下去，直到填满为止，则当α在第n 象限时，αk就在n 号区域.例如：当角α在第二象限时，α2在图k＝2时的2号区域，α3在图k ＝3时的2号区域.但此规律有局限性，如在已知角α的范围求角2α的范围时上述规律就不好用了，所以还应该掌握求范围的一般方法.(2)代数推导法：运用代数式一步一步推理.如：当角α在第二象限时，90＋k ·360°<α<180°＋k ·360°，k ∈Z ，则30°＋k ·120°<α3<60°＋k ·120°，k ∈Z ，所以α3在第一、二、四象限. 探究2 若角α与β的终边关于x 轴、y 轴、原点、直线y ＝x 对称，则角α与β分别具有怎样的关系？【提示】 (1)关于y 轴对称：若角α与β的终边关于y 轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k ·360°，k ∈Z .(2)关于x 轴对称：若角α与β的终边关于x 轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k ·360°，k ∈Z .(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k ·360°，k ∈Z .(4)关于直线y ＝x 对称：若角α与β的终边关于直线y ＝x 对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k ·360°，k ∈Z .(1)(2016·北京高一检测)若α是第四象限角，则180°－α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)已知α为第二象限角，则2α，α2分别是第几象限角？【精彩点拨】 (1)可通过写出α的取值范围，逐步求得180°－α范围来求解；(2)可由α范围写出2α，α2的范围后，直接求得2α的范围，然后分k 为奇数或偶数两种情况确定α2的位置.【自主解答】 (1)因为α是第四象限角，则角α应满足：k ·360°－90°<α<k ·360°，k ∈Z ，所以－k ·360°<－α<－k ·360°＋90°，则－k ·360°＋180°<180°－α<－k ·360°＋90°＋180°，k ∈Z ， 当k ＝0时，180°<180°－α<270°， 故180°－α为第三象限角. 【答案】 C(2)∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°，∴180°＋2k ·360°<2α<360°＋2k ·360°，k ∈Z ，∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角.同理45°＋k 2·360°<α2<90°＋k2·360°.当k 为偶数时， 不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ， 则225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°，此时，α2为第三象限角.∴α2为第一或第三象限角.解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确定出n α或αn的范围，再根据k 与n 的关系进行讨论.[再练一题]3.本例(2)中条件不变，试判断α3是第几象限角？【解】 ∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°，k ∈Z ， ∴30°＋k ·120°<α3<60°＋k ·120°，k ∈Z .当k ＝3n ，n ∈Z 时，30°＋n ·360°<α3<60°＋n ·360°，n ∈Z 此时α3为第一象限角，当k ＝3n ＋1，n ∈Z时，150°＋n ·360°<α3<180°＋n ·360°，n ∈Z ，此时α3为第二象限角，当k ＝3n ＋2，n ∈Z 时，270°＋n ·360°<α3<300°＋n ·360°，n ∈Z ，此时α3为第四象限角.∴α3为第一、第二或第四象限角.1.若α是第一象限角，则－α2是( ) A.第一象限角 B.第一、四象限角 C.第二象限角D.第二、四象限角【解析】 因为α是第一象限角，所以α2为第一、三象限角，所以－α2是第二、四象限角.【答案】 D2.与－457°角终边相同的角的集合是( ) A.{α|α＝k ·360°＋457°，k ∈Z } B.{α|α＝k ·360°＋97°，k ∈Z } C.{α|α＝k ·360°＋263°，k ∈Z } D.{α|α＝k ·360°－263°，k ∈Z }【解析】 当选项C 的集合中k ＝－2时，α＝－457°. 【答案】 C3.下列各角中，与330°角的终边相同的角是( ) A.510° B.150° C.－150°D.－390°【解析】 与330°终边相同的角的集合为S ＝{β|β＝330°＋k ·360°，k ∈Z }， 当k ＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，故选D. 【答案】 D4.若角α与角β终边相同，则α－β＝________. 【解析】 根据终边相同角的定义可知： α－β＝k ·360°(k ∈Z ).【答案】k·360°(k∈Z)5.在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：(1)－120°；(2)640°.【导学号：72010001】【解】(1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}.当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角.(2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}.当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角.我还有这些不足：(1)_________________________________________________________(2)_________________________________________________________我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________(2)_________________________________________________________学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{大于90°的角}，那么A，B，C关系是( )A.B＝A∩CB.B∪C＝CC.A CD.A＝B＝C【解析】钝角大于90°，小于180°，故C B，选项B正确.【答案】 B2.下列是第三象限角的是( )A.－110°B.－210°C.80°D.－13°【解析】－110°是第三象限角，－210°是第二象限角，80°是第一象限角，－13°是第四象限角.故选A.【答案】 A3.终边与坐标轴重合的角α的集合是( )A.{α|α＝k·360°，k∈Z}B.{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C.{α|α＝k·180°，k∈Z}D.{α|α＝k·90°，k∈Z}【解析】终边在坐标轴上的角为90°或90°的倍数角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}.故选D.【答案】 D4.若α是第一象限的角，则下列各角中属于第四象限角的是( )A.90°－αB.90°＋αC.360°－αD.180°＋α【解析】因为α是第一象限角，所以－α为第四象限角，所以360°－α为第四象限角.【答案】 C5.在平面直角坐标系中，若角α与角β的终边互为反向延长线，则必有( )A.α＝－βB.α＝k·180°＋β(k∈Z)C.α＝180°＋βD.α＝2k·180°＋180°＋β(k∈Z)【解析】因为角α与角β的终边互为反向延长线，所以角α与角β的终边关于原点对称，所以α＝2k·180°＋180°＋β(k∈Z).【答案】 D二、填空题6.在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________.【解析】根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内角为120°.故填120°，300°.【答案】120°，300°7.设集合A＝{x|k·360°＋60°<x<k·360°＋300°，k∈Z}，B＝{x|k·360°－210°<x<k·360°，k∈Z}，则A∩B＝________.【导学号：72010002】【解析】A∩B＝{x|k·360°＋60°<x<k·360°＋300°，k∈Z}∩{x|k·360°－360°＋150°<x<k·360°－360°＋360°，k∈Z}＝{x|k·360°＋60°<x<k·360°＋300°，k∈Z}∩{x|(k－1)·360°＋150°<x<(k－1)·360°＋360°，k∈Z}＝{x|k·360°＋150°<x<k·360°＋300°，k∈Z}【答案】{x|k·360°＋150°<x<k·360°＋300°，k∈Z}三、解答题8.在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角.【解】与530°终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z.(1)由－360°＜k·360°＋530°＜0°，且k∈Z可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.(2)由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z可得k＝－1，故所求的最小正角为170°.(3)由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z得k＝－3，故所求的角为－550°.9.若角β的终边落在直线y＝－33x上，写出角β的集合；当－360°＜β＜360°时，求角β.【解】∵角β的终边落在直线y＝－33x上，∴在0°到360°范围内的角为150°和330°，∴角β的集合为{x|x＝k·180°＋150°，k∈Z}.当－360°＜β＜360°时，角β为－210°，－30°，150°，330°.[能力提升]1.如图114，终边落在直线y＝±x上的角α的集合是( )图114A.{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}B.{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}C.{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}D.{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}【解析】终边落在直线y＝±x在[0°，360°)内角有45°，135°，225°和315°共四个角，相邻两角之间均相差90°，故终边落在直线y＝±x上的角的集合为{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}.【答案】 D2.已知，如图115所示.图115(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.【解】(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}.(2)由图可知，阴影部分角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的所有与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k ∈Z}.。
高中数学 第一章 三角函数 1.2 角的概念的推广学案 北师大版必修4
1.2 角的概念的推广1．角的概念角可以看成平面内________绕着______从一个位置______到另一个位置所形成的图形． 2．角的分类(1)(2)预习交流1(1)终边和始边重合的角一定是零角吗？ (2)45°是第______象限角；216°是第__________象限角；－70°是第__________象限角．3．终边相同的角的表示一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：________________________，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的______倍的和．注意：(1)k是整数，这个条件不能漏掉；(2)α是任意角；(3)k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．预习交流2(1)下列各角中与330°角终边相同的角是( )．A．510°B．150°C．－150°D．－390°(2)在－360°到360°的范围内，与412°角终边相同的角是______．答案：1．一条射线端点旋转2．(1)逆时针顺时针没有作任何旋转(2)原点终边(除端点外)预习交流1：(1)提示：不一定．零角是终边和始边重合的角，但终边和始边重合的角不一定是零角，如－360°、360°、720°等角的终边和始边也重合．(2)一三四3．S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z} 整数预习交流2：(1)D (2)52°，－308°1．角的概念的辨析问题判断下列说法是否正确，并说明理由：(1)集合P＝{钝角}，集合Q＝{第二象限角}，则有P＝Q；(2)角α和角2α的终边不可能相同；(3)若α是第二象限角，则2α一定是第四象限角；(4)不相等的角其终边位置必不相同．思路分析：解答本题首先要明确角的范围不再局限于0°～360°，角的度数已经扩大到(－∞，＋∞)，其次要紧扣象限角、终边相同的角的概念．已知A＝{锐角}，B＝{α|0°≤α＜90°}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°的角}，求A∩B，A∪C，C∩D，A∪D.对推广后角的概念的理解．(1)紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看角．(2)结合实际意义明确角的概念经过推广后，角的范围不再局限于0°～360°，而是包括正角、负角和零角．(3)正确理解正角、负角和零角的概念，既要注意始边位置和旋转量，又要注意旋转方向是逆时针、顺时针，还是没有转动．2．终边相同的角及象限角已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限的角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.思路分析：利用终边相同的角的关系β＝α＋k×360°，k∈Z来解决．将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α＜360°)的形式，并指出是第几象限角．(1)－1 840°；(2)1 690°.终边相同的角相差360°的整数倍．判定一个角在第几象限，只要找与它终边相同的0°～360°范围内的角，这个0°～360°范围内的角所在象限即为所求．3．区域角的表示如图所示，写出终边落在阴影部分(实线包括边界，虚线不包括边界)的角的集合．思路分析：观察图形，找出边界上的角，用不等式形式表示出阴影部分内的角的集合．如图所示，写出终边落在图中阴影部分(实线包括边界，虚线不包括边界)的角的集合．区域角及其表示方法区域角是指终边落在平面直角坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}；(3)根据旋转的观点把起始、终止边界对应角α、β加上k·360°(k∈Z)．特别地，如“活动与探究3”中，若是对顶区域，如图②可用一个表达式表示：先在一个阴影中找出区间角[45°，90°]，然后再在两边加上n×180°(n∈Z)即可；若区域包括了x轴非负半轴，则可由负角到正角，如图③，两边再加上k×360°(k∈Z)．4．已知α角所在的象限，判断角α2的终边所在的位置已知角α是第二象限角，试判断角α2是第几象限角．已知角α是第三象限角，试判断角α2是第几象限角．(1)各象限角的集合如下 象限角 集合表示第一象限角 {α|0°＋k ·360°＜α＜90°＋k ·360°，k ∈Z } 第二象限角 {α|90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°，k ∈Z } 第三象限角 {α|180°＋k ·360°＜α＜270°＋k ·360°，k ∈Z } 第四象限角{α|270°＋k ·360°＜α＜360°＋k ·360°，k ∈Z }答案：活动与探究1：解：(1)不正确．实际上P ＝{α|90°＜α＜180°}，应有P Q . (2)不正确．如α＝0°时，α与2α终边相同．(3)不正确．由90°＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°(k ∈Z )知180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z ，故2α是第三或第四象限的角，也可能终边在y 轴的非正半轴上．(4)不正确．不相等的角其终边位置也可能相同，如30°与390°. 迁移与应用：解：A ∩B ＝{α|0°＜α＜90°}，A ∪C ＝{α|k ×360°＜α＜90°＋k ×360°，k ∈Z }，C ∩D ＝{α|k ×360°＜α＜90°＋k ×360°，k ∈Z ，k ≤0}， A ∪D ＝{α|α＜90°}． 活动与探究2：解：(1)－1 910°＝－6×360°＋250°，其中β＝250°，k ＝－6，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限的角．(2)令θ＝250°＋k ×360°(k ∈Z )，取k ＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.迁移与应用：解：(1)－1 840°＝－6×360°＋320°， 故－1 840°是第四象限角．(2)1 690°＝4×360°＋250°，故1 690°是第三象限角．活动与探究3：解：(1)由图①可知，按逆时针方向旋转，应由l 1旋转至l 2，与l 1终边相同的角有60°角，与l 2终边相同的角有310°角．∴图①阴影部分中角的集合为S ＝{α|60°＋k ×360°≤α≤310°＋k ×360°，k ∈Z }． (2)由图②知，第一象限内阴影部分中角的集合为S 1＝{α|45°＋k ×360°≤α≤90°＋k ×360°，k ∈Z }． 第三象限内阴影部分中角的集合为S 2＝{α|225°＋k ×360°≤α≤270°＋k ×360°，k ∈Z }． ∴所求阴影部分中角的集合为S ＝S 1∪S 2＝{α|45°＋2k ×180°≤α≤90°＋2k ×180°，k ∈Z }∪{α|45°＋(2k ＋1)×180°≤α≤90°＋(2k ＋1)×180°，k ∈Z }＝{α|45°＋n ×180°≤α≤90°＋n ×180°，n ∈Z }．(3)由图③知，逆时针方向旋转，应由l 2旋转至l 1，与l 2终边相同的角有－30°角，与l 1终边相同的角有30°角．∴图③阴影部分中角的集合为S ＝{α|－30°＋k ×360°＜α＜30°＋k ×360°，k ∈Z }．迁移与应用：解：终边落在第二象限内阴影部分中的角的集合可表示为{x |k ×360°＋135°＜x ≤k ×360°＋180°，k ∈Z }，终边落在第四象限内阴影部分中的角的集合可表示为{x |k ×360°－15°≤x ≤k ×360°，k ∈Z }，∴终边落在阴影部分的角的集合可表示为{x |k ×360°＋135°＜x ≤k ×360°＋180°或－15°＋k ×360°≤x ≤k ×360°，k ∈Z }．活动与探究4：解法一：(分类讨论法) ∵角α是第二象限角，∴k ×360°＋90°＜α＜k ×360°＋180°，k ∈Z.∵k ×180°＋45°＜α2＜k ×180°＋90°，k ∈Z ，∴当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ×360°＋45°＜α2＜n ×360°＋90°，即角α2是第一象限角；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ×360°＋225°＜α2＜n ×360°＋270°，即角α2是第三象限角．∴角α2的终边落在第一或第三象限．解法二：(几何法)先将各象限二等分，从x 轴非负半轴起，按逆时针方向依次将各区域标上1,2,3,4，标有2的区域即为角2α的终边所在区域，如图所示，故角2α是第一、三象限角．迁移与应用：解法一：(分类讨论法)∵α是第三象限角，∴k ×360°+180°＜α＜k ×360°+270°，k ∈Z ，∴k ×180°+90°＜2α＜k ×180°+135°，k ∈Z. ∴当k=2n ，n ∈Z 时，n ×360°+90°＜2α＜n ×360°+135°，即角 2α是第二象限角；当k =2n +1，n ∈Z 时，n ×360°+270°＜2α＜n ×360°+315°，即角2α是第四象限角．∴角2α是第二或第四象限角．解法二：(几何法)仿照“活动与探究4”的“解法二”即可知角 是第二或第四象限角．1．下列命题中正确的是( )． A ．三角形的内角必是第一、二象限角 B ．第一象限角必是锐角C ．不相等的角终边一定不相同D ．若β＝α＋k ·360°(k ∈Z )，则α和β终边相同2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－615°是第一象限角．其中正确的命题有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．与405°角终边相同的角是( )．A ．k ·360°－45°，k ∈ZB ．k ·360°－405°，k ∈ZC ．k ·360°＋45°，k ∈ZD ．k ·180°＋45°，k ∈Z4．(1)一个30°的角，将其终边按逆时针方向旋转三周，则旋转后的角是________． (2)若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．5．终边在第一、三象限角平分线上的角的集合为________；终边在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．答案：1．D 解析：90°的角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限角，故A 错；390°的角是第一象限角，但它不是锐角，故B 错；390°角和30°角不相等，但终边相同，故C 不正确；对于D ，由终边相同的角的概念可知正确．2．C 解析：①②③正确，④错误． 3．C4．(1)1 110° (2)－960° 解析：(1)终边按逆时针方向旋转三周，转过的角度为360°×3＝1 080°.再加上原来的角度30°，所以旋转后的角是1 110°.(2)∵2小时40分＝223小时，∴－360°×223＝－960°.5．{α|α＝k ×180°＋45°，k ∈Z } {α|α＝k ×180°＋135°，k ∈Z }。
人教A版高中数学必修四学教案集三角函数角的概念的推广,
第四章三角函数第一教时教材：角的概念的推广目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
过程：一、提出课题：“三角函数”回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。
相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。
二、角的概念的推广1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”2．讲解：“旋转”形成角（P4）突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
记法：角α或α∠可以简记成α4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
5．1︒角有正负之分如：α=210︒β=-150︒γ=-660︒2︒角可以任意大实例：体操动作：旋转2周（360︒×2=720︒）3周（360︒×3=1080︒）3︒还有零角一条射线，没有旋转三、关于“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30︒390︒-330︒是第Ⅰ象限角300︒-60︒是第Ⅳ象限角585︒1180︒是第Ⅲ象限角-2000︒是第Ⅱ象限角等四、关于终边相同的角1．观察：390︒，-330︒角，它们的终边都与30︒角的终边相同2．终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)(Z k k ∈个周角的和 390︒=30︒+360︒ )1(=k-330︒=30︒-360︒ )1(-=k 30︒=30︒+0×360︒ )0(=k1470︒=30︒+4×360︒ )4(=k-1770︒=30︒-5×360︒ )5(-=k3．所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和4．例一 （P5 略）五、小结： 1︒ 角的概念的推广用“旋转”定义角 角的范围的扩大2︒“象限角”与“终边相同的角”六、作业： P7 练习1、2、3、4习题1.4 1。
人教A版高中数学必修四吉林第一章第节角的概念的推广教案新
吉林省吉林一中高一数学必修四第一章第2节《角的概念的推广1》教案 新人教A 版（一）复习引入：1．初中所学角的概念。
2．实际生活中出现一系列关于角的问题。
（二）新课讲解：1．角的定义：一条射线绕着它的端点O ，从起始位置OA 旋转到终止位置OB ，形成一个角α，点O 是角的顶点，射线,OA OB 分别是角α的终边、始边。
说明：在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可以简记为α．2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角。
说明：零角的始边和终边重合。
3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重合，则（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
例如：30,390,330-都是第一象限角；300,60-是第四象限角。
（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
例如：90,180,270等等。
说明：角的始边“与x 轴的非负半轴重合”不能说成是“与x 轴的正半轴重合”。
因为x 轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线。
4．终边相同的角的集合：由特殊角30看出：所有与30角终边相同的角，连同30角自身在内，都可以写成30360k +⋅()k Z ∈的形式；反之，所有形如30360k +⋅()k Z ∈的角都与30角的终边相同。
从而得出一般规律：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}|360,S k k Z ββα==+⋅∈，即：任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。
5．例题分析：例1．在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：（1）120- （2）640 （3）95012'-解：（1）120240360-=-，所以，与120-角终边相同的角是240，它是第三象限角；（2）640280360=+，所以，与640角终边相同的角是280角，它是第四象限角；（3）95012129483360''-=-⨯，所以，95012'-角终边相同的角是12948'角，它是第二象限角。
《角的概念的推广》——教学设计方案-
角的概念的推广教学设计扶风县第二高中冯海平一、教学内容解析：1．本节课的主要内容是角的概念的推广，主要是运用运动观点来定义和理解角，即用角的始边和终边及旋转方向来定义任意角，从而达到对角的概念的推广。
2．地位和作用：本节内容是高中数学北师大版必修四第一章三角函数的第二节，是对初中锐角三角函数的一个延伸和推广，主要是推广到任意角三角函数。
本节课《角的概念的推广》就起到了一个铺垫的作用。
它是学习任意角的三角函数必备的知识。
二、教学目标设置1.知识与技能（1）理解为什么要推广角的概念，怎样来推广,理解并掌握正角、负角、零角的定义（2）理解任意角、象限角的概念；掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；会判断是哪个象限角还是终边在坐标轴上的角（3）类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广2.过程与方法（1）借助图片、视频、实物演示、动手绘制角等手段，让学生充分体会到多媒体等手段对数学教学的作用。
（2）在老师的引导、及时评价下，同学之间的互相评价下，学生积极探究知识的形成过程。
3.情感、态度与价值观（1）通过本节的学习，让学生意识到数学来源于生活，服务于生活，激发学习数学的兴趣。
（2）体会数形结合思想，学会运用运动变化的观点认识事物.（3）通过课堂上的学生自评、互评，教师评价，培养学生竞争意识和团队合作意识，锻炼学生的语言表达能力，提高分析问题和解决问题的能力。
重、难点突破措施：采用看图片，视频，列举生活中的实例等多种形式来理解为什么要推广角的概念?怎样来推广？这两个问题。
借助电子白板和几何画板让同学做角，来感受现在的角是动态的。
再用几何画板展示终边相同的角的产生过程，从而理解终边相同的角不是一个而是无数个，这些角可以组成一个集合。
这样会形象直观理解这些抽象的概念，并且产生了深刻的印象。
三、学情分析高一学生因为在初中学习时，学习态度，学习方法，学习能力的不同，知识掌握程度参差不齐，两级分化已经形成，但普遍储备了一定感性具体的数学问题情境，在初中，学生学习了角的定义，角的范围很窄。
北师大版高中数学必修四角的概念的推广教案
§2 角的概念的推广（1课时）一、教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。
2、过程与方法类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。
难点: 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。
三、学法与教学用具在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。
教学用具:多媒体、三角板、圆规四、教学思路【创设情境，揭示课题】同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。
但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。
数学北师大版高中必修4第一章 三角函数— 第二节角的概念推广 学案
角的概念推广 学案本节课我们学习正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．本节课重点是学习终边相同的角的表示法．严格区分“终边相同”和“角相等”；“轴线角”“象限角”和“区间角”；“小于90°的角”“第一象限角”“0°到90°的角”和“锐角”的不同意义.讲解范例：例1 在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角(1)120(2)640(3)95012'-︒︒-︒例2写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中在︒︒-720~360间的角写出来：︒60⑴ ︒-21⑵ '︒14363⑶。
课堂练习1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？0°～90°的角是锐角吗？总结有关角的集合表示．锐角：{θ|0°＜θ＜90°}，0°～90°的角：{θ|0°≤θ≤90°}；小于90°角：{θ|θ＜90°}．2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x 轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？).课后作业：1.下列命题中正确的是( )A.终边在y轴非负半轴上的角是直角B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同2.与120°角终边相同的角是( )A.－600°＋k·360°，ｋ∈ＺB.－120°＋k·360°，ｋ∈ＺC.120°＋(2k＋1）·180°，ｋ∈ＺD.660°＋k·360°，ｋ∈Ｚ3.若角α与β终边相同，则一定有( )A.α＋β＝180°B.α＋β＝0°C.α－β＝ｋ·360°，ｋ∈ＺD.α＋β＝ｋ·360°，ｋ∈Z4.与1840°终边相同的最小正角为，与－1840°终边相同的最小正角是 .5.今天是星期一，100天后的那一天是星期，100天前的那一天是星期 .6.钟表经过4小时，时针与分针各转了 (填度).7.在直角坐标系中，作出下列各角(1)360° (2)720° (3)1080° (4)1440°8.已知Ａ＝｛锐角｝，B＝｛0°到90°的角｝，C＝｛第一象限角｝，D＝｛小于90°的角｝．求:A,B,C,D9.将下列各角表示为α＋ｋ·360°（ｋ∈Ζ，0°≤α＜360°）的形式，并判断角在第几象限.(1)560°24′（2）－560°24′（3）2903°15′(4)－2903°15′（5）3900°（6）－3900°10.写出终边落在第一象限角的角集合:写出终边落在第二象限角的角集合:写出终边落在第三象限角的角集合:写出终边落在第四象限角的角集合:11.试写出终边落在X轴正半轴的所有角的集合:。
(新课程)高中数学 第二课时 角的概念的推广教案(2) 苏教版必修4
第二课时角的概念的推广(二)教学目标：熟练掌握象限角的集合、轴线角的集合及终边相同的角的表示方法.教学重点：轴线角的集合，终边相同的角的表示方法教学难点：终边相同的角的表示方法教学过程：Ⅰ.复习回顾请思考并回答以下问题：1.正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的表示方法是如何定义的？2.角的定义只强调了射线绕端点旋转的方向，而没有谈及射线绕端点旋转的圈数，那么射线绕端点旋转的圈数对角有无影响？3.能否说射线绕端点旋转的圈数越多，角就越大呢？4.如图所示的∠ABC是第一象限角吗？为什么？指出：①在角的定义里，射线绕端点旋转的圈数影响着角的大小.②射线绕端点旋转的方向，若是逆时针方向旋转，则旋转圈数越多，角越大；若顺时针方向旋转，则旋转圈数越多，角越小.③象限角概念中强调“角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合”这一条件.Ⅱ.例题分析［例1］写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示)第一步：在0°到360°内找到满足上述条件的角，即90°、270°.第二步：写出与上述角终边相同的角的集合，即S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}第三步：写出几个集合的并集，即S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z} ＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋(2k＋1)· 180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋180°的偶数倍}∪{β|β＝90°＋180°的奇数倍}＝{β|β＝90°＋180°的整数倍}＝{β|β＝90°＋n·180°，n∈Z}能写出终边在x轴的非负半轴、非正半轴上的角的集合吗？终边在x轴非负半轴上的角的集合为{x|x＝k·360°，k∈Z}，终边在x轴非正半轴上的角的集合为{x|x＝k·360°＋180°，k∈Z}.以上两个集合的并集代表什么特殊位置上的角的集合呢？［例2］写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β≤720°的元素β写出来：(1)60°（2）－21°（3）363°14′第一步：利用终边相同的角的集合公式写出：（1）S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}(2)S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}(3)S＝{β|β＝363°14′＋k·360°，k∈Z}第二步：在第一步的基础上，利用满足约束条件的不等式，对其中的k值，分别采用赋值法求解出元素β:(1)－300°，60°，420°(2)－21°，339°，699°(3)－356°46′，3°14′，363°14′题目中的k 值是靠观测、试探确定的，即赋给k 一个任意值m 试一试，看是否满足条件，再将m 增1或减1再试，直至找到合适的k 的最小值（或最大值）.［例3］若α是第三象限角，试求α2 、α3的范围. 分析：依据象限角的表示法将α表示出来后，再确定α2 、α3 的范围，再进一步判断α2、α3所在的象限. 解：∵α是第三象限角∴k ·360°+180°＜α＜k ·360°+270°(k ∈Z )(1)k ·180°+90°＜α2＜k ·180°+135°(k ∈Z ) 当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°+90°＜α2＜n ·360°+135° 当k ＝2n +1(n ∈Z )时，n ·360°+270°＜α2＜n ·360°+315° ∴α2为第二或第四象限角. (2)k ·120°+60°＜α3＜k ·120°+90°(k ∈Z ) 当k ＝3n (n ∈Z )时，n ·360°+60°＜α3＜n ·360°+90°(n ∈Z ) 当k ＝3n +1(n ∈Z )时，n ·360°+180°＜α3＜n ·360°+210°（n ∈Z ) 当k ＝3n +2(n ∈Z )时，n ·360°+300°＜α3＜n ·360°+330°(n ∈Z ) ∴α3为第一或第三或第四象限角. Ⅲ.课堂练习P 7练习5Ⅳ.课时小结本节课的重点内容仍然是终边相同的角的集合表示，这是学习后续知识的基础，要予以足够的重视，若还有不明白的地方，请同学们再做进一步的讨论，或者提出来，老师再与你一块研究.Ⅴ.课后作业（一）P 10习题 4、11、12.（二）1.预习内容课本P 7~P 8弧度制2.预习提纲弄清楚下列问题：(1)弧度的单位符号(2)1弧度的角的定义(3)弧度制的定义(4)角度与弧度的换算公式角的概念的推广(二)1．若α是第四象限角，则180°－α是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角2．设k∈Z，下列终边相同的角是（）A.（2k+1)·180°与（4k±1)·180° B.k·90°与k·180°+90°C.k·180°+30°与k·360°±30°D.k·180°+60°与k·60°3．若90°＜－α＜180°，则180°－α与α的终边（）A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于原点对称D.以上都不对4．终边与坐标轴重合的角α的集合是（）A.{α|α＝k ·360°，k ∈Z}B.{α|α＝k ·180°+90°，k ∈Z}C.{α|α＝k ·180°，k ∈Z}D.{α|α＝k ·90°，k ∈Z}5．若角α与β终边重合，则有 （ ）A.α－β＝180°B.α+β＝0C.α－β＝k ·360°（k ∈Z ）D.α+β＝k ·360°（k ∈Z ）6．若将时钟拨慢5分钟，则时针转了 度，分针转了 度.7．若角α是第三象限角，则α2角的终边在 ，2α角的终边在 . 8．如果6α与30°角的终边相同，求适应不等式－180°＜α＜180°的角α的集合.9．如果角α的终边经过点M （1， 3 ），试写出角α的集合A ，并求集合A 中最大的负角和绝对值最小的角.10．已知0°＜θ＜360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.角的概念的推广(二)答案1．C 2．A 3．B 4．D 5．C 6．2.5 307．第二或第四象限 第一或第二象限或终边在y 轴的正半轴上8．如果6α与30°角的终边相同，求适应不等式－180°＜α＜180°的角α的集合.分析：由6α与30°角的终边相同，得出α的表达式是解题的关键.解：由题意得6α＝30°＋k ·360°(k ∈Z )∴α＝5°＋k ·60°∵－180°＜α＜180°∴－180°＜5°＋k ·60°＜180°，－185°＜k ·60°＜175°∴－3712 ＜k ＜3512∵k 是整数， ∴k ＝－3，－2，－1，0，1，2.分别代入α＝5°＋k ·60°，得满足条件的α的集合为：{－175°，－115°，－55°，5°，65°，125°}9．如果角α的终边经过点M （1， 3 ），试写出角α的集合A ，并求集合A 中最大的负角和绝对值最小的角.分析：关键是求出0°到360°范围内的角α.解：在0°到360°范围内，由几何方法可求得α＝60°.∴A＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}其中最大的负角为－300°（当k＝－1时）绝对值最小的角为60°（当k＝0时）10．已知0°＜θ＜360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.由7θ＝θ＋k·360°，得θ＝k·60°（k∈Z）∴θ＝60°，120°，180°，240°，300°。
北师大版必修四1.2《角的概念的推广》word学案-数学知识点总结
相关知识链接
锐角是大于0小于90的角，钝角是大于90小于180的角，平角是180角，周角是360角
教材助读
1.什么是正角、负角和零角？
2.合怎么表示所有与
终边相同的角（连同角
在内）？
3.用集合表示下面的角
（1）终边落在x轴非负半轴上的角的集合
（2）终边落在y轴非负半轴上的角的集合
（3）终边落在x轴非正半轴上的角的集合
角的概念的推广
使用说明：
1.用15分钟左右的时间，阅读课本第6~8页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；
2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成教材助读设问及自测练习。
3.通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的学习目标
【学习目标】：
3.写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式—7200 3600的元素 写出来。
（1）600（2）—450（3）1303018´（4）—2250
综合应用探究
1.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式—3600 <7200的元素 写出来
2.写出在下列象限的角的集合
（1）第一象限（2）第二象限（3）第三象限（4）第四象限
（4）终边落在y轴非正半轴上的角的集合
（5）终边落在坐标轴上的角的集合
4.锐角，00~900的角，小于900的角，第一象限的角的关系？
预习自测
1.判定下列各角是第几象限角
600，6060，—9500
2.在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（用00~3600的角表示）数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形
高中数学必修四1.2_角的概念的推广教案北师大版Word版
通过学生观察、联想得出相应的数学规律的学习过程，体会由特殊到一般的数学思维方法。
3.情感、态度与价值观：
通过本节的学习，使学生对角的概念有一个新的认识并让学生在学习过程中体会类比、数形结合等思想方法，激发学生学习数学积极性，培养学生分析问题、解决问题的能力，为今后的学习奠定良好的基础。
4.终边相同的角的集合表示方法，应当包括两种基本情况：
（1）象限角
（2）终边落在x轴和y轴上的角
二、学情分析
学生的活动过程决定着课堂教学的成败，教学中应反复挖掘“分析理解”栏目及“分析理解”示图的过程功能，在这个过程上要不惜多花些时间，让学生进行操作与思考，自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式，也就自然地理解了集合S=﹛β|β=α﹢k·360°，k∈Z﹜的含义.如果借助信息技术，则可以动态表现角的终边旋转的过程，更有利于学生观察角的变化与终边的位置的关系，让学生在动态的过程中体会，既要知道旋转量，又要知道旋转方向，才能准确刻画角的形成过程的道理，更好地了解任意角的深刻涵义.
1.角的概念的推广
（1）旋转形成“角”
一条射线由原来的位置 ，绕着它的端点 按逆时针方向旋转到终止位置 ，就形成角 .旋转开始时的射线 叫做角的始边， 叫终边，射线的端点 叫做叫 的顶点.
（2）“正角”“负角”与“零角”
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们认为这时它也形成了一个角，并把这个角叫做零角.(打开课件第一版，演示正角、负角、零角的形成过程)。
2跳水运动员在空中身体的旋转周数如何用角度来表示？
3工人师傅在拧紧或宁松螺丝时，扳手转动的角度如何表示才比较合适？
4你的手表慢了5分钟，你将怎样把它调整准确？假如你的手表块了1.25小时，你应当怎样将它调整准确？当调整准确后，分针转过了多少度角？
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2019-2020年高中数学必修四1.2《角的概念的推广》学案
使用说明：
1.用15分钟左右的时间，阅读课本第6~8页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；
2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成教材助读设问及自测练习。
3.通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的学习目标
【学习目标】：
（1）理解任意角的概念，根据角的终边旋转方向，能判定正角、负角和零角（2）学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限的定义，掌握终边相同角的表示方法
【重点和难点】
重点：了解任意角的概念，初步理解正角、零角、负角和象限角、终边相同的角的概念，初步学会终边相同的角的表示方法
难点：终边相同角的的集合的表示方法
预习案
相关知识链接
锐角是大于0小于90的角，钝角是大于90小于180的角，平角是180角，周角是360角
教材助读
1.什么是正角、负角和零角？
2.合怎么表示所有与终边相同的角（连同角在内）？
3.用集合表示下面的角
（1）终边落在x轴非负半轴上的角的集合
（2）终边落在y轴非负半轴上的角的集合
（3）终边落在x轴非正半轴上的角的集合
（4）终边落在y轴非正半轴上的角的集合
（5）终边落在坐标轴上的角的集合
4.锐角，~的角，小于的角，第一象限的角的关系？
预习自测
1.判定下列各角是第几象限角
，606，—950
2.在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（用0~360的角表示）
3.写出与60角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式—360<720的元素写
出来
探究案
基础知识探究
1.锐角是第几象限角？第一象限角是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答这两个问题。
2在0~360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是那个象限的角（1）—5418´（2）3958´（3）—119030´（4）1563
3.写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式—720360的元素写出来。
（1）60 （2）—45 （3）130318´（4）—225
综合应用探究
1.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式—360<720的元素写出来
2.写出在下列象限的角的集合
（1）第一象限（2）第二象限（3）第三象限（4）第四象限
当堂训练
1.若角与终边相同，则一定有（）
A.+=180
B. +=0
C.—=k·360(kz)
D.+=k·360(kz)
2.集合A=｛|=k·90—36，(kz)｝，B=｛|—180<<180｝,则AB等于（）
A, {—36，54} B,｛—126，144｝
C,｛—126，—36，54，144｝ D.{—126，54}
3.在与530终边相同的角中，求满足下列条件的角
（1）最大的负角
（2）最小的正角
（3）在—720~—360范围的角
4.已知角为第三象限角，则角所在的象限是（）
A.第一或第二象限
B.第二或第三象限
C.第一或第三象限
D.第二或第四象限。