含绝对值的方程和不等式 练习题
绝对值不等式(高考版2)(含经典例题+答案)
绝对值不等式（二） 例1：解不等式|23||3|4x x ++->；解：3339|23|3||||3||42222x x x x x x ++-=++++-≥++>；故不等式的解集为R 。
例2：3232≤-++x x解：3337|23|2||||2||32222x x x x x x ++-=++++-≥++>；故不等式的解集为φ。
解：（Ⅰ）()25212521213312≥-+≥-+-+-≥-+-=x x x x x x x f ，当仅当21=x 时，等号成立。
（Ⅱ）()()11--+>y y m x f ，由于2112≤--+≤-y y ，故()m x f 2>恒成立，即m 225>，故⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈45,m 。
解：（Ⅰ）f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-+--<-1312423x x x x x x ，令﹣x+4=4 或 3x=4，得x=0，x=34，所以，不等式 f （x ）≥4的解集是(][)+∞∞-,0,34；（Ⅱ）f （x ）在（﹣∞，1]上递减，[1，+∞）上递增，所以，f （x ）≥f （1）=3，由于不等式f （x ）＜|m ﹣2|的解集是非空的集合，所以，|m ﹣2|＞3，解之，m ＜﹣1或m ＞5，即实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）．解：∵原方程有实根，Δ＝36－4[|a ＋2|＋|2a －1|]≥0，∴|a ＋2|＋|2a －1|≤9.①当a ≥12时，∵a ＋2＋2a －1≤9，∴12≤a ≤83.②当－2≤a ＜12时，∵a ＋2＋1－2a ≤9，∴－2≤a ＜12. 秒杀秘籍:()b x n a x m x f -+-=结论：在绝对值不等式中，系数大的决定不等式的最值。
绝对值之和只有最小值，并在大系数绝对值取到零点时取到最小值；书写过程：323221221≥-+≥-+-+-≥-+-x x x x x x③当a ＜－2时，∵－a －2＋1－2a ≤9，∴－103≤a ＜－2.综上所述，由①②③得a 的取值范围为108,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
含有绝对值的不等式练习
含有绝对值的不等式练习【同步达纲练习】A 级一、选择题1.设x ∈R ，则不等式｜x ｜<1是x 2<1成立的( )条件. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 2.若a,b,c ∈R ，且｜a-c ｜<｜b ｜，则( )A.｜a ｜>｜b ｜+｜c ｜B.｜a ｜<｜b ｜-｜c ｜C.｜a ｜>｜b ｜-｜c ｜D.｜a ｜>｜c ｜-｜b ｜3.不等式｜x 2-x-6｜>3-x 的解集是( )A.(3,+∞)B.(-∞，-3)∪(3,+∞)C.(-∞，-3)∪(-1，+∞)D.(-∞,-3)∪(-1,3)∪(3,+∞) 4.设集合A ＝｛x ｜｜2-x -3｜<1，x ∈N ｝，则A 中元素个数是( ) A.13 B.12 C.11 D.10 5.下面四个式子：①｜a-b ｜＝｜b-a ｜ ②｜a+b ｜+｜a-b ｜≥2｜a ｜③2)(a -＝a④21(｜a ｜+｜b ｜)≥ab 中，成立的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题6.对于任意的实数x ，不等式｜x+1｜+｜x-2｜>a 恒成立，则实数a 的取值范围是 .7.不等式｜x 2+2x-1｜≥2的解集是 . 8.不等式｜x x 1-｜>xx-1的解集是 .三、解答题9.解不等式12+x >x.10.设m 等于｜a ｜、｜b ｜和1中最大的一个，当｜x ｜>m 时，求证：2xbx a +<2.AA 级一、选择题1.设实数a,b 满足ab<0，则( )A.｜a+b ｜>｜a-b ｜B.｜a+b ｜<｜a-b ｜C.｜a-b ｜<｜a ｜-｜b ｜D.｜a-b ｜<｜a ｜+｜b ｜2.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x 2x 2x 3x 30x 的解集是( )A.｛x ｜0<x<2｝B.｛x ｜0<x<2.5｝C.｛x ｜0<x<6｝D.｛x ｜0<x<3｝3.不等式24x -+xx ≥0的解集是( )A.｛x ｜-2≤x ≤2｝B.｛x ｜-3≤x<0或0<x ≤2｝C.｛x ｜-2≤x<0或0<x ≤2｝D.｛x ｜-3≤x<0或0<x ≤3｝4.设a>1，方程｜x+log a x ｜＝｜x ｜+｜log a x｜的解集是( )A.0≤x ≤1B.x ≥1C.x ≥aD.0<x ≤a5.设全集为R ，A ＝｛x ｜x 2-5x-6>0｝，B ＝｛x ｜｜x-5｜<a ｝(a 为常数)，且11∈B ，则( ) A. A ∪B ＝R B.A ∪B ＝RC. A ∪B ＝RD.A ∪B ＝R二、填空题6.已知｜a ｜≤1，｜b ｜≤1，那么｜ab+22)1()1(b a --｜与1的大小关系是 .7.对于实数x,y 有｜x+y ｜<｜x-y ｜，则x ，y 应满足的关系是 . 8.不等式｜x ｜+｜x-2｜≤1的解集是 .三、解答题9.解不等式｜x+7｜-｜3x-4｜+223->010.已知f(x)＝21x +，当a ≠b 时，求证｜f(a)-f(b)｜≤｜a-b ｜【素质优化训练】一、选择题1.不等式ba b a ++≤1成立的充要条件是( ) A.ab ≠0B.a 2+b 2≠0C.ab>0D.ab<02.在x ∈(31,3)上恒有｜log a x｜<1成立，则实数a 的取值范围是( ) A.a ≥3 B.0<a ≤31C.a ≥3或0<a ≤31D.a ≥3或0<a<313.已知x<y<0，设a ＝｜x ｜,b ＝｜y ｜,c ＝21｜x-y ｜,d ＝xy ，则a,b,c,d 的大小关系是( )A.b<d<c<aB.a<d<c<bC.a<c<d<bD.c<b<d<a4.平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么满足不等式(｜x ｜-1)2+(｜y ｜-1)2<2的整点(x,y)的个数是( )A.16B.17C.18D.25 5.已知f(x)＝｜lgx ｜，若0<a<b<c ，且f(a)>f(c)>f(b)，则( ) A.(a-1)(c-1)>0 B.ac>1 C.ac ＝1 D.ac<1二、填空题6.当0<a<1时，满足｜log a (x+1)｜>｜log a (x-1)｜的x 的取值范围是 .7.若α，β∈R +，C ∈R +，则｜α+β｜2与(1+c)｜α｜2+(1+c1)｜β｜2的大小关系是 .8.已知ab+bc+ca ＝1，则｜a+b+c ｜与3的大小关系是 . 9.不等式)1()10)(3)(2(2----x x x x x ≥0的解集是 .三、解答题10.设不等式5-x>7｜x+1｜与ax 2+bx-2>0同解，求a,b 的值.11.已知f(x)＝x 2-x+13,｜x-a ｜<1，求证：｜f(x)-f(a)｜<2(｜a ｜+1)补充题：1.关于实数x 的不等式｜x-2)1(2+a ｜≤2)1(2-a 与x 2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0(a ∈R)的解集依次为A 和B ，求使A ⊆B 的a 的取值范围.2.已知f(x)＝x 2+px+q ，求证：｜f(1)｜，｜f(2)｜，｜f(3)｜中至少有一个不小于21.3.设a,b ∈R ，｜a ｜+｜b ｜<1，α、β是方程x 2+ax+b ＝0的两根，确定｜α｜、｜β｜的范围.4.设a ∈R ，函数f(x)＝ax 2+x-a(-1≤x ≤1).(1)若｜a ｜≤1，证明｜f(x)｜≤45. (2)求a 的值使函数f(x)有最大值817.参考答案【同步达纲练习】A 级1.C2.D3.D4.C5.C6.(-∞，3)7.｛x ｜x≥1或x≤-3或x ＝-1｝8.(-∞，0) (1，+∞)9.解：原不等式等价于x<0或⎩⎨⎧>+≥2120x x x ⇒0≤x<1+2，综上得：解集为｛x ｜x<1+2｝. 10.证明：∵｜x ｜>m≥｜a ｜. ⎪⎩⎪⎨⎧≥>≥>1m x bm x ⇒｜x ｜2>｜b ｜. ∴｜x a +2x b ｜≤｜x a ｜+|2x b |＝xa +2xb <xa +22xx ＝2，故原不等式成立.AA 级1.B2.C3.B4.B5.D6.｜ab+)1)(1(22b a --｜≤1 7.x,y 异号 8.空集9.由223-＝2-1，于是原不等式可化为：｜x+7｜-｜3x-4｜+2-1>0.等价于⎪⎩⎪⎨⎧>-+--+>012)43(734x x x ①或⎪⎩⎪⎨⎧>-+-++≤≤-012437347x x x ②或⎩⎨⎧>+-++--<0243)7(7x x x ③.解①得：34 <x<5+22.解②得：-21-22<x≤34.解③得无解.综上得，原不等式解集为(-422+，4210+). 10.证明：要证｜f(a)-f(b)｜<｜a-b ｜.(21a +-21b +)2<(a-b)2.即：1+a 2+1+b 2-2)1)(1(22b a ++<a 2+b 2-2ab ，只需证：1+ab<)1)(1(22b a ++. ∵1+ab<|1+ab|,∴只需证｜1+ab ｜<)1)(1(22b a ++.即证：1+2ab+a 2b 2<1+a 2+b 2+a 2b 2.即：2ab<a 2+b 2，又a≠b，故2ab<a 2+b2成立，故原不等式成立.【素质优化训练】1.B2.C3.D4.A5.D6.(2，+∞)7.｜α+β｜2≤(1+c)｜α｜2+(1+c1)｜β｜28.｜a+b+c ｜≥3 9.解集是｛x ｜x<1且x≠0，3≤x≤10或x ＝2｝.10.解不等式5-x>7｜x+1｜成立的前提条件是：x<5.(1)当-1≤x<5，不等式化为：5-x>7x+7,∴-1≤x<-41.(2)当x<-1，不等式化为：5-x>-7x-7,∴x>-2，因此有：-2<x<-1.综合起来：不等式解为-2<x<-41,∴-2<x<-41为不等式ax 2+bx-2>0的解，∵a<0，不等式变形为x 2+a b x-a 2<0，它与不等式x 2+49x+21<0比较系数得：a ＝-4,b ＝-9. 11.证明：∵f(x)-f(a)＝x 2-x-a 2+a ＝(x-a)(x+a-1),∴｜f(x)-f(a)｜＝|(x-a)(x+a-1)|＝｜x-a ｜｜x+a-1｜<｜x+a-1｜＝｜x-a+2a-1｜≤｜x-a ｜+2｜a ｜+1<2｜a ｜+2＝2(｜a ｜+1)补充题：1.解：A ＝｛x ｜2a≤x≤a 2+1｝，由x 2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0知(x-2)［x-(3a+1)］≤0，当3a+1≥2时，即a≥31时，B ＝｛x ｜2≤x≤3a+1｝，当a≥31时，要使A ⊆B ，则⎩⎨⎧+≤+≤131222a a a ,∴1≤a≤3.当a<31时，B ＝｛x ｜3a+1≤x≤2｝.要使A ⊆B ，则⎩⎨⎧+≤+≤+1312132a a a a ,∴a ＝-1.故要使A ⊆B 的a 的范围是｛a ｜1≤a≤3或a ＝-1｝.2.证明：假设｜f(1)｜,｜f(2)｜,｜f(3)｜都小于21，则有｜f(1)｜+2｜f(2)｜+｜f(3)｜<21+2×21+21＝2,又由于f(x)＝x 2+px+q ，可得f(1)-2f(2)+f(3)＝1+p+q-(8+4p+2q)+(9+3p+q),所以｜f(1)｜+2｜f(2)｜+｜f(3)｜≥｜f(1)-2f(2)+f(3)｜＝2两式矛盾.故｜f(1)｜,｜f(2)｜,｜f(3)｜中至少有一个不小于21. 3.解：由韦达定理知：α+β＝-a,αβ＝b ，而｜a ｜+｜b ｜＝｜α+β｜+｜αβ｜<1.∴｜α+β｜<1-｜αβ｜＝1-｜α｜｜β｜.又｜α+β｜>｜α｜-｜β｜，∴｜α｜-｜β｜<1-｜α｜｜β｜，即(｜α｜-1)(｜β｜+1)<0，∵｜β｜+1>0,∴｜α｜-1<0,即｜α｜<1，同理｜β｜<1.即｜α｜,｜β｜取范围为：｜α｜<1,｜β｜<1.4.证明：(1)∵｜x ｜≤1,｜a ｜≤1,∴｜f(x)｜＝｜a(x 2-1)+x ｜≤｜a ｜｜x 2-1｜+｜x ｜≤｜x 2-1｜+｜x ｜＝1-｜x 2｜+｜x ｜＝-(｜x ｜-21)2+45≤45. (2)当a ＝0时，f(x)＝x ；当-1≤x ≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝1不可能满足题设条件，∴a ≠0，又f(1)＝a+1-a ＝1,f(-1)＝a-1-a ＝-1,故f(±1)均不是最大值.∴f(x)的最大值为817，应在其对称轴上，即顶点位置取得.∴a<0.∴命题等价于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<=-<-<-0817)21(1211a a f a ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=0)81)(2(21a a a ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-<81a 2a 21a 或,∴a ＝-2.。
解不等式练习题及答案
解不等式练习题及答案不等式是数学中常见的表示两个数或多个数之间大小关系的形式。
解不等式是指找出使得不等式成立的变量取值范围。
本文将介绍一些常见的不等式类型，并提供相应的练习题及答案，以帮助读者更好地理解和掌握解不等式的方法。
一、线性不等式线性不等式是指不含有平方项及更高次项的一次方程。
解线性不等式的基本思路是将不等式转化为等价的形式，然后解这个等价的方程。
练习题1：解不等式2x + 3 > 7解：首先将不等式转化为等价的形式：2x + 3 - 3 > 7 - 32x > 4然后将等价的方程求解得：x > 2练习题2：解不等式3x - 5 ≤ 10解：首先将不等式转化为等价的形式：3x - 5 + 5 ≤ 10 + 5然后将等价的方程求解得：x ≤ 5二、二次不等式二次不等式是指含有平方项的不等式。
解二次不等式的方法与解二次方程类似，需要将不等式转化为等价的形式，然后解这个等价的方程。
练习题3：解二次不等式x^2 - 4x > -3解：首先将不等式转化为等价的形式：x^2 - 4x + 3 > 0然后将等价的方程求解得：x < 1 或 x > 3练习题4：解二次不等式x^2 - 2x ≤ 3解：首先将不等式转化为等价的形式：x^2 - 2x - 3 ≤ 0然后将等价的方程求解得：三、绝对值不等式绝对值不等式是指不等式中含有绝对值的形式。
解绝对值不等式的方法是将不等式拆分成两个不等式，并分别求解。
练习题5：解绝对值不等式|2x - 4| > 6解：首先拆分不等式：2x - 4 > 6 或 2x - 4 < -6然后解这两个等价的方程：2x > 10 或 2x < -2x > 5 或 x < -1练习题6：解绝对值不等式|3x + 2| ≤ 4解：首先拆分不等式：3x + 2 ≤ 4 或3x + 2 ≥ -4然后解这两个等价的方程：3x ≤ 2 或3x ≥ -6x ≤ 2/3 或x ≥ -2四、分式不等式分式不等式是指不等式中含有分式的形式。
含有绝对值的_不等式
－4
－3
－2
－1
0123来自45x
|x|=3的几何意义是：在数轴上对应实数3的点到原点
的距离等于3，这样的点有二个： 对应实数3和3的点．
新授
问题
（2）试叙述|x| ≤ 3，|x|＞3的几何意义，你能 写出其解集吗？
0 1 2 3 4 5 x －4 －3 －2 －1 不等式|x| ≤ 3的解集 是表示数轴上到原点的距离小于或等于3的点的集合． 即 {x|3 ≤ x ≤ 3}=[3，3]．
练习1
-m
0
m
x
解下列不等式 ： （1）|x| < 1； （2）|x|≥ 5； （3）3|x| > 12．
新授
例1 解不等式 |2x3| ≤ 1 ．
解：由原不等式可得 1 ≤ 2x3 ≤ 1， 2 ≤ 2x ≤ 4， 化简，得 1 ≤ x ≤ 2， 所以原不等式的解集为 {x|1 ≤ x ≤ 2}．
想一想
重点难点突破
(1) 解含绝对值的不等式关键是去掉绝对值符号； (2) 去绝对值符号时一定要注意不等式的等价性，即去掉 绝对值符号后的不等式（组）与原不等式是等价的．
练习
练习2
解下列不等式：
（1）|x＋5|≤7 ； （2）|5 x－3|＞2 ．
小结
1、公式： 不等式|x| ≤ m的解集是{x|-m ≤ x ≤ m}． 不等式|x| > m的解集是{x|x < -m 或 x>m}． 2、解题步骤： 整理 化简 套用公式 求解 写出解集
作业
教材P33，习题第3题．
不等式|x|<a的解 集是{x|-a<x<a}
新授
例2 解不等式 |2x3|＞1 ．
含有绝对值的 不等式
练习：1.有长20米的铝条材料，做成一个 如图所示的日字型框（制作中耗材不计）， 当窗框的长和宽为多少米时，达到最大的 进光量，并求出最大进光面积。
2.教材P54，习题第2、5、7题．
解不等式应用题的步骤： （1）分析题意，找出实际问题中的不等关 系，设定未知数，列出不等式（组）； （2）解不等式（组），求出未知数的范围； （3）从不等式（组）的解集中求出符合题 意的答案．
如果 a > 0，那么 ︱x︱< a ︱x︱> a
想一想
{x|a < x < a}
a = 0或a < 0时上
述结果还成立吗?
{x|x < a 或 x > a} 为什么?
-a
0
a
x
解下列不等式 ： （1）|x| < 5； （2）|x|－3 > 0； （3）3|x| > 12．
例1 解不等式 |2x3|<5 ．
解：每月生产x件产品，则总收入为80x，直接生产成本为60x，
每月利润为 80x－60x－50 000=20x－50 000，
依据题意，得
20x－50 000≥200 000，
解得
x ≥12 500．
所以每月产量不少于12 500件．
例2 某公司计划下一年度生产一种新型计算机，各部门提 供的数据信息： 人事部：明年生产工人不多于80人，每人每年按2 400工时计 算； 市场部：预测明年销售量至少10 000台； 技术部：生产一台计算机，平均要用12个工时，每台机器需 要安装某种主要部件5个； 供应部：今年年终将库存这种主要部件2 000件，明年能采购 到得这种主要部件为80 000件． 根据上述信息，明年公司的生产量可能是多少？
高中数学-绝对值不等式的解法练习
高中数学-绝对值不等式的解法练习一、选择题1．如果1x ＜2和|x |＞13同时成立，那么实数x 的取值范围是( )A ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－13＜x ＜12B ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞12或x ＜－13C ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞12D ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－13，或x ＞13解析：解不等式1x ＜2，得x ＜0或x ＞12.解不等式|x |＞13，得x ＞13或x ＜－13.∴实数x 的取值范围为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞12或x ＜－13.答案：B2．不等式2＜|2x ＋3|≤4的解集为( )A ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－72＜x ＜－52或－12＜x ≤12B ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－72＜x ＜－52或－12＜x ＜12C ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－72≤x ＜－52或－12＜x ≤12D ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－72≤x ≤－52或－12＜x ≤12解析：由2＜|2x ＋3|≤4，可得2＜2x ＋3≤4或 －4≤2x ＋3＜－2.解得－12＜x ≤12或－72≤x ＜－52.答案：C3．关于x 的不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ax －1x ＞a 的解集为集合M ，且2∉M ，则实数a 的取值范围为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 解析：因为2∉M ，所以2∈∁R M .所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －12≤a ，即－a ≤2a －12≤a .解得a ≥14.答案：B4．不等式|3－x |＋|x ＋4|＞8的解集是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－92 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞72 C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－92或x ＞72 D ．R解析：|3－x |＋|x ＋4|＞8⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－4，3－x －x －4＞8或⎩⎪⎨⎪⎧－4＜x ＜3，3－x ＋x ＋4＞8或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x －3＋x ＋4＞8⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－4，－1－2x ＞8或⎩⎪⎨⎪⎧－4＜x ＜3，7＞8或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，2x ＞7.∴x ＜－92或x ＞72.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－92或x ＞72.答案：C 二、填空题5．若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－53＜x ＜13，则a ＝________. 解析：由原不等式的解集，可知－53，13为原不等式对应的方程|ax －2|＝3的根，即⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪－53a －2＝3，⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a －2＝3.解得a ＝－3. 答案：－36．已知函数f (x )＝|2x －1|＋x ＋3，若f (x )≤5，则实数x 的取值范围是________. 解析：由已知，有|2x －1|＋x ＋3≤5，即|2x －1|≤2－x .所以x －2≤2x －1≤2－x ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≤2－x ，2x －1≥x －2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≥－1.所以－1≤x ≤1.答案：[－1,1]三、解答题7．已知一次函数f (x )＝ax －2. (1)当a ＝3时，解不等式|f (x )|＜4； (2)解关于x 的不等式|f (x )|＜4；(3)若关于x 的不等式|f (x )|≤3对任意x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝3时，f (x )＝3x －2，所以|f (x )|＜4⇔|3x －2|＜4⇔－4＜3x －2＜4⇔ －2＜3x ＜6⇔－23＜x ＜2.所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23＜x ＜2. (2)|f (x )|＜4⇔|ax －2|＜4⇔－4＜ax －2＜4⇔－2＜ax ＜6.当a ＞0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －2a ＜x ＜6a ； 当a ＜0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪6a ＜x ＜－2a . (3)|f (x )|≤3⇔|ax －2|≤3⇔－3≤ax －2≤3⇔－1≤ax ≤5⇔⎩⎪⎨⎪⎧ax ≤5，ax ≥－1.因为x ∈[0,1]， 所以－1≤a ≤5.所以实数a 的取值范围为[－1,5]．8．已知对区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，54内的一切实数a ，满足关于x 的不等式|x －a |＜b 的x 也满足不等式|x －a 2|＜12，试求实数b 的取值范围．解：设A ＝{x ||x －a |＜b }，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪|x －a 2|＜12， 则A ＝{x |a －b ＜x ＜a ＋b ，b ＞0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a 2－12＜x ＜a 2＋12. 由题意，知当0＜a ≤54时，A ⊆B ．所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ≥a 2－12，a ＋b ≤a 2＋12，0＜a ≤54.所以b ≤－a 2＋a ＋12且b ≤a 2－a ＋12.因为0＜a ≤54，所以－a 2＋a ＋12＝－a －122＋34∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤316，34，a 2－a ＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1316.所以b ≤316且b ≤14.从而b ≤316.故实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，316.一、选择题1．设集合A ＝{x ||x －a |＜1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |＞2，x ∈R }，若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( )A ．|a ＋b |≤3B ．|a ＋b |≥3C ．|a －b |≤3D ．|a －b |≥3解析：由|x －a |＜1，得a －1＜x ＜a ＋1. 由|x －b |＞2，得x ＜b －2或x ＞b ＋2. ∵A ⊆B ，∴a －1≥b ＋2或a ＋1≤b －2. ∴a －b ≥3或a －b ≤－3.∴|a －b |≥3. 答案：D2．若关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －4|≥m 恒成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52C ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－92 D ．(－∞，－5] 解析：设F (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ＜－12，3x －3，－12≤x ≤4，x ＋5，x ＞4.如图所示，F (x )min ＝－32－3＝－92.故m ≤F (x )min ＝－92.答案：C二、填空题3．已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则实数a 的取值范围是________.解析：∵关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，∴Δ＝12－4⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≥0，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≤14.根据绝对值的几何意义，知0≤a ≤14.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 4．若函数f (x )是R 上的减函数，且函数f (x )的图像经过点A (0,3)和B (3，－1)，则不等式|f (x ＋1)－1|＜2的解集是________.解析：∵|f (x ＋1)－1|＜2，∴－2＜f (x ＋1)－1＜2，即－1＜f (x ＋1)＜3.∴f (3)＜f (x ＋1)＜f (0)．∵函数f (x )在R 上是减函数， ∴0＜x ＋1＜3.解得－1＜x ＜2. 答案：{x |－1＜x ＜2} 三、解答题5．如图所示，点O 为数轴的原点，A ，B ，M 为数轴上三点，C 为线段OM 上的动点．设x 表示点C 与原点的距离，y 表示点C 到点A 的距离的4倍与点C 到点B 的距离的6倍之和．(1)将y 表示为x 的函数；(2)要使y 的值不超过70，实数x 应该在什么范围内取值？ 解：(1)依题意，得y ＝4|x －10|＋6|x －20|,0≤x ≤30. (2)由题意，得x 满足⎩⎪⎨⎪⎧4|x －10|＋6|x －20|≤70，0≤x ≤30.(*)当0≤x ≤10时，不等式组(*)化为 4(10－x )＋6(20－x )≤70，解得9≤x ≤10. 当10＜x ＜20时，不等式组(*)化为 4(x －10)＋6(20－x )≤70，解得10＜x ＜20. 当20≤x ≤30时，不等式组(*)化为 4(x －10)＋6(x －20)≤70，解得20≤x ≤23. 综上，实数x 的取值范围是[9,23]． 6．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若关于x 的不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若关于x 的不等式f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：法一 (1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3. 解得a －3≤x ≤a ＋3.又关于x 的不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5.解得a ＝2.(2)由(1)，得a ＝2，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ＜－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x ＞2.所以当x ＜－3时，g (x )＞5； 当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x＞2时，g(x)＞5.综上，函数g(x)的最小值为5.从而若关于x的不等式f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为(－∞，5]．法二(1)同法一．(2)由(1)，得a＝2，f(x)＝|x－2|.设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)．由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)，得函数g(x)的最小值为5.从而若关于x的不等式f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为(－∞，5]．。
含绝对值不等式的解法1
方法一：等价于 不等式组
| ax b | n | ax b | m
方法二：几何意义
-m
-n 0 n
m
n ax b m,或 m ax b n
推广 a f(x) b a f(x) b或-b f(x) a
题型二：不等式n＜| ax + b | ＜m (m＞n＞0) 的解集
∴原不等式的解集为{x | x<－2或x>－1}.
解题反思：
1、采用了整体换元。
2、归纳型如(a>0)
| f(x)|<a, |f(x)|>a 不 等式的解法。
| f(x)|<a | f(x)|>a
-a<f(x)<a
f(x)<-a或 f(x)>a
变式例题：型如 | f(x)|<a, |f(x)|>a的不等式中
题型四：含多个绝对值不等式的解法
练习4 解不等式 x+1 - x-3 2
解不等式
x2 x3 7
2x 4 3x 3 7
3.解不等式:| x 2 || x 1| 3
x 2
三、例题讲解
① -1 ② 3 ③
例2 解不等式|x +1| + |3－x| >2 + x.
解析原不等式变形为| X +1| + |X －3| > 2 + X.
不等式解集为 x x≥-1
推广 f x g x f x2 g x2
题型三：不等式 的解集|f(x)|> |g(x)| 练习3 解不等式 | x 2 || x 1|
四、练习
2.解不等式 x 9 x 1
解： x 9 x 1
x 92 x 12
(新)绝对值不等式精编版
因。
谁和谁分离？
等位基因分离
什么时候分离？ 在减数第一次分裂时分离
它们怎样分离？ 等位基因随着同源染色体的分开而分离
为什么能够分离？ 等位基因彼此独立
11.孟德尔的遗传学实验——假说—演绎法 P96
P96
假说—演绎法
•观察实验→分析现象，提出问题
•提出（解释问题的）假说。
•根据假说进行演绎推理；
⑶水毛茛叶的两种形态说明什么？
P11
表现型是基因型与环境共同作用的结果！ 表现型 = 基因型+环境
13.一对同源染色体相同位置上的基因一定是等位 基因吗？ 不一定，可能是Aa 也可能是AA、aa， 14.一对同源染色体上只有一对等位基因吗？ NO！ 15.在F1进行减数分裂的时产生的配子中只含有成 对基因中的一个吗？ YES！ P7 16. 雌配子和雄配子的比例接近于1：1吗？ NO！
解:|x-1|+|x+2|=5的解为x=-3或x=2
-3 -2
12
所以原不等式的解为 x x ≥2或x ≤3
解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法二：利用|x-1|=0,|x+2|=0的零点,把数轴分为三段, 然后分段考虑把原不等式转化为不含绝对值符号的不等
式求解（零点分段讨论法）.(体现了分类讨论的思想)
｛__x__x____32__且__x_．2}
考点2. x a x b c和 x a x b c型 不等式的解法
怎么解不等式|x-1|+|x+2|≥5 呢?
解绝对值不等式关键是去绝对值符号, 你有什么方法解决这个问题呢?
解不等式|x -1|+|x +2|≥5
方法一：利用绝对值的几何意义(体现了数形结 合的思想).
高三数学绝对值不等式试题
高三数学绝对值不等式试题1.已知，且，的最小值为．（1）求的值；（2）解关于的不等式.【答案】（1）；（2）.【解析】本小题主要考查利用柯西不等式求最值、绝对值不等式的解法等基础知识；考查运算求解能力；化归与转化、分类与整合的思想．第一问，利用柯西不等式求最小值，注意等号成立的条件；第二问，利用第一问的结论，用零点分段法去掉绝对值，解不等式.试题解析：（1）根据柯西不等式，有：， 1分∴，当且仅当时等号成立． 2分即． 3分（2）可化为或或， 5分解得，或或， 6分所以，综上所述，原不等式的解集为． 7分【考点】利用柯西不等式求最值、绝对值不等式的解法.2.若关于x的不等式|x－2|＋|x－a|≥a在R上恒成立，则a的最大值是（）A．0B．1C．－1D．2【答案】B【解析】由于|x－2|＋|x－a|≥|a－2|，∴等价于|a－2|≥a，解之得a≤1.故实数a的最大值为1，选B.3.不等式解集是_____________________.【答案】【解析】设，则.由，解得，所以解集为【考点】分段函数图像不等式4.已知函数．（1）若不等式的解集为，求实数a的值；（5分）（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．（5分）【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查绝对值不等式的解法和存在问题的求法等基础知识，考查学生运用函数零点分类讨论的解题思想和转化思想.第一问，先解绝对值不等式，得到x的取值范围，由已知条件可知解出的x的取值范围与完全相同，列出等式，解出a；第二问，在第一问的基础上，的解析式确定，若存在n使成立，则，构造新的函数，去掉绝对值使之化为分段函数，求出最小值代入上式即可.试题解析：（1）由得，∴，即，∴，∴. 5分（2）由（1）知,令，则，∴的最小值为4，故实数的取值范围是. 10分【考点】1.绝对值不等式的解法；2.绝对值函数的最值.5.若存在实数使成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】为使存在实数使成立，只需的最小值满足不大于.在数轴上，表示横坐标为的点到横坐标为a的点A距离，就表示点到横坐标为1的点B的距离，所以，从而，解得．故答案为．【考点】绝对值的几何意义，绝对值不等式的解法.6.不等式的解集是________．【答案】【解析】，当即时，则或，所以，故此时不成立；当即时，显然恒成立，故答案为.【考点】绝对值不等式的解法.7.已知不等式|x＋2|＋|x|≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是()．A．(－∞，2)B．(－∞，2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)【答案】D【解析】因为|x＋2|＋|x|的最小值为2，所以要使不等式的解集不是空集，则有a≥2.8.已知函数．（1）若恒成立，求的取值范围；（2）当时，解不等式：．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）即求出即可；（2）去绝对值解答.试题解析：（1）即2分又5分（2）当时，当时，当时，综上，解集为10分【考点】不等式选讲、绝对值不等式.9.若关于实数的不等式的解集是空集,则实数的取值范围是____________．【答案】【解析】要使关于实数的不等式的解集是空集，则，由绝对值的几何意义可知，故，解得.【考点】绝对值不等式.10.设f（x）＝｜x＋1｜＋｜x－3｜．（Ⅰ）解不等式f（x）≤3x＋4；（Ⅱ）若不等式f（x）≥m的解集为R，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）不等式的解集为；（Ⅱ）即的取值范围为.【解析】（Ⅰ）解不等式f（x）≤3x＋4，首先将转化为分段函数，然后利用分段函数分段解不等式，从而求出不等式的解；易错点，不知将转化为分段函数；（Ⅱ）不等式的解集为R,即当,不等式恒成立,只需求出的最小值即可,此题可以利用分段函数求出最小值,也可利用绝对值不等式的性质来求最小值.试题解析：（Ⅰ）因为所以原不等式等价于①或②或③，解得①无解，②，③，因此不等式的解集为.（Ⅱ）由于不等式的解集为，所以, 又，即，所以，即的取值范围为.【考点】绝对值不等式的解法，考查学生数形结合的能力以及化归与转化思想，以及学生的运算能力.11.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式的恒成立问题，考查学生的分类讨论思想和转化能力.第一问，利用零点分段法进行求解；第二问，利用绝对值的运算性质求出最小值证明恒成立问题.试题解析：（1）原不等式等价于或或，解得或或，∴不等式的解集为.（5分）（2）依题意得：关于的不等式在上恒成立，∵，∴，即，解得，∴实数的取值范围是.(10分)【考点】1.绝对值不等式的解法；2.恒成立问题；3.绝对值的运算性质.12.设函数（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若函数有最小值，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）分类去掉绝对值符号，化为整式不等式再解，最后取并集即可.（Ⅱ）把函数f（x）化为分段函数，然后再找出f(x)有最小值的充要条件解之即可.试题解析：（Ⅰ）a=1时，f(x)=+x+3当x≥时，f(x)≤5可化为3x-1+x+3≤5,解得≤x；当x<时，f(x)≤5可化为-3x+1+x+3≤5,解得-,综上可得，原不等式的解集为（Ⅱ）f(x)= +x+3=函数有最小值的充要条件是，解得【考点】1.绝对值不等式；2.分段函数及其求函数值.13.已知函数f(x)=|x-2|+2|x-a|(a∈R).(I)当时，解不等式f(x)>3;(II)不等式在区间（-∞，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(I) ；(II)或.【解析】(I) 分三种情况去掉绝对值解不等式；(II)分三种情况讨论，即得的最小值为，再得，解不等式得a的取值范围.试题解析：(Ⅰ)解得；解得；解得， 3分不等式的解集为. 5分(Ⅱ)；；；的最小值为； 8分则，解得或. 10分【考点】1、绝对值不等式的解法.14.若关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是；【答案】【解析】根据题意，由于的不等式即可知实数的取值范围是。
五年级上册解方程练习题
五年级上册解方程练习题一、一元一次方程1. 3x 7 = 112. 5 2x = 13. 4x + 8 = 244. 9x 18 = 275. 7x + 21 = 56二、二元一次方程6. 2x + 3y = 16，x y = 37. 4x 5y = 14，3x + 2y = 198. 5x + 7y = 32，2x 3y = 49. 6x 4y = 20，9x + 3y = 3910. 8x + 5y = 37，x 2y = 7三、含字母系数的方程11. a(x 2) = 3，其中a为常数12. 2b(x + 4) = 16，其中b为常数13. 3(c x) = 12，其中c为常数14. 4(d + 2x) = 20，其中d为常数15. 5(e 3x) = 15，其中e为常数四、应用题16. 某数的3倍减去5等于这个数的2倍加7，求这个数。
17. 甲、乙两数的和为20，甲数是乙数的2倍，求甲、乙两数。
18. 小明买了3本书和2支笔，共用去45元。
若一支笔5元，求一本书的价格。
19. 一辆自行车和一辆摩托车共行驶了120公里，自行车速度是摩托车速度的2/3，求自行车的速度。
20. 某班有男生和女生共60人，男生人数是女生的2倍，求男生和女生各有多少人。
五、不等式21. 解不等式：2x 5 > 722. 解不等式：4x + 3 ≤ 1923. 解不等式：5 3x > 2x + 124. 解不等式：7x 6 < 2x + 925. 解不等式：8x + 4 ≥ 3x 2六、含绝对值的方程26. 解方程：|x 4| = 527. 解方程：|2x + 3| = 828. 解方程：|3x 7| = 229. 解方程：|4x + 5| = 1130. 解方程：|5x 6| = 12七、方程组31. 解方程组：3x + 4y = 72x y = 132. 解方程组：x + 5y = 194x 3y = 1133. 解方程组：2x 3y = 85x + 2y = 1434. 解方程组：4x + y = 123x 2y = 535. 解方程组：5x 2y = 213x + y = 10八、复合方程36. 解方程：(2x + 3)/(x 1) = 437. 解方程：(3x 5)/(2x + 4) = 238. 解方程：(4x + 7)/(3x 2) = 339. 解方程：(5x 2)/(4x + 3) = 140. 解方程：(6x + 1)/(5x 4) = 2九、方程与几何41. 一条线段被分成两部分，其中一部分是另一部分的2倍，若整条线段长20厘米，求两部分线段的长度。
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中预年级数学暑假作业（7）
含绝对值的方程和不等式
班级 学号 姓名
一、方程、方程组
1、填空题
（1） 若05x，则x=
（2） 若12x，则x=
（3） 若2x，则x
（4） 若1xa有两个不同的解，则a的取值范围是
（5） 根据绝对值的非负性，若1240xy，则xy=
（6） 根据绝对值的非负性，若02633232yxyx，则x+y=
2、解下列关于x的方程
（1）2381xx （2） 0712x
（3）1225xx （4）01552xx
2
（5）952xx（用代数和几何两种方法求解）
3、 解方程组
（1） 25196217yxyx （2）122yxyx
4、 解关于x的方程：
（1）3548x (2)11110x
3
二、不等式
1、填空题
（1） 若11xx，则x的取值范围是
（2） 若211nxx （n为正整数），则x的取值范围是
（3） 若05x，则x的取值范围是
（4） 若05x，则x的取值范围是
（5） 若05x，则x的取值范围是
（6） 若关于x的方程0xa无解，则a的取值范围是
2、解下列关于x的不等式
（1）352xx （2）374371027x
（3）321x （4）0225x
4
（5）解不等式：952xx
三、综合创新
1、(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;
(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?
(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整
数x;如果不存在,说明理由.
2、设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值.