2020中考数学 压轴专题 角度存在性和角度关系问题

2020中考数学 压轴专题 角度存在性和角度关系问题

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1．角度的存在性问题

角度的存在性问题分为特殊角和非特殊角的存在性问题，在考试中主要以特殊角的存在性问题为主，特殊角通常包括30︒、45︒、60︒、90︒等．

几何法：利用（特殊）角度构造直角三角形，从边长比例关系进行求解． 45︒角 30︒、60︒角 90︒角

2(0)y ax bx c a =++≠的交点． 工具：

2．角度关系的存在性问题

角度关系的问题一般指两角或多角的和差倍分或大小关系的问题． 几何法：构造相似或全等三角形进行求解． 和差关系 （A C ABD ∠+∠=∠）

等量关系

大小关系

转化为三角形全等或相似 找临界值，即找等量关系

例题精练

模块一 角度的存在性问题

例题 1. 如图，抛物线24y ax bx a =+-经过(1,0)A -，(0,4)C 两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求抛物线的解析式；

（2）已知点(,1)D m m +在第一象限的抛物线上，连接BD ，在抛物线上是否存在点P 使得

45DBP ∠=︒？若存在，请求出点P 的坐标；不存在，说明理由．

y

x

O

A

B

C

例题2. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A -、(0,3)B 、

(1,0)C 三点． （1）求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；

（2）将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D 顺时针旋转60︒，与直线y x =-交于点N ．在直线DN 上是否存在点M ，使得75MON ∠=︒．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；

模块二 角度关系的存在性问题

例题3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2

12

y x bx c =

++的图象经过点(3,6)A -，并与x 轴交于点(1,0)B -和点C ，顶点为P ．

（1）求二次函数的解析式；

（2）设D 为线段OC 上的一点，若DPC BAC ∠=∠，求点D 的坐标．

例题4. 如图，已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线

，且与x 轴交于A 、B 两点．与

y 轴交于点C ．其中(1,0)A ，(0,3)C -． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点P 在抛物线上运动（点P 异于点A ），当PCB BCA ∠=∠时，求点P 的坐标．

图2

例题5. 如图，已知抛物线22(3)2(3)4y m x m x m m =-+-+-的顶点A 在双曲线3

y x

=

上，直线y mx b =+经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C . （1）确定直线AB 的解析式．

（2）将直线AB 绕点O 顺时针旋转90︒, 与x 轴交于点D , 与y 轴交于点E , 求sin ∠BDE 的值．

（3）过点B 作x 轴的平行线与双曲线交于点G ，点M 在直线BG 上，且到抛物线的对称轴的距离为6．设点N 在直线BG 上，请你直接写出使得45AMB ANB ∠+∠=︒的点N 的坐标．

例题6. 抛物线(3)(1)y x x =-+与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，点D 为顶点．

（1）求点B 及点D 的坐标；

（2）连结BD ，CD ，抛物线的对称轴与x 轴交于点E ．

①若线段BD 上一点P ，使DCP BDE ∠=∠，求点P 的坐标；

②若抛物线上一点M ，作MN CD ⊥，交直线CD 于点N ，使CMN BDE ∠=∠，求点M 的坐标．

备

y

O C

A D

E

备用图

课后巩固练习

练1. 如图直线1

2y x m =

+与抛物线2y x bx c =-++交于C 、D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为53,2⎛⎫

⎪⎝⎭

，点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，

交CD 于点F .

（1）求一次函数和抛物线的解析式．

（2）若点P 的横坐标为t ，当t 为何值时，四边形OCPF 是平行四边形？请说明理由． （3）在CD 上方是否存在点P ，使45PCF ∠=︒，若存在，求出相应的点P 的坐标，若不存在，请说明理由．

练2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以直线1x =为对称轴的抛物线2y ax bx c =++与x 轴

从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且4AB =，点32,2D ⎛⎫

⎪⎝⎭

在抛物线上，

直线l 是一次函数2(0)y kx k =-≠的图象．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如果直线l 平分四边形OBDC 的面积，求k 的值； （3）将抛物线作适当平移，求解与探究下列问题；

①若将抛物线2y ax bx c =++向下平移m 个单位长度后，恰与第（2）问中的直线l 有且只有一个公共点，求m 的值；

②把抛物线2y ax bx c =++向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l 交于M ，N 两点，请在备用图中画出草图，并探究：在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得无论k 取何值，MPN ∠总被y 轴平分？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．

备用图

练3. 如图3-1，已知直线y kx =与抛物线2422

273

y x =-

+交于点36A （，）

． （1）求直线y kx =的解析式和线段OA 的长度．

（2）点P 为抛物线第一象限内的动点，过点P 作直线PM ，交x 轴于点M （点M 、O 不重合），交直线OA 于点Q ，再过点Q 作直线PM 的垂线，交y 轴于点N ．试探究：线段QM 与线段NQ 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由． （3）如图3-2，若点B 为抛物线上对称轴右侧的点，点E 在线段OA 上（与点O 、A 不重合），点(,0)D m 是x 轴正半轴上的动点，且满足BAE BED ∠=∠AOD =∠．继续探究：m 在什么范

1个、2个？

图1图2