中考复习策略梳理——巧构“辅助圆”,最全辅助圆解题技巧
中考复习策略梳理——巧构“辅助圆”，最全辅助圆解题技巧!
新课程改革以来，课标对“圆”这部分的要求大大降低了，但是很多题目往往都具有“圆”的问题背景，初中数学有些问题看似与圆无关，但如果我们根据题目中的已知条件构造辅助圆，往往能起到化隐为显，化难为易，化繁为简的解题效果，那么何时构造合适的“辅助圆”，使得解题举重若轻，柳暗花明呢？
图中无圆，心中有圆，用“圆”完美解题
对于平面几何问题，学生常常想到得是构造直线型辅助线来转化条件，从而利用三角形、四边形的知识来解决，辅助线的添加就被局限在直线型，但实际上，曲线形辅助线在一些特定条件下更利于条件的集中，辅助圆是曲线形辅助线的代表，圆会让图形的条件更丰富，更容易指向问题的深层结构。
有些几何问题，从表面上看，似乎与圆无关，但如果我们能深入挖掘题目中的隐含条件，善于联想所学定理，巧妙地构造符合题意特征的辅助圆，再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化隐为显、化难为易的解题效果！
我们今天来学习构造辅助圆的问题：图中无圆，心中有圆，“圆”来很完美。
辅助圆解题补充：
圆的解题技巧与方法总结及练习
圆的解题技巧总结 一、垂径定理的应用 1、求半径 例1.高速公路的隧道和桥梁最多．图1是一个隧道的横截面，若它的形状 是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA = （ ） （A ）5 （B ）7 （C ）37 5 （D ）377 2、求弦长 例2.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图2所示，则这个小孔的直径AB ＿＿＿＿mm ． 3、求弦心距 例3.如图4，圆O 的半径为5，弦8AB =，OC AB ⊥于C ，则OC 的长等于 ． 4、求拱高（弓形高） 例4.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图5所示，已知AB =16m ，半径 OA =10m ，高度CD 为_____m ． 5、求角度 例5.如图6，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠AOC =60o，则∠B = ． 6、探究线段的最小值 图3 B A 8mm 图2 图1 B 图 6 A 图5
例6.如图，⊙O 的半径OA =10cm ，弦AB =16cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为 cm ． 二、与圆有关的多解题 在解有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解． 1、点与圆的位置关系不唯一 例1.若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a ＞b ），则此圆的半径为（ ）。 2、弦与弦的位置关系不唯一 例2.⊙O 的半径为5cm ，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 与CD 之间的距离是（ ）。 （A ）7cm （B ）8cm （C ）7cm 或1cm （D1cm 例3．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，AB=2，AC= ，在图中画出弦AD ，使AD 等于1，并 求出∠CAD 的度数。 3、点在直径上的位置不唯一 例4．已知⊙O 的直径AB=10cm ，弦CD ⊥AB 于点M 。若OM ：OA=3：5，则弦AC 的长为多少？ 4、弦所对圆周角的不唯一 例5．圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（ ）。 （A ）30°或60°（B ）60°（C ）150°（D ）30°或150° 5、圆与圆的位置关系不唯一 例6．如果两圆相切，两圆的圆心距为8cm ，圆A 的半径为3cm ，则圆B 的半径是（ ）。 （A ）5cm （B ）11cm （C ）3cm （D ）11cm 或5cm 6、相交圆圆心与公共弦的位置关系不唯一 图7
论述题的答题方法与技巧
论述题的答题方法与技巧 一、认真读材料，仔细审题目 论述题的设问方式一般是两种类型：“怎么办？”和“为什么？” 1.“怎么办？”型：常见表述有“运用政治（经济）常识的知识论述如何（怎样）??” 2.“为什么？”型：常见表述有“运用政治（经济）常识的知识论述??的重要性或必要性”、“请论述?? 的政治（经济）意义” 、“请运用政治（经济）常识的知识论述?? 对??的重要性或必要性或意义”等等。 二、搜索教材相关知识，根据设问归纳论点 1、“怎么办？”型 论点表述方式一般把设问的对象放在后面，根据教材获取的对象放在前面。基本格式 是：（教材知识点） +“可以、能够等” +（设问的对象） 例：运用经济常识的知识论述如何切实增加农民收入？ 答：①扩大农民就业可以增加农民收入。 （教材知识点） +“是” +（设问的对象） +“基础、保障、方式、环节、措施”等词 语 2.“为什么？”型 论点表述方式一般把设问的对象放在前面，根据教材获取的对象放在后面。基本格式 是： 1）问意义：（设问的对象） +“可以、有利于、有助于、能够”+（教材知识点） 2）问重要性或必要性：（设问的对象） +“是” +（教材知识点） +“要求、需要、体 现”等词语 三、寻找论据，围绕论点，适当展开论述 不管是哪一种设问方式，论述展开过程大致相似。论述过程实际上就是将所归纳的论 点运用科学的原理或事实进行展开，最后又回到论点的过程。 例1：扩大农民就业可以增加农民收入。随着农业劳动生产率的提高，我国农村出 现了大量的剩余劳动力，扩大农民就业是解决我国“三农”问题的当务之急。就业是民生治 本。扩大农民就业不但能更加充分地利用农村丰富的劳动力资源，而且能够促进广大农民 收入的普遍增长，从而形成收入增长→内需扩大→经济繁荣→就业增加→收入增长的良性 循环。 四、要注意的问题
圆锥曲线解题技巧经典实用最新
圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如 （1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．4 21=+PF PF B ．621=+PF PF C ．10 21=+PF PF D ．122 2 2 1 =+PF PF （答：C ） ； （2）方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左 支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）? { cos sin x a y b ??==（参数方程， 其中?为参数），焦点在y 轴上时2222b x a y +＝1（0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭 圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 如（1）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答： 11 (3,)(,2)22 ---） ； （2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2 2y x +的最小值是 ___2） （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1 （0,0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ， B 异号
2021年中考必备：选填压轴分类汇编--圆的解题技巧及真题演练
2021年中考必备-圆选填压轴分类汇编 A 类：面积问题 技巧：多连半径，探讨线段，角度关系，以角导边 1．（2017·湖北省中考模拟）如图，在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OA=2，OB=1，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得Rt △FOE ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA 、 ED 长为半径画弧AF 和弧DF ，连接AD ，则图中阴影部分面积是（ ） A ．π B ．5π+ C ． 144 π - D ． 104 π - 2．（2020·河北省初三期末）如图，以等边ABC ?的一边AB 为直径的半圆O 交AC 于点D ，交BC 于点E ，若 4AB =，则阴影部分的面积是（ ） A ．B ．C D ．2 3．（2021·浙江省初三二模）如图，已知矩形ABCD 的周长为16，E 和F 分别为ABC ?和ADC ?的内切圆， 连接AE ，CE ，AF ，CF ，EF ，若 3 7 AECF ABCD S S = 四边形矩形，则EF 的长为（ ） A ．B ．C ． D ．4．（2020·柘城县实验中学初三二模）如图，点O 为Rt ABC 的斜边AB 的中点，90C ∠=?，30A ∠=?，以点O 为旋转中心顺时针旋转ABC 得到111A B C △，若2BC =，当11BC AC ∥时，图中弧1BC 所构成的阴影部分面积为（）． A ． 3 3 π - B ． 3 3 π + C ． 6 6 π - D ． 6 6 π + 5．（2020·湖北省初三二模）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=?，6AB =，AD 是BAC ∠的平分线，经过A ，D 两点的圆的圆心O 恰好落在AB 上，O 分别与AB 、AC 相交于点E 、F ．若圆半径为2．则阴影部分面积（ ）． A ．1 3 π B ．43 π C ． 23 π D 3- 6．（2020·山西省初三月考）如图，在Rt ABC 中，90,30,ACB A BC ∠=?∠=?=以直角边AC 为直径作O 交AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．3π B ．3π C ．6π- D ．6π
语文阅读理解答题方法和技巧汇总(超级经典)
语文阅读理解答题方法和技巧的整理汇总 一、常用阅读理解答题方法一般可以概括为下列六个步骤： ?看标题信息，揣摩记叙类型； ?抓记叙要素，了解大致内容； ?理行文线索，分清段落层次； ?辨叙述方式，领会布局特点； ?挖中心思想，理解作品意义； ?析表现手法，以供习作借鉴。 总结多年的经验，在考场上遇到阅读理解类的考试题，一般按以下程序进行较为快捷有效，当然这个程序不光指记叙文阅读，对其他文体的阅读也适用。 具体过程是：阅读理解题目——阅读文章——看清文章后面的试题——按试题要求回头有重点地再看原文——答题。 一、通读全文，把握文章内容，理清脉络。 答题时切忌文章都没完整的阅读就匆匆忙忙地写答案。最好先把文章从头到尾通读一遍，对文章有一个整体的认识和理解。 二、弄清题意，确定解决问题的阅读空间。 在通读全文的基础上再去浏览所设试题，经过初步的思考，确定解决问题的阅读空间。 三、从文章中直接提取信息。 有些试题可以用文中的原话来作答，这时就可以“从文章中直接提取信息”，回答问题。 四、挖掘句子的隐含信息和深层含义。 有些试题则需要结合全文内容，挖掘句子的隐含信息，经过缜密的思考，寻求完美的答案。 五、组织语言规范答题，认真书写。 答案基本考虑成熟之后，还需要注意一下表述的语言。语言简洁明了，能达到事半功倍的效果；啰嗦重复，不得要领，往往会出力不讨好。从长远角度考虑，语文阅读理解能力的提高非一日一时之功。它需要在长期的学习过程中多关注最新信息，多阅读名家名著，开阔视野，增加实践，培养对语言的品评、赏析、感悟的能力，培养学习语文、陶冶性情的兴趣，在多读深思中进入学习语文的崭新境界。 有些同学做阅读题时，全凭自己的感觉答题，其实，答阅读题也是有技巧可寻的。 以下是针对《考试说明》，提出的几种答题技巧： 一、看分值答题法： 可以从试题的分值中推测答题的要点。如一道题给的分值是3分，答案可能就有3个要点，一个要点一分，所以从试题所给的分值中，我们就能推测答案的要点和要求的字数。例如：陕西省中考题：目前一般有哪几种消暖雾的方法？文中提到的咱们陕西的消雾作业属于其中哪一种？（3分）答案是：3种。“加热法”、“吸湿法”、“人工搅动混合法”。文中提到的属于第二种。 二、用原文答题法： 做题要牢牢地记住：“答案不在你的脑子里，答案只在原文中。”无论在任何情况下作答，既要体现个性和独特见解，又要较好地忠实于作者的主张。 1．尽量利用原文语句。注意摘取原文，离开了原材料恐怕谁也答不准，答不全。因此，准确解答阅读题最重要最有效的方法是在原文中找答案。大多数题目在文章里是能够抠出答案的。当然，找出的语句不一定能够直接使用，还必须根据题目要求进行加工，或摘取词语或压缩主干或抽取要点或重新组织。即使是归纳概括整段整篇文意也必须充分利用原文。 这里，提供十六字诀的解题方法供你参考。 （1）、字不离词。 汉语中一词多义现象相当普遍。在理解词语中某个字的意思的时候，必须把它放到这个词语中去考察，即字不离词，这样才能准确的理解这个字的意思。如：道听途说，道，指道路；志同道合，道，指道理 （2）、词不离句。 在综合阅读题中，常常要求理解词语在上下文中的含义和作用。这类要求有以下几方面情况：一词多义。这在文言文中是常见的。如：策之不以其道，策，驱使；执策而临之，策，马鞭在现代文中则多表现为语境义，这些，都应根据具体的语言环境即句子本身去推断它的意思，也就是词不离句。如：“见教”一词的本意是客套话，指教（我）的意思。它在不同的语言环境中则表现为不同的意义。在《范进中举》一文中，范进中举前面对胡屠户的“教导”，称“岳父见教的是”。至于某个词在句中的表达作用，更要根据具体的语言环境去理解，而不能离开句子作单独解释。 （3）、句不离段。 也就是说，对句子的分析理解不能离开具体的语段，不能离开具体的语言环境。如果离开具体的语段，离开具体的语言环境，许多句子只能狭隘的理解甚至于不知所云。只有结合具体的语段和语言环境，才会知道这句话在全文中占着什么样的位置。 （4）、段不离文。 段落是文章的有机组成部分，体现了作者的写作思路。因此，对语段的阅读理解不能离开文章的主要意思，不能偏离文章的中心。否
初三数学总复习---圆知识点总结和解题技巧
初三数学总复习---圆知识点总结和解题技巧 一、圆的相关概念 1、圆的定义 在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA 叫做半径。 2、直线圆的与置位关系 1.线直与圆有唯公一共时,点做直叫与圆线切 2.三角的外形圆接的圆叫做三心形角外心 3.弦切角于所等夹弧所对的的圆心角 4.三角的内形圆切的圆叫做三心形角内心 5.垂于直径半直线必为圆的的切线 6.过径半外的点并且垂直端于半的径直线是圆切线 7.垂于直径半直线是圆的的切线 8.圆切线垂的直过切于点半径 3、圆的几何表示 以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”
二、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1： (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 (3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2： 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦 直径平分弦知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧
三、弦、弧等与圆有关的定义 1、弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。(如图中的AB) 2、直径 经过圆心的弦叫做直径。(如途中的CD) 直径等于半径的2倍。 3、半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 4、弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“ ”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示) 四、圆的对称性 1、圆的轴对称性
人教版初中数学圆的技巧及练习题附答案解析
人教版初中数学圆的技巧及练习题附答案解析 一、选择题 1．已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（） A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm2 【答案】B 【解析】 【分析】 先利用三视图得到底面圆的半径为5cm，圆锥的高为12cm，再根据勾股定理计算出母线长为13cm，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算． 【详解】 根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为10cm，即底面圆的半径为5cm，圆锥的高为 12cm， 所以圆锥的母线长=22 5+12=13， 所以这个圆锥的侧面积=1 2 ×2π×5×13=65π（cm2）． 故选B． 【点睛】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图． 2．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=3，AC=4，则sin∠ABD的值是（） A．4 3 B． 3 4 C． 3 5 D． 4 5 【答案】D 【解析】
【分析】 由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD=∠ABC，再根据勾股定理求得AB=5，即可求sin∠ABD 的值． 【详解】 ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴弧AC=弧AD， ∴∠ABD=∠ABC． 根据勾股定理求得AB=5， ∴sin∠ABD=sin∠ABC=4 5 ． 故选D． 【点睛】 此题综合考查了垂径定理以及圆周角定理的推论，熟悉锐角三角函数的概念． 3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°.AC=8，BC=3，点D是BC边上动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为( ) A．1 B．3 2 C．3D． 5 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直径所对的圆周角为直角可知∠CED=90°，则∠AEC=90°，设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OE=1 2 AC=4，在Rt△OBC中，根据勾股定理可求得OB=5，即可得解. 【详解】 解：连接CE， ∵E点在以CD为直径的圆上， ∴∠CED=90°， ∴∠AEC=180°-∠CED=90°， ∴E点也在以AC为直径的圆上， 设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，∵AC=8，
初中数学解题方法与技巧
初中数学解题方法与技 巧 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
初中数学解题方法与技巧 要学好数学，学会解题是关键。在进行解题的过程中，不仅需要加强必要的训练，其还要掌握一定的解题规律与技巧。 一、数学思想方法在解题中有不可忽视的作用 解题的学习过程通常的程序是：阅读数学知识，理解概念；在对例题和老师的讲解进行反思，思考例题的方法、技巧和解题的规范过程；然后做数学练习题。 基本题要练程序和速度；典型题尝试一题多解开发数学思维；最后要及时总结反思改错，交流学习好的解法和技巧。著名的数学教育家波利亚说“如果没有反思，就错过了解题的的一次重要而有意义的方面。” 教师在教学设计中要让解学生好数学问题，就要对数学思想方法有清楚的认识，才能更好的挖掘题目的功能，引导学生发现总结题目的解法和技巧，提高解题能力。 1. 函数与方程的思想 函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。而所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。 2. 数形结合的思想
数与形在一定的条件下可以转化。如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题；而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。因此数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。 3. 分类讨论的思想 分类讨论的思想之所以重要，原因一是因为它的逻辑性较强，原因二是因为它的知识点的涵盖比较广，原因三是因为它可培养学生的分析和解决问题的能力。原因四是实际问题中常常需要分类讨论各种可能性。 解决分类讨论问题的关键是化整为零，在局部讨论降低难度。常见的类型：类型 1 ：由数学概念引起的的讨论，如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系等概念的分类讨论；类型 2 ：由数学运算引起的讨论，如不等式两边同乘一个正数还是负数的问题；类型 3 ：由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论，如一元二次方程求根公式的应用引起的讨论；类型 4 ：由图形位置的不确定性引起的讨论，如直角、锐角、钝角三角形中的相关问题引起的讨论。类型5 ：由某些字母系数对方程的影响造成的分类讨论，如二次函数中字母系数对图象的影响，二次项系数对图象开口方向的影响，一次项系数对顶点坐标的影响，常数项对截距的影响等。 分类讨论思想是对数学对象进行分类寻求解答的一种思想方法，其作用在于克服思维的片面性，全面考虑问题。分类的原则：分类不重不漏。分类的步骤：①确定讨论的对象及其范围；②确定分类讨论的分
圆的解题技巧总结0608
圆的解题技巧总结 、垂径定理的应用 给出的圆形纸片如图所示，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径 CD 的弦AB,垂足 为P,再将纸片沿着直径 CD 对折，我们很容易发现 A B 两点重合，即有结论AP=BP 弧AC= 弧BC.其实这个结论就是“垂径定理”，准确地叙述为：垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的弧. 垂径定理是“圆”这一章最早出现的重要定理， 它说明的是圆的直径与弦及弦所对的弧 之间的垂直或平分的对应关系， 是解决圆内线段、弧、角的相等关系及直线间垂直关系的重 要依据，同时，也为我们进行圆的有关计算与作图提供了方法与依据. 例1某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形 截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面. (1) 请你补全这个输水管道的圆形截面； (2) 若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm 水面最深地方的高度为 4cm,求这个圆 形截面的半径. 例3 如图，已知OO 中，直径 MN=10正方形 ABCD 的四个顶点分别在半径 OM 0P 以 及OO 上，并且/ POM=4°，贝U AB 的长为多少？ 例4图为小自行车内胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋发做玩具 ? 例2如图，PQ=3以PQ 为直径的圆与一个以 5为半径的圆相切于点 P,正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与 CD 切于点Q,贝U AB= ?
二、与圆有关的多解题 几何题目一般比较灵活，若画图片面，考虑不周，很容易漏解，造成解题错误，在解有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解. 1.忽视点的可能位置. 例5 △ ABC是半径为2的圆的内接三角形，若BC=2庐cm,贝卩/A的度数为__________________ 2.忽视点与圆的位置关系. 例6 点P到O0的最短距离为2 cm，最长距离为6 cm,则O 0的半径是__________________ 3?忽视平行弦与圆心的不同位置关系. 例7 已知四边形ABCD是O0的内接梯形，AB// CD AB=8 cm, CD=6 cm O0的半径是 5 cm ,则梯形的面积是_________ . 4.忽略两圆相切的不同位置关系 例8 点P在O0外，0P=13 cm PA切O 0于点A, PA=12 cm ,以P为圆心作O P与O0 相切，贝UOP 的半径是______________________ . 例9 若O O与O0 2相交，公共弦长为24 cm, O 0与O0 2的半径分别为13 cm和15 cm, 则圆心距0102的长为_________________ . 三、巧证切线 切线是圆中重要的知识点，而判断直线为圆的切线是中考的重要考点. 判断直线是否是圆的切线，主要有两条途径： 1?圆心到直线的距离等于半径
圆和旋转压轴题解题技巧详细解析
如何短时间突破期中数学压轴题 还有不到一个月的时间就要进行期中考试了，期中考试的重要性不必多说。各区期中考试的范围相信学生们都已经非常清楚。 个人觉得现在大部分学生的困难在于旋转、圆，由于时间比较紧张，给大家一些复习资料和学习方法，希望能够帮到大家。 一、旋转： 纵观08年——13年各区的期中数学试卷，最难的几何题几乎都是旋转，在此给出旋转中最常见的几何模型和一些解题技巧。 旋转模型： 1、三垂直全等模型 三垂直全等构造方法：从等腰直角三角形的两个锐角顶点出发向过直角顶点的直线作垂线。 E D C A B E D C A B 2、手拉手全等模型 手拉手全等基本构图： C C C A B D E A B D E E D B A E D C B A E D C B A A B C D E E D C B A
E D C B A 3、等线段、共端点 (1) 中点旋转(旋转180°) (2) 等腰直角三角形(旋转90°) A'D C B A F' D' F E D C A (3) 等边三角形旋转(旋转60°) (4) 正方形旋转(旋转90°) ② ①F E D C B A P F E D C B A G F E D C B A 4、半角模型 半角模型所有结论：在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且满足∠EAF =45°，AE 、AF 分别与对角线BD 交于点M 、N .求证： N M F E D C B A G O A H N M F E D C B (1) BE +DF =EF ； (2) S △ABE +S △ADF =S △AEF ； (3) AH =AB ； (4) C △ECF =2AB ； (5) BM 2+DN 2=MN 2； (6) △DNF ∽△ANM ∽△AEF ∽△BEM ；相似比为1：2(由△AMN 与△AEF 的高之比AO ： AH =AO ：AB =1：2而得到)；
中考数学圆的解题方法归纳总结与例题分析报告
中考数学圆的解题方法归纳总结及例题分析 1．遇到弦时（解决有关弦的问题时） 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 例1：
例2：
2．遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角。 作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。 3．遇到90°的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。 例题：如图，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D；求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线
解：（1）作出圆心O， 以点O为圆心，OA长为半径作圆 （2）证明：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°∴AD是⊙O的直径 连结OC，∵∠A=∠B=30°，∴∠ACB=120°，又∵OA=OC，∴∠ACO=∠A =30° ∴∠BCO=∠ACB-∠ACO =120°-30°=90°∴BC⊥OC，∴BC是⊙O的切线. 4．遇到弦时 常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：①可得等腰三角形； ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。 如图，△ABC是⊙O的接三角形，AD是⊙O 的直径，若∠ABC=50°，求∠CAD的度数。 解：连接CD，∠ADC=∠ABC=50°,∵AD是⊙O 的直径，∴∠ACD=90°∴∠CAD+∠ADC=90°∴∠CAD=90°-∠ADC=90°-50°= 40° 5．遇到有切线时 （1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点） 作用：利用切线的性质定理可得到直角或直角三角形。 （2）常常添加连结圆上一点和切点 作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。
圆和旋转压轴题解题技巧与近几年中考试题汇总
如何短时间突破数学压轴题 还有不到一个月的时间就要进行期中考试了，期中考试的重要性不必多说。各区期中考试的范围相信学生们都已经非常清楚。 个人觉得现在大部分学生的困难在于旋转、圆，由于时间比较紧张，给大家一些复习资料和 学习方法，希望能够帮到大家。 一、旋转： 纵观几年的数学试卷，最难的几何题几乎都是旋转，在此给出旋转中最常见的几何模型和一些解题技巧。 旋转模型： 1三垂直全等模型 三垂直全等构造方法：从等腰直角三角形的两个锐角顶点出发向过直角顶点的直线作垂线。 2、手拉手全等模型 手拉手全等基本构图 : A C A C D E E
(1) BE+DF = EF ; (2) S ^ABE +S A ADF =S A AEF ; (3) AH=AB ; (4) C A ECF = 2AB ; (5) BM 2+DN 2=MN 2; (6) △ DNF ANMAEFBEM ;相似比为 1: 2 (由△ AMN 与厶 AEF 的高之比 AO : AH=AO : AB=1 : .2 而得至U ); 3、等线段、共端点 (1) 1 z / / f i / f / / / * f / /\/H 中点旋转(旋转180 ) (2)等腰直角三角形(旋转90 °) F A A A E C B C C B A' 等边三角形旋转 (旋转 ⑶ 60 E A A D F F C C B B E B C E F 中 ABCD D D F (4)正方形旋转(旋转90 E D A 已知 E 、F 分别是边 BC 、CD 上的点，且满足 AE 、AF 分别与对角线 BD 交于点M 、N.求证： 4、半角模型 半角模型所有结论：在正方形 / EAF =45° F
版集合问题的解题方法和技巧
最新版集合问题的解题方法 和技巧 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
集合问题解题方法和技巧 一、集合间的包含与运算关系问题 解题技巧：解答集合间的包含与运算关系问题的思路：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的规律为： （1）若给定的集合是不等式的解集，用数轴来解； （2）若给定的集合是点集，用数形结合法求解； （3）若给定的集合是抽象集合， 用Venn 图求解。 例1、（2012高考真题北京理1）已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B= （ ） A （-∞，-1） B （-1，-23） C （-23 ,3）D (3,+∞) 【答案】D 【解析】因为3 2}023|{->?>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A ．故选D ． 例2、(2011年高考广东卷理科2)已知集合A={ (x ，y)|x ，y 为实数，且 x 2+y 2=l}，B={(x ，y) |x ，y 为实数，且y=x}， 则A ∩ B 的元素个数为（ ） A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 答案:D 解析：作出圆x 2+y 2=l 和直线y=x,观察两曲线有2个交点 例3（2012年高考全国卷）已知集合 {}|A x x =是平行四边形,{}|B x x =是矩形,{}|C x x =是正方形,{}|D x x =是菱形,则 （ ） A ．A B ? B ． C B ? C ． D C ? D ．A D ? 答案：B 【命题意图】本试题主要考查了集合的概念,集合的包含关系的运用. 【解析】由正方形是特殊的菱形、特殊的矩形、特殊的平行四边形,矩形是特殊的平行四边形,作出Venn 图，可知集合C 是最小,集合A 是最大的,故选答案B.
椭圆的解题方法和技巧
椭圆的解题方法和技巧 安徽省宿州市褚兰中学海平 一、椭圆的定义的应用椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的，因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义求解，常会有事半功倍之效。 例1 的三边、、成等差数列且满足，、两点的坐标分别是、。求顶点的轨迹。 分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来是高考考查的热点之一。 解析：∵ 、、成等差数列，∴ ，即，又，∴ 。 根据椭圆的定义，易得点的轨迹方程为。 又∵ ，∴ ，即， ∴ ，∴ 。 故点的轨迹是椭圆的一半，方程为（）。又当时， 点、、在同一条直线上，不能构成三角形，∴ 。 ∴点的轨迹方程为。评注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系，寻找出满足椭圆定义的条件，然后确定椭圆的方程。解题时，易忽略这一条件，因此易漏掉这一限制；由于、、三点构成三角形，故应剔除使、、共线的点。 例2 、椭圆上一点到两焦点、的距离之差为2 ，试判断的形状。 分析：由椭圆定义知，的和为定值，且二者之差为题设条件，故可求出的两边。解析：由，解得。
又，故满足。 ∴为直角三角形。 评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三角形。利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正（余）弦定理、内角和定理及面积公式能否灵活运用。 二、利用待定系数法确定椭圆的标准方程。 例3 、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P1（ 6,1）, P2 （ 3, 2）,求椭圆的方程. 【解析】设椭圆方程为mx 2ny21（m>0,n>0 且m≠n）. ∵椭圆经过P1，P2点，∴ P1，P2点坐标适合椭圆方程，则① 6m+n=1 ，② 3m+2n=1 ，①②两式联立，解 得m= 1, n= 1. 93 22 ∴所求椭圆方程为x y 1 93 评注：运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a，b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1 （m >0,n>0,m≠n），由题目所给条件求出m，n 即可.
九年级数学全册解题技巧专题圆中辅助线的作法练习
解题技巧专题：圆中辅助线的作法 ——形成思维定式，快速解题 ◆类型一遇弦加弦心距或半径 1．如图，已知⊙O的半径为10，弦AB ＝12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（） A．5 B．7 C．9 D．11 第1题图第2题图 2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B ＝60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（） A．4 3 B．6 3 C．2 3 D．8 3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC.若∠CAB＝22.5°，CD ＝8cm，则⊙O的半径为________cm. 第3题图第4题图 4．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”(单位：cm)，那么该光盘的直径是________cm. ◆类型二遇直径添加直径所对的圆周角 5．(2016·玉林中考)如图，CD是⊙O 的直径，已知∠1＝30°，则∠2的度数为（） A．30° B．45° C．60° D．70° 第5题图第6题图 6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B ＝60°，AC＝8，则⊙O的直径AD的长度为（） A．16 B．4 C. 83 3 D. 163 3 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E. (1)求证：BE＝CE； (2)若∠B＝70°，求DE ︵ 的度数； (3)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
◆类型三 遇切线连接圆心和切点 8．如图，已知△ABC ，AB ＝BC ，以 AB 为直径的圆交AC 于点D ，过点D 的⊙O 的切线交BC 于点E .若CD ＝5，CE ＝4，则⊙O 的半径是（ ） A ．3 B ．4 C.256 D.25 8 第8题图 第9题图 9．如图，AB 切⊙O 于点B ，OA ＝23，∠BAO ＝60°，弦BC ∥OA ，则BC ︵ 的长为_________(结果保留π)． 10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4， AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于 点M ，切点为N ，则DM 的长为_______． 答案：
初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧
初中数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧 一、圆的相关概念 1、圆的定义 在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点0叫做圆心，线段0A叫做半径。 2、直线圆的与置位关系 1.线直与圆有唯公一共时，点做直叫与圆线切 2.三角的外形圆接的圆叫做三心形角外心 3.弦切角于所等夹弧所对的的圆心角 4.三角的内形圆切的圆叫做三心形角内心 5.垂于直径半直线必为圆的的切线 6.过径半外的点并且垂直端于半的径直线是圆切线 7.垂于直径半直线是圆的的切线 8.圆切线垂的直过切于点半径 3、圆的几何表示 以点0为圆心的圆记作?0'，读作圆0' 二、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 (3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相 等。 垂径定理及其推论可概括为： 过圆心
直径平分弦知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 、弦、弧等与圆有关的定义 1、弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB） 2、直径 经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD） 直径等于半径的2倍。 3、半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 4、弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号氏”表示，以A, B为端点的弧记作“，”读作圆弧AB'或弧AB'。 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 四、圆的对称性 1、圆的轴对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴 2、圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1、圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角。
语文阅读理解正确的解题方法和技巧(1讲)—已经整理打印
语文阅读理解 正确的解题方法和技巧 （一）语文阅读理解正确的解题方法和技巧——读材料 所谓“读材料”，就是要阅读试卷上的文字材料，粗读全文内容，把握文章主题。了解材料的基本大意，理清材料的层次和段落。在浏览全文，了解全文的概貌之后，应记住文章的要点，重要的结论以及一些关键性的人名、地点、定义和数字，不同的人名、地点可用铅笔在试卷上分别打上不同的记号，以便查找。 阅读理解试题的文字材料主要用来测试学生的阅读速度、理解能力和记忆能力。有的采用一个句子，有的采用一段文章或整篇文章。内容广泛，题材各异。以题目的难易程度分析，人们常常把它们分为表层理解和深层理解。所谓表层理解就是对文中的客观事实的感知和记忆；所谓深层理解是根据文中的客观事实，在认真思考后进行逻辑推理、总结或概括，得出结论。 通常阅读试卷上的文字材料，第一遍需要速读，首先要重点理解文章的体裁是记叙文还是说明文。答题时切忌文章都没完整的阅读过试卷上的文字材料，就匆匆忙忙地写答案。最好先把文章从头到尾通读一遍，对文章有一个整体的认识和理解。其次要初步理清文章的思路。一般来讲，文章的每一段、每句话归根到底都是为阐明中心服务的，都归向文章的主旨。平时要学会为文章标段，归纳每段意思，归纳中心思想。它在要求概括段落大意一类的阅读理解的解题中，往往是行之有效的一个办法。 有的学生要用"顺读法"，就是先读短文后读题目，然后再读短文寻找正确答案。有的学生采用"倒读法"，就是先读题目（四个选项不读）后读短文，最后寻找答案。我比较赞成"倒读法"，因为这种阅读方法是带着问题阅读，目的明确，容易集中，能及时抓住文中与解题关系密切的信息，从而节省了阅读时间。“倒读法"对表层理解的题目（提问时间、地点、原因等）效果最好，对深层理解的题目，要从短文的整体内容出发，进行概括和总结，分析所提供选项，作出准确的判断。 因此，解答这类题的中心步骤就是阅读，既要阅读短文，又要阅读题目。阅读时要注意阅读技巧，提高阅读效率。在做到以上几点的基础上，就可以对文章后面所给的问题，分别用“一次判断”、“逐个分析”以及“排除法”等方式来进行判断解答了。 （二）语文阅读理解正确的解题方法和技巧——找原话 所谓“找原话”，就是要找到语文阅读理解上要求的关键字、词或句子所在段落，要求学生在阅读文字材料时有重点地圈下来，然后再来重点理解与分析。当然找原话的目的是为了弄清题意，确定解决问题的阅读空间和范围。 在通读全文的基础上，将要回答的问题放到阅读试卷上的文字材料中来，再去浏览所要回答的试题，经过初步的思考，确定解决问题的阅读空间。对短文进行理解，然后分析句子结构，确定该词的词性和在句子中的成分。同时利用句子提供的信息，这样我们可以从文章中或文字材料中直接的提取有效信息。有些试题它要求用文中原话来回答，我们就可以用文中的原话来作答，这时就可以“从文章中直接提取信息”来回答问题。 如果它没有明确要求用文中的原话来作答，我们也可以“从文章中直接提取信息”来回答问题。如若它指定必需要使用学生自己的话来回答的话，我们也可以让学生将文中的原话加以翻译，再换言之。力求挖掘原句子的隐含信息和深层含义。有些试题则需要结合全文内容，挖掘句子的隐含信息，经过缜密的思考，寻求完美的答案。 （三）语文阅读理解正确的解题方法和技巧——看要求 所谓“看要求”，就是要求学生再审视语文阅读理解所要求回答的问题要求，关键的关键字、词或句子也要让学生用笔圈下来，作为扣题作答的要点，也是学生回答问题的可能的得分点。要做到细读文章的内容，机智从容答题。第二遍读文章要求考生带着问题细读全文。在进行语文阅读理解训练时一般要做到如下几点：
阅读理解答题方法与技巧
阅读理解答题方法与技巧 基础知识： 1.景物描写的作用:渲染气氛,烘托人物心情,推动情节发展,表现人物的品质,衬托中心意思 2.运用描写方法的作用: 表现人物性格,反映作品主题 3.文章题目的作用: 概括内容;揭示主题;提示线索 4. 用自己的话回答问题： １、这种题目往往就是限定不能直接原文中的语句来回答，从另个层面上来说，也就是暗示你原文中有相关语句，所以你首先应该找出原文中的相关语句； ２、现在要考虑的就是如何将原文中的语句变成自己的话，可以采用下列方法： ①概括大意法，适用于原文相关句子较长的情况； ②翻译句子法，适用于文言文语段； ③解释重点词法，适用于原文语句中有生僻词； ④变换句式法，适用于原文使用的是疑问、设问、反问的语意未能完全明确的句子，而题目又要求作 出明确表达的情况。 5.中间句、段的作用: 承上启下的过渡作用 6.结尾议论性句子的作用:总结全文,照应开头,点明中心,深化主题 7.写作人称的好处: 第一人称,真实可信; 第二人称,亲切自然 第三人称,可以多角度描写,不受时间和空间的限制 8.容易弄错的术语： （1）表达技巧= 艺术手法=表达方式+表现手法+修辞手法 （2）表达方式 = 记叙+描写+抒情+议论+说明 （3）表现手法= 象征、对比、衬托、烘托、伏笔铺垫、照应（呼应）、直接（间接）描写、扬抑（欲扬先抑、欲抑先扬）、借景抒情、借物喻人（托物言志）…… （4）修辞手法= 比喻、拟人、夸张、排比、反问、设问、引用、反复…… （5）语言特点 = 通俗易懂/朴素/清新/ 严谨/ 优美、生动、鲜明/ 充满感情色彩（常与修辞手法合用） 9.在哪儿找线索: