双曲线基础知识练习题汇编
双曲线基础知识练习题
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1．双曲线22
1169
x y -=的焦点坐标为( )
A.(
0)
B.(0,
， C.(5,0)-，(5,0) D.(0,5)-，(0,5)
2. 双曲线的实轴长是( )
A ．2
B ．2 2
C ．4
D ．4 2 3.双曲线的渐近线方程为（ ） A ． B ． C ． D ．
4.如果方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D.
5.动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）
A ．双曲线
B ．双曲线的一支
C ．两条射线
D ．一条射线
6.设P 是双曲线192
22=-y a
x 上一点，该双曲线的一条渐近线方程是043=+y x ，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，若101=PF ，则2PF 等于（ ）
A ．2
B ．18
C ．2或18
D ．16
7.已知双曲线)0(13
2
22>=-a y a x 的离心率为2，则实数=a （ ） 22
28x y -=11
22
2=+++m y m x m )1,2(--),1()2,(+∞---∞ )1,1(-)2,3(--
A. 2
B. 26
C. 2
5 D. 1 8.已知1F ，2F 为双曲线C ：222=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，212PF PF =，则
=∠21cos PF F ( )
A ．14
B ．35
C ．54
D ．4
3 9．椭圆222212x y m n +=与双曲线222212x y m n
-=有公共焦点，则椭圆的离心率是( )
A B C D 10.设椭圆C 1的离心率为13
5，焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( ) A.1342222=-y x B.15132222=-y x C.1432222=-y x D. 112132
2
22=-y x
11.已知双曲线22
22
1x y a b -=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A.221520
x y -= B.22
1205x y -= C.2233125100x y -= D.22
33110025
x y -=
12.直线(:l y k x =与双曲线22
1x y -=仅有一个公共点，则实数k 的值为( )
A ．1
B ．-1
C ．1或-1 D. 1或-1或0
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.双曲线 －y 2＝1的顶点坐标是 14.已知P 是双曲线
上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|
的值为________ 15.双曲线2212x y m m -=与椭圆22
1530
x y +=有共同的焦点，则m = 16.与双曲线x 2－ ＝1有共同渐近线且经过点(2, 2)的双曲线方程 三、解答题
17.求适合下列条件的双曲线的标准方程
（1）焦点在x 轴上，实轴长是10，虚轴长是6
（2）焦点（-5,0），离心率是2
18.求与圆1)3(22=+-y x 及9)3(2
2=++y x 都外切的动圆圆心的轨迹方程
19.已知双曲线与椭圆19
2522=+y x 共焦点,它们的离心率之和为514,求双曲线的标准方程。
20. 已知双曲线2
2
12416x y -=，P 为双曲线上一点，
12,F F 是双曲线的两个焦点，且
1260F PF ∠=?，求△12F PF 的面积。
21.已知双曲线的焦点为,且离心率为2；
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若经过点的直线交双曲线于两点，且为的中点，求直线的方程。
C 12(2,0),(2,0)F F (1,3)M l C ,A B M AB l
22.已知直线1y ax =+与双曲线22
31x y -=交于,A B 两点，
（1）求a 的取值范围；
（2）若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值。
双曲线基础知识练习题
双曲线基础知识练习题 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1．双曲线22 1169 x y -=的焦点坐标为( ) A.( B.(0, ， C.(5,0)-， (5,0) D.(0,5)-，(0,5) 2. 双曲线的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ． 4 D ．4 2 3.双曲线的渐近线方程为（ ） A ． B ． C ． D ． 4.如果方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线 6.设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，该双曲线的一条渐近线方程是043=+y x ，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，若101=PF ，则2PF 等于（ ） A ．2 B ．18 C ．2或18 D ．16 7.已知双曲线)0(13 2 22>=-a y a x 的离心率为2，则实数=a （ ） A. 2 B. 26 C. 2 5 D. 1 8.已知1F ，2F 为双曲线C ：222=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，212PF PF =，则 =∠21cos PF F ( ) A ．14 B ．35 C ．54 D ．4 3 2228x y -=11 22 2=+++m y m x m )1,2(--),1()2,(+∞---∞ )1,1(-)2,3(--
9．椭圆222212x y m n +=与双曲线222212x y m n -=有公共焦点，则椭圆的离心率是( ) A B C D 10.设椭圆C 1的离心率为13 5，焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( ) A.1342222=-y x B.15132222=-y x C.1432222=-y x D. 112132 2 22=-y x 11.已知双曲线22 221x y a b -=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A.22 1520 x y -= B.221205x y -= C.2233125100x y -= D.22 33110025 x y -= 12.直线(:l y k x =与双曲线221x y -=仅有一个公共点，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D. 1或-1或0 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13.双曲线 －y 2＝1的顶点坐标是 14.已知P 是双曲线 上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2| 的值为________ 15.双曲线2212x y m m -=与椭圆22 1530 x y +=有共同的焦点，则m = 16.与双曲线x 2－ ＝1有共同渐近线且经过点(2, 2)的双曲线方程 三、解答题 17.求适合下列条件的双曲线的标准方程 （1）焦点在x 轴上，实轴长是10，虚轴长是6 （2）焦点（-5,0），离心率是2
【精品】高中数学 选修1-1_双曲线及其标准方程_ 知识点讲解 讲义+巩固练习(含答案)提高
双曲线及其标准方程 【学习目标】 1．知识与技能： 从具体情境中抽象出双曲线的模型；掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形；能正确推导双曲线的标准方程． 2．过程与方法： 学生亲自动手尝试画图、发现双曲线的形成过程进而归纳出双曲线的定义、图象和标准方程． 3．情感态度与价值观： 了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用． 【要点梳理】 要点一：双曲线的定义 把平面内到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于12F F ）的点的集合叫作双曲线． 定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 要点诠释： 1． 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：常数=1212PF PF F F -<，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2． 若常数分别满足以下约束条件，则动点的轨迹各不相同： 若 常数=1212PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支； 若 常数=2112PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支． 若 常数=1212PF PF F F -=，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）； 若 常数=1212PF PF F F ->，则动点轨迹不存在； 若 常数=12=0PF PF -，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 要点二：双曲线的标准方程
1．双曲线的标准方程 2．标准方程的推导 如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分为4步：建系、设点、列式、化简． （1）建系 取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系． （2）设点 设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)． （3）列式 设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a． 由定义可知，双曲线就是集合：P={M||M F1|-|M F2||=2a}={M|M F1|-|M F2|=±2a}． ∵2222 12 ||(),||(), MF x c y MF x c y ++=-+ ∴2222 ()()2 x c y x c y a ++-+=± (4)化简 将这个方程移项，得 当焦点在x轴上时， 22 22 1 x y a b -=(0,0) a b >>，其中222 c a b =+； 当焦点在y轴上时， 22 22 1 y x a b -=(0,0) a b >>，其中222 c a b =+
双曲线基础知识练习题
双曲线基础知识练习题 2 2 1 .双曲线L 16 9 1的焦点坐标为( ) D .4,2 2.5 x 5 2 2 6.设P 是双曲线 务 上 1上一点，该双曲线的一条渐近线方程是 3x 4y 0 , F 1, F 2分 a 9 别是双曲线的左、右焦点，若 PF 1 10，则 PF ? 等于( ) A . 2 B . 18 C .2 或 18 D .16 2 2 7.已知双曲线 笃 厶 1(a 0)的离心率为2，则实数a ( ) a 2 3 、选择题(本题共 12道小题，每小题5分，共 60分) A. (「7,0) ,("0) B. (0, . 7) ,(0,、,7) C. (5,0) , (5,0) D. (0, 5) ,(0,5) 2.双曲线2x 2 y 8的实轴长是( 3.双曲线 1的渐近线方程为( A . 2 A . y 4.如果方程 X 2 2 丄 1表示双曲线, m 1 则实数 m 的取值范围是( A. ( 2, 1) B. (,2) ( 1, C. (1,1) D. (3, 2) 5.动点P 到点 M (1,0)及点N (3,0)的距离之差为 2，则点P 的轨迹是 A.双曲线 B .双曲线的一支 .两条射线 .一条射线
30 ~6~ 2 2 笃-与=1 （a> 0,b> 0）的一条渐近线平行于直线 a b ' 曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） 2 A.x_- 2 y =1 B. 2 x 2 1 = 1 5 20 20 5 C. 3 ^ - 3y 2 = 1 _ 3x 2 D. - 3y 2=1 25 100 100 25 12.直线l : y k x J ?与双曲线x 2 y 1仅有 '一个公共点， 则实数 k 的值为（） A . 1 B .-1 C. 1 或-1 D. 1 或-1或 0 、填空题（本题共 4道小题，每小题5分，共20分） A. 2 B. 、、 6 v C. >5 ~T D. 1 8.已知F 1, F 2为双曲线 C: x 2 2的左、 右焦点，点 P 在 C 上，PR 2PF 2，则 COS F 1PF 2 A . 1 4 9 ?椭圆 2m 2 2 y 2 n 1与双曲线 2 x 2 m 2 y 2n 2 1有公共焦点，则椭圆的离心率是 （ 5 13 ' 个焦点的距离的差的绝对值等于 10.设椭圆C 的离心率为 焦点在 X 轴上且长轴长为 26.若曲线 C 2上的点到椭圆 8,则曲线 C 2的标准方程为（ 2 A 1 A. 42 2 y 32 D. 2 x 132 2 y 122 11.已知双曲线 l : y = 2x+ 10，双
双曲线知识点总结及经典练习题
双曲线知识点总结及经典练习题 圆锥曲线（三）------双曲线 知识点一：双曲线定义 平面内与两个定点F i , F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F I F2| ）的点的轨迹称为双曲线?即：||MF1 | |MF2 || 2a,（2a | F1 F2 |）。 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距. 1.双曲线的定义中，常数2a应当满足的约束条件：『囲-f耳卜力兰區禺|，这可以借助于三角形中边的相关性质两边之差小于第三边”来理解； 2.若去掉定义中的绝对值”常数□满足约束条件：1纠卜戸场1“—1瓦码1 ^ - ■），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F2的一支；若 |^|-|^| = 2^<|^|严>0 ），贝劇点轨迹仅表示双曲线中靠焦点Fi的一支；3?若常数a 满足约束条件：||珂T輕卜加=|垃也则动点轨迹是以F i、F2为端点的两条射线（包括端点）； 若常数a满足约束条件：||〃1卜『码|| =加二?冈珂|，则动点轨迹不存在； 5 ?若常数a 0,贝劇点轨迹为线段F i F2的垂直平分线。知识点二：双曲线的标准方程 1?当焦点在工‘轴上时，双曲线的标准方程，其中 /二F十沪. 2?当焦点在，轴上时，双曲线的标准方程：—L -………V ，其中 r a—沖+护 注意：1 ?只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到双曲线的标准方程； 2?在双曲线的两种标准方程中，都有''-； 3?双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当匕的系数为
正时，焦点在工轴上，双曲线的焦点坐标为■；当厂的系数为正时，焦点在T轴上，双曲线的焦点坐标为，. 知识点三：双曲线性质 1、双曲线, 下（a> 0，b> 0）的简单几何性质 一 f y (1)对称性：对于双曲线标准方程r 丁(a>0, b>0),把x换成一x, 或把y换成一y,或把x、y同时换成一X、一y,方程都不变，所以双曲线一-- (a> 0, b> 0)是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。 (2)范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=—a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x
知识讲解_双曲线及其标准方程_基础
双曲线及其标准方程 编稿：张林娟 责编：孙永钊 【学习目标】 1．知识与技能： 从具体情境中抽象出双曲线的模型；掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形；能正确推导双曲线的标准方程． 2．过程与方法： 学生亲自动手尝试画图、发现双曲线的形成过程进而归纳出双曲线的定义、图像和标准方程． 3．情感态度与价值观： 了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用． 【要点梳理】 要点一：双曲线的定义 把平面内到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于12F F ）的点的集合叫作双曲线． 定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 要点诠释：
1． 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：常数= 1212 PF PF F F -<，这可以 借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2． 若常数分别满足以下约束条件，则动点的轨迹各不相同： 若 常数=1212PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支； 若 常数=2112 PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支． 若 常数=1212 PF PF F F -=，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）； 若 常数=1212 PF PF F F ->，则动点轨迹不存在； 若 常数= 12=0PF PF -，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 要点二：双曲线的标准方程 1． 双曲线的标准方程 2． 标准方程的推导 如何建立双曲线的方程根据求曲线方程的一般步骤，可分为4步：建系、设点、列式、化简． （1）建系
双曲线知识点总结及经典练习题
圆锥曲线（三）------双曲线 知识点一：双曲线定义 平面与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 注意： 1. 双曲线的定义中，常数2a 应当满足的约束条件： ，这 可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（ ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支；若 （ ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支； 3. 若常数a 满足约束条件： ，则动点轨迹是以F 1、F 2为 端点的两条射线（包括端点）； 若常数a 满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数0a =，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线。 知识点二：双曲线的标准方程 1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程： ，其中 ； 2．当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程： ，其中. 注意： 1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程； 2．在双曲线的两种标准方程中，都有 ； 3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为 正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为， ；当 的系数为正时， 焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为， . 知识点三：双曲线性质
1、双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质 （1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x， 或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线 （a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。 （2）围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。 （3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点， 坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y 轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为 |A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。 ②双曲线的焦点总在实轴上。③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。（4）离心率： ②双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。 ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率。由c2=a2+b2，可得 ，所以决定双曲线的开口大小，越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。 ③等轴双曲线，所以离心率。 （4）渐近线：经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方 程是。我们把直线叫做双曲线的渐近线。
高中数学双曲线抛物线知识点总结
双曲线 平面到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a< )的点的轨迹。 方程 22 221(0,0)x y a b a b -=>> 22 2 21(0,0)y x a b a b -=>> 简图 围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于x 轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关 系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠，与双曲线 22 2 21x y a b -=共渐近线的方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12，离心率为 54 ； （2） 焦距为26，且经过点M （0，12）； （3） 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y
解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知，2b=12，c e a ==54 。 ∴b=6，c=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 （2）∵双曲线经过点M （0，12）， ∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。 又2c=26，∴c=13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425 y x -=。 （3）设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 233 1916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且 点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率e 的取值围。 解：直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx+ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点（1，0）到直线l 的距离12 2 d a b = +， 同理得到点（-1，0）到直线l 的距离22 2 d a b = +，
70总复习：双曲线及其性质(基础)知识梳理
双曲线 【考纲要求】 1.了解双曲线图形的实际背景及形成过程； 2.掌握双曲线的定义、几何图形、标准方程及简单性质； 3.掌握双曲线的简单应用； 4.理解解析几何中数形结合思想的运用. 【知识网络】 【考点梳理】 【高清课堂：双曲线及其性质404777 知识要点】 考点一、双曲线的定义 在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定长2a （21212F F a PF PF <=-）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 要点诠释： （1）双曲线的定义中，常数2a 应当满足的约束条件：21212F F a PF PF <=-，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； （2）若常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -=<（0a >），则此时的曲线是双曲线的靠2F 的一支； （3）若常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -==，则此时的曲线是两条射线； （4）若常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -=>，则此时的曲线不存在. 考点二、双曲线的标准方程 （1）当焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程：22221x y a b -=(0,0)a b >>，其中222 c a b =+； （2）当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程：22221y x a b -=(0,0)a b >>，其中222 c a b =+. 要点诠释： （1）只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到双曲线的标准双曲线 数形结合思想 标准方程及简单性质 双曲线的实际背景及定义
双曲线的基础知识与基本类型题(原创)
双曲线基础知识 一 基础知识 1.双曲线的定义式: ； 2.（1）双曲线的标准方程:焦点在x 轴上： ； 焦点在y 轴上： ； （2）双曲线的一般方程（不能确定焦点位置时）： ； 3．双曲线的标准方程中焦点位置的判断： ； 4.（1）双曲线的实轴长为 ；虚轴长为 ；焦距为 ； （2）双曲线中,,a b c 的大小关系： ； （3）双曲线中,,a b c 的等量关系： ； 5.双曲线焦点在x 轴上：顶点坐标为 ；焦点坐标为 ； 焦点在y 轴上：顶点坐标为 ；焦点坐标为 ； 6. 离心率：（1）定义式：e = ； （2）e 与,a b 关系为b a = ； （3）范围： e ∈ ； 7.双曲线的渐近线： （1）渐近线方程为：焦点在x 轴上： ； 焦点在y 轴上： ； （2）焦点到渐近线的距离为 ； （3）以直线22 220x y a b -=为渐近线的双曲线方程可设为 ； （4）与双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>有共同渐近线的双曲线方程 可设为 ； 8.等轴双曲线：①满足的条件： ；②方程的设法： ； ③离心率e = ； ④渐近线方程： ； 9.结论： （1）双曲线过中心的最短弦长为 ； （2）双曲线过焦点的最短弦长（弦的两个端点在同一支上）为 ； （此时最短弦长称为通径） 双曲线过焦点的最短弦长（弦的两个端点在两支上）为 ；
（3）双曲线上任一点P 到焦点的最短距离（点P 与焦点在同一支） 为 ；此时点P 的位置为 ； 双曲线上任一点P 到焦点的最短距离（点P 与焦点在两支）为 ； 此时点P 的位置为 ； （4）P 为双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上一点，A 为双曲线内一定点，12F ,F 为双曲线的左右焦点， ① 若A 在右支内，则2PF +PA 的最小值为 ； ② 若A 在左支内，则2PF +PA 的最小值为 ； （5）P 为双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上一点， 12F ,F 为双曲线的左右焦点， 则12PF PF ?的最小值为 ； （6）双曲线焦点为12,F F ,过1F 的弦与双曲线交于A,B 两点，且AB m =， 则2ABF ?的周长为 ； （7）双曲线焦点为12,F F ，P 为双曲线上任一点，且12F PF θ∠=，则12F PF S ?= ； （8）双曲线的一条弦的斜率为1k ，弦的中点与原点连线的斜率为2k ， ①若双曲线方程为()22 2210,0x y a b a b -=>>，则12k k ?= ； ②若双曲线方程为()22 2210,0y x a b a b -=>>，则12k k ?= （9）点()00,P x y 在双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>内，则有 ； 点()00,P x y 在双曲线()22 2210,0y x a b a b -=>>内，则有 。 二 基本类型题： （一）双曲线的标准方程
双曲线知识点总结及练习题
一、双曲线的定义 1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。这两个定点叫双曲线的焦点。 要注意两点：（1）距离之差的绝对值。（2）2a ＜|F 1F 2|。 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。 2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l （准线2c a ）的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动 点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。 二、双曲线的标准方程（2 22a c b -=，其中|1F 2F |=2c ） 焦点在x 轴上：122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0） 焦点在y 轴上：122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0） （1）如果2 x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2 y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上。 a 不一定大于b 。判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的 符号，焦点在系数正的那条轴上
（2）与双曲线122 22=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是1222 2=--+k b y k a x （3）双曲线方程也可设为： 22 1(0)x y mn m n -=> 三、双曲线的性质
知识讲解_双曲线的简单性质_基础
双曲线的简单性质 【学习目标】 1．知识与技能 理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念． 2．过程与方法 锻炼学生观察分析抽象概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力． 3．情感态度与价值观 通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对双曲线对称美的感受，激发学生对美好事物的追求． 【要点梳理】 【高清课堂：双曲线的性质356749 知识要点二】 要点一：双曲线的简单几何性质 双曲线 22 22 1 x y a b -=（a＞0，b＞0）的简单几何性质 范围 2 21 x a ≥，即22 x a ≥ ∴x a ≥，或x a ≤-． 双曲线上所有的点都在两条平行直线x= -a和x= a的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足∴x a ≥，或x a ≤-． 对称性 对于双曲线标准方程 22 22 1 x y a b -=（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y， 方程都不变，所以双曲线 22 22 1 x y a b -=（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为 对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．顶点 ①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点． ②双曲线 22 22 1 x y a b -=（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为
A1（-a，0），A2（a，0） ，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，- b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b．a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长． ①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上． ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作 2 2 c c e a a ==． ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率1 c e a =>． 由c2= a 2+b2，可得 22 22 2 ()11 b c a c e a a a - ==-=-，所以 b a 决定双曲线的开口大小， b a 越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线a b =，所以离心率2 e=． 渐近线 经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是 b y x a =±． 我们把直线 b y x a =±叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 22 || b b MN x a x a a =-- 22 22 b x a x a x x a =-- =→ +-
双曲线知识点归纳总结例题分析知识讲解
双曲线基本知识点
直线和双曲线的位置双曲线1 2 2 2 2 = - b y a x与直线y kx b =+的位置关系： 利用 22 22 1 x y a b y kx b ? -= ? ? ?=+ ? 转化为一元二次方程用判别式确定。二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。 相交弦AB的弦长22 1212 1()4 AB k x x x x =++- 通径： 21 AB y y =- 补充知识点： 等轴双曲线的主要性质有： （1）半实轴长=半虚轴长（一般而言是a=b，但有些地区教材版本不同，不一定用的是a,b这两个字母）； （2）其标准方程为x^2-y^2=C，其中C≠0； （3）离心率e=√2； （4）渐近线：两条渐近线y=±x 互相垂直； （5）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点 的距离的比例中项； （6）等轴双曲线上任意一点P处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P所平分； （7）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形的面积恒为常数a^2； （8）等轴双曲线x^2-y^2=C绕其中心以逆时针方向旋转45°后，可以得到XY=a^2/2，其中C≠0。 所以反比例函数y=k/x的图像一定是等轴双曲线。 例题分析：
例1、动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满足126PF PF -=，则点P 的轨迹方程为（ ） Ａ．221916x y -= Ｂ．22 1169x y -+= Ｃ．221(3)169x y y -+=≥ Ｄ．22 1(3)169 x y y -+=-≤ 同步练习一:如果双曲线的渐近线方程为34 y x =±，则离心率为（ ） Ａ．5 3 Ｂ．54 Ｃ．53或54 例2、已知双曲线22 14x y k +=的离心率为2e <，则k 的范围为（ ） Ａ．121k -<< Ｂ．0k < Ｃ．50k -<< Ｄ．120k -<< 同步练习二:双曲线22 221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ． 例3、设P 是双曲线22 219 x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别是双曲 线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为 ． 同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(2，则双曲线的标准方程 为 。 例4、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是 (A)x 23-y 2=1和y 29 -x 2 3=1 (B)x 23-y 2=1和y 2-x 23=1 (C)y 2- x 23=1和x 2-y 23=1 (D)x 23-y 2=1和92x -3 2 y =1 同步练习四:已知双曲线的中心在原点，两个焦点 12F F ，分别为和(，点P 在双曲线上且12PF PF ⊥，且12PF F △的面积为1，则双曲线的方程为（ ） Ａ．22 123 x y -= Ｂ．22 132 x y -=
双曲线的知识点
知识点：1 .双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线。即a MF MF 221=-。当2a ﹤2c 时，轨迹是双曲线；当2a =2c 时，轨迹是两条射线；当2a ﹥2c 时，轨迹不存在。 2．焦点在x 轴上时：12222=-b y a x ；焦点在y 轴上时：12222=-b x a y （2 22b a c +=） 3．范围、对称性 顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长 4．渐近线：双曲线122 22=-b y a x 的渐近线方程是x a b y ±=（0=±b y a x ） 双曲线122 22=-b x a y 的渐近线方程是x b a y ±=（0=±b x a y ） 5．等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线， 6．共渐近线的双曲线系：渐近线为x a b y ±=，双曲线方程就是： λ=-22 22b y a x 7．离心率：双曲线的焦距与实轴长的比22 122a b a c a c e +=== 范围：1>e ，“e 的大小”与“开口的阔窄”的关系 8．共轭双曲线： 12222=-b y a x 的共轭为122 22-=-b y a x 9． 双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>= a c a c e 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率． 10．准线方程：左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=，右焦点)0,(2c F 对应着右准线 c a x l 22:=；上焦点),0(1c F -对应着上准线c a y l 21:-=；下焦点),0(2c F 对应着下准线c a y l 2 2:= 焦点到准线的距离c b p 2 =（也叫焦参数） 11 .双曲线的焦半径（ 21,F F 分别是双曲线的左（下），右（上）焦点）
双曲线知识点总结
双曲线知识点 指导教师：郑军 一、 双曲线的定义： 1. 第一定义： 到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 2. 第二定义： 动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 二、 双曲线的标准方程：
122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)； 122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)； 1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b. 2. 与双曲线122 22=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是1222 2=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：22 1(0)x y mn m n - => 例题：已知双曲线C 和椭圆22 1169 x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的 轨迹方程。 三、 点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线： 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?-> 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-< 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上22 0022-=1x y a b ? 2 直线与双曲线： （代数法） 设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 联立解得 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b 1) 0m =时，b b k a a -<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； b k a ≥，b k a ≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点； 2) 0m ≠时， k 存在时， 若0222=-k a b a b k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ?=----- 2222224()a b m b a k =+-
双曲线知识点总结及练习题
双曲线知识点总结及练 习题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
一、双曲线的定义 1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。这两个定点叫双曲线的焦点。 要注意两点：（1）距离之差的绝对值。（2）2a ＜|F 1F 2|。 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。 2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l （准线2 c a ）的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个 动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 二、双曲线的标准方程（222a c b -=，其中|1F 2F |=2c ） 焦点在x 轴上：122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0） 焦点在y 轴上：122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0） （1）如果2 x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2 y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上。 a 不一定大于b 。判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的 系数的符号，焦点在系数正的那条轴上 （2）与双曲线122 22=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是1222 2=--+k b y k a x （3）双曲线方程也可设为：22 1(0)x y mn m n - => 三、双曲线的性质
经典双曲线知识点汇总
双曲线：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；了解双曲线的简单几何性质。 重点：双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单的几何性质. 难点：双曲线的标准方程，双曲线 的渐进线. 知识点一：双曲线的定义在平面，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 知识点二：双曲线的标准方程 1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中. 注意： 1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程； 2．在双曲线的两种标准方程中，都有； 3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，. 知识点三：双曲线的简单几何性质 双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质 （1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。 （2）围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。 注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。 ②双曲线的焦点总在实轴上。③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。 （4）离心率：①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。 ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率。由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。③等轴双曲线，所以离心率。（5）渐近线：经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是。我们把直线叫做双曲线的渐近线。 注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。