最新双曲线基本知识点及例题
1. 过双曲线的一个焦点作x轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到
两焦点的距离。
2. 已知双曲线的离心率为2，求它的两条渐近线的夹角。
3. 在面积为1的△PMN中，，建立适当坐标系，求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程。
4. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，P是两条曲线的一个交点，求的值。
5. 已知椭圆及点B（0，－2），过左焦点F1与点B的直线交椭圆于
C、D两点，椭圆的右焦点为F2，求△CDF2的面积。
6. P为椭圆上任意一点，F1为它的一个焦点，求证以焦半径F1P为直径的圆与以长轴为直径的圆相切。
7. 已知两定点A（－1，0），B（1，0）及两动点M（0，y1），N（0，y2），其中，设直线AM与BN的交点为P。
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若直线与曲线C位于y轴左边的部分交于相异两点E、F，求k 的取值范围。
8. 直线只有一个公共点，求直线l的方程。
1. 解：∵双曲线方程为，
∴＝13，于是焦点坐标为
设过点F1垂直于x轴的直线l交双曲线于
，
∴
故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为。
2. 解：设实轴与渐近线的夹角为，则
∴
∴两条渐近线的夹角为
［点评］
（1）离心率e与。
（2）要注意两直线夹角的范围，否则将有可能误答为。
3. 解：以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立直角坐标系，设
，（如图所示）则
解得
设双曲线方程为，
将点
∴所求双曲线方程为
点评：选择坐标系应使双曲线方程为标准形式，然后采用待定系数法求出方程。
4. 解：∵P在椭圆上，，
又∵点P在双曲线上，，
①、②两式分别平方得
两式相减得，
∴
5. 解：∵，
由
∵与椭圆有两个公共点，设为：∴
又点F2到直线BF1的距离
说明：本题也可用来解。
6. 略解1设为椭圆上任意一点，则
又两圆半径分别为，
，故此两圆内切。
略解2如图，
∴此两圆内切
7. 解：（1）由题意得AM的方程为，BN的方程为：。
两式相乘，得
（2）由
8. 解：由
（1）
∴此时直线l：x＝3与双曲线只有一个公共点（3，0）；
（2）当b≠0时，直线l方程为。
①当
②当
恒成立，
∴此时直线l与双曲线必相交于两点。
综上所述，满足条件的直线l共有三条：
小结：含参数的直线方程，若化简为，则可知l必过定点（3，0），因（3，0）正好为双曲线实轴顶点。
所以过此点的切线x＝3及过此点与渐
近线平行的直线均与双曲线只有一个公共点。
由此可见，重视几
何图形特征分析会简化计算。
(完整版)双曲线标准方程及几何性质知识点及习题,推荐文档
9 2
，
1
的双曲线的
标准方程。
x2 【例 6】设 F1、F2 分别是双曲线 a2
y2 b2
1的左、右焦点，若双曲线上存在点 A，使
F1AF2 90 ，且︱AF1︱=3︱AF2︱，求双曲线的离心率。
练习。已知双曲线 x2 y 2 1的离心率 e 2 3 ，过 A(a,0), B(0,b) 的直线到原点的距离
5
【例 2】求虚轴长为 12，离心率为 双曲线标准方程。
4
【例 3】求焦距为 26，且经过点 M（0，12）双曲线标准方程。
练习。焦点为 0,6，且与双曲线 x2 y2 1有相同的渐近线的双曲线方程是 （ 2
）
A． x2 y 2 1
12 24
B． y 2 x2 1
12 24
C． y 2 x2 1
24 12
D． x2 y 2 1
24 12
【例 4】与双曲线 x2 y2 1有公共渐进线，且经过点 A 3, 2 3 9 16
练习。求一条渐近线方程是 3x 4 y 0 ，一个焦点是 4,0的双曲线标准方程，并求此双曲
线的离心率．
解决双曲线的性质问题，关键是找好等量关系，特别是 e、a、b、c 四者的关系，构造出
F1 、F2
分别是双曲线的左、右焦点，若| PF1 | 3 ，则| PF2 |
（）
A．1 或 5
B． 6
C． 7
D． 9
11．已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1, (a
0, b
0) 的左，右焦点分别为 F1, F2 ,点
P
在双曲线的右
支上，且| PF1 | 4 | PF2 | ,则双曲线的离心率 e 的最大值为 （ ）
双曲线知识点总结及练习题
、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F i与F2的距离之差的绝对值等于定长（V|F I F2|）的点的轨迹2a F1F2 （a为常数））。
这两个定点叫双曲线的焦点。
差的绝对值。
（2）2a v|F i F2|。
当|MF1|—|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支;当|MF1|—|MF2|=—2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支;当2a=|F1F21时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单或两b。
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较X2、y2的分母的大小，而是X2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上要注意两点：（1）距离之V二、双曲线的标准方程b2c2 a2X焦点在X轴上：务a2 yb2(a> 0,2焦点在y轴上：芯a(a> 0,（1）如果x2项的系数是正数，则焦点在X轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上。
a不一定大于边之差小于第三边当2a > IF1F2时，动点轨迹不存在。
a2、第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线I （准线）的距离之比是常数e（e> 1）时，这个动c 点的轨迹是双曲线。
这定点叫做双曲线的焦点，定直线I叫做双曲线的准线b> 0)2 2 2 2(2)与双曲线冷占1共焦点的双曲线系方程是二2y1a2 b2八2 k b2 k2 2(3 )双曲线方程也可设为：—乂l(mn 0)m n三、双曲线的性质标准方程(焦点在x轴) 标准方程(焦点在y轴)双曲线第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值是常数(小于F1F2)的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。
M MF1 MF2 2a 2a |证|y yF2F iF i第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线I的距离的比是常数e,当e 1时, 动点的轨迹是双曲线。
定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e ( e 1 )叫做双曲线的离心率。
双曲线知识点总结例题
1．定义法,根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c即可求得方程．2．待定系数法(2）待定系数法求双曲线方程的常用方法①与双曲线错误!－错误!＝1有共同渐近线的双曲线方程可表示为错误!－y2，b2＝t(t≠0）；②若双曲线的渐近线方程是y＝±错误!x，则双曲线的方程可表示为错误!－错误!＝t(t≠0);③与双曲线错误!－错误!＝1共焦点的方程可表示为错误!－错误!＝1(－b2＜k＜a2）;④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为错误!＋错误!＝1（mn＜0）；⑤与椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0）有共同焦点的双曲线方程可表示为错误!＋错误!＝1（b2＜λ＜a2）．例4、求下列条件下的双曲线的标准方程．(1）与双曲线错误!－错误!＝1有共同的渐近线，且过点（－3,2)；(2）与双曲线错误!－错误!＝1有公共焦点，且过点（3，2）．1。
在双曲线的标准方程中，若x2的系数是正的，那么焦点在x轴上;如果y2的系数是正的,那么焦点在y轴上，且对于双曲线,a不一定大于b。
2．若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：mx2＋ny2＝1(mn＜0），以避免分类讨论．考点3、双曲线的几何性质双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量，如a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程例5、（12分）双曲线C:错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0),若C上存在一点P，使错误!·错误!＝0，求此双曲线离心率的取值范围．例6、【活学活用】3。
（2012北京期末检测）若双曲线错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一点，且|PF1｜＝3|PF2|，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．【例7】直线过双曲线的右焦点，斜率k=2。
双曲线知识点归纳总结例题分析
双曲线知识点归纳总结例题分析双曲线基本知识点补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长=半虚轴长（⼀般⽽⾔是a=b ，但有些地区教材版本不同，不⼀定⽤的是a,b 这两个字母）；（2）其标准⽅程为x^2-y^2=C ，其中C≠0；（3）离⼼率e=√2；（4）渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直；（5）等轴双曲线上任意⼀点到中⼼的距离是它到两个焦点的距离的⽐例中项；（6）等轴双曲线上任意⼀点P 处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P 所平分；（7）等轴双曲线上任意⼀点处的切线与两条渐近线围成三⾓形的⾯积恒为常数a^2；（8）等轴双曲线x^2-y^2=C 绕其中⼼以逆时针⽅向旋转45°后，可以得到XY=a^2/2，其中C≠0。
所以反⽐例函数y=k/x 的图像⼀定是等轴双曲线。
例题分析：例1、动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满⾜126PF PF -=，则点P 的轨迹⽅程为（）Ａ．221916x y -= Ｂ．221169x y -+=Ｃ．221(3)169x y y -+=≥ Ｄ．221(3)169x y y -+=-≤同步练习⼀:如果双曲线的渐近线⽅程为34y x =±，则离⼼率为（）Ａ．53Ｂ．54Ｃ．53或54例2、已知双曲线2214x y k+=的离⼼率为2e <，则k 的范围为（）Ａ．121k -<< Ｂ．0k < Ｃ．50k -<<Ｄ．120k -<<同步练习⼆:双曲线22221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离⼼率为．例3、设P 是双曲线22219x y a -=上⼀点，双曲线的⼀条渐近线⽅程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为．同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(2，则双曲线的标准⽅程为。
双曲线知识点及例题
双曲线知识点一：双曲线的定义: 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线的轨迹叫作双曲线..这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距两焦点的距离叫作双曲线的焦距. . 注意：注意：1. 1. 双曲线的定义中，常数双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；的一支；3. 3. 若常数若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）；端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线。
的垂直平分线。
知识点二：双曲线与的简单几何性质标准方程图形性质焦点， ，焦距范围，，对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 轴长 实轴长=，虚轴长=离心率 渐近线方程1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦,其长ab 222.2.等轴双曲线等轴双曲线等轴双曲线 : : :当双曲线的实轴长与虚轴长相等即当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b 时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。
其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为3.3.与双曲线与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y 轴上）轴上）4.4.焦点三角形的面积焦点三角形的面积2cot221qb SF PF =D ，其中21PF F Ð=q 5.5.双曲线的焦点到渐近线的距离为双曲线的焦点到渐近线的距离为b.6．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:)0(122<=+mn ny mx 7.7.椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆双曲线根据|MF 1|+|MF 2|=2a根据|MF 1|－|MF 2|=|=±±2aa ＞c ＞0， a 22－c 22=b 22（b ＞0）0＜a ＜c ， c 22－a 22=b 22（b ＞0）， ，（a＞b＞0）（a＞0，b＞0，a不一定大于b）典型例题1、已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为（）D．A．B．C．试题分析：由题意可知，因为渐近线方程为 所以渐近线的方程为 2、已知分别是双曲线的左右焦点，过做垂直于轴的直线交双曲线于两点，若为钝角三角形，则双曲线的离心率的范围是A．B．C．D．试题分析：由题意为钝角三角形，则,所以,又，，所以，所以，所以．考点：双曲线离心率．3、已知双曲线（a>0，b>0）的一条渐近线为，则它的离心率为（）A．B．C．D．试题分析：由已知得，又在双曲线中有，所以得到；故选A．4、若双曲线的两准线间的距离是焦距的，则双曲线的离心率为_________. 试题分析：双曲线的两准线的距离为：，两焦点间的距离为：，根据题意可由：化简为：解得：，所以答案为：. 5、双曲线的离心率 ．试题分析：双曲线即为，其中6、如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A．4B．C．D．试题分析：因为为等边三角形，不妨设，为双曲线上一点，，为双曲线上一点，则，，由，则，在中应用余弦定理得：，得，则7、设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．试题分析：的一条渐近线方程与抛物线只有一个公共点，把代入中，得，由，，则8、过双曲线的右焦点F2的一条弦PQ，|PQ|=7，F1是左焦点，那么△F1PQ的周长为（）A．18B．C．D．试题分析：可化为；由双曲线的定义，得的周长为.9、双曲线的顶点到其渐近线的距离等于_________．试题分析：双曲线的顶点为，渐近线方程为，即；则顶点到其渐近线的距离为. 10、双曲线的离心率，则的取值范围是（）A．B．C．D．试题分析：由题意知，又，∴，∴. 11、双曲线的实轴长是（）A．2B．2C．4D．4试题分析：双曲线方程可变形为，所以. 12、双曲线：的渐近线方程是（）A．B．C．D．试题分析：由双曲线的渐近线方程的公式可知的渐近线方程是．13、斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．试题分析：如图,要使斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，必须且只需即可,从而有所以有离心率,故选D. 14、过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．试题分析：双曲线的焦点在y轴上，通过双曲线的图象与性质可知当直线与双曲线有两交点时直线的斜率k>1或k<-1，因此答案选B。
双曲线知识总结、练习和测试
双曲线知识点总结1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F 1，F 2为两定点，P 为一动点，(1)若||PF 1|-|PF 2||=2a①0<2a<|F 1F 2|则动点P 的轨迹是②2a=|F 1F 2|则动点P 的轨迹是③2a=0则动点P 的轨迹是○42a>|F 1F 2|则动点P 的轨迹是 2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x 轴上的双曲线标准方程x,y 的范围顶点 焦点 对称轴 对称中心 实半轴的长 虚半轴的长 焦距离心率e= 范围 e 越大双曲线的开口越 e 越小双曲线的开口越 准线 渐近线 焦半径公式|PF 1|=|PF 2|= (F 1，F 2分别为双曲线的左右两焦点，P 为椭圆上的一点)（1） 焦点在y 轴上的双曲线标准方程x,y 的范围顶点 焦点 对称轴 实半轴的长 虚半轴的长 焦距 离心率e= 范围 e 越大双曲线的开口越 e 越小双曲线的开口越 准线 渐近线 焦半径公式|PF 1|=|PF 2|= (F 1，F 2分别为双曲线的下上两焦点，P 为椭圆上的一点)1. 等轴双曲线：22(0)x y λλ-=≠特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直y x =±③离心率为2. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线 特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线22221x y a b+=的共轭双曲线是双曲线基础练习1. 双曲线2231x y -=的两条渐近线方程是___________________。
2. 双曲线2221(0)44x y k k +=>-的焦点坐标为__________________。
3. 如果双曲线的一个焦点为(0,3)F -，一条渐近线方程为x y 2=，则此这双曲线的方程是_____________________________。
双曲线知识点归纳与例题分析
双曲线知识点归纳与例题分析双曲线是解析几何中重要的曲线之一，它有着许多特殊的性质和应用。
本文将对双曲线的知识点进行归纳，并结合例题进行分析，帮助读者更好地理解和应用双曲线的相关概念。
一、基本概念双曲线是平面上满足特定几何性质的曲线，由平面上到两个给定的点的距离之差等于一个常数构成。
常见的双曲线方程有两种形式：椭圆型和双曲型。
椭圆型的方程形如：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$，而双曲型的方程形如：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$。
其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
二、性质与特点1. 焦点和准线：双曲线的焦点是曲线上到两个定点的距离之和等于常数的点，而准线是指到两个定点的距离之差等于常数的直线。
在椭圆型的双曲线中，焦点和准线位于曲线的长轴上，而在双曲型双曲线中，焦点和准线位于曲线的短轴上。
2. 渐近线：双曲线的两条渐近线是曲线的一种特殊性质。
渐近线与曲线的距离趋于无穷远，但始终不与曲线相交。
在双曲型的双曲线中，渐近线的斜率等于正负短轴与长轴之比。
而在椭圆型的双曲线中，渐近线的斜率等于正负长轴与短轴之比。
3. 对称性：双曲线具有关于x轴、y轴和原点的对称性。
即在曲线上一点(x, y)处，如果(x, -y)也在曲线上，那么曲线关于x轴对称；如果(-x, y)也在曲线上，那么曲线关于y轴对称；如果(-x, -y)也在曲线上，那么曲线关于原点对称。
三、例题分析下面通过几个例题来加深对双曲线的理解：例题1：已知双曲线的焦点为(2, 0)，离心率为2，求该双曲线的方程。
解析：根据离心率的定义可知，双曲线的离心率e满足$$e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$$，其中a和b分别为双曲线椭圆型方程中长轴和短轴的长度。
因此，代入题目中的离心率2，可以得到2=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}。
解方程可得a=\sqrt{5}，再根据焦点所在的位置可知，椭圆型方程的焦点是位于横轴上的。
双曲线性质总结及经典例题
双曲线性质总结及经典例题双曲线知识点总结1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：.一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）例题分析定义类1，已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116922>=-x y x2双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时，23=a b ，213=e ；当焦点在y轴上时，23=b a ，313=e4 设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）A ．36B ．12C ．312D ．24 解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①又,22||||21==-a PFPF ②由①、②解得.4||,6||21==PF PF,52||,52||||2212221==+F F PF PF为21F PF ∴直角三角形，.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF 故选B 。
1已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．【解题思路】运用方程思想，列关于c b a ,,的方程组 [解析] 解法一：设双曲线方程为22a x －22b y =1.由题意易求c =25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b =1.又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8.故所求双曲线的方程为122x－82y =1.解法二：设双曲线方程为kx -162－ky +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1.2.已知双曲线的渐近线方程是2xy ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； [解析]设双曲线方程为λ=-224y x ，当0>λ时，化为1422=-λλy x ，2010452=∴=∴λλ， 当0<λ时，化为1422=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ，综上，双曲线方程为221205x y -=或120522=-x y3.以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为___________________.[解析] 抛物线x y 382=的焦点F 为)0,32(，设双曲线方程为λ=-223y x ，9)32(342=∴=∴λλ，双曲线方程为13922=-y x【例1】若椭圆()0122 n m ny m x =+与双曲线221x y a b-=)0( b a 有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ）A. a m -B. ()a m -21 C. 22a m -D.am -()121PF PF ∴+=()122PF PF ∴-=±()()()2212121244PF PF m a PF PF m a-⋅=-⇒⋅=-：，故选A.【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键. 【例2】已知双曲线127922=-y x 与点M（5，3），F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使PMPF 21+最小，则P 点的坐标为【分析】待求式中的12是什么？是双曲线离心率的倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =， 右准线为32l x =：.作MN l ⊥于N ，交双曲线右支于P ， 连FP ，则122PF e PN PN PN PF ==⇒=.此时 PM 1375225PF PM PN MN +=+==-=为最小.在127922=-y x 中，令3y =，得212xx x =⇒=±∴0，取x =XY O F(6,0)M(5,3)P N P ′N ′X=32所求P点的坐标为（）.【例3】过点（1，3）且渐近线为x y 21±=的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为()2214x y k -=点（1，3）代入：135944k =-=-.代入（1）： 22223541443535x y x y -=-⇒-=即为所求.【评注】在双曲线22221x y a b -=中，令222200x y x y a b a b-=⇒±=即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为2222x y k a b-=，而无须考虑其实、虚轴的位置.【例7】直线l 过双曲线12222=-b y a x 的右焦点，斜率k =2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是 （ ） A .e >2 B.1<e <3 C.1<e <D.e >5【解析】如图设直线l 的倾斜角为α双曲线渐近线m的倾斜角为β.显然。
双曲线知识点及例题
双曲线知识点及例题一、双曲线的定义平面内到两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）的距离之差的绝对值等于常数\（2a\）（＼（0 ＜2a ＜｜F_1F_2|＼））的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离\（｜F_1F_2|＼）叫做焦距，记为\（2c\）。
二、双曲线的标准方程焦点在\（x\）轴上的双曲线标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2}＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），其中\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
焦点在\（y\）轴上的双曲线标准方程为：＼（＼frac{y^2}｛a^2}＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），其中\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
三、双曲线的几何性质1、范围焦点在\（x\）轴上的双曲线，＼（x\）的取值范围是\（x ＼leq a\）或\（x ＼geq a\）；＼（y\）的取值范围是\（R\）。
焦点在\（y\）轴上的双曲线，＼（y\）的取值范围是\（y ＼leq a\）或\（y ＼geq a\）；＼（x\）的取值范围是\（R\）。
2、对称性双曲线关于\（x\）轴、＼（y\）轴和原点都对称。
3、顶点焦点在\（x\）轴上的双曲线的顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼）；焦点在\（y\）轴上的双曲线的顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼）。
4、渐近线焦点在\（x\）轴上的双曲线的渐近线方程为\（y ＝＼pm ＼frac{b}｛a}x\）；焦点在\（y\）轴上的双曲线的渐近线方程为\（y ＝＼pm ＼frac{a}｛b}x\）。
5、离心率双曲线的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（e ＞ 1\）），它反映了双曲线的开口大小。
四、例题解析例 1：已知双曲线的方程为\（＼frac{x^2}｛9} ＼frac{y^2}｛16} ＝1\），求其顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程和离心率。
双曲线知识点总结及练习题
双曲线知识点总结及练习题Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。
这两个定点叫双曲线的焦点。
要注意两点：（1）距离之差的绝对值。
（2）2a ＜|F 1F 2|。
当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。
2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l （准线2ca ）的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。
这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程（222a c b -=，其中|1F 2F |=2c ）焦点在x 轴上：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）焦点在y 轴上：12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）（1）如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上。
a 不一定大于b 。
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上（2）与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x （3）双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 三、双曲线的性质四、双曲线的参数方程：sec tan x a y b θθ=⋅⎛ =⋅⎝ 椭圆为cos sin x a y b θθ=⋅⎛=⋅⎝五、 弦长公式[提醒]解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的思想方法。