极限论
高等数学中的极限理论
高等数学中的极限理论在高等数学中，极限理论是一门重要的数学概念和工具。
它在数学的各个领域中都有广泛的应用，包括微积分、数值分析、概率论等。
通过研究极限，我们可以更深入地理解数学中的各种概念和定理，也可以解决一些实际问题。
1. 极限的定义与性质极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数或数列在某一点或无穷远处的趋势。
在数学中，我们通常用极限来刻画一些无法直接计算的量或情况。
极限的定义可以用数列的极限来说明。
对于数列{an}，如果存在一个实数a，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n>N时，|an-a|<ε，那么我们就说数列{an}的极限是a，记作lim(an)=a。
极限具有一些重要的性质。
首先，极限是唯一的。
也就是说，如果一个数列的极限存在，那么它只能有一个极限值。
其次，如果一个数列的极限存在，那么它一定是有界的。
这意味着，无论数列的前面有多少项，我们总能找到一个上界和下界，使得数列的所有项都在这个上下界之间。
2. 极限的计算方法在实际计算中，我们常常需要用到一些方法来计算极限。
这些方法包括代数运算法则、夹逼定理、洛必达法则等。
代数运算法则是最基本的计算极限的方法之一。
根据代数运算法则，我们可以对极限进行四则运算、乘法法则、除法法则等。
通过这些法则，我们可以将复杂的极限计算化简为简单的运算。
夹逼定理是一种常用的计算极限的方法。
夹逼定理的基本思想是，如果一个函数在某一点附近被两个函数夹住，并且这两个函数的极限相等，那么这个函数的极限也等于这个共同的极限值。
洛必达法则是一种重要的计算极限的方法。
它适用于求解一些特殊的极限，例如0/0型和∞/∞型。
洛必达法则的核心思想是，如果一个函数的极限是一个不定型，那么我们可以对这个函数进行导数运算，然后再计算导函数的极限。
3. 极限的应用极限理论在数学的各个领域中都有广泛的应用。
在微积分中，极限是微积分的基础，它可以用来定义导数和积分。
极限理论在高等数学中的重要性及发展趋势分析
极限理论在高等数学中的重要性及发展趋势分析引言高等数学是一门重要的学科，对于各个领域的科学研究和工程技术应用都具有重要的支撑作用。
而极限理论作为高等数学的核心概念之一，对于数学的发展和应用具有举足轻重的地位。
本文将探讨极限理论在高等数学中的重要性以及其发展趋势。
一、极限理论的重要性1. 极限理论是高等数学的基石极限理论是高等数学的基础理论之一，它为微积分、函数分析等学科奠定了坚实的基础。
在微积分中，极限理论是导数和积分等概念的基础，使得我们能够对曲线、曲面和函数等进行严密的分析和推导。
2. 极限理论推动了数学的发展极限理论的提出和发展推动了数学的发展，提供了一种关于无限和无穷小的精确描述方法。
它不仅丰富了数学领域的概念和方法，还为其他学科的研究提供了数学分析的工具，如物理学、经济学等。
同时，极限理论也催生了众多新的数学分支和理论，如实变函数、泛函分析等。
3. 极限理论在工程和科学研究中的应用极限理论的应用远不止于数学的领域，它在工程技术和科学研究中有着广泛的应用。
例如，在工程设计中，通过极限理论可以对结构的稳定性和安全性进行分析，帮助工程师设计出更可靠的结构。
在物理学、生物学和化学等科学研究中，极限理论也被广泛应用于模型建立和数据处理等方面。
二、极限理论的发展趋势1. 深入研究极限理论的数学基础随着数学研究的深入，人们对极限理论的数学基础进行了更深入的研究。
数学家们提出了各种各样的极限理论、收敛理论和测度论等，不仅为高等数学提供了更精确的基础，也为数学的发展提供了新的思路和方法。
2. 推广极限理论在无穷维空间的应用随着数学领域的不断发展，无穷维空间的研究成为了一个热点领域。
在无穷维空间中，极限理论的应用具有特殊的意义，它能够描述函数序列和泛函序列的收敛性质。
因此，进一步推广和应用极限理论在无穷维空间中将成为未来的发展趋势之一。
3. 结合计算机技术的应用和发展如今，计算机技术的飞速发展为数学的研究和应用带来了巨大的便利。
数学分析中的极限理论
数学分析中的极限理论数学分析是数学的一个重要分支，它研究的是实数和复数的性质以及它们之间的关系。
而在数学分析的学习中，极限理论是一个非常重要的概念，它是数学分析中的基石之一。
本文将从数学分析中的极限理论入手，探讨其在数学中的重要性和应用。
一、极限的定义和性质在数学分析中，极限是一个基本概念，它描述了一个函数或者数列在自变量趋近于某个值时的行为。
一般来说，我们用符号“lim”来表示极限，用“x→a”表示自变量x趋近于a的过程。
对于函数f(x)，如果存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，那么我们就称函数f(x)在x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
极限具有一些重要的性质。
首先，极限是唯一的。
也就是说，如果一个函数在某个点的极限存在，那么这个极限是唯一的。
其次，极限与函数在该点的取值无关。
也就是说，函数在某个点的极限与该点的函数值无关，只与函数在该点附近的取值有关。
最后，极限与函数在该点的定义无关。
也就是说，函数在某个点的极限只与函数在该点附近的取值有关，而与函数在该点的具体定义无关。
二、极限的计算方法在数学分析中，计算极限是一个非常重要的任务。
对于一些简单的函数，我们可以直接通过代入法来计算极限。
例如，对于函数f(x)=x²，当x趋近于2时，我们可以直接代入x=2，得到f(2)=4，因此lim(x→2)f(x)=4。
对于一些复杂的函数，我们可以通过一些特定的计算方法来求解极限。
例如，对于函数f(x)=sin(x)/x，当x趋近于0时，我们可以通过泰勒展开将sin(x)展开成x的无穷级数，然后利用极限的性质求解。
这种方法被称为泰勒展开法。
此外，我们还可以利用极限的性质和一些常用的极限公式来计算极限。
例如，对于函数f(x)=(1+x)^(1/x)，当x趋近于无穷大时，我们可以利用自然对数的性质和极限的性质来计算。
高等数学分析极限论10
H
组成和变形特征
*将剪力墙集中到房屋的内部或 外部形成封闭的筒体，以此来 承受房屋大部分或全部竖向荷 载和水平荷载所组成的结构体 系称为筒体结构体系
电梯间
窗孔 窗裙梁 立柱
H
*分实腹筒体和空腹筒体两类 窗孔
电梯间
窗裙梁
*变形呈弯剪型
立柱
二、高层建筑结构体系
4. 筒体结构
9000
9000
9000
框架-筒体结构
sin nxdx
0
2
n
cos nx
|0
2[1 (1)n ]
n
f (x) 2[1 (1)n ] sin nx
n 1
n
2[1 (1)n ]
f( )
sin n
2
n 1
n
2
f(
)
2[1 (1)n ]
sin n
2
n 1
n
2
1 f ( ) 2[1 (1)n ] (1)n
2
n 1
dx
cos
x
1
sin
x
dx
2
2
22
2
1
sin(
x)
dx
42
1 2
csc(
4
x )dx 2
1 2
csc( 4
x )dx 2
2 ln | csc( x) cot( x) | C
42
42
(华上p269 #3) (华上p276 #6)
提示：利用Dirichlet判别法。
k
sin nx部分和一致有界，
f
(0)
1[ 2
f
" (1 )(1
极限理论在数学分析中的地位与作用及求极限的方法
极限理论在数学分析中的地位与作用及求极限的方法极限理论是数学分析的核心内容之一，是研究数列、函数序列的发展趋势的重要工具。
极限理论的发展为数学分析提供了有力的工具和方法，广泛应用于微积分、实分析、复分析等领域，并在物理学、工程学等应用科学中有重要的应用。
一、确定函数的发散趋势：极限理论可以帮助我们确定函数在一些特定点或趋向于一些特定值的发散趋势。
通过分析一个函数在其中一点或趋向于其中一点时的极限，可以判断函数在这一点的连续性、可导性等性质。
二、求函数的极限值：极限理论提供了一种有效的方法来求函数的极限值。
通过计算函数在其中一点或趋向于其中一点的极限，可以确定函数在这一点的极值，从而求得函数的最大值和最小值。
三、研究无穷小量与无穷大量：极限理论可以帮助我们研究无穷小量和无穷大量的性质。
在极限理论中，我们可以将无穷小量和无穷大量看作极限过程中的一种特殊情况，通过对它们的极限值的研究，可以得到它们的性质与特点。
四、构建数学分析的基础：极限理论是数学分析的基础，它使我们能够建立数学分析的一系列重要定理和方法。
在实分析中，极限理论被广泛应用于证明微积分的基本定理，如函数的连续性、可导性、积分等性质。
求极限的方法可以分为以下几种：一、直接代入法：对于一些简单的极限问题，可以直接将自变量的值代入函数中进行计算，得到函数在该点的极限值。
例如，对于函数f(x)=x^2，当x趋向于3时，可以直接将x=3代入函数中计算得到f(3)=9，即lim(x→3)f(x)=9二、夹逼定理：夹逼定理是极限理论中一个常用的方法。
当一个函数夹在另外两个函数之间，并且这两个函数的极限值相等时，可以利用夹逼定理求出被夹函数的极限。
例如，对于函数f(x)=x^2和g(x)=x+1，当x 趋向于0时，可以发现f(x)≤x^2+1≤g(x)，且lim(x→0)f(x)=lim(x→0)g(x)=1，根据夹逼定理可得lim(x→0)x^2+1=1三、分子分母去零法：对于一些函数极限存在形如0/0或∞/∞的情况时，可以利用分子分母去零法计算极限。
高数基础知识的简明总结与归纳
高数基础知识的简明总结与归纳
高数，作为数学的一个分支，是许多学科的基础。
本文将简要概述和总结高数中的一些基本概念和定理，以帮助读者更好地理解和掌握这一学科。
一、极限论
极限论是高等数学的基础，它涉及到函数的变化趋势和无穷小量的概念。
极限的定义是：对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当x满足|x-a|<δ时，|f(x)-A|<ε成立，其中a是x的某一取值，A是f(x)在a处的极限。
二、导数与微分
导数是函数在某一点的切线的斜率，表示函数在该点的变化率。
微分则是函数值变化的近似值。
导数在几何上可以表示曲线在某一点处的切线，也可以用于求解函数的极值。
微分法则提供了计算近似值的方法，例如计算函数的增减性、极值等。
三、积分学
积分学包括不定积分和定积分。
不定积分是求函数的原函数的过程，而定积分则是计算曲线与x轴所夹的面积。
定积分的应用非常广泛，例如计算物体的重心、求解变速直线运动的位移等。
四、多元函数微积分
多元函数微积分是高数的又一重要分支，它涉及到多个变量的函数及其极限、连续、可微、可积等概念。
其中，方向导数和梯度表示
函数在多维空间中的变化率，而多元函数的积分则涉及到重积分、曲线积分和曲面积分等。
五、无穷级数与幂级数
无穷级数是无穷多个数相加的结果，它可以用来表示数学中的一些公式和定理。
幂级数是无穷级数的一种特殊形式，它可以用来近似表示一些复杂的函数。
幂级数的收敛性和函数性质是研究幂级数的重要内容。
数学分析的极限理论
数学分析的极限理论数学分析是数学的一个重要分支，它研究的是数学中的极限概念和极限性质。
极限理论是数学分析的核心内容之一，对于理解和应用数学中的各种概念和定理具有重要的作用。
本文将从极限的定义、性质以及在数学分析中的应用等方面进行论述。
1. 极限的定义在数学中，极限可以被简单理解为某一变量逐渐趋近于一个确定的值。
更准确地说，设函数f(x)在某一点a的某个邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，都存在着正数δ，使得当x在(a-δ, a+δ)之间时，有|f(x)-L|<ε，那么我们说L是函数f(x)在x趋近于a时的极限，记作lim(x→a) f(x)=L。
其中，ε 和δ 是任意给定的正数。
2. 极限的性质极限具有一些重要的性质，这些性质对于我们在数学分析中的推导和计算非常有用。
以下是一些常见的极限性质：（1）唯一性性质：如果一个函数在某一点的极限存在，那么它的极限是唯一确定的。
（2）四则运算性质：设函数f(x)和g(x)在某一点a的某个邻域内都有定义，lim(x→a) f(x)=A，lim(x→a) g(x)=B，则有以下性质成立： - lim(x→a) [f(x)+g(x)] = A + B- lim(x→a) [f(x)-g(x)] = A - B- lim(x→a) [f(x)×g(x)] = A × B- lim(x→a) [f(x)/g(x)] = A / B (其中B≠0)（3）复合函数的极限性质：设函数f(x)在a点的某个邻域内有定义，g(x)在b点的某个邻域内有定义，且lim(x→a) f(x) = b，lim(t→b) g(t) = L，则有lim(x→a) g[f(x)] = L。
3. 极限的应用极限理论在数学分析中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：（1）导数和积分：在微积分中，导数和积分是两个基本概念。
极限理论为我们提供了求导和求积分的理论基础，使得我们能够更好地理解和运用这两个概念。
第1章极限理论
数学分析选讲第一章 极限理论§1 极限初论一、 基本内容1. 预备知识(1)函数的定义，构成函数的要素：定义域、对应法则，函数的值域，反函数，函数的四则运算与复合运算. (2)函数的几何特性①有界性 有界与无界的定义. ②单调性 单调递增与递减的概念.③奇偶性 奇偶函数的定义及其图象的对称性，奇偶函数的四则运算性质. ④周期性 周期函数的定义及其函数图象特征，基本周期. (3)初等函数 初等函数在其定义区间上连续. (4)几个重要的非初等函数 ①符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=时当时当时当01000,1)sgn(x x x x ，显然有)sgn(x x x =.②取整函数][x 和尾数函数)(x][x 为x 的最大整数部分，)(x 为x 的非负小数部分，显然有),(][x x x +=且.1)(0,][1<≤≤<-x x x x ③Dirichlet 函数:⎩⎨⎧=为有理数时当为有理数时当x x x D 0,1)(. ④Riemann 函数：⎪⎩⎪⎨⎧=<==无理数当为既约分数），为正整数当,1,00,,(1)(x q pq p q p q p x qx R .2.数列与函数极限的定义(1) εε<->>∃>∀⇔=∞→a a N n N a a n n n 时，有当,0,0lim .(2) ⇔=∞→a a n n lim 在a 的任一领域之外仅含数列}{n a 中的有限项.(3).,0,0),(lim 时，当N n N M a n n >>∃>∀⇔-∞+∞∞=∞→ ),(M a M a M a n n n -<>>有.(4) 有界数列与子列的概念.(5) 时，当δδε<-<>∃>∀⇔=→00,0,0)(lim 0x x a x f x xε<-a x f )(有.(6) a x f x x =+→)(lim 0，a x f x x =-→)(lim 0，a x f x =∞→)(lim ，a x f x =+∞→)(lim 和 a x f x =-∞→)(lim 的定义，上述一系列定义中的极限为∞或∞±的情形.(7)无穷大、小量，高阶、同阶及等价无穷小量的概念.3.收敛数列与函数极限的性质收敛数列有有界性、唯一性、保号性、保不等式性、迫敛性、子列等方面的性质.函数极限的性质有局部有界性、唯一性、局部保号性、局部保不等式性、迫敛性、归结原则等方面的性质.无穷小量的运算性质和等价无穷小量在四则运算方面的性质. 4.数列与函数极限的存在性数列极限的单调有界定理和柯西收敛准则.函数极限的单调有界定理和柯西收敛准则、归结原则. 二、难点解析与重要结果1．一个数集无上界就是没有上界，也即任何实数都不是它的上界2．在关于原点对称区间上有定义的函数必可表示成一个奇函数与一个偶函数的和.3．两个周期函数周期之比为有理数时，则它们的和、差、积、商还是周期函数. 4．)(x D 是以任一有理数为周期的周期函数，且无最小正周期.5．)(x xD 仅在0=x 处连续，在其它点处都不连续.类似的)())((21x D x x x x --仅在21,x x x =处连续，在其它点处都不连续.6．)(x R 在)1,0(中的任一无理数点处连续，任一有理数点处不连续. 7．)(x R 在]1,0[上可积，且其积分值为0.8．⎪⎩⎪⎨⎧=<==无理数当为既约分数），为正整数当,1,00,,()(1x q pq p q p q p x qx R 为]1,0[上在任一点的任一邻域内无界的函数.9． 定义（1）中的ε具有双重属性，任意性用来保证n a 与a 之间的距离可任意小，相对稳定性用来寻找N ，N 相应于ε产生，但不是ε的函数.在定义中N 添加条件ε≥-a a N ,则定义没有发生变化，此时N 唯一决定于ε，即为ε的函数，只不过在按照定义证明问题时的难度变大了.10. 定义（1）和（2）分别从定量和定性两个方面刻画了数列}{n a 以a 为极限的事实,在证明极限时多使用定义（1），但有时使用定义（2） 来证明会更简捷.例如，证明：若a a a a n n n n ==+∞→∞→122lim ,lim ，则a a n n =∞→lim .11. 以∞或∞+-为极限的数列是一类特殊数列，要注意它与发散数列和无界数列之间的区别与联系. 一般地，趋于无穷的数列必无界，无界数列未必趋于无穷，但无界数列必有趋于无穷的子列，无界且非无穷大数列必既有收敛子列又有趋于无穷的子列.函数的无穷大量与数列有类似的性质.12. 定义（5）中的δ与定义（1）中的N 的性质类似.13. a a n n ≠∞→lim 的定义将a a n n =∞→lim 反过来,在a a n n =∞→lim 的定义中,对所有的ε都能找到一个N ，使得当N n >时有ε<-a a n 成立,将上面的陈述反过来即为,有这样的一个0ε,找不到满足要求的N ,即所有的N 均不满足要求,也即对所有的N 都能找到n ,这个n 依赖于N ,满足N n >,但有0ε≥-a a n .一般地，由a a n n ≠∞→lim 可得，数列}{n a 的 一个子列}{k n a ，使得0ε≥-a a k n .14. a x f x x ≠→)(lim 0的定义为δδεx ∃>∀>∃,0,00，使得δδ<-<00x x ，但有0)(εδ≥-a x f .一般地，由a x f x x ≠→)(lim 0可得，存在数列}{n x 使得00,x x x x n n ≠→，但有0)(ε≥-a x f k n .15. 有界数列不一定收敛，但有界数列至少有两个收敛于不同极限的子列；任何数列必有单调子列.16. 由保号性的证明知若m n n n n n b a N m n N b a b b a a >>∃>==∞→∞→有时当，则且,,,,lim ,lim ；进一步地有n n b ba a N n N >+>>∃2有时，当，. 17. 迫敛性与定义之间的联系，极限的定义中在寻找)(δN 时由于不一定要求最小（大 ）的)(δN 可以对不等式进行适当的放大，且一般是双侧同时放大，而迫敛性告诉我们在放大时也可以两侧分别放大. 18. 单调数列收敛的充分必要条件是它有一收敛子列.19. 归结原则的条件可减弱为：)(lim 0x f x x -→存在的充分必要是任一严格递增趋于0x 的数列}{n x ，其对应的函数值组成的数列)}({n x f 均收敛.20. 由柯西收敛准则的逆否命题知,若数列}{n a 发散,则00>∃ε,存在}{n a 的两个子列}{k n a 和}{k m a 使得0ε≥-kk m n a a .若)(lim 0x f x x →不存在,则00>∃ε,存在00,x y x x n n →→,但0)()(ε≥-n n y f x f 21. 若a a n n =∞→lim ，则a na a a nn =++∞→ 21lim.22. 若0>n a ，且a a n n =∞→lim ，则a a a a n n n =∞→ 21lim .23. 设k a a a ,,,21 均为正实数，则},,,max{lim 2121k n nk n n n a a a a a a =+++∞→.24. Stolz 公式设}{n a 严格递增，}{n b 为任一数列，且+∞=∞→n n a lim ，若=--++∞→n n n n n a a b b 11lim ⎪⎩⎪⎨⎧∞-∞+a ，则=∞→n n n a b lim ⎪⎩⎪⎨⎧∞-∞+a. 设}{n a 严格递减，且0lim =∞→n n a ，0lim =∞→n n b若=--++∞→n n n n n a a b b 11lim ⎪⎩⎪⎨⎧∞-∞+a ，则=∞→n n n a b lim ⎪⎩⎪⎨⎧∞-∞+a.25.)!1(1n o n n=，)1(,)1(!1>=a ao n n ，)0,1(,)1(1>>=k a n o a kn ，)0,0(,)ln 1(1>>=k n o n k αα， ,)0,0(,))(ln ln 1(ln 1>>=k l n o n k l . 26. 等价无穷小量的来源主要为taylor 公式和函数的幂级数展开式.三、基本题型与方法1．用极限的定义证明极限（1）直接解不等式ε<-a a n （ε<-a x f )(），得最小（大）的)(δN . （2） 有时直接解不等式ε<-a a n 较困难，由于定义中没要求求最小的N ，故可将a a n -进行适当的放大，如)(n h a a n <-，然后解不等式ε<)(n h 得1N ，一般地1N 不是最小的N ，但最小的N 是存在的。
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让我们开始吧。
我们从某个函数f x （）和x 轴上的一点出发，该点我们称之为a 。
我们想要理解的是：当x 真的非常接近于a ，但不等于a 时，f x （）是什么样子？这是一个非常奇怪的问题。
这里有一个例子显示了为什么我们想要提出这样的问题。
令f x （）的定义域为除2以外的所有实数，并设f x =x （）-1，即 f x =x x ≠（）-1，（2）图像如下：这看起来好像是一个古怪的函数。
毕竟，到底为什么我们要将2从定义域中去除掉呢？那么，f 2（）是什么呢？或许你会说f 2=（）1，但那只是投机，因为2根本不在定义域中。
你所能做的最好的就是说f 2（）是无定义的。
另一方面，当x 真的非常接近于2的时候，我们可以找到一些的f x （）值，并看看将会有什么发生.例如，()2.011f 1.0=,()f 1.90.9=如果你想一下的话，你会发现当x 真的非常接近于2的时候,f x （）的值会真的接近于1。
令x 充分接近2,f x （）可以尽可能地接近1，但不是真的达到1。
这时候，极限就诞生了。
2lim f x =1x →（）如果你将它读出来，那应该是“当x 趋于2, f x （）的极限等于1”或“当x 趋于2，f x （）收敛于1”这意味着，当x 接近于2（但不等于2）时，f x （）的值接近于1。
到底有多近呢？你想要多近就能多近。
现在，我们取上述函数f x （）并对它作一点改动。
假设有一个新的函数g x （），图像如下：易知函数g x （）的定义域是所有实数，呢么，这里，2lim g x x →（）是什么呢？这里的小诀窍是g 2（）的值和该极限是不相关的！只有那些在x 接近于2时的g x （）的值（而不是x 在2处的值）才是问题的关键。
如果我们忽略 x = 2，函数g x （）和我们之前看到的函数f x （）就是完全相同的。
因此，尽管g 2=（）3，我们还是会有2lim g x =1x →（）。
我们看到，极限描述了函数在一个定点附近的行为。
想想看，如何来描述h x （）在x=3附近的行为。
当然，就极限行为而言，事实上()h 32=是无关紧要的。
现在，当你从左侧接近于= 3时会发生什么呢？想象一下，你是一张图片中的远足者，爬山下山。
h x （）的值会告诉你，当你的水平位置是x 时，你的高度是多少。
因此，如果你从图片的左边向右走，那么，当你的水平位置接近于3时，你的高度就会接近于1。
当然，当你到达x=3(不是说在你上方的那个古怪的小突起）时就会有一个陡然下降，但此时我们对此并不关心。
任何在x=3右侧的值，包含x=3本身对应的值，都是无关紧要的。
因此,我们就看到了h x （）在x=3的左极限就等于1。
另一方面，如果你从图片的右边向左走，那么，当你的水平位置接近于x=3时，你的高度就会接近于-2。
这就是说h x （）在x=3的右极限就等于-2。
任何在x=3左侧的（包含x=3本身）值都是无关紧要的。
现在，我们可以将上述发现总结如下：3lim h x =1x -→（）及3lim h x =-2x +→（）在上面第一个极限中3后的小减号表示该极限是一个左极限，在上面第二个极限中3后的小加号表示该极限是一个右极限。
要在3的后面写上减号或加号,而不是在前面，这是非常重要的！例如，如果你写成：3lim h x x →-（），那么，你指的就是h x （）在x=3-时的双侧极限（就是通常说的“极限”），而不是h x （）在x=3-时的左极限。
这是两个完全不同的概念。
顺便说的是，在左极限的极限符号底下写x3-→的理由是此极限只涉及小于3的x 的值。
也就是说，你只需要在3上减一点点来看会有什么情况发生。
类似地，对于右极限，当你写x3+→的时候，这意味着你只需要考虑如果在3上加一点点会有什么情况发生。
有极限存在，就不可避免的需要考虑极限不存在，需要记住，只有当当相应的左极限和右极限相等时双侧极限才存在。
这里有一个更戏剧性的例子。
函数1f x =x （）， 图像如下：那么，此函数lim f x x →（）是什么呢？期望双侧极限在那里存在有点不大可能。
因此，我们先来试着求一下左极限和右极限， 很容易知道lim f x =x -→∞（）-，0lim f x =+x +→∞（）由于左极限和右极限不相等，故双侧极限当然不存在。
另一方面,我们考虑函数21g x =x （），图像如下：此函数在x=0处的左极限和右极限都是+∞,因此你也可以说201lim =x x →+∞。
记住，若是极限为无穷也说极限是不存在的，此时，函数“发散”。
在极限论里面，还有一个“夹逼准则”，内容是这样的：如果一个函数f x （）被夹在函数g x （）和h x （）之间，当x a →时，函数g x （）和h x （）都收敛于同一个极限，那么，当x a →时，f x （）也收敛于该极限。
这里是对该定理的一个更精确的描述。
假设，对于所有的在a 附近的x ，我们都有g x f x h x ≤≤（）（）（），即f x （）被夹在（或被挤在）g x （）和h x （）之间。
此外，我们假设alim g x =Lx →（）并且al i m h x =Lx →（）。
那么，我们可以得出结论：alim f x =Lx →（）即当x 时，所有三个函数有相同的极限。
像往常一样，图像会告诉我们一切。
下面，举个例子来说明一下夹逼准则的用法。
证明：0lim cos x=1x →事实上，当0x 2π<<时，222x x x 0cos x 1=1-cos x=2sin 2=222<-<（），即2x 01-cos x 2<<。
当x 0→时，2x 02→，由夹逼准则得lim 1cos x =0x →-（），即lim cos x=1x →。
此外，除了x a →时的极限，还有一种极限是需要研究的，那就是x →∞时的极限。
那就是x →+∞时的极限：x →-∞时的极限：DNE 即表示极限不存在，但一般不写“DNE ”，直接写“极限不存在”。
至于如何求极限，给你发过的一个文档里已经说过了，就不再赘述了。
其余的，还有极限的运算法则什么不是很难的，你就自己看看书吧。
剩下来，介绍两个比较重要的极限以及它们的运用：第一个：0sin xlim =1x x →第二个：x 1lim 1=e x x →∞+（）运用：000sin x sin x sin x lim =lim =lim =x x x x x x ωωωωωωωω→→→（*为乘号）（其实上两题可以用“洛必达法则”求解）1x212t t 2x0t t lim 12x 10x112x==2t x 0t t x 11lim 12x =lim 1=lim 1=e t t x x x →→→∞→∞+→→∞→⇔→∞⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦（）因为，所以（按照严格来说，这里应该分正负无穷，分类讨论，若只是草稿，就随便啦）令，则，则则（）（）（）。
00000000sin 2x sin 2x x 2sin 2x 5x 2sin 2x 12sin 2x 12lim=lim =lim *lim =lim *lim =lim *=5sin5x 5sin5x sin5x x sin5x 2x 5sin5x 2x 2x 5lim55x x x x x x x x →→→→→→→→（）1x11-t t 1x0t t lim 1x 10x11x==-t x 0t t x111lim 1x =lim 1=lim 1=e =t t e x x x →--→→∞→∞-→→∞→⇔→∞⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（）因为，所以（按照严格来说，这里应该分正负无穷，分类讨论，若只是草稿，就随便啦）令-，则，则则（）（）（）这两个极限的其余题型与此例题都是大同小异。
记住，遇到00∞∞或类型的极限时，就用洛必达法则，虽然有时候计算有点烦，但是不需要思考，不需要拆来拆去的，如果你会拆，还是推荐拆和洛必达法则一起用。
下面说说函数的连续性 何为连续函数？让我们瞧一瞧这三条到底说的啥。
条件一的意思是，我们所考虑的这个点x=a 的确落在此函数定义域内。
如果函数f x =x （），我们就不能问它在x=4-是否连续，因为这个函数在负数上根本没有定义。
条件二的意思是说，当x 从的左右两边向a 趋近时，该函数的值会向某个值趋近。
（）所趋近的那个值，就等于它在a那一点的函数条件三说的是，f x值。
这三点解释了之后还是看了就费劲，下面，举个例子吧。
如上图，如果一个函数能够不中断的继续下去，我们就说它是连续的。
再把例子搞得实际一点，当我们画这些图像时，笔尖用不着离开纸面，一笔到底、一气呵成.但是上图里面的两个图像就不一样了，我们不能用一个连续动作把它们画出来。
这两个图形都是在x=2的那一点出了问题，对此，我们就说该函数在x=2是“不连续的”。
不连续函数主要有以下三点：缺了一点的不连续函数错开一步的不连续函数具有一个无穷大极限值的不连续函数好了，极限到此全部结束。
有什么不懂的，就来问我。