16专题十六 函数
专题十六 函数
1．(2013年新课标理数全国卷1) 已知函数f (x )＝
????? －x 2＋2x x ≤0ln(x ＋1) x ＞0，若| f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )
A 、（－∞，0]
B 、（－∞，1]
C 、[－2，1]
D 、[－2，0]
2．(2013年新课标理数全国卷2)设a=log 36,b=log 510,c=log 714,则( )
（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a （C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c
3．(2014年新课标理数全国卷2)设函数()(),f x g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A ．()()f x g x 是偶函数
B ．()()f x g x 是奇函数
C ．()()f x g x 是奇函数
D ．()()f x g x 是奇函数
4．(2015年新课标理数全国卷2)设函数
,
( )
（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12
5．(2016年新课标理数全国卷1）若10
1a b c >><<，，则( ) （A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < 6．(2016年新课标理数全国卷2）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x
+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ??? 则1()m
i i i x y =+=∑( )
（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m
7．(2016年新课标理数全国卷3）已知432a =，254b =，13
25c =，则是
( )
（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b <<
8．(2017年新课标理数全国卷1）．函数在单调递减，且为奇函数．，则满足的取值范围是( )
A ．
B ．
C ．
D ． 9．(2017年新课标理数全国卷1）．设xyz 为正数，且，则是( )
A ．2x <3y <5z
B ．5z <2x <3y
C ．3y <5z <2x
D ．3y <2x <5z 10．(2018年新课标理数全国卷1）．已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是（ ）
A ．[–1，0）
B ．[0，+∞）
C ．[–1，+∞）
D ．[1，+∞） 11．(2018年新课标理数全国卷2）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ）
A ．
B ．0
C ．2
D ．50
12．(2018年新课标理数全国卷3）设，，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
13．(2019年新课标理数全国卷1）．已知
0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，，则（ ）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．b c a <<
14．(2019年新课标理数全国卷2）若a>b ，则（ ）
A ．ln(a ?b)>0
B ．3a<3b
C ．a3?b3>0
D ．│a│>│b│
()f x (,)-∞+∞(11)f =-21()1x f --≤≤x [2,2]-[1,1]-[0,4][1,3]235x y z ==e 0()ln 0x x f x x x ?≤=?>?，，，，
()()g x f x x a =++()f x (,)-∞+∞(1)(1)f x f x -=+(1)2f =(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…50-0.2log 0.3a =2log 0.3b =0a b ab +<<0ab a b <+<0a b ab +<<0ab a b <<+
15．(2019年新课标理数全国卷2）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是（ ）
A ．9,4??-∞ ???
B ．7,3??-∞ ???
C ．5,2??-∞ ??
? D ．8,3??-∞ ??? 16．(2019年新课标理数全国卷3）．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞单调递减，则（ ）
A ．f
（log314）＞f （322-）＞f （232-） B ．f （log314
）＞f （232-）＞f （322-） C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log314
） D ．f （2
32-）＞f （322-）＞f （log31
4） 17.(2014年新课标理数全国卷2)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是________．
18.(2015年新课标理数全国卷1)若函数f (x )＝x ln (x
为偶函数，则a ＝
19．(2017年新课标理数全国卷3）设函数
1,0,()2,0,+?=?>?x x x f x x ≤则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________．
20．(2019年新课标理数全国卷2）．已知()f x 是奇函数，且当0
x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.
高三数学第二轮专题讲座复习：求解函数解析式的几种常用方法
1 / 4 张喜林制 [选取日期] 高三数学第二轮专题讲座复习：求解函数解析式的几种常用方法 高考要求 求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视 本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力 重难点归纳 求解函数解析式的几种常用方法主要有 1 待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法； 2 换元法或配凑法，已知复合函数f ［g (x )］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法； 3 消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f (x ); 另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法 典型题例示范讲解 例1 (1)已知函数f (x )满足f (log a x )=)1(1 2x x a a -- (其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式 (2)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,求f (x ) 命题意图 本题主要考查函数概念中的三要素 定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力 知识依托 利用函数基础知识，特别是对“f ”的理解，用好等价转化，注意定义域 错解分析 本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错 技巧与方法 (1)用换元法；(2)用待定系数法 解 (1)令t=log a x (a >1,t >0;01,x >0;0 （聚焦 2008 ）第 8 讲：二次函数专题讲座 （一）二次函数的解析式的三种形式 （1）标准式： y=ax 2 +bx+c （ a≠0 ）； （2）顶点式： y=a （ x+m ）2 +n （ a≠0 ）； （3）两根式： y=a （ x － x 1）（ x－ x 2）（ a ≠ 0 ） 【例 1】已知二次函数y=f（ x）同时满足条件：（1）f（ 1+x）= f（1－ x）； （2） y=f （ x）的最大值是１５；（ 3） f （ x）＝０的两根立方和等于１ ７。求 y＝ f （ x）的解析式。 （二）二次函数的基本性质 （ 1）二次函数f（ x）=a x2 +bx+c （ a ≠０）的图像是一条抛物线，对称 轴方程为 x ＝－ b ，顶点坐标是（－ b ， 4ac b2 ）。2a 2a 4ac 当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上，函数在(－∞，－b ] 上递减，在 [ － b ，2a 2a ＋∞ ) 上递增。 当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，函数在(－∞，－b ] 上递增，在 [ － b ，2a 2a ＋∞ ) 上递减。 （ 2）直线与曲线的交点问题： ①二次函数f（ x）=ax 2 +bx+c （ a ≠０），当＝ b2－４ ac＞0 时，图像与 x 轴有两个交点Ｍ１（x１，０）Ｍ２（x２，０），于是 ｜Ｍ１Ｍ２｜＝｜ x１－ x２｜＝。 | a | ②若抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）与直线y=mx+n ，则其交点由二方程组成的方程组的解来决定，而方程组的解由一元二次方程ax 2 +bx+c =mx+n ，即 px 2 +qx+r=0的解来决定，从而将交点问题归结为判定一元二 次方程的判别式的符号决定。 特别地，抛物线与x 轴的交点情况由ax 2 +bx+c=0 的解的情况决定，于是也归结为判定一元二次方程ax 2 +bx+c = 0 的判别式的符号问题。 高中数学复习专题讲座 求函数值域的常用方法及值域的应用 高考要求 函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一 本节主要帮助考生灵活掌 握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题 重难点归纳 (1)求函数的值域 此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、图象法、 换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域 (2)函数的综合性题目 此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强 (3)运用函数的值域解决实际问题 此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力 典型题例示范讲解 例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm 2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的 上、下各留8 cm 的空白，左右各留5 cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？ 如果要求λ∈［4 3, 32］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？ 命题意图 本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知 识解决实际问题的能力 知识依托 主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识 错解分析 证明S (λ)在区间［4 3, 32］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转 化为函数的最值问题来解决 技巧与方法 本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决 解 设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx 2=4840,设纸张面积为S cm 2 , 则S =(x +16)(λx +10)=λx 2+(16λ+10)x +160, 将x = λ 10 22代入上式得 S =5000+4410 (8λ+ λ 5 ), 高中数学复习专题讲座函数的连续及其应用 高考要求 函数的连续性是新增加的内容之一 它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起 在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点 本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系 重难点归纳 1 深刻理解函数f (x )在x 0处连续的概念 等式lim 0 x x →f (x )=f (x 0)的涵义是 (1)f (x 0)在x =x 0处有定义，即f (x 0)存在； (2)lim 0 x x →f (x )存在，这里隐含着f (x )在点x =x 0附近有定义； (3)f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值，即lim 0 x x →f (x )=f (x 0) 函数f (x )在x 0处连续， 反映在图像上是f (x )的图像在点x =x 0处是不间断的 2 函数f (x )在点x 0不连续，就是f (x )的图像在点x =x 0处是间断的 其情形 (1)lim 0x x →f (x )存在；f (x 0)存在，但lim 0 x x →f (x )≠f (x 0); (2)lim 0x x →f (x )存在，但f (x 0)不存在 (3) lim 0 x x →f (x )不存在 3 由连续函数的定义，可以得到计算函数极限的一种方法 如果函数f (x )在其定义区间内是连续的，点x 0是定义区间内的一点，那么求x →x 0时函数f (x )的极限，只要求出f (x )在点x 0处的函数值f (x 0)就可以了，即lim 0 x x →f (x )=f (x 0) 典型题例示范讲解 例1已知函数f (x )=242+-x x , (1)求f (x )的定义域，并作出函数的图像； (2)求f (x )的不连续点x 0; (3)对f (x )补充定义，使其是R 上的连续函数 命题意图 函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图像上有最直观的反映 因而画函数图像去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法 知识依托 本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确画出它的图像 错解分析 第(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义的了解 应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式 技巧与方法 对分式化简变形，注意等价性，观察图像进行解答 解 (1)当x +2≠0时，有x ≠－2 因此，函数的定义域是(－∞,－2)∪(－2,+∞) 当x ≠－2时，f (x )=2 42+-x x =x －2, 其图像如上图 . 幂指对函数复习专题讲座 一．幂函数 1.定义形如αx y =的函数叫幂函数，其中α为常数，在中学阶段只研究α为有理数的情形. 2.幂函数互质）q p p q n Q n x y n ,,,(= ∈=的性质如表1-1. 3.根据幂函数在第一象限内图像的特点分析幂函数q p y x =的性质. （1）图的增大，函数图像向y 轴方向延伸.（2） 在第一象限是增函数. （3） 1q p =时，图像是直线y=x 。在第一象限内是增函数.（在整个定义域内都是增函 数.） （4）10q p >>时,随x 的增大，函数图像向x 轴方向延伸.在第一象限是增函数. （5）0q p <时，随x 的增大，函数图像与x 轴、y 轴无限接近，但永不相交。在第一象 限是减函数. 二．指数函数和对数函数 1.幂的有关概念： (1)规定：① ∈???=n a a a a n ( N *);② )0(10≠=a a ; n 个 ③∈=-p a a p p (1Q ）;④m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n (2)指数运算性质： ①r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）;②),,0(Q s r a a a a s r s r ∈>=-； ③r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）;④∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）; ⑤),0,0(Q s b a b a b a s s s ∈>>=??? ??.（注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 2．对数的概念： (1)定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数. ①以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ， ②以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log 记作N ln (2)基本性质： ①真数N 为正数（负数和零无对数）; ② 01log =a ; 1 / 4 张喜林制 [选取日期] 高三数学第二轮专题讲座复习：函数的连续及其应用 高考要求 函数的连续性是新增加的内容之一 它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起 在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点 本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系 重难点归纳 1 深刻理解函数f (x )在x 0处连续的概念 等式lim 0 x x →f (x )=f (x 0)的涵义是 (1)f (x 0)在x =x 0处有定义，即f (x 0)存在； (2)lim 0 x x →f (x )存在，这里隐含着f (x )在点x =x 0附近有定义； (3)f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值，即lim 0 x x →f (x )=f (x 0) 函数f (x )在x 0处连续， 反映在图象上是f (x )的图象在点x =x 0处是不间断的 2 函数f (x )在点x 0不连续，就是f (x )的图象在点x =x 0处是间断的 其情形 (1)lim 0x x →f (x )存在；f (x 0)存在，但lim 0 x x →f (x )≠f (x 0); (2)lim 0x x →f (x )存在，但f (x 0)不存在 (3) lim 0 x x →f (x )不存在 3 由连续函数的定义，可以得到计算函数极限的一种方法 如果函数f (x )在其定义区间内是连续的，点x 0是定义区间内的一点，那么求x →x 0时函数f (x )的极限，只要求出f (x )在点x 0处的函数值f (x 0)就可以了，即lim 0 x x →f (x )=f (x 0) 典型题例示范讲解 例1已知函数f (x )=2 42+-x x , (1)求f (x )的定义域，并作出函数的图象； (2)求f (x )的不连续点x 0; (3)对f (x )补充定义，使其是R 上的连续函数 命题意图 函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映 因而画函数图象去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法 知识依托 本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确画出它的图象 错解分析第(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义的了解 应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式 技巧与方法 对分式化简变形，注意等价性，观察图象进行解答 解 (1)当x +2≠0时，有x ≠－2 因此，函数的定义域是(－∞,－2)∪(－2,+∞) 当x ≠－2时，f (x )=2 42+-x x =x － 2, 题目高中数学复习专题讲座函数图象及图象性质的应用 高考要求 函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用 因此，考生要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质 重难点归纳 1 熟记基本函数的大致图象，掌握函数作图的基本方法 (1)描点法 列表、描点、连线；(2)图象变换法 平移变换、对称变换、伸缩变换等 2 高考中总是以几类基本初等函数的图象为基础来考查函数图象的 题型多以选择与填空为主，属于必考内容之一，但近年来，在大题中也有出现，须引起重视 典型题例示范讲解 例1对函数y =f (x )定义域中任一个x 的值均有f (x +a )=f (a －x ), (1)求证y =f (x )的图象关于直线x =a 对称； (2)若函数f (x )对一切实数x 都有f (x +2)=f (2－x ),且方程f (x )=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和 命题意图 本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题 知识依托 把证明图象对称问题转化到点的对称问题 错解分析 找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化 技巧与方法 数形结合、等价转化 (1)证明 设(x 0,y 0)是函数y =f (x )图象上任一点，则y 0=f (x 0), ∵2 )2(00x x a +-=a , ∴点(x 0,y 0)与(2a －x 0,y 0)关于直线x =a 对称， 又f (a +x )=f (a －x ), ∴f (2a －x 0)=f ［a +(a －x 0)］=f ［a －(a －x 0)］=f (x 0)=y 0, ∴(2a －x 0,y 0)也在函数的图象上， 故y =f (x )的图象关于直线x =a 对称 (2)解 由f (2+x )=f (2－x )得y =f (x )的图象关于直线x =2对称， 若x 0是f (x )=0的根，则4－x 0也是f (x )=0的根， 若x 1是f (x )=0的根，则4－x 1也是f (x )=0的根， ∴x 0+(4－x 0)+ x 1+(4－x 1)=8 即f (x )=0的四根之和为8 例2如图，点A 、B 、C 都在函数y =x 的图象上，它们 的横坐标分别是a 、a +1、a +2 又A 、B 、C 在x 轴上的射影 分别是A ′、B ′、C ′,记△AB ′C 的面积为f (a ),△A ′BC ′ 的面积为g (a ) 【专题讲座】导数与恒成立问题 【例1】已知函数21()ln (0)2 f x a x x a =+ >，若对任意两个不等的正数12,x x ，都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，求实数a 的取值范围。 【解答】不妨设120x x >>，则1212 ()()2f x f x x x ->-等价于1122()2()2f x x f x x ->-。设()()2,(0,)g x f x x x =-∈+∞，则12()()g x g x >恒成立，即()g x 在(0,)+∞上单调递增， 所以'()20a g x x x =+-≥在(0,)+∞上恒成立，故22a x x ≥-在(0,)+∞上恒成立，而2max (2)1x x -=，所以1a ≥。 【定理】设非常量函数()y f x =在[,]a b 内连续，在(,)a b 上可导，则对于(,)a b 上的任意两个不等实 数12,x x ，不等式1212 ()()f x f x m x x ->-恒成立?对于(,)a b 上任意实数x ，不等式'()f x m ≥恒成立。 【证明】不妨设12,()(),(,)x x g x f x mx x a b >=-∈。对于(,)a b 上的任意两个不等实数12,x x ，不等式1212 ()()f x f x m x x ->-恒成立112212()()()()()f x mx f x mx g x g x g x ?->-?>?在(,)a b 上单调递增'()0g x ?≥在(,)a b 上恒成立'()f x m ?≥在(,)a b 上恒成立。 【练习】已知函数2()ln(1)f x a x x =+-，任取12,(0,1)x x ∈且12x x ≠，不等式1212 (1)(1)1f x f x x x +-+>-恒成立，则实数a 的取值范围是 15a ≥ 【例2】已知函数2()2ln f x x x a x =++，当1t ≥时，不等式(21)2()3f t f t -≥-恒成立，求实数a 的取值范围。 【解答】由已知得22(21)2(21)ln(21)242ln 3t t a t t t a t -+-+-≥++-恒成立，2222ln(21)422ln ,ln(21)2(21)(ln 2)t a t t a t a t t a t t +-≥-+---≥-，令()l n 2(1)g x a x x x =->，则2(21)()g t g t ->，当1t >时，22(21)(1)0t t t --=->，所以2(21)0t t >->，故()g x 在(1,)+∞上单调递减，所以'()20a g x x =-≤在(1,)+∞上恒成立。即2a x ≤在(1,)+∞上恒成立，所以2a ≤。 10、题目 高中数学复习专题讲座：函数图像及图像性质的应用 高考要求 函数的图像与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用 因此，考生要掌握绘制函数图像的一般方法，掌握函数图像变化的一般规律，能利用函数的图像研究函数的性质 重难点归纳 1 熟记基本函数的大致图像，掌握函数作图的基本方法 (1)描点法 列表、描点、连线；(2)图像变换法 平移变换、对称变换、伸缩变换等 2 高考中总是以几类基本初等函数的图像为基础来考查函数图像的 题型多以选择与填空为主，属于必考内容之一，但近年来，在大题中也有出现，须引起重视 典型题例示范讲解 例1对函数y =f (x )定义域中任一个x 的值均有f (x +a )=f (a －x ), (1)求证y =f (x )的图像关于直线x =a 对称； (2)若函数f (x )对一切实数x 都有f (x +2)=f (2－x ),且方程f (x )=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和 命题意图本题考查函数概念、图像对称问题以及求根问题 知识依托把证明图像对称问题转化到点的对称问题 错解分析找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化 技巧与方法 数形结合、等价转化 (1)证明 设(x 0,y 0)是函数y =f (x )图像上任一点，则y 0=f (x 0), ∵ 2 )2(0 0x x a +-=a , ∴点(x 0,y 0)与(2a －x 0,y 0)关于直线x =a 对称， 又f (a +x )=f (a －x ), ∴f (2a －x 0)=f ［a +(a －x 0)］=f ［a －(a －x 0)］=f (x 0)=y 0, ∴(2a －x 0,y 0)也在函数的图像上， 故y =f (x )的图像关于直线x =a 对称 (2)解 由f (2+x )=f (2－x )得y =f (x )的图像关于直线x =2对称， 若x 0是f (x )=0的根，则4－x 0也是f (x )=0的根， 若x 1是f (x )=0的根，则4－x 1也是f (x )=0的根， ∴x 0+(4－x 0)+ x 1+(4－x 1)=8 即f (x )=0的四根之和为8 例2如图，点A 、B 、C 都在函数y =x 的图像上，它们的横坐标分别是a 、a +1、a +2 又 A 、 B 、 C 在x 轴上的射影分别是A ′、B ′、C ′,记△AB ′C 的面积为f (a ),△A ′BC ′的面积为g (a ) (1)求函数f (a )和g (a )的表达式； (2)比较f (a )与g (a )的大小，并证明你的结论 命题意图本题考查函数的解析式、函数图像、识图能力、图形的组合等 成都市树德中学2010级数学专题讲座1 函数的性质 专题讲座1 函数的性质 （一）函数的有关概念 1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意：○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 定义域补充 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础. (3).求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等. 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象． C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y 为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A } 图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成. (2) 画法 A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法（请参考必修4三角函数） 常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。 4．快去了解区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．5．什么叫做映射 专题讲座和课后习题重点难点讲解 )()()()()()()()(11 11011 110t e E t e dt d E t e dt d E t e dt d E t r C t r dt d C t r dt d C t r dt d C m m m m m m n n n n n n ++++=++++------ （1） 式 系统用这个n 阶的线性时不变微分方程表示。 （一） 从-0到+ 0状态的转换有两条规律： （1）当电路中无冲激电流(或阶跃电压)作用于电容时，则换路前后电容两端的电压不会发生突变，)0(+C v = )0(-C v ；当电路中无冲激电压 (或阶跃电流)作用于电感时，则换路前后电感中电流不会发生突变， )0(+L i = )0(-L i （2）“标准”的微分方程右端自由项中包含δ(t)及其各阶导数，则-0到+ 0状态发生了跳变，即.等等)0()0(或)0()0(-+-+'≠'≠r r r r ，否则不 会跳变。 在结合书中例题分析后，再请同学回答习题2-5，是否有跳变。 （二） 冲激函数匹配法求+ 0状态 着重讲解习题2-5（3）小题后，让学生自己做习题2-5（1）和（2） 习题2-5（3）：222()3()4()()d d d r t r t r t e t dt dt dt ++= ，若激励信号为 )()(t u t e =, 起始状态为(0)1,(0)1r r --'==，求(0)(0)r r ++'和 冲激函数匹配法求解系统的+0状态一般方法是： 将激励信号()e t 代入系统的微分方程（1）式并整理后，得到-0到 +0期间的微分方程为 1 011 11 0111()()()()()()()()() n n n n n n l l l l l l d d d C r t C r t C r t C r t dt dt dt d d d B t B t B t B t D u t dt dt dt δδδδ------++++=+++++? ， (-0 二次函数综合题一览 抛物线中的面积问题 1.c bx x y ++=2的对称轴在y 轴的右侧，抛物线与y 轴交于Q （0，-3），与x 轴的交点为 A 、 B ，顶点为P ，S △PAB 的面积是8，求解析式。 2.已知抛物线12)1(2-++-=k kx x k y ，⑴k 为何值时，抛物线与x 轴无交点；⑵若抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且△ABC 的面积为4，求k 的值 3.抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的正半轴交于A 、B ，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点M 在第四象限，已知OA ：OB=1：3，∠AMB=90°，S △AMB =16。(1)求抛物线的解析式。(2)若抛物线上有一点P ，使S △APB =S △CMB ，求P 点的坐标。 4.已知抛物线22y ax x c =-+与它的对称轴相交于点(14)A -，，与y 轴交于C ，与x 轴正 半轴交于B ．（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）设直线AC 交x 轴于D P ，是线段AD 上一动点（P 点异于A D ，） ，过P 作PE x ∥轴交直线AB 于E ，过E 作EF x ⊥轴于F ， 求当四边形OPEF 的面积等于 72时点P 的坐标． 5.如图，已知抛物线q px x y ++-=2与x 轴相交于A(x 1,0)，B(x 2,0)两点(其中x 1<0，x 2>0，1x <2x )，与y 轴相交于点C ，且∠ACB=90°，AB=22。若D 点是C 点关于x 轴的对称点。(1)求C 、D 两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)设Q(x ，y)是抛物线上的点，使 S △QCD =3，求点Q 的坐标。 高中数学复习专题讲座求解函数解析式的 几种常用方法 高考要求 求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视 本节要紧关心考生在深刻明白得函数定义的基础上，把握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际咨询题的能力 重难点归纳 求解函数解析式的几种常用方法要紧有 1 待定系数法，假如函数解析式的构造时，用待定系数法； 2 换元法或配凑法，复合函数f ［g (x )］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法； 3 消参法，假设抽象的函数表达式，那么用解方程组消参的方法求解f (x ); 另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法 典型题例示范讲解 例1 (1)函数f (x )满足f (log a x )=)1(1 2x x a a -- (其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式 (2)二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,求f (x )的表达式 命题意图 此题要紧考查函数概念中的三要素 定义域、值域和对应法那么，以及运算能力和综合运用知识的能力 知识依靠利用函数基础知识，专门是对〝f 〞的明白得，用好等价转化，注意定义域 错解分析 此题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错 技巧与方法 (1)用换元法；(2)用待定系数法 解 (1)令t=log a x (a >1,t >0;01,x >0;0 中考数学重难点专题讲座 第五讲多种函数交叉综合问题 【前言】 初中数学所涉及的函数无非也就一次函数，反比例函数以及二次函数。二次函数基本上 只会考和一次函数的综合问题，二次函数与反比例函数基本不会涉及。所以如何掌握好一次函数与反比例函数的综合问题就成为了又一重点。这类题目本身并不会太难，很少作为压轴 题出现，一般都是作为一道中档次题目来考察考生对于一次函数以及反比例函数的掌握。所以在中考中面对这类问题，一定要做到避免失分。 【例1】2010,西城，一模 『9 ）将直线y=4x沿y轴向下平移后，得到的直线与x轴交于点 A -, 0，与双曲线 y =k（x 0）交于点B ? x ⑴求直线AB的解析式； ⑵若点B的纵标为m，求k的值（用含有m的式子表示）. 【思路分析】这种平移一个一次函数与反比例函数交与某一点的题目非常常见，一模中有多套题都是这样考法。题目一般不难，设元以后计算就可以了。本题先设平移后的直线， 然后联立即可。比较简单，看看就行? 【解析】将直线y=4x沿y轴向下平移后经过x轴上点A（9,0）, 4 设直线AB的解析式为y =4x b . 9 则4 b=0 4 ' 解得b = -9 . ???直线AB的解析式为y =4x -9 . 图3 (2)设点B的坐标为X B , m , ???直线AB经过点B , m = 4x B-9 . i'm +9 I ■■- B点的坐标为—^,m , I 4丿 k ???点B在双曲线y x 0 j上, x k m = — m 9 . 4 m2 +9m --k =. 4 【例2】2010,丰台，一模 如图，一次函数y^kx b的图象与反比例函数y^m的图象相交于A、B两点. x 高三数学第二轮专题讲座复习：函数方程思想高考要求 函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多 函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决 重难点归纳 函数与方程的思想是最重要的一种数学思想，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化 考生应做到 （1）深刻理解一般函数y =f (x )、y =f –1(x )的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础 （2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系 掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略 典型题例示范讲解 例1已知函数f (x )=log m 3 3+-x x (1)若f (x )的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f (x )在定义域上的增减性，并加以说明； (2)当0＜m ＜1时，使f (x )的值域为［log m ［m (β–1)］，log m ［m (α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由 命题意图 本题重在考查函数的性质，方程思想的应用 知识依托 函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组 错解分析 第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根 技巧与方法 本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题 解 （1）?>+-03 3x x x ＜–3或x ＞3 ∵f (x )定义域为［α,β］,∴α＞3设β≥x 1＞x 2≥α，有0) 3)(3()(6333321212211>++-=+--+-x x x x x x x x 当0＜m ＜1时，f (x )为减函数，当m ＞1时，f (x )为增函数 （2）若f (x )在［α,β］上的值域为［log m m (β–1),log m m (α–1)］ ∵0＜m ＜1, f (x )为减函数 ∴??? ????-=+-=-=+-=)1(log 33log )()1(log 33log )(ααααββββm f m f m m m m 即3,0 )1(3)12(0)1(3)12(22>>?????=---+=---+αβααββ又m m m m m m 即α,β为方程mx 2+(2m –1)x –3(m –1)=0的大于3的两个根 题目高中数学复习专题讲座求函数值域的常用方法及值域的应用 高考要求 函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一 本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题 重难点归纳 (1)求函数的值域 此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域 (2)函数的综合性题目 此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强 (3)运用函数的值域解决实际问题 此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力 典型题例示范讲解 例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm 2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm 的空白，左右各留5 cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？ 如果要求λ∈［4 3 , 32］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？ 命题意图 本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力 知识依托 主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识 错解分析 证明S (λ)在区间［4 3 , 32］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解决 技巧与方法 本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决 解 设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx 2=4840,设纸张面积为S cm 2, 则S =(x +16)(λx +10)=λx 2+(16λ+10)x +160, 将x = λ 10 22代入上式得 S =5000+4410 (8λ+ λ 5 ), 二次函数专题讲座 一、定义型问题 1、小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a 1x 2+b 1x+c 1（a 1≠0， a 1， b 1， c 1是常数）与y=a 2x 2+b 2x+c 2（a 2≠0，a 2，b 2，c 2是常数）满足a 1+a 2=0，b 1=b 2，c 1+c 2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”． 求函数y=﹣x 2+3x ﹣2的“旋转函数”． 小明是这样思考的：由函数y=﹣x 2+4x ﹣3可知，a 1=﹣1，b 1=4，c 1=﹣3，根据a 1+a 2=0，b 1=b 2，c 1+c 2=0，求出a 2，b 2，c 2，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请参考小明的方法解决下面问题： （1）直接写出函数y=﹣x 2+4x ﹣3的“旋转函数”； （2）若函数2335y x mx =-+-与23y x nx n =-+互为“旋转函数”，求2015415 m n +（）的值； （3）设点A （m,n ）在抛物线上L ：2y ax bx c =++的图像上，证明：点A 关于原点的对称点在抛物线L 的“旋转函数”上。 （4）已知函数11 42y x x =-+（）(﹣）的图象与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 、B 、C 关于原点的对称点分别是A 1，B 1，C 1，试证明经过点A 1，B 1，C 1的二次函数与函数1142 y x x =-+（）(﹣）互为“旋转函数”。 2、如果二次函数的二次项系数为l ，则此二次函数可表示为y=x2+px+q ，我们称[p ，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]． （1）若一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标． （2）探究下列问题： ①若一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数． ②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？ 题目 高中数学复习专题讲座 求函数值域的常用方法及值域的应用 高考要求 函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一 本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题 重难点归纳 (1)求函数的值域 此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单 调性法、图象法、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域 (2)函数的综合性题目 此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强 (3)运用函数的值域解决实际问题 此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力 典型题例示范讲解 例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm 2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm 的空白，左右各留5 cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？ 如果要求λ∈［4 3, 32］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最 小？ 命题意图 本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时 考查运用所学知识解决实际问题的能力 知识依托 主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识 错解分析 证明S (λ)在区间［4 3, 32］上的单调性容易出错，其次不易 把应用问题转化为函数的最值问题来解决 技巧与方法 本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转 化为函数的最值问题来解决 解 设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx 2=4840,设纸张面积为S cm 2, 则S =(x +16)(λx +10)=λx 2 +(16λ+10)x +160, 将x = λ 10 22代入上式得 S =5000+4410 (8λ+ λ 5 ),第8讲：二次函数(专题讲座).doc
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