数理方程练习题1

一、填空题

1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu Cu Du Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（ 双曲 ）型，取值为负对应的是（ 椭圆）型，取值为零对应的是（ 抛物 ）型。

2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程：

第一个叫（ 弦自由横振动 ），表达式为（2tt xx u a Bu =），属于（双曲）型； 第二个叫（ 热传导 ），表达式为（ 2t xx u a Bu =），属于（ 椭圆 ）型； 第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0xx yy u u +=，

(,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型；

二、选择题

1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］

(A) 260t xx u u xt u ++=； (B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) (

)22

0y xx

xxy u x y

u

u +++=； (D) 340t x xx u u u ++=；

2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］

(A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=；

(C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=；

3. 定解问题 ()()()()()()2,0,00,,0,0,,0tt xx x x t u a u t x l

u t u l t u x x u x x ϕφ⎧=><<⎪

==⎨⎪==⎩的形式解可写成［ D ］

(A) ()01,cos cos 2n n a n at n x

u x t a l l

ππ∞==+∑

(B) ()001

,cos

cos n n n at n x

u x t a b t a l l

ππ∞

==++∑

(C) ()0,cos sin cos n n n n at n at n x u x t a b l l l πππ∞

=⎡

⎤=+⎢⎥⎣

⎦∑ (D) ()001,cos sin cos n n n n at n at n x u x t a b t a b l l l πππ∞

=⎡

⎤=+++⎢⎥⎣

⎦∑ 4. 若非齐次边界条件为12(0,)(),(,)()x u t t u l t t μμ==，则辅助函数可取［C ］ (A) ()()12(,)W x t t x t μμ=+； (B) ()()21(,)W x t t x t μμ=+； (C) ()()()12(,)W x t x l t t μμ=-+； (D) ()()()21(,)W x t x l t t μμ=-+；

三、求解下列问题

（1）2,0,tt xx u a u t x =>-∞<<∞ ，其中a 为常数。

解：设试探解为 f (Ax+Bt)，代入泛定方程。

得 B 2f” = A 2a 2f” B 2 = A 2a 2

不妨取A=1，则B=+a 或-a

故试探解的形式为 f (x+at)或 f (x-at) 问题的通解为u (x,t) = f (x+at)+g (x-at)，其中f 和g 为任意函数。

（2）(

)()2

,0,,0cos(),,00tt xx t u a u t x u x x a u x ω⎧=>-∞<<+∞⎪⎨==⎪⎩，其中a 和ω为常数。

解：由上题知 u (x,t) = f (x+at)+g (x-at) 代入初始条件，得

u (x,0) = f (x)+g (x) = cos(ωx/a) u t (x,0) = a f (x)-a g (x) = 0 联合求解得f (x)=g (x) = 0.5cos(ωx/a) 故u (x,t) =0.5cos[ω(x+at)/a]+ 0.5cos[ω(x-at)/a]= cos(ωx/a)cos (ωt) 本题也可以用行波法公式直接求解。

（3）()()()()2,0,00,,0,0sin(2),,00

tt xx t u a u t x l

u t u l t u x x a u x ω⎧=><<⎪

==⎨⎪==⎩

， 其中 2a l πω=，a 和ω均为常数。

解：由边界条件得形式解为：11(,)cos sin sin cos sin sin

222n n n n n n n at n at n x u x t a b l l l n t n t n x a b a πππωωω∞

=∞=⎛

⎫=+ ⎪

⎝

⎭⎛⎫

=+ ⎪⎝

⎭∑∑

将初始条件代入上式，得：

11,42sin sin 20,0n n

n n

n n x x

a a a a

b ωω∞=⎧=⎧=⇒=⎨⎪⎨⎩⎪=⎩∑当其它时

由上述结果得 2(,)sin cos 2x

u x t t a

ωω=

四对给定的二维金属矩形谐振腔()a b ⨯，横电模式的电场强度(,)E x y 满足定

解问题：其中ω 和c 为电磁波频率和光速。用分离变量法求通解；ω 能连续取值吗？

解：令 E = X(x)Y(y)，代入定解问题，有：

2

X Y X Y c ωλ''''⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭ 由0,

(0)()0X X X X a λ''+===，知λ只在满足2

m a πλ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

时

有非零解：()sin

m m m x

X x A a

π=，其中m = 1，2，3… 同理，由220,

(0)()0m Y Y Y Y b c a ωπ⎡⎤

⎛⎫⎛⎫''+-===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦

仅当Y 的本征值满足：222

m n c a b ωππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦

，其中n = 1，2，3…时，Y 有

a

x

y b

2

0(0,)(,)0

(,0)(,)0

xx yy E E E c E y E a y E x E x b ω⎧⎛⎫

++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨

==⎪⎪==⎩