河海大学数值分析2011年试题
河海大学 硕士2002级数值分析考试试题1
硕士2002级数值分析考试试题2003年1月12日专业 学号 姓名一、（14分）已知x ex f -=)(的下列数据（1） 用抛物插值计算2.0-e 的近似值，已知2.0-e 的精确值为0.81873075……,指出抛物插值所得近似值的有效数字的位数；（2） 试求x ex f -=)(的二次Newton 插值多项式。
二、（10分）求211)(xx f +=在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。
三、（14分）（1） 写出数值积分梯形法的步长逐次分半算法（梯形法的递推化公式），并用Romberg 算法计算dx x⎰311的近似值（要求二分3次，结果保留五位小数）；（2） 确定参数a ，使求积公式)](')0('[121)]()0([)(20h f f h h f f ah dx x f h-++≈⎰ 的代数精度尽量高，并指出构造出的求积公式所具有的代数精度。
四、（14分）（1） 用Gauss 列主元消去法求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=++-6557710462332121321x x x x x x x x （2） 用追赶法求解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛19158341131121114321x x x x五、（12分）（1） 设A 为对称正定阵，其最大特征值为1λ，证明当α满足0<α<12λ时，迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α收敛；（2） 给定线性方程组⎩⎨⎧=+-=+23122121x x x x 建立收敛的Jacobi 和Gauss-seidel 迭代公式，并指出该迭代公式收敛的理由。
六、（12分）（1） 应用Newton 法于方程03=-a x 导出求3a 的迭代格式；（2） 讨论该迭代格式的局部收敛性及收敛阶；（3） 取初值x 0=12，用Newton 迭代法求32003的近似值，要求迭代两步，并指出该近似值有几位有效数字。
河海大学811水文学原理2011年真题答案
1、答案提示：毛管悬着水、饱和，土壤含水量；达到蒸发能力，稳定下渗率，蓄满产流。
相关知识点：六个基本土壤水分常数（P64），水文循环的四个环节的特点。
2、答案提示：质量守恒定律闭合流域：p 0=E 0+R 0全 球：p 0=E 0海 洋：E 0=p 0+R3、答案：裸土蒸发三个阶段： 当θ≥θf 时，因供水充分而持续稳定；当 θm ＜θ＜θ f 时，毛管的连续状态遭到破坏，土壤蒸发随着土壤含水量供应的减小而减小；当 θ ＜θm 时，毛管输水机制完全破坏，以汽态水或膜状水输送水分，4、答案提示：土壤水相对于标准参照下的水所具有的特定势能。
饱和土壤的土水势由静水压力势和重力势构成非饱和土壤的土水势由基质势和重力势构成5、答案：壤中水径流：存在相对不透水层，上层土壤质地比下层粗，至少上层土壤达到田间持水量。
地表径流：存在相对不透水层，上层土壤透水性比下层强，至少上层土壤达到饱和含水量。
6、7、答案：①降雨空间分布不均，由于太阳能在地球上分布不均，而且时间也有变化，导致降雨时空分布不均，其地理位置、气旋、台风路径也有影响；②下垫面条件分布不均，如土壤性质、植被、初始土壤含水量不同；③各处产流类型的差异，有的地方满足产流条件先产流，有的地方后产流，有的地方甚至不产流。
这样，降雨过程中产流面积会随时间变化。
8、答案：由流域上分布均匀，历时趋于零，强度趋于无穷大，但净雨量等于1个单位净雨在出口断面所形成的流量过程线称为流域瞬时单位线。
Q(t)=()()⎰tdt t -t u I τ s E9、答案：特征河长：河段中，由水位变化引起的流量变化量与由附加比降变化引起的流量变化量相抵消，具有河段槽蓄量与下断面流量呈单一关系的河段长。
①L ＜ l 时；涨洪时，水位变化引起的流量减少量小于附加比降变化引起的流量增加量 ②L = l 时；涨洪时，水位变化引起的流量减少量等于附加比降变化引起的流量增加量； ③L ＞ l 时；涨洪时，水位变化引起的流量减少量大于附加比降变化引起的流量增加量10、答案：同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差等于蓄水变化量。
河海大学2011材料力学试题解析 高清版
【考察重点】 ：本题主要考察第四章弯曲应力，考察的知识点都是基本知识，考生应该都能熟练 掌握的，属于基本题。请考生务必引起重视。几乎年年都考。 解： M max =ql ， FQ max =4ql 3、梁 AB、BC 在 B 处用铰链连接，A、C 两端为固定端、尺寸及荷载如图所示，两梁的弯曲刚度均 为 EI。 （1）求 B 处的约束力 （2）求截面的挠度（用 EI 表示） 。 （20 分）
分）
【考察重点】 ：本题主要考察第九章压杆稳定，关键在于考察考生对求压杆稳定的几个关键步骤 是否掌握牢靠，比如首先要判断属于哪种类型的杆等等，属于基本题。请考生务必引起重视。几乎 年年都考。 解： 1 由题意得： M max =
2 1 F ， FA = F 3 3
2 F M max AC 杆： max =n =2 3 -4 200MPa WAC z 5.4 10
解： x =
F 4F 2 ， 45 = x ， -45 = x A d 2 2 1 4 5 ( 4 5 - 4) ，代入上述数据得 = 5 E F 45 = (1 ) E d 2
二、 综合题（共 100 分） 1、图示槽形截面梁，已知：L=2m，若材料的许用拉应力 t =30MPa ，许用压应力 c =90MPa ， 对中性轴的惯性矩 Iz =5.49 10 mm ， （1） 画出弯矩图， （2） 是根据正应力强度求梁的容许荷载[q]。
1 3Leabharlann 【考察重点】 ：本题主要考察第八章组合变形及连接部分的计算，有一定的综合度，但是，其实 不难，记住，这类题第一步都是分析应力状态，只有这一步分析对了，下面才会水到渠成，所以，
强化基础很重要，属于基本能力题。请考生务必引起重视。几乎年年都考。 解：由题意得：危险点位于固定端，取固定端一截面来分析。
《数值分析》练习题及答案解析
《数值分析》练习题及答案解析第一章 绪论主要考查点：有效数字，相对误差、绝对误差定义及关系；误差分类；误差控制的基本原则；。
1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和4 答案：A2. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x=___________ .答案：2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。
第二章 非线性方程求根 主要考查点：二分法N 步后根所在的区间，及给定精度下二分的次数计算；非线性方程一般迭代格式的构造，（局部）收敛性的判断，迭代次数计算； 牛顿迭代格式构造；求收敛阶；1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差小于0.05。
（二分法）解：1)(2--=x x x f ，01)0(<-=f ，01)2(>=f ，)(x f 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。
"（1）计算01)1(<-=f ，故有根区间为[1，2]。
（2）计算041123)23()23(2<-=--=f ，故有根区间为]2,23[。
（3）计算0165147)47()47(2>=--=f ，故有根区间为]47,23[。
（4）计算06411813)813()813(2>=--=f ，故有根区间为]813,23[。
数值分析试题与答案
试题__2009___年~__2010___年第 一学期课程名称： 数值分析 专业年级： 2009级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □………………………………………………………………………………………………………一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
2011河海大学年fortran卷A
专业班级：学号：姓名：一、选择题(用铅笔把选中的方格涂黑40×1=40分)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 38 39 40二、填空题（每空占一行，每行写一个答案25×2=50分）1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.三、程序设计（10×1=10分）编写一个判断素数的函数子程序，在主程序中输入两个整数M!和M2，并输出【M1,M2】中的全部素数。
一、选择题1、下列关于SUBROUTINE MAP(X,Y) 语句的叙述中，不正确的是。
A、这是子程序的第一个语句B、MAP是子程序名C、变量X是子程序的虚元D、子程序执行后，MAP将返回整型数据2、下列关于FORTRAN源程序编辑规则的叙述之中，正确的是。
A、IMPLICIT NONE语句可以放在REAL说明语句之后B、可执行语句和类型说明语句不可交叉出现C、注释行不可以放在END PROGRAM MAIN语句之后D、模块引用语句USE语句可放在任何位置3、阅读程序：X=0.0 ; Y=2.0CALL SUB(X,Y,Z,3.0)PRINT ‘(F5.1)’,X,Y,ZENDSUBROUTINE SUB(A,B,X,Z)A=A+1 ; B=B+2.0X=1.0X=X+ZEND程序运行结果是。
A、2.0 5.0 4.0B、2.0 1.0 2.0C、1.0 4.0 4.0D、4.0 2.0 4.04、FORTRAN表达式2/4+0.5 的值是。
A、0.5B、1C、1.0D、05、阅读下列FORTRAN程序：PI=3.14159265WRITE(*,’(F7.4)’)PIEND输出结果是。
《数值分析》所有参考答案
习题11 -以下各表示的近似数，问具有几位有效数字？并将它舍入成有效数(1)% = 451.023(2)x；=-0.045 113(3)x3 = 23.421 3,* 1(4)x4=3(5)x5 = 23.496,* /-(6)x6= 96x 10 ,(7)x；= 0.000 96,(8)x8 =-8 700, 解：(1) x；=451.023x1= 451.01;x2=—0.045 18;x3= 23.460 4;x4= 0.333 3;x5= 23.494;x6= 96.1 x 105;x；= 0.96X 10 'x8= —8 7003 x^ 451.01* 1 _1 一#x1—= 0.013兰一汇10 —, x1具有4 位有效数字。
％t451.02(2) x；二-0.045 113 x2二-0.045 18=0.045 1 8- 0.045113 =0.000 067 - 10 _32X2具有2位有效数字，x^ -0.045⑶x3 =23.4213 x3= 23.4604*X3— X3 = 23.4213 - 23.4604 = 23.4604 — 23 .4213 = 0.0391 X3具有3位有效数字，X3 > 23 .4 （不能写为23.5）* 1⑷ x4二,x4二0.3333 J 10_1 23二 23 .496 - 23.494 二 0.002X 6具有2位有效数字,75x 6 =0.9610= 96 102•以下各数均为有效数字:(1) 0.1062 + 0.947;(2)23.46— 12.753;(4) 1.473 / 0.064。
问经过上述运算后，准确结果所在的最小区间分别是什么? 解：(1) X i =0.1062， X 2 =0.947， X i +X 2 =1.05321e( )+ e(x 2 )兰 e( )+ e(x 2)兰一汉 10*X 4=0.000033：：： -10 一4 2,X 4具有4位有效数字，X 4 二0.3333(5) x 5 = 23.496, x 5 = 23.494X5具有4位有效数字,x 5 > 23.50 不能写为 23.49)(6)*57X 6 = 96100.96 10 57X 6=96.1 10 =0.96110*X6=0.001 10 _7< -10 ° 10 一7 2X 7 = 0.00096X 7 -0.9610° *X7-0.96 10’*X7=0X 7精确(8)二 -8700 x8二 -8 7 0.3*X8-X 81 = 0.3102X 8具有4位有效数字，X 8二-8700 精确e(xd| 兰丄。
2011数值分析试题及答案
由于f(x)二si nx的4阶导数在[0,二]上的最大值为：M4=1,所以
5
误差为：|I-S2|：：——44=0.006641
2880x24
6.求解初值问题」y=sin(x+2y),0兰x兰2的改进Euler方法是否收敛？为什
.y(0) = 1
么？
解：由于|sin(x 2y)-sin(x 2y)|二| 2cos(x 2 )(y-y) 2 | y-y |
5.设f(x) = 4x33x-5，求差商f[0,1], f[1,2,3,4]和f[1,2,3,4,5]。
f(D…f(0)
解：f[0,1]==2-(-5) = 7
1-0
f [1,2,3,4^4，f[1,2,3,4,5]=0
3.解线性方程组丿X1-2忑=2的Jacobi迭代法是否收敛，为什么?
+9x2=3
即，函数f(x, y)二sin(x•2y)连续，且关于变量y满足Lipschitz条件，所以，改 进Euler方法收敛。
所以，a=0, b=5/6，拟合曲线为：y=5/6x2
3.求满足条件f(0)=1,f(1)=2,f(2) =0,f(1)=0的三次插值多项式Ha(x)
的表达式。
解：设H3(x)二(^2)(ax2bx c)，则有:
1213
所以，H3(x) (x-2)(x2x 1) (x-3x-2)。
22
11
4.确定求积公式Jf(x)dx痒三f(-1)+Af(0)+A2f(1)中的待定系数，使其代数精 度尽可能高，并问此公式是不是插值型求积公式.
解：令公式对f(x) = 1,x都精确成立，得：A,・A2= 3/2, A2= 1/2,
o
• • •
河海大学卷2011材料力学考研真题
F Fcr , F 15.5kN 3 nst
∴[F]=15.5kN
5、图示组合变形圆杆，直径d=100mm，已知 F1=5kN,F2=10kN ,T=6kNm, l=1m ，[σ]=160MPa 。试用 第4强度理论校核强度。 解: F2 T F
z
1
F1
y
l
l
FN 5kN, M x T 6kNm
2、悬臂梁AB的横截面形状为矩形或圆形如图所示， 集中力F在B截面作用方式如图所示，说明各杆将发 F 生什么变形。
A F B
z z y (a) 斜弯曲 y (b) 弯扭 F y (c) 斜弯曲 与扭转
z
z
F
F y (d) 平面弯曲
3、组合变形矩形截面杆，横截面上的轴力FN，弯矩My 和Mz，满足以下哪种情况时（ （1 ）），横截面的中性 轴不过截面形心，该杆件发生什么变形？
l
FB
4ql
FC
ql
FE
FB 5ql
FS
ql 4ql ql2 ql2
ql2 /2
M
ql2
ql2 /2
3、求图示梁B处的约束力和B处的挠度（用EI表示）。
F=40kN
A l=2m
l
q=20kN/m
B C
q(2l ) 4 FB (2l )3 解：B1 w 8EI 3EI
wB 2 Fl 3 Fl 3 FB (2l )3 3EI 2 EI 3EI
C : t max
ql 2 103 134 103 4 t , q 12.3kN / m 5 5.49 10
∴ [q]=9.6kN/m
2、作图示组合梁剪力图和弯矩图。
(完整)数值分析学期期末考试试题与答案(A),推荐文档
期末考试试卷( A 卷)2007 学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业100011. 用计算机求11000时，应按照 n 从小到大的顺序相加。
n1n2. 为了减少误差 ,应将表达式 2001 1999 改写为 2进行计算。
( )2001 19993. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
( )4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时， 公式阶数越高，数值解越精确。
( )5. 用迭代法解线性方程组时， 迭代能否收敛与初始向量的选择、 系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
( ) 二、填空每空 2 分，共 36 分)1. 已知数 a 的有效数为 0.01 ，则它的绝对误差限为 _______ ，相对误差限为 _1 0 1 02. 设 A0 2 1 ,x 5 ,则 A 1____________________________ _， x 2 ______ ，Ax1 3 0 13. 已知 f (x) 2x 54x 35x,则 f[ 1,1,0] , f[ 3, 2, 1,1,2,3] .14. 为使求积公式 f (x)dx A 1f ( 3) A 2f (0) A 3f ( 3)的代数精度尽量高，应使13 3A 1 ， A 2 ， A 3，此时公式具有 次的代数精度。
5. n 阶方阵 A 的谱半径 ( A)与它的任意一种范数 A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组 AX B 时，使迭代公式 X (k 1)MX (k)N (k 0,1,2,K )产 生的向量序列X (k)收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B时，系数矩阵A可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即A LU. 若采用高斯消元法解AX B，其中A 4 2，则21L ___________ ，U ____________ ；若使用克劳特消元法解AX B ，则u11 _______ ；若使用平方根方法解AX B，则l11与u11的大小关系为（选填：＞，＜，=，不一定）。
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一、填空题（每小题3分，共21分）
1、
44.826有 位有效数字。
2、 满足条件()()(0,1,2)==i i P x f x i 及()()(1,2)''==i i P x f x i ，且次数不超过四次的
埃米尔特（Hermite ）插值多项式的余项为 。
3、 已知三次勒让德（Legendre ）多项式及三次切比雪夫(Chebyshev)多项式分别为
33()(53)/2=-P x x x 及33()43=-T x x x ，则31()2
=f x x 在区间[1,1]-上的次数不超过二次的最佳一致逼近多项式为 。
4、 设5()=f x x ，求积公式
2100()()=≈∑⎰i i i f x dx A f x 是高斯（Gauss ）型的，则 20
()==∑i i
i A f x 。
5、 设0123-⎛⎫= ⎪-⎝⎭
A ，则1=A ，2=A ，=F A 。
6、 解非线性方程的埃特金(Aitken)加速方法与斯特芬森（Steffensen ）迭代法的区别为。
7、 用改进欧拉(Euler)法解初值问题20
1='⎧=⎪⎨=⎪⎩x y y y ，取步长0.1=h ，则1=y （要求取到小数后第四位）。
二、（本题10分）已知1，4，9及16的算术平方根分别为1，2，3及4，
(1)
;
(2) 估计截断误差。
三、（本题8分）求()=x f x e 在区间[0,2]上的一次最佳平方逼近多项式。
四、（本题10分）
(1)写出数值积分梯形法的递推公式及龙贝格(Romberg)算法；
(2)用龙贝格(Romberg)算法计算积分
/20sin π⎰xdx ，要求对区间[0,/2]π二分两次，计算
结果保留到小数后第五位。
五、（本题10分）对线性方程组1231231232234477112452++=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩
x x x x x x x x x
(1) 用列主元消去法求解；
(2) 用杜利特尔(Doolittle)分解法求解。
六、（本题9分）用SOR 方法解线性方程组1212223+=⎧⎨
+=⎩x x x x ，取0.5ω=，(0)0.900.95⎛⎫= ⎪⎝⎭
x ，迭代两次。
七、（本题8分）用牛顿(Newton)迭代法求解非线性方程组22122212
2523⎧+=⎨+=⎩x x x x ，取初值(0) 1.01.5⎛⎫= ⎪⎝⎭
x ，迭代一步。
八、（本题9分）用反幂法求矩阵2134⎛⎫= ⎪⎝⎭
A 按模最小的特征值及对应的特征向量，取00 1.00.8⎛⎫== ⎪-⎝⎭
v u ，迭代两步（计算结果保留到小数后第二位）。
九、（本题7分）证明解常微分方程初值问题000
(,),(,]()y f x y x x b y x y '=∈⎧⎨=⎩的中点公式
11(,(,))22
n n n n n n h y y hf x y hf x y +=+++是二阶的。
十、（本题8分）设()⨯=ij n n A a 为严格对角占优矩阵，证明解线性方程组=Ax b 的高斯-
塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法收敛。