量子跃迁
量子跃迁中的选择定则
量子跃迁中的选择定则张扬威（华中师范大学物理学院2008级基地班，武汉，430079）摘 要 本文根据量子跃迁过程中遵从的角动量守恒和宇称守恒运用量子化概念，推导出电偶极近似条件下，在不同的外场中单电子原子以及多电子原子 辐射跃迁时的选择定则，并结合具体实例，说明这些规律的实质。
关键词 辐射跃迁 选择定则 角动量守恒 宇称守恒 原子态 电偶极近似 1 、 引言推微观粒子在不同的量子化状态间变化，称为跃迁。
跃迁有很多种，不同跃迁遵从不同的跃迁选择定则。
原子辐射跃迁的选择定则是原子能级之间发生跃迁所满足的条件，它对于研究光的吸收和发射具有很重要的意义。
由于电偶极矩跃迁强度比其它形式的跃迁强度大很多（倍），原子的辐射跃迁选择定则是指电偶极辐射跃迁选择定则。
它是从大量光谱的观察分析和研究中总结出来的，本文则运用量子力学的理论对它进行推导研究。
510~1082、 入射光为单色偏振光引入周期性微扰下的跃迁概率的基本知识：设微扰Hamilton 算符为（式中为与无关的厄米算符）'0(0)A cos ()(0)i t i t H t t F e e t ωωω∧∧∧−=<=+≥或 （1）体系在处于'0t =(0)n ϕ态， 跃迁到态的概率为't =t (0)m ϕ22(0)(0)2()()n m m mn m n W a t F E E πδω→==−±h h（2） 若该单色偏振光是沿x 轴 方向传播，偏振方向沿z 轴，在电偶极近似条件下，它的电场为0cos z t εεω= 0x ε= 0y ε= （3）电子的电偶极矩为 D er ex =−=−r（4）微扰作用势为 '00cos ()2i t i tz ez H D ez ez t e e ωωεεεεω∧−=−===+r uv （5） 对比（1）式可得 02ez F ε∧=（6） 带入（2）式可得 222(0)(0)0()2n m mn m n e W z E E πεδω→=−h h±（7）由（7）式可以得出，原子能否由n 态跃迁到m 态，决定于电子位矢的z 分量在这两个态之间的矩阵元mn z 是否为零。
单量子跃进的名词解释
单量子跃进的名词解释单量子跃进，又称为单光子跃迁或单光子激发，是指一个粒子在量子力学中的跃迁过程，其中一个粒子在一个量子态中吸收或释放一个光子。
这一现象的研究是近年来量子物理学领域的一个重要研究方向，它为我们深入理解量子世界的本质提供了新的突破口。
从经典物理的角度来看，我们习惯于将光视为电磁波的传播。
然而，根据量子理论，光也可以被看作是由粒子组成的，这些粒子被称为光子。
而单量子跃进现象就是光子与物质之间相互作用的结果。
为了更好地理解单量子跃进，让我们来看一个简单的实验。
假设我们有一个原子位于基态，也就是最低能量状态。
当这个原子受到一个能量足够的光子的激发时，它将从基态跃迁到激发态。
这个过程中，原子吸收了光子的能量，并获得了一个相应的能级提升。
同样地，如果原子处于激发态，而又受到一个合适的能量光子的作用，它将发生相反的过程。
原子将从激发态跃迁回到基态，并释放能量。
这个能量以光的形式辐射出去。
在这个过程中，我们看到了一个重要的现象：单量子跃迁。
光子和原子之间的相互作用可以被看作是一个量子态的转换过程。
这一现象在量子电动力学中有着重要的应用。
它也为我们提供了研究量子纠缠、量子计算和量子通信等领域的基础。
除了基本的单量子跃迁，还存在其他类型的量子过程。
例如，多光子跃迁是指在一个量子系统中，多个光子激发或吸收导致了多个粒子精确地跃迁到不同的态。
而常见的二次量子跃迁，则是一个光子被物质吸收后再次被释放。
单量子跃进的研究对于我们深入了解光与物质相互作用的量子本质具有重要意义。
它为新型量子器件和技术的开发提供了理论基础。
这方面的研究已经在量子计算机、量子通信和量子测量等领域展开，其应用前景广阔。
总而言之，单量子跃进是指在量子力学中一个粒子跃迁的过程，其中一个粒子在一个量子态中吸收或释放一个光子。
这一现象为我们揭示了光与物质之间的奇妙相互关系，也为我们研究和应用量子世界提供了新的可能性。
随着对单量子跃进的进一步研究，我们可以期待量子科学和技术的更多突破，为人类的发展带来无限可能。
量子跃迁
Cnk (t) e−iEn t/ |ψn ⟩
Cnk (t) = ⟨ψn |ψ (t)⟩
我们增加k 的指标是为了表明扰动之前是处在|ψk ⟩这个本征态上，出现跃迁是从Ek 这个能级上跃迁出来 的。 按照统计诠释，t时刻测量力学量F ，得到Fn 的几率应该为 Pnk (t) = |Cnk (t)| = |⟨ψn |ψ (t)⟩|
) ′ ′ eiωmk t ∂Hmk (t′ ) ′ + dt |m⟩ e−iEm t/ = δmk − ωmk ωmk ∂t′ −∞ m ) ( ′ ∑ e−iEm t/ ∫ t ∂H ′ (t′ ) ∑ ′ Hmk ′ ′ mk |m⟩ e−iEk t/ − eiωmk t dt′ |m⟩ = |k ⟩ + ′ Ek − Em Ek − Em −∞ ∂t m m ∑ ( t) ∫
t > t0 t < t0
ˆ 0 ，在某个时刻开始加上一个扰 也就是说，在无外界相互作用的时候，体系Hamiltonian 为不含时的H ˆ ′ (t)。 动H ˆ 0 本征态|ψk ⟩上， t < t0 时是定态问题，系统处于H ˆ 0 |ψn ⟩ = En |ψn ⟩ H |ψk (t)⟩ = e−iEk t/ |ψk ⟩ (t < t0 )
t iωmk t′ ′ Hmk ′ ′
∫
(1) Cmk
(t)
当t < 0，H 有加上微扰，量子态随时间的演化只是一个非定 态的不含时问题，各成分保持不变。从另一个角度也可以理解为跃迁出去多少，从所有别的态跃迁回来 也是多少。 当0 < t < T ， Cmk (t) = −
(1) ′ eiωmk t Hmk ( t) + ωmk
∫
曾谨言《量子力学教程》(第3版)配套题库【课后习题-量子跃迁】
第11章量子跃迁11.1 荷电q的离子在平衡位置附近作小振动（简谐振动），受到光照射而发生跃迁，设照射光的能量密度为ρ（w），波长较长．求：（a）跃迁选择定则；（b）设离子原来处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的概率．解：（a）具有电荷为q的离子，在波长较长的光的照射下，从n→n'的跃迁速率为而根据谐振子波函数的递推关系（见习题2.7）可知跃迁选择定则为（b）设初态为谐振子基态（n＝0），利用可求出而每秒钟跃迁到第一激发态的概率为11.2 氢原子处于基态，受到脉冲电场的作用．试用微扰论计算它跃迁到各激发态的概率以及仍然处于基态的概率（取E0沿z轴方向来计算）．【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[上]，10.2题，l0.3题】10.2 氢原子处于基态，受到脉冲电场作用，为常数．试用微扰论计算电子跃迁到各激发态的概率以及仍停留在基态的概率．解：自由氢原子的Hamilton量记为H0，能级记为E n，能量本征态记为代表nlm 三个量子数），满足本征方程如以电场方向作为Z轴，微扰作用势可以表示成在电场作用过程中，波函数满足Schr6dinger方程初始条件为令初始条件（5）亦即以式（6）代入式（4），但微扰项（这是微扰论的实质性要点!）即得以左乘上式两端，并对全空间积分，即得再对t积分，由即得因此t＞0时（即脉冲电场作用后）电子已经跃迁到态的概率为根据选择定则终态量子数必须是即电子只跃迁到各np态（z＝1），而且磁量子数m＝0．跃迁到各激发态的概率总和为其中a o为Bohr半径．代入式（9）即得电场作用后电子仍留在基态的概率为10.3 氢原子处于基态，受到脉冲电场作用，为常数．求作用后（t ＞0）发现氢原子仍处于基态的概率（精确解）．解：基态是球对称的，所求概率显然和电场方向无关，也和自旋无关．以方向作z 轴，电场对原子的作用能可以表示成以H0表示自由氢原子的Hamilton量，则电场作用过程中总Hamilton量为电子的波函数满足Schr6dinger方程初始条件为为了便于用初等方法求解式（3），我们采取的下列表示形式：的图形如下图所示．注意图11-1式（5）显然也给出同样的结果．利用式（5）．，可以将式（1）等价地表示成下面将在相互作用表象中求解方程（3），即令代入式（3），并用算符左乘之，得到其中一般来说，H'和H0不对易，但因H'仅在因此一H'，代入式（8）即得再利用式（1'），即得初始条件（4）等价于方程（11）满足初始条件的解显然是代入式（7），即得这是方程（3）的精确解．t＞0时（电场作用以后）发现电子仍处于基态的概率为计算中利用了公式利用基态波函数的具体形式容易算出a o为Bohr半径．将上式代入式（15），即得所求概率为这正是上题用微扰论求得的结果，为跃迁到各激发态的概率总和．11.3 考虑一个二能级体系，Hamilton量H0表示为（能量表象）设t＝0时刻体系处于基态，后受到微扰H'作用（α，β，γ为实数）求t时刻体系跃迁到激发态的概率．【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[上]，10.4题】10.4 有一个二能级体系，Hamilton量记为H0，能级和能量本征态记为E1，。
量子跃迁讲解
量子跃迁讲解
科普部分：
首先，咱们先说说虚实数。
现在假设一个量子，它的变化可以有许多种，它没变化的时候是量子态1，变化后它可以是量子态2、量子态3、量子态4...等无数种情况，但是他变换后就只能是一直情况了，也就是说量子态1变化后只能是量子态2、量子态3、量子态4....中的其中一个，这就是虚实数的概念。
量子跃迁的概念无非也是这样，爱因斯坦等人认为在量子态1和变化后的量子态1（量子态3、量子态4...中的其中一个）这个变化是有过程的，是跳跃式的，即这个过程就为量子跃迁。
正文部分：
量子跃迁变化之前被称为为“初态”，发生后被称为“未态”。
微观状态下，电子有一个最低能量，在这个能量中，不考虑特殊的核反应下，电子可以处于稳定状态。
如果电子能量增加，电子就可以吸收某些特定的能量。
电子所吸收的就是不同能级之间的能量差，最低的能级称为基态，其他统称为激发态。
量子跃迁具有概率性。
每个原子停留在激发态的时间不尽相同，但是据研究发现，大部分某种原子它的激发态时间平均为τ，激发态的时间的倒数也就是τ分之一就是跃迁速率。
两个量子态之间跃迁要遵循一定的规律，这种规律用量子数的改变表示出来就叫做叫做选择定则。
原子的量子离散能级与跃迁概率的计算
原子的量子离散能级与跃迁概率的计算从原子的结构来看，其是由原子核与电子云组成，其中原子核包括了质子与中子，而电子云则是由电子构成。
在原子的结构中，电子会在特定的能级上运动，而这些能级是离散的，也就是说，电子只能在这些特定的能级上运动，而不能在中间或者其他的能级上。
这种能级的离散性与原子内部电子的能量量子化密切相关。
在原子结构中，电子的运动状态与其所处能量的大小和方向有关，具体而言，就是关于构成令其处于电场力场的电场强度和方向、磁场力场的磁感应强度和方向，原子核的形状和位置等多个方面进行了综合考虑。
当这些因素组合起来，电子就会沉淀到一些特定的能量水平上，就构成了量子离散能级。
对于原子内部的电子来说，量子离散能级决定了其能量的大小和方向，同时也会决定电子能否从一个能级跃迁到另外一个能级。
在原子结构中，由于电子运动的惯性，其是不可能完全停留在某一个能级上的，除非原子被加热或者受到外界的刺激，电子才会跃迁到另外一个能级。
而这种跃迁的概率与原子内部量子电动力学过程非常相关。
在计算原子的跃迁概率时，其实可以采用一些基础的数学公式，如费米黄金法则和爱因斯坦余辉系数法则等。
其中，费米黄金法则主要是用于计算原子过渡概率，对于原子的平均寿命有一定的预测作用。
而在爱因斯坦余辉系数法则中，可以根据原子发射的光子数与注入原子的总粒子总数之比，来计算原子发射的相对强度。
在实际中，由于原子内部结构比较复杂，而且所受到各种力场的影响也比较复杂，因此计算原子的量子离散能级和跃迁概率也是比较复杂的。
在现代物理学和计算机技术的支持下，目前已经出现了一些常见的计算方法和技术，以帮助我们更有效地计算原子的量子离散能级和跃迁概率。
例如，量子化学、量子力学和计算机模拟等领域已经对原子结构和性质进行了详细的研究。
利用这些技术，人们能够从原子结构的基础方程开始，透彻地分析原子内部的电荷分布、电子云形态、能量分布等，进而准确计算原子的量子离散能级，以及跃迁概率。
量子力学中的量子组态空间与态跃迁
量子力学中的量子组态空间与态跃迁量子力学是研究微观粒子行为的物理学分支，它描述了微观世界中粒子的运动和相互作用。
在量子力学中，量子组态空间和态跃迁是非常重要的概念。
量子组态空间是描述量子系统的所有可能状态的空间。
在经典物理中，我们可以用一组变量来描述一个物体的状态，比如位置和动量。
但在量子力学中，粒子的状态不再是确定的，而是以概率的形式存在。
因此，我们需要一个更加抽象的描述方式，即量子组态空间。
量子组态空间是一个复数向量空间，通常用希尔伯特空间来表示。
在这个空间中，每个向量代表一个可能的量子态。
这些向量被称为态矢量，它们可以表示粒子的位置、动量、自旋等性质。
态矢量可以用来计算量子系统的物理量，比如能量、角动量等。
态矢量的演化是由薛定谔方程描述的。
薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，它描述了量子系统的时间演化。
根据薛定谔方程，态矢量会随着时间的推移而发生改变。
这个过程被称为态跃迁。
态跃迁是量子系统从一个态到另一个态的转变。
在经典物理中，物体的状态可以连续地变化，而在量子力学中，粒子的状态只能发生离散的跃迁。
这是因为量子系统的能量是量子化的，只能取特定的值。
当一个量子系统从一个能量态跃迁到另一个能量态时，它会吸收或放出能量。
态跃迁的概率由量子力学中的跃迁概率振幅决定。
跃迁概率振幅是一个复数，它描述了从一个态到另一个态的转变的可能性。
根据量子力学的规则，跃迁概率振幅的模的平方表示跃迁发生的概率。
态跃迁可以通过量子力学中的算符来描述。
算符是量子力学中用来描述物理量的数学对象。
量子系统的态矢量可以通过算符作用于初始态矢量得到。
在态跃迁中，算符会改变态矢量的性质，使其从一个态转变为另一个态。
态跃迁不仅仅发生在能量态之间，还可以发生在其他性质之间，比如自旋态之间。
自旋是粒子的一种内禀性质，它可以取两个不同的值，通常表示为上自旋和下自旋。
当一个粒子的自旋态发生跃迁时，它会从一个自旋态转变为另一个自旋态。
量子组态空间和态跃迁是量子力学中的基本概念，它们在研究量子系统的性质和行为中起着重要的作用。
多量子跃迁
多量子跃迁在一个磁场下，确实不只有两个共振频率，在我们的实验条件下观测到七个共振信号，如果实验条件选得更好，测量仪器精度更高，或许可观测更多．这些信号由盯Rb和85Rb产生，第一个来自87Rb，第二个来自85Rb，这两个信号较大．2)观察到这些共振频率间存在某种整数倍关系，虽然有些不是非常严格的整数，但极为接近，误差在2％内，或许来自于测量误差．出现整数倍的原因可能是水平磁场不稳定，或共振峰出现在三角波两侧，使共振点有两个三个，但这可在调节频率时仔细观察示波器，使共振峰出现在三角波的顶部(即对应于一个磁场)加以避免；另一可能是射频场电源的频率发生畸变，产生谐波，在相同磁场下不同谐波也会满足共振条件．畸变的原因是射频场线圈是电感性负载，加上射频信号源后，信号源波形发生变化．实验发现，当射频信号(正弦波)幅度大于10．0V时，波峰和波谷处其形状有变化，因此要避免它．实验中用示波器监视，并在波形不变的条件下进行．我们认为出现多共振峰的原因可能是满足了多量子跃迁规律的缘故，即nhu=△EMr．如果第一个磁共振信号的频率对应单能量子的跃迁，那么频率是它二分之一倍的磁共振信号对应于能量小二倍的双量子跃迁．从表2可觅，射频场强度越大(即能量越大)磁共振峰也越多，如果降低射频场强度，小的共振峰也随之减少．当射频场电压幅度小于1V时，就观察不到小频率对应的共振信号．我们认为，强磁场下也存在高于一级的塞曼效应，但一般情况下它的磁共振信号太弱，很难检测到，当射频场能量增加时，参于这些子能级跃迁的粒子数增加．因此，我们可以观测到这些小信号．光泵磁共振实验中小信号的讨论作者：张清，陈一冰，王煜，张桂樯作者单位：复旦大学物理系,上海,200433刊名：物理实验英文刊名：PHYSICS EXPERIMENTATION年，卷(期)：2000,20(10)被引用次数：8次3．2．4正确选择扫场的幅度由于扫场幅度较大时，会出现光抽运信号，影响磁共振信号的观察。
量子跃迁的微扰理论
初始时刻系统处于F表象(含算符Hˆ 0 )的本征
态 | k ，而(8)式表明体系可能从初始时刻的
状态 | k 在Hˆ 的作用下跃迁到F表象中另一个
本征态 | n ，| Cnk (t) |2 也代表这种跃迁的概率。
10
二、定态下量子态的跃迁(3)
在t时刻，Hˆ Hˆ 0 Hˆ Hˆ 0 Hˆ (t),
若 Hˆ t 0且 (0) k ,则
| (t) eiEkt / | k
(7)
体系
能在不
受外界作用的情况下保持在
。
k
若在t时刻，体系受到一个外界因素Hˆ 的
作用, 体系的状态将发生怎样的变化？
此时，体系的哈密顿为 Hˆ Hˆ 0 Hˆ (t) 体系的状态不再由(7)式描述，但可以表示为
F表象的本征态| n 的线性叠加，即
体系的状态从| (t) eiEkt / | k
| (t) Cnk (t)eiEnt / | n (8)
n
Cnk (t) ？将(8)式代入薛定格方程，即
(8)
i
t
|
(t)
(Hˆ 0
Hˆ
)
|
(t )
左边 i Cnk (t)eiEnt / | n E nCnk eiEnt / | n
k
(iEnt / )k k!
| n
| (t)
a eiEnt / n
| n
(5)
n
注意在(4)式中，an n | (0)
(6)
6
一、量子态随时间的演化—定态与非定态(3)
| (t)
a eiEnt / n
| n
(5)
n
an n | (0)
第十一章 量子跃迁
§2 量子跃迁几率
返回
（一）跃迁几率 （二）一阶常微扰 （三）简谐微扰 （四）实例 （五）能量和时间测不准关系
（一）跃迁几率
t 时刻发现体系处于 Ψm 态 的几率等于 | a m (t) | 2
m
体系的某一状态
Ψ = ∑ am(t )Ψ m
am(0) (t) = δmk
1 t ′ + ∫ Hmk eiωmk t dt +L 0 ih
比较等式两边得
( (1 δnk = an0) (0) + λan ) (0) +L
(0 an ) (0) = δnk (1 (2 an ) (0) = an ) (0) = L= 0
幂次项得： 比较等号两边同 λ 幂次项得：
不随时间变化，所以a 因 an(0)不随时间变化，所以an(0)(t) = an(0)(0) = δnk。 后加入微扰，则第一级近似： t ≥ 0 后加入微扰，则第一级近似：
2
2ieiωmk t / 2 sin( 1 ωmk t ) = 2
′ 4 | Hmk |2 sin2( 1 ωmk t ) 2 h2ωmk 2
极限公式： 极限公式：
sin2(αx) lim παx2 = δ ( x) α→∞
则当t 上式右第二个分式有如下极限值： 则当t →∞ 时 上式右第二个分式有如下极限值：
=<φm | F[eiωt + eiωt ] | φk >
=<φm | F | φk > [eiωt + eiωt ] = F k [eiωt + eiωt ] m
(1 am) (t ) =
F k m ih
∫0
t
t
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
量子跃迁
2015-1-26
9
1
量子态问题分类
关于量子态的问题可以分为两类： 第一类问题是关于体系的可能状态问题，即力学量的本 征态与本征值问题。 量子力学的基本假设之一：力学量的观测值就是与力学 量相应的算符的本征值，由求解算符的本征方程得到。 特别重要的是不显含时间的哈密顿量的本征值问题，可 以通过求解不含时薛定谔方程得到。 第二类问题是体系的状态随时间 演化的问题，这涉及量子力学的 另一个基本假设：体系状态随时 间的演化遵守含时薛定谔方程：
2015-1-26 9 8
一维谐振子的量子跃迁
带电的一维谐振子，初始时刻处于基态 外界作用以微扰的方式加入： 经过很长的时间后，测得谐振子处于某激发态的振幅：
无限缓慢地加入 微扰不会改变系 统的量子态。
如果微扰无限缓慢地 加入，则 如果外界作用是微扰，则
9 9
2015-1-26
2015-1-26 9 4
量子态随时间的演化遵守含时薛定谔方程：
含时薛定谔方程
能量表象下的含 时薛定谔方程。 定义如下简记符号：
2015-1-26 9 5
含时微扰论
坐标表象下的含时薛定谔方程：
把波函数转换到能量表象：
能量表象下的含时薛定谔方程： 对于一般的外界作用，求解方程是困难的。 如果外界作用很微弱，叠加系数将随时间缓慢地变化， 则可以用微扰逐级近似方法，即含时微扰论求解。 零级近似，忽略外界作用： 把这结果代入一级近似的右边
2015-1-26 9 7
跃迁概率
Hale Waihona Puke 谱线的强度一个简单的例子是粒子在中心力场中运动，能级Enl的简 并度为2l+1，所有从Enl到En'l'的跃迁概率为 求和式中的m表示对初态求 平均，m'表示对终态求和。 在光谱学中，谱线的频率和强度是两个重要的观测量， 谱线的频率由末态与初态的能量差确定，这个问题在玻 尔的早期量子论中已经解决。 玻尔在早期量子论中虽然提出了量子跃迁的重要概念， 但他没有给出计算谱线强度的方法。 含时微扰论使我们能够从不含时的定态波函数近似地计 算有微扰时的波函数，由此得到跃迁的概率。 谱线的强度取决于体系在两个能级之间跃迁的速率，即 单位时间内的跃迁概率。
如果哈密顿量不显含时间，含时 薛定谔方程的解形式上可表述成
2015-1-26 9 2
把初态表达成能量本 征态的线性叠加：
量子态的演化
如果体系的初态 是能量本征态： 上述结果显示，能量测量值的概率分布不随时间改变。 实际上，人们更感兴趣的不是泛泛地讨论量子态随时间 的演化，而是在外界作用下体系在定态之间的跃迁。 假定无外界作用时哈密顿量为H0，包括 H0在内的力学量完全集F的本征态为 当加入外界的作用后： F中的力学量就不一定都能与H对易。 由于加入了外界作用，体系的量子态一般要发生改变。
一级近似：
准确到微扰一级近似：
2015-1-26 9 6
实际感兴趣的是末态与初态不同 的情况，准确到微扰一级近似： 如果外界作用存在对称性，使得 ，则有 从 k 态到 m 态的跃迁是禁戒的，相应地存在某种选择定 则。比如对电偶极辐射： 利用力学量算符的厄米性可以得到：
由于能级一般有简并，简并度不尽相同，所以不能一般 地认为从Ek到Em的跃迁概率等于从Em到Ek的跃迁概率 要计算到Em的跃迁概率，需要把到Em的各个简 并态的跃迁概率都考虑进去，即对终态求和； 由于能级有简并，初态未完全确定，从Ek出发 的各种跃迁要逐个计算，然后(对初态)求平均。
2015-1-26 9 3
含时相互作用
假定体系的初态是力学量完全集F的本征态 加入外界作用后，体系的量子态可以用 F 的本征态展开 外界作用与时间有关导致 展开系数与时间有关：
时刻 t 测量 F 得到 Fn 值的概率： 经测量后，体系从初态跃迁到末态，跃迁概率为 单位时间的跃迁概率，即跃迁速率： 问题最终归结为：在给定的初条件 下，如何求解由外界作用导致的叠加系数 波函数的初条件反映在叠加系数上就变成如下条件：