数学建模

基于卫星和飞船的跟踪测控问题的讨论摘要：随着卫星与飞船的广泛应用，它们在人们生活中以及国民经济和国防建设中都有着重要的作用，因而对其运行过程进行监控是非常重要的。

本文将通过数学建模的方法对此进行分析和探讨。

首先，在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下，假设其轨道为圆轨道。

利用高等数学知识求得全程跟踪测控卫星所需测控站个数⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=H R R n93sin arcsin 87*23600。

根据神舟六号的轨道高度343公里，得到测控站个数为12个。

其次，在卫星运行轨道与赤道平面有固定的夹角且在离地高度为H 的球面S 上运行,考虑到地球自转带来的影响，利用曲面积分的知识，得到卫星在轨道 面上运行的区域面积，并且得到测控站至少所需个数的计算公式()()()222233cos 12sin4r HR i HR n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++=πθππ又根据神州六号的轨道倾角 4.42，高度343公里得到全程跟踪测控卫星至少所需测控站的个数为44个。

最后，通过资料收集，结合相关神舟六号的信息对我们的模型进行检验，并将各测控站的具体位置进行了列表，画出了实际观测中观测站的覆盖区域，再次对结果进行分析。

关键词：轨道带状区域，观测区域，曲面积分，C#语言一问题重述随着科技的进步，卫星和飞船在人们日常生活中的作用日趋重要，并在国民经济和国防建设中有着重要的作用，卫星和飞船已经由试验性阶段发展到比较成熟和广泛的应用阶段。

而且卫星的应用更为广泛，它的主要应用是：军事侦察，通信，导航，地球资源勘测，大地测量，气象预报，天文观测以及新技术试验等科学研究。

由此观之，对于卫星和飞船的运行进行测控是航天系统的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星和飞船（特别是载人飞船）进行全程跟踪测控。

监控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角3度以上测控效果好。

1.1在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？1.2如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球面S上运行。

考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全面覆盖以达到全程跟踪测控的目的？1.3 收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点对该卫星所能测控的范围。

二模型假设2.1 针对问题一我们提出如下假设：（1）不考虑地球自转等因素对轨道的影响。

（2）认为地球与卫星轨道均为圆形，并且是同心圆。

（3）根据题目要求，我们只考虑所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况。

2.2 针对问题二我们提出如下假设：（1）卫星在离地面高度为H的球面S上运行。

（2）卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角。

（3）测控站的观测区域可近似成为一个正六边形区域，以保证不存在盲区。

（4）由于地球自转，卫星或飞船运行过程中经度会有差异，会形成一个带状区域。

三符号定义R：地球半径；H：卫星距地面的距离；β：测控站观测边界与卫星和地心连线的夹角；λ：观测区域在地心处形成的夹角；n：观测站的数量；i：卫星轨道与地球赤道的夹角；r：观测区域投影半径；θ：观测区域在地心处夹角的一半；v：卫星轨道未经过的表面积的一半；s：问题二中卫星可能经过的轨道区域面积；s：去掉的球壳面积；1s：一个观测站所能观测区域的面积；2s：去掉的多余面积;3s: 一个测控站可测控的实际区域面积；4四问题分析根据问题要求，为了直观而简便的描述卫星轨道位置与地球的关系，我们以半径分别为R和HR+的同心圆作为简图来分析，取地球上一点为观测点，取该点处0174的夹角扇形为观测区域，并做出轨道圆上观测边界点与地心的连线。

利用该图形，我们对观测站点的位置进行分析。

针对问题一，我们把卫星轨道看作是圆，利用地球半径及所给卫星距地高度求得测控站观测卫星时卫星所在轨道的弧长，测控站个数等于圆轨道周长比弧长。

针对问题二，由于地球自转等原因导致卫星轨道在地球上呈带状区域，同时轨道与赤道平面有一定夹角，所以带状区域面积就是球面积减去上下两个球盖面积。

测控站监测的区域投影在平面上是一个圆，为提高其精确性，我们利用计算把其算成一个正六边形（正六边形可以紧凑排列，减少盲点误差），用带状区域面积比上正六边形面积，这样可更准确计算出测控站个数。

五 模型的求解5.1 在问题一中，卫星轨道与测控站所覆盖卫星轨道范围如图根据三角形正弦定理可得HR R HR R+=⇒+=093sin arcsin93sin sin ββ （1）由三角形内角和定理可知()βλ-=087*2 （2）对观测区域进行全球平均分配可得λλ360)(360)(⇒++=H R H R n （3）我们在此利用C#语言对该模型进行编程，并把该程序作为我们的算法对模型进行求解。

取地球半径为6371.3公里，卫星离地距离为343公里。

代入得12=n5.2 取赤道平面为xoy 坐标面，地轴为z 轴。

则卫星轨道所在的球面方程为()2222H R zy x +=++.由卫星轨道与赤道的夹角i 可求出卫星不通过轨道球面区域为∑()()⎩⎨⎧+≤++=++θ22222222sin H R y x H R z y x利用第一类曲面积分求去掉的球壳面积1s ，dS y z x z dv s ⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+==221122()dxdy yx H R HR dv ⎰⎰⎰⎰--++=22222；()θrdrd rH R HR dv ⎰⎰⎰⎰-++=2222()()rdr rH R HR dv iH R ⎰⎰⎰+-++=sin2242π；()()i H R sin 142-+=π则带状区域的面积s 为卫星所在轨道球面的面积减去1s ，所以()()()i HR H R s sin 14422-+-+=ππ()i H R sin 42+=π同理，利用同样的方法可求得一个观测站可观测区域的面积2s ：()()θπcos 1222-+=HR s ，经计算可得观测区域投影半径：()θsin H R r +=为了使观察区域没有盲点，由假设可将投影圆近似为正六边形，则去掉的多余面积3s23233r s ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π 所以，一个测控站可测控的实际区域面积4s4s ()()22233cos 12r HR ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=πθπ则测控站要观察卫星经过的所有可能区域所需的测控站数量n 为()()()222233cos 12sin4r HR iHR n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---++=πθππ我们同样利用C#语言对该模型进行编程，并将程序作为我们的算法。

根据我们收集得来的数据可知，神舟六号飞船的轨道倾角为04.42，距地面高度为343公里，输入程序后得44=n 。

5.3 我们搜集到一些有关神六的数据，根据已有的公式，将神舟六号飞船的轨道倾角为04.42，距地面高度为343公里代入，的44=n 。

而实际测控站为23个，故其不能全程跟踪，存在一些盲点。

在此基础上我们还可根据数据建立图像观测。

14.89″-30-20-10102030405060050100150200经度纬度系列1六 模型评价首先，本文通过对卫星运行的分析与查找资料，作出合理假设。

建立数学模型 ：()()()222233cos 12sin4r HR i HR n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++=πθππ其次以神舟六号载人飞船的数据为基础，运用此模型计算。

因所得的理论数据与实际较为相符，故该模型能在一定的程度上反映客观事实，有一定的实用性。

然而，该模型的局限性在于，以圆为轨道形状，未能更加客观的反映卫星的实际运动状况，在数据上造成一些误差，有待改进。

七 参考文献[1].《卫星大地测量方法》 库特•阿诺尔德著 测量出版社 1980 [2].《空间数据的误差处理》 魏克让 江聪世著 科学出版社 2002附录：（1）using System;class jm{static void Main(){Console.WriteLine("请输入卫星离地面的距离（公里）：");double h = float.Parse(Console.ReadLine());double r = 6371.3D;double pi = 3.14159D;double a = 93 * pi / 180.0;double b = Math.Asin(r * Math.Sin(a) / (r + h));double s = 2 * (87 - (b * 180 / pi));int n = Convert.ToInt32(360/s);Console.WriteLine("计算结果为：{0}", n.ToString());（2）using System;class a{static void Main(){Console.WriteLine("请输入卫星距离地球表面的距离H（公里）：");double h = float.Parse(Console.ReadLine());Console.WriteLine("请输入卫星的轨道倾角角度i(°)：");double i1 = float.Parse(Console.ReadLine());double pi =3.1415926D;double r = 6371.3D;double g = 15.7 * pi / 180.0;double i = i1 * pi / 180.0;double s1 = 4 * pi * Math.Pow((r + h), 2.0) * Math.Sin(i);double s2 = 2 * pi * Math.Pow((r + h), 2.0) * (1-Math.Sin(i));double s3 = 2 * pi * Math.Pow((r + h), 2.0) * (1 - Math.Cos(g));double r1=(r+h)*Math.Sin(g);double s4 = (pi - (3 * Math.Sqrt(3.0) / 2)) * Math.Pow(r1, 2.0);double s5 = s3 - s4;int n = Convert.ToInt32(s1/s5);Console.WriteLine("带状区域面积：{0}", s1.ToString());Console.WriteLine("去掉的球壳面积：{0}", s2.ToString());Console.WriteLine("观测站观测区域：{0}", s3.ToString());Console.WriteLine("观测区域投影半径：{0}", r1.ToString());Console.WriteLine("去掉的多余面积：{0}", s4.ToString());Console.WriteLine("实际观测区域：{0}", s5.ToString());Console.WriteLine("观测站个数：{0}", n.ToString());。