高中数学人教A版选修1-1课件：3-3-3 函数的最大(小)值与导数
高中数学选修1-1优质课件5：3.3.3 函数的最大(小)值与导数
极值与最值的区别与联系 (1)极值与最值是不同的，极值只是相对一点 附近的局部性质，而最值是相对于整个定义域或 所研究问题的整体性质． (2)函数的最值通常在极值点或区间端点取得， 若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．
极值与最值的区别与联系 (3)求函数的最值一般需要先确定函数的极 值．因此函数极值的判断是关键，如果仅仅是求 最值，可将导数值为零的点或区间端点的函数值 直接求出并进行比较，也可以根据函数的单调性 求最值．
思路探索：先求f′(x)，再令f′(x)＝0得到相应的x的 值，通过列表，确定出极值点，求极值与端点值， 从而比较大小确定最值．
解：(1)f′(x)＝－4x3＋4x，
令 f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得
x＝－，x＝0，x＝1.
当 x 变化时，f′(x)及 f(x)的变化情况如下表：
x
－3
(－3， －1)
－1 (－1，0) 0 (0，1) 1 (1，2) 2
f′(x)
＋
0
－
0 ＋ 0－
f(x) －60
极大值4
极
极
小 值
大 值
－5
3
4
∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60； 当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.
(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2) ＝3(x－1)2＋3， ∵f′(x)在[－1，1]内恒大于0， ∴f′(x)在[－1，1]上为增函数． 故x＝－1时，f(x)最小值＝－12； x＝1时，f(x)最大值＝2. 即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
3.3.3 函数的最大（小）值与导数
预习导学
1．函数的最大值与最小值 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图 象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最 小值．函数的最值必在极值点或区间端点取得．
高中新课程数学(新课标人教A版)选修1-1《3.3.3 函数的最大(小)值与导数》课件
(0，1) 1 (1，2) 2
＋ 0 极 大 值 4 － － 5
f ( x)
－60
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
∴当 x＝－3 时，f(x)取最小值－60； 当 x＝－1 或 x＝1 时，f(x)取最大值 4. (2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3， ∵f′(x)在[－1，1]内恒大于 0， ∴f′(x)在[－1，1]上为增函数． 故 x＝－1 时，f(x)最小值＝－12； x＝1 时，f(x)最大值＝2. 即 f(x)的最小值为－12，最大值为 2.
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π 在开区间 － 2
π ， 2 内连续不断的，但没有最
(3)若函数 f(x)在开区间 I 上只有一个极值，且是极大(小)值，则这 个极大(小)值就是函数 f(x)在区间 I 上的最大(小)值． (4)开区间(a，b)上连续函数 y＝f(x)的最值的几种情况 图(1)中的函数 y＝f(x)在开区间(a，b)上有最大值无最小值； 图(2)中的函数 y＝f(x)在开区间(a，b) 上有最小值无最大值； 图(3)中的函数 y＝f(x)在开区间(a，b) 上既无最大值也无最小值； 图(4)中的函数 y＝f(x)在开区间(a，b)上既有最大值又有最小值．
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[规范解答] (1)f′(x)＝3x2－2ax＋b， ∵函数 f(x)在 x＝－1 和 x＝3 处取得极值， ∴－1，3 是方程 3x2－2ax＋b＝0 的两根．(2 分) 2 －1＋3＝3a， a＝3， ∴ ∴ (4 分) b b＝－9. －1×3＝ ， 3 (2)由(1)知 f(x)＝x3－3x2－9x＋c， f′(x)＝3x2－6x－9.(6 分) 当 x 变化时，f′(x)，f(x)随 x 的变化如下表：
人教a版数学【选修1-1】：3.3.3函数的最大(小)值与导数(含答案)
3.3.3 函数的最大(小)值与导数 课时目标 1.能够区分极值与最值两个不同的概念.2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．最大值：如果在函数定义域I 内存在x 0，使得对任意的x ∈I ，总有______________，则称f (x 0)为函数在______________的最大值．2．一般地，如果在区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )的图象是一条______________的曲线，那么f (x )必有最大值和最小值．此性质包括两个条件：(1)给定函数的区间是____________；(2)函数图象在区间上的每一点必须______________．函数的最值是比较整个__________的函数值得出的，函数的极值是比较______________的函数值得到的．3．一般地，求f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f (x )在(a ，b )内的________；(2)将f (x )的各极值与________________________比较，其中________的一个是最大值，________的一个是最小值．一、选择题1．下列结论正确的是( )A ．若f (x )在[a ，b ]上有极大值，则极大值一定是[a ，b ]上的最大值B ．若f (x )在[a ，b ]上有极小值，则极小值一定是[a ，b ]上的最小值C ．若f (x )在[a ，b ]上有极大值，则极小值一定是x ＝a 和x ＝b 时取得D ．若f (x )在[a ，b ]上连续，则f (x )在[a ，b ]上存在最大值和最小值2．函数f (x )＝x 2－4x ＋1在[1,5]上的最大值和最小值是( )A ．f (1)，f (3)B ．f (3)，f (5)C ．f (1)，f (5)D ．f (5)，f (2)3．函数y ＝x e x 在[0,2]上的最大值是( ) A ．当x ＝1时，y ＝1e B ．当x ＝2时，y ＝2e 2 C ．当x ＝0时，y ＝0 D ．当x ＝12，y ＝12e 4．函数y ＝x ＋1－x 在(0,1)上的最大值为( )A. 2 B ．1 C ．0 D ．不存在5．已知函数f (x )＝ax 3＋c ，且f ′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c 的值为( )A ．1B ．4C ．－1D ．06．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为154，则a 等于( ) A ．－32 B.12 C ．－12 D ．－12或－32题 号 1 2 3 4 5 6 答 案7．函数f (x )＝ln x －x 在(0，e]上的最大值为________．8．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为__________________． 9．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M 、N ，则M －N 的值为________．10．求下列各函数的最值．(1)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]； (2)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]．11．已知f (x )＝x 3－x 2－x ＋3，x ∈[－1,2]，f (x )－m <0恒成立，求实数m 的取值范围．能力提升12．设函数f (x )＝12x 2e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．13．若f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值是－29，求a 、b 的值．1．求闭区间上函数的最值也可直接求出端点函数值和导数为零时x 对应的函数值，通过比较大小确定函数的最值．2．在求解与最值有关的函数综合问题时，要发挥导数的解题功能，同时也要注意对字母的分类讨论；而有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．3．3.3 函数的最大(小)值与导数答案知识梳理1．f (x )≤f (x 0) 定义域上2．连续不断 (1)闭区间 (2)连续不间断 定义域 极值点附近3．(1)极值 (2)端点处的函数值f (a )，f (b ) 最大 最小1．D [函数f (x )在[a ，b ]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a ，b ]上一定存在最大值和最小值．]2．D [f ′(x )＝2x －4，令f ′(x )＝0，得x ＝2.∵f (1)＝－2，f (2)＝－3，f (5)＝6.∴最大值为f (5)，最小值为f (2)．]3．A [y ′＝e x －x ·e x (e x )2＝1－x e x ，令y ′＝0得x ＝1. ∵x ＝0时，y ＝0，x ＝1时，y ＝1e ，x ＝2时，y ＝2e 2， ∴最大值为1e(x ＝1时取得)．] 4．A [y ′＝12x －121－x.由y ′＝0，得x ＝12. 又0<x <12时，y ′>0，12<x <1时，y ′<0， 所以y max ＝ 12＋ 1－12＝ 2.] 5．B [∵f ′(x )＝3ax 2，∴f ′(1)＝3a ＝6，∴a ＝2.当x ∈[1,2]时，f ′(x )＝6x 2>0，即f (x )在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝2×23＋c ＝20，∴c ＝4.]6．C [y ′＝－2x －2，令y ′＝0，得x ＝－1.当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意．当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上单调递减，最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)．] 7．－1解析 f ′(x )＝1x －1＝1－x x，令f ′(x )>0得0<x <1，令f ′(x )<0得x <0或x >1，∴f (x )在(0,1]上是增函数，在(1，e]上是减函数．∴当x ＝1时，f (x )有最大值f (1)＝－1.8.⎣⎡⎦⎤12，12e π2解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴f ′(x )＝e x cos x ≥0， ∴f (0)≤f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π2.即12≤f (x )≤12e π2. 9．20解析 f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，得x ＝1，(x ＝－1舍去)．∵f (0)＝－a ，f (1)＝－2－a ，f (3)＝18－a .∴M ＝18－a ，N ＝－2－a .∴M －N ＝20.10．解 (1)f ′(x )＝12＋cos x . 令f ′(x )＝0，又∵0≤x ≤2π，∴x ＝2π3或x ＝4π3.∴f ⎝⎛⎭⎫2π3＝π3＋32，f ⎝⎛⎭⎫4π3＝2π3－32，又∵f (0)＝0，f (2π)＝π.∴当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0，当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.(2)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3，∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0，∴f (x )在[－1,1]上为增函数．故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12；x ＝1时，f (x )最大值＝2.即f (x )在[－1,1]上的最小值为－12，最大值为2.11．解 由f (x )－m <0，即m >f (x )恒成立，知m >f (x )max ，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13或x ＝1. 因为f (－13)＝8627， f (1)＝2，f (－1)＝2，f (2)＝5.所以f (x )的最大值为5，故m 的取值范围为(5，＋∞)．12．解 (1)f ′(x )＝x e x ＋12x 2e x ＝e x 2x (x ＋2)． 由e x2x (x ＋2)>0，解得x >0或x <－2， ∴(－∞，－2)，(0，＋∞)为f (x )的增区间，由e x2x (x ＋2)<0，得－2<x <0， ∴(－2,0)为f (x )的减区间．∴f (x )的单调增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)；单调减区间为(－2,0)．(2)令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2，∵f (－2)＝2e2，f (2)＝2e 2，f (0)＝0， ∴f (x )∈[0,2e 2]，又∵f (x )>m 恒成立，∴m <0.故m 的取值范围为(－∞，0)．13．解 ∵f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，∴f ′(x )＝3ax 2－12ax .令f ′(x )＝0，解得x ＝0或4.∵4∉ [－1,2]，故舍去，∴f (x )取最大值，最小值的点在x ＝－1、0、2上取得，f (－1)＝－7a ＋b ，f (0)＝b ，f (2)＝－16a ＋b .当a >0时，最大值为b ＝3，最小值为－16a ＋b ＝－29，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3， 当a <0时，最大值为－16a ＋b ＝3，b ＝－29，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2b ＝－29， 综上所述：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－29.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？ 自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
同步人教A高中数学选修1-1课件：3.33.3.3函数的最大(小)值与导数
第三章导数及其应用3・3.3函数的最大（小）值与导数第三章导数及其应用考点学习目标函数的最求函数的了解函数的最大值、最小值核心素养数学抽象、直观的含义想象掌握利用导数求函数最值的方法数学运算W问题导学预习教材P96〜P98,并思考下列问题：1.什么是函数的最值？函数在闭区间上取得最值的条件是什么？2.函数的最值与极值有什么关系？3.求函数最值的方法和步骤是什么？«新知初探》1.函数在闭区间［a,刃上的最值如果在区间［“，方］上函数J =f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在［“，切上一定能够取得最大值和最小值, 并且函数的最值必在极值或端点值取得.■名师点拨对函数最值的三点说明(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值.若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念•⑶函数y=f(x)^[a9创上连续，是函数丿=沧)在0 "上有最大值或最小值的充分而非必要条件.2.函数最值的求法求函数丿二/仗）在仪，勿上的最值可分两种情况进行:⑴当函数冷）单调时：若函数y=f（x）^[a f,则/（a），/（方）为函数的最大值；若函数丿=/（兀）在0方]上单调递减，则/⑷为函数的最小值•⑵当函数沧）不单调时：①求y=/d）在e方）内的极值;②将尸心）的各极值与端点处的函数值/（“），/（方）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值•■名师点拨函数极值与最值的关系(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念.(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个.(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值.《自我检测》O判断(正确的打“ J ”，错误的打“ x ”)⑴函数的极大值一定是函数的最大值.⑵开区间上的单调连续函数无最值.( ⑶函数在区间［一1, 0)U(0, 1］上有最值.(X )设在区间［“，〃］上的函数/（兀）的图象是一条连续不断的曲线，且在区间（a,耐上可导，有以下三个命题：①若/（兀）在【“，勿上有最大值，则这个最大值必是［a,盯上的极大值；②若/（兀）在［a,们上有最小值，则这个最小值必是［a,刃上的极小值；③若/（兀）在［a』］上有最值，则最值必在x=a或兀=〃处取得. 其中正确的命题共有（）A. 0个C. 2个B. 1个D. 3个解析:选A.由于函数的最值可能在区间［“，盯的端点处取得,也可能在区间〃）内取得，故当在区间（“，〃）内取得时，最得最小值；当x=2时，取得最大值.而当最值在区间端点处取得时，其最值必不是极值，因此命题①②③都不正确.值必是相应的极值,当兀=0时，取函数/(x)=2x —cosx 在 R 上()A.无最值 解析：选A. /（x ）=2+sin x>0恒成立，所以于（无）在R 上单调递增，故函数/（兀）在R 上无最值.C.有最大值D.有最小值B.有极值0函数j=3x-4x3在区间［0, 2］上的最大值是（A.1B. 2C. 0D. -1解析：选A.设f(x)=3x~4x3f贝!)/(x) = - 12x2+3=3(2x+ 1)(1 一2x).当兀=；时，Ax)=0.因为于(0)=0, //(2)= -26,所以函数j=3x-4x3在区间［0, 2］上的最大值是1・(l)/(x)=2x 3—6X 2+3, X ^[—2, 4]； (2/(x)=e x(3-x 2), x£[2, 5].探究点可求已知函数的最值角度一 函数解析式不含参数 求下列各函数的最值.【解】(l)/y(x)=6x2—12x=6x(x—2).令得兀=o或兀=2・当兀变化时，/（X）, /（兀）的变化情况如下表:所以当兀=4时，/（兀）取得最大值35. 当x=-2时，/（兀）取得最小值一37.⑵因为/(x)=3e x—e v x2, 所以f (x)=3e x—(e x x2+2e x x) =—e x(x2+2x—3) =—e x(x+3)(x—1).因为在区间［2, 5］上，/(x)= -e x(x+3)(x-l)<0,即函数/(兀)在区间［2, 5］上单调递减,所以工=2时，函数沧)取得最大值/(2) = -e2；兀=5时，函数冷)取得最小值/(5)=-22e⑴求函数的导数fd)・(2)求方程f(x)=0的全部实根兀0,且x o e[«, b]. (3)求最值，有两种方式:①判断各分区间上的单调性，然后求出最值;②将沧o)的值与北)，/(〃)比较,确定/(兀)的最大值与最小值.求函数冷)在S 方]角度二函数解析式含参数设函S/(x) = 1 + (1 +a)x —x2—x3,其中a>0.⑴讨论沧）在其定义域上的单调性;⑵当兀丘［0, 1］时，求于仗）取得最大值和最小值时的兀的值.【解】（1#（兀）的定义域为R, f（x） = l-\-a-2x-3x2.严,沪-1+严令加=0,得沪T-Xi<x2,所以f(x) = — 3(x —Xj)(x —x2).当X<Xi或兀>兀2时，/(x)<o；当 X1<X<X2 时，/r(x)>0.⑵因为«>0,所以Xj<0, x 2>0.①当 心4时，x 2^l,由⑴知，沧）在［0, 1］上单调递增，所 以/（x ）^ x=0和兀=1处分别取得最小值和最大值.故/（兀）在一8,—1—寸 4+3「—1+寸 4+3〃3+ 8上单丿调递减，在 —1+、/4+3。
人教高中数学选修1-1：3.3.3函数的最大(小)值与导数课件
视察下面函数 y = f (x) 在区间 [ a , b ] 上的图象, 回答: (1) 在哪一点处函数 y = f (x) 有极大值和极小值?
极大: x = x1 x = x3 x = x5 极小: x = x2 x = x4 (2) 函数 y = f (x) 在[a,b]上有最大值和最小值吗?如果有,
最大值和最小值分别是什么?
y
x1
aO
x2
x
x3
b
正确区分极值和最值
(1)函数的最值是比较整个定义区间的函数值得 出的，函数的最大值和最小值可以在极值点、 不可导点、区间的端点取得，函数的极值是比 较极值点附近的函数值得出的，最值具有绝对 性，极值具有相对性．
(2)函数的最值是一个整体性概念，最大值必须 是整个区间上所有函数值中的最大的值，最小 值是所有函数值中的最小的值；极值只能在区 间内取得；但最值可以在端点处取得；极值有 可能成为最值．
(3)若连续函数在区间(a，b)内值只有一个极值， 那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．
正确理解“在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)必有最值．” 此性质包括两个条件：
(1)给定的区间必须是闭区间，f(x)在开区间上虽然连续 但不能保证有最大值或最小值．如 f(x)＝1x，x∈(0,1)，f(x) 在区间(0,1)连续，但没有最大值和最小值(如图)．
最大值和最小值分别是什么?
x1 x2 x3
x4 x5
视察下面函数 y = f (x) 在区间 [ a , b ] 上的图象, 回答:
(1) 在哪一点处函数 y = f (x) 有极大值和极小值?
极大: x = x2 极小: x = x1
x = x3
(2) 函数 y = f (x) 在[a,b]上有最大值和最小值吗?如果有,
高二数学人教A版选修1-1课件：3.3.3 函数的最大(小)值与导数
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预习导引
判一判(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)函数的最大值一定是函数的极大值. ( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值. ( ) (3)函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得. ( ) 提示:(1)× (2)√ (3)×
一 二三
知识精要
典题例解
x f'(x)
f(x)
(-∞,k-1) 单调递减↘
k-1 0 极小值-ek-1
(k-1,+∞) + 单调递增↗
所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞).
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
(2)当k-1≤0,即k≤1时,函数f(x)在[0,1]上单调递增, 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k; 当0<k-1<1,即1<k<2时, 由(1)知f(x)在[0,k-1)上单调递减,在(k-1,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-ek-1; 当k-1≥1,即k≥2时,函数f(x)在[0,1]上单调递减, 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.
由已知得 f'(0)=f'(1)=0,即
������ = 0, 3������ + 2������ + ������
=
0,
������ = 0,
解得
������
=
-
3 2
������,∴f'(x)=3ax2-3ax.
∴f'
1 2
=
3������ 4
高中数学人教A版选修1-1课件3-3-3函数的最大(小)值与导数3
三.综合应用问题
例题3 函数f(x)＝ax3－6ax2＋3bx＋b，其图 象在x＝2处的切线方程为3x＋y－11＝0. (2)(若1)函求数函y＝数f(xf)(x的)的图象解与析y式＝13；f ′(x)＋5x＋m 的图象有
三个不同的交点，求实数 m 的取值范围．
[解析] (1)由题意得 f ′(x)＝3ax2－12ax＋3b，f ′(2)＝－ 3 且 f(2)＝5，
数，进而使问题得以解决．
跟踪训练
若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值是3， 最小值是－29，求a、b的值． [解析] f ′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)． 令f ′(x)＝0，得x＝0，x＝4. ∵x∈[－1,2]，∴x＝0. 由题意知a≠0.
(1)若 a>0，则 f ′(x)，f(x)随 x 变化的情况如下表：
规范答题
已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c －16. (1)求a、b的值； (2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小 值．
[解题思路探究] 第一步，审题．审结论，确 定解题目标，求a、b的值需建立a、b的方程组
审条件，挖掘解题信息，“f(x)在x＝2处取得极值c－16”，应从 以下三方面把握： (一)f(2)＝c－16，(二)f ′(2)＝0，(三)c－16可能是极大值，也可 能是极小值，需依据解题过程和条件判断． 第二步，建联系，确定解题步骤． 先求f ′(x)，利用极值条件建立a、b的方程组，解方程组求a、b； 从而得到f(x)解析式；再解不等式f ′(x)>0(或f ′(x)<0)确定f(x)的单 调性；最后由极大值求c，再求f(x)在[－3,3]上的最小值． 第三步，规范解答．
人教A版高中数学选修1-1课件高二3.3.3函数的最大(小)值与导数
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x
1
(1,2)
2
(2,5)
5
f′(x)
-
0
+
f(x)
3
↗
2
↘
11
由表知：函数f(x)在区间［1，5］内的最大值为11，最小值为 2.
【归纳】解答题1的关键点和题2方法二的解题技巧. 提示：(1)在熟练掌握求解步骤的基础上，解答题1的关键在于 对函数进行正确的求导，正确的确定极值和端点函数值. (2)题2方法二的技巧在于把区间的端点值一并列表，在列表的 同时比较得出函数的最值，清晰明了.
x
不断，但y=f(x)没有最大值和最小值.
(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点也
不能保证y=f(x)有最大值和最小值.
例如，函数f(x)=
| x | 1(x
(-1 x 0)，
1, x
0),
作图可知f(x)无最小值.
2.函数极值与最值的内在联系 (1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大 值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有 函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的 最小值.
【典例训练】（建议教师以第1题为例题重点讲解） 1.函数f(x)=x3-x2-x+1在［-1,2］上的最大值为______，最小 值为_______. 2.求函数f(x)=x2-4x+6在区间［1,5］内的最大值和最小值.
【解析】1.解题流程 求导，解 方程
列表
∵f′(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1),
x2
x2
令f′(x)=0，解得x=1,
人教A版高中数学选修1-1 3-3-3 函数的最值与导数 课件(共33张ppt)
学以致用
1、函数 y＝x＋2cos x 在 0，
π 2 上取最大值时，x 的值为
(
)
A．0
B．π6
C．π 3
D．π 2
解析：选B y′＝1－2sin x，令y′＝0，得sin x＝12， ∵x∈0，π2，∴x＝π6. 由y′>0得sin x<12， ∴0≤x<π6；由y′<0得sin x>12，∴π6<x≤π2，
因为 f(2)＝2＋c，所以 f(2)＝2＋c 为最大值． 要使 f(x)<c2(x∈[－1,2])恒成立，只需 c2>f(2)＝2＋c， 解得 c<－1 或 c>2. 故 c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
归纳总结
恒成立问题向最值转化的方法 (1)要使不等式 f(x)<h 在区间[m，n]上恒成立，可先在 区间[m，n]上求出函数的最大值 f(x)max，只要 h>f(x)max， 则上面的不等式恒成立． (2)要使不等式 f(x)>h 在区间[m，n]上恒成立，可先在 区间[m，n]上求出函数 f(x)的最小值 f(x)min，只要 f(x)min>h， 则不等式 f(x)>h 恒成立．
由于当x＞32时，f′(x)＞0， 所以f(x)在32，＋∞上为增函数． 因此，函数f(x)在[－2，＋∞)上只有最小值－1145，无最大值．
归纳总结
求函数最值的四个步骤 第一步求函数的定义域． 第二步求f′(x)，解方程f′(x)＝0. 第三步列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表． 第四步求极值、端点值，确定最值．
解：存在显然 a≠0.f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．
令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝4(舍去)． (1)当 a>0，x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
高中数学人教A版选修1-1课件3-3-3函数的最大(小)值与导数1
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
点评：该题属于逆向探究题型，其基本的解决方法 是待定系数法，通常根据求最值的方法先求最值， 再由已知条件得到方程组后求解方程组得答案．
变式迁移
3．已知函数 f(x)＝lnx－ax.
(1)当 a＞0 时，判断 f(x)在定义域上的单调性；
(2)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈－3，12.
解析：(1)f (x)＝－3x2＋3，
令f (x)＝－3x2＋3＝0，得x＝±1.
3
∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(－)＝0，f()＝0，
∴f(x)的最大值是2，最小值是－2.
(2)f (x)＝－4x3＋4x，
令f (x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1,0,1.
(2)若 f(x)在[1，e]上的最小值为32，求 a 的值．
基础练习
1. 函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最1，－1
B．1，－17
C．3，－17
D．9，－19
解析：根据求最值的步骤，直接计算即可得答案为C.
答案：C
当x变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表：
0，12
1 2
∴当x＝－3时，f(x)的最小值是－60； 当x＝－1时，f(x)的最大值是4. 点评：该题要求准确理解函数最值的求法，掌握求解函数 最值的一般步骤，学会用表格直观显示解题过程，特别要 注意极值点不在定义域内的情形．
变式迁移
1．求下列函数的最值：
人教版 选修1-1
第三章 导数及其应用
3.3 导数在研究函数中应用
3.3.3 函数的最大(小)值与导数
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极小值 ↗
极大值 ↘
π π 由上表知,x=3 为极大值点,x=-3 为极小值点. π π π π f 3 = √3 − 3 ,f - 3 =-√3 + 3 , π π π π f =2- ,f - =-2+ . 2 2 2 2 π π 通过比较知,[f(x)]max=√3 − 3 ,[f(x)]min
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课堂探究案
探究一求函数在闭区间上的最值 【例1】求下列函数在相应区间上的最值:
(1)f(x)=x3-3x2-10,x∈[-1,1]; (2)f(x)=2sin x-x,x∈
π π -2,2
.
分析求函数的导数,得到函数的极值点,求出极值,然后结合定义 域,将所有极值与区间端点的函数值进行比较求得最值. 解(1)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2), 令f'(x)=0,得x=0(x=2舍去). 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
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解 (1)f'(x)=
-(x+1)(x -3) (x 2 +3)2
,令 f'(x)=0,得 x=-1 或 3,
容易验证函数在 x=-1 处取得极小值,在 x=3 处取得极大值. 又因为当 x=1 时,y=0,当 x<1 时,y<0,当 x>1 时,y>0, 据此可以画出函数的大致图象,如下图:
3 2 3
=-214,f(2)=-16,
所以函数的最大值为
3 64,最小值为-21 . 4
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探究二求函数在开区间或无穷区间上的最值 【例2】 求下列函数的最值:
x -1 (1)f(x)= 2 ; x +3
(2)f(x)=(x2-3)ex. 分析没有给定相应的闭区间,因此应分析函数在其定义域上的单 调性与极值情况,根据单调性与极值画出函数的大致图象,结合图 象求出最值.
π π x1=3 ,x2=-3 .
根据x1,x2列表,分析f'(x)的符号和函数的单调性:
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x f'(x)
-2
π
π π π -3 - ,2 3 0
π
π π - , 3 3 + 0
π 3 -
π π , 3 2
π 2 2-2
π
y=f(x) -2+ 2 ↘
由图象可知:函数的最大值等于 f(3)=32 +3 = 6,最小值等于
1 f(-1)= 2 =- . (-1) +3 2 -1-1
3-1
1
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(2)函数的定义域是R,且y'=2x· ex+(x2-3)ex=ex(x2+2x-3), 令y'>0,得x>1或x<-3; 令y'<0,得-3<x<1,
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做一做2 函数y=x3-3x+3在区间[-3,3]上的最小值为( A.1 B.5 C.12 D.-15 解析y'=3x2-3, 令y'=0,得3x2-3=0,∴x=1或x=-1. 当-1<x<1时,y'<0;当x>1或x<-1时,y'>0, ∴y极小值=1,y极大值=5. 又当x=-3时,y=-15;当x=3时,y=21, ∴ymin=-15. 答案D
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做一做1 下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 答案D
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2.函数在闭区间[a,b]上最值的求法 一般地,求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大 的一个是最大值,最小的一个是最小值.
)
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线,则f(x)在[a,b]上存 在极值和最值. ( ) (2)函数的最值有可能在极值点处取得. ( ) (3)若f(x)在区间(a,b)上的图象是连续不断的曲线,则f(x)在(a,b)上 存在最值. ( ) (4)如果函数f(x)在(a,b)上只有一个极值,那么这个极值就是相应 的最值. ( ) 答案(1)× (2)√ (3)× (4)√
所以函数f(x)在(-∞,-3)和(1,+∞)上递增,在(-3,1)上递减,
因此函数f(x)在x=-3处取得极大值,极大值等于f(-3)=6e-3; 在x=1处取得极小值,极小值等于f(1)=-2e.
又由 y>0,得 x>√3或 x<-√3; 由 y<0 得,-√3<x<√3.所以函数的大致图象如下:
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x -1 f'(x)
(-1,0) 0 + 0 极大值-10
(0,1) 1 递减 -12
f(x) -14 递增
所以当x=-1时,函数取最小值f(-1)=-14,当x=0时,函数取最大值f(0)=10. (2)f'(x)=2cos x-1,
令 f'(x)=0,得
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变式训练 1
求函数 y=4x3+3x2-36x+12 在区间[-2,2]上的最值.
3 2
解 y'=12x2+6x-36=6(2x2+x-6), 令 y'=0,得 x1=-2,x2= . 因为 f(-2)=64,f
3.3.3
函数的最大(小)值与导数
-1-
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学 习 目 标
思 维 脉 络
1.了解函数的最 大值、最小值的 含义. 函数的最大(小)值与 2.理解导数与函 最值的意义 数最值的关系. 导数 最值的求法 3.掌握利用导数 求函数最值的方 法.
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1.函数在闭区间的最值 一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲 线,那么它必有最大值和最小值.