基本不等式与解三角形--2023届高三数学一轮复习专题训练

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2023届高三数学一轮复习专题解三角形讲义 (解析版)

单元（或主题）教学设计模板以下内容、形式均只供参考，参评者可自行设计。

教学过程既可以采用表格式描述，也可以采取叙事的方式。

如教学设计已经过实施，则应尽量采用写实的方式将教学过程的真实情景以及某些值得注意和思考的现象和事件描述清楚；如教学设计尚未经过实施，则应着重将教学中的关键环节以及教学过程中可能出现的问题及处理办法描述清楚。

表格中所列项目及格式仅供参考，应根据实际教学情况进行调整。

问题，体验数学在解决实际问题中的作用，提升学生数学抽象、数学建模、直观想象、数学运算的数学核心素养。

重点：掌握正弦定理、余弦定理及面积公式，并能正确应用定理解三角形难点：能应用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量与几何计算有关的实际问题。

3.单元（或主题）整体教学思路（教学结构图）第一课时，正弦定理及可以解决的问题第二课时，余弦定理及可以解决的问题第三课时，三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理的选择第1课时教学设计课题正弦定理课型新授课□章/单元复习课□专题复习课√习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□1.教学内容分析本课时是解三角形复习课的起始课，由实际问题出发引起学生对定理及变形的回忆，提升学生数学建模、直观想象的核心素养；由几个典型的例题，归纳出正弦定理可以解决的类型，再由定理本身出发再次分析定理可以解决的类型，提升学生逻辑推理、数学运算的核心素养，提高学生对数学符号解读的能力。

再析定理，进而推出“三角形面积公式”，提升学生逻辑推理的核心素养。

3、你还有哪些收获？活动意图说明对于本节课的重点内容强化提问，既检测又强化重点。

“你还有哪些收获”，希望学生能够答出：三角形面积公式、SSA 的情况可能出现两解、取舍的方法、方程和数形结合的思想方法等。

环节六：课堂检测教的活动61、在中，已知 45,30,10A C c cm ︒︒===，求a 边. 2、在△ABC 中，π32,6,2===B b c ，求∠A 。

2023年新高考数学一轮复习2-2 基本不等式及其应用(真题测试)解析版

专题2.2 基本不等式及其应用（真题测试）一、单选题1．（2015·湖南·高考真题（文））若实数,a b 满足12a b+=，则ab 的最小值为AB ．2C ．D ．4【答案】C 【解析】【详解】12121002ab a b ab ab a ba b a +=∴=+≥⨯∴≥，＞，＞，（当且仅当2b a =时取等号），所以ab 的最小值为 C.2．（2019·浙江·高考真题）若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 3．（2017·山东·高考真题（理））若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是 A ．21log ()2aba ab b +<<+ B ．21log ()2a b a b a b<+<+ C ． 21log ()2a b a a b b +<+< D ． 21log ()2aba b a b +<+< 【答案】B 【解析】【详解】因为0a b >>，且1ab =，所以221,01,1,log ()log 1,2aba b a b ><<∴+= 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+ ，所以选B.4．（2015·四川·高考真题（理））如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为 A ．16 B ．18 C ．25 D ．812【答案】B 【解析】【详解】2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，822n m --≥-即212m n +≤.226,182m nm n mn +⋅≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，8122n m --≤-即218m n +≤.28129,22n m n m mn +⋅≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n .所以(182)(1828)816mn n n =-<-⨯⨯=，所以最大值为18.选B..5．（2014·福建·高考真题（文））要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A ．80元 B ．120元 C ．160元 D ．240元【答案】C 【解析】【详解】设长方体底面边长分别为,x y ，则4y x=，所以容器总造价为42()102020()80z x y xy x x =+⨯+=++，由基本不等式得，420()80160z x x=++≥，当且仅当底面为边长为2的正方形时，总造价最低，选C. 6.（2022·全国·模拟预测（文））已知11a b c b >>>>，给出以下不等式：①2b c +>；②1a c>；③1a c b +>+，则其中正确的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】【分析】对于①：利用基本不等式证明；对于②、③：取特殊值否定结论. 【详解】对于①：因为11b c b >>>，所以10b >，所以12b c b b +>+≥=，即2b c +>.故①正确；对于②：取12,2a c ==满足11a b c b >>>>，但是12a c==，所以1a c >不一定成立.故②错误；对于③：取732,,44a b c ===满足11a b c b >>>>，但是311244a c +=+=，7111144b +=+=，此时1a c b +=+，所以1a c b +>+不一定成立.故③错误. 故选：B7．（2022·江苏·泰州中学高二阶段练习）已知实数a ，b ，c 满足1a b c ++=，2221a b c ++=，则a b +的取值范围是（） A ．[1,1]- B ．1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[0,2]【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得1+=-a b c ，()()2222[12]ab a b a b c c =+-+=-，结合基本不等式，求出c 的范围，即可求出a b+的取值范围．【详解】∵1a b c ++=，2221a b c ++=，∴1+=-a b c ，()()2222[12]ab a b a b c c =+-+=-，∵22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()2214c c c --≤，∴113c -≤≤，∴4013c ≤-≤，∴403a b ≤+≤，故选：C. 8．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知0,0a b >>，定义29(,)max 2,2b b H a b a a -⎧⎫=++⎨⎬⎩⎭，则(,)H a b 的最小值是（）A ．5B ．6C ．8D ．1【答案】A 【解析】【分析】利用定义得到2(,)29(,)2b b H a b a H a b a -⎧≥+⎪⎨≥+⎪⎩，两个不等式相加后利用基本不等式可求出结果.【详解】由定义29(,)max 2,2b b H a b a a -⎧⎫=++⎨⎬⎩⎭，得2(,)29(,)2bb H a b a H a b a -⎧≥+⎪⎨≥+⎪⎩，所以292(,)22bb H a b a a -≥+++2922b b a a -=+++≥6410=+=，当且仅当2922b b a a -⎧=⎪⎨⎪=⎩，即31a b =⎧⎨=⎩时，取等号.所以(,)5H a b ≥，即(,)H a b 的最小值为5. 故选：A 二、多选题9．（2021·上海金山·高一期末）已知00a b >>，，则下列不等式恒成立的是（）A ．()24a b ab +≤； B．2a b+≥ C ．2a b a b a ++-≤； D ．2a b a b b +--≥.【答案】AB 【解析】【分析】利用基本不等式、绝对值三角不等式，判断出正确结论. 【详解】由基本不等式可知2a b +a b =时等号成立，B 选项正确，两边平方得()24a b ab +≤，当且仅当a b =时等号成立，A 选项正确.根据绝对值三角不等式2a b a b a b a b a ++-≥++-=，C 选项错误.根据绝对值三角不等式2a b a b a b b a a b b a b +--=+--≤++-=，D 选项错误. 故选：AB10．（2020·海南·高考真题）已知a >0，b >0，且a +b =1，则（） A ．2212a b +≥B ．122a b ->C ．22log log 2a b +≥- D【答案】ABD 【解析】【分析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+++=，12a b ==时，等号成立，故D 正确；故选：ABD11．（2022·海南·海口一中高一期中）已知0,0a b >>，且2a b +=，则（） A ．24a b ->，∴a b a b -<+，∴224a b a b -+<=，A 正确B 选项，当13,22a b ==时，221121==1952+44a b <+，B 错误；C 选项，2lg lg lg lg()lg102a b a b ab ++=≤==，C 正确； D 选项，21213b b a b b aa b a b a b++=+=++≥+=，D 正确. 故选：ACD12．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知,x y ∈R ，且110,2x y x y>>+=，则下列不等式中一定成立的是（） A ．x y >B ．112x y+≥C ．22222x y x y +>+- D ．2211324x y ⎛⎫++> ⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】【分析】由不等式的性质与基本不等式判断. 【详解】110x y>>，0x y ∴<<，A 错；0,2x y x y <<+=，1111112222x y x y x y x y y x ⎛⎫+∴+=⋅+=++>= ⎪⎝⎭， 112x y ∴+≥成立，即B 正确；()222110x x x -+=-≥，得221x x ≥-，当且仅当1x =时取等号，同理，221y y ≥-，当且仅当1y =时取等号，又0x y <<，即,x y 不同时等于1，22222x y x y ∴+>+-，C 正确；当13,22x y ==时，2211349124x y ⎛⎫++=+⎪= ⎝⎭，D 错.故选：BC 三、填空题13.（2010·重庆·高考真题（文））已知0t >，则函数241t t y t -+=的最小值为____________ .【答案】-2 【解析】解析：241142(0)t t y t t t t -+==+-≥->，当且仅当1t =时，min 2y =-14．（2017·天津·高考真题（文））若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.【答案】4 【解析】【详解】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ，（前一个等号成立条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当22a b ==. 15．（2015·山东·高考真题（文））定义运算“⊗”： 22x y x y xy-⊗=（,0x y R xy ∈≠，）.当00x y >>，时，(2)x y y x ⊗+⊗的最小值是_______ .【解析】【详解】由新定义运算知，2222(2)4(2)(2)2y x y x y x y x xy--⊗==，因为，00x y ，>>，所以，22222242(2)22x y y x x y x y y x xy xy xy --+⊗+⊗=+=≥=当且仅当x =时，(2)x y y x ⊗+⊗的16．（2020·天津·高考真题）已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________．【答案】4【解析】【分析】根据已知条件，将所求的式子化为82a b a b+++，利用基本不等式即可求解. 【详解】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++842a b a b +=+≥=+，当且仅当a b +=4时取等号，结合1ab =,解得22a b ==22a b ==. 故答案为：417．（2022·河北保定·高二阶段练习）已知()1010,0a b a b +=>>. (1)求ab 的最大值； (2)求11a b+的最小值. 【答案】(1)140(2)11+【解析】【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可；（2）利用“1”的代换，将原式变形后再利用基本不等式求解即可. (1)因为0a >，0b >，所以101a b +=≥ 所以140ab ≤，当且仅当10a b =，即11,220a b ==时，等号成立，所以ab 的最大值为140. (2)因为()1010,0a b a b +=>>，所以()11111010111111b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭当且仅当10b a a b =，即a b ==所以11a b+的最小值为11+18．（2021·云南德宏·高一期末）运货卡车以x 千米/时的速度匀速行驶300千米，按交通法规限制50100x ≤≤(单位千米/时)，假设汽车每小时耗油费用为2(24)70x +元，司机的工资是每小时46元．（不考虑其他因所素产生的费用）(1)求这次行车总费用y (元)关于x (千米/时)的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用y 最低？求出最低费用的值．【答案】(1)2100030(50100)7xy x x =+≤≤(2)当70x =时，这次行车的总费用y 最低，最低费用为600元【解析】【分析】（1）先得到行车所用时间300()t h x=，再根据汽车每小时耗油费用和司机的工资求解；（2）由（1）的结论，利用基本不等式求解. (1)解：行车所用时间300()t h x =，汽油每小时耗油费用为2(24)70x +元，司机的工资是每小时46元，所以行车总费用为：23003002100030(24)46(50100)707x xy x x x x =⨯++⨯=+≤≤；(2)因为210003026007x y x =+≥=，当且仅当21000307xx =，即70x =时，等号成立，所以当70x =时，这次行车的总费用y 最低，最低费用为600元.19．（2022·新疆喀什·高一期末）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+ ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【答案】(1)400吨；(2)不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损. 【解析】【分析】（1）由题设平均每吨二氧化碳的处理成本为yx，应用基本不等式求其最小值，注意等号成立条件. （2）根据获利100S x y =-，结合二次函数的性质判断是否获利，由其值域确定最少的补贴额度. (1)由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为1800002002002002y x x x =+-≥=；当且仅当1800002x x=，即400x = 时等号成立，故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元. (2)不获利，设该单位每个月获利为S 元，则2211100100200800003008000022S x y x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭()21300350002x =---，因为[]400,600x ∈，则[]80000,40000S ∈--，故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.20．（2022·湖北·洪湖市第一中学高一阶段练习）已知关于x 的不等式2540bx x -+>的解集为{|1x x <或}x a >（1a >）.(1)求a ，b 的值；(2)当0x >，0y >，且满足1a bx y+=时，有226x y k k +>--恒成立，求k 的取值范围.【答案】(1)41a b =⎧⎨=⎩(2)(3,5)- 【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法可得1和a 是方程2540bx x -+=的两个实数根且0b >，从而利用韦达定理建立方程组即可求解；（2）由均值不等式中“1”的灵活运用可得min ()9x y +=，从而解一元二次不等式22150k k --<即可得答案. (1)解：因为不等式2540bx x -+>的解集为{|1x x <或}x a >（1a >），所以1和a 是方程2540bx x -+=的两个实数根且0b >，所以5141a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得41a b =⎧⎨=⎩；(2)解：由（1）知411x y+=，且0x >，0y >，所以4144()5529y x y x y x y x y x y x ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即63x y =⎧⎨=⎩时等号成立，依题意有2min ()26x y k k +>--，即2926k k >--，所以22150k k --<，解得35k -<<，所以k 的取值范围为(3,5)-.21．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知不等式()220ax a x b -++>的解集为A ，a ，b R ∈．(1)若{|1A x x =<或2}x >，求||||x a x b -++的最小值；(2)若2b =，且2A ∈，求3233a a+的最小值．【答案】(1)3【解析】【分析】（1）由题意可知方程()220ax a x b -++=的根为1,2，利用根与系数的关系可求出,a b 的值，再根据绝对值三角不等式即可求出结果；（2）根据题意可知1a >，再根据32231366a a a a a +=++，利用基本不等式即可求出结果.(1) 解：由于不等式的解集为{|1x x <或2}x >，所以21213212a a a a b b b a +⎧+=⎪=⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨=⎩⎪⨯=⎪⎩． ∴|||||()|||3x a x b x a x b a b -++≥--+=+=（当且仅当()()0x a x b -+≤时，等号成立）(2)解：当2b =时，不等式为2(2)20 ax a x -++>，(1)(2)0x ax -->因为2A ∈，2b =，所以可得1a >，所以32223113366a a a aa a a +=+=++≥=（当且仅当a =，所以3233a a + 22．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知函数()|1||2|f x x x =-++.(1)求不等式()5f x ≤的解集；(2)设x ∈R 时，()f x 的最小值为M .若正实数a ，b ，满足a b M +=，求1112+++a b 的最小值. 【答案】(1)[3,2]- (2)23【解析】【分析】（1）利用零点分区间法去绝对值号，解不等式，即可求出不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式求出3M =，再利用基本不等式“1”的妙用求出1112+++a b 的最小值. (1)()|1||2|5f x x x =-++≤，当2x -≤时，不等式化为512x x ≤-+--，解得3x ≥-，此时32x --≤≤；当21x -<<时，不等式化为1235x x -+++=≤，恒成立，此时21x -<<；当1≥x 时，不等式化为12215x x x -++=+≤，解得2x ≤，此时12x ≤≤. 综上所述，不等式的解集为[3,2]-；(2)()|1||2||12|3f x x x x x =-++≥---=.所以3M =，即3a b +=.所以(1)(2)6a b +++=，所以1111112112[(1)(2)]2(22)1261261263b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++++=++≥⨯+= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，当且仅当12+=+a b ，即2,1a b ==时取等号. 即1112+++a b 的最小值为23.。

2025年高考数学一轮复习-1.4-基本不等式-专项训练【含解析】

2025年高考数学一轮复习-1.4-基本不等式-专项训练【原卷版】时间：45分钟一、选择题1．设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是()A ．3B ．3－22C ．－1D ．3－232．已知x ≥52，则y ＝x 2－4x ＋52x －4有()A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值13．若对x >0，y >0，有(x ＋2y m 恒成立，则m 的取值范围是()A ．m ≤4B ．m >4C ．m <0D ．m ≤84．高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，已知当教室在第n 层楼时，上、下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，嘈杂声较小，环境较好，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低，设教室在第n 层楼时，环境不满意度为8n ，则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为()A ．2B ．3C ．4D ．85．已知a ，b ，c 满足a >b >c 时，不等式1a －b ＋1b －c ＋λc －a>0恒成立，则λ的取值范围是()A ．λ≤0B ．λ<1C ．λ<4D ．λ>46．若0<a 1<a 2,00，y >0，x ＋2y ＝1.若2x ＋1y >m 2＋3m ＋4恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，－4]∪[－1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－1,4)8．设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝2，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为()A.43B.23C.13D ．1二、填空题9．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是.10．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是.三、解答题11．已知正常数a ，b 和正实数x ，y 满足a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．12．某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为y 1万元，隔热层的厚度为x 厘米，两者满足关系式：y 1＝k2x ＋5(0≤x ≤10，k 为常数)．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元，15年的总维修费用为10万元，记y 2为15年的总费用．(总费用＝隔热层的建造成本费用＋使用15年的能源消耗费用＋15年的总维修费用)(1)求y 2的表达式；(2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用y 2最小，并求出最小值．13．(多选题)下列结论正确的是()A ．当x >0时，x ＋1x≥2B ．当x >2时，x ＋1x的最小值是2C ．当x <54时，y ＝4x －2＋14x －5的最小值为5D ．当x >0，y >0时，x y ＋yx≥214．已知0<a <1,0<b <1，不等式ax 2＋x ＋b ≥0对于一切实数x 恒成立，又存在x 0∈R ，使bx 20＋x 0＋a ＝0成立，则11－a ＋21－b 的最小值为()A.1023B ．4＋423C ．4＋2D ．4215．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为：F ＝76000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加辆/时．16．设a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝2 2.(1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值．2025年高考数学一轮复习-1.4-基本不等式-专项训练【解析版】时间：45分钟一、选择题1．设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是(D )A ．3B ．3－22C ．－1D ．3－23解析：∵x >0，∴3x ＋1x ≥23x ·1x＝23，当且仅当x ＝33时取x －23，则y ＝3－3x －1x≤3－23，故选D.2．已知x ≥52，则y ＝x 2－4x ＋52x －4有(D )A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1解析：y ＝x 2－4x ＋52x －4＝(x －2)2＋12(x －2)＝12(x －2)＋1x －2≥1，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立，故y 有最小值1，故选D.3．若对x >0，y >0，有(x ＋2y m 恒成立，则m 的取值范围是(D )A ．m ≤4B ．m >4C ．m <0D ．m ≤8解析：由x >0，y >0，得(x ＋2y2＋4y x ＋xy ＋2≥4＋24y x ·x y＝8，当且仅当2y ＝x 时取等号，则m ≤8，故选D.4．高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，已知当教室在第n 层楼时，上、下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，嘈杂声较小，环境较好，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低，设教室在第n 层楼时，环境不满意度为8n ，则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为(B )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：由题意知，教室在第n 层楼时，同学们总的不满意度y ＝n＋8n≥42，当且仅当n ＝8n，即n ＝22时，不满意度最小，又n ∈N *，分别把n ＝2,3代入y ＝n ＋8n ，易知n ＝3时，y 最小，故最适宜的教室应在3楼．5．已知a ，b ，c 满足a >b >c 时，不等式1a －b ＋1b －c ＋λc －a >0恒成立，则λ的取值范围是(C )A ．λ≤0B ．λ<1C ．λ<4D ．λ>4解析：由题意知，原不等式可变形为λ<(a －c[(a －b )＋(b －c )]1＋a －b b －c ＋b －c a －b ＋1，而1＋a －b b －c ＋b －ca －b ＋1≥4(当且仅当(a －b )2＝(b －c )2时等号成立)，则λ<4.故选C.6．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是(A )A ．a 1b 1＋a 2b 2B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1D.12解析：由0<a 1<a 2,00，所以a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.注意到1＝(a 1＋a 2)(b 1＋b 2)＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 1b 2＋a 2b 1<2(a 1b 1＋a 2b 2)，所以a 1b 1＋a 2b 2>12.综上可知a 1b 1＋a 2b 2最大．7．已知x >0，y >0，x ＋2y ＝1.若2x ＋1y >m 2＋3m ＋4恒成立，则实数m 的取值范围是(C )A ．(－∞，－4]∪[－1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－1,4)1x ＋2y )＝4＋4y x ＋xy ≥8，即m 2＋3m ＋4<8恒成立，m 2＋3m －4<0的解集为(－4,1)．故选C.8．设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝2，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为(A )A.43 B.23C.13D ．1解析：由题意，得(x ＋y ＋z )2＝x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx )≤x 2＋y 2＋z 2＋(x 2＋y 2)＋(y 2＋z 2)＋(x 2＋z 2)＝3(x 2＋y 2＋z 2)，即x 2＋y 2＋z 2≥(x ＋y ＋z )23＝43(当且仅当x ＝y ＝z ＝23时取等号)，所以x 2＋y 2＋z 2的最小值为43，故选A.二、填空题9．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是a ≥15.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.10．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是233.解析：注意到消元有难度，而目标式为x ＋y ，且条件可以构造出x ＋y 的平方，于是1＝(x ＋y )2－xy ≥(x ＋y )2－(x ＋y 2)2＝34(x ＋y )2，所以43≥(x ＋y )2，所以－233≤x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y ＝33时取最大值233.三、解答题11．已知正常数a ，b 和正实数x ，y 满足a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．解：因为x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y a ＋b ＋ay x ＋bxy ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当ay x ＝bx y ，即yx＝ba时，等号成立，所以x＋y的最小值为(a＋b)2＝18，又a＋b＝10，所以ab＝16.所以a，b是方程x2－10x＋16＝0的两根，所以a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.12．某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为y1万元，隔热层的厚度为x厘米，两者满足关系式：y1＝k2x＋5(0≤x≤10，k为常数)．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元，15年的总维修费用为10万元，记y2为15年的总费用．(总费用＝隔热层的建造成本费用＋使用15年的能源消耗费用＋15年的总维修费用)(1)求y2的表达式；(2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用y2最小，并求出最小值．解：(1)依题意，当x＝0时，y1＝6，∴6＝k5，∴k＝30.故y1＝302x＋5，y2＝4x＋302x＋5·15＋10＝4x＋4502x＋5＋10(0≤x≤10)．(2)y2＝4x＋4502x＋5＋10＝(4x＋10)＋4502x＋5＝2(2x＋5)＋4502x＋5≥22(2x＋5)·4502x＋5＝60，当且仅当2(2x＋5)＝4502x＋5，即x＝5时，y2取得最小值，最小值为60，∴隔热层的厚度为5厘米时，15年的总费用达到最小值，最小值为60万元．13．(多选题)下列结论正确的是(AD )A ．当x >0时，x ＋1x ≥2B ．当x >2时，x ＋1x的最小值是2C ．当x <54时，y ＝4x －2＋14x －5的最小值为5D ．当x >0，y >0时，x y ＋yx≥2解析：在A 中，当x >0时，x >0，x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时取等号，结论成立；在B 中，当x >2时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号，但x >2取不到1，因此x ＋1x 的最小值不是2，结论错误；在C 中，因为x <54，所以5－4x >0，则y ＝4x －2＋14x －5＝－5－4x ＋15－4x 3≤－2×(5－4x )·15－4x＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时取等号，结论错误；显然D 正确，故选AD.14．已知0<a <1,0<b <1，不等式ax 2＋x ＋b ≥0对于一切实数x 恒成立，又存在x 0∈R ，使bx 20＋x 0＋a ＝0成立，则11－a ＋21－b 的最小值为(B )A.1023B ．4＋423C ．4＋2D ．42解析：因为不等式ax 2＋x ＋b ≥0对于一切实数x 恒成立，所以对应方程的根的判别式Δ1＝1－4ab ≤0，即4ab ≥1.又存在x 0∈R ，使bx 20＋x 0＋a ＝0成立，所以Δ2＝1－4ab ≥0，即4ab ≤1，所以4ab ＝1，即b ＝14a (1<4a <4)．所以11－a ＋21－b ＝11－a ＋21－14a＝44－4a ＋24a －1＋2＝44－4a(4－4a ＋4a －1)×13＋24a －1(4－4a ＋4a －1)×13＋2＝2＋134(4a －1)4－4a ＋2(4－4a )4a －1＋2≥4＋13×28＝4＋423(当且仅当4(4a －1)4－4a ＝2(4－4a )4a －1时，等号成立)．所以11－a ＋21－b 的最小值为4＋423.15．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为：F ＝76000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为1_900辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/时．解析：(1)当l ＝6.05时，F ＝76000v ＋20×6.05v＋18≤760002121＋18＝1900，当且仅当v ＝20×6.05v ，即v ＝11时等号成立．(2)当l ＝5时，F ＝76000v ＋20×5v＋18≤760002100＋182000，当且仅当v ＝20×5v ，即v ＝10时等号成立，2000－1900＝100(辆/时)．16．设a ，b 为正实数，且1＋1＝2 2.(1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值．解：(1)∵a ，b 为正实数，且1a ＋1b＝22≥21ab(a ＝b 时等号成立)．即ab ≥12(a ＝b 时等号成立)．∵a 2＋b 2≥2ab ≥2×12＝1(a ＝b 时等号成立)．∴a 2＋b 2的最小值为1.(2)∵1a ＋1b ＝22，∴a ＋b ＝22ab ，∵(a －b )2≥4(ab )3，∴(a ＋b )2－4ab ≥4(ab )3，即(22ab )2－4ab ≥4(ab )3.即(ab )2－2ab ＋1≤0，(ab －1)2≤0，∵a ，b 为正实数，∴ab ＝1.。

2023年高考数学一轮复习模拟试题专题06 解三角形(解析版+原卷版)

专题06解三角形一、单选题1．（2021·广东·高三阶段练习）已知ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，则根据条件解三角形时有两解的一组条件是（） A ．1a =，2b =，4A π= B ．2a =，1b =，4A π=C ．2a =，3b =，6A π=D ．4a =，3b =，23A π=【答案】C 【分析】由正弦定理与大边对大角逐项判断即可求解【详解】对于A ：由sin sin a bA B=得：12sin sin 4B π=，所以sin 1B >，无解，A 错误；对于B ：由sin sin a b A B =得：21sin sin 4B π=，所以sin B =a b >，故A B >，此时有一个解，B 错误；对于C ：由sin sin a bA B =得：23sin sin 6B π=，所以3sin 4B =，又a b <，故A B <，此时有两个解，C 正确；对于D ：由sin sin a b A B =得：432sin sin 3B π=，所以sin B =a b >，故A B >，此时有一个解，D 错误；故选：C2．（2021·广东·高三阶段练习）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形【答案】C 【分析】直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状．【详解】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2+c 2＝a 2+bc ．则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π，故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ，利用正弦定理得：bc ＝a 2，所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0，故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形．故选C ．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．3．（2021·广东·高三阶段练习）如图，从地面上C ，D 两点望山顶A ，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知100CD =米，点C 位于BD 上，则山高AB 等于（）A ．502B ．3C ．100米D ．)5031米【答案】D 【分析】在RtABD 和Rt ABC 中用AB 表示出BD ，BC ，再列式经计算即可得解. 【详解】依题意，30,45ADC ACB ∠=∠=，AB BD ⊥，在RtABD 中，3tan 30ABBD ==，在Rt ABC 中，BC AB =，而BD BC CD -=100AB -=，1)AB ==，所以所以山高AB 等于1)米. 故选：D4．（2021·广东·高三阶段练习）在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积，若三角形的三边长分别为,,a b c ，则其面积S =()12p a b c =++，现有一个三角形边长,,a b c 满足7,5a b c +==，则此三角形面积最大值为（）A ．BC ．D 【答案】D 【分析】由题得6p ，进而得S 【详解】解：由7,5a b c +==，可得162pa b c ，则S ==当且仅当66a b -=-，72a b ==时，S 故选：D 【点睛】本题考查知识迁移与应用能力，是中档题.本题解题的关键是根据题意得S =.5．（2021·广东·深圳市福田区福田中学高三阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足3a =，4b =，6A π=，则cos B =（）A ．23B C ．D ．【答案】D 【分析】根据正弦定理及同角三角函数基本关系求解.【详解】由正弦定理知，14sin 22sin 33b AB a⨯===，所以5cos 3B =±，故选：D6．（2021·广东·高三阶段练习）2021年7月份河南郑州地区发生水灾，灾后需要对市区所有街道进行消毒处理．下面是消毒装备的示意图，MN 为路面，PQ 为消毒设备的高，O Q 为喷杆，PQ MN ⊥，34PQO π∠=，O 处是喷洒消毒水的喷头，且喷头的喷射角3AOB π∠=，已知2PQ =，2OQ，则消毒水喷洒在路面上的宽度AB 的最小值为（）A 3B ．23C 53D ．33【答案】B 【分析】先作辅助线，求出△OAB 的高线，然后用△OAB 面积的两种用法得到3AB OB =⋅，进而转化为求解OA OB ⋅的最小值，利用余弦定理和基本不等式求解出最后的结果. 【详解】过点O 作OC ⊥AB 于点C ，过点Q 作QD ⊥OC 于点D 因为PQ MN ⊥，34PQO π∠=，所以4QOD OQD π∠=∠= 因为2OQ，2PQ =，所以1OD =，2CD PQ ==，所以3OC =因为3AOB π∠=，由面积公式得：13sin 23OABSOA OB OB π=⋅=⋅ 又因为1322OABSAB OC AB =⋅=所以3342OA OB AB ⋅=，即36AB OA OB =⋅ 要想使得消毒水喷洒在路面上的宽度AB 的最小值，只需OA OB ⋅最小由余弦定理得：2222cos3AB OA OB OA OB π=+-⋅即22236OA OB OA OB OA OB ⎛⎫⋅=+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭化简为：2222112OA OB OA OB OA OB +⋅=+ 因为222OA OB OA OB +≥⋅，当且仅当OA OB =时等号成立所以221212OA OB OA OB OA OB +⋅≥⋅，解得：12OA OB ⋅≥或0OA OB ⋅≤（舍去）故33122366AB OA OB =⋅≥⨯=，此时23OA OB ==故选：B7．（2021·广东·高三阶段练习）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若2a =，1cos 3A =，sin 3sinBC =，则c =（）A ．12 B 2C ．322D ．2【答案】B 【分析】利用正弦定理角化边得到3b c =，再利用余弦定理构造方程求得结果. 【详解】sin 3sin B C =，3b c ∴=，由余弦定理得：22222cos 84a b c bc A c =+-==，212c ∴=，2c ∴=故选：B.8．（2021·广东·高三阶段练习）在ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2296cos 11b bc A c +=，则角B 的最大值为（）A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π 【答案】C 【分析】利用余弦定理将cos A 转换为边，将题中所给的式子转化为2223812a cb +=，利用余弦定理写出cos B ，将2b 的值代入，利用基本不等式求得cos B 的最小值，进而求得B 的最大值. 【详解】由2296cos 11b bc A c +=得2222296112b c a b bc c bc+-+⋅=，整理得2223812a cb +=，又2222222223894112cos 22242a c a c a cb ac B ac ac ac ++-+-+===≥=，当且仅当32a c =时取等号，因为(0,)B π∈，所以B 的最大值为3π，故选：C.二、多选题9．（2021·广东·福田外国语高中高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::4:5:6a b c =，则下列结论正确的是（）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC =B ．ABC 是钝角三角形C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC【答案】ACD 【分析】由正弦定理可判断A ；由余弦定理可判断B ；由余弦定理和二倍角公式可判断C ；由正弦定理可判断D. 【详解】解：由::4:5:6a b c =，可设4a x =，5b x =，6c x =，()0x >，根据正弦定理可知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，选项A 描述准确；由c 为最大边，可得2222221625361cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⋅⋅，即C 为锐角，选项B 描述不准确；2222222536163cos 22564b c a x x x A bc x x +-+-===⋅⋅，291cos 22cos 121cos 168A A C =-=⨯-==，由2A ，C ()0,π∈，可得2A C =，选项C 描述准确；若6c =，可得2sin c R C=，ABCD 描述准确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题. 10．（2021·广东·深圳市福田区福田中学高三阶段练习）在ABC 中，下列命题正确的是（） A ．若A B >，则sin sin A B >B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 定为等腰三角形或直角三角形 C ．在等边ABC 中，边长为2，则2AB BC ⋅=D ．若三角形的三边的比是3:5:7，则此三角形的最大角为钝角【答案】ABD 【分析】A ，根据正弦定理结合大角对大边可得结论；B ，根据诱导公式及三角函数图像与性质可得结论；C ，根据向量的数量积及夹角可得结论；D ，设出三边的长度，利用余弦定理即可求出最大角．【详解】解：对于A 选项，由正弦定理结合大角对大边得 sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，故A 选项正确；对于B 选项，由于sin 2sin 2sin(2)A B B π==-，由于A ，B 是三角形的内角，所以22A B = 或22A B π=-，即A B = 或2A B π+=，因此ABC 可能为等腰三角形或直角三角形，故B 选项正确；对于C 选项，在等边ABC 中，边长为2，则12222AB BC BA BC ⋅=-⋅=-⨯⨯=-,故C 选项不正确；对于D 选项，ABC 的三边之比为3:5:7，∴设三边长依次为3t ，5t ，7t ，其中0t >；则最大角是C ，由余弦定理知，22249925235cos t t t t t C =+-⨯⨯，1cos 2C ∴=-，120C ∴=︒．故D 选项正确．故选：ABD ．11．（2021·广东·高三阶段练习）在ABC 中，A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，设BC 边上的中点为M ，ABC 的面积为S ，其中a =2224b c +=，下列选项正确的是（）A ．若3A π=，则S =B ．S 的最大值为C ．3AM = D ．角A 的最小值为3π【答案】ABC 【分析】利用余弦定理结合三角形的面积公式可判断A 选项的正误；利用基本不等式结合三角形的面积公式可判断B 选项的正误；利用余弦定理可判断C 选项的正误；利用余弦定理结合基本不等式可判断D 选项的正误. 【详解】对于A ，由余弦定理可得222122cos 24a b c bc A bc ==+-=-，得12bc =，故1sin 2S bc A ==A 对；对于B ，由基本不等式可得22242b c bc =+≥，即12bc ≤，当且仅当b c ==由余弦定理可得22224126cos 22b c a A bc bc bc+--===，则11sin 22S bc A ====B 对；对于C ，AMB AMC π∠+∠=，则()cos cos cos AMB AMC AMC π∠=-∠=-∠，由余弦定理可得2224cos a AM c AMB AM a +-∠=⋅，2224cos a AM b AMC AM a+-∠=⋅，所以，22222244a a AM c AM b AM a AM a+-+-=-⋅⋅，整理可得2222924b c a AM +=-=，则3AM =，C 对；对于D ，由余弦定理可得2222212121cos 222b c a A bc bc b c +-==≥=+，当且仅当b c ==因为()0,A π∈且函数cos y x =在()0,π上单调递减，故03A π<≤，D 错.故选：ABC.12．（2021·广东·华南师大附中高三阶段练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =4，sin A =45，tan C =7，则下列结论正确的是（）A ．3cos 5A =±B ．4B π=C ．b =D ．△ABC 中的面积为【答案】BC 【分析】对于A ，由tan C =7可求出sin C=cos C sin A =45，可得角A 为锐角，从而可求出cos A 的值，对于B ，利用两角和的余弦公式可求得cos B 的值，从而可求出角B ，对于C ，利用正弦定理求解即可，对于D ，利用三角形的面积公式直接求解即可【详解】对于A ，由题意得sin tan 7cos CC C==，所以sin 7cos 0C C =>，因为22sin cos 1C C +=，所以sin C =cos C因为48sin 510A ==<所以sin sin <A C ，由正弦定理得a c <，所以A C <，所以cos 0A >，所以3cos 5A =，所以A 错误，对于B ，cos cos[()]cos()B AC A C π=-+=-+ cos cos sin sin A C A C =-+3455=-=因为0B π<<，所以4B π=，所以B 正确，对于C ，由正弦定理sin sin a b A B =，得4sin 24sin 5a Bb A===C 正确，对于D，11sin 4722210ABCS ab C ==⨯⨯=，所以D 错误，故选：BC三、双空题13．（2021·广东·华南师大附中高三阶段练习）已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos b C c B =，则tan tan CB=_________，111tan tan tan A B C ++的最小值为________. 【答案】2 【分析】由2cos cos b C c B =结合正弦定理可得tan 2tan CB=，从而可得23tan tan tan[()]2tan 1B A B C B π=-+=-，则有11127tan tan tan tan 36tan B A B C B++=+，再结基本不等式可求得答案【详解】解：∵2cos cos b C c B =， ∴2sin cos sin cos B C C B =， ∴tan 2tan C B =，tan 2tan CB=. 又A B C π++=，∴22tan tan 3tan 3tan tan tan[()]tan()1tan tan 12tan 2tan 1B C B BA B C B C B C B B π+=-+=-+=-=-=---∴21112tan 11127tan tan tan tan 3tan tan 2tan 36tan B B A B C B B B B-++=++=+ 又∵在锐角ΔABC 中tan 0B >，∴27tan 36tan B B +≥=当且仅当tan B =时取等号，检验可取，∴min111tan tan tan A B C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ 故答案为：2四、填空题 14．（2021·广东·金山中学高三期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为2a ，则c b b c+的最大值为______.【答案】【分析】利用三角形的面积计算公式得12•a •122a =bc sin A ，求出a 2＝2bc sin A ；利用余弦定理可得cos A 2222bc a bc +-=，得b 2+c 2＝a 2+2bc cos A ，代入22c b b c b c bc++=，化为三角函数求最值即可．【详解】因为 S △ABC 12=•a •122a =bc sin A ，即a 2＝2bc sin A ；由余弦定理得cos A 2222b c a bc+-=，所以b 2+c 2＝a 2+2bc cos A ＝2bc sin A +2bc cos A ；代入得22c b b c b c bc++==2sin A +2cos A ＝（A 4π+），当A 4π=时，4c b b +取得最大值为．故答案为【点睛】本题考查了三角形的面积计算公式、余弦定理、两角和差的正弦计算公式的应用问题，考查了推理能力与计算能力，是综合性题目．五、解答题15．（2021·广东·广州市真光中学高三阶段练习）已知ABC 中，,,a b c 分别为角A B C ，，的对边，a b >且cos2sin a B b A =．（1）求B ；（2）若D 为BC 边的中点，AD BC ==ABC 的面积．【答案】（1）6B π=；（2）【分析】（1）利用正弦定理化边为角可得sin cos2sin sin A B B A =，化简可得22sin sin 10B B +-=，结合0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即得解；（2）在ABD △中，由余弦定理得2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅，可得4AB =，利用面积公式1sin 2ABC S AB BC B =⋅⋅即得解【详解】（1）ABC 中由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===及条件cos2sin a B b A =，可得sin cos2sin sin A B B A =，∵()0,A π∈，sin 0A >，∴cos2sin B B =，∵2cos 212sin sin B B B =-=，∴22sin sin 10B B +-=，sin 1B =-或1sin 2B =，又∵a b >，∴A B >，∴0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 0B >，∴6B π=（2）D 为BC 边的中点，AD =BC =BD =ABD △中，由余弦定理得2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅， ∴273236AB AB π=+-，∴2340AB AB --=，∵0AB >，∴4AB =，11sin 423sin 302322ABC S AB BC B =⋅⋅=⨯⨯︒=△ 16．（2021·广东·高三阶段练习）已知ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos cos 1sin sin 2sin A B A B C -=-.（1）求角C ；（2）若4c =，2232a b +=，求ABC 的面积. 【答案】（1）3C π=；（2）43【分析】（1）根据两角差的余弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.【详解】（1）2cos cos 1sin sin 2sin A B A B C -=-2cos cos sin sin 12(1cos )0A B A B C ⇒--+-=22cos()12(1cos )0cos 12(1cos )0A B C C C ⇒+-+-=⇒--+-= 212cos cos 10cos 2C C C ⇒+-=⇒=或cos 1C =-（舍去），所以3C π=；（2）由余弦定理可知：2222cos 163216c a b ab C ab ab =+-⇒=-⇒=，因此ABC的面积为：11sin 1622S ab C ==⨯=17．（2021·广东惠州·高三阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2222sin sin a c b A a C +-=.（1）求B ；（2）若ABC 是锐角三角形，且2a =，求边长b 的取值范围.【答案】（1）3B π=；（2）. 【分析】（1）利用正弦定理化角为边可得222a cb ac +-=，再代入余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，即得解；（2）由正弦定理可得sin sin a B A b ==ABC 是锐角三角形可得62A ππ<<，代入即得解【详解】（1）由正弦定理2sin sin a c R A C==，所以()222222a c a c b a R R +-⨯=⨯，化简得222a c b ac +-=，由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=，得1cos 22==ac B ac ，因为0B π<<，所以3B π=.（2）由正弦定理sin sin a b A B =，得2sin 2sin a B A b b ===，因ABC 是锐角三角形，所以020()2A A B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-+<⎪⎩，解得62A ππ<<，所以1sin 12A <<.所以112<b <所以边长b 的取值范围为. 18．（2021·广东·高三阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设)cos cos a B b A ac +=，且sin2sin A A =.（1）求A 及a ；（2）若2b c -=，求BC 边上的高.【答案】（1）a .3A π=（2【分析】（1）利用正弦定理化边为角可得a =再利用二倍角公式求得角A ；（2）先利用余弦定理求得3bc =,再利用等面积法求解即可.【详解】（1)cos cos a B b A ac +=,根据正弦定理得,sin cos sin cos sin ,A B B A C +sin sin ,C C ∴=又因为sin 0,C ≠a ∴=sin2sin ,2sin cos sin ,A A A A A =∴=因为sin 0,A ≠所以1cos 2A =, (),0,.3A A ππ∴∈=（2）由（1）知,.3a A π=由余弦定理得2222cos ,a b c bc A =+-2227,7(),b c bc b c bc ∴=+-∴=-+因为2b c -=,所以74,bc =+所以 3.bc =设BC 边上的高为h .11333sin 3.2224ABC S bc A ∴==⨯⨯=△ 12ABC S ah =△,133724h ∴⨯=,321.14h ∴= 即BC 边上的高为32114. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形,考查三角形的面积公式的应用,考查余弦定理的应用. 19．（2021·广东·高三阶段练习）在△ABC 中，内角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知 3cos sin a B b A =．（1）求角B 的大小；（2）若ABC 的面积 234S b =，求a c 的值．【答案】（1）；（2）．【详解】试题分析：（1）由正弦定理，将条件中的边化成角，可得tan 3B =，进而可得B 的值；（2）由三角形面积公式1sin 2S ac =B 可得2b ac =，再由余弦定理可得a c =，得最后结论．试题解析：（1），又∴ 又得（2）由， ∴ 又得， ∴ 得考点：正弦定理；余弦定理．【易错点睛】解三角形问题的两重性：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”（即“统一角、统一函数、统一结构”）是使问题获得解决的突破口． 20．（2021·广东·深圳市福田区福田中学高三阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积cos 64,55a B =. （1）求边b 的最小值；（2）若7sin sin 10sin 5b B A C =-+，求ABC 的面积. 【答案】（1）125；（2）485. 【分析】（1）先由三角形面积公式求出c ，进而根据正弦定理得到答案；（2）由正弦定理角化边，再结合余弦定理解出a ，进而求出面积.【详解】（1）∵cos sin 430,0,525B B B π=>∴<<∴=，则由三角形面积公式1364255S ac a c =⋅=⇒=，由正弦定理：12sin sin sin 5b c c b c B B C =≥⇒≥=，即b 的最小值为125. （2）由正弦定理，277104055b ac a =-+=-+，由余弦定理：2216c s 45o 8a b B a -==+，联立方程解得：a =8，所以三角形面积64855S a ==. 21．（2021·广东·金山中学高三期中）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A 为锐角，22sin cos 2c a B C ab--=. （1）求A ；（2）若b =，且BC 边上的高为ABC 的面积.【答案】（1）6π；（2）【分析】（1）先用余弦定理化余弦为边，再用正弦定理化边为角从而求得A ；（2）由余弦定理用c 表示a ，然后把三角形的面积用两种方法表示求得c ，从而可计算出面积．【详解】（1）由22sin cos 2c a B C ab--=得222sin 2cos ab B ab C c a -=-，由余弦定理得222222sin ab B c a b c a +--=-，所以2sin a B b =，由正弦定理得2sin sin sin A B B =，B 是三角形内角，sin 0B ≠，所以1sin 2A =，又A 为锐角，所以6A π=．（2）由（1）2222232cos 2cos 166a b c bc A c c c π=+-=+-⋅⋅2716c =，a =，所以11sin 22ABC S bc A a ==⨯△2111222⨯=⨯c =b == 111sin 222ABC S bc A ===△ 【点睛】思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．利用正弦定理和余弦定理进行边角互化是解题关键．三角形的面积采取了二次计算，通过不同的计算方法得出等式，从而求解．这是一种解题技巧．22．（2021·广东·高三阶段练习）已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()()cos 270tan 240sin 90a B b A ︒+=︒⋅︒+．（1）求A 的大小；（2）若3a =，ABC S =△，求b c +的值．【答案】（1）3π（2）【分析】（1）利用诱导公式化简得到sin cos a B A =，进而结合正弦定理得到sin sin cos A B B A =，借助同角的商数关系即可求出结果.（2）结合三角形的面积公式以及余弦定理得到229b c bc =+-，结合完全平方关系即可求出结果.（1）因为()()cos 270tan 240sin 90a B b A ︒+=︒⋅︒+，所以sin cos a B A ，结合正弦定理可得sin sin cos A B B A =，因为()0,B π∈，所以sin 0B ≠,故sin A A =，显然cos 0A ≠，则sin cos A A =tan A =由于()0,A π∈，所以3A π=,（2）因为1sin 2ABC S bc A ==△3bc =，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即229b c bc =+-，即()293b c bc =+-，因此()299b c =+-，故()218b c =+，由于0b c +>，因此b c +=23．（2021·广东·高三阶段练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .ABC 的面积为S ，已知()2224(2)tan cS a c a c b C =-+-. （1）求角B ；（2）若3a c +=，a b <，ABC cos2A .【答案】（1）3B π=；（2【分析】（1）根据题干条件及面积公式、余弦定理、正弦定理、两角和的正弦公式等知识，化简计算可得1cos 2B =，根据角B 的范围，即可得答案. （2）根据外接圆半径及3B π=，根据正弦定理，可得a ，c 的表达式，根据两角差的正弦公式、辅助角公式，化简计算，可得3sin 64A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而可得sin A 的值，根据二倍角公式，即可得答案.【详解】（1）由()2224(2)tan cS a c a c b C =-+-可得()2221sin 4sin (2)2cos C c ab C a c a c b C⨯=-+-，因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，所以()222cos (2)2a c b b C a c ac +-=-，由余弦定理可得cos (2)cos b C a c B =-，由正弦定理可得sin cos (2sin sin )cos B C A C B =-，所以sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B +=，即sin()2sin cos B C A B +=.因为sin()sin()sin B C A A π+=-=，且sin 0A ≠，所以1cos 2B =. 因为0B π<<，所以3B π=. （2）因为ABC 外接圆的半径为233，3B π=，由正弦定理得43sin 3a A =，43sin 3c C =，所以由3a c +=，得432sin sin 333A A π⎡⎤⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，整理可得3sin 64A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 又a b <，3B π=，所以03A π<<，故662A πππ<+<，所以237cos 1644A π⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin sin sin cos cos sin 666666A A A A ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 337133742428-=⨯-⨯=，故23211cos 212sin 16A A -=-=. 24．（2021·广东龙岗·高三期中）在ABC ∆中，BAC ∠的角平分线AD 与边BC 相交于点D ，满足2BD DC =.（1）求证：2AB AC =；（2）若2AD BD ==，求BAC ∠的大小.【答案】（1）证明见解析（2）60【分析】（1）分别对ABD △和ADC 采用正弦定理得sin sin BD AB BAD ADB =∠∠和sin sin ACDAC D A CC D =∠∠，两式联立即可求解；（2）设22AB AC x ==，分别对ABD △和ADC 采用余弦定理得：2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠，结合180ADC ADB ∠+∠=，可求,AC AB ，再对ABC 采用余弦定理即可求解.（1）（1）证明：因为AD 为BAC ∠的角平分线，故BAD DAC ∠=∠，在ABD ∆中，由正弦定理可得：sin sin BD ABBAD ADB =∠∠①，在ADC ∆中，由正弦定理可得：sin sin ACDAC D A CC D =∠∠②，由①和②可得sin sin BD AB ADCDC AC ADB⋅∠=⋅∠，又180ADC ADB ∠+∠=，故sin sin ADC ADB ∠=∠，可得：2BD ABDC AC==，即2AB AC =；（2）（2）由题意可知2AD BD ==，1DC =，由（1）知2AB AC =，不妨设22AB AC x ==. 在ABD ∆中，由余弦定理可得：2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，即2488cos x ADB =-∠③，在ADC ∆中，由余弦定理可得：2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠，即254cos x ADC =-∠④，由又180ADC ADB ∠+∠=，故cos cos ADC ADB ∠=-∠，由③和④可解得：x =1cos 2ADC ∠=，从而可得AB =AC =3BC =，在ABC ∆中，由余弦定理得：2221cos 22AB AC BC BAC AB AC +-∠==⋅，又0180BAC <∠<，故60BAC ∠=.25．（2021·广东福田·高三阶段练习）在平面四边形ABCD 中，3ABC π∠=，2ADC π∠=，4BC =．（1）若ABC 的面积为23AC ；（2）若33AD =6ACB ACD π∠=∠+，求tan ACD ∠．【答案】（1）23AC =（2）3tan 2ACD ∠= 【分析】（1）应用三角形面积公式有1sin 2ABC S AB BC ABC =⋅⋅∠△，可求AB ，由余弦定理即可求AC ；（2）设ACD α∠=，在Rt ACD △中sin ADAC α=，在△ABC 中应用正弦定理有sin sin BC ACBAC ABC=∠∠，即可求tan α，得解.（1）在ABC 中，4BC =，3ABC π∠=，∴1sin 232ABC S AB BC ABC =⋅⋅∠=△2AB =，在ABC 中，由余弦定理得2222cos 12AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=， ∴3AC = （2）设ACD α∠=，则66ACB ACD ππα∠=∠+=+，在Rt ACD △中，33AD =33sin AD AC α==在ABC 中，2BAC ACB ABC ππα∠=-∠-∠=-，由正弦定理得sin sin BC AC BAC ABC =∠∠，即4333sin sin 2παα⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴2sin 3sin 3cos 2πααα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，可得3tan 2α=，即3tan 2ACD ∠=.26．（2021·广东·高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已cos sin C c B =. （1）求角C ；（2）若2b =，ABC 的面积为c .【答案】（1）3π；（2）【分析】（1cos sin sin B C C B =，化简后可求出角C ；（2）由ABC 的面积为8ab =，而2b =，则4a =，再利用余弦定理可求出c 【详解】（1cos sin sin B C C B =，因为sin 0B ≠，sin C C =，所以tan C ()0,C π∈，所以3C π=.（2）由（1）得3C π=，因为1sin 2ABC S ab C =⨯=△，所以8ab =，因为2b =，所以4a =，由余弦定理得，2222cos 164812c a b ab C =+-=+-=，所以c =27．（2021·广东顺德·高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，()sin sin sin A B C B -=-，角A 的角平分线交BC 于点D ，且3b =，5c =．（1）求角A 的大小；（2）求线段AD 的长．【答案】（1）3A π=（2）AD =【分析】(1)根据给定条件利用诱导公式及和角的正弦公式整理变形即可计算得解. (2)利用(1)的结论，借助三角形面积公式即可计算作答. （1）在ABC 中，()()sin sin sin C A B A B π=-+=+⎡⎤⎣⎦，因()sin sin sin A B C B -=-，则有：sin cos cos sin sin cos cos sin sin A B A B A B A B B -=+-，即2cos sin sin 0A B B -=，又sin 0B ≠，即有1cos 2A =，而()0,A π∈，所以3A π=.（2）在ABC 中，由(1)知3A π=，因为AD 为角A 的角平分线，则有30BAD CAD ∠=∠=︒，由ABCABDACDSSS=+得：11135sin 605sin 303sin 30222AD AD ⨯⨯⨯︒=⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒，解得AD =所以线段AD .28．（2021·广东·高三阶段练习）在①2cos (cos cos )A c B b C a +=cos b c C C a++=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________．（1）求角A ；（2）若O 是ABC 内一点，120,150,1,3∠=︒∠=︒==AOB AOC b c ，求tan ABO ∠．【答案】（1）60︒；（2【分析】（1）若选条件①，利用正弦定理边化角公式以及两角和的正弦公式进行化简，即可求出A 的值；若选条件②，利用利用正弦定理边化角公式以及两角和的正弦公式进行化简，得cos 1A A -=，再利用辅助角公式得1sin(30)2A -︒=，结合三角形中0180A <<︒︒，从而可求出A 的值；（2）结合题中条件及三角形内角和得出OAC ABO ∠=∠，利用正弦定理、两角和与差的正弦公式和同角三角函数关系，即可求出tan ABO ∠的值. （1）解：若选条件①：2cos (cos cos )A c B b C a +=，整理得：2cos (sin cos sin cos )sin +=A C B B C A ，则()2cos sin sin A B C A +=，即2cos sin sin A A A =，又0180A <<︒︒，sin 0A >，所以1cos 2A =，所以60A =︒；cos b cC C a++=，sin sin cos sin B CC C A++=，sin cos sin sin()sin C A C A A C C +=++，化简得：cos )sin sin A A C C -=，又0180C ︒<<︒，sin 0C >cos 1A A -=，故1sin(30)2A -︒=，由于0180A <<︒︒，所以60A =︒．（2）解：由于60A OAC OAB ∠=∠+∠=︒， 18012060OAB ABO ∠+∠=︒-︒=︒，所以OAC ABO ∠=∠，在ABO 中，3sin sin120AO ABO =∠︒，所以AO ABO =∠，在ACO △中，1sin150sin sin(30)AO AOACO ABO ==︒∠︒-∠，所以2sin(30)AO ABO =︒-∠，2sin(30)ABO ABO ︒-∠=∠，整理得：cos ABO ABO ∠=∠，故tan ABO ∠=29．（2021·广东·高三阶段练习）a ，b ，c 分别为钝角ABC 内角A ，B ，C 的对边.已知3cos cos cos a A b C c B =+.（1）求cos()4A π+；（2）若2b =，c b >，求c 的取值范围. 【答案】（1（2）6c > 【分析】（1）对3cos cos cos a A b C c B =+利用正弦定理及三角公式求出1cos 3A =，利用两角和的余弦公式即可求解；（2）先判断出C 为钝角，利用余弦定理得到关于c 的不等式，求出c 的范围. （1）因为3cos cos cos a A b C c B =+，所以3sin cos sin cos sin cos A A B C C B =+，即3sin cos sin()sin A A B C A =+=，又sin 0A >，所以1cos 3A =，且sin 3A =，故cos()sin )4A A A π+=-=（2）因为1cos 03=>A ，所以A 为锐角，又c b >，所以C B >，因为ABC 为钝角三角形，所以C 为钝角.因为222242cos 43a b c bc A c c =+-=-+，所以2224803a b c c +-=-<，解得6c >.30．（2021·广东·高三阶段练习）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a 、b 、c ，且2a cosC=2b-c ．（1）求角A 的大小；（2）若AB=3，AC 边上的中线BD ABC 的面积．【答案】（1）A=π3；（2）【分析】（1）先根据正弦定理化边为角，再利用三角形内角关系以及两角和正弦公式化简得cosA=12，即得结果，（2）根据余弦定理求AD ，再根据三角形面积公式得结果. 【详解】（1）∵2a cosC=2b-c ，由正弦定理可得：sinAcosC+12sinC=sinB ， ∴sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ． ∴12sinC=cosAsinC ，∵sinC≠0，∴cosA=12， ∴由A ∈（0，π），可得角A=π3；（2）在△ABD 中，AB=3，cosA=12，由余弦定理可得：13=9+AD 2-3AD ，解得：AD=4（负值舍去）， ∵BD 为AC 边上的中线，∴D 为AC 的中点，∴AC=2AD=8，∴S △ABC =12AB•AC•sinA=1382⨯⨯ 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.31．（2021·广东·高三阶段练习）在①2cos cos cos a A c B b C =+；②sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若ABC 的面积S =2c =，___________，求a .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【分析】选①，利用三角形射影定理求出角A ，再借助三角形面积定理、余弦定理即可计算得解；选②，利用正弦定理边化角并求出角A ，再借助三角形面积定理、余弦定理即可计算得解. 【详解】选①：在ABC 中，由射影定理cos cos a b C c B =+及2cos cos cos a A c B b C =+得：2cos a A a =，解得1cos 2A =，因0A π<<，则3A π=，由1sin 2S bc A =得：132sin 6022b +⋅=1b =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：22211)221)262a =+-⨯⨯⨯=，解得a =所以a =选②：在ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B =及sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得：sin sin sin sin()3A B B A π=+，因0B π<<，即sin 0B >，则有sin sin()3A A π=+，而0A π<<，4333A πππ<+<，于是得()3A A ππ++=，则3A π=，由1sin 2S bc A =得：132sin 6022b +⋅=解得1b =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：22211)221)262a =+-⨯⨯⨯=，解得a =所以a =32．（2021·广东·高三阶段练习）在ABC 中，2BAC π∠=，点D 在边BC 上，满足=AB .（1）若6BAD π∠=，求C ∠；（2）若2,4CD BD AD ==，求ABC 的面积.【答案】（1）3π；（2）【分析】（1）在ABD △中，由正弦定理求得sin BDA ∠=，得到BDA ∠的大小，进而求得C ∠的大小；（2）由,2AB CD BD ==，得到,AB AC ==，根据向量的线性运算，求得2133AD AB AC =+，进而得到2224199AD AB AC =+，求得,,BC AB AC 的长，利用面积公式，即可求解. 【详解】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABBAD BDA=∠∠，所以sin6sin AB BDA BD π⋅∠==，因为(0,)BDA π∠∈，所以23BDA π∠=或3BDA π∠=，当23BDA π∠=时，可得6B π∠=，可得3C π∠=；当3BDA π∠=时，可得2B π∠=，因为2BAC π∠=（舍去），综上可得3C π∠=.（2）因为,2AB CD BD ==，所以,AB AC BC ==，由1121()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，所以2222222141441()3399999AD AB AC AB AC AB AC AB AC =+=++⋅=+，即2224199AD AB AC =+，又由4=AD，可得22241))994⨯=⨯+，解得BC =则AB AC ==所以12ABCSAB AC =⨯=33．（2021·广东化州·高三阶段练习）在①cos cos 2cos a B b A c A +=；②cos sin a C C b c =+；③sin sin sin sin A B C Bc a b--=+这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题.在ABC 中，A ∠，B ，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，已知___________，3sin 7sin A C =. （1）求sin C ；（2）若3c =，求ABC 的面积. 【答案】（1（2）【分析】（1）三个条件分别代入，逐个进行求解，先利用三角函数三角恒等变换公式对已知条件进行转换,即可求得3A π=，进而通过3sin 7sin A C =即可得出所求；（2）先通过3sin 7sin A C =，3c =求出a 的值，再利用余弦定理求出b 的值或利用三角恒等变换公式求出sin B 的值，再使用三角形面积公式即可求解. （1）选①：由cos cos 2cos a B b A c A +=，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，即()sin 2sin cos sin A B C A C +==， 1cos 2A ∴=.0A π<<，3A π∴=，又3sin 7sin A C =3sin sin 7A C ∴==. 选②：cos sin a C C b c =+，sin cos sin sin sin A C A C B C ∴=+，sin cos sin sin cos cos sin sin A C A C A C A C C ∴=++，sin cos sin sin A C A C C =+，sin 0C ∴≠，cos 1A A -=，即()2sin 301A -︒=，又3030150A -︒<-︒<︒，3030A ∴-︒=︒，60A ∴=︒，又3sin 7sin A C =，3sin sin 7A C ∴==. 选③：sin sin sin sin A B C B c a b --=+，a b c b c a b--∴=+，即222a b c cb -=-， 222a b c cb =+-，又2222cos a b c cb A =+-⋅，1cos 2A ∴=，0A π<<，3A π∴=，又3sin 7sin A C =，3sin sin 7A C ∴==. （2）3c =，3sin 7sin A C =，37a c ∴=，7a =.方法1：由2222cos a b c bc A =+-⋅，得()()2340850b b b b --=-+=，8b ∴=或5b =-（舍去），11sin 7822ABC S ab C ∆∴==⨯⨯=即ABC 的面积为方法2：a c >，A C ∴>，cos 0C ∴>，故()1sin sin 2B A C =+=，11sin 7322ABC S ac B ∆==⨯⨯=即ABC 的面积为34．（2021·广东江门·高三阶段练习）ABC 的三条边,,a b C 所对的角分别为,,A B C ，已知3,2,120c b a c A ==+=︒.（1）求ABC 的面积；（2）若点D 在边BC 上，且60BDA ∠=︒，求BD 的长度. 【答案】（1（2）247【分析】（1）写出关于cos A 的余弦变形式，结合已知解关于b 的一元二次方程可求b ，再由正弦定理即可求解ABC 的面积；（2）由余弦定理求出cos B ，同角三角函数求出sin B ，结合第三角公式求出sin BAD ∠，对BAD 由正弦公式sin sin BD ABBAD ADB=∠∠即可求解；根据题意得222229(23)1cos 262b c a b b A bc b +-+--===-，解得5b =， ABC ∴的面积113153sin 532224S bc A ==⨯⨯⨯=；（2）由2b a c =+解得7a =，由（1）得22237511cos 23714B +-==⨯⨯，21153sin 11414B ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭， ()sin sin sin cos cos sin BAD B ADB B ADB B ADB ∠∠∠∠=+=+，531113431421427=⨯+⨯=，又sin sin BD ABBAD ADB=∠∠即343372BD =，247BD ∴=.35．（2021·广东·高三阶段练习）已知ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin cos cos2cos sin A B C A B =-.（1）求角C ；（2）若2c =，2216a b +=，求ABC 的面积. 【答案】（1）π6C =或5π6；（23【分析】（1）利用和角正弦公式、二倍角余弦公式及三角形内角性质可得2sin 12sin C C =-，即可求角C ；（2）由（1）结论，应用余弦定理、三角形面积公式求ABC 的面积.由题设，sin cos cos sin cos2A B A B C +=，又()sin sin A B C +=，2cos 212sin C C =-，2sin 12sin C C ∴=-，即22sin sin 10C C +-=，解得1sin 2C =或sin 1C =-. ()0,πC ，1sin 2C ∴=，则π6C =或5π6. （2）①当π6C =时，由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-12=，ab ∴=1sin 2S ab C ==.②当5π6C =时，由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-12=-，ab ∴=-，不符合题意，舍去.综上，ABC 36．（2021·广东·高三阶段练习）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，边长均为正整数，且4b =．（1）若角B 为钝角，求△ABC 的面积；（2）若2A B =，求a ．【答案】（1 （2）6．【分析】(1)由余弦定理和基本不等式得到a 与c 的关系，再根据三角形边长为正整数求a 与c ； (2)用正弦定理和余弦定理转化角的关系为边的关系，在分类讨论求出边长﹒ （1）由角B 为钝角，则222cos 02a c b B ac+-=<，即2216a c +<；又∵4a c +>，即22164a c a c ⎧+<⎨+>⎩，且a ，*c ∈N ，因此23a c =⎧⎨=⎩或32a c =⎧⎨=⎩符合题意．故13161cos 124B -==-，则sin B = 因此△ABC的面积为11sin 2322S ac B ==⨯⨯=（2）由2A B =，得sin sin22sin cos A B B B ==，由正弦定理，可得2cos a b B =；由余弦定理，得22222a c b a b ac+-=⋅，∵4b =，()()224416a c c -=-．若4c =，则B C =，故2A B B C A B C π=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，则4B C π==，2A π=，此时a =∴4c ≠，由()()224416a c c -=-，得a =又c a b -<，即4c a c -=-<，则012c <<．∵a ，*c ∈N ，故当5c =时，有6a =，而4b =，故能构成三角形，故6a =．37．（2021·广东·华南师大附中高三阶段练习）锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()3cos cos 2A C B -+=，11tan tan A C + （1）求B ；（2）若4a c +=，求ABC 的面积. 【答案】（1）3π；（2【分析】（1）根据()3cos cos 2A C B -+=，由两角和与差的余弦公式，先得到3sin sin 4A C =，再由11tan tan A C +=，即可求出sin B ，从而可得出结果；（2）先由（1）可得()cos 1A C -=，推出3A CB π===，再由4a c +=求出2a b c ===，进而可求出三角形的面积. 【详解】（1）因为()3cos cos 2A C B -+=，所以()()3cos cos 2A C A C --+=，则3cos cos sin sin cos cos sin sin 2A C A C A C A C +-+=，即3sin sin 4A C =，又11tan tan A C +=所以cos cos sin cos sin cos sin 3sin sin sin si n 4A C C A A CB AC A C ++===，解得sin B =，又B 为锐角，所以3B π=.（2）因为3B π=，所以由()3cos cos 2A CB -+=，可得()cos 1AC -=，由A ，C 为锐角，可得0A C -=，可得3A CB π===，因此a b c ==，又4a c +=，所以2a c ==，即2a b c ===所以122ABCS=⨯【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据题中条件，由三角恒等变换对应的公式将所给式子变形整理，因此熟记公式即可求解.38．（2021·广东东莞·高三阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，且.a b ≥（1）求角B 的值；（2）若6A π=，且ABC的面积为BC 边上的中线AM 的长.【答案】（1）6π；（2）【分析】（1）利用正弦定理，可将原式整理转化为1sin cos sin cos 2A C C A +=，可得1sin 2B =，结合a b ≥，可得02B π<<，可得解；（2）利用1S=sin 2ABCab C =4a =，在AMC 中，由余弦定理22222cos3AM AC MC AC MC π=+-⋅可得解. 【详解】（1）因为1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==得1sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B +=，sin 0B ≠1sin cos sin cos 2A C C A ∴+=，()1sin sin()2A CB π∴+==-， 1sin 2B ∴=.又a b ≥，所以02B π<<，可得6B π=.（2）由（1）知6B π=，若6A π=，则a b =，23C π=， 2112S=sin sin 43223ABCab C a π==，4a ∴=，4a =-（舍）.又在AMC 中，由余弦定理得22222cos 3AM AC MC AC MC π=+-⋅2221122cos223AM AC AC AC AC π⎛⎫∴=+-⋅ ⎪⎝⎭22142242282⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以7AM 39．（2021·广东·顺德一中高三阶段练习）在ABC 中，60C =︒，223BC AC == （1）求证：ABC 是直角三角形；（2）若点D 在BC 边上，且27sin BAD ∠=CD ．【答案】（1）直角三角形；（223【详解】分析：（1）先利用余弦定理得到AB 的值，再利用勾股定理进行证明；（2）先利用诱导公式和两角和的正弦公式求出相关角的正弦值，再利用正弦定理进行求解．详解：（1）在ABC 中，60C =︒，3BC =3AC = 由余弦定理，得2222cos 9AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅= 所以3AB =，所以222AB AC BC +=，所以AB AC ⊥，。

2023-2024学年高考数学专项复习——三角函数与解三角形(含答案)

决胜3．在中，角，，所对的边分别为，，，且，.ABC A B C a b c 23a c b +=3A C π-=(1)求；cos B (2)若，求的面积.5b =ABC 4．设()()()()πsin 2πcos 2cos sin πf ααααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭=---(1)将化为最简形式；()f α(2)已知，求的值．()3f θ=-()sin 1sin2sin cos θθθθ++5．已知函数．()π1sin 232f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭(1)求函数的单调递增区间，并解不等式；()f x ()0f x ≥(2)关于的方程在上有两个不相等的实数解，求实数的取x 11022m f x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x m 值范围及的值．()12f x x +6．已知角为第四象限角，且角的终边与单位圆交于点.αα1,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求的值；sin α(2)求的值.()πtan sin 2sin cos παααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭+7．在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点xOy αOx ．(),P x y (1)若，求及的值；255y =tan α7sin 2cos sin 4cos αααα+-(2)若，求点P 的坐标．sin 11cos 2αα=-(1)若，求；3BC =ADCD (2)若，求线段的长11cos 14A =AD(1)求函数在区间上的最大值和最小值；()f x ππ[,]64-(2)若函数在区间上恰有2个零点，求的值．5()()4g x f x =-π(0,)212,x x 12cos()x x -11．在中，，点D 在AB 边上，且为锐角，，的面积为ABC 25BC =BCD ∠2CD =BCD △4.(1)求的值；cos BCD ∠(2)若，求边AC 的长.30A =︒12．记三个内角的对边分别为，已知为锐角，ABC ,,A B C ,,a b c B ．sin sin sin 2sin sin a A b B c C a A B +-=(1)求；()sin A C -(2)求的最小值．sin sin A B 13．已知函数且的最小正周期为．()πsin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x π(1)求函数的单调递减区间；()f x (2)若，求x 的取值范围．()22f x ≤14．已知函数在上单调递增．()sin (0)f x x ωω=>ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(1)求的取值范围：ω(2)当取最大值时，将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来ω()f x π9的3倍，得到的图象，求在内的值域．()g x ()g x ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．在中，角所对的边分别为，已知．ABC ,,A B C ,,a b c sin cos cos cos cos sin sin A B C B C A B +=--(1)求；C (2)若外接圆的半径为，求的面积最大值．ABC 233ABC 16．已知函数.()()πe e sin ,32x xf x xg x --==(1)若，求；321π3f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭32πf α⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且()()ln h x x f x =+()h x ()0,∞+0x .()()034g f x >-17．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终xOy αO x 边与单位圆交于第三象限点.525,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(1)求的值；sin cos αα-(2)若角的终边绕原点按逆时针方向旋转，与单位圆交于点，求点的坐标.αO π2Q Q 18．设函数，且．2()2cos 23sin cos (0)f x x x x m ωωωω=++>(0)1f =(1)求的值；m (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求()f x 的值及的零点．ω()f x 条件①：是奇函数；()f x 条件②：图象的两条相邻对称轴之间的距离是；()f x π条件③：在区间上单调递增，在区间上单调递减．()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，0按第一个解答计分．答案：1．(1)1-(2)12-【分析】（1）根据点坐标求得.P tan α（2）根据点坐标求得，利用诱导公式求得正确答案.P sin ,cos αα【详解】（1）即，3π,cos π3sin 44P ⎛⎫ ⎪⎝⎭22,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以.22tan 122α-==-（2）由（1）得，所以，22,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭22222sin 22222α-==-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22222cos 22222α==⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1617πsin πsin πsin sin 808π22αααα⎛⎫⎛⎫-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin sin sin cos 2αααα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.221222⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭2．(1)，1tan 7α=1tan 3β=(2)π4【分析】（1）先根据同角三角函数平方关系求出，再根据商数关系和两角和正切公式cos α化简得结果；（2）根据二倍角公式得，，再根据两角和余弦公式得，最后根据sin 2,cos 2ββ()cos 2αβ+范围求结果.【详解】（1）因为为锐角，，所以，,αβ2sin 10α=272cos 1sin 10αα=-=所以，2sin 110tan cos 77210ααα===又因为，所以，tan tan 1tan()1tan tan 2αβαβαβ++==-1tan 3β=（2）因为为锐角，，所以，解得，,αβ1tan 3β=22sin 1cos 3sin cos 1ββββ⎧=⎪⎨⎪+=⎩10sin 10310cos 10ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，sin 22sin cos 103103101052βββ==⨯=⨯，24cos 212sin 5ββ=-=所以，()724232cos 2cos cos 2sin sin 21051052αβαβαβ+=-=⨯-⨯=又因为为锐角，所以，,αβ3π022αβ<+<所以.π24αβ+=3．(1)78(2)111512【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理化为，结合23a c b +=sin sin 23sin A C B +=已知条件，有，，代入解三角形即可.3A C π-=32B C π=-232B A π=-sin sin 23sin A C B +=（2）根据（1）终结论，利用余弦定理，结合，，解得，利用面5b =23a c b +=443ac =积公式即可求得面积为.11115sin 212ABC S ac B ==△【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，23a c b +=sin sin 23sin A C B +=因为，且，所以，，3A C π-=A B C π++=32B C π=-232B A π=-所以2sin sin 23sin 3232B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，22sin cos cos sin sin cos cos sin 23sin 32323232B B B B B ππππ-+-=所以，所以，3cos 23sin 2B B =cos 4sin cos 222B B B =因为，所以，所以；022B π<<1sin 24B =27cos 12sin 28B B =-=（2）由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-即，得，得，()27524a c ac ac =+--()2155234b ac =-443ac =因为，所以，所以7cos 8B =15sin 8B =11115sin 212ABC S ac B ==△4．(1)tan α-(2)65【分析】（1）根据三角函数的诱导公式，结合同角三角函数的商式关系，可得答案；（2）利用正弦函数的二倍角公式以及同角三角函数的平方式，整理齐次式，可得答案.【详解】（1）.()()()()πsin 2πcos sin sin 2tan cos sin πcos sin f αααααααααα⎛⎫++ ⎪-⎝⎭===----（2）由，则，()tan 3f θθ=-=-tan 3θ=，()()()()()22222sin 1sin2sin (sin cos )tan (tan 1)sin cos sin cos sin cos tan 1tan 1θθθθθθθθθθθθθθθ+++==+++++.()()2223(31)34641053131⨯+⨯===⨯+⨯+5．(1)答案见解析(2)(()1212,3,2f x x ⎤--+=-⎦【分析】（1）由题意分别令，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈，解不等式即可得解.ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤-≤+∈（2）由题意得在上有两个不相等的实数解，结合三角()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 函数单调性、最值即可求出的取值范围，结合对称性代入求值即可得的值.m ()12f x x +【详解】（1）由题意令，解得，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈π5πππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈即函数的单调递增区间为，()f x ()π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦令，所以，()π1sin 2032f x x ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭π1sin 232x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭所以，解得，ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤-≤+∈π7πZ 412ππ,k x k k +≤≤+∈所以不等式的解集为.()0f x ≥()π7ππ,π,Z 412k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由题意即，11022m f x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 032m x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭即在上有两个不相等的实数解，()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 当时，，而在上单调递减，在上单[]0,πx ∈ππ2π,333t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦2sin y t =-ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦调递增，所以当即时，，ππ32t x =-=5π6x =()min 2g x =-当即时，，ππ33t x =-=-0x =()max 3g x =又即时，，π2π33t x =-=πx =()3g x =-所以若在上有两个不相等的实数解，()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 则实数的取值范围为，m (2,3⎤--⎦因为，所以是的对称轴，()min 5π26g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭5π6x =()g x所以.()125π5ππ112sin 263322f x x f ⎛⎫⎛⎫+=⨯=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．(1)223-(2)3-【分析】（1）将点代入单位圆后结合任意角三角函数定义求解即可.（2）利用诱导公式化简求值即可.【详解】（1）在单位圆中，解得，22113y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭223y =±因为第四象限角，所以α223y =-22sin 3α∴=-（2）第四象限角22sin ,3αα=-1cos 3α∴=.()πtan sin 123sin cos πcos ααααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴=-=-+7．(1)，；2-2(2).34(,)55-【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标及，再利用齐次式法计算即得.P tan α（2）利用同角公式，结合三角函数定义求解即得.【详解】（1）角以Ox 为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，α(),P x y 当时，，则，255y =22551()55x =--=-tan 2y x α==-所以．7tan 27(2)227ta 4sin 2cos sin 42c 4os n αααααα+⨯-++==---=-（2）依题意，，sin 0,cos 0αα><由，得，代入，sin 11cos 2αα=-cos 12sin αα=-22sin cos 1αα+=于是，解得，22sin (12sin )1αα+-=2sin ,cos 1sin 5543ααα==--=-即，所以点P 的坐标为．34,55x y =-=34(,)55-8．(1)；π3A =(2)．2AD =【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由三角恒等变换求解；（2）设，利用由余弦定理求得，从而由正弦定理求得AD x =πADB ADC ∠+∠=cos ADB ∠（用表示），再代入余弦定理的结论中求得值．AC x x 【详解】（1）由正弦定理及已知得2cos cos cos 2c a A B b A =-，sin 2sin cos cos sin cos 2sin 2cos sin cos 2sin(2)C A A B B A A B B A A B =-=-=-或，C 2A B =-2πC A B +-=又，所以，A B ≤22πC A B C B B C B +-≤+-=+<所以，从而，所以；C 2A B =-2πB C A A +==-π3A =（2）由余弦定理得，，2222cos AB BD AD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC CD AD AD CD ADC =+-⋅∠又是角平分线，所以，又，则，记，因为AD 2AC CD AB BD ==3a =2,1CD BD ==AD x =，πADB ADC ∠+∠=所以，所以，2244cos 412cos x x ADC x x ADC +-∠=++∠cos 4x ADC ∠=-，则，0πADC <∠<2sin 116x ADC ∠=-由正弦定理得，sin sin AC CD ADC CAD =∠∠所以，222116π16sin 6x AC x =⋅-=-所以，解得，即．221644()4x x x x -=+-⋅-2x =2AD =9．(1)263(2)677【分析】（1）利用正弦定理及其余弦定理求解；（2）利用三角形的面积公式求解.【详解】（1）因为平分，，故，AD BAC ∠3AB BC ==2C BAC θ∠=∠=在中，由正弦定理知：，ADC △sin sin 22cos sin sin AD ACD CD DAC θθθ∠===∠由余弦定理有，2222223231cos 2cos 22323CA CB BA C CA CB θ+-+-====⋅⨯⨯又因为，所以,21cos 22cos 13θθ==-6cos 3θ=即；262cos 3AD CDθ==（2）由，得，则，11cos 14A =11cos 214θ=cos 2157cos 214θθ+==又由，()11sin 2sin 22ABC ABD ACD S AB AC S S AB AC AD θθ=⋅=+=+△△△得.()sin 21267cos sin 57AB AC AD AB AC θθθ⋅===+10．(1)最大值和最小值分别为；2,1-(2).58【分析】（1）求出函数的解析式，再利用余弦函数的性质求解即得.()f x （2）利用余弦函数图象的对称性，结合诱导公式计算.12cos()x x -【详解】（1）由函数的最小正周期为，得，解得，()f x π2ππω=π2,()2cos(2)3x f x ω==-当时，，则当，即时，，ππ[,]64x ∈-π2ππ2[,]336x -∈-π2π233x -=-π6x =-min ()1f x =-当，即时，，π203x -=π6x =max ()2f x =所以函数在区间上的最大值和最小值分别为.()f x ππ[,]64-2,1-（2）()2222252cos 25222525BD BC CD BC CD BCD =+-⨯∠=+-⨯⨯⨯，故，204816=+-=4BD =有，故，22216420BD CD BC +=+==CD AB ⊥则，即.21sin sin 302CD A AC AC ==︒==4AC =12．(1)；()sin 1A C -=(2)无最小值；【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理可得，结合为锐角可得，所sin cos A C =B π2A C =+以；()sin 1A C -=（2）利用诱导公式可得，再由导数判断出在3sin sin 2sin sin A B A A =-()32f t t t =-上单调递增，可得无最小值；2,12t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭sin sin A B 【详解】（1）因为，sin sin sin 2sin sin a A b B c C a A B +-=由正弦定理得，2222sin a b c ab A +-=由余弦定理可得，2222cos a b c ab C +-=所以可得，解得或；sin cos A C =π2A C =-π2A C =+又为锐角，所以（舍），即，B π2A C =-π2A C =+因此；()πsin sin12A C -==（2）结合（1）中，又可得：π2A C =+πA B C ++=；33πsin sin sin sin 2sin cos 22sin sin 2A B A A A A A A ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭令，则，sin t A =()3sin sin 2A B f t t t ==-又为锐角，，所以，B 3ππ20,22A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭π3π24A <<可得，212t <<所以，当时，恒成立，()261f t t '=-212t <<()2610f t t '=->即可得为单调递增，()32f t t t =-所以时，，所以无最值；2,12t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭()()0,1f t ∈()f t 因此无最小值；sin sin A B 13．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据最小正周期为求得，求出单调递减区间；π=1ω±（2）根据写出x 的取值范围．()22f x ≤【详解】（1）因为的周期为，()πsin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π故，所以.2ππ2ω==1ω±当时，，=1ω()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由，得到，ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+π7πππ1212k x k +≤≤+故的递减区间为.()f x π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦当时，，1ω=-()ππsin 2sin 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，得到πππ2π22π232k x k -+≤-≤+π5πππ1212k x k -+≤≤+故的递减区间为.()f x π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）当时，，=1ω()π2sin 232f x x ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭所以，5πππ2π22π434k x k -+≤+≤+解得.19ππππ,Z 2424k x k k -+≤≤-+∈当时，，1ω=-()ππ2sin 2sin 2332f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，π2sin 232x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以，ππ5π2π22π434k x k -+≤-≤+解得.π19πππ2424k x k +≤≤+综上：当时，；=1ω19ππππ2424k x k -+≤≤-+当时，.1ω=-π19πππ,Z 2424k x k k +≤≤+∈14．(1)302ω<≤(2)260,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由题设条件，列出不等式，求解即可.,32πππ4π2ωω-≥-≤（2）根据函数图像平移变换，写出函数，再结合区间和三角函数性质求1π()sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭出值域.【详解】（1）由，得，ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ,34x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦又函数在上单调递增，()sin (0)f x x ωω=>ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以，解得,32πππ4π2ωω-≥-≤32ω≤因为，所以．0ω>302ω<≤（2）由（1）知的最大值为，此时，ω323()sin 2f x x =根据题意，，31π1π()sin sin 23926g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦当时，．ππ,32x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1πππ02664x ≤+≤+所以，故值域为．ππ260()sin 644g x +⎛⎫≤≤+= ⎪⎝⎭260,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦15．(1)π3C =(2)3【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换计算即可．（2）利用正余弦定理、三角形面积公式及基本不等式计算即可.【详解】（1）由已知可得：，222sin sin sin cos cos A A B B C -=-∴，()222sin sin sin 1sin 1sin A A B B C -=---∴，222sin sin sin sin sin A B C A B +-=根据正弦定理可知：，222a b c ab +-=∴．2221cos 22a b c C ab +-==又．π(0,π),3C C ∈∴=（2）∵外接圆的半径为，ABC 233r =∴，解得．432sin 3c r C==2c =又由（1）得，222a b c ab +-=故，∴，当且仅当时等号成立22424a b ab ab +-=≥-4ab ≤2a b ==∴，13sin 324ABC S ab C ab ==≤△∴的面积最大值为．ABC 316．(1)23(2)证明见解析【分析】（1）化简已知条件求得，利用诱导公式求得.πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭32πf α⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）先求得的表达式，然后对进行分类讨论，结合零点存在性定理证得在()h x x ()h x 上有且仅有一个零点，求得的表达式，然后利用函数的单调性证得不等()0,∞+0x()()0g f x 式成立.()()034g f x >-【详解】（1）由，则，321π3f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π2sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以32π2sin π3f αα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.ππ2sin πsin 333αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）证明：由题意得.()πln sin 3h x x x =+①当时，，所以单调递增.30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ππ0,32x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()h x 又，由于，而，1πsin ln226h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π1sin 62=1ln2ln e 2>=所以.又，102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭()3102h =>所以由零点存在定理得在内有唯一零点，使得.()h x 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦0x ()00h x =当时，，所以，则在上无零点；3,32x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦πln 0,sin 03x x >≥()0h x >()h x 3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦当时，，所以，则在上无零点.()3,x ∈+∞πln 1,1sin 13x x >-≤≤()0h x >()h x ()3,+∞综上，在上有且仅有一个零点.()h x ()0,∞+0x ②由①得，且，0112x <<()00ln 0x f x +=则.()()()()00000011ln ,ln 2f x x g f x g x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭由函数的单调性得函数在上单调递增，()000112x x x ϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭则，()01324x ϕϕ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭故.()()034g f x >-求解已知三角函数值求三角函数值的问题，可以考虑利用诱导公式等三角恒等变换的公式来进行求解.判断函数零点的个数，除了零点存在性定理外，还需要结合函数的单调性来进行判断.17．(1)55-(2)255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）直接根据三角函数的定义求解；（2）利用诱导公式求出旋转后的角的三角函数值即可.【详解】（1）由三角函数的定义可得，5sin c 5o 255s αα-=-=，所以；5s 5in 5c 2os 555αα⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭-=-（2）角的终边绕原点O 按逆时针方向旋转，得到角，απ2π2α+则，，π5sin cos 25αα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭π25cos sin 25αα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭所以点Q 的坐标为.255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18．(1)1m =-(2)选择①，不存在；选择②，，；选择③，，12ω=ππ,Z 6k k -+∈1ω=ππ,Z 122k k -+∈【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数，根据，即可求解；(0)1f =（2）根据奇函数性质、三角函数图象的性质以及三角函数的单调性，即可逐个条件进行判断和求解.【详解】（1）2()2cos 23sin cos f x x x x m ωωω=++，πcos 23sin212sin 216x x m x m ωωω⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭又，所以.1(0)2112f m =⨯++=1m =-（2）由（1）知，，()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭选择①：因为是奇函数，()f x 所以与已知矛盾，所以不存在.()00f =()f x 选择②：因为图象的两条相邻对称轴之间的距离是，()f x π所以，，，π2T =2πT =2π21T ω==12ω=则，()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令，()π2sin 06f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得.ππ,Z 6k x k -+∈=即零点为.()f x ππ,Z 6k k -+∈选择③：对于，，()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>令，，πππ2π22π,Z 262k x k k ω-+≤+≤+∈ππ3π2π22π,Z 262k x k k ω+≤+≤+∈解得，，ππππ,Z 36k k x k ωωωω-+≤≤+∈ππ2ππ,Z 63k k x k ωωωω+≤≤+∈即增区间为，()f x ππππ,,Z 36k k k ωωωω⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦减区间为，()f x ππ2ππ,,Z 63k k k ωωωω⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以时符合，0k =即在上单调递增，在上单调递减，()f x ππ,36ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π2π,63ωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以且，π03ππ66ωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩2ππ33ππ66ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解得，则，1ω=()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以令，()π2sin 206f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得，ππ,Z 122k x k =-+∈即零点为.()f x ππ,Z 122k k -+∈。

2023年新高考数学一轮总复习核心考点分层训练解三角形应用举例及综合问题带讲解

第29讲解三角形应用举例及综合问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·福建福建·模拟预测）某学生在“捡起树叶树枝，净化校园环境”的志愿活动中拾到了三支小树枝（视为三条线段），想要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形．经测量，其长度分别为3cm,4cm,6cm ，则（） A ．能作出二个锐角三角形 B ．能作出一个直角三角形 C ．能作出一个钝角三角形 D ．不能作出这样的三角形【答案】C【解析】因为三条高线的长度为3cm,4cm,6cm ，故三边之比为4:3:2，设最大边所对的角为α，则49161cos 02234α+-==-<⨯⨯，而α为三角形内角，故α为钝角，故三角形为钝角三角形，故选：C.2．（2022·北京通州·一模）太阳高度角是太阳光线与地面所成的角（即太阳在当地的仰角）．设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点纬度，ϕ为当地纬度值，那么这三个量满足90θϕδ=︒--．通州区某校学生科技社团尝试估测通州区当地纬度值（ϕ取正值），选择春分当日（0δ=︒）测算正午太阳高度角．他们将长度为1米的木杆垂直立于地面，测量木杆的影长．分为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，测量结果如下：则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是（） A ．甲组 B ．乙组 C ．丙组 D ．丁组【答案】D【解析】如图所示，地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点纬度，ϕ为当地纬度值，那么这三个量满足90θϕδ=︒--，当0δ=︒且ϕ为正值，可得90θϕ=︒-，即90ϕθ=︒-，设木杆的影长为m ，可得1tan mθ=，因为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，得到影长分别为0.82,0.80,0.83,0.85，所以当0.85m =时，θ取得最小值，此时ϕ求得最大值，所以四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是丁组. 故选：D.3．（2022·北京·101中学模拟预测）岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.自古有"洞庭天下水，岳阳天下楼"之美誉.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC ，如图，测得30DAC ︒∠=，45DBC ︒∠=，14AB =米，则岳阳楼的高度CD 约为(2 1.414≈，3 1.732≈)（）A ．18米B ．19米C ．20米D ．21米【答案】B【解析】Rt △ADC 中，30DAC ︒∠=，则AC =，Rt △BDC 中，45DBC ︒∠=，则BC CD =，由AC -BC =AB 141)19.124CD CD -=⇒==≈，CD 约为19米. 故选：B4．（2022·全国·高三专题练习）小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘(如图阴影部分)，为了测量该池塘两侧C ，D 两点间的距离，除了观测点C ，D 外，他又选了两个观测点1P ，2P ，且12PP a =，已经测得两个角12PPD α∠=，21P PD β∠=，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C ，D 间距离的是（） △1DPC ∠和1DCP ∠；△12PP C ∠和12PCP∠；△1PDC ∠和1DCP ∠. A ．△和△ B ．△和△ C ．△和△ D ．△和△和△【答案】D【解析】根据题意，△12PP D 的三个角和三个边，由正弦定理均可以求出， △中，111sin sin DP CD DPC DCP =∠∠，故111sin sin DP DPC CD DCP ∠=∠，故△可以求出CD ；△与△条件等价.△中，在△12PP C 中，1211212sin sin PP PC PCP PP C =∠∠，故12112sin sin a PP C PC PCP ∠=∠，在△1PCD 中，利用余弦定理求解CD 即可；故选：D.5．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（B 点为看台底部）由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为11PQ ，22P Q ，…，55P Q ，且116BQ =米．为使距地面6米高的看台第一排A 点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则5BQ =（）A ．40.5米B ．54米C ．81米D ．121.5米【答案】C【解析】依题意121242,816Q Q Q Q ==，232342,12168Q Q Q Q ==+，343442,1816812Q Q Q Q ==++， 454542,271681218Q Q Q Q ==+++，所以516812182781BQ =++++=米. 故选：C6．（2022·山东师范大学附中模拟预测）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E 、H 、G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为h ，EG 为测量标杆问的距离，记为d ，GC 、EH 分别记为,a b ，则该山体的高AB =（）A．hdh a b+- B ．hd h a b-- C ．hdda b +-D ．hdd a b-- 【答案】A【解析】连接FD ，并延长交AB 于M 点，如图，因为在Rt BMD △中tan h BDM b∠=，所以||||||tan BM BM b MD BDM h ==∠；又因为在Rt BMF △中tan hBFM a ∠=，所以||||||tan BM BM a MF BFM h ==∠，所以||||||||BM a BM bMF MD d h h-=-=，所以||hd BM a b =-，即||hdAB BM h h a b=+=+-，故选：A ．7．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在四边形ABCD 中，AC =AD =CD =7，△ABC =120°，sin△BAC =5314且BD 为△ABC 的平分线，则BD =（）A ．6B ．9C ．D ．8【答案】D【解析】由正弦定理得5sin si n BC AC BC BAC ABC =⇒⇒=∠∠，由7AC AD CD ===，可得60ADC ∠=︒，120ABC ∠=︒，所以,,,A B C D 四点共圆，60DBC DAC ∠=∠=︒，由余弦定理222cos 82BD BC DC DBC BD BD BC+-∠=⇒=⋅．故选：D.8．（2022·浙江·海亮高级中学模拟预测）如图，已知在ABC 中，9,12AB BC ==，点D 在边BC 上，且满足2,90BD DC BAC =∠=，则sin CAD ∠=（）A ．21313B ．31313C ．34343D ．64343【答案】D【解析】在ABC 中，90BAC ∠=， 9,12AB BC ==，则3cos sin 4AB B C BC ===，因2BD DC =，则4,8BD CD ==，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅22394294434=+-⨯⨯⨯=，即AD =在ACD △中，由正弦定理sin sin CD AD CAD C =∠得：38sinCAD ⨯∠==in s CAD ∠=. 故选：D9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）为了测量B ，C 之间的距离，在河的南岸A ，C 处测量（测量工具：量角器、卷尺），如图所示.下面是四位同学所测得的数据记录，你认为不合理的有（）A ．c 与αB ．c 与bC ．b ，c 与βD ．b ，α与γ 【答案】ABC【解析】因为A ，C 在河的同一侧，所以可以测量b ，α与γ，故选：ABC10．（多选）（2022·全国·高三专题练习）某货轮在A 处看灯塔B 在货轮北偏东75︒，距离为；在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30︒，距离为.货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在南偏东60︒，则下列说法正确的是（） A ．A 处与D 处之间的距离是24nmile B ．灯塔C 与D处之间的距离是 C ．灯塔C 在D 处的西偏南60︒ D ．D 在灯塔B 的北偏西30︒【答案】ABC【解析】在ABD △中，由已知得60ADB ∠=，75DAB ∠=︒，则45B ∠=，126AB =．由正弦定理得sin 24sin AB BAD ADB∠===∠，所以A 处与D 处之间的距离为24n mile ，故A 正确；在ADC 中，由余弦定理得， 2222cos30CD AD AC AD AC =+-⋅，又AC = 解得CD =所以灯塔C 与D 处之间的距离为n mile ，故B 正确， AC CD ==30CDA CAD ∴∠=∠=︒，∴灯塔C 在D 处的西偏南60︒，故C 正确；灯塔B 在D 的南偏东60︒，D ∴在灯塔B 的北偏西60︒，故D 错误；故选：ABC ．11．（多选）（2022·河北·石家庄二中高三阶段练习）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S =.现有ABC ∆满足sin :sin :sin 2:A B C =ABC ∆的面积ABC S ∆=的是A ．ABC ∆周长为10+B ．ABC ∆三个内角A ，C ，B 成等差数列 C ．ABC ∆．ABC ∆中线CD的长为【答案】ABC【解析】由正弦定理可得：::2:a b c =设2a m =，3b m =，c =()0m >2S ∴==2m = ABC ∆∴的周长为4610a b c ++=++=+A 正确；由余弦定理得：2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯ 3C π∴= A B C π++= 23A B π∴+=，即2C A B =+ ,,A C B ∴成等差数列，B 正确；由正弦定理知外接圆直径为2sin sin 3c R C ===C 正确；由中线定理得：2222122a b c CD +=+，即2111636281922CD ⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭CD ∴=D 错误. 故选：ABC12．（多选）（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，60BAC ∠=，3BC =，D 是BC 上的点，2AD =，以下结论中正确的有（）A ．若AD BC ⊥，则ABC 的面积为3B ．当ABC 为等边三角形时，ABC 的面积最大 C ．若D 为BC 中点，则3AB AC ⋅=D ．若AD 平分BAC ∠，则ABC 【答案】AD【解析】解：设,,AB c AC b BC a ===，对于A 选项，因为3BC =，D 是BC 上的点，2AD =，AD BC ⊥，所以ABC 的面积为13332⨯⨯=，故A正确；对于B 选项，当AD BC ⊥时，ABC 的面积最大，故错误；对于C 选项，229b c bc +=+△，1cos602AB AC bc bc ︒⋅==，由于D 为BC 中点，则1()2AD AB AC =+，故222111||||||||2||2222AD AB AC AB AC AB AB AC AC =+=+=+⋅+=，所以22||2||16AB AB AC AC +⋅+=，即2216c bc b ++=△，所以2-②①得72bc =，所以1724AB AC bc ⋅==，故错误；对于D 选项，因为AD 平分BAC ∠，60BAC ∠=，所以30BAD CAD ︒∠=∠=，1111111sin 30sin 3022()2222222ABC BAD CAD S S S AB AD AC AD c b b c ︒︒=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⨯+⋅⨯=+△△△由于22,9ABC S b c bc ∆=+-=△，故1()2b c +，即b c +=，所以2222()3)39b c bc b c bc bc +-=+-=-=，即2()4120bc bc --=，解得6bc =，所以6ABC S ===△D 正确. 故选：AD13．（2022·浙江·高三专题练习）公元1231年，南宋著名思想家，教育家陆九渊的弟子将象山书院改建于三峰山徐岩（徐岩旧址，现为贵溪市第一中学），在信江河畔便可望见由明正德皇帝御笔亲题的“象山书院”红色题刻．为测量题刻CD 的高度，在A 处测得仰角分别为45︒，30，前进40米后，又在B 处测得仰角分别为60︒，45︒，则题刻CD 的高度约为__________米．【答案】40【解析】因为在A 处看C 的仰角分别为45︒，在B 处看D 的仰角分别为45︒，//AC BD ∴，且,OAC OBD 均为等腰直角三角形，故40CD AB ==．故答案为：40.14．（2022·全国·高三专题练习）汽车最小转弯半径是指当转向盘转到极限位置，汽车以最低稳定车速转向行驶时，外侧转向轮的中心平面在支承平面上滚过的轨迹圆半径．如图中的BC 即是．已知某车在低速前进时，图中A 处的轮胎行进方向与AC 垂直，B 处的轮胎前进方向与BC 垂直，轴距AB 为2.92米，方向盘转到极限时，轮子方向偏了30°，则该车的最小转弯半径BC 为_______米．【答案】5.84【解析】由题意可知，只需求BC 的长度即可.由30BCA ∠=，sin ABBCA BC∠=，即2.925.841sin 2AB BC BCA===∠米，故答案为：5.8415．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示四边形ABCD 中，AD DC =，AC =BC =120ADC =∠︒，75BCD ∠=︒，则四边形ABCD 的面积为________.【答案】103【解析】由题意，知：52sin 2ACAD DC ADC ===∠，且6DCA π∠=，4ACB π∠=，△1sin 2ADCSDC AC DCA =⋅⋅∠，1sin 2ACBS AC BC ACB =⋅⋅∠， △四边形ABCD 的面积1115222ADCACBS S+=⨯⨯+⨯=. 故答案为：16．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁()A 和临秀亭()B 两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的A 、B 两地之间的距离，某同学任意选定了与A 、B 不共线的C 处，构成ABC ，以下是测量数据的不同方案：△测量A ∠、AC 、BC ； △测量A ∠、B 、BC ； △测量C ∠、AC 、BC ； △测量A ∠、C ∠、B ．其中一定能唯一确定A 、B 两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．【答案】△△【解析】对于△，由正弦定理可得sin sin AC BC B A=，则sin sin AC A B BC =，若AC BC >且A ∠为锐角，则sin sin sin AC AB A AB=>，此时B 有两解，则C ∠也有两解，此时AB 也有两解；对于△，若已知A ∠、B ，则C ∠确定，由正弦定理sin sin BC ABA C=可知AB 唯一确定；对于△，若已知C ∠、AC 、BC，由余弦定理可得AB 则AB 唯一确定；对于△，若已知A ∠、C ∠、B ，则AB 不确定. 故答案为：△△.17．（2022·湖南·模拟预测）如图，在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，已知cos sin 0c A c A b +-=． (1)求cos C 的值；(2)在BC 的延长线上有一点D ，使得,104DAC AD π∠==，求,AC CD ．【解】(1)在ABC中，由正弦定理得sin cos sin sin sin 0C A C A A B +-=，又在ABC 中，sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=，所以上式可化为sin sin cos sin 0C A A C A -=．因为sin 0A >，所以sin cos C C -=，又因为22sin cos 1,C C ABC +=是锐角三角形，cos 0C >．解得cos 5C =． (2)由（1）得：cos ACB ∠=，又ABC是锐角三角形，所以sin ACB ∠=所以sin sin cos )4ADC ACB ACB ACB π⎛⎫∠=∠-=∠-∠== ⎪⎝⎭⎝⎭ 在ACD △中，由正弦定理得：sin sin()sin CD AD ACDAC ACB ADCπ==∠-∠∠===，解得CD AC ==18．（2022·广东·高三开学考试）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ．现测得30BCD ∠=︒，135BDC ∠=︒，50CD =米，在点C 测得塔顶A 的仰角为45°，求塔高AB ．【解】在BCD △中，1801803013515CBD BCD BDC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， △()sin sin15sin 4530CBD ∠=︒=︒-︒sin 45cos30cos45sin30=︒︒-︒︒= 由正弦定理sin sin BC CDBDC CBD=∠∠得)sin 501sin CD BDC BC CBD ⋅∠==∠.在Rt ABC △中45ACB ∠=︒．△)501AB BC ==．所以塔高AB为)501米．19．（2022·山东泰安·高三期末）在某海域A 处的巡逻船发现南偏东60方向，相距a 海里的B 处有一可疑船只，此可疑船只正沿射线()0y x =≥（以B 点为坐标原点，正东，正北方向分别为x 轴，y 轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行.巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发t 小时后，可疑船只所在位置的横坐标为bt .若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇. (1)求,a b 的值；(2)若巡逻船以/小时的速度进行追击拦截，能否搃截成功？若能，求出搃截时间，若不能，请说明理由.【解】(1)解：由题意，直线y x =的倾斜角为30，若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，设1小时后两船相遇于点C ，如图所示，则AC x ∥轴，30AC =，且ABC 关于y 轴对称，所以,120AB BC a ABC ==∠=︒，所以1515cos30a b ==︒==︒.(2)解：若巡逻船以/小时进行追击，设t 小时后两船相遇于点D ，如图所示，则120ABD ∠=︒，15cos30tBD ==︒，AD =，AB =，因为2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-⋅∠可得2221))22⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭整理得23440t t --=，解得2t =或23t =-（舍去），所以能够拦截成功拦截时间为2小时.【素养提升】1．（2022·全国·高三专题练习）第十届中国花博会于2021年5月21日至7月2日在上海崇明举办，主题是“花开中国梦"，其标志建筑世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，利用国际前沿的数字技术，突破物理空间局限，打造了一个万花竞放的虚拟绚丽空间，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度达280米．图1为世纪馆真实图，图2是世纪馆的简化图．世纪馆的简化图可近似看成是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，其中//////AA PP OO BB ''''（O ，O '分别为半圆的圆心），线段PP '与半圆分别交于C ，C '，若280AA '=米，128BB '=米，105POB ∠=︒，75COB ∠=︒，120OBB ∠='︒1.732≈，则OP 的长约为（）A ．27米B ．28米C ．29米D ．30米【答案】B 【解析】//AA BB ''，120OBB ∠='︒，60A AB '∴∠=，又280AA '=，128BB '=，所以2801282cos60AB -=，则152AB =，则半圆半径为76， 105POB ∠=，75COB ∠=，1057530POC ∴∠=-=，又////AA PP OO '''，所以60,15DOB A AB PCO COD '∠=∠=∴∠=∠=，135OPC ∠=， ()62sin15sin 4530sin 45cos30cos 45sin 304-=-=-=在PCO △中，由正弦定理可得sin sin OP OCPCO OPC=∠∠=，解得)()38138 1.732128OP =≈⨯-≈米.故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）凸四边形就是没有角度数大于180的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，AC CD ⊥，AC CD =，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为A ．3B ．4C 1D 【答案】C【解析】设ABC α∠=，ACB β∠=在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos AC BA BC BA BC ABC =+-⨯∠ 所以222121AC α=+-⨯，即24AC α=-在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin AC ABαβ= ，则sin sin AB AC αβ==在BCD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD CB CD CB CD BCD =+-⨯∠ 而由条件可知，AC CD ⊥，AC CD =所以2222cos 2BD CB AC CB AC πβ⎛⎫=+-⨯+ ⎪⎝⎭即()2342cos 2BD παβ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭结合sinβ=274BD πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭所以当34πα=时，2BD 取得最大值为27BD =+此时BD 取得最大值为1BD = 所以选C3．（2022·全国·高三专题练习）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，A B C D E ----为某区的一条健康步道，其中,,,AB CD DE AE 为线段，,,B C D 三点共线，BC 是以BC 为直径的半圆，AB BD ⊥，336km,cos ,,225AB CD BAD AE DE E BAD ∠∠∠=====.则该健康步道的长度为___________.【答案】()22.52πkm +【解析】连接,AD BC ，因为362AB CD ==，所以6,4AB CD ==，在ABD △中，3,cos 5AB BD BAD ∠⊥=，所以4tan 3BAD ∠=，由直角三角形三角函数的定义知，4tan 683BD AB BAD ∠=⋅=⨯=，所以844BC BD CD =-=-=，所以半圆BC 的弧长为14π2π2⨯=.在Rt ABD △中，6,8AB BD ==，所以10AD =，在ADE 中，设(0)AE DE t t ==>，由余弦定理可得，2222cos AD AE DE AE DE E =+-⋅，即()2501cos t E =-，因为2E BAD ∠∠=，所以97cos cos2212525E BAD ∠∠==⨯-=-，所以2750125t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得：254t =，所以健康步道的长度为()252642π22.52πkm 4⨯+++=+.故答案为：()22.52πkm +4．（2022·广东惠州·一模）如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB 绕C 点旋转时，通过连杆AB 的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄在CB 0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在A 0处.设连杆AB 长200mm ，曲柄CB 长70mm ，则曲柄自CB 0按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离（即连杆的端点A 移动的距离A 0A ）约为___________mm .（结果保留整数）（参考数据：sin53.2°≈0.8）【答案】36【解析】如图，在ABC 中，200AB =，70BC =，53.2ACB ∠=︒，4sin 5ACB ∠=，由正弦定理，sin 7sin 25BC ACB BAC AB ∠∠==，△AB BC >，△ACB BAC ∠>∠，故BAC ∠为锐角，△24cos 25BAC ∠==，3cos 5ACB ∠=△()42437117sin sin 525525125ABC ACB BAC ∠=∠+∠=⨯+⨯=，所以sin 1175200234sin 1254AB ABC AC ACB ∠==⨯⨯=∠，故()()()00002007023436mm A A A B B C AC =+-=+-=.故曲柄0CB 按顺时针方向旋转532︒.时活塞移动的距离约为36mm. 故答案为：365．（2022·全国·高三专题练习）如图，游客从景点A 下山至C 有两种路径：一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1分钟后，再从B 匀速步行到C ．已知缆车从A 到B 要8分钟，AC 长为1260米，若12cos 13A =，63sin 65B =．为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，则乙步行的速度v （米/分钟）的取值范围是_____．【答案】12506254314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】在△ABC 中解三角形，设,,BC a AC b AB c ===，由题意可知，1260b =，12cos 13A =，63sin 65B =，则5sin 13A =，由正弦定理可得：51260sin 1350063sin 65b A a B⨯===，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，则2221250012602126013c c =+-⨯⨯⨯，解得：12167201040,13c c ==，若1672013c =，则16720500126013+<，不能组成三角形，舍去，所以1040c =.乙从B 出发时，甲已经走了()50281550m ⨯++=，还需走710m 才能到达C .设乙步行的速度为/min vm ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤, 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，则乙步行的速度应控制在12506254314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，范围内. 故答案为：12506254314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 6．（2022·辽宁·一模）如图所示，在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠=︒，90B ∠=︒，120C ∠=︒，90E ∠=︒，3AB AE ==.(1)当332BC =时，求CD ；(2)当五边形ABCDE 的面积S ⎡∈⎣时，求BC 的取值范围. 【解】(1)连接EB ，由五边形内角和得：120D C ∠=∠=︒， △//BE CD ，则四边形BCDE 为等腰梯形，则DEB CBE ∠=∠，又90B E ∠=∠=︒，120A ∠=︒，故30AEB ABE ∠=∠=︒，60DEB CBE ∠=∠=︒，所以在ABE △中3AB AE ==，由余弦定理得2222cos12027BE AE AB AE AB =+-⋅︒=，△BE =过C 点作CM BE ⊥于M ，可得cos60BM BC =⋅︒=△2CD BE BM =-=(2)由193sin12024ABESAB AE =⋅⋅⋅︒=，又五边形ABCDE 的面积S ⎡∈⎣，△BCDE S ∈⎣⎭，设BC x =，则()()1122BCDE S BE CD CM x x =⨯+⨯=⨯，整理得21527x ≤-<x ≤<x ≤又20DC BE BM x =-=>，即x <△BC 的取值范围是.。

2023届高三数学一轮复习：解三角形

2
2
c sinB bsinC
即： b c
sin B 同理： a
sin A
sinC b
sin B
a sin A
b sin B
c sinC
（法三、向量法）
A
c
b
B a DC
引例例1、、在ABC中，角A, B,C所对的边为a, b,c。
已知A 60o , B 45o , b 2，求边a ,角C和边c.
变、在ABC中，已知A 60o，B 45o , c 1 3,解三角形。
C
b2
60o
45o
B
A c 1 3
例2、在ABC中，已知a 2 2, b 2 3， A 45o，解三角形。
变2、在ABC中，已知a 2 6, b 2 3， A 45o，解三角形。
课堂小结：
定理在问题中孕育
正
定理在特例中诞生
a
c 所对的边为a, b,c。已知A 60o , B 45o , b 2，求边a.
b2
C
分析：CD 2sin60o 3
a?
a BC 6
60o
A
D
45o B
你能得到什么启发？
正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
abc sin A sinB sinC
弦
定理在实验中成长
定
理
定理在证明中丰腴
定理在应用中成熟
大的胆数猜学想精，神勇于探索
课后探究：
在任意三角形中，都有 a b c k，
sin A sinB sinC 那么这个比值k是不是一个常量？如果不是，那它的变化与ABC有什么关系呢？

第03讲基本不等式(原卷版)备战2023年高考数学一轮复习精讲精练

第03讲基本不等式 (精讲+精练）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析高频考点一：利用基本不等式求最值①凑配法②“1”的代入法③二次与二次（一次）商式（换元法）④条件等式求最值高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围高频考点三：利用基本不等式解决实际问题高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数第五部分：高考真题感悟第六部分：第03讲基本不等式（精练）1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）①如果0a >，0b >2a b+≤，当且仅当a b =时，等号成立． ②a ，b 的几何平均数；2a b+叫做正数a ，b 的算数平均数． 2、两个重要的不等式①222a b ab +≥（,a b R ∈）当且仅当a b =时，等号成立． ②2()2a b ab +≤（,a b R ∈）当且仅当a b =时，等号成立． 3、利用基本不等式求最值①已知x ，y 是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当且仅当x y =时，和x y +有最小值；②已知x ，y 是正数，如果和x y +等于定值S ，那么当且仅当x y =时，积xy 有最大值24S；4、常用技巧利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）. ①凑：凑项，例：()1123x x a a a x a x a x a+=-++≥+=>--；凑系数，例：()()2112121112212022282x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫-=⋅-≤⋅=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②拆：例：()2244442244822223x x x x x x x x x -+==++=-++≥=>----；③除：例：()2221011x x x x x=≤>++； ④1的代入：例：已知0,0,1a b a b >>+=，求11a b+的最小值. 解析：1111()()24b aa b a b a b a b+=++=++≥. ⑤整体解：例：已知a ,b 是正数，且3ab a b =++，求a b +的最小值.解析：22,322a b a b ab a b ++⎛⎫⎛⎫≤∴≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()21304a b a b +-+-≥，解得()62a b a b +≥+≤-舍去.一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）当0,2x π⎛⎤∈⎥⎝⎦时，4sin sin x x +的最小值为4 ( )2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）已知102x <<，则()12x x -的最大值为18( ) 二、单选题1．（2022·江西·高一阶段练习）当0x >时，92x x+的最小值为（） A ．3B ．32C ．D ．2．（2022·湖南湖南·二模）函数()122y x x x =+>-+的最小值为（） A ．3B ．2C ．1D ．03．（2022·湖南·高一阶段练习）已知0a >，0b >且2510a b +=，则ab 的最大值为（） A ．2B ．5C ．32D ．524．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一开学考试）下列函数，最小值为2的函数是（） A ．1y x x=+B ．222y x x -=+C ．3y x =+D ．2y =高频考点一：利用基本不等式求最值①凑配法1．（2022·北京大兴·高一期末）当02x <<时，(2)x x -的最大值为（） A ．0B ．1C ．2D ．42．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为（） A ．8B ．7C ．6D ．53．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知x >3，则对于43y x x =+-，下列说法正确的是（） A ．y 有最大值7B ．y 有最小值7C ．y 有最小值4D ．y 有最大值44．（2022·江苏省天一中学高一期末）设实数x 满足1x >-，则函数41y x x =++的最小值为（） A ．3B ．4C ．5D ．65．（2022·上海虹口·高一期末）已知04x <<，则()4x x -的最大值为______．②“1”的代入法1．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））已知x ，y 均为正数，若261x y +=，则当3x y +取得最小值时，x y +的值为（） A ．16B ．4C ．24D ．122．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，22x y +=，则12x y+的最小值是（）A ．1B ．2C ．4D ．63．（2022·四川·泸县五中高二开学考试（文））已知,x y 为正实数，且2x y +=，则212x y+的最小值为__________.4．（2022·广西桂林·高一期末）已知0,0a b >>，若31a b +=，则31a b+的最小值是___________.5．（2022·天津·南开中学高一期末）已知110, 0, 4a b a b>>+=，则4a b +的最小值为_______________.③二次与二次（一次）商式1．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值12．（2022·全国·高三专题练习）函数233(1)1x x y x x ++=<-+的最大值为（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．-13．（2022·江西南昌·高一期末）当2x >-时，函数2462++=+x x y x 的最小值为___________．4．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.5．（2021·江西·宁冈中学高一阶段练习（理））()21147x x x x ->-+的最大值为______.6．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值（1）21(0)x x y x x ++=>；（2）226(1)1x x y x x ++=>-.④条件等式求最值1．（2022·陕西咸阳·高二期末（文））已知0x >，0y >，若28x y xy +=，则xy 的最小值是（）A ．4B 2C ．18D ．142．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，且3ab a b =++，则a b +的最小值为（） A ．4B ．8C ．7D ．63．（2022·江苏·高三专题练习）已知0a >，0b >且满足2a b ab +=，则2+a b 的最小值为（） A ．4B ．6C ．8D ．104．（2022·安徽芜湖·高一期末）已知正数x ，y 满足8xy x y =++，则x y +的最小值为_________ 5．（2022·全国·高三专题练习）已知2,1a b >>，且满足21ab a b =++，则2a b +的最小值为_______. 6．（2022·重庆·高一期末）已知0x >，0y >，24xy x y =++，则x y +的最小值为______． 7．（2022·广东广州·高一期末）已知0a >，0b >，且3a b ab +=-，则a b +的最小值为______．高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围1．（2022·全国·高三专题练习）当2x >时，不等式12+≥-x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．[)4,+∞D ．(],4-∞2．（2022·浙江·高三专题练习）若关于 x 的不等式220x ax -+>在区间[]1,5上恒成立，则a 的取值范围为（）A ．()+∞B ．(,-∞C ．(),3-∞D ．27,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3．（2022·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（） A ．10B ．12C ．16D ．94．（2022·全国·高三专题练习）已知x ，()0,y ∈+∞，且1x y +=，若不等式2221124x y xy m m ++>+恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()2,1-D ．()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1xx a x x >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[1,)-+∞B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞6．（2022·甘肃·无高二期末（文））已知正实数a ，b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．[)3,+∞B ．(],3-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞7．（2022·全国·高三专题练习）若对任意0x >，231xa x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦高频考点三：利用基本不等式解决实际问题1．（2022·北京市十一学校高二期末）某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m 3，高为3m ，如果箱底每1m 2的造价为15元，箱壁每1m 2造价为12元，则箱子的最低总造价为（） A ．72元B ．300元C ．512元D ．816元2．（2022·河南开封·高一期末）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积S 可由公式S =p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足14a b +=，6c =，则此三角形面积的最大值为（）A ．6B ．C ．12D ．3．（2022·江苏常州·高一期末）2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同．受钢材进价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价．设0p q <<，甲第一次提价%p ，第二次提价%q ；乙两次均提价%2p q+；丙一次性提价()%p q +．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为（） A ．乙、甲、丙 B ．甲、乙、丙 C ．乙、丙、甲D ．丙、甲、乙4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知k ∈R ，则“对任意,a b ∈R ，22a b kab +≥”是“k 2≤”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2022·河南·模拟预测（理））一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为g m ，则（） A ．10m >B ．10m =C ．10m <D ．以上都有可能6．（2022·全国·高一）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建为一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =米，3AD =米，当BM =_______时，矩形花坛AMPN 的面积最小.高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数1．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知命题p ：“21,4,402x x ax ⎡⎤∃∈-+>⎢⎥⎣⎦”为真命题，则实数a 的取值范围是（） A ．4a 2．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式210x ax ++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的取值范围是（）A ．0a ≥B ．2a ≤-C ．52a ≥-D ．3a ≤-3．（2022·全国·高三专题练习）函数2y =的最小值为（）A ．2B ．52C ．1D ．不存在4．（2022·新疆·石河子第二中学高二阶段练习）已知函数4()f x x x =+，()2x g x a =+，若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2[2,3]x ∃∈，使得()()12f x g x ，则实数a 的取值范围是（） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[3,)-+∞D ．[1,)+∞5．（2022·全国·高二课时练习）函数()3421x xf x x x -=++在区间[]1,3上（）A 0B ．有最大值为2491，最小值为0C D ．有最大值为2491，无最小值1．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若正实数a ，b 满足()()240f a f b +-=则121a b ++的最小值是（） A ．23B ．43C ．2D ．42．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x=+3．（2021·天津·高考真题）若0 , 0a b >>，则21ab ab ++的最小值为____________． 4．（2021·江苏·高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y 万元与年产量x 吨之间的函数关系可以近似地表示为22420005xy x =-+，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.一、单选题1．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）下列说法正确的为（）A ．12x x+≥ B ．函数224x y += 4C ．若0,x >则(2)x x -最大值为1D ．已知3a >时，43+≥-a a 43=-a a 即4a =时，43+-a a 取得最小值8 2．（2022·福建·莆田一中高一期末）函数2455()()22x x f x x x -+=≥-有（） A ．最大值52 B ．最小值52 C ．最大值2 D ．最小值23．（2022·河南·郏县第一高级中学高二开学考试（理））正实数ab 满足121a b+=，则()()24a b ++的最小值为（）A ．16B ．24C ．32D ．404．（2022·江西抚州·高二期末（文））若命题“对任意(),0x ∈-∞，使得2240x ax -+≥成立”是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．[)2,-+∞B ．[)2,+∞C ．(],2-∞-D ．(],2-∞5．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））中国大运河项目成功人选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目，随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头，已知游船在顺水中的速度为1V ，在逆水中的速度为()212V V V ≠，则游船此次行程的平均速度V 与122V V +的大小关系是（） A ．122V V V +D ．122V V V += 6．（2022·浙江温州·二模）已知正数a ，b 和实数t 满足221a tab b ++=，若a b +存在最大值，则t 的取值范围是（）A ．(],2-∞B ．()2,-+∞C ．(]2,2-D ．[)2,+∞7．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（）（精确到1米）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米8．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知实数a ，b 满足如下两个条件：（1）关于x 的方程2320x x ab --=有两个异号的实根；（2）211a b+=，若对于上述的一切实数a ，b ，不等式222a b m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．()4,2-B ．()2,4-C ．][(),42,-∞-⋃+∞D ．][(),24,-∞-⋃+∞二、填空题9．（2022·陕西西安·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，334x y x y +--=.则x y +的取值范围为__________. 10．（2022·上海·二模）已知对()0,x ∀∈+∞，不等式1x m x>-恒成立，则实数m 的最大值是_________. 11．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________.12．（2022·安徽合肥·高一期末）如图所示，某农科院有一块直角梯形试验田ABCD ，其中//,AB CD AD AB ⊥.某研究小组计则在该试验田中截取一块矩形区域AGEH 试种新品种的西红柿，点E 在边BC 上，则该矩形区域的面积最大值为___________.三、解答题13．（2022·湖南·高一课时练习）（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？14．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）如图，设矩形()ABCD AB AD >的周长为8cm ，将△ABC 沿AC 向△ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，设AB xcm =，求ADP △面积的最大值及相应x 的值.15．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）已知关于x 的不等式220ax ax ++>的解集为R ，记实数a 的所有取值构成的集合为M .(1)求M ；(2)若0t >，对a M ∀∈，有245321a t t a --≤+-+，求t 的最小值.16．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）党中央国务院对节能减排高度重视，各地区认真贯彻党中央国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，新能源汽车环保节能以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向．为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元．每生产x （百辆）新能源汽车，需另投入成本()C x 万元，且()210500,040,64009016300,40.x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．(1)请写出2022年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润＝售价－成本）(2)当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．。

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基本不等式与解三角形—2023届高三数学总复习专题训练解三角形问题当中有一类问题是最值问题，这类问题往往要结合基本不等式来解决。

下面就为大家分享几个解三角形与基本不等式综合的题目。

1、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（16b－11c）cosA＝11a cosC。

（1）求cosA的值；（2）若b＋c＝4，求a的最小值。

2、在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且满足tantan2A aC b a=-。

(1)求角C；(2)设D为边AB的中点，△ABC的面积为CD的最小值。

3、在△ABC中，角A，B，C所又寸的边分a，b，c，且1cos2a C c b+=。

(1)求角A的大小；(2)若a b＋c的最大值。

4、图，在△ABD中，AB＝2，AD＝1，∠A ABD内的动点C与点A位于直线BD的异侧，且满足∠C（1）求sin∠ADB；（2）求四边形ABCD面积的最大值。

5、已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3(b －a cos C )＝c sin A .(1) 求角A 的值；(2) 若AC 边上的中线BD 的长为13，求△ABC 面积的最大值.6、已知三角形ABC 的面积是S ，233AB AC ⋅=．（1）求sin A 的值；（2）若BC =，当三角形ABC 的周长取得最大值时，求三角形ABC 的面积S ．7、在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边依次为a 、b 、c ，且1cos 4C =. （1）求22cos 2sin 22A BC ++的值；（2）设2c =，求a b +的取值范围.8、已知231()cos cos 24f x x x x =+-. （Ⅰ）求()y f x =的最小正周期T 及单调递增区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若5(),14f A a ==，求ABC ∆面积的最大值.9、在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos 2cos C a cB b-=，且2a c +=．（1）求角B ；（2）求边长b 的最小值．10、已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1sin sin B C R+=（其中R 为ABC ∆的外接圆的半径）且ABC ∆的面积22()S a b c =--. （1）求tan A 的值；（2）求ABC ∆的面积S 的最大值.11、在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan 2tan A c bB b-=. （1）将函数()sin(2)f x x ϕ=+（02πϕ<<）的图象向右平移角A 个单位可得到函数()cos 2g x x =-的图象，求ϕ的值；（2）若ABC ∆的外接圆半径为1，求ABC ∆面积的最大值.12、ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．（1）若23C π=，求B ；（2）求222a b c+的最小值．13、在ABC △．中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos b c Ca A-=，3a =．（1）求角A ；（2）若点D 在边AC 上，且1233BD BA BC =+，求BCD △面积的最大值．14、在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，92AB AC ⋅=，sin 4(sin cos cos sin )b A A C A C =+．（1）求a 的长度；（2）求ABC ∆周长的最大值．15、已知向量11(,sin )22a x x =和向量(1,())b f x =，且//a b ．（1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（2）已知ABC ∆的三个内角分别为,,A B C ，若有(2)16f A π-=，BC =ABC ∆面积的最大值．16、△ABC 的内角为A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin sin cos a b cC B B C=+．（1）求()()sin sin cos cos A B A A A B +++-的最大值；（2）若b =，当△ABC 的面积最大时，△ABC 的周长；参考答案1、2、3、△中，由余弦定理得4、解：(1)在ABD分.6分..8分 ..10分又ABD △的面积.11分所以四边形ABCD 面积的最大值为.12分 5、解：(1) 因为3(b －a cos C )＝c sin A ，由正弦定理得3(sin B －sin A cos C )＝sin C sin A .(2分) 即 3sin B ＝3sin A cos C ＋sin C sin A ，即 3sin A cos C ＋3cos A sin C ＝3sin A cos C ＋sin C sin A ，(4分) 所以 3cos A sin C ＝sin C sin A .因为sin C ≠0，所以sin A ＝3cos A ，即tan A ＝ 3.(6分)因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(8分)(2) 在△ABD 中，由余弦定理得AB 2＋AD 2－2·AB ·AD ·cos A ＝BD 2，即13＝c 2＋b 24－c ·b 2≥bc 2，(10分)所以bc ≤26.(12分)所以S △ABC ＝12bc sin A ≤12×26×32＝1332，即△ABC 面积的最大值为1332.(14分)6、解：（1）由得，所以. ………… …………………………2分在三角形ABC 中得4分所以,， ……………………………7分（2）在三角形ABC 中，2222cos a b c bc A =+-，所以()21222cos3b c bc bc π=+--，即()2212332b c b c bc +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，…………………………10分当且仅当b c =时取等号，2AB AC S ⋅=1cos sin 2AB AC A AB AC A ⋅⋅=⋅⋅cos A A =()0A ,π∈tan A =3A π∠=sin 2A =所以b c +≤所以周长的最大值为b c ==所以面积1sin 2S AB AC A =⋅⋅=……………………………14分解法二：在三角形ABC 中sin sin sin AB AC BCC B A==得4sin sin 3ABAC CC π===⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以周长4sin 4sin 3l BC AB CA C C π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭6C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………10分由203C ,π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，当3C π=时，周长l取得最大值为此时AC AB ==所以面积1sin 2S AB AC A =⋅⋅=……………………………14分 7、8、解：(Ⅰ)()fx 1)32x π=++ , ……………………3分故()y f x =周期T π= . ……………………4分令222,()232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈则5,()1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 所以()y f x =单调增区间为5[,],()1212k k k Z ππππ-++∈. ………6分（Ⅱ）由5()4f A =可得6A π= ， ……………………8分所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立， ……………………10分．因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34. ……………………12分9、（I ）由已知cos 2sin sin ,cos sin C A CB B-=即()cos sin 2sin sin cos ,C B A C B =- ()sin 2sin cos ,B C A B +=10、解：（1）由()22c b a S --=得A bc bc A bc cos 2-2sin 21= ……2分 ()412tan ,2sin 42cos 2sin ,cos 12sin 212==-=A A A A A A ……4分1582tan 12tan2tan 2=-=A AA …6分（2）由RC B 1sin sin =+得2=+c b ……7分由158tan =A 得178sin =A ……9分 1742174174sin 212=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤==c b bc A bc S ……11分当且仅当1==c b 时，取“=”号于是，△ABC 的面积S 最大值为174.……12分 11、解：. （1）由tan 2tan A c b B b -=及正弦定理得，sin cos 2sin sin cos sin sin A B C BA B B-=整理得，sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =-，即sin 2sin cos C C A =，因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =，而(0,)A π∈，所以3A π=，函数()sin(2)(0)2f x x πϕϕ=+<<的图象向右平移3π个单位可得， 2sin(2)3y x πϕ=-+，由题意2sin(2)cos(2)3x x πϕ-+=-，对任意x R ∈恒成立，不妨令3x π=，有21sin cos()32πϕ=-=，不妨令3x π=，有21sin cos()32πϕ=-= 又02πϕ<<，所以6πϕ=；（2）因为3A π=，外接圆半径1R =，所以由正弦定理 2sin a R A == 又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，所以 222232cos 23b c bc b c bc bc bc bc π=+-=+-≥-=当且仅当b c =时取等号.于是11sin 322ABC S bc A ∆=≤⨯=.∴△ABC ． 12、【1】因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B B A B B B===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=，而π02B <<，所以π6B =；【2】由（1）知，sin cos 0BC =->，所以πππ,022C B <<<<，而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-．所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B B c C B+++-== ()2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B B B BB -+-==+-≥=．当且仅当2cos 2B =时取等号，所以222a b c+的最小值为5． 13．（1）因为2cos cos b c C a A-=，所以()2cos cos b c A a C -=，所以()2sin cos sin cos cos sin sin sin B A A C A C A C B =+=+=，因为sin 0B >，所以1cos 2A =，因为()0,πA ∈，所以π3A =．（2）因为1233BD BA BC =+，所以13CD CA =；所以11sin 3612BCD ABC S S bc A bc ===△△，因为2222cos a b c bc A =+-，所以229b c bc bc =+-≥，当且仅当b c =时，等号成立，所以124BCD S =≤△，所以BCD △面积的最大值为4． 14．解：（1）由sin 4(sin cos cos sin )4sin()4sin b A A C A C A C B =+=+=．得sin 4sin b A B =，由正弦定理得4ab b =，得4a =．（2）由92AB AC ⋅=，得9cos 2bc A =，由余弦定理得2216922b c bc bc +-==，得2225b c +=，由22252b c ab =+，所以222()225250b c b c ab ab +=++=+，所以52b c +（当且仅当b c =时取等号），所以三角形ABC周长的最大值为4+ 15、【解析】（1）由//a b得11()sin 22f x x x =⇔()2sin()3f x x π=+，所以()f x 的最小正周期2221T πππω===，最大值为2．（2）由（1）得()2sin()3f x x π=+．因为(2)16f A π-=，得1sin(2)62A π+=，因为0A π<<，所以132666A πππ<+<，所以5266A ππ+=，解得3A π=．又BC =2222cos a a b c bc A ==+-⋅，所以223b c bc +-=，又222b c bc +≥（当且仅当b c =时取等号），则32bc bc +≥，所以3bc ≤，所以1sin 2ABC S bc A ∆=≤，所以ABC ∆． 16、（1）由得：，，即，，；由，令，原式，当且仅当时，上式的最大值为．（6分）（2），即cos sin sin cos a b c C B B C=+cos sin cos sin sin cos a b C c B C B B C +=cos sin a b C c B =+sin sin cos sin sin A B C C B =+cos sin B B =4B π=()())sin sin cos cos sin cos sin cos A B A A A B A A A A +++-=++sin cos t A A =+21122t =+-4A π=522221sin ,b 2cos 24S ac B ac a c ac B ===+-(2222,2a c ac ac =+≥-≤当且仅当等号成立；周长．（12分）a c=MAX S =L a b c =++=。