例谈不等关系条件下的求值问题(胡祖福 朱银坪老师11)

例谈不等关系条件下的相等关系
湖南省慈利县第一中学 胡祖福 朱银坪
邮政编码 427200
数学中的求值（非范围）问题，一般情况下都是利用方程思想建立方程（组）求解。

但近几年的新课标、新高考中，出现了大量在显性或隐性的不等关系下求值的新题型，下面是笔者对此的一些研究与整理，以期帮助大家应对这一类问题。

一、2()0(()0)()0f x f x f x ≤⇔≤⇔=型
例1 已知函数22()(,),()2416f x x ax b a b R g x x x =++∈=--，若()()f x g x ≤对
x R ∈恒成立，求实数,a b 的值。

［解析］由()()f x g x ≤对x R ∈恒成立，可令()0g x =，得12x =-或
24x =，则(2)0(4)0
f f ⎧-≤⎪
⎨≤⎪⎩，所以(2)0,(4)0.f f -=⎧⎨=⎩
从而2,4-是方程20x ax b ++=的两个解，
所以2424a
b -+=-⎧⎨-⨯=⎩
，解得2,8a b =-=-.
二、a x a x a ≤≤⇔=型
例 2 定义在R 上的函数()f x 满足(0)0,(
)(1)1f f x f x =+-=，1
()()5
2
x
f f x =，且当1201x x ≤<≤时，12()()f x f x ≤，则1
(
)2008f ＝ 。

［解析］对()(1)1f x f x +-=，令12x =，得11
()22
f =，令0x =，得(1)1f =
对1()()52x f f x =，分别令1111,,,21050250x =可得511
(
)12502
f =，
分别令11111,,
,,525125625x =，可得511
()31252f =， 而11101312520081250<
<<<，由已知条件可得：111
()()()312520081250
f f f ≤≤，即55111(
)220082f ≤≤，从而5111
()2008232
f ==. 三、x a
a x a x a x a
≥⎧⇔≤≤⇔=⎨
≤⎩型 例3 （2008年江苏卷）已知函数3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，则a = 。

［解析］依题意3310(11)ax x x -+≥-≤≤恒成立， 当0x =时：10≥，故a R ∈； 当0x >时：3213a x x ≥-+，令32
()3(01)
t x x x x --=-+<≤，则434
3636()x t x x x x -'=-=，令()0t x '= 得12x =
，显然()t x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦为增函数，在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
为减函数，故max 1
()()42
t x t ==，所以4a ≥；
当0x <时，3213a x x ≤-+，令3213()(10)g x x x x =-+-≤<，则436'()0x
g x x
-=>恒成
立，故()g x 在[]1,0-上为增函数，故min ()(1)4g x g =-=，所以4a ≤.
综上，可得4a =. 注
本题还有一种比较灵活的解法：由条件得
11
(1)0,()0,(0)0,()0,(1)022
f f f f f -≥-≥≥≥≥……对于小题，特殊化往往是减少运算
的好方法.
例4 已知[]2()(,),1,1f x x ax b a b R x =++∈∈-，若()f x 的最大值1
2
M =，求()f x 的表达式.
解析 依题意，[]1
()(1,1)2f x x ≤∈-，分别令1x =，-1,０,得1(1),21(1),21(0),2f f f ⎧≤⎪⎪
⎪-≤⎨
⎪
⎪≤⎪⎩即1
11,221
11,221
1,22a b a b b ⎧-≤++≤⎪⎪
⎪-≤-+≤⎨⎪
⎪-≤≤⎪⎩
①②③ +①②，得121b -≤+≤２，即3122b -≤≤-.与③联立，得1122b -≤≤-，所以12
b =-.
分别代入①，②，得10,01a a -≤≤≤≤，所以0a =． 综上，可得2
1
()2
f x x =-
． 三、综合型
例５ 已知二次函数2()f x ax bx c =++的图象过点(1,0)-，问是否存在常数,,a b c ，使
2
1()(1)2
x f x x ≤≤
+对一切x R ∈都成立? 解析 假设存在,,a b c ，符合题意。

令
21
(1)2
x x +=，得1x =，故1(1)1f ≤≤，从而(1)1f =，即1a b c ++=.① 由()f x 过点(1,0)-，得0a b c -+=②
由①②，得11(0),.22a c a b +=
≠=所以211
()(0).22
f x ax x a a =++-≠ 由()f x x ≥对x R ∈恒成立，则2
11022
ax x a -+-≥对x R ∈恒成立，
所以0,11
4()0.42
a a a >⎧⎪⎨∆=--≤⎪⎩③
④ 由④得2
(41)0a -≤，所以1
4
a =. 故存在111,,424a
b
c =
==，使21
()(1)2
x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立.
四、a x b
a b x ≤≤⎧⇔=⎨
⎩唯一
型
例6 （2008年天津卷）设1a >，若仅有一个常数c 使得对于任意的[,2]x a a ∈，
都有2[,]y a a ∈满足方程log log x y
a a c +=，这时a 的取值的集合为 。

［解析］由方程log log x y a
a
c +=得函数([,2])c
a y x a a x
=∈，
则函数y 的值域为11,2c c a a --⎡⎤⎢⎥⎣⎦，依题意112,[,]2c c a a a a --⎡⎤
⊆⎢⎥⎣⎦，
则得到两个不等关系式，即1
122
c c a a a a --⎧≥⎪⎨⎪≤⎩
①
② 由①得22log a c ≥+，由②得
3c ≤， 因为有且只有一个常数c 符合题意，所以22log 3a +=，故
2a =. 所以a 的取值的集合为{}2.
五、a x b
x x ≤≤⎧⇔⎨⎩
为整数取区间[],a b 内的整数型
例7 （2007年江西卷）设正整数数列{}n a 满足：24a ＝，且对于任何*n N ∈，
有111111
22111
n n n n
a a a a n n ++++<<+-+.
（1）求13,a a 的值；
（2）求数列{}n a 通项n a 的表达式.
[解析]（1）对111111
22111
n n n n
a a a a n n +++
+<<+-+，令1n =，得128,37a <<
而1a 为正整数，故11a ＝，令2n =，得3810,a <<而3a 为正整数，故39a ＝.
（2）由1231,4,9,a a a ==＝猜想2,n a n ＝可用数学归纳法证明（过程略）。

以上列举的几道例题，从不同视角体现了在不等关系下求值问题的设计思路和解题方法，其构思奇，设计妙，充满了辩证法，富有哲理，望同学们用心领会.
实际上，A B =暗含两个方面：A B ≥，A B ≤，只强调一个面就会有失客观.正如伦理的原则是：把人人同等看待.我和你平等也有两个侧面哦：我不比你低等，我也不比你高等.用此作是非判断时，只强调前者是常犯的错误.
巩固练习
１.（2004年全国卷）已知函数2()ln f x x a x =-在](
1,2上为增函数，()g x x =-()
0,1上为减函数，则实数a = ．
２.若()f x 是定义在R
上的函数，对于任意实数x ，都有(3)()3f x f x +≤+和
(2)()2f x f x +≥+，且(1)1f =，则(2012)f = .
３、已知向量1a e e ≠=，，对任意t R ∈，恒有a te a e -≥-，则（ ） A. a e ⊥ B. ()a a e ⊥- C. ()e a e ⊥- D. ()()a e a e +⊥-
４.若()2cos 1,()2cos f x x g x x =+=，其中[]0,2x π∈，解方程
()
()
()().
f x
g x f x g x +=+ 参考答案
1.2. 2.2012 3.C 4.
24
3x π
π≤≤
或4734
x ππ
≤≤.提示：()()0.f x g x ≥ 注：此文发表在江苏教育出版社·高三数学《新高考》2012年第二期。