浙江大学15-16高数上期末试卷

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密封线内不要答题 密封线内不要答题

浙 江 大 学

2015－2016学年第1学期

高等数学A1课程试题( A )卷

一、填空题（每小题3分，共15分）

1. 已知函数 2

(cos )ln y x x =，则dy =

2. 已知2sin 20ln(1)

()320

x x x f x x x k x ⎧<⎪

+=⎨⎪-+≥⎩

在0x =处连续，则k =

3. 定积分

32

2

cos (sin 1)x x dx ππ-

⋅+=⎰

4. 已知

2()1x f x dx C x

=

++⎰

，则2

sec (tan )x f x dx ⋅=⎰ 5. 设变力()x

F x e -=作用于一物体，物体沿力的方向从x a =移动到x b =处，则力F 对物体

所作的功为

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 当 0x →时，下列变量中是无穷小量的有（ ）

1() sin A x () 21x B -- sin ()

x

C x

() D ln ||x 2. 设函数()f x 具有连续的导数，则以下等式中错误的是（ ）

()

(())()b a

d

A f x dx f x dx =⎰ () (())()x a

B d f t dt f x dx =⎰

() (())()C d f x dx f x dx =⎰ () ()()D f t dt f t C '=+⎰

3. 2x =是函数1

()arctan

2f x x

=-的（ ） () A 连续点 () B 可去间断点 () C 跳跃间断点 () D 第二类间断点

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分

得分

阅卷人

得分

阅卷人

4. 反常积分

2

x xe dx +∞

-⎰

（ ）

() A 发散 () B 收敛于1 () C 收敛于12 () D 收敛于1

2

-

5. 函数()f x 在[,]a b 上有定义，其导数()f x '的图形如右图所示，则（ ）

12() ,A x x 都是极值点

1122() (,()), (,())B x f x x f x 都是拐点

1() C x 是极值点，22(,())x f x 是拐点 11() (,())D x f x 是拐点，2x 是极值点

三、计算下列各题（每小题5分，共25分） 1. 求极限 0

1

1lim()1

x

x x e →-

-

2. 求极限 21

32lim (

)31

x x x x -→+∞

+-

3. 求极限 2

4

sin 5lim

x x tdt x →⎰

4. 设方程cos()1x y e xy e ++=+确定了函数()y y x =，求 y '及(0)y '。

5. 求不定积分

四、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1. 求曲线234362y x x x x =+--的凹凸区间和拐点。

2. 求定积分

1

2 0

arctan x xdx ⎰

3.

求不定积分⎰

五、（6分）

当0x >时，试证：2sin cos 1x x x x +>+-

六、（7分）

一平面图形由抛物线22y x =+与该抛物线上点(1,3)处的法线及x 轴、y 轴所围成。求：（1）该平面图形的面积。

（2）该平面图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积。

七、（7分）已知2

2

1

()x t f x e dt -=⎰， 求 1

()xf x dx ⎰

八、（7分） 设函数()f x 在[0,2]a 上连续， 证明 2 0

()[()(2)]a

a

f x dx f x f a x dx =+-⎰

⎰，并由此计算 2

sin 1cos x x

dx x

π

+⎰