第三讲 简单优化模型
数学建模第二讲简单的优化模型
数学建模第二讲简单的优化模型数学建模是利用数学方法对实际问题进行建模、分析和求解的过程。
在实际问题中，常常需要针对一些指标进行优化，以达到最优的效果。
本讲将介绍一些简单的优化模型。
一、线性规划模型线性规划是一种重要的数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
其数学模型可以表示为：\begin{aligned}&\text{max} \quad c^Tx \\&\text{s.t.} \quad Ax \leq b, \quad x \geq 0\end{aligned}\]其中，$x$为决策变量，$c$为目标函数系数，$A$为约束条件系数矩阵，$b$为约束条件右端向量。
线性规划模型指的是目标函数和约束条件都是线性的情况。
通过线性规划模型，可以求解出使得目标函数取得最大（或最小）值时的决策变量取值。
二、非线性规划模型非线性规划模型指的是目标函数或约束条件中存在非线性部分的情况。
非线性规划模型相对于线性规划模型更为复杂，但在实际问题中更为常见。
对于非线性规划问题，通常采用数值优化方法进行求解，如梯度下降法、牛顿法等。
这些方法通过迭代的方式逐步靠近最优解。
三、整数规划模型整数规划模型是指决策变量必须为整数的规划模型。
整数规划在实际问题中应用广泛，如物流配送问题、工程调度问题等。
整数规划模型通常难以求解，因为整数规划问题是一个NP难问题。
针对整数规划问题，常用的求解方法有枚举法、分支定界法、遗传算法等。
四、动态规划模型动态规划模型是指将问题划分为子问题，并通过求解子问题最优解来求解原问题最优解的方法。
动态规划通常用于求解具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
动态规划模型具有递推性质，通过递归或迭代的方式求解子问题的最优解，并保存中间结果，以提高求解效率。
五、模拟退火模型模拟退火是一种用来求解组合优化问题的随机优化算法。
模拟退火算法基于固体退火过程的模拟，通过温度的控制和随机跳出来避免陷入局部最优解。
简单的优化模型
分析问题中的约束条 件
从问题中分析出各种约束条件，如资 源限制、时间限制、物理条件等。
02
将约束条件转化为数 学表达式
将上述约束条件转化为数学表达式， 如不等式、等式等。
03
将约束条件加入目标 函数中
将上述数学表达式加入目标函数中， 作为目标函数的约束条件。
选择适当的变量类型和范围
确定变量的类型和范围
03
优化算法的选择
梯度下降法
1 2
基本概念
梯度下降法是一种基于梯度下降的优化算法， 通过迭代计算函数梯度，逐步逼近函数的最小 值点。
应用场景
适用于凸函数或非凸函数，尤其在大数据处理 和机器学习领域，用于优化损失函数。
3
注意事项
在处理非凸函数时，可能会陷入局部最小值点 ，需要结合全局优化算法使用。
简单的优化模型
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 优化模型的分类 • 优化算法的选择 • 优化模型的建立 • 应用案例展示
01
引言
定义和重要性
定义
优化模型是一套用于描述、分析和解决特定问题的数学 模型，通过采用数学方法和算法，寻找最优解决方案。
重要性
优化模型在各行各业都有广泛的应用，如制造业、物流 、金融等。通过优化模型，可以提高效率、降低成本、 增加效益，为企业和社会创造价值。
金融投资优化模型
要点一
总结词
提高投资收益、降低投资风险
要点二
详细描述
金融投资优化模型是针对金融投资领域的一种优化模型 。它通过优化投资组合，提高投资收益、降低投资风险 。该模型考虑了多种资产价格波动、相关性等因素，并 利用统计学习或机器学习算法计算出最优的投资组合方 案。应用该模型可以帮助投资者在保证本金安全的前提 下获得更高的投资收益。
简单优化模型 《数学模型》(第三版)电子课件姜启源、谢金星、叶 俊编制
要 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 求 需求量、准备费、贮存费之间的关系。
问题分析与思考
日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。
• 每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。
每天费用5000元
• 10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100 =4500 元，准备费5000元，总计9500元。
允许 T ' 缺货
模型
Q'
2c1
c 2
c 3
rc2 c3
2c1r c3 c2 c2 c3
不允 许缺 货模 型
T 2c1 rc2
Q rT 2c1r c2
记 c2 c3
c3
T T , Q Q
不 允
1 T ' T , Q' Q c3
t 对g的（相对）敏感度 30
t
S(t, g) Δ t / t dt g 20 Δ g / g dg t
S(t, g) 3 3 3 20 g
10 0
0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 g 0.16
生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%。
强健性分析
研究 r, g不是常数时对模型结果的影响
模型应用
c2 T,Q
r T ,Q
c1=5000, c2=1，r=100
• 回答问题
T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元)
• 经济批量订货公式（EOQ公式）
用于订货、供应、存贮情形
每天需求量 r，每次订货费 c1,每天每件贮存费 c2 ， T天订货一次(周期), 每次订货Q件，当贮存量降到 零时，Q件立即到货。
单变量优化模型
3.2 模型参数的敏感性分析
问题：对于假设 r=0.01,g=5,当价格因子和品质因子在什么范围 变化是，最优售出时间t=8是(200 gt )(0.65 rt ) 0.45t 0.65 g 200r 0.45 t (r , g ) 2 gr
t 0
3.2 模型参数敏感性分析
• 一头重200磅的猪每天增重5磅, 饲养每天花费45美分. 猪的市场价格是每磅
65美分,但价格每天下降1美分,问: 何时出售收益最大?
养殖猪的品质: 猪的 重量每天的增加因子 g
P(t ) (200 5t )(0.65 0.01t ) 0.45t
5 1 0.618 2
定义 设函数f(x)在区间[a,b]上有定义， 满足
1)在[a,b]上f(x)有极小点x*:
xa ,b
min f x f x*
2)函数f(x)在x*处是左减右增： 对a≤x1≤x2≤b, 有 当x2 ≤ x*时，f(x1)> f(x2) 当x1 ≥ x*时，f(x1)< f(x2)
最优决策: 最 优出售时间
topt
市场价格因素: 猪肉价 格每天降价因子 r
P r , g (t ) (200 gt )(0.65 rt ) 0.45t
问题:当市场价格因素或养殖猪的品质发生变化时, 最优决策是否对这些变化敏感?
3.2 模型参数的敏感性分析
• 一头重200磅的猪每天增重5磅, 饲养每天花费45美分. 猪的市场价格是每磅
min f ( x) x 4 5x3 4x 2 6x 60
120
优点: 算法简单 缺点: 搜索次数 多, 接近极小值 点时反复搜索
100
优化模型一：线性规划模型数学建模课件
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
深度学习中的模型优化方法
深度学习中的模型优化方法深度学习是一种以神经网络为基础的机器学习方法，已经成为人工智能领域的重要分支。
在深度学习中，提高模型的性能通常需要进行模型的优化，以便在训练数据上取得更好的结果。
在本文中，我们将讨论深度学习中的模型优化方法。
一、损失函数在深度学习中，我们需要优化一个损失函数，以便在训练数据上得到更好的结果。
损失函数可以看作是一个衡量模型在某个任务上表现的指标，通过最小化损失函数，可以使模型在这个任务上表现更好。
常见的损失函数包括均方误差、交叉熵损失、负对数似然损失等等。
选择合适的损失函数通常需要考虑所要解决的任务、模型的结构以及数据的特征等因素。
二、梯度下降梯度下降是一种常用的模型优化方法。
它利用损失函数关于模型参数的梯度信息来更新模型参数，以使得损失函数不断减小。
具体地，梯度下降算法的更新规则如下：θ<sub>t+1</sub> = θ<sub>t</sub> -α∇<sub>θ</sub>L(θ<sub>t</sub>)其中，θ表示模型的参数，L表示损失函数，α表示学习率，∇<sub>θ</sub>L(θ<sub>t</sub>)表示损失函数关于θ在点θ<sub>t</sub>处的梯度。
梯度下降算法是一种迭代算法，每次更新参数时都需要计算梯度。
当损失函数是凸的时，梯度下降可以保证收敛到全局最优解。
但当损失函数是非凸时，梯度下降可能会陷入局部最优解。
三、随机梯度下降随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent，SGD）是一种变种的梯度下降方法。
与梯度下降每次都需要计算所有样本的梯度不同，SGD每次只计算一个样本的梯度，然后更新模型参数。
SGD的更新规则如下：θ<sub>t+1</sub> = θ<sub>t</sub> -α∇<sub>θ</sub>L(θ<sub>t</sub>, x<sub>i</sub>, y<sub>i</sub>)其中，(x<sub>i</sub>, y<sub>i</sub>)表示训练集中的一个样本。
第三讲 DPS应用(4、数学模型模拟分析)
一、非线性回归模型
一元非线性回归模型
实例：
先输入数据：行为样本， 列为变量；定义数据块时 要注意一元非线性回归只 允许定义2 列数据：第一 列为自变量，第二列为因 变量。
以测定的某种肉鸡在良好 生长条件下生长过程数据， 建立Logistic 生长方程为 例。
定义数据块(图阴影区)。
一、非线性回归模型
如果拟合效果不好，可选用其它的曲线类型，或 更改参数的初始值后重新拟合，并从中选择一个 较优的模型。
一、非线性回归模型
非线性回归分析
（1）普通非线性模型 例：研究“岱字棉”自播种至齐苗(以80%出苗
为准)期的天数(Y)和日平均土温(X，℃)的关系，
经试验得到数据后欲建非线性经验模型(莫惠栋 984)。 根据有效积温模型，描述自播种至齐苗期 天数和日平均土温相互关系最直观的回归方程的 数学表达形式为：
分析结果可以作出如下解释：
二、数学模型模拟与优化 第1 阶段，灵敏度大于1，这时的边际产量大于平均效应产量，且平均产量
效应是增加的，当肥料投入量达到10 个单位时，平均效应产量达到最高点。
该点的x 值约为10。
第2 阶段，灵敏度小于1 但仍大于0，目标函数在该阶段的终点达到最大值，
而边际效应值下降到0。这时的投入x 约为14。
第3 阶段，灵敏度小于0，目标函数趋于下降，平均效应虽为正值，但边际 效应为负。
二、数学模型模拟与优化
模型优化
所谓数学模型优化，就是寻求在什么条件下，模型的 目标函数达到最大(或最小)，即求函数的极值问题。
生产实践中的所谓优化问题，只要经验模型的目标函 数有明显的表达式，一般可用微分法、变分法、最大 (最小)值原理等方法求解，叫做间接寻优。如果目标 函数表达式过于复杂甚至根本没有明显的表达式，则 用数值方法或“试验最优化”等直接方法求解，叫做 直接寻优。
常见优化模型范文
常见优化模型范文在机器学习和数据科学领域中，为了获取更好的模型性能和效果，常见的优化模型方法有很多。
以下是一些常见的优化模型方法，包括参数调整、特征选择、模型集成、数据清洗和转换等。
1. 参数调整：在机器学习算法中，有很多参数可以调整以获得更好的模型性能。
例如，对于支持向量机（SVM），可以调整正则化参数C和核函数参数gamma。
对于决策树算法，可以调整树的深度、叶子节点的最小样本数等。
通过使用交叉验证的方法，可以系统地尝试不同的参数组合，并选择效果最好的参数。
2.特征选择：在建立模型时，选择恰当的特征非常重要。
特征选择可以帮助提高模型的精度和泛化能力，并减少过拟合的风险。
常见的特征选择方法包括方差选择、相关系数选择、L1正则化等。
方差选择可以通过计算特征的方差来选择稳定性较高的特征；相关系数选择可以通过计算特征与目标变量之间的相关系数来选择与目标变量相关性较高的特征；L1正则化可以通过加入L1惩罚项来鼓励模型选择少量的重要特征。
3. 模型集成：模型集成是将多个模型的预测结果进行组合，以获得更好的整体性能。
常见的集成方法包括随机森林、Adaboost、梯度提升等。
这些方法使用不同的策略来组合多个模型，以弥补单个模型的不足。
例如，随机森林采用了多个决策树进行集成，通过投票或平均的方式来确定最终结果；Adaboost则通过多轮迭代，对那些分类错误的样本增加权重，从而训练出多个分类器，最终通过加权平均的方式得到最终结果。
4.数据清洗和转换：在建立模型之前，对原始数据进行清洗和转换是非常重要的。
常见的数据清洗方法包括处理缺失值、处理异常值、处理重复值等。
缺失值的处理可以通过删除包含缺失值的样本，或者通过填充缺失值进行处理；异常值的处理可以通过删除异常值或者使用替代值进行处理；重复值的处理可以通过删除重复值来进行处理。
此外，数据转换也是常见的优化模型的方法，例如特征缩放、特征编码等。
特征缩放可以通过将数值特征缩放到一些范围内，以保证不同尺度的特征对模型的影响权重相当；特征编码可以将非数值特征转换为数值特征，以便模型能够处理。
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2014-6-19
1 连续化，即设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量； 2 产品每日的需求量为常数 r ；
用），在什么情况下才可以不考虑它？
2 建模时作了“生产能力无限大”的简化假设， 如 果生产能力有限，是大于需求量的一个常数， 如何建模？ 注 敏感性分析：讨论参数对结果的影响。 意 技巧：从所给数据出发，得到粗略结论。
2014-6-19
问题2 允许缺货的存贮模型 模型假设
1 连续化，即设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量； 2 产品每日的需求量为常数 r ； 3 每次生产准备费 C1，每日每件产品存贮费 C2； 4 生产能力为无限大（相对于需求量），允许缺 货，每天每件产品缺货损失费C3 ，但缺货数量需 在下次生产（订货）时补足。
1 S (T , c2 ) 2
1 S (T , r ) 2
意义是当准备费增加1%时，生产周期增加0.5% ； 而存贮费增加1%时，生产周期减少0.5% ；
日需求量增加1%时，生产周期减少0.5% 。
当 c1 , c2 , r 有微小变化对生产周期影响不太大。
2014-6-19
思考 1 建模中未考虑生产费用（这应是最大一笔费
当准备费 c1 增加时，生产周期和产量都变大； 当存贮费 c2 增加时，生产周期和产量都变小； 当日需求费 r 增加时，生产周期变小而产量变大。
这些定性结果符合常识，而定量关系（平方根，系
数2 等）凭常识是无法得出的，只能由数学建模得到。
2014-6-19
T
在本例中
2c1 c2 r
C 2c1c2r
与不允许缺货模型相比较，有
c2 c3 c3
T T , Q Q / , R Q
2014-6-19
结果解释
T T , Q Q / , R Q
1） 1, T T , Q Q, R Q 即允许缺货时， 周期和供货量增加，周期初的存贮量减少。
用微分法 令
C (T , Q) 0, T
Q
C (T , Q) 0 Q
c3 2c1r c2 c2 c3
2c1 c2 c3 T c2 r c3
每天平均最小费用 C C (T , Q)
2014-6-19
每个周期的供货量 R rT
2c1 c2 c3 Rr c2 r c3
和
x ( x1 , x2 ,...,xn )
在约束条件 hi ( x) 0, i 1,2,...,m.
gi ( x) 0( gi ( x) 0),i 1,2,..., p.
下的最大值或最小值，其中
x f ( x)
x
2014-6-19
设计变量（决策变量） 目标函数
可行域
min(or max)f j (x) x j J
线性规划，非线性规划，二次规划，多目标规划等。
2014-6-19
（1）非线性规划
目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。
min(or max)f j (x) x j J
s. t. g i (x) bi , i I
2014-6-19
c2 c3 c3
T 愈接近 T ， 2）缺货损失费愈大， 愈小， Q, R
愈接近 Q 。
当c3 时， 1 ， T T , Q Q, R Q 3）
99年B题：“钻井布局”，非线性混合整数规划模
型。
00年B题：“钢管订购和运输”，二次规划模型。
01年B题：“公交车调度”，双目标规划模型。
02年A题：“车灯线光源的优化设计”，规划模型。
2014-6-19
03年B题：“露天矿生产的车辆安排”，非线性
规划模型。
04年B题：“电力市场的输电阻塞管理”，双目
第三讲 优化模型
2014-6-19
优化模型的一般意义 简单优化模型举例 线性规划模型举例
2014-6-19
优化模型是中国大学生建模竞赛常见的类型， 占很大的比重。 92 年以来，优化模型有： 94年A题：“逢山开路”设计最短路径。 95年A题：“一个飞行管理问题”，线性规划 和非线性规划模型。 96年A题：“最优捕鱼策略”，以微分方程为 基础的优化模型。
整数规划（0-1规划）和实数规划。
5. 根据变量具有确定值还是随机值
确定规划和随机规划。
2014-6-19
（三）建立优化模型的一般步骤
1.确定设计变量和目标变量； 2.确定目标函数的表达式； 3.寻找约束条件。
2014-6-19
二 简单优化模型举例
例1 存贮模型
工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用；
（2）线性规划（LP）
目标函数和所有的约束条件都是设计变量
的线性函数。
min u ci xi
i 1
n
aik xk bi , i 1,2,...,n. s.t. k 1 x 0, i 1,2,...,n. i
n
2014-6-19
（3）二次规划问题
目标函数为二次函数，约束条件为线性约束
产不同的部件时因更换设备要付生产准备费
（与生产数量无关），同一部件的产量大于需 求时因积压资金、占用仓库要付存贮费。今已 知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000 元，存贮费每日每件1元。如果生产能力远大于
需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的
生产计划，即多少天生产一次（称为生产周
期），每次产量多少，可使总费用最小。
当 c1 5000 , c2 1, r 100, 得 T 10 ，C 1000
这里得到的费用C与前面计算得950元有微
小差别，你能解释吗？
2014-6-19
讨论参数 c1 , c2 , r 有微小变化时对生产周期T 影响。 由相对变化量衡量对参数的敏感程度。
T 对c1 的敏感程度记为
T
Q (rT Q) C c1 c2 c3 2r 2r
2Leabharlann 2c1 Q (rT Q) 每天平均费用 C (T , Q) c2 c3 T 2rT 2rT 2014-6-19
2
2
模型求解
c1 Q2 (rT Q) 2 求T , Q满足min C (T , Q) c2 c3 T 2rT 2rT
2014-6-19
1.确定设计变量和目标变量
总费用为目标变量 生产周期和生产量为设计变量
2.确定目标函数的表达式
寻找设计变量与目标变量之间的关系
3.寻找约束条件
设计变量所受的限制
2014-6-19
若每天生产一次，每次100件，无存贮费，生产 准备费5000元，每天费用5000元；
若10天生产一次，每次1000件，存贮费 900+800+…+100=4500元，生产准备费5000元， 总计9500元，平均每天费用950元；
标线性规划模型。
05年B题：“DVD在现租赁”，0-1规划模型。 06年A题：“出版社的资源优化配臵”，线性规 划模型。
2014-6-19
07年B题：“乘公交，看奥运”，动态规划模型。 08年B题： “高等教育学费标准探讨”，优化模型。 09年B题： 医院眼科病床的合理安排问题， 2010年A题： 储油罐的变位识别与罐容表标定， 非线性规划 2011年B题：交巡警服务平台的设置与调度 ，
2014-6-19
t
T1
0
q (t )dt
存贮量
A
r T1
B
T
T
T1
q(t )dt
允许缺货模型的存贮量q(t)
缺货量
一个周期内存贮费
c2
T1
0
Q2 QT1 c2 q(t )dt c2 2r 2
(rT Q)(T T1 ) 一个周期内缺货损失费 c3 q(t )dt c3 T1 2 (rT Q) 2 c3 一个周期的总费用 2r
车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之用；
商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售；
水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。
存贮量多少合适？
存贮量过大，存贮费用太高；存贮量太小，会导致一
次性订购费用增加，或不能及时满足需求。
2014-6-19
问题1 不允许缺货的存贮模型
配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生
存贮量 q(0) = Q , q(t) 以需求速率 r 线性递减，
直至q(T) = 0，如图。q(t) = Q- r t， Q = r T 。 q Q r t T
不允许缺货模型的存贮量q(t)
2014-6-19
A
o
一个周期 内生产量 等于这个 周期内的 需求量
一个周期内存贮量
T
0
QT q(t )dt 2
2014-6-19
96年B题：“洗衣节水问题”，以用水量为目
标函数的优化模型。
97年A题：“零件的参数设计”，随机优化模型。
97年B题：“截断切割”，动态优化模型。
98年A题：“投资的收益和风险”，双目标优 化模型。 98年B题：“灾情巡视的最佳路线”，0-1线性 规划模型。
2014-6-19
99年A题：“自动化车床管理”，双参数规划模型。
2 1 c2 r c1 1 T T dT c1 S (T , c1 ) 2 2c1 T 2 c1 c1 dc1 T c2 r 1 1 S (T , c2 ) S (T , r ) 2 2