一次不定方程及方程的整数解问题
一次不定方程及方程的整数解问题-
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一次不定方程及方程的整数解问题-1
一次不定方程及方程的整数解问题-1
一次不定方程（组）及方程的整数解问题 【写在前面】 不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决. 【本讲重点】 求一次不定方程（组）的整数解 【知识梳理】 不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定. 重要定理： 设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有： 定理1 若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解； 定理2 若),(0 y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为 特解），则?? ?-=+=at y y bt x x 00 ,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）. 定理3 若),(0 y x 是不定方程1=+by ax ，1),(=b a 的特解， 则),(0 cy cx 是方程c by ax =+的一个特解. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.
求整系数不定方程c by ax =+的正整数解，通常有以下步骤： （1） 判断有无整数解； （2） 求出一个特解； （3） 写出通解； （4） 有整数t 同时要满足的条件（不等式组），代入 命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解. 解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法： （1）分离整系数法； （2）穷举法； （3）因式分解法； （4）配方法； （5）整数的整除性； （6）奇偶分析； （7）不等式分析； （8）乘法公式. 【学法指导】 【例1】求下列不定方程的整数解（1）862=+y x ； （2）13 105=+y x . 【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解. 【解答】（1）原方程变形为：43=+y x ， 观察得到? ? ?==1 , 1y x 是4 3=+y x 的一组整数解（特解），
求不定方程的整数解(含答案)-
求不定方程整数解 有三对夫妻一同上商店买东西.男的分别姓孙、姓陈、姓金，女的分别姓李、?姓赵、姓尹。他们每人只买一种商品，并且每人所买商品的件数正好等于那种商品的单价(元数).现在知道每一个丈夫都比他的妻子多花63元,并且孙先生所买的商品比赵女士多23件,金先生所买的商品比李女士多11件,问孙先生、陈先生、金先生的爱人各是谁？ 例1．若b a ,都是正整数，且2001500143=+b a ，求b a +的值．(2001年北京市初中数学竞赛) 例２ 设m 为正整数，且方程组? ??-==+17001113mx y y x ()()21 有整数解，求m 的值。（“希望杯”数学竞赛试题） 例３ 已知自然数y x ,满足789=+y x ，求y x +的值．（五羊杯数学竞赛试题） 【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有 个． 思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确． 注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论． 【例2】 已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么 b a a b +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨 由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、 c 的值． 【例4】 当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由． 思路点拨 整系数方程有有理根的条件是△为完全平方数． 设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性． 注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件． 【例5】 若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值． 思路点拨 因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．
元一次方程的整数解
（9）二元一次方程的整数解 【知识精读】 1、 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中， 若a,b 的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即 如果（a,b ）|c 则方程ax+by=c 有整数解 显然a,b 互质时一定有整数解。 例如方程3x+5y=1, 5x －2y=7, 9x+3y=6都有整数解。 返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x －2y=1都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b ）中的a,b 实为它们的绝对值。 2、 二元一次方程整数解的求法： 若方程ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。k 叫做参变数。 方法一：整除法：求方程5x+11y=1的整数解 解：x= 5111y -=y y y y 2515101--=-- (1) , 设k k y (5 1=-是整数），则y=1－5k (2) , 把（2）代入（1）得x=k －2(1－5k)=11k －2 ∴原方程所有的整数解是???-=-=k y k x 512 11（k 是整数） 方法二：公式法： 设ax+by=c 有整数解? ??==00y y x x 则通解是???-=+=ak y y bk x x 00（x 0,y 0可用观察法） 3、 求二元一次方程的正整数解： i. 出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值 ii. 用观察法直接写出。 【分类解析】 例1求方程5x －9y=18整数解的能通解 解：x= 5 3235310155918y y y y y -+ +=-++=+
不定方程及不定方程组
不定方程及不定方程组集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
第二十七讲 不定方程、方程组 不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组)，其特点是解往往有无穷多个，不能惟一确定． 对于不定方程(组)，我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定． 二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，与之相关的性质有： 设d c b a 、、、为整数，则不定方程c by ax =+有如下两个重要命题： (1)若(a ，b)=d ，且d 卜c ，则不定方程c by ax =+没有整数解； (2)若00y x ，是方程c by ax =+且(a ，b)=1的一组整数解(称特解)，则为整数） t at y y bt x x (00???-=+=是方程的全部整数解(称通解)． 解不定方程(组)，没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程(组)的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法；奇数偶数，整数的整除性、分离整系数、因数分解。配方利用非负数性质、穷举，乘法公式，不等式分析等． 举例 【例1】 正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6，则m 的最大值为 ． (新加坡数学竞赛题) 思路点拔 把m 用含n 的代数式表示，并分离其整数部分(简称分离整系数法)．再结合整除的知识，求出m 的最大值． 注：求整系数不定方程c by ax =+的整数解。通常有以下几个步骤： （1）判断有无整数解；(2)求一个特解；(3)写出通解；(4)由整数t 同时要满足的条件(不等式组)，代入(2)中的表达式，写出不定方程的正整数解． 分离整系数法解题的关键是把其中一个未知数用另一个未知数的代数敷式表示，结合整除的知识讨论． 【例2】 如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志．问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( )． A ．32千米 B ．37千米 C ．55千米 D ．90千米 (河南省竞赛题) 思路点拨 设置限速标志、照相标志千米数分别表示为3+4x 、10十9y(x ，y 为自然数)，问题转化为求不定方程3+4x=0+9y 的正整数解． 【例3】 (1)求方程15x+52y=6的所有整数解． (2)求方程x+y ＝x 2一xy+y 2的整数解． (莫斯科数学奥林匹克试题) (3)求方程 6 5 111=++z y x 的正整数解． (“希望杯”邀请赛试题)
含参数的一元二次方程的整数解问题
数学思维的教育 第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问 题 1
对于一元二次方程ax2+ bx+ c=O(a ≠0)的实根情况，可以用判别式Δ =b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质. 本讲 结合例题来讲解一些主要的方法. 例1 m是什么整数时，方程 2 2 (m-1)χ -6(3m-1)x + 72= 0 有两个不相等的正整数根. 2 2 解法1首先，m-1 ≠ 0, m≠± 1. Δ =36(m-3) > 0 ,所以m≠ 3 .用求根公式可得 6 12 Xl = ----------- 7J X i W -------------- 7- m —1 IIl + 1 由于X1, X2是正整数，所以 m1=1, 2, 3, 6, m+1=1, 2, 3, 4, 6, 12, 解得m=2 这时X1=6, X2=4. 2 解法2首先，m-1 ≠ 0, m≠± 1.设两个不相等的正整数根为χ1, χ2,则由根与系数的 关系知 6(3m T) 72 m - I m - 1 所以m-1=2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72,即卩 2 m=3, 4, 5, 7, 9, 10, 13, 19, 25, 37, 73, 只有m=4, 9, 25才有可能，即m=±2, ± 3 , ± 5. 经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根. 说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话),然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的.有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法. 例2已知关于X的方程 2 2 2 2 a X -(3a -8a)X + 2 a -13a +15=0 2
不定方程的解法
基本介绍编辑本段 不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。 古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。 2发展历史编辑本段 不定方程是数论中最古老的分支之一。古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。 研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。②有解时决定解的个数。③求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，
公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。 3常见类型编辑本段 ⑴求不定方程的解； ⑵判定不定方程是否有解； ⑶判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。 4方程相关编辑本段 4.1一次不定方程 二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。其中 a，b，c 是整数，ab ≠ 0。此方程有整数解的充分必要条件是a、b的最大公约数整除c。若a、b互质，即它们的最大公约数为1，（x0，y0）是所给方程的一个解，则此方程的解可表为{(x=x0-bt，y=y0+at）|t为任意整数}。 S（?2）元一次不定方程的一般形式为a1x1+a2x2+…+asxs=n0a1，…，as，n为整数，且a1…as≠0。此方程有整数解的充分必要条件是a1，…，as的最大公约数整除n。 埃拉托塞尼筛法产生的素数普遍公式是一次不定方程公元前300年，古希腊数学家欧几里得就发现了数论的本质是素数，他自己证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法： 一“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。 二后来人们将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1 小学奥数五年级下册数学专项训练：不定方程的整数解小学奥数五年级下册数学专项训练：不定方程的整数解 小学奥数五年级下册数学专项训练：不定方程的整数解 第七讲从不定方程1/n = 1/x + 1/y的整数解谈起 求不定方程的整数解.这里n是取定的一个自然数.对于方程 显见x=y=12是一个整数解.还有没有别的解？如何求解？有人凭直觉能看出一些解来，但数学要求我们有一个成熟的方法去处理同一类问题。 式更简明，我们不妨把x-6看成一个整体，即令t=x-6，那么x=t＋6.因此 必须是整数，这样我们推知：t是62的因数（约数）。 个未知数x、y的困难问题，转换成找简单的62的因子t的问题了. 一个完全平方数的因子必然是奇数个，如62有因子6、1和36，2和18，3和12，4和9.6称为自补的因子.后面的2和18等都称为互补因子，这样，不妨记为： t0=6，t1＝1，t1′=36；t2=2，t2′=18；t3=3，t3′=12；t4=4， 这里t和t′是62=36的互补因子（当t＝t′＝6时自补因子也包括在内），所以 成一种了。 以上情况推广到一般情况：求不定方程 的整数解，只要找出n2的全部成组互补因子t和t′，则 就可得到全部解。 例如，求不定方程： （即n＝12）的整数解，首先分解122＝（22·3）2＝24·32，它的因子根据分解式的结构特点可以排成一个表。 按照互补或自补因子配对有：（1，144），（2，72），（3，48），（4，36），（6，24），（8，18），（16，9），（12，12）。 “单位分数”（分子为1分母为整数）的和，那么我们相当于求： 的整数解，例如求解 在这些基本训练基础上，我们很容易把整数1分拆为若干个单位分数之和。 一次不定方程（组）及方程的整数解问题 【写在前面】 不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决. 【本讲重点】 求一次不定方程（组）的整数解 【知识梳理】 不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定. 重要定理： 设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有： 定理1 若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解； 定理2 若),(00y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为特解），则?? ?-=+=at y y bt x x 00,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）. 定理3 若),(00y x 是不定方程1=+by ax ，1),(=b a 的特解，则),(00cy cx 是方程c by ax =+的一个特解. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）. 求整系数不定方程c by ax =+的正整数解，通常有以下步骤： （1） 判断有无整数解； （2） 求出一个特解； （3） 写出通解； （4） 有整数t 同时要满足的条件（不等式组），代入命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解. 解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法： （1）分离整系数法； （2）穷举法； （3）因式分解法； （4）配方法； （5）整数的整除性； （6）奇偶分析； （7）不等式分析； （8）乘法公式. 六年级奥数专题讲义：不定方程与整数分拆 求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法,与此相关或涉及整数分拆的数论问题． 补充说明：对于不定方程的解法,本讲主要利用同余的性质来求解,对于同余性质读者可参考 《思维导引详解》五年级[第15讲 余数问题]. 解不定方程的4个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解． 本讲讲解顺序：③?包括1、2、3题?④?②?①包括4、5题?③?包括6、7题,其中③④步骤中加入百鸡问题． 复杂不定方程：⑧、⑨、⑩依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程． 整数分拆问题：11、12、13、14、15． 1．在两位数中,能被其各位数字之和整除,而且除得的商恰好是4的数有多少个? 【分析与解】 设这个两位数为ab ,则数字和为a b +,这个数可以表达为 10a b +,有()()104a b a b +÷+= 即1044a b a b +=+,亦即2b a =． 注意到a 和b 都是0到9的整数,且a 不能为0,因此a 只能为1、2、3或4,相应地b 的取值为2、4、6、8． 综上分析,满足题目条件的两位数共有4个,它们是12、24、36和48． 2．设A 和B 都是自然数,并且满足 1711333 A B +=,那么A+B 等于多少? 【分析与解】 将等式两边通分,有3A+llB=17,显然有B=l,A=2时满足,此时A+B=2+1=3． 3．甲级铅笔7分钱一支,乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支? 【分析与解】设购买甲级铅笔x支,乙级铅笔y支． 有7x+3y=50,这个不定方程的解法有多种,在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的方法： 将系数与常数对3取模(系数7,3中,3最小)： 得x=2(mod 3),所以x可以取2,此时y取12；x还可以取2+3=5,此时y取5； 即 2 12 x y = ? ? = ? 、 5 5 x y = ? ? = ? ,对应x y +为14、10 所以张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14支或10支． 4．有纸币60张,其中1分、l角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元? 【分析与解】设1分、1角、1元和10元纸币分别有a张、b张、c张和d张, 列方程如下： 由 () () 601 101001000100002 a b c d a b c d +++= ?? ? +++= ?? (2)(1)得9999999940 b c d ++=③ 注意到③式左边是9的倍数,而右边不是9的倍数,因此无整数解,即这些纸币的总面值不能恰好为100元． 5.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管,加工损耗忽 第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问 题 对于一元二次方程ax2+ bx + c=O(a丸)的实根情况，可以用判别式A=b 2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性 质?本讲结合例题来讲解一些主要的方法? 例1 m是什么整数时，方程 (m2-1)x2-6(3m-1)x + 72 = 0 有两个不相等的正整数根. 解法1首先，m2-1丸,m工± . A=36(m-3) 2> 0,所以m工3.用求根公式可得 6 12 由于x i, X2是正整数，所以 m-仁1 , 2 , 3, 6, m+1=1 , 2, 3, 4, 6, 12, 解得m=2 .这时X1=6 , x2=4 . 解法2首先，m2-1丸,m工± .设两个不相等的正整数根为X1, X2,则由根与系数的关系知 m2= 3 , 4 , 5 , 7 , 9 ,10 ,13, 19,25 , 37 , 73 , 只有m2=4 , 9, 25才有可能，即m= ±2, ±3, ±5. 经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根 说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的.有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法. 例2已知关于x的方程 a2x2-(3a 2-8a)x + 2a2-13a + 15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值. 分析至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根.我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来. 解因为a^O,所以 (3a2 - Sa) ±- 8a)2 - 4a2(2a r-13a + 15) B = 2? (3a2 -8a) ±(a2+ 2a) = 2? ， 所以 3a2 -Sa 4-(? 4-2a) 3 ”—W -------------- 弘'-亦+ 5 Sj=------ 否------ =l_； 所以只要a是3或5的约数即可，即a=1 , 3, 5 . 求不定方程整数解的方法浅析 摘要： 第一章：引言 所谓不定方程，是指未知数的个数多于独立方程式的个数的方程或方程组.因此，要求一个不定方程的全部的解抑或是其全部整数解都是相当困难的，有时甚至是不可能的或不现实的.然而，在现实生活中，特别是一些具体的生活实例中，它的应用又是非常的广泛的；另外，不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分体现，每年世界各地的数学竞赛中，不定方程问题都占有一席之地；它也是培养和考查学生数学思维的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求选手对初等数论的一般理论、方法要有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决相关问题.数千年来，不定方程问题一直是一些数学家甚至草根阶级的数学爱好者研究的热点问题，仿佛它是一块资源丰富的土地，每个人都能有希望在这占有自己的一席之地.也正是由于它具有这样一个特点，不定方程的类型，以及解各类不定方程的各种方法层出不穷，求解各类不定方程也几乎毫无固定章法可循，而本文，只针对于不定方程整数解问题做一个初步的探索，归纳提炼出一些解这类题的常规方法和技巧，对解不定方程具有一定的指导意义；并且着重针对中学数学竞赛中的不定方程整数解问题进行分析，研究其方法，思想，具有一定的教学意义；另外，还根据自己的积累，总结，发掘出一些新的方法，技巧，具有创新和学习的意义. 第二章：解决某些不规则类不定方程的常规思想方法 1、不等式分析法 其一般操作步骤： ①想办法通过构造不等式求出其中某个（某些）变量的范围； ②根据该变量的范围求出该变量的整数解； ③分情况讨论该变量分别取某个整数解时其他变量的取值. 常见的构造不等式的技巧： ①注意题中的隐含条件，常见的如： 1）若给出的是对称形式的不定方程，解题是可增加一个 “不妨设Λ≤≤≤z y x ”的条件. 2）若题目要求是正整数解，则有“Λ,1,1,1≥≥≥z y x ” 若要求是相异的正整数，则有“Λ,3,2,1≥≥≥z y x ” ②利用基本不等式求变元范围，常见的如“()xy y x 42≥+” ③分离变量：可将某个变量分离出来，并通过该变量的范围求 其他变量的范围. ④可利用二次方程有整数解的条件，即“0≥?”，或更强点的 “? 为完全平方数”. 常规应用： ①一般在某些对称式中能用到此方法进行放缩估值； ②在具体的限制某个（或某些）变量的范围时，可分离变量利 用此方法对其他变量进行估值； ③对于方程“02=++w vx ux （其中u,v,w 是常数或者是含其他变 .. . … 求不定方程整数解的常用方法 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（如要有理数，整数或正整数等)的方程或方程组。不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一。我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。一般常用的求不定方程整数解的方法包括： (1)分离整数法 此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解. 例1 求不定方程02 5=-++y x x 的整数解 解 已知方程可化为 2 31232223225++=++++=+++=++= x x x x x x x x y 因为y 是整数，所以23+x 也是整数. 由此 x+2=1，-1，3，-3，即 x=-1，-3，1，-5， 相应的.0,2,0,4=y 所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0). (2)辗转相除法 此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下： 第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步，缩小未知数的围，就是利用限定条件将未知数限定在某一围，便于下一步讨论; 第三步，用辗转相除法解不定方程. 例2 求不定方程2510737=+y x 的整数解. 解 因为251)107,37(=,所以原方程有整数解. 用辗转相除法求特解: 18433,413337,33237107+?=+?=+?= 从最后一个式子向上逆推得到 19107)26(37=?+-? 所以 25)259(107)2526(37=??+?-? 则特解为 ???=?=-=?-=225 259650252600y x 通解为 Z t t t y t t x ∈? ??++=+=+--=--=,)6(37337225)6(1078107650 或改写为 .,3731078Z t t y t x ∈? ??+=--= 例谈方程整数解问题的解法 易永彪（新星学校 浙江苍南 325800） 在各级各类数学竞赛和高中自主招生考试中,二次方程整数解问题备受关注.它将古老的整数理论与传统的初中数学知识相结合,涉及知识面宽、范围广,往往需要灵活地运用相关概念、性质、方法和技巧,综合性强,对学生的能力有较高的要求.本文将对方程整数解问题解法与基本策略作一探索,旨在抛砖引玉. 1 分解求根,整除性质 例1、方程42242250n n m m m -++++=的正整数解有（ ） A 、1组 B 、2组 C 、4组 D 、无穷多组 （2009年温州中学自主招生试题） 分析：原方程可化为4 2 (24)(25)0n n m m -+-+=, 可得2 2 [(25)](1)0n m m -++=,∵210m +>,∴225n m =+, 可知m 为奇数,不妨设21m k =+（k 为自然数）, 代入整理得：2 2 12 n k k -+-=. 因为2 k 与k 的奇偶性相同,所以2 1k k +-是奇数,不能被偶数整除, 故2 2 n -只能为1.∴2n =,3m =,原方程只有1组正整数解,选A. 例2、已知方程2 2 2 2 (38)213150a x a a x a a --+-+=(0a ≠)至少有一个整数根,求整数a 的值. 分析：∵2 2 2 2 (38)213150a x a a x a a --+-+=(0a ≠) ∴[(5)][(23)]0ax a ax a ----= ∴1551a x a a -= =-,2233 2a x a a -==-, ∵方程至少有一个整数根,a 为整数, ∴1a =,3,5,1-,3-,5-. 评注：分析方程的形式特征,采用因式分解、求根公式等方法求得方程的根,再结合整除性质、奇偶性等进行解题. 2 从?入手,引入参数 例3、已知p 为质数,使二次方程2 2 2510x px p p -+--=的两根都是整数,求出p 的所有 上海市中学生数学业余学校讲义 第十二讲 不定方程的整数解 【例题】 例1、求方程5x －9y =18整数解的通解. 例2、求方程90226=+y x 非负整数解. 例3、求方程213197=+y x 的所有正整数解.（练习：求方程2510737=+y x 的整数解） 例4、将所有分母不大于99的最简分数从小到大排列，求与 7617相邻且排在76 17之前的一个数. 例5、求方程 162852100=++z y x 的整数解. 例6、某校举行数学竞赛，优胜者分一、二、三等奖三种，奖品为数学课外读物。如果一等奖每人奖5本，二等奖每人奖3本，三等奖每人奖2本，就共奖了34本。如果一等奖每人奖6本，二等奖每人奖4本，三等奖每人奖1本，就共奖了28本，求获得各奖的人数. 例7、求不定方程2196313029=++c b a 正整数解的组数. 【练习】 1、下列方程中没有整数解的是哪几个？答： （填编号） ① 4x ＋2y =11, ②10x -5y =70, ③9x +3y =111, ④18x -9y =98, ⑤91x -13y =169, ⑥120x +121y =324. 2、求方程5x +6y =100的正整数解. 3、甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？ 4、一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小军同学得48分，他最多答对几道题？ （答案：最多答对12题） 5、第五世纪末，我国古代数学家张丘建在他编写的《算经》里提出了一个世界数学史上有名的“百鸡问题”. （答案：?? ???===75250z y x 或 ?????===78184z y x 或 ?????===81118z y x 或 ?? ???===84412z y x ） 第六节 不定方程 所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目。 基础知识 1．不定方程问题的常见类型： （1）求不定方程的解； （2）判定不定方程是否有解； （3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。 2．解不定方程问题常用的解法： （1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等； （2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解； （3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解； （4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解； （5）无穷递推法。 以下给出几个关于特殊方程的求解定理： （一）二元一次不定方程（组） 定义1.形如c by ax =+(,,,,Z c b a ∈b a ,不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。 定理1.方程c by ax =+有解的充要是c b a |),(； 定理2.若1),(=b a ，且00,y x 为c by ax =+的一个解，则方程的一切解都可以表示成 ??? ????-=+=t b a a y y t b a b x x ),(),(00t (为任意整数)。 定理3.n 元一次不定方程c x a x a x a n n =+++Λ2211，(N c a a a n ∈,,,,21Λ)有解的充要条件是c a a a n |),,,(21Λ. 方法与技巧： 1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解，可先求c by ax =+一个特解，从而写出通解。当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减 我们曾经学过一元一次方程，例如个或更多个，就变成为二元一次方程或多元一次方程，0?0? 满足上式的整数解． 这表明，满足方程的整数解有无穷组，并且在0ab >时，可选择x 为正（负）数，此时y 为相应的为负（正）数．这个结论可以通过把这组解直接代入已知方程进行证明． 由这个定理，只要能够观察出二元一次方程的一组整数解，就可以得到它的全部整数解． 例如，方程4521x y +=的一组解为41x y =??=? ，则此方程的所有整数解可表示为：4514x k y k =+??=-?． 板块一 不定方程的整数解 中考要求 不定方程及整数解 【巩固】求3710725 x y +=的整数解． 【巩固】求方程的整数解：⑴721571 x y +=；⑵103905 x y -=．【例2】求719213 x y +=的所有正整数解． 【巩固】求方程5322 x y +=的所有正整数解． 【巩固】求62290 x y +=的非负整数解． 【例3】求23734 x y z ++=的整数解． 【巩固】求92451000 x y z +-=的整数解． 【例4】求方程组 57952 35736 x y z x y z ++= ? ? ++= ? 的正整数解． 【例5】求不定方程2()7 x y xy +=+的整数解. 【例6】求方程22 x y x xy y +=-+的整数解. 【例7】 第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程 44 23 ab bc ac bc +=?? +=? 的正整数(,,)a b c 的组数是（ ）. （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （E ）4 【例8】 （第33届美国数学竞赛题）满足方程223x y x +=的正整数对(,)x y 的个数是（ ）. （A ）0 （B ）1（C ）2（D ）无限个（E ）上述结论都不对 【例9】 求不定方程()2mn nr mr m n r ++=++的正整数解(),,m n r 的组数． 【例10】 求方程2245169x xy y -+=的整数解. 【例11】 (原民主德国1982年中学生竞赛题)已知两个自然数b 和c 及素数a 满足方程222a b c +=.证明:这时有 a b <及1b c +=. 板块二 证明不定方程无整数解 【例12】 下列不定方程（组）中，没有整数解的是（ ） A.3150x y += B.9111x y -= C.23423x y y z -=??+=? D.231223x y z x y z ++=??-+=? A1.7x+4y=34 A2.3x+5y=19 A3.8x+5y=75 A4.6x+7y=90 A5.4x+9y=64 A6.2x+5y=26 A7.240x+150y=1080 24x+15y=108 A8. 750x+420y=4350 75x+42y=435 A9.170x+340y=2820 17x+34y=282 A10.320x+560y=2320 32x+56y=232 B1.甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支? B2．小华和小强各用6角4分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一支和7分一支的两种，而且小华买来的铅笔比小强多．求小华比小强多买铅笔多少支? B3．将一根长为 374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米? B4．有43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同，每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片。画片只有两种：3分一张和5分一张．每人都尽量多买5分一张的画片．问他们所买的3分画片的总数是多少张? B5。小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，她共用了1元2角2分．那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封? B6．马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职，甲公司每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元．年终，马小富从两家公司共获薪金7620元．问他在甲公司打工多少个月? 在乙公司兼职多少个月? B7．有三堆砝码，第一堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克，现在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为130克，那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几个? B8．一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2．，蓝球上标有数从3，小明从布袋 中摸出 10个球，它们上面所标数字的和等于21，问小明摸出的球中红球最多不超过多少个? B9． 某乡水电站发电了，电费规定是：如果每 月用电不超过24度，就按每度9分钱收费；如果超过24度，超出的部分按每度2角收费．已知在某月中，甲家比乙家多交了电费9角6分钱(用电按整度计算)．问甲、乙两家各交了多少电费? B10．有纸币60张，其中1分、l 角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元? C1．设A 和B 都是自然数，并且满足 11A + 3B =33 17，那么，A 十B 等于多少? C2．在分母小于15的最简分数中，比5 2 大，并且最接近 5 2 的是哪一个? 一元一次方程的整数解问题专题练习 一、选择题 1、若关于x的方程|2|x-3|-1|=a有三个整数解，则a的值为（）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答案：B 解答：|2|x-3|-1|=a，2|x-3|-1=±a，2|x-3|=±a+1， 当a=0时，2|x-3|=1，x不为整数， 当a=1时，2|x-3|=±1+1， 可得①2|x-3|=2，x=4，2． ②2|x-3|=0，x=3，此时有3个整数解， 当a=2，3时，同a=0时，x不符合题意． 2、若关于x的方程（k-2019）x-2017=6-2019（x+1）的解是整数，则整数k的取值个数是（）． A. 5 B. 3 C. 6 D. 2 答案：C 解答：（k-2019）x-2017=6-2019（x+1） （k-2019）x=6-2019x-2019+2017 （k-2019）x+2019x=4 kx=4 x=4 k ， ∵方程的解是整数， ∴4 k 为整数， ∴k=1，-1，2，-2，4，-4． 共有6个． 选C. 二、填空题 3、若k为自然数，关于x的方程kx-4=x+3的解是整数，则k=______．答案：0，2，8 解答：kx-4=x+3， kx-x=7， （k-1）x=7， x= 7 1 k- ， ∵x是整数，k是自然数， ∴k-1=±1，7， ∴k=0，2，8． 4、关于x的方程ax+4=4x+1的解为正整数，则整数a的值为______．答案：1或3 解答：ax+4=4x+1 （a-4）x=-3 x= 3 4 a -- x= 3 4a - ∵方程的解为正整数 ∴4-a=1或4-a=3 ∴a=1或3． 5、若方程9x-3=kx+14有正整数解，则k的整数值为______．答案：8或-8 解答：解方程，得x= 17 9k - ∵方程得解为正整数，k为整数， ∴9-k=1或17 ∴k=8或-8． 6、k为整数，关于x的方程kx+5=3x的解为整数，k的值为______．答案：2，4，8，-2 解答：由原方程得x= 5 3 k - - ， ∵k、x为整数， ∴k-3=±1，±5， ∴k=2，4，8，-2． 7、关于x的一元一次方程（m-1）x-3=0的解为整数，则m的整数值为______． 不定方程的整数解 一、利用判别式 1、当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+= 与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。 2、已知方程210x mx m +-+= 有两个不相等的正整数根，求m 的值 3、已知015132)83(2 222=+-+--a a x a a x a （其中a 为非负整数）至少有一整数根，求a 。 二、利用求根公式 4、设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。 三、利用韦达定理 5、求所有正实数a,使得方程240x ax a -+=仅有整数根. 6、当m 是什么整数时,关于x 的方程2 (1)10x m x m --++=的两根都是整数? 7、求满足如下条件的整数k ，使关于x 的二次方程()05)1(2=+-+-k x k x k 的根都是整数。 四、利用因式分解 8、已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根都是整数，那么符合条件的整数a 有_______个. 9、设关于x 的二次方程()()4462862 222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，求满足条件 的所有实数k 的值。 五、利用题设参数的范围，直接求解 10、设m 为整数，且404<小学奥数五年级下册数学专项训练：不定方程的整数解
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六年级奥数专题讲义：不定方程与整数分拆
含参数的一元二次方程的整数解问题
求不定方程整数解的方法浅析
丢番图方程整数解方法
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第十二讲：不定方程的整数解
第六节不定方程
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年级05讲 不定方程与整数分拆答案
一元一次方程的整数解问题(解析版)
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