专题(八) 与圆有关的计算与证明
3．(2019·荆门)如图，已知锐角△ ABC 的外接圆圆心为 O，半径为 R. (1)求证：sAinCB＝2R； (2)若△ ABC 中∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝ 3，求 BC 的长及 sinC 的 值．
解：(1)证明：连接 AO 并延长交⊙O 于点 D，连接 CD. ∵AD 为直径， ∴∠ACD＝90°. 在 Rt△ ACD 中， sinD＝AACD＝A2RC， ∵∠B＝∠D， ∴sinB＝sinD＝A2RC. ∴sAinCB＝2R.
(2)∵DF＝DC， ∴∠DFC＝∠DCF. ∴∠BDC＝2∠DFC. ∴∠BFC＝12∠BDC＝12∠BAC＝∠CAD＝∠FBC. ∴CB＝CF. 又∵BD⊥AC， ∴AC 是线段 BF 的垂直平分线．
∴AB＝AF＝10，AC＝10. 设 AE＝x，则 CE＝10－x. 由 AB2－AE2＝BC2－CE2，得 100－x2＝80－(10－x)2， 解得 x＝6. ∴AE＝6，BE＝8，CE＝4. 易证△ ADE∽△BCE， ∴ABEE＝DCEE.
∵BD 是⊙O 的切线，∴∠ABD＝90°. ∴∠OCE＝∠ABD＝90°. ∵OC 为半径，∴EC 是⊙O 的切线．
(2)∵OA＝OB，BE＝DE， ∴AD∥OE.∴∠D＝∠OEB. ∵∠D＝30°，∴∠OEB＝30°，∠EOB＝60°. ∴∠BOC＝120°. ∵AB＝4 3，∴OB＝2 3.∴BE＝2 3× 3＝6. ∴S 四边形 OBEC＝2S△ OBE＝2×12×6×2 3＝12 3.
(1)求证：EF 是△ CDB 的中位线； (2)求 EF 的长．
解：(1)证明：连接 OE，AE. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB＝∠AEB＝90°. ∴AE⊥BC，BD⊥AC. ∵AB＝AC， ∴BE＝CE＝3. ∵OA＝OB， ∴OE 是△ ABC 的中位线．
∴OE∥AC.∴OE⊥BD. ∵EF 是⊙O 的切线，∴OE⊥EF. ∴BD∥线．
∵AC＝6， ∴BC＝ AC2－AB2＝2 6. ∴AO＝ AB2＋OB2＝3 2. ∵△ABO∽△AOE， ∴AAOE＝AAOB，即3AE2＝23 32. ∴AE＝3 3.
∵点 D 为A︵B的中点，AB 为⊙O 的直径， ∴∠AOD＝90°. ∵DE⊥AC，∴∠AEF＝90°. 又∵∠ACB＝90°， ∴DE∥BC.∴∠DFO＝∠AFE＝∠ABC. ∴△DOF∽△ACB. ∴OODF＝ABCC＝12.
∴OF＝12OD＝125.∴AF＝125.
∵EF∥BC，∴BECF＝AABF＝14.
(2)∵∠AEB＝90°， ∴AE＝ AB2－BE2＝ 52－32＝4. ∵S△ ABC＝21AC·BD＝21BC·AE， ∴BD＝BCA·CAE＝6×54＝254. ∵EF 是△ CDB 的中位线， ∴EF＝12BD＝152.
6．(2019·泸州)如图，AB 为⊙O 的直径，点 P 在 AB 的延长线上，点 C 在⊙O 上，且 PC2＝PB·PA.
6 2.
∴AB＝AE＋BE＝
26＋
2 2.
∴sin∠ACB＝A2RB＝
6＋ 4
2 .
4．(2019·张家界)如图，AB 为⊙O 的直径，且 AB＝4 3，点 C 是A︵B上 的一动点(不与 A，B 重合)，过点 B 作⊙O 的切线交 AC 的延长线于点 D， 点 E 是 BD 的中点，连接 EC.
解：(1)证明：∵AB 是直径， ∴∠AEB＝90°. ∴AE⊥BC. ∵AB＝AC， ∴BE＝CE. ∵AE＝EF， ∴四边形 ABFC 是平行四边形． ∵AC＝AB， ∴四边形 ABFC 是菱形．
(2)设 CD＝x.连接 BD. ∵AB 是直径， ∴∠ADB＝∠BDC＝90°. ∴AB2－AD2＝CB2－CD2. ∴(7＋x)2－72＝42－x2. 解得 x＝1 或－8(舍去)． ∴AC＝8，BD＝ 82－72＝ 15. ∴S 菱形 ABFC＝AC·BD＝8 15， S 半圆＝12×π×42＝8π.
(1)求证：PC 是⊙O 的切线； (2)已知 PC＝20，PB＝10，点 D 是A︵B的中点，DE⊥AC，垂足为 E， DE 交 AB 于点 F，求 EF 的长．
解：(1)证明：连接 OC. ∵PC2＝PB·PA， 即PPAC＝PPCB， 又∵∠P＝∠P， ∴△PBC∽△PCA. ∴∠PCB＝∠PAC. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°.
∴∠A＋∠ABC＝90°. ∵OC＝OB， ∴∠OBC＝∠OCB. ∴∠PCB＋∠OCB＝90°，即 OC⊥PC. 又∵OC 是⊙O 的半径， ∴PC 为⊙O 的切线．
(2)连接 OD，∵PC＝20，PB＝10，PC2＝PB·PA， ∴PA＝PPCB2＝40. ∴AB＝30. ∵△PBC∽△PCA， ∴ABCC＝PPAC＝2.∴设 BC＝x，则 AC＝2x. 在 Rt△ ABC 中，x2＋(2x)2＝302， ∴x＝6 5，即 BC＝6 5.
(1)求证：EC 是⊙O 的切线； (2)当∠D＝30°时，求阴影部分面积．
解：(1)证明：连接 BC，OC，OE. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°. 在 Rt△ BDC 中， ∵点 E 是 BD 的中点， ∴DE＝EC＝BE. ∵OC＝OB，OE＝OE， ∴△OCE≌△OBE(SSS)． ∴∠OCE＝∠OBE.
∴S 阴影＝S 四边形 OBEC－S 扇形 BOC ＝12 3－120×π×3（602 3）2 ＝12 3－4π.
5．(2019·玉林)如图，在△ ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，以 AB 为直 径作⊙O 分别交于 AC，BC 于点 D，E，过点 E 作⊙O 的切线 EF 交 AC 于 点 F，连接 BD.
第六单元 圆 滚动小专题(八) 与圆有关的计算与证明
1．(2018·宜昌)如图，在△ ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的圆交 AC 于点 D，交 BC 于点 E，延长 AE 至点 F，使 EF＝AE，连接 FB，FC.
(1)求证：四边形 ABFC 是菱形； (2)若 AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形 ABFC 的面积．
∴DE＝AEB·ECE＝6×84＝3. ∴BD＝BE＋DE＝8＋3＝11. 过点 D 作 DH⊥AB，垂足为 H. ∵12AB·DH＝12BD·AE， ∴DH＝BDA·BAE＝111×06＝353. ∴BH＝ BD2－DH2＝454.
∴AH＝AB－BH＝10－454＝56. ∴tan∠BAD＝DAHH＝121.
(2)由(1)知sAinCB＝2R， 同理可得sin∠ABACB＝sin∠BCBAC＝2R， ∴2R＝sin630°＝2. ∴BC＝2R·sin∠BAC＝2sin45°＝ 2. 过点 C 作 CE⊥AB 于点 E.
则 BE＝BC·cosB＝ 2cos60°＝ 22，
AE＝AC·cos∠BAC＝
3cos45°＝
8．(2019·贵港)如图，在矩形 ABCD 中，以 BC 边为直径作半圆 O， OE⊥OA 交 CD 边于点 E，对角线 AC 与半圆 O 的另一个交点为 P，连接 AE.
(1)求证：AE 是半圆 O 的切线； (2)若 PA＝2，PC＝4，求 AE 的长．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABO＝∠OCE＝90°. ∵OE⊥OA， ∴∠AOE＝90°. ∴∠BAO＋∠AOB＝∠AOB＋∠COE＝90°. ∴∠BAO＝∠COE. ∴△ABO∽△OCE. ∴OABC＝AOOE.
2．(2019·咸宁)如图，在 Rt△ ABC 中，∠ACB＝90°，D 为 AB 的中点， 以 CD 为直径的⊙O 分别交 AC，BC 于点 E，F，过点 F 作 FG⊥AB 于点 G.
(1)试判断 FG 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若 AC＝3，CD＝2.5，求 FG 的长．
解：(1)FG 与⊙O 相切， 理由：连接 OF. ∵∠ACB＝90°，D 为 AB 的中点， ∴CD＝BD. ∴∠DBC＝∠DCB. ∵OF＝OC， ∴∠OFC＝∠OCF. ∴∠OFC＝∠DBC.
∴EF＝14BC＝3
5 2.
7．(2019·福建)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD， 垂足为 E，点 F 在 BD 的延长线上，且 DF＝DC，连接 AF，CF.
(1)求证：∠BAC＝2∠CAD； (2)若 AF＝10，BC＝4 5，求 tan∠BAD 的值．
解：(1)证明：∵AB＝AC， ∴A︵B＝A︵C，∠ABC＝∠ACB. ∴∠ABC＝∠ADB， ∠ABC＝21(180°－∠BAC)＝90°－12∠BAC. ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°－∠CAD. ∴12∠BAC＝∠CAD. ∴∠BAC＝2∠CAD.
∴OF∥DB. ∵FG⊥AB， ∴FG⊥OF. 又∵OF 为⊙O 的半径， ∴FG 与⊙O 相切．
(2)连接 DF. ∵CD＝2.5，∴AB＝2CD＝5. ∴BC＝ AB2－AC2＝4. ∵CD 为⊙O 的直径，∴∠DFC＝90°.∴FD⊥BC. ∵DB＝DC，∴BF＝12BC＝2. ∵sin∠ABC＝AACB＝FFGB，即35＝F2G， ∴FG＝65.
∵OB＝OC，∴OABB＝AOOE. ∵∠ABO＝∠AOE＝90°， ∴△ABO∽△AOE. ∴∠BAO＝∠OAE. 过点 O 作 OF⊥AE 于点 F， 又∵∠ABO＝90°，即 OB⊥AB，∠BAO＝∠OAE， ∴OF＝OB. ∴OF 是半圆 O 的半径， ∴AE 是半圆 O 的切线．
(2)连接 BP. ∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BPC＝90°. ∴∠APB＝∠ABC＝90°. 又∵∠BAP＝∠CAB，∴△APB∽△ABC. ∴AACB＝AABP，即A6B＝A2B. ∴AB＝2 3.
圆的相关证明与计算(复习讲义)(原卷版)-中考数学重难点题型专题汇总
题型五--圆的相关证明与计算（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．考点02垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．考点03圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．考点04圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．考点05与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r ⇔点在⊙O 外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r考点06切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．考点07三角形与圆1.三角形外接圆外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．1.如图，点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，则CED ∠=（）A．48︒B．24︒C．22︒D．21︒2.如图，A，B，C 是半径为1的⊙O 上的三个点，若，∠CAB＝30°，则∠ABC 的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC，BC 是⊙O 的弦，若20A ∠=︒，则B Ð的度数为（）A．70°B．90°C．40°D．60°4.如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（）A．3B．C．4D．25.如图，已知在⊙O 中， AB BCCD ＝＝，OC 与AD 相交于点E．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE 为菱形．6.如图，A，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C，使BC OB =，连接AC．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D，E 分别是AC，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F，G，4OA =，求GF 的长．7.如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，以点C 为圆心，CB 为半径作C ，D 为C 上一点，连接AD 、CD ，AB AD =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：AD 是C 的切线；（2）延长AD 、BC 相交于点E，若2EDC ABC S S = ，求tan BAC ∠的值．8.如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．9.如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．10.如图，已知点C 是以AB 为直径的圆上一点，D 是AB 延长线上一点，过点D 作BD 的垂线交AC 的延长线于点E ，连结CD ，且CD ED =．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若tan 2DCE ∠=，1BD =，求O 的半径．11.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，CE⊥AB 于点E，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．12.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．13.如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O 交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．=CD =DB ，连接AD，过点D作14.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，ACDE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．15.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．16.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC 平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC=3，求⊙O的半径．17.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．。
人教版2020年中考数学一轮复习《与圆有关的证明和计算》大题专项练习含答案解析
中考专题——与圆有关的证明和计算纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；一般在10分－15分左右，以后发展中利用圆的知识与其他知识点如函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位。
考查的类型：（1）线段、角以及切线的证明；（2）利用勾股定理、相似以及锐角三角函数进行线段，比值和阴影面积的求解.例题精讲：1、如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC 交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．2、如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若∠PAC=90°，AB=2，求PD的长．3、如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，（1）求证：DE=DB；（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．4、如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．5、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．补充练习：1、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若∠C＝60°，⊙O的半径为2，求由弧DE，线段DF，EF围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．3、如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．(1)求证：直线DF与⊙O相切；(2)若AE=7，BC=6，求AC的长．4、如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB 的延长线于点F，连接DA．（1）求证：EF为半圆O的切线；（2）若DA=DF=6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）5、如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A=∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠DBA=30°，CG=8，求BE的长.6、如图，AB为⊙O的直径，C，E为⊙O上的两点，若AC平分∠EAB，CD⊥AE于点D.（1）求证：DC是⊙O的切线；3，求DE的长；（2）若AO=6，DC=33，求图中阴影部分面积.（3）过点C作CF⊥AB于F，如图2，若AD-OA=1.5，AC=3答案解析例题精讲：1、（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD=∠ADO，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠CAB；（2）设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC=60°，OA=OE，∴∠AEO是等边三角形，∴AE=OA，∠AOE=60°，∴AE=A0=OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，∴S△AEM=S△DMO，∴S阴影=S扇形EOD==．2、（1）证明：∵∵ABC=∵APC，∵BAC=∵BPC，∵APC=∵CPB=60°，∵∵ABC=∵BAC=60°，∵∵ABC是等边三角形．（2）解：∵∵ABC是等边三角形，AB=2，∵AC=BC=AB=2，∵ACB=60°．在Rt∵PAC中，∵PAC=90°，∵APC=60°，AC=2，∵AP=AC•cot∵APC=2．在Rt∵DAC中，∵DAC=90°，AC=2，∵ACD=60°，∵AD=AC•tan∵ACD=6．∵PD=AD﹣AP=6﹣2=4．3、（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，∴，∴∠DBC=∠CAD，∴∠DBC=∠BAE，∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，∴∠DBE=∠DEB，∴DE=DB；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）得：，∴CD=BD=4，∵∠BAC=90°，∴BC是直径，∴∠BDC=90°，∴BC==4，∴△ABC外接圆的半径=×4=2．4、（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∵OF⊥AC，∴OF=OD，∴AC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，∴OD=1，OB=2，∴∠B=30°，∠BOD=60°，∴∠AOD=30°，在Rt△AOD中，AD=OD=，∴阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF=2××1×﹣=﹣．5、（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°，∵点F 是ED 的中点，∴CF ＝EF ＝DF ，∴∠AEO ＝∠FEC ＝∠FCE ，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∵OD ⊥AB ，∴∠OAC+∠AEO ＝90°， ∴∠OCA+∠FCE ＝90°，即OC ⊥FC ，∴CF 与⊙O 相切；（2）解：∵OD ⊥AB ，AC ⊥BD ，∴∠AOE ＝∠ACD ＝90°，∵∠AEO ＝∠DEC ，∴∠OAE ＝∠CDE ＝22.5°， ∵AO ＝BO ，∴AD ＝BD ，∴∠ADO ＝∠BDO ＝22.5°，∴∠ADB ＝45°，∴∠CAD ＝∠ADC ＝45°，∴AC ＝CD ．补充练习：1、（1）如图，连接OD ∵AB 为⊙O 的直径∴AD ⊥BC ∵AB=AC ∴BD=CD ，D 为BC 中点∵O 为AB 中点∴OD ∥AC ∵DF ⊥AC ∴DF ⊥OD ∴DF 为⊙O 的切线（2）如图，连接OE 、OD ∵AB=AC ，∠C=60°∴△ABC 为等边三角形∴∠B=∠A=60°，AB=AC=BC=2⨯2=4∵OA=OB=OD=OE ∴△OAE ，△OBD 都是等边三角形∴∠ODB=∠BOD=∠AOE -∠OEA=∠C=60° ∴∠DOE=180°-2⨯60°=60°，OD ∥AC ，OE ∥BC ∴四边形ODCE 是平行四边形∴OD=CE=BD=CD=2∴DF=CDsin60°=3232=⨯，CF=CDcos60°=1212=⨯ ∴ππ32-323360260-3121-32--2=⨯⨯⨯⨯==∆ODE CDF S S S S 扇形平行四边形阴影2、（1）证明：连接DE 、OD ∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠CDA=∠AED ∵AE 为直径∴∠ADE=90°∵AC ⊥BC ∴∠ACD=90°∴∠DAO=∠CAD ∴AD 平分∠BAC（3）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC ∴∠B=∠BAC=45°∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠ODB=90°∴OD=BD ，∠BOD=45°设BD=x ，则OD=OA=x ，0B=3x ∴BC=AC=x+1∵AC 2+BC 2=AB 2∴22)2()12x x x +=+（ 所以x=2∴BD=OD=2 ∴()4-1360245-22212ππ=⨯⨯=-∆=DOE S BOD S S 扇形阴影3、（1）证明：连接OD ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C 。
中考数学复习考点知识专题讲义第42讲 核心素养之逻辑推理——与圆有关的计算与证明
解图1
(2)求⊙O与Rt△ABC重叠部分的面积． 解：如解图2，连接OE，则OA＝OE.
∵∠CAB＝60°，∴△OAE是等边三角形．∴∠AOE＝60°.∴∠EOG＝120°.
作EF⊥OA于点F，则OF＝1，EF＝ 3.
∴⊙O与Rt△ABC重叠部分的面积为：S△AOE＋S扇形EOG＝
1 2
×2×
3
＋
120π×22 360
＝
3
＋43π.
解图2
例3 (2019·海陵区二模改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交 BC于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB于点E，交AC的延长线于点F.
求证：(1)BD＝CD；
证明：如解图，连接AD．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC．
学霸笔记 本题考查圆中有关角度的计算，需要准确把握圆中有关角的结论，如圆周角定 理及推论，圆心角、弧、弦之间的关系定理、切线的性质等，准确找到相关条件产生 的特殊角及之间的数量关系，还要注意识别这些基本定理产生的平行线、直角三角 形、等腰三角形、等边三角形等基本图形，灵活应用这些角之间的关系．
例2 (2019·惠山区模拟)如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，点O为斜边AB上一 点，且OA＝2，以OA为半径的⊙O与BC相切于点D，与AC相交于点E.
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD．
(2)∠BAC＝2∠FDC．
证明：如解图，Biblioteka 接OD，则∠CAD＝12∠BAC．
∵EF是⊙O的切线， ∴OD⊥EF. ∴∠ODF＝90°. ∴∠FDC＋∠ODC＝90°.
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC．
又∵∠OCD＋∠CAD＝90°，
中考总复习正多边形与圆的有关的证明和计算--知识讲解
中考总复习正多边形与圆的有关的证明和计算--知识讲解【正多边形与圆的有关的证明和计算】一、正多边形的定义与性质：正多边形是指所有边相等、所有角相等的多边形。
正多边形的性质如下：1.所有边相等，所有角相等；2.任意两条边之间的夹角相等；3.对角线相等；4.中心角等于外角。
二、正多边形的内角与外角的关系：1.由正多边形的定义可知，正多边形的内角和为180°(n-2)，其中n 为正多边形的边数；2.正多边形的外角和为360°，由此可得正多边形的内角和与外角和之间的关系：内角和=外角和/2三、正多边形的周长和面积的计算：1.正多边形的周长为边长×边数；2.正多边形的面积为面积公式：面积=1/2×边长×边数×正弦(360°/边数)。
四、正多边形内接圆的半径和面积：2.正多边形内接圆的面积等于正多边形面积的一半。
五、正多边形外接圆的半径和面积：1.正多边形外接圆的半径等于正多边形的边长的一半乘以正弦(180°/边数)；2.正多边形外接圆的面积等于正多边形边长的平方乘以正弦(360°/边数)乘以1/2六、正多边形的对称轴：正多边形有旋转对称轴和镜像对称轴两类：1.正多边形的旋转对称轴有n条，其中n为正多边形的边数；2.正多边形的镜像对称轴有2n条，其中n为正多边形的边数。
七、圆的性质及计算：1.圆是由一个动点到一个定点的距离保持不变的动点集；2.圆的半径是动点到圆心的距离；3.圆的直径是通过圆心的一条线段，且长度等于半径的两倍；4.圆的周长等于直径的乘以π，即周长=2×半径×π；5.圆的面积等于半径的平方乘以π，即面积=半径×半径×π。
八、正多边形与圆的关系：1.正多边形的内接圆同时是这个正多边形的外接圆，即正多边形的内接圆与外接圆重合；3.正多边形的外接圆的半径等于正多边形的边长的一半乘以正弦(180°/边数)；4.正多边形的外接圆的面积等于正多边形边长的平方乘以正弦(360°/边数)乘以1/2；5.正多边形的内接圆和外接圆的关系可以用于计算正多边形的周长和面积。
最新中考总复习圆的切线专题
题型专项(八)与切线有关的证明与计算类型1与全等三角形有关1．(2016·梧州)如图，过⊙O上的两点A，B分别作切线，交于BO，AO的延长线于点C，D，连接CD，交⊙O于点E，F，过圆心O作OM⊥CD，垂足为点M.求证：(1)△ACO≌△BDO；(2)CE＝DF.证明：(1)∵AC，BD分别是⊙O的切线，∴∠A＝∠B＝90°.又∵AO＝BO，∠AOC＝∠BOD，∴△ACO≌△BDO.(2)∵△ACO≌△BDO，∴OC＝OD.又∵OM⊥CD，∴CM＝DM.又∵OM⊥EF，点O是圆心，∴EM＝FM.∴CM－EM＝DM－FM.∴CE＝DF.2．(2016·玉林模拟)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝60°，P是OB上一点，过P作AB 的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于点D，连接OC.(1)求证：△CDQ是等腰三角形；(2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值．解：(1)证明：由已知得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°.∴∠Q＝30°，∠BCO＝∠ABC＝30°.∵CD是⊙O的切线，CO是半径，∴CD⊥CO.∴∠DCQ＝∠BCO＝30°.∴∠DCQ＝∠Q.故△CDQ是等腰三角形．(2)设⊙O的半径为1，则AB＝2，OC＝1，BC＝ 3.∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，∴CQ＝CB＝ 3.∴AQ ＝AC ＋CQ ＝1＋ 3. ∴AP ＝12AQ ＝1＋32.∴BP ＝AB －AP ＝3－32.∴PO ＝AP －AO ＝3－12. ∴BP ∶PO ＝ 3.3．(2016·柳州)如图，AB 为△ABC 外接圆⊙O 的直径，点P 是线段CA 的延长线上一点，点E 在弧上且满足PE 2＝PA ·PC ，连接CE ，AE ，OE 交CA 于点D. (1)求证：△PAE ∽△PEC ； (2)求证：PE 为⊙O 的切线；(3)若∠B ＝30°，AP ＝12AC ，求证：DO ＝DP.证明：(1)∵PE 2＝PA·PC ， ∴PE PC ＝PA PE. 又∵∠APE ＝∠EPC ，∴△PAE ∽△PEC.(2)∵△PAE ∽△PEC ，∴∠PEA ＝∠PCE. ∵∠PCE ＝12∠AOE ，∴∠PEA ＝12∠AOE.∵OA ＝OE ，∴∠OAE ＝∠OEA.∵∠AOE ＋∠OEA ＋∠OAE ＝180°， ∴∠AOE ＋2∠OEA ＝180°， 即2∠PEA ＋2∠OEA ＝180°. ∴∠PEA ＋∠OEA ＝90°. ∴PE 为⊙O 的切线．(3)设⊙O 的半径为r ，则AB ＝2r.∵∠B ＝30°，∠PCB ＝90°，∴AC ＝r ，BC ＝3r. 过点O 作OF ⊥AC 于点F ， ∴OF ＝32r.∵AP ＝12AC ， ∴AP ＝r 2.∵PE 2＝PA·PC ，∴PE ＝32r.在△ODF 与△PDE 中，⎩⎨⎧∠ODF ＝∠PDE ，∠OFD ＝∠PED ，OF ＝PE ，∴△ODF ≌△PDE.∴DO ＝DP. 类型2 与相似三角形有关4．(2016·泰州)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，在D 为AB 上一点，以CD 为直径的⊙O 交BC 于点E ，连接AE 交CD 于点P ，交⊙O 于点F ，连接DF ，∠CAE ＝∠ADF. (1)判断AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若PF ∶PC ＝1∶2，AF ＝5，求CP 的长．解：(1)AB 是⊙O 切线． 理由：∵∠ACB ＝90°，∴∠CAE ＋∠CEA ＝90°.∵∠CAE ＝∠ADF ，∠CDF ＝∠CEA ，∴∠ADF ＋∠CDF ＝90°. ∴AB 是⊙O 切线． (2)连接CF.∵∠ADF ＋∠CDF ＝90°，∠PCF ＋∠CDF ＝90°， ∴∠ADF ＝∠PCF. ∴∠PCF ＝∠PAC. 又∵∠CPF ＝∠APC ， ∴△PCF ∽△PAC.∴PC PA ＝PFPC .∴PC 2＝PF·PA.设PF ＝a ，则PC ＝2a. ∴4a 2＝a(a ＋5)． ∴a ＝53.∴PC ＝2a ＝103.5．(2015·北海)如图，AB ，CD 为⊙O 的直径，弦AE ∥CD ，连接BE 交CD 于点F ，过点E 作直线EP 与CD 的延长线交于点P ，使∠PED ＝∠C. (1)求证：PE 是⊙O 的切线； (2)求证：ED 平分∠BEP ；(3)若⊙O 的半径为5，CF ＝2EF ，求PD 的长．解：(1)证明：连接OE. ∵CD 是圆O 的直径， ∴∠CED ＝90°. ∵OC ＝OE ， ∴∠C ＝∠OEC. 又∵∠PED ＝∠C ，∴∠PED ＝∠OEC.∴∠PED ＋∠OED ＝∠OEC ＋∠OED ＝90°，即∠OEP ＝90°. ∴OE ⊥EP.又∵点E 在圆上，∴PE 是⊙O 的切线．(2)证明：∵AB ，CD 为⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝∠CED ＝90°.∴∠AEC ＝∠DEB(同角的余角相等)． 又∵∠PED ＝∠C ，AE ∥CD ， ∴∠PED ＝∠DEB ， 即ED 平分∠BEP.(3)设EF ＝x ，则CF ＝2x. ∵⊙O 的半径为5，∴OF ＝2x －5.在Rt △OEF 中，OE 2＝EF 2＋OF 2，即52＝x 2＋(2x －5)2，解得x ＝4， ∴EF ＝4.∴BE ＝2EF ＝8，CF ＝2EF ＝8. ∴DF ＝CD －CF ＝10－8＝2. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°. ∵AB ＝10，BE ＝8，∴AE ＝6.∵∠BEP ＝∠A ，∠EFP ＝∠AEB ＝90°， ∴△EFP ∽△AEB. ∴PF BE ＝EF AE ，即PF 8＝46. ∴PF ＝163. ∴PD ＝PF －DF ＝163－2＝103.6．(2014·桂林)如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，P 为BC 延长线上一点，∠PAC ＝∠B ，AD 为⊙O 的直径，过点C 作CG ⊥AD 于点E ，交AB 于点F ，交⊙O 于点G. (1)判断直线PA 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)求证：AG 2＝AF·AB ；(3)若⊙O 的直径为10，AC ＝25，AB ＝45，求△AFG 的面积．解：(1)PA 与⊙O 相切． 理由：连接CD.∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°.∴∠D ＋∠CAD ＝90°. ∵∠B ＝∠D ，∠PAC ＝∠B ，∴∠PAC ＝∠D.∴∠PAC ＋∠CAD ＝90°，即DA ⊥PA. ∵点A 在圆上，∴PA 与⊙O 相切． (2)证明：连接BG .∵AD 为⊙O 的直径，CG ⊥AD ， ∴AC ︵＝AG ︵.∴∠AGF ＝∠ABG . ∵∠GAF ＝∠BAG ，∴△AGF ∽△ABG . ∴AG ∶AB ＝AF ∶AG .∴AG 2＝AF·AB. (3)连接BD.∵AD 是直径，∴∠ABD ＝90°.∵AG 2＝AF·AB ，AG ＝AC ＝25，AB ＝45， ∴AF ＝AG 2AB＝ 5.∵CG ⊥AD ，∴∠AEF ＝∠ABD ＝90°. ∵∠EAF ＝∠BAD ，∴△AEF ∽△ABD. ∴AE AB ＝AF AD ，即AE 45＝510，解得AE ＝2. ∴EF ＝AF 2－AE 2＝1. ∵EG ＝AG 2－AE 2＝4， ∴FG ＝EG －EF ＝4－1＝3. ∴S △AFG ＝12FG·AE ＝12×3×2＝3.类型3 与锐角三角函数有关7．(2014·梧州)如图，已知⊙O 是以BC 为直径的△ABC 的外接圆，OP ∥AC ，且与BC 的垂线交于点P ，OP 交AB 于点D ，BC ，PA 的延长线交于点E. (1)求证：PA 是⊙O 的切线；(2)若sin ∠E ＝35，PA ＝6，求AC 的长．解：(1)证明：连接OA.∵AC ∥OP ，∴∠AOP ＝∠OAC ，∠BOP ＝∠OCA. ∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC.∴∠AOP ＝∠BOP. 又∵OA ＝OB ，OP ＝OP ，∴△AOP ≌△BOP.∴∠OAP ＝∠OBP.∵BP ⊥CB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°.∴OA ⊥PA. ∴PA 是⊙O 的切线．(2)∵PB ⊥CB ，∴PB 是⊙O 的切线． 又∵PA 是⊙O 的切线， ∴PA ＝PB ＝6.又∵sin E ＝PB EP ＝AO EO ＝35，∴AO ＝3.在Rt △OPB 中，OP ＝62＋32＝3 5. ∵BC 为⊙O 直径，∴∠CAB ＝90°.∴∠CAB ＝∠OBP ＝90°，∠OCA ＝∠BOP. ∴△ACB ∽△BOP.∴AC BO ＝CBOP .∴AC ＝CB·BO OP ＝1835＝655.8．(2015·来宾)已知⊙O 是以AB 为直径的△ABC 的外接圆，OD ∥BC 交⊙O 于点D ，交AC 于点E ，连接AD ，BD ，BD 交AC 于点F.(1)求证：BD 平分∠ABC ；(2)延长AC 到点P ，使PF ＝PB ，求证：PB 是⊙O 的切线； (3)如果AB ＝10，cos ∠ABC ＝35，求AD.解：(1)证明：∵OD ∥BC ， ∴∠ODB ＝∠CBD. ∵OB ＝OD ， ∴∠OBD ＝∠ODB. ∴∠CBD ＝∠OBD. ∴BD 平分∠ABC.(2)证明：∵⊙O 是以AB 为直径的△ABC 的外接圆， ∴∠ACB ＝90°.∴∠CFB ＋∠CBF ＝90°. ∵PF ＝PB ，∴∠PBF ＝∠CFB. 由(1)知∠OBD ＝∠CBF ，∴∠PBF ＋∠OBD ＝90°.∴∠OBP ＝90°. ∴PB 是⊙O 的切线．(3)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10， ∴cos ∠ABC ＝BC AB ＝BC 10＝35.∴BC ＝6，AC ＝AB 2－BC 2＝8.∵OD ∥BC ，∴△AOE ∽△ABC ，∠AED ＝∠OEC ＝180°－∠ACB ＝90°. ∴AE AC ＝OE BC ＝AO AB ，AE 8＝OE 6＝510. ∴AE ＝4，OE ＝3. ∴DE ＝OD －OE ＝5－3＝2.∴AD ＝AE 2＋DE 2＝42＋22＝2 5.9．(2016·柳州模拟)如图，已知：AC 是⊙O 的直径，PA ⊥AC ，连接OP ，弦CB ∥OP ，直线PB 交直线AC 于点D ，BD ＝2PA.(1)证明：直线PB 是⊙O 的切线；(2)探究线段PO 与线段BC 之间的数量关系，并加以证明； (3)求sin ∠OPA 的值．解：(1)证明：连接OB. ∵BC ∥OP ，OB ＝OC ， ∴∠BCO ＝∠POA ，∠CBO ＝∠POB ，∠BCO ＝∠CBO.∴∠POA ＝∠POB.又∵PO ＝PO ，OB ＝OA ， ∴△POB ≌△POA.∴∠PBO ＝∠PAO ＝90°. ∴PB 是⊙O 的切线．(2)2PO ＝3BC.(写PO ＝32BC 亦可)证明：∵△POB ≌△POA ，∴PB ＝PA. ∵BD ＝2PA ，∴BD ＝2PB.∵BC ∥PO ，∴△DBC ∽△DPO. ∴BC PO ＝BD PD ＝23.∴2PO ＝3BC. (3)∵CB ∥OP ，∴△DBC ∽△DPO.∴DC DO ＝BD PD ＝23，即DC ＝23OD. ∴OC ＝13OD.∴DC ＝2OC.设OA ＝x ，PA ＝y.则OD ＝3x ，OB ＝x ，BD ＝2y.在Rt △OBD 中，由勾股定理得(3x)2＝x 2＋(2y)2，即2x 2＝y 2. ∵x ＞0，y ＞0，∴y ＝2x ，OP ＝x 2＋y 2＝3x. ∴sin ∠OPA ＝OA OP ＝x 3x ＝13＝33.类型4 与特殊四边形有关10．(2016·玉林)如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在圆上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，分别交OA 延长线与OC 延长线于点E ，F ，连接BF.(1)求证：BF 是⊙O 的切线；(2)已知圆的半径为1，求EF 的长． 解：(1)证明：连接OD. ∵EF 为⊙O 的切线，∴∠ODF ＝90°.∵四边形AOCD 为平行四边形， ∴AO ＝DC ，AO ∥DC. 又∵DO ＝OC ＝OA ， ∴DO ＝OC ＝DC.∴△DOC 为等边三角形． ∴∠DOC ＝∠ODC ＝60°. ∵DC ∥AO ，∴∠AOD ＝∠ODC ＝60°.∴∠BOF ＝180°－∠COD －∠AOD ＝60°. 在△DOF 和△BCF 中，⎩⎨⎧DO ＝BO ，∠DOF ＝∠BOF ，OF ＝OF ，∴△DOF ≌△BOF.∴∠ODF ＝∠OBF ＝90°. ∴BF 是⊙O 的切线．(2)∵∠DOF ＝60°，∠ODF ＝90°， ∴∠OFD ＝30°.∵∠BOF ＝60°，∠BOF ＝∠CFD ＋∠E ，∴∠E＝∠OFD＝30°.∴OF＝OE.又∵OD⊥EF，∴DE＝DF.在Rt△ODF中，∠OFD＝30°.∴OF＝2OD.∴DF＝OF2－OD2＝22－12＝ 3.∴EF＝2DF＝2 3.11．(2016·宁波)如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)求DE的长．解：(1)证明：连接OD.∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO.∴∠ODA＝∠DAE.∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.∴DE是⊙O切线．(2)过点O作OF⊥AC于点F.∴AF＝CF＝3.∴OF＝OA2－AF2＝52－32＝4.∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四边形OFED是矩形．∴DE＝OF＝4.12．(2015·桂林)如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AB＝4，PC，PD是⊙O的两条切线，C，D为切点．(1)如图1，求⊙O的半径；(2)如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度；(3)如图2，若点M是BC边上任意一点(不含B，C)，以点M为直角顶点，在BC的上方作∠AMN＝90°，交直线CP于点N，求证：AM＝MN.解：(1)连接OD ，OC.∵PC ，PD 是⊙O 的两条切线，C ，D 为切点， ∴∠ODP ＝∠OCP ＝90°.∵四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形， ∴∠DOC ＝90°，OD ＝OC. ∴四边形DOCP 是正方形．∵AB ＝4，∠ODC ＝∠OCD ＝45°， ∴DO ＝CO ＝DC·sin 45°＝4×22＝2 2. (2)连接EO ，OP.∵点E 是BC 的中点，∴OE ⊥BC ，∠OCE ＝45°， 则∠EOP ＝90°.∴EO ＝EC ＝2，OP ＝2CO ＝4.∴PE ＝OE 2＋OP 2＝2 5.(3)证明：在AB 上截取BF ＝BM.∵AB ＝BC ，BF ＝BM ，∴AF ＝MC ，∠BFM ＝∠BMF ＝45°.∵∠AMN ＝90°，∴∠AMF ＋∠NMC ＝45°，∠FAM ＋∠AMF ＝45°. ∴∠FAM ＝∠NMC.∵由(1)得PD ＝PC ，∠DPC ＝90°，∴∠DCP ＝45°.∴∠MCN ＝135°.∵∠AFM ＝180°－∠BFM ＝135°，在△AFM 和△MCN 中，⎩⎨⎧∠FAM ＝∠CMN ，AF ＝MC ，∠AFM ＝∠MCN ，精品文档∴△AFM≌△MCN(ASA)．∴AM＝MN.精品文档。
专题八 与圆有关的证明及计算
圆与锐角三角函数
【例 3】 (2016·长沙)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，对角线 AC 为⊙O 的直径，过点 C 作 AC 的垂线交 AD 的延长线于点 E，点 F 为 CE 的中点， 连接 DB，DC，DF. (1)求∠CDE 的度数； (2)求证：DF 是⊙O 的切线； (3)若 AC＝2 5DE，求 tan∠ABD 的值． 解：(1)∵对角线 AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90° (2)连接 DO，∵∠EDC＝90°，F 是 EC 的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC ＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF ＝∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠DCF＝90°，∴DF 是⊙O 的切线
第六页，编辑于星期三：六点 十一分。
圆与相似
【例 2】 (2016·泸州)如图，△ABC 内接于⊙O，BD 为⊙O 的直径，BD 与 AC 相交于点 H，AC 的延长线与过点 B 的直线相交于点 E，且∠A＝ ∠EBC. (1)求证：BE 是⊙O 的切线； (2)已知 CG∥EB，且 CG 与 BD，BA 分别相交于点 F，G，若 BG·BA＝ 48，FG＝ 2，DF＝2BF，求 AH 的值．
数学
广西专用
专题八 与圆有关的证明及计算
第一页，编辑于星期三：六点 十一分。
第二页，编辑于星期三：六点 十一分。
切线的判定与性质 【例1】 (2021·临夏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点 D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点． (1)∠CBF＝∠BAE＋∠ABF.又∵∠EFB＝∠BAE＋∠ABF，∴∠ EBF＝∠EFB.∴BE＝EF (3)由(2)得 BE＝EF＝DE＋DF＝7.∵∠DBE＝ ∠BAE，∠DEB＝∠BEA，∴△BED∽△AEB，∴DBEE＝ABEE，即47＝A7E，
中考专题复习——与圆有关的计算与证明
中考专题复习——与圆有关的计算与证明【中考要求及命题趋势】1、理解圆的基本概念与性质。
2、求线段与角和弧的度数。
3、圆与相似三角形、全等三角形、三角函数的综合题。
4、直线和圆的位置关系。
5、圆的切线的性质和判定。
6、三角形内切圆以及三角形内心的概念。
7、圆和圆的五种位置关系。
8、两圆的位置关系与两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式。
两圆相切、相交的性质。
b5E2RGbCAP9、掌握弧长、扇形面积计算公式。
10、理解圆柱、圆锥的侧面展开图。
11、掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面积计算。
2018年中考将继续考查圆的有关性质，其中圆与三角形相似<全等）。
三角函数的小综合题为考查重点；直线和圆的关系作为考查重点，其中直线和圆的位置关系的开放题、探究题是考查重点；继续考查圆与圆的位置五种关系。
对弧长、扇形面积计算以及圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算是考查的重点。
p1EanqFDPw【应试对策】圆的综合题，除了考切线、弦切角必须的问题。
一般圆主要和前面的相似三角形，和前面大的知识点接触。
直线和圆以前的部分是重点内容，后面扇形的面积、圆锥、圆柱的侧面积，这些都是必考的，后面都是一些填空题和选择题，考查对扇形面积公式、圆锥、圆柱的侧面积的公式记忆。
圆这一章重要的概念、定理先掌握、后应用，掌握之后，再掌握一些解题思路和解题方法。
DXDiTa9E3d第一：有三条常用辅助线，一是圆心距，二是直径圆周角，第三条是切线径。
第二：有几个分析思路：弧、常与圆周角互相转换；那么怎么去应用，就根据题目条件而定。
RTCrpUDGiT【复习要点】 1、圆的有关概念：<1）圆上任意两点间的部分叫弧，______的弧叫优弧，________的弧称为劣弧。
<2）______________________的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。
<3）_________________的角叫做圆心角；顶点在圆上且两边____________的角叫做圆周角。
2020年中考数学十大题型专练08与圆有关的证明与计算题(含解析)
二、填空题
11．如图， O 的两条相交弦 AC 、 BD ， ACB CDB 60 ， AC 2 3 ，则 O 的面积是
_______．
【答案】 4π ． 【分析】由 A BDC ，而 ACB CDB 60 ，所以 A ACB 60 ，得到 ACB 为等边三角 形，又 AC 2 3 ，从而求得半径，即可得到 O 的面积． 【详解】解：∵ A BDC ， 而 ACB CDB 60 ， ∴ A ACB 60 ， ∴ ACB 为等边三角形， ∵ AC 2 3 ，
A． 54o
B． 36o
C． 32o
D． 27o
【答案】D
【分析】由切线性质得到 AOB ，再由等腰三角形性质得到 OAD ODA ，然后用三角形外角性质得 出 ADC
【详解】切线性质得到 BAO 90o AOB 90o 36o 54o Q OD OA
∴OAD ODA
Q AOB OAD ODA ADC ADO 27o 故选 D 【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键
B＝60 ， COD＝120 ， BC＝4 ，BC 为半圆 O 的直径，
CDB＝90 ， OC＝O＝D 2 ，
CD 3 BC 2 3
2
，
＝S﹣扇＝形C，OD SCOD
图中阴影部分的面积
120 22 1 2 3 1 4
360 2
3
3
故选：A．
【点睛】本题考查扇形面积公式、直角三角形的性质、解题的关键是学会分割法求面积。
A． OC BD
B． AD OC
C． CEF BED D． AF FD
【答案】C
【分析】由圆周角定理和角平分线得出 ADB 90 ， OBC DBC ，由等腰三角形的性质得出
第十八讲 与圆有关的计算(含解答)-
第十八讲 与圆有关的计算【趣题引路】拿破仑是法国一位卓越的军事家、政治家,又是一个数学爱好者.一次他在远征埃及的航海途中,问部下:“怎样光用圆规把圆分成四等份?•”大家面面相觑,还是拿破仑自己解了这个谜.聪明的读者你知道他是怎样解的吗? 解析 (1)先用圆规画一个已知圆,如图 (1).(2)在已知圆中,画4个相同的小圆,它们的直径等于已知圆的半径,如图 (2) (3)在4个小圆相交的图形中,4个偏月牙形就是面积完全相同的图形,如图 (3).【知识延伸】与圆有关的计算,着重讲正多边形和圆、圆的面积、周长、弧长,扇形的面积以及圆柱和圆锥侧面展开图的计算问题.对于以上问题,首先要理解概念,熟记公式,法则,其次要会灵活运用各方面的知识.如正n 边形的计算可以集中在正n 边形的半径、边心距把正n 边形分成2n•个全等的直角三角形中,通过解直角三角形或三角形相似来解决.例1 如图,正五边形ABCDE 的边长为10,它的对角线分别交于点A 1,B 1,•C 1,D 1,E 1. (1)求证:D 1把线段AE 1分成黄金分割;(2)求五边形A 1B 1C 1D 1E 1的边长. 证明 (1)作正五边形的外接圆O, ∵AB=BC=CD=DE=EA=72°,∴∠D 1AB=∠D 1BA=•∠E 1BD 1=36°. 又∠BE 1D 1=∠BD 1E 1=72°, ∴AD 1=D 1B=BE.∵△ABE 1∽△B D 1E 1,∴11111AE BE BE D E =, 即11111AE AD AD D E =. ∴A D 12=AE 1·D 1E 1,即D 1把线段A E 1分成黄金分割. (2)设D 1E 1=x,则A E 1=AB=10,AD 1=10-D 1E 1=10-x,∴(10-x)2=10x,即x 2-30x+100=0. 解得,得x 1=15-55,x 2=15+55>10(舍去)∴D 1E 1=15-55.点评对于正多边形的计算,要注意利用相似三角形的性质去解,在本题的计算中,•用到了正五边形的两条对角线的交点是对角线的黄金分割点.在计算与面积有关问题时,等积变形,•把不规则图形的面积变成规则图形的面积去求,是经常使用的方法.例2 如图,已知在矩形ABCD 中,AB=1,BC=2,以B 为圆心,BC•为半径画弧交AD 于点F,交BA 的延长线于点F.求阴影部分的面积.解析 连结BF,∵BF=BC=2,AB=1,∠BAF=90°, ∴∠ABF=60°.在Rt △ABF 中,AF=22BF AB -=3,∴S 阴影=S 扇形BEF -S △ABF=2602360π-12×1×3 =23π-32. 点评阴影部分是不规则图形,无法直接计算,设法利用规则图形面积来计算,连结BF,则阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形的面积.在处理展开图问题时,一定不要弄错对应关系,如圆锥侧面展开图是扇形,•这个扇形的半径等于圆锥的母线长,扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长等.例2 如图,一个圆锥的高是10cm,侧面开展图是半圆,求圆锥的侧面积. 解析 设圆锥底面半径为r,扇形弧长为C,母线长为L. 由题意,得c=22lπ ,又∵c=2r π, ∴22lπ=2r π,得L=2r. ① 在Rt △SOA 中L 2=r 2+102. ② 由①,②解得r=1033cm, L=2033cm.∴所求圆锥的侧面积为S=πrL=π1033·2033=2003π(cm2).点评经过圆锥高(即轴)的截面所揭示的母线、高、底面半径.•锥角等元素之间的关系是解题的突破口,也是圆锥中几种量之间的基本关系.【好题妙解】佳题新题品味例1已知如图,AC切⊙O于点A,点B在⊙O上,AB=AC=AO,OC、BC分别交⊙O•于点E、F.求证:EF是⊙O的内接正二十四边形的一边.证明连结OB,OF,因AC是⊙O的切线,∴∠OAC=90°,∵AC=AO,∴∠AOC=45°.∵AB=AO=BD,∴△ABO是等边三角形.∴∠BAO=60°,∴∠BAC=60°+90°=150°,∵AB=AC,∴∠ABC=15°.∴∠AOF=2∠ABC=30°.∴∠EOF=∠AOC-∠AOF=45°-30°=15°.∵正二十四边形的中心角为360°÷24=15°,∴EF是正二十四边形的一边.点评证明一条弦是正多边形的一边.•需证这条弦所对的圆心角等于这个多边形的中心角.如证一条弦是正三角形的一边,需证这条边所对的圆心角为120°.证一条弦是正六边形的一边,需证这条弦所对的圆心角为60°.例2如图,⊙O1与⊙O2内切于点P,过P的直线交⊙O1于点A,交⊙O2于点B,•AC切⊙O2于点C,交⊙O1于点D,且PB、PD的长恰好是关于x的方程x2-16m+x=0的两根.求(1)PC的长;(2)若BP BC=,且S△PBC:S△APC=1:k,求代数式m(k2-k)的值.解析 (1)过P作两圆公切线PT,∵∠A=TPD,∠TPC=∠DCP,∠DCP=∠1+∠A,∠TPC=∠2+∠TPD.∴∠1=∠2.已知∠PBC=∠PCD,∴△PBC∽△PCD.∴P C2=PB·PD.而PB,PD是方程x2-16m+x+4=0的根. ∴PC2=4,∴PC=2.O2T21DCBAP O1(2)由BP=BC及∠1=∠2,知BC∥PD,PB=BC.∴AB BCAP PD=,∵1PBCAPCSPBPA S k∆∆==,∴1BC AB kPD AP k-==.∴PB2=4(1)kk-·PD2=41kk-.又由根与系数关系知PB+PD=16m+,∴m+16=PB2+PD2+2PB·PD=4(1)kk-+41kk-+8.∴m=24k k-,∴m(k2-k)=4.点评(1)小题仅涉及PB、PD的长是方程x2-16m+x+4=0的根,故易知PB·PD,从而须找PC•与PB·PD的关系;(2)由题意可知PB·PD均可用字母K表示,由根与系数的关系可知K 与m的关系,由此求出m,代入m(k2-k)中即可.例3如图有一直径是1m的圆形铁皮,要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形ABC.求(1)被剪掉阴影部分的面积.(2)用所得的扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥的底面半径是多少?(结果可用根号表示).解析 (1)连结BC,∵∠BAC=90°,∴BC为⊙O的直径.又∵AB=AC,∴AB=AC=BC.sin45°=1×22=22.∴S阴=S⊙O-S扇形BAC=π(12)2-2290()2180π⨯=18π(m)2.(2)设圆锥的底面圆的半径为r,∴2902180π⨯=2πr ∴r=28.点评用和差法求图形中阴影部分的面积是最基本的方法,也是应用最广泛的方法.中考真题欣赏例1 (2003年吉林省中考题)圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD,如图那样叠放在一起,连结AC、BD.(1)求证:△AOC≌△BOD;(2)若OA=3cm,OC=1cm,求阴影部分的面积.证明 (1)∵∠COD=∠AOB=90°.∴∠AOC=∠BOD.∵OA=OB,OC=OD,∴△AOC≌△BOD.(2)S阴影=S扇形AOB-S扇形COD=14π×32-14π×12=2π.点评(1)只需证∠DOB=∠COA即可;(2)将阴影部分转化为两个扇形面积的差,•再进行计算.例2 (2003年桂林市中考题)如图,AB是⊙O的直径,过圆上一点D作⊙O的切线DE,与过点A的直线垂直于E,弦BD的延长线与直线AE交于点C.(1)求证:点D为BC的中点;(2)设直线EA与⊙O的另一交点为F.求证:C A2-AF2=4CE·EA;(3)若AD=12DB,⊙O的半径为r,求由线段DE,AE和AD所围成的阴影部分的面积.证明 (1)连结OD,∵ED为⊙O的切线, ∴OD⊥DE,∵DE⊥AC,∴OD∥AC.∵O为AB中点,∴D为BC中点.(2)连结BF,∵AB为⊙O的直径,∴∠CFB=∠CED=90°.∴ED∥BF,∵D为BC中点,∴E为CF中点.∴CA2-AF2=(CA-AF)(CA+AF)=(CE+AE-EF+AE)·CF=2AE·2CE.∴CA2-AF2=4CE·AE.(3)解析:∵AD=12DB,∴∠AOD=60°.连结DA,可知△OAD为等边三角形.∴OD=AD=r. 在Rt△DEA中,∠EDA=30°,∴EA=12r,ED=32r,EDCA BF∴S 阴影=S 梯形DOAE -S 扇形OAD =13()222r r +-16πr 2=338r 216πr 2. 点评(1)由O 为圆心,设法证CF ∥OD,可得结论;(2)由D 为BC 的中点,证E 为CF 的中点,证得ED ∥BF,然后进行线段的恒等变形,•可得结论.(3)由图形的差可得阴影部分.竞赛样题展示例1 (2002年全国数学竞赛试题)如图,7•根圆形筷子的横截面圆的半径为r,求捆扎这7根筷子一周的绳子长度.解析:设⊙O 1,⊙O 2和绳子切A,B,C 点,知∠A O 1B =60°,∴AB 的长为601803r ππ=r, ∴AB 和线段BC 和的长为3πr,故整个绳长为6(AB+BC)=6(13r π+2r)=2(π+6)r.点评绳长由两部分组成,一部分是直线长,另一部分是弧线长,只要计算出AB•的长和O 1O 2的长,其余类推即可. 例2 (汉城国际数学竞赛试题)把3根长为1cm 的火柴杆和三根长为3cm 的火柴杆,摆放在如左图的圆周上构成六边形,此六边形的面积是由三根1cm 的火柴杆所构成的等边三角形面积的多少倍?解析 如图 (1),因为六边形ABCDEF 内接于⊙O,连结OA,OB,OC,OD,OE,OF, 显然△AOB ≌△AOF ≌△EOF;△BOC ≌△COD ≌△DOE.把底边长为1和3的等腰三角形作间隔排列拼成如图 (2),• 并向两端延长边长为3的边,得边长为5的等边三角形.边长为5的等边三角形可分割为25个边长为1的等边三角形,•于是此六边形可分割为22个边长为1的等边三角形.故此六边形的面积是边长为1的等边三角形面积的22倍.点评几何计算常建立在几何证明的基础之上,通过证明,•解决有关图形的位置关系和数量关系,从而使问题获得解决.全能训练A卷1.两圆相交,公共弦长为且在一圆中为内接正三角形的一边,在另一圆中为内接正六边形的一边,求这两圆的面积之比.2.已知三个正多边形的边数分别是a,b,c,从中各取一个内角相加,其和为360°.求111a b c++的值.3.已知半径为1的圆内接正五边形ABCDE中,P是AE的中点.求AP·BP的值.4.已知一个正三角形,一个正方形,一个圆的周长相等,•正三角形和正方形的外接圆半径为r1,r2,圆的半径为R,则r1,r2,R的大小关系是( ).A.r1>r2>RB.r2>R>r1C.R>r1>r2D.r2>r1>R5.如图,已知一个边长为2cm的正六边形,若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形,则这个圆形纸片的最小半径是_________.6.如图,大小两个同心圆的圆心为O,现任作小圆的三条切线分别交于A、B、C点,记△ABC的面积为S,以A、B、C为顶点的三个阴影部分的面积分别为S1,S2,S3,•试判断S1+S2+S3-S是否为定值,若是,求出这个值;若不是,说明理由.A卷答案:1.设正三角形外接圆O1的半径为R3,正三角形边长是AB,正六边形外接圆O2的半径为R6,∴R3=33AB,R6=AB.∴R3:R6=3:3 ,∴S⊙O1:S⊙O2=R32:R62=1:3.2.由180(2)aa︒-+180(2)bb︒-+180(2)cc︒-=360°,得111a b c++=12.3.连结OA交BP于F,证AP=PF,再证△OPF∽△BPO.∴PF·BP=O P2,∴AP·BP=PF·BP=OP2=14.A5.2cm6.如图,设大小圆半径分别为R和r(R和r为定值).小圆的每条切线与大圆所夹小弓形的面积相等且为定值,设这个定值为p,则有S1+S2+S3′=P;S2+S3+S1′=•P;•S3+S1+S2′=P. ∴(S1+S2+S3)·2+(S1′+S2′+S3′)=3P.又∵S1+S2+S3+S1′+S2′+S3′+S=πR2.∴S1′+S2′+S3′= -(S1+S2+S3)-S代入①式得:S1+S2+S3-S=3P- πR2 (定值)故S1+S2+S3-S为定值,这个定值为3P-πR2.B卷1.如图1,两个半圆,大圆的弦CD平行于直径AB,且与小圆相切,已知CD=24,•则在大半圆中挖去小半圆后剩下部分的面积为________.(1) (2)2.如图2,圆心在原点,半径为2的圆内一点P(22,22) ,过P作弦AB与劣弧AB组成一个弓形,则该弓形面积的最小值为___________.3.小伟在半径为1cm,圆心角为60°的扇形铁皮上剪取一块尽可能大的正方形铁皮,小伟在扇形铁皮上设计如图所示的甲,乙两种剪取方案,请你帮小伟计算一下,按甲、乙两种方案剪取所得的正方形面积,并估算哪个正方形的面积较大(•估算时3=1.73,结果保留两位有效数字).4.如图,在圆周内部有一凸四边形,其边的延长线分别交圆周于A 1,•A 2,B 1,B 2,C 1,C 2,D 1,D 2. 求证:若A 1B 2=B 1C 2=C 1D 2=D 1A 2,则由直线A 1A 2,B 1B 2,C 1C 2,D 1D 2所围成的四边形是圆内接四边形.5.如图,给定正七边形A 1A 2…A 7.证明:121314111A A A A A A =+.- 11 - B 卷答案:1.可将小半圆的圆心移至大半圆圆心重合.此时小半圆与CD 切于M 点,•同心圆圆心设为O, 则S 阴=12πOD 2-12πOM 2=12π(O D 2-OM 2)= 12πMD 2=12π×122=72π。
补充3 圆的有关计算与证明共50题(原卷版)
圆的有关计算与证明（50题）A．12π2．（2023·江苏连云港作半圆．若ABA．41204π-B3．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（圆心，B为 AC上一点，A．300mπB．A ．21cm 4πB 5．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形段90︒的圆心角的圆心为为A BCD 、、、循环，则A ．40452πB ．20236．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，在等腰直角心，AC 为半径画弧，交AB 于点积是（）A ．π2-B ．2π2-A ．2B ．二、填空题8．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，E 为BC 的中点，连接AE DE ，，以E 为圆心，EB 长为半径画弧，分别与AE DE ，交于点M ，N ，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留π）9．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，O 的半径为2cm ，AB 为O 的弦，点C 为 AB 上的一点，将 AB 沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，则阴影部分的面积为_______．（结果保留π与根号）10．（2023·重庆·统考中考真题）如图，O 是矩形ABCD 的外接圆，若4,3AB AD ==，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）14．（2023·天津·统考中考真题）如图，在每个小正方形的边长为且顶点A，B均在格点上．（1）线段AB的长为________（2）若点D在圆上，AB与CD为等边三角形，并简要说明点15．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在H AH=．以点A为圆心，,3一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r r-=________________的半径为2r，则1216．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，小珍同学用半径为8cm ，圆心角为100︒的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm 的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是________2cm ．三、解答题(1)求证：OCA ADC ∠∠=；(2)若12,tan 3AD B ==，求OC 的长．18．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，以CE AB ∥交O 于点E ，连接(1)求证：AC BC =；(2)若tan 23B CD ==，，求AB(1)求证：90ADC BAC ∠-∠=︒；（请用两种证法解答）(2)若ACP ADC ∠=∠，O 的半径为3，4CP =，求AP 的长．(1)求BED ∠的度数；(2)如图2，过点A 作O 的切线交BC 延长线于点F ，过点D 作DG 235,4AD DE ==，求DG 的长．(1)若13ED=，求(2)求证：AE CF⋅(3)以点B为圆心，22．（2023·河北·50cmAB=，如图计算：在图1中，已知探究：在图2中（2）操作后水面高度下降了多少？（3）连接OQ并延长交GH(1)求证：2AOB ∠=∠(2)若4,5AB BC ==24．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，四边形径，45ABD ∠=︒，直线(1)求证：直线l ⊥直线CE ；(2)若AB DG =；①求证：ABC GDE △≌△；②若312R CE ==，，求四边形(1)如图①，求AOB ∠和CEB ∠的大小；(2)如图②，CE 与AB 相交于点F ，EF EB =，过点求EG 的长．26．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，ABC 点F 在AB 上，连接CF 并延长，交O 于点D (1)求证：DBE ABC △∽△；(2)若2AF =，求ED 的长．(1)求证：AP 是O 的切线；(2)若24BE DE ==，，28．（2023·湖南·统考中考真题）如图，E ，交AC 于点F ，交O (1)求证：AF DF =．(2)若55,sin 25AF ABD =∠=，求(1)求证：PC 为O 的切线；(2)延长PC 与AB 的延长线交于点(3)若308CAB OD ∠=︒=，30．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，过点E 作ED AC ⊥于点D (1)求证：PE 是O 的切线；(2)若1sin ,43P BP ∠==，求CD 的长．(1)如图1，连接,OA CA ，若OA BD ⊥，求证；CA 平分BCD ∠；(2)如图2，E 为O 内一点，满足,AE BC CE AB ⊥⊥，若BD =32．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A 、B 、的大小为__________度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，O 是等边三角形ABC A 、C 重合），连结PA 、PB 、PC ．求证：PB PA PC =+．小明发现，延长BE ，通过证明PBC EBA ≌△△，可推得PBE 是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE 四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠︒．180BAP BAE ∠+∠︒ ，∠；(1)求证：BC平分DCF(2)G为 AD上一点，连接CG交AB于点H，若(1)求证：MH CH AH BH ⋅=⋅．(2)求证： AC BC=．(3)在⊙O 中，沿弦ND 所在的直线作劣弧NG 的长．35．（2023·广东·统考中考真题）综合探究如图1，在矩形ABCD 中(AB >BD 于点E ，连接CA '．(1)求证：AA CA '⊥'；(2)以点O 为圆心，OE 为半径作圆．①如图2，O 与CD 相切，求证：3AA CA '='；②如图3，O 与CA '相切，1AD =，求O 的面积．36．（2023·山东·统考中考真题）如图，AB 为O 的直径，C 是圆上一点，D 是 BC 的中点，弦DE AB ⊥，垂足为点F ．(1)求证：BC DE =；(2)P 是»AE 上一点，6,2AC BF ==，求tan BPC ∠；(3)在（2）的条件下，当CP 是ACB ∠的平分线时，求CP 的长．37．（2023·山东·统考中考真题）如图，已知AB 是O 的直径，CD CB =，BE 切O 于点B ，过点C 作CF OE ⊥交BE 于点F ，若2EF BF =．(1)如图1，连接BD ，求证：ADB OBE △≌△；(2)如图2，N 是AD 上一点，在AB 上取一点M ，使60MCN ∠=︒，连接MN ．请问：三条线段MN BM DN ，，有怎样的数量关系？并证明你的结论．(1)若1BE =，求GE 的长．(2)求证：2BC BG BO =⋅．(3)若FO FG =，猜想CAD ∠39．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图43AB PB ==，．(1)填空：PBA ∠的度数是_________，PA 的长为_________(2)求ABC 的面积；(3)如图2，CD AB ⊥，垂足为D ．E 是 AC 上一点，AE 点,F G ，求EF FG的值．(1)求证：:ABF ACF S S AB =△△(2)求证：::AB AC BF CF =(3)求证：2AF AB AC =⋅-(4)猜想：线段,,DF DE DA 41．（2023·浙江台州·统考中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，圆上两点（不与点A 重合，且在直径(1)如图1，当6AB =，BP的长为π时，求BC 的长．(2)如图2，当34AQ AB =， BP PQ =时，求BC CD的值．(3)如图3，当6sin 4BAQ ∠=，BC CD =时，连接BP ，PQ ，直接写出(1)求CE的长和y关于x的函数表达式．(2)当PH PN<，且长度分别等于PH，PN，a的三条线段组成的三角形与(3)延长PN交半圆O于点Q，当1534NQ x=-时，求43．（2023·新疆·统考中考真题）如图，AB是O的直径，点接AF，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点D交AC于点H．(1)求证：CE是O的切线；(2)若tan34E=，BE=44．（2023·云南·统考中考真题）如图，BC 是O 的直径，A 是O 上异于B C 、的点．O 外的点E 在射线CB 上，直线EA 与CD 垂直，垂足为D ，且DA AC DC AB ⋅=⋅．设ABE 的面积为1,S ACD 的面积为2S ．(1)判断直线EA 与O 的位置关系，并证明你的结论；(2)若21,BC BE S mS ==，求常数m 的值．45．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图1，锐角ABC 内接于O ，D 为BC 的中点，连接AD 并延长交O 于点E ，连接,BE CE ，过C 作AC 的垂线交AE 于点F ，点G 在AD 上，连接,BG CG ，若BC 平分EBG ∠且BCG AFC ∠=∠．(1)求BGC ∠的度数．(2)①求证：AF BC =．②若AG DF =，求tan GBC ∠的值，(3)如图2，当点O 恰好在BG 上且1OG =时，求AC 的长．(1)求证：MN 是O 的切线；(2)求证：2AD AB CN =⋅(3)当6AB =，sin DCA ∠47．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，以E 是BC 的中点，连接(1)求证：DE 是O 的切线．(2)若4sin ,55C DE ==，求(3)求证：22DE CD OE =⋅(1)在图1中用尺规作出弦CD 与点H （不写作法，保留作图痕迹）(2)连结AD ，猜想，当弦AB 的长度发生变化时，线段变，求出AD 的长度；(3)如图2，延长AH 至点F ，使得HF AH =为AP 的中点，连结HM ，若12PD AD =．求证：49．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在 直径CE 交AB 于点F ，连结AD 交CF 于点(1)求证：AD HC ∥；(2)若2OG GC=，求tan FAG ∠的值；(3)连结BC 交AD 于点N ，若O 的半径为①若52OF =，求BC 的长；②若10AH =，求ANB 的周长；③若88HF AB ⋅=，求BHC △的面积．的切线；(1)求证：CD是O=；(2)求证：EM EN(3)如果N是CM的中点，且AB。