巧思妙解高考数学题
高考数学复习点拨巧构造妙解题
指数函数的单调性是指数函数的重要性质， 灵活应用此性质可以解决一些与之相关的问 题，使一些看似复杂的问题， 通过构造指数函数轻松获解． 那么在具体问题中应如何构造函 数呢？下面结合几例加以剖析．
一、确定代数式的符号
例 1 已知 x， y R ，3x 3y 3 x 3 y ，判断 x y 的符号．
c 1．
a
a
x
x
因为 f ( x) b
c 在 R 上是单调递减函数，
a
a
用心 爱心 专心
bc
所以若 m 1，则 f (1)
1，即 b c a ，显然不能构成三角形；
aa
若 m 1，则 f (m) f (1) ，
m
m
b 又 f (m)
c
1， f (1)
b
c
，
a
a
a
因此 b c a ，故能构成三角形；
5a
a 的取值范围．
x
x
解：据方程有负实根，并注意到 y 3 是单调递减的，从而得到
3
1，
4
4
于是问题就变为解不等式
评析： 本题构造函数 y
3a 2
3
1 ，可知 a 5 ．
5a
4
x
3
是关键，利用函数与方程的关系使问题得以顺利解决．
4
三、判断几何图形形状
例３ 已知 a，b，c， m 都是正数，且 am bm cm ，
m
c
1，
a
用心 爱心 专心
求当 m 取何值时，长分别为 a， b，c 的三条线段能构成三角形？
解：由于 am bm cm ，且 a，b，c， m 都是正数，
高考数学巧学巧解大全
最新高中数学巧学巧解大全高中数学活题巧解方法总论 一、代入法若动点),(y x P 依赖于另一动点),(00y x Q 而运动，而Q 点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式)(0x f x =，)(0x g y =，于是将这个Q 点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得P 点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。
【例1】（2009年高考广东卷）已知曲线C ：2x y =与直线l ：02=+-y x 交于两点),(A A y x A 和),(B B y x B ，且B A x x <，记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D .设点),(t s P 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合.若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；【巧解】联立2x y =与2+=x y 得2,1=-=B A x x ，则AB 中点)25,21(Q ，设线段PQ 的中点M 坐标为),(y x ，则225,221t y s x +=+=， 即252,212-=-=y t x s ，又点P 在曲线C 上，∴2)212(252-=-x y 化简可得8112+-=x x y ，又点P 是L 上的任一点，且不与点A 和点B 重合，则22121<-<-x ，即4541<<-x ，∴中点M 的轨迹方程为8112+-=x x y （4541<<-x ）.【例2】（2008年，江西卷）设),(00y x P 在直线m x =)10,(<<±≠m m y 上，过点P 作双曲线122=-y x 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，定点M )0,(1。
过点A 作直线0=-y x 的垂线，垂足为N ，试求AMN ∆的重心G 所在的曲线方程。
【巧解】设1122(,),(,)A x y B x y ，由已知得到120y y ≠，且22111x y -=，22221x y -=，（1）垂线AN 的方程为：11y y x x -=-+， 由110y y x x x y -=-+⎧⎨-=⎩得垂足1111(,)22x y x y N ++，设重心(,)G x y所以11111111()321(0)32x y x x m x y y y +⎧=++⎪⎪⎨+⎪=++⎪⎩解得1139341934x y m x y x m y ⎧--⎪=⎪⎪⎨⎪-+⎪=⎪⎩由22111x y -= 可得11(33)(33)2x y x y m m--+-=即2212()39x y m --=为重心G 所在曲线方程 巧练一：（2005年，江西卷）如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.，求△APB 的重心G 的轨迹方程.巧练二：（2006年，全国I 卷）在平面直角坐标系xOy 中，有一个以)3,0(1-F 和)3,0(2F 为焦点、离心率为23的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P处的切线与x 、y 轴的交点分别为A 、B ，且向量OB OA OM +=，求点M 的轨迹方程二、直接法直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法。
高中数学试题巧思妙解：解析几何
高中数学试题巧思妙解：解析几何下面仅对解析几何部分试题提出一些巧妙的解法，供参考。
1．（福建卷）双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F1、F2,若P 为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞妙解： 设2PF m=，则12PF m=，所以2m a =。
又因为2PF c a≥-，所以3e ≤。
应选B 。
反思：“回到定义”是一种重要的解题手段，再巧妙利用“双曲线右支上的点中，右顶点到右焦点距离最小，为c a -”这一结论。
事实证明，熟记一些常用的小结论，对解答选择（填空）题非常有帮助。
进一步思考，满足122PF PF =的动点P 的轨迹为圆（阿罗尼圆），所以只需此圆与双曲线有公共点即可，但依此思路会陷入繁杂的运算中。
2．（江西卷） 已知12F F 、是椭圆的两个焦点．满足1MF ·2MF ＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A ．(0，1)B ．(0，21] C ．(0，22) D ．[22，1)妙解：等价于以线段12F F 为直径的圆在椭圆内部，必有c b <，因此离心率(0,2e ∈。
应选C 。
反思：避免大量运算，是解决此题的原则；结合图形，不断将问题转化是解决此题的关键。
椭圆上是否存在点与两焦点连线互相垂直，是高考中经常涉及到的的一个问题。
本题属于陈题翻新，有一定的新意。
3．（四川卷）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且||2||AK AF =，则△AFK 的面积为（A ）4 （B ）8（C ）16（D ）32妙解：自点A 作准线的垂线，垂足为M 。
则AF AM=，那么||2||AK AM =，所以AMK∆为等腰直角三角形，进一步知道AFK ∆也为等腰直角三角形。
所以△AFK 的面积为8。
应选B 。
巧用数形结合思想,妙解高考数学客观题
巧用数形结合思想，妙解高考数学客观题
高考数学客观题通常都是由简单的公式、定义、定理等基础知识组合而成，因此，在解答这类问题时，巧用数形结合思想可以让解题更加简单、直观。
以下是一些例子：
1. 长方形的对角线长度
在高考数学中，有一类问题涉及到长方形的对角线长度，常常需要使用勾股定理。
然而，如果我们将长方形对角线看作一个直角三角形的斜边，其它两条边是长方形的边长，那么就可以用勾股定理来快速求解。
2. 判定正方形的方法
题目中要求判断一个图形是否是正方形，我们通常可以通过对角线长度相等或各角度相等来判断。
但是，我们也可以利用正方形的特性，即边长相等、对角线相等、每个角都是直角，来简单地画出一个正方形。
3. 推导圆的相关公式
在高考数学中，圆的面积、周长、弧长等相关公式是十分重要的，如果需要记忆这些公式，我们可以从数形结合的角度出发进行推导。
例如，我们可以想象一个半径为r的圆，将其等分成n份，则每份所对应的圆心角度数是360°/n，由此得到了圆弧的长度公式。
同样的，我们可以画出一个边长为a的正方形，将其内切于一个半径为r的圆，推导出圆的面积公式。
总之，数形结合思想可以让我们更加深入地理解数学知识，并且在解题时能够增加直观性和易理解性，帮助我们更好地应对高考数学客观题。
巧借三角函数定义妙解2024年高考题
巧用三角函数定义，妙解2024年高考题近年来，高考数学的题目越来越注重考查学生的综合运用能力和创新思维。
其中，三角函数作为高中数学的重要知识点，常常出现在高考试题中。
本文将通过巧用三角函数定义，妙解2024年高考题。
`x−1/3=y−1/4=z`(1)证明：AD⊥AE且DG⊥GF.(2)求证：∠DGF不是直角。
(3)设∠DGF=α，求平面DGF与平面ABC的夹角。
首先，我们需要利用三角函数的定义来解决这道题目。
对于一般的三角形ABC，我们可以利用向量AB和向量AC的点乘来求解夹角BAC的余弦值，然后通过反余弦函数求解夹角BAC的角度值。
(1)首先，我们可以通过坐标点A(1,3,1)和直线l的方程来求解线段AD和AE的方向向量。
分别计算得到：向量AD=(1-1,3-1/4,1-1/3)=(0,3/4,2/3)向量AE=(1-1,1-1/4,1-1/3)=(0,-1/4,-2/3)然后，我们可以通过计算这两个方向向量的点乘来判断它们是否垂直。
即：AD·AE=0*0+(3/4)*(-1/4)+(2/3)*(-2/3)=0由于AD和AE的点乘等于0，所以可以证明AD⊥AE。
同样的方法，我们可以计算线段DG和GF的方向向量，并判断它们是否垂直。
结果证明也成立。
(2)我们需要求解∠DGF的角度值。
根据题目已知条件，我们可以通过向量DG和向量GF的点乘来计算它们的夹角余弦值。
向量DG和向量GF 的计算结果分别为：向量DG=(4-1,-1/4-3,-2/3-1)=(3,-17/4,-5/3)向量GF=(4-1,1-3/4,1-2/3)=(3,5/4,1/3)接下来，我们计算两个向量的点乘，并通过反余弦函数求夹角DGF的角度值。
计算得到：DG·GF=3*3+(-17/4)*(5/4)+(-5/3)*(1/3)=46/8=23/4cos∠DGF = (DG·GF)/(，DG，*，GF，) ≈ (23/4)/(，(3, -17/4, -5/3)，*，(3, 5/4, 1/3)，)因为夹角DGF的余弦值不等于0，所以可以证明∠DGF不是直角。
高考数学填空题巧思妙填一点通试题
卜人入州八九几市潮王学校2021年高考数学填空题巧思妙填一点通填空题是数学高考的三种基此题型之一，其求解方法分为：直接运算推理法、赋值计算法、规律发现法、特值猜想法、数形互助法等等.在解答问题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完好.合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的根本要求，在草纸上少写一点，在头脑里多考虑一点，这可能会加快解的速度.下面将按知识分类加以例说.1. 函数、不等式与导数例1〔2021年春季高考题〕函数]1,0[,53)(∈+=x x x f 的反函数=-)(1x f．点通：由35,[0,1]y x x =+∈，得[]5,8y ∈．解出15,33x y =-，从而115()33f x x -=-，[]5,8.x ∈从而应填[]8,5),5(31∈-x x .说明：原函数的值域是反函数的定义域．求反函数的程序为：先求原函数的值域，再反解．例2 〔2021年春季高考题〕不等式0121>+-x x的解集是． 点通：不等式0121>+-x x 等价于()()1210x x -+>，也就是()1102x x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，所以112x -<<，从而应填11,2x x x R ⎧⎫-<<∈⎨⎬⎩⎭． 说明：快速解答此题需要记住小结论：应用小结论：00aab b>⇔>． 例3 〔2021年春季高考题〕直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O为坐标原点，那么三角形OAB 面积的最小值为．点通：设直线l 为()10,0x y a b a b +=>>，那么有关系211a b+=．对211a b +=应用２元均值不等式，得211a b =+≥=8ab ≥．于是，三角形OAB 面积为142S ab =≥．从而应填４．说明：也可由211a b+=，得28ab a b ab =+≥⇒≥．特别注意，不等式中的等号是可以成立的．例4 〔2021年高考试题〕a ,b 为常数，假设22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++那么5a b -=.点通：由f(x)=x 2+4x+3,f(ax+b)=x 2+10x+24,得〔ax+b 〕2+4(ax+b)+3=x 2+10x+24,即a 2x 2+2abx+b 2+4ax+4b+3=x 2+10x+24,比较系数，得221,2410,4324.a ab a b b ⎧=⎪+=⎨⎪++=⎩解得1,7ab =-=-，或者1,3a b ==，所以52a b -=．说明：此题考察了复合函数解析式的运用，待定系数法及其相关的计算．例5假设函数3()3f x x x a =--在区间[0,3]上的最大值和最小值之差为_______．点通：显然有2()33f x x '=-．易知当1x =时，函数()f x 获得最小值2a --；当3x =时，函数()f x 取最大值18a -，后者与前者的差为20．说明：三次函数是高考的一个热门话题．连续函数在闭区间上必有最大值和最小值．2. 三角、向量与复数例６4sin 5θ=，且sin cos 1θθ->，那么sin 2θ=________. 点通：由4sin 5θ=可以读出3cos 5θ=±．而有条件sin cos 1θθ->，所以知道3cos 5θ=-，24sin 22sin cos 25θθθ==-.说明：记住一些常用的结论，有时可以快速解答问题，如：当5sin 13θ=时，12cos 13θ=±．看看上面的＂读出＂，“取舍〞，“用公式〞，想想解题思维的流程，会有什么启发？例7复数2lg(2)(331)()x x zx i x R -=+-+-∈在复平面内对应的点位于第______象限．点通：显然有2lg(3)lg30,x +>>而由222x x -+≥=，知道(221)0x x --+-<．说明：在解答当中，222xx -+≥你能直接看出来吗？复数在高考中是一个淡化的知识点，一般命制一道选择题或者填空题．例８22ππθ-<<，且sin cos ,a θθ+=其中()0,1a ∈，那么关于tan θ的值，在以下四个数值：①3-②13③13-④15-其中，a 的值可以是________． 点通：由题意知02πθ-<<，从而tan 0θ<.此时有即有1tan 0,θ-<<于是，排除①和②，应该填③，④．说明：应用范围估计，有时可以巧妙的解答一些选择或者填空题．试问：你有这样的解题经历吗？知识积累〔量的增加〕的过程也就是才能逐渐提升〔质的变化〕的过程．例９如图，设点O 在ABC ∆内部，且有02=++OC OB OA ，那么ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为________． 点通：由条件得知1()2OBOA OC =-+，所以点O 是AC 边上的中线的中点，于是，那么ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比为2．说明：我们知道，等底等高的三角形，其面积相等；一共底三角形的面积之比，等于该底上对应高的比．3. 数列、排列组合、二项式定理与概率统计例10{}n a 是公差不为零的等差数列，假设n S 是{}n a 的前n 项和，那么._____lim=∞→nnn S na点通：特别取n a n =，有()21+=n n S n ，于是有CB().211212lim lim lim 2=+=+=∞→∞→∞→nn n n S na n n n n n 故应填2.说明：有时，选择特殊的数值、函数、数列、图形等，可快速解答某写填空题，这点应引起读者的重视．例11〔2021年高考题〕假设常数b 满足|b|>1，那么=++++-∞→n n n bb b b 121lim . 点通：一般解答：=++++-∞→nn n b b b b 121lim 11111lim lim lim (1)1nn n n n n n n n b b b b b b b b b →∞→∞→∞----==--=11b -．简便解答：2211111limlim nn nn n b b b b b b b -→∞→∞⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11111b b b==--． 说明：比较两个解答，你能想到什么？看来，活学活用是应时时提倡的．例12〔2021年高考试题〕用１、２、３、４、５、６、７、８组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，３与４相邻，５与６相邻，而７与８不．相邻，这样的八位数一共有___________个．〔用数字答题〕点通：将１与２，３与４，５与６捆绑在一起排成一列有482333=⋅A 种，再将７、８插入4个空位中的两个有1224=A 种，故有5761248=⨯种．说明：相邻用捆绑法，不相邻用插空法．例13二项展开式12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的各项系数的绝对值之和为７２９，那么展开式中的常数项是．点通：二项展开式12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的各项系数的绝对值之和就是12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和，取1x =，得()213nn+=，那么有637293n ==，所以6n =．于是612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为66621661(2)()2(1)r r r r rr r r T C x C x x---+=-=-．令620r-=，得3r =．所以常数项为33362(1)160C -=-． 说明：只要细心计算，就不难得出正确之答案．当中的转化你能想的到吗？请多考虑，多体会．例14如图是一个边长为4的正方形及其内切圆，假设随机向正方形内丢一粒豆子，那么豆子落入圆内的概率是________．点通：因为正方形的面积是１６，内切圆的面积是4π，所以豆子落入圆内的概率是4164ππ=．说明：概率是高中的新知识，学习时应当紧扣课本的概念，透彻地理解概念的本质，这样就能快速解答问题．4.立体几何 例15三棱柱'''ABC A B C -的体积为１，P 为侧棱1B B 上的一点，那么四棱锥''P ACC A -的体积为____________．点通：设点P 到面ABC ，面'''A B C 的间隔分别为12,h h ，那么棱柱的高为12hh h =+，又记'''ABCA B C S SS==，那么三棱柱的体积为1V sh ==．而从三棱柱中取去四棱锥''P ACC A -的剩余体积为''''12121111()3333P ABC P A B C V V V sh sh s h h --=+=+=+=，从而''/121.33P ACC AV V V -=-=-=说明：立几试题的解答常用到几何体的割与补法，这种分与合思想需要我们反复的琢磨和体味．例16正三棱锥P －ABC 的底面边长为1，E 、F 、G 、H 分别是PA 、AC 、BC 、PB 的中点，四边形EFGH 的面积为S ，那么S 的取值范围是．点通：由题意可知AB PC ⊥，因此四边形EFGH 为矩形．设正三棱锥的侧棱4221,xx S x PA =⋅==则，设P 在平面上的射影为O ，连AO ，那么中，在ABC Rt AO ∆=,33AO PA >，从而123,33>>S x 即．故应填,12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭． 说明：显然，点P 到平面ABC 的间隔可以无限大，这时S 也可以无限大．该问题可以在课本上找到它的影子，你知道吗？数学学习请别远离课本，因为有些考题的生长点就在课本上的． ５．解析几何例17如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB ⊥AB 时，，此类椭圆被称为“黄金椭圆〞．类比黄金椭圆， 可推算出“黄金双曲线〞的离心率e 等于_____________．点通：猜想出“黄金双曲线〞的离心率e 等于215+．事实上 对直角ABF 应用勾股定理，得222AF BF AB=+，即有()()()22222a c b c a b +=+++，注意到222,c bc a e a=-=，变形得210e e --=，从而1.2e = 说明：类比推理、类比发现是今年高考的一个新的亮点．这种问题的情景比较清新，构造比较巧妙，变化比较合理，是用＂活题＂考才能的典范．例18〔2021年高考试题〕连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是〔填写上所有正确选项的序号〕． ①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形④平行四边形⑤有一组对角相等的四边形点通：①菱形不可能．假设这个四边形是菱形，那么菱形的一条对角线垂直抛物线的对称轴，这时四xPABCEFGH边形的必有一个顶点在抛物线的对称轴上(非抛物线的顶点)；④平行四边形也不可能．因为抛物上四个点组成的四边形最多有一组对边平行．故连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是②③⑤．说明：针对②③⑤，你能构造出详细的图形吗？ 6．综合创新题例19有些计算机对表达式的运算处理过程实行“后缀表达式〞：运算符号紧跟在运算对象的后面，按照从左到右的顺序运算，如表达式7)2(3+-⨯x ，其运算为：+-,7,*,,2,,3x ，假设计算机进展运算：lg ,*,,2,,-x x ，那么使此表达式有意义的x 的范围为_____________．点通：计算机进展运算：lg ,*,,2,,-x x 时，它表示的表达式是()lg 2x x -，当其有意义时，得()20x x ->，解得02x x <>或．说明：解答问题的关键是：仔细地阅读问题，深入的理解题意，在此根底上，准确的写出所叙运算的表示式．例20某种汽车平安行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e－λt，其中μ0、λ是正常数．经检测，当t ＝2时，μμ0μ0时，该种汽车的使用年数为(结果准确到1，参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)．点通：μ0＝μ0(e－λ)2，得e －λ＝，于是μ0＝μ0(e －λ)t ⇒()t ，两边取常用对数，lg ， 解出t ＝＝1．说明：对一个等式的两边取对数，平方，取倒数，移项，等等细小的技巧我们可要熟滥于心呀．这种细节有时可能是解题思维受阻的关节所在．难怪说：成在细节，败也在细节．例21在某电视歌曲大奖赛中，最有六位选手争夺一个特别奖，观众A ，B ，C ，D 猜想如下：A 说：获奖的不是1号就是2号；A 说：获奖的不可能是3号；C 说：4号、5号、6号都不可能获奖；D 说：获奖的是4号、5号、6号中的一个．比赛结果说明，四个人中恰好有一个人猜对，那么猜对者一定是观众获特别奖的是号选手．点通：推理如下：因为只有一人猜对，而C 与D 互相否认，故C 、D 中一人猜对。
高考数学解题破题三十六计
此我们认识到“芝麻开门，点到成功”在使用对象上的真正意义
.
●对应训练
x2 1．如图把椭圆 25
y2 1
16 的长轴 AB 分成 8 份，过每个分点作
x 轴的
垂线交椭圆的上半部分于 P1， P2，…， P7 七个点， F 是椭圆的一个焦
点，则 |P1F|+|P2F|+…… +|P7F|=_______.
2 (n 1)n
2
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［法 2］ 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即
111
an
3C
0 2
4C
1 3
5
C
2 4
1
nC
n n
3 1
1
(n
1)C
n n
2
根据第一问所推出的结论只需在原式
1
基础上增加一项
(n
1)C
n n
1
，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给
顶点 . 因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何
一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出
x = r+1.
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1
第 2 道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项
3.
［解Ⅱ］ 在三角形中先找到了数列首项
1
an
3 ，并将和数列
1 3
1 12
1 30
1 60
高考数学解题破题 36 计
第 1 计 芝麻开门 点到成功
●计名释义
七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点
. 《阿里巴巴》用“芝麻开门” ，
巧思妙解2011年高考数学题
巧思妙解2011年高考数学题（江苏卷）杨洪林1.（题18）如图，在平面直角坐标系x O y中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限.过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；（2）当k= 2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k ＞0，求证：PA⊥PB.【参考答案】（1）…….（2）…….（3）解法一将直线PA的方程y= kx代入，解得x=±.记μ=，则P（μ,μk）, A（-μ, -μk）,于是C（μ,0）.故直线AB的斜率为=，其方程为.代入椭圆方程得（2 + k2）x2 -2μk2x–μ2（3k2 + 2）= 0, 解得x =或x = - μ .因此B（, ），于是直线PB的斜率k1 === -.因此k1 k= - 1，所以PA ⊥ PB.解法二设P（x1, y1）,B（x2, y2）,则x1＞0, x2＞0, x1≠x2，A（-x1,-y1）,C（x1,0）.设直线PB、AB的斜率分别为k1、k2，因为C在AB上，所以k2 ===.从而k1k+1=2k1k2+1 = 2··+ 1 =+ 1= = = 0. 因此k1k = - 1，所以PA ⊥ PB.·巧思·①利用三角形中位线定理，便知OD∥PB（D为AB的中点），“证明PA ⊥PB”就转化为“证明OA ⊥OD”。
②将点A、B的坐标设为对称式（关于中点D对称），便得两个对称的等式，从而又得一个简单的关系式。
③利用所得的简单关系式和A、B、C三点共线的条件（k= k BC），必可得到k OA·k OD = -1AB（条件都已用到）。
·妙解·设AB的中点D（a,b），A（a+ m,b+ n），B（a - m,b - n），则C（-a -m,0），OD ∥PB.且（a + m）2 + 2（b + n）2= 4 =（a - m）2 +2（b - n）2am + 2bn = 0.k PA = = 2 k AC = 2 k AB = = - = - = -PA⊥PB.【评注】①“对称美”是数学美之一，设立“对称式”求解问题也是数学研究中经常采用的手法之一。
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巧思妙解高考数学题[转载]1.（Ⅰ卷，文21）已知函数.（1）证明：曲线y= f（x）在x = 0处的切线过点（2，2）；（2）若f（x）在x = x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a的取值范围.【参考答案】（1）.由得曲线y= f（x）在x = 0处的切线方程为.由此可知曲线y= f（x）在x= 0处的切线过点（2，2）.（2）由得①当 --1≤ a ≤-1时，没有极小值；②当或时，由得故x0 =x2 .由题设知，当时，不等式无解；当时，解不等式得.综合①②得的取值范围是.·巧思·①（1）中，利用“k切= k PQ”（P、Q为定点、切点），根据“两点决定一条直线”，可以避免求出切线方程，而“直截了当”地证明。
②（2）中，利用三次函数的中心对称性，先将f（x）化为“中心式”，求出对称中心（- a，c）；再利用x 3系数为正的三次函数的极大值点和极小值点分别在“中心点”的左、右，便得x0 ＞- a。
③将方程f ’（x0）= 0中含x0的项配平方，得到（x0+ a）2，“0＜x0+ a＜3 + a”便就有了作用；再将含a的项合并，得到2a（1-x0），“x0＞1”也就有了作用……如此，可避免解方程和分类讨论。
·妙解·（1）设P（2，2），切点Q（0，12a- 4）.k切= 3 - 6a = k PQ切线PQ.（2）f（x）可化为（x + a）3 + b（x + a）+c曲线y = f（x）关于点（- a，c）对称x0＞- a.题设f’（x0）=3（x02 + 2ax0+1 - 2a）= 00＜（x0+ a）2= a2 + 2a -1＜(3 + a）2，且2a（1- x0）= x02 + 1＞0（x0＞1）a＜0a∈（-2.5，--1）即为所求.【评注】①（1）中，证明过一已知点、斜率也已知的直线必过另一定点，不等于一定要先求出直线方程、再将坐标代入检验；解题要做到“能省则省”、能不“绕弯子”则尽量不“绕弯子”。
②（2）的求解过程，体现了命题的本意：为何函数式中x2的系数用3a而不用a？为何条件是“x0∈（1，3）”而不是“x0∈（0，3）”或“x0∈（2，3）”等？可谓“首尾呼应”、“问答相称”。
③二次函数的图像（抛物线）是轴对称图形，三次函数的图像（S形线）是中心对称图形；前者的定义域分为两个单调区间，后者的定义域为一个单调区间或分为三个单调区间；教师可补充介绍后者的性质。
2.（Ⅰ卷，理21、文22）已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为 -的直线与C交于A、B两点，点P满足.(1)证明：点P在C上；（2）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.【参考答案】(1)F（0，1），的方程为，代入并化简得.设，则由题意得所以点的坐标为.经验证点的坐标满足方程，故点在椭圆上.(2)由和题设知，，的垂直平分线的方程为.①设的中点为，则，的垂直平分线的方程为.②由①、②得、的交点为.，，，，，故，又，，所以，由此知、、、四点在以为圆心，为半径的圆上.·巧思·①将A、B的坐标设为对称式（关于中点D对称），可得两个对称的等式，由此又得两个简单的关系式；再利用“k DF = k DA”所得简单的关系式，便可求出点P的坐标及其它结果。
②利用平面几何中“圆的相交弦定理”的逆定理，证明“DA·DB=DP·DQ”，可得A、P、B、Q四点共圆.如此，可避免出现直线方程和复杂的代数式，而节省许多文字、减少不少篇幅。
③将（1）、（2）合并解答，则进一步节省许多文字、减少不少篇幅。
·妙解·（1）（2）F（1，0），设AB的中点D（a，b），A（a + m，b + n），B（a-m，b - n）（abm n≠0），则2（a +m）2 +(b + n）2 = 2，2（a- m）2 + (b -n）2 = 22am + bn = 0，2（a2 + m2）+（b2+ n2）= 2 ①，且k DF == k DA = -②，P、D、Q共线. ①②（a，b）=(，)，m2 =，n2=.P(-，-1)在椭圆C上，且DA·DB= m2 + n2==3（a2 + b2）= DP·DQ A、P、B、Q四点共圆.【评注】①“对称美”是数学美之一，设立“对称式”求解问题也是数学研究中常用手法之一。
②将初中数学知识与高中数学结合运用，可以“化难为易、化繁为简、化深为浅、化神为凡”。
3.（Ⅱ卷，文20）在平面直角坐标系x O y中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x–y +a = 0交于A，B两点，且，求a的值.【参考答案】（1）曲线与坐标轴的交点为（0，1），（3±2， 0）.故可设圆的圆心坐标为（3，t），则有32 +（t -1）2 =（2）2+ t 2.解得t=1，则圆的半径为= 3，所以圆的方程为（x-3）2 +（y -1）2 = 9.（2）设A（x1，y1）B（x2y2）其坐标满足方程组.消去y得到方程2x2 +（2a - 8）x + a2-2a + 1 = 0，由已知可得判别式△=56 - 16a - 4a2＞0.由韦达定理可得x1+x2 = 4 - a，x1x2= ，①由可得x1x2 + y1y2= 0，又y1 = x1 + a，y2 =x2 + a，所以2x1x2 + a（x1 + x2 ）+ a2 = 0，②由①②可得a = -1，满足△＞0，故a = -1.·巧思·①（1）中，利用“圆的切割线定理”的逆定理，便知y轴与圆相切，则圆心和半径立得。
②（2）中，将坐标轴平移，使圆心成为原点，则方程比较简单、运算比较方便。
③将点A、B的坐标设为对称式（关于中点对称并利用直线斜率为1的条件），可得两个对称的等式，由此又得两个简单的关系式，从而进一步方便了运算、缩减了过程。
·妙解·（1）曲线与坐标轴交于D（1，0），E（m，0），F（n，0）m +n= 6，mn =1OD2 = O E·OF切线OD圆心（3，1），半径r =3C：（x-3）2+（y -1）2= 9.（2）平移坐标轴，使C成为原点，则O（-3，-1），C：x2+ y 2= 9，直线：x–y+ 2+ a = 0.可设A（b + d，c+ d），B（b - d，c - d）（b + d）2+（c + d）2= 9，（b - d）2+（c- d）2= 9b2+ c2 +2d 2= 9 ①， b + c = 0 ②.（b+ d+3）（b–d +3）+（c+ d + 1）（c- d +1）= 0 ③.①②③2b = -1 a =（c +d）-（b +d）-2 = -2b -2 = - 1.【评注】①（1）中，平面几何知识的运用，使得解题的步骤“顺流直下”、“势如破竹”、“一气呵成”。
②（2）中，坐标轴的平移运动，使得圆的方程变为标准式而利于运算，其手法可广泛运用。
③关于中点（中间值）对称的式子的采用，使得一些相反的量可以抵消，其方法可以推广。
4.（Ⅱ卷，理20）在平面直角坐标系x O y中，已知点A(0，-1)，B点在直线y = -3上，M点满足∥，·=·，M点的轨迹为曲线C.（1）求C的方程；（2）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值.【参考答案】（1）设M(x，y)，由已知得B(x，-3)，A(0，-1).所以=（-x，-1-y），=(0，-3-y)，=(x，-2).再由题意可知（+）·= 0，即（-x， - 4 -2y）?(x， -2) = 0.所以曲线C的方程式为y=x-2.（2）设P(x，y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x，所以的斜率为x.因此l为，即.则O点到的距离.又，所以当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.·巧思·①（1）中，利用平面几何中“线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，得出“MA =MB”后，再利用抛物线的定义，便得曲线C的方程；如此，可以避免出现点和向量的坐标，而节省文字和篇幅。
②（2）中利用“O到l的距离最小时，OP ⊥l”，可以避免出现直线l的方程和繁分式，而节省文字和篇幅。
·妙解·（1）设AB的中点为D，题设（+）·= 2·= 0MD⊥ABMA = MBC是以点A为焦点、以直线y= -3为准线的抛物线：x2 = 4（y + 2）.（2）题设O到l的距离最小时，OP ⊥l题意OP ⊥l时，求d= OP的最小值.设P（x，y） d 2= x2+ y2 = 4（y + 2）+ y2=（y + 2）2+ 4≥4d min = 2.（此时P（0，-2），l：y =-2）【评注】①（1）的解答的启发：利用定义（图形的定义、关系的定义等）解题虽然是常用方法，但有时给出的条件并非明显的“定义式”，这就需要将条件进行转化，使之符合某个定义。
②（2）的解答进一步展现了“转化”的思想：条件可以转化，结论可以转化，问题可以转化……可以单独转化，可以同时转化……转化为简单的式子、简单的情况、简单的要求……5.（Ⅱ卷，理21）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求、的值；（2）如果当x＞0，且时，，求的取值范围.【参考答案】（1）……a=1，b=1.（2）由（1）知，f（x）=+，所以.考虑函数，则.①设k≤0，由知，当时，，h(x)递减.而，故当时，，可得；当x∈（1，+）时，h（x）＜0，可得h（x）＞ 0.从而当x＞0，且x1时，f（x）-（+）＞0，即f（x）＞+.②设0＜k＜1.由于=的图像开口向下，且，对称轴x =.当x∈（1，）时，（k-1）（x2 +1）+ 2x＞0，故(x）＞0，而h（1）= 0，故当x∈（1，）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾.③设k≥1.此时x2+1≥2x，(x）＞0，而h（1）= 0，故当x∈（1，+）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾.综合得，k的取值范围为（-，0].·巧思·①由于，故可考虑x→1时的极限：f（x）→1，→1（此处需要运用型极限的“罗必塔法则”），于是应有f（x）＞，亦即“f（x）-＞0”，因此问题便转化为证明这个不含k的不等式成立（若成立，则k≤0），从而避免了对k的取值情况的分类讨论。
②将“f（x）-”中含有ln x的两个式子“合二而一”，并使分子与分母“分离”，则所得函数的导函数易求且简单，从而进一步节省了文字、减少了篇幅。