第二十七单元电介质和电容器

第二十七单元 电介质和电容器
[课本内容] 马文蔚，第四版，上册 [6]-[40] [典型例题]
例27-1．A 、B 、C 是三块平行金属板，面积均为200cm 2，A 、B 相距4.0mm ，A 、C 相距2.0mm ，B 、C 两板都接地(如图) ，设A 板带正电3.0×10-7C ，不计边缘效应
(1) 求B 板和C 板上的感应电荷，以及A 板的电势。

(2)若在A 、B 间充以相对介电常数εr =5的均匀电介质，再求B 板和C 板上的感应电荷，以及A 板的电势。

(1) q q q =+21 ①
E AB =
s
q 01ε，E AC =
s q 02εAC
AB
E E
q q =⇒21 ②
又 U AB =U AC 即 E AB d AB =E AC d AC
∴AB E /AC E =1/2 ③
解出 ﹣q 1=﹣1.07
10
-⨯ C ，﹣q 2=2.07
10
-⨯ C
U AB =E AB d AB =V d S q AB 34
123
701103.210
2001085.8100.4100.1⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=----ε
(2)
q q q =+21 ①
E AB =s q 011εε，E AC =s q 02ε ⇒ 25
521===AB AC AC AB r d d E E q q ε ②
解出 ﹣q 1=﹣2.14710-⨯C ， ﹣q 2=﹣0.867
10-⨯ C
V d S
q
d E U
AB
r AB AB AB
24123
70/107.910
2001085.85100.41014.2⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==
=----εε
例27-2．一平行板电容器始终与端电压一定的电源相联．当电容器两极板间为真空时，电场强度为0E ，电位移为0D
，而当两极板间充满相对介电常量为εr 的各向同性均匀电介质
时，电场强度为E
，电位移为D
，则
(A) r E E ε/0 =，0D D
=． (B)
0E E =，0D D r
ε=． (C) r E E ε/0 =，r D D ε/0 =．
(D) 0E E =，0D D
=．
［ B ］
例27-3．一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为R 1 = 2 cm ，R 2 = 5 cm ，其间充满相对介电常量为εr 的各向同性、均匀电介质．电容器接在电压U = 32 V 的电源上，(如图所示)，试求距离轴线R = 3.5 cm 处的A 点的电场强度和A 点与外筒间的电势
差．
解：设内外圆筒沿轴向单位长度上分别带有电荷+λ和-λ, 根据高斯定理可求得两 圆筒间任一点的电场强度为
r
E r εελ
02π=
则两圆筒的电势差为 1
200ln 22d d 21
2
1R R r r r E U r R R r R R εελ
εελπ=π==⎰
⎰⋅
解得
120/ln 2R R U
r εελπ=
于是可求得Ａ点的电场强度为
A E )
/l n (12R R R U
=
= 998 V/m ， 方向沿径向向外
A 点与外筒间的电势差： ⎰⎰=='2
2
d )/ln(d 12R
R R R
r r
R R U r E U R R R R U 212ln )/ln(== 12.5 V
例27-4．一圆柱形电容器，外柱的直径为4 cm ，内柱的直径可以适当选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度的大小为E 0 = 200 KV/cm ．试求该电容器可能承受的最高电压． (自然对数的底e = 2.7183)
解：设圆柱形电容器单位长度上带有电荷为λ，则电容器两极板之间的场强分布为
)2/(r E ελπ=
设电容器内外两极板半径分别为r 0，R ，则极板间电压为
⎰⎰⋅π==R r
R
r r r r E U d 2d ελ 0
ln 2r R
ελπ=
电介质中场强最大处在内柱面上，当这里场强达到E 0时电容器击穿，这时应有
002E r ελπ=
00ln
r R
E r U = 适当选择r 0的值，可使U 有极大值，即令
0)/ln(/d d 0000=-=E r R E r U
得 e R r /0=
显然有
2
2d d r U < 0， 故当
e R r /0= 时电容器可承受最高的电压 e RE U /0max = = 147 kV
练习二十七
一、选择题：
27-1．关于高斯定理，下列说法中哪一个是正确的？
(A) 高斯面内不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量D
为零．
(B) 高斯面上处处D
为零，则面内必不存在自由电荷．
(C) 高斯面的D
通量仅与面内自由电荷有关．
(D) 以上说法都不正确． ［ ］ 提示：高斯定理只表明通量与自由电荷的关系。

选C
27-2．一导体球外充满相对介电常量为εr 的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E ，则导体球面上的自由电荷面密度σ为 ［ ］ (A) ε 0 E ． (B) ε 0 ε r E ． (C) ε r E ． (D) (ε 0 ε r - ε 0)E ．
提示：根据高斯定理选B
27-3．在空气平行板电容器中，平行地插上一块各向同性均匀电介质板，如图所示．当
电容器充电后，若忽略边缘效应，则电介质中的场强E 与空气中的场强E 0相比较，应有 (A) E > E 0，两者方向相同． (B) E = E 0，两者方向相同．
(C) E < E 0，两者方向相同． (D) E < E 0，两者方向相反．
［ ］
提示：0D D =，000r E E εεε= 0E E < 选C
27-4．在一点电荷q 产生的静电场中，一块电介质如图放置，以点电荷所在处为球心作一球形闭合面S ，则对此球形闭合面： ［ ］ (A) 高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强．
(B) 高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强． (C) 由于电介质不对称分布，高斯定理不成立． (D) 即使电介质对称分布，高斯定理也不成立。

提示：题目中场强不具有对称分布的特性。

选B
27-5．在静电场中，作闭合曲面S ，若有0d =⎰⋅S S D (式中D
为电位移矢量)，则S 面内
必定
(A) 既无自由电荷，也无束缚电荷． (B) 没有自由电荷．
(C) 自由电荷和束缚电荷的代数和为零． (D) 自由电荷的代数和为零． ［ ］ 提示：选D
二、填空题
27-6．半径为R 1和R 2的两个同轴金属圆筒，其间充满着相对介电常量为εr 的均匀介质．设两筒上单位长度带有的电荷分别为+λ和-λ，则介质中离轴线的距离为r 处的电位移矢量的大小D =____________，电场强度的大小 E =____________．
提示：以同轴金属圆筒的轴线为轴线，半径r 做高为l 的圆柱面，利用高斯定理2D r
λπ=
E
02E r λ
πεε
=
27-7．一平行板电容器，两板间充满各向同性均匀电介质，已知相对介电常量为εr ．若极板上的自由电荷面密度为σ ，则介质中电位移的大小D =______ ，电场强度的大小E =____ ．
提示：D σ= 0
r E σεε=
27-8．如图所示，平行板电容器中充有各向同性均匀电介质．图中
画出两组带有箭头的线分别表示电场线、电位移线．则其中(1)为_______ 线，(2)为_______ 线． 提示：（1）为D 线，（2）为E 线
27-9．两个点电荷在真空中相距d 1 = 7 cm 时的相互作用力与在煤油中相距d 2 = 5cm 时的相互作用力相等，则煤油的相对介电常量εr =_____ ．
提示： 1.96r ε=
27-10．一平行板电容器，上极板带正电，下极板带负电，其间充满相对介电常量为εr = 2的各向同性均匀电介质，如图所示．在图上大致
画出电介质内任一点P 处自由电荷产生的场强 0E
， 束缚电荷产生的场强E ' 和总场强E
．
三、计算题
27-11. 在盖革计数器中有一直径为 2.00cm 的金属筒，在圆筒轴线上有一条直径为0.134mm 的导线. 如果在导线与圆筒之间加上850V 的电压，试分别求(1)导线表面处(2)金属圆筒内表面处的电场强度的大小。

提示：设导线电荷面密度为σ，由Gauss 定理：
2
1
11
1101211
22ln 850R R D r l r l
r r E D E E r
r r
E R
dr E r R ππσσε⋅⋅=⋅=
=
=⋅==⎰
，，
(1)(2)
27-12. 设无穷远处为电势零点。

求证在电偶极子产生的电场中任意一点的电势为
2
04r
r p U πε ⋅=，式中l q p =为电偶极子的电矩，r
为从电偶极子轴线中心到P 点的有向线段，且l r >>.
提示：0221
()4cos cos l l
q q
U r r πεθθ-=+-+=2
2204cos 4cos l q l r θπεθ
-⇒3300cos 44p r p r r r θπεπε⋅⋅=。