2019年高考数学总复习空间几何体的结构及其三视图和直观图文新人教A版
高考数学总复习导学第八篇立体几何第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图理新人教A版
一、选择题1．Jim can speak ______ English , but he can speak Chinese well .A．a little B．little C．few D．a few2．Betty ________ play chess and she plays it very ________．A．can; good B．can't; wellC．can; well D．can't; good3．Jack can play tennis ________ soccer, so you can play tennis________ soccer with him in your free time.A．and; or B．and; butC．or; so D．but; or4．Bill likes ________ but he doesn't want to be a ________ when he grows up.A．music; musician B．music; musicC．musician; music D．musician; musician5．— Can you _____ Japanese?— Yes, and I can __________ to you in Japanese.A．talk; say B．speak; sayC．speak; talk D．talk; speak6．— __________ do you want to join the singing club?— Because I like singing very much.A．Why B．When C．What D．How7．I love music, and I want to be a _____in the future.A．teacher B．student C．player D．musician8．--Do you like math_____science?--I like science.It’s my favorite subject.A．so B．and C．or D．but9．Tom can’t play the guitar ________the pi ano.A．and B．but C．or D．so10．eating vegetables is good ____our health(健康)A．at B．in C．with D．for11．He usually helps me ________ the housework.A．with B．to do C．do D．A、B and C 12．Come and ______the music clubA．to join , B．join C．joining D．joins13．— Can your sister play the piano? — _________. But she can play the guitar.A．Yes, she can B．No, she can’t C．Yes, she does D．No, she doesn’t14．My math is not good. Can you ______ me _______ it, Mike?A．help; with B．help; to C．ask; for D．ask; at15．John ________ play the guitar，but he wants to join the guitar club.A．can B．can't C．does D．don't16．I can ________.A．do Chinese kung fu B．play Chinese kung fuC．do basketball D．play the soccer17．Miss Wang teaches ________ English.A．my B．me C．they D, our18．We have no classes ________. We can play basketball with Tony.A．in the weekend B．on the weekend C．from the week D．on the week 19．—Can you ________ my English, Jim?—Sorry, I can't. Why not ask Mike for help? His English is great!A．help with B．play with C．think of D．care for20．We need him ______the classroom everydayA．clean B．to clean C．cleans D．cleaning【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【详解】句意：吉姆会说很少的英语，但是他会说汉语很好。
高考数学(文)人教A课件81空间几何体的结构及其三视图和直观图
关闭
答案
考点1
考点2
考点3
考向三 由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图
例5如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个锥体
的侧视图和俯视图,则该锥体的正视图可能是(
)
关闭
由俯视图和侧视图可知原几何体是四棱锥,底面是长方形,内侧的侧面垂
思考各视图之间的联系是什么?
直于底面,所以正视图为A.
合,C,G 在侧投影面上的投影重合,几何体在侧投影面上的投影及
把侧投影面展平后的情形如图②所示,故正确选项为 B(而不是
A).
关闭
B
①
②
-14解析
答案
知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
5.如图,已知直观图四边形A'B'C'D'是一个底角为45°,腰和上底
均为1的等腰梯形,则原平面图形的面积是(
)
A. 2+2
地去分析,多观察实物,提高空间想象能力.
2.紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据
条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系
或增加线、面等基本元素,依据题意判定.
3.通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只
要举出一个反例即可.
-19-
考点1
考点2
考点3
)
1
结合三视图中的数据可得 S△BCD=2×22=2,△1 = △1 =
1
1
2 + ( 2)2 =2 3,故此几何体
×2
2×2=2
2,
=
×2
2
×
9-1空间几何体的结构特征及其直观图、三视图-高考数学总复习·人教A版数学
※(2)平行投影的性质 当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投 影都具有下述性质： ①直线或线段的平行投影仍是直线或线段； ②平行直线的平行投影是平行或重合的直线； ③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行 且等长；
④与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形 全等；
⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的 比等于这两条线段的比，如图AM′′MB′ ′＝AMMB.
几何体的三视图、直观图考查几何体的面积、体积计算， 位置关系的判断和有关角、距离的计算等．三是通过大 题考查对空间线线、线面、面面的平行与垂直的判定与 性质定理的掌握，及有关角与距离的求法，以多面体与 旋转体为载体，结合三视图、直观图及面积、体积的计 算是命题的主要方向．
3．空间向量与立体几何(理) 高考试题中的立体几何解答题包括部分选择填空题 大多都可以使用空间向量来解答．高考在注重对立体几 何中传统知识和方法考查的同时，加大了对空间向量的 考查．给考生展观综合利用所学知识解决实际问题的才 能提供更宽阔的舞台．
③已知图形中，平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段，在 直观图中分别画成平行于 x′轴，y′轴、z′轴的线段．并 使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线 段和原坐标轴的位置关系相同．
④已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段，在直观图中 保持长度不变，平行于 y 轴或在 y 轴上的线段，长度为原 来的一半．
2．空间点、直线、平面之间的位置关系 这一部分是立体几何的核心．其中四个公理及其推论是 立几理论体系的基础，是空间中确定平面的依据，是空 间中平移变换的依据，是空间问题转化为平面问题的依 据，是作图的依据，线面的平行与垂直关系是本章的主 体内容，故高考命题一是以客观题形式考查对线线、线 面、面面位置关系的理解与掌握，难度不大．二是结合
高中数学_第一讲_空间几何体的结构、三视图、直观图课件_新人教A版必修
棱柱的顶点: 侧面与底面
的公共顶点.
（3）分类及表示 以底面多边形的边数作为分类的标
准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等. 如
观察下面的几何体，哪些是棱柱？ 例1（1）观察下面的几何体，哪些是棱柱？
练习 1. 观察下面的几何体，哪些是棱柱？
√
√
√
例1（2）.如图，长方体ABCDA'B'C'D'中被截去一部分，其中EH//A'D'. 剩下的几何体是什么?截去的几何体是 什么，你能说出它们的名称吗?
（2）有关概念及表示
轴---旋转轴 底面---垂直于轴的边旋转形成的圆 面 侧面---平行于轴的边旋转形成的曲 面 母线---无论旋转到什么位置，不垂 直于轴的边 表示---用表示轴的字母表示
棱柱圆柱统称为柱体 思考：圆柱还可以怎样形成？
4. 圆锥 讨论：圆锥如何形成？
4. 圆锥 讨论：圆锥如何形成？ （1）定义：以直角三角形的一条直角边 所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的 曲面所围成的几何体叫圆锥；
例2.判断下列几何体是不是台体，并说 明为什么。
6．球体
几何画板
O
6．球体 （1）定义：
6．球体 （1）定义：以半圆的直径所在直线为 旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何 体，叫球体.
O
（2）相关概念
半径 O
球心
思考：球还可以分类
柱体 椎体 台体
几何体分类
简单组合体的三视图
正视图 侧视图
俯视图
简单组合体的三视图
简单组合体的三视图
正视图
简单组合体的三视图
正视图 侧视图
简单组合体的三视图
正视图 侧视图
俯视图
新人教A版数学必修二《空间几何体的三视图和直观图》课件
问题2：一个三角形ABC在平行投影投影下， 得到三角形A’B’C’, 问这两个三角形是否全等？ 为什么？
小结
投影 中心投影 平行投影
1.2.2
空间几何体的三视图
三视图的形成 光线从几何体的前面向后面正投影 所得的投影图称为“正视图” 侧视图 光线从几何 体的左面向 右面正投影 所得的投影 图称为“侧 视图”
1.2 空间几何体的三视图
主要内容
1.2.1 中心投影与平行投影
1.2.2空间几何体的三视图
1.2.1
中心投影与平行投影
投影
我们知道，光线是直线传播的，由于光的照射， 在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影 子，这种现象叫做投影。 其中，我们称光线叫投影线，把留下物体的屏 幕叫做投影面
投影线 投影面
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
正视图
侧视图
圆台
俯视图
根据三视图想象它们表示的几何体的结构特征
正视图
侧视图
正四棱台 俯视图
简单组合体的三视图
知识小结
作业
P15 练习1，2，3，4 P20-21 习题1.2 1,2,3.
宽
1.一个几何体的正视图和侧视图 的高度一样，
2.正视图与俯视图的长度一样
长对正
3.侧视图与俯视图宽度一样
俯视图
举例画出三视图
正视图
侧视图
圆锥
俯视图
举例画出三视图
正视图
侧视图
正三棱锥
俯视图
举例画出三视图
正视图
侧视图
六棱柱
俯视图
举例画出三视图
根据三视图想象其表示的几何体
根据三视图想象它们表示的几何体的结构特征
中心投影
高考数学总复习 第7章 第1讲 空间几何体的结构及其三视图和直观图课件 理 新人教A版
判断下列说法是否正确 ①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱( ) ②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥( )
③侧面都是矩形的四棱柱是长方体( )
④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱 是正棱柱( )
给出下列四个命题 ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆 锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
4.会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的
基础上，尺寸、线条等没有严格要求).
1种必会方法
与直观图有关的计算、解决的方法是根据“横不变、纵折
半、平移位置不变”来寻求其数量关系，进而求解相关数据． 2个必背概念 1. 正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱住，底面是正 多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边 形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． 2. 正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正 多边形的中心的棱锥叫正棱锥．反过来，正棱锥的底面是正多 边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．
3点必须注意 1. 确定正视、俯视、侧视的方向，同一物体放置的位置不
同，所画的三视图可能不同．
2. 画三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮 挡住的部分的轮廓用虚线表示． 3. 由实物图画三视图或判断选择三视图，此时需要注意 “长对正、高平齐、宽相等”的原则.
课前自主导学
1.空间几何体的结构特征
柱
C. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱 锥 D. 棱台各侧棱的延长线交于一点
答案：D 解析： 如图，面 ABC∥ 面 A1B1C1 ，但图中的几何体每相邻 两个四边形的公共边并不都互相平行，故不是棱柱．A、B都不
正确．棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点
2019高三数学人教A版 文一轮教师用书：第7章 第1节 空
第章立体几何初步第一节空间几何体的结构及其三视图和直观图[考纲传真](教师用书独具)1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．(对应学生用书第91页)[基础知识填充]1．简单多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．2．旋转体的形成3.(1)三视图的名称几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．(2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．4．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．[知识拓展]1．底面是梯形的四棱柱，侧放后易被误认为是四棱台．2．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系如下．S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S直观图．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝90°.()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)如图7-1-1，长方体ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是()图7-1-1A．棱台B．四棱柱C．五棱柱D．简单组合体C[由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．]3．(2018·兰州模拟)如图7-1-2，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()【导学号：79170224】图7-1-2A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱B[由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为如图所示的三棱柱．]4．(2016·天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图7-1-3所示，则该几何体的侧(左)视图为()图7-1-3B[由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧(左)视图为图②.]5．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于________．2π[由题意得圆柱的底面半径r＝1，母线l＝1，所以圆柱的侧面积S＝2πrl＝2π.](对应学生用书第92页)(1)A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点(2)以下命题：①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3(1)B(2)B[(1)如图①所示，可知A错．如图②，当PD⊥底面ABCD，且四边形ABCD为矩形时，则四个侧面均为直角三角形，B正确．①②根据棱台的定义，可知C，D不正确．(2)由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误，③正确．对于命题④，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，④不正确．] [规律方法] 1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．2．圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．3．因为棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．[变式训练1]下列结论正确的是()【导学号：79170225】A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线D[如图①知，A不正确．如图②，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确．①②C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．由母线的概念知，选项D正确．]角度1由空间几何体的直观图判断三视图(1)(2018·肇庆模拟)已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的()(2)(2018·秦皇岛模拟)如图7-1-4，在图(1)的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别为CD、BC的中点，将图(1)中的正方体截去两个三棱锥，得到图(2)中的几何体，则该几何体的侧视图为() 【导学号：79170226】图7-1-4(1)C(2)D[(1)由题意该四棱锥的直观图如下图所示：则其三视图如图：(2)依次找出图(2)中各顶点在投影面上的正投影，可知该几何体的侧视图为]角度2已知三视图，判断几何体(1)某四棱锥的三视图如图7-1-5所示，该四棱锥最长棱棱长为()图7-1-5A．1B．2C．3D．2(2)(2018·内江模拟)如图7-1-6，已知三棱锥P-ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB＝π2，侧面P AB⊥底面ABC，AB＝P A＝PB＝2.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x，y，z分别是()图7-1-6A．3，1， 2 B．3，1,1C．2,1， 2 D．2,1,1(1)C(2)B[(1)由三视图知，该四棱锥的直观图如图所示，其中P A⊥平面ABCD.又P A＝AD＝AB＝1，且底面ABCD是正方形，所以PC为最长棱．连接AC，则PC＝AC2＋P A2＝(2)2＋1＝ 3.(2)由题意知，x是等边△P AB边AB上的高，x＝2sin 60°＝3，y是边AB的一半，y＝12AB＝1，z是等腰直角△ABC斜边AB上的中线，z＝12AB＝1；∴x，y，z分别是3，1,1.][规律方法] 1.由实物图画三视图或判断选择三视图，按照“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点确认．2．根据三视图还原几何体．(1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉．(2)明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图． (3)根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．易错警示：对于简单组合体的三视图，应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同．ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( ) A ．34a 2B ．38a 2C ．68a 2D.616a 2(2)(2018·广安模拟)如图7-1-7所示，直观图四边形A ′B ′C ′D ′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是________.【导学号：79170227】图7-1-7(1)D (2)2＋2 [(1)如图①②所示的实际图形和直观图，由②可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a ， 所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.(2)根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底AD ＝1，高AB ＝2A′B′＝2，下底为BC＝1＋2，∴1＋1＋22×2＝2＋ 2.][规律方法] 1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握．对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量．2．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝24S原图形．[变式训练2](1)(2018·南昌模拟)如图7-1-8，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是()图7-1-8A．4 B．6C．8 D．10(2)已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．【导学号：79170228】(1)D(2)22[(1)以C为原点，以CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，在x轴上取点A，使得CA＝C′A′＝6，在y轴上取点B，使得BC＝2B′C′＝8，则AB＝AC2＋BC2＝10.(2)如图所示：因为OE ＝(2)2－1＝1，所以O ′E ′＝12，E ′F ＝24， 则直观图A ′B ′C ′D ′的面积S ′＝1＋32×24＝22.]。
2019年高考数学(理)考点一遍过考点28空间几何体的结构及其三视图与直观图含解析
空间几何体（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. （2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.（4）会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.一、空间几何体的结构1．多面体几何体结构特征备注棱柱①底面互相平行.②侧面都是平行四边形.③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行.按侧棱与底面是否垂直分类，可分为斜棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.特别地，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.棱锥①底面是多边形.②侧面都是三角形.③侧面有一个公共顶点.三棱锥的所有面都是三角形，所以四个面都可以看作底.三棱锥又称为四面体.棱台①上、下底面互相平行，且是相似图形.②各侧棱的延长线交于一点.③各侧面为梯形.可用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥2．旋转体几何体结构特征备注圆柱①圆柱有两个大小相同的底面，这两个面互相平行，且底面是圆面而不是圆.②圆柱有无数条母线，且任意一条母线都与圆柱的轴平行，所以圆柱的任意两条母线互相平行且相等.③平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形.圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到.圆锥①底面是圆面.②有无数条母线，长度相等且交于顶点.③平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面,过轴的截面（轴截面）是全等的等腰三角形.圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到.圆台①圆台上、下底面是互相平行且不等的圆面.②有无数条母线，等长且延长线交于一点.③平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面,过轴的截面（轴截面）是全等的等腰梯形.圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.球①球心和截面圆心的连线垂直于截面.②球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式:.球可以由半圆面或圆面绕直径所在直线旋转得到.二、空间几何体的三视图与直观图1．空间几何体的三视图（1）三视图的概念①光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图;②光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图;③光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图.（2）三视图的画法规则①排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.如下图：正侧俯②画法规则ⅰ)正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”；ⅱ)侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”；ⅲ)俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等”．③线条的规则ⅰ)能看见的轮廓线用实线表示；ⅱ)不能看见的轮廓线用虚线表示.（3）常见几何体的三视图常见几何体正视图侧视图俯视图长方体矩形矩形矩形正方体正方形正方形正方形圆柱矩形矩形圆圆锥等腰三角形等腰三角形圆圆台等腰梯形等腰梯形两个同心的圆球圆圆圆2．空间几何体的直观图（1）斜二测画法及其规则对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是：①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，或135°)，它们确定的平面表示水平面.两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°（②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.（2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴使∠xOz=90°，且∠yOz=90°.，x′O′y′所确定或135°)，∠x′O′z′=90°②画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′=45°（的平面表示水平平面.③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.④已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.⑤画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.（3）直观图的面积与原图面积之间的关系①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍，②直观图面积是原图面积的倍.考向一空间几何体的结构特征关于空间几何体的结构特征问题的注意事项：(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.典例1给出下列四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；④长方体一定是正四棱柱.其中正确的命题个数是A．0 B．1C．2 D．3【答案】A1．正三棱锥内有一个内切球,经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的图是典例2 边长为 5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是A．10 cm B．cmC．cm D．cm【答案】D【名师点睛】求几何体的侧面上两点间的最短距离问题，常常把侧面展开，转化为平面几何问题处理．2．已知正三棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,为的中点,则从拉一条绳子绕过侧棱到达点的最短绳长为A．B．C．D．考向二空间几何体的三视图三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(2)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.典例3 如图所示，在放置的四个几何体中，其正视图为矩形的是A B C D【答案】B【解析】A选项三棱锥、C选项圆台、D选项的正视图都不是矩形，而B选项圆柱的正视图为矩形.故选B．3．如图，在正方体中，分别为棱的中点，用过点的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体（下半部分）的侧视图为典例4 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【答案】B4．某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为A．B．C．D．考向三空间几何体的直观图斜二测画法中的“三变”与“三不变”：“三变”；“三不变”.典例5如图是水平放置的平面图形的直观图,则原平面图形的面积为A．3 B．C．6 D．【答案】C【方法点晴】本题主要考查了平面图形的直观图及其原图形与直观图面积之间的关系，属于基础题，解答的关键是牢记原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍，直观图面积是原图面积的倍.5．已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，，则直角梯形边的长度是A．B．C．D．1．有下列三个说法：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．其中正确的有A．0个B．1个C．2个D．3个2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的正视图为A B C D 3．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是A．圆柱B．圆锥C．四面体 D．三棱柱4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，则该正四棱锥的侧棱长是A．B．C．D．5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是A． B．C．D．6．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆中的A．①②B．②③C．③④ D．①④7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，绘制该四面体的三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到的正视图为A．B．C．D．8．已知用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥，截得的棱台上、下底面面积比为1∶4，截去的棱锥的高是，则棱台的高是A．B．C．D．9．一个正方体的内切球、外接球、与各棱都相切的球的半径之比为A．B．C．D．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某几何体的三视图，该几何体的各个面中有若干个是梯形，则这些梯形的面积之和为A．28 B．30C．32 D．3611．长方体中，，，设点关于直线的对称点为，则与两点之间的距离是A．B．C．D．12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为A．B．C．D．13．如图所示,E,F分别为正方体ABCD-A'B'C'D'的面ADD'A'、面BCC'B'的中心,现给出图①~④的4个平面图形,则四边形BFD'E在该正方体的面上的射影可能是图.(填上所有正确图形对应的序号)14．如图所示是一个几何体的表面展开平面图,该几何体中与“数”字面相对的是“”．15．已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有_____________.（填序号）16．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积为____________.17．正三棱锥P-ABC中，，，AB的中点为M，一小蜜蜂沿锥体侧面由M爬到C点，最短路程是____________.1．（2018新课标全国Ⅰ理科）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为A． B．C．3 D．22．（2018新课标全国Ⅲ理科）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是3．（2017新课标全国Ⅰ理科）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12C．14 D．164．（2017北京理科）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为A．3B．2C．2D．21．【答案】 C【解析】正三棱锥的内切球与各个面的切点为正三棱锥各面的中心,所以过一条侧棱和高的截面必过该棱所对的面的高线,故C正确.4．【答案】 B【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以侧视图为底面的直四棱柱，在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离取最大值时，最大距离相当于一个长、宽、高分别为2，1，1的长方体的体对角线，为=，故选B．5．【答案】 B【解析】根据斜二测画法，原来的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半，则原高为，而横向长度不变，且梯形是直角梯形，如图，，故选 B.1．【答案】 A【解析】本题主要考查棱台的结构特征．①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例去检验，如图所示，故②③错．2．【答案】 D【解析】所得几何体的正视图为一个长方形，且有一条从左下到右上的对角线，如下所示：故选D．5．【答案】 A【解析】根据斜二测画法知，平行于x轴的线段长度不变,平行于y的线段变为原来的，由此得原来的图形是A．故选A．6．【答案】 B【解析】若俯视图为正方形，则正视图中的边长不成立；若俯视图为圆，则正视图中的边长也不成立．所以其俯视图不可能为②正方形；③圆，故选B．7．【答案】 D【解析】根据空间直角坐标系中点的位置，画出直观图如图，则正视图为D中图形.故选D．【方法点睛】球与几何体的组合体的问题，尤其是相切，一般不画组合体的直观图，而是画切面图，圆心到切点的距离是半径并且垂直，如果是内切球，那么对面切点的距离就是直径，而对面切点的距离是棱长，如果与棱相切，那么对棱切点的距离就是直径，而切点在棱的中点，所以对棱中点的距离等于面对角线长，而如果外接球，那么相对顶点的距离就是直径，即正方体的体对角线是直径．10．【答案】 C【解析】由三视图可知该几何体如图所示，各个面中有两个梯形，一个矩形，两个直角三角形，则这两个梯形的面积和为.故选C．11．【答案】A12．【答案】 C【解析】由三视图可知：原三棱锥为，其中，，如图，∴这个三棱锥最长棱的棱长是.故选C．13．【答案】②③【解析】四边形BFD'E在正方体ABCD-A'B'C'D'的面BCC'B'上的射影是③;在面ABCD上的射影是②;易知①④的情况不可能出现.14．【答案】学【解析】由图形可知,该几何体为三棱台，两个三角形为三棱台的上下底面，∴与“数”字面相对的是“学”．15．【答案】①②③④16．【答案】【解析】由题意得，水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，其面积为，又原图形与直观图的面积比为，所以原图形的面积为．17．【答案】【解析】由题意，将侧面PBC展开，那么点M到C的距离，就是在中的长度，由题中数据易得，，，如果将侧面PAC 展开，同理可得.1．【答案】 B【名师点睛】该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.2．【答案】 A【解析】本题主要考查空间几何体的三视图.由题意知，俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形.故选A．3．【答案】 B【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为，故选B．【名师点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图. 4．【答案】 B【解析】几何体是四棱锥，如图.最长的棱长为补成的正方体的体对角线，即该四棱锥的最长棱的长度为，故选B．【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题.。
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课时规范练35 空间几何体的结构及其三视图和直观图
基础巩固组
1.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()
A.三棱锥
B.三棱柱
C.四棱锥
D.四棱柱
2.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为()
A.1
B.
C. D.2
3.(2017辽宁抚顺重点校一模,文9)已知一几何体的三视图如图所示,俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成,则该几何体的体积为()
A.6π+12
B.6π+24
C.12π+12
D.24π+12 4.(2017全国Ⅱ,文6)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()
A.90π
B.63π
C.42π
D.36π
5.如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为,则该几何体的俯视图可以是()
6.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示,则该几何体的侧(左)视图为()
7.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点P是平面A1B1C1D1内一点,则三棱锥P-BCD的正视图与侧视图的面积之比为()
A.1∶1
B.2∶1
C.2∶3
D.3∶2
8.(2017北京,文6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()
A.60
B.30
C.20
D.10 〚导学号24190766〛
9.
如图,三棱锥V-ABC的底面为正三角形,侧面VAC与底面垂直,且VA=VC,已知其正视图的面积为,则其侧视图的面积为.
10.给出下列命题:①在正方体上任意选择4个不共面的顶点,它们可能是正四面体的4个顶点;②
底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;③若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱.
其中正确命题的序号是.
11.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等,其侧(左)视图如图所示,则此三棱柱正(主)视图的面积为.
12.如图,正方形OABC的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长
为.
综合提升组
13.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点(如图),用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的侧视图为()
14.如图甲,将一个正三棱柱ABC-DEF截去一个三棱锥A-BCD,得到几何体BCDEF如图乙,则该几何体的正视图(主视图)是()
〚导学号24190767〛15.(2017辽宁葫芦岛一模,文5)《九章算术》是我国古代数学经典名著,它在几何学中的研究比西方早1千年,在《九章算术》中,将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑,已知某“鳖臑”的三视图如图所示,则该鳖臑的外接球的表面积为()
A.200π
B.50π
C.100π
D.π
16.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=4,BC=CC1=3.P是BC1上一动点,若一小虫沿其表面从点A1经过点P爬行到点C,则其爬行路程的最小值为.
创新应用组
17.(2017山西晋中一模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()
A.16
B.20
C.52
D.60 〚导学号24190768〛
18.如图,E,F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的面ADD1A1,面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是.(填序号)
答案：
1.B由所给三视图可知该几何体是一个三棱柱(如图).
2.C四棱锥的直观图如图所示.
由三视图可知,SB⊥平面ABCD,SD是四棱锥最长的
棱,SD=.
3.A由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体,
V=×π×22×3+×2×4×3=6π+12,故选A.
4.B由题意,可知该几何体由两部分组成,这两部分分别是高为6的圆柱截去一半后的图形和高为4的圆柱,且这两个圆柱的底面圆半径都为3,故其体积为V=×π×32×6+π×32×4=63π,故选B.
5.C该几何体的体积为,且由题意知高为1,故底面积为,结合选项知选C.
6.B给几何体的各顶点标上字母,如图①.A,E在投影面上的投影重合,C,G在投影面上的投影重合,几何体在投影面上的投影及把投影面展平后的情形如图②所示,故正确选项为B(而不是A).
图①
图②
7.A根据题意,三棱锥P-BCD的正视图是三角形,且底边长为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高;侧视图是三角形,且底边长为正四棱柱的底面边长,高为正四棱柱的高.故三棱锥P-BCD的正
视图与侧视图的面积之比为1∶1.
8.D由该几何体的三视图可得它的直观图为长、宽、高分别为5,3,4的长方体中的三棱锥A-BCD,如图所示.故该几何体的体积是V=×5×3×4=10.故选D.
9.设三棱锥V-ABC的底面边长为a,侧面VAC的边AC上的高为h,则ah=,其侧视图是由底面三角形ABC的边AC上的高与侧面三角形VAC的边AC上的高组成的直角三角形,其面积为
a×h=.
10.①①正确,正四面体是每个面都是等边三角形的四面体,如正方体ABCD-A1B1C1D1中的四面体ACB1D1;②错误,如图所示,底面三角形ABC为等边三角形,令AB=VB=VC=BC=AC,则△VBC为等边三角形,△VAB和△VCA均为等腰三角形,但不能判定其为正三棱锥;③错误,必须是相邻的两个侧面.
11.2由题意可得正(主)视图是一个矩形,其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高,另一边的
长是棱长.因为侧(左)视图中三角形的边长为2,所以高为,所以正(主)视图的面积为2.
12.8 cm将直观图还原为平面图形,如图.
在还原后的图形中,OB=2 cm,AB==3(cm),
于是周长为2×3+2×1=8(cm).
13.C过点A,E,C1的截面为AEC1F,如图,则剩余几何体的侧视图为选项C中的图形.故选C.
14.C由于三棱柱为正三棱柱,故平面ADEB⊥平面DEF,△DEF是等边三角形,所以CD在投影面上的投影为AB的中点与D的连线,CD的投影与底面不垂直,故选C.
15.B由三视图复原几何体,几何体是底面为直角三角形,一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥.
扩展为长方体,它的对角线的长为球的直径,直径为=5,
该三棱锥的外接球的表面积为4π×=50π,故选B.
16.由题意知,把面BB1C1C沿BB1展开与面AA1B1B在一个平面上,如图所示,
连接A1C即可,则A1,P,C三点共线时,CP+PA1最小,
∵∠ACB=90°,AC=4,BC=C1C=3,
∴A1B1=AB==5,
∴A1C1=5+3=8,
∴A1C=.
故CP+PA1的最小值为.
17.B由题意,该几何体可看作三棱柱与三棱锥的组合体,如图,体积为
×3×4×2+×3×2×4×2=20.故选B.
18.②③由正投影的定义,四边形BFD1E在面BB1C1C上的正投影是图③;在面DCC1D1上的正投影是图②;其在面ABCD上的正投影也是图②.。