高等数学高等教育出版社第八讲义章D85平面方程
同济版高等数学第六版课件第八章第七节平面及其方程
高等数学的学习建议
重视基础知识： 掌握基本概念、 定理和公式， 为后续学习打 下坚实基础。
多做练习：通 过大量练习， 加深对知识点 的理解和记忆纳总结： 及时归纳所学 内容，找出重 点和难点，有 针对性地进行
复习。
培养数学思维： 高等数学不仅 仅是计算和公 式，更重要的 是培养数学思 维和解决问题
平面的判定条件
三个不共线的点 确定一个平面
两条相交直线确 定一个平面
一条直线与这条 直线外一点确定 一个平面
两平面相交，交 线是两平面的公 共线
平面的性质定理
平面内任意两点确定一条直线
平面内任意三点确定一个平面
平面内任意四点确定一个平面
平面内任意五点确定一个平面
04
平面与直线的位置 关系
平行关系
几何法求解平面方程
定义：通过几何 图形和空间位置 关系来求解平面 方程的方法
适用范围：适用 于平面图形比较 简单的情况
步骤：先确定平 面上的两个不共 线的点，然后通 过这两个点确定 平面的法向量， 最后写出平面方 程
注意事项：需要 熟练掌握空间几 何和向量知识
参数法求解平面方程
参数方程的建立 参数的消元过程 参数的求解方法 参数法求解平面方程的步骤
平面方程的 基本形式
多个平面的 交面求解
两个平面的 交线求解
实际应用中 的交面求解
07
总结与展望
本节内容的总结回顾
平面方程的建立与求解方法 平面方程的应用举例 平面方程的分类与性质 平面方程与其他数学概念的联系
下节内容的预习准备
回顾本节内容： 回顾平面及其方 程的相关概念和 知识点，加深对 平面几何的理解。
的方程。
点法：通过已 知平面上的一 个点和该平面 的法向量，确 定一个平面的
《高等数学(下册)》课件 高等数学 第8章
3
0 6
0 2 1 2
0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
7 5 13
(1)21 1 2 1 2 27
7 7 12
（2）计算 Dj 。
8 1 5 1
9 3 0 6ຫໍສະໝຸດ D1 52 181 2
0 4 7 6
2 8 5 1
1 9 0 6
D2 0 5 1
108 2
1 0 7 6
218 1
1 3 9 6
当 a11a22 a12a21 0 时，方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12 a21
，x2
a11b2 a11a22
a21b1 a12a21
上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得的。 其中分母 a11a22 a12a21 是由方程组的四个系数确定的。
定义1 将由4个数排列成2行2列〔横排为行，竖排为列〕并左右两 边各加一条竖线的算式
在行列式中，从左上角元素到右下角元素的这条直线称为主对 角线，从右上角元素到左下角元素的这条直线称为次对角线。二阶 行列式的展开式可用对角线法那么来记忆，即等于主对角线上两个 元素的乘积减去次对角线上两个元素的乘积，如图8-1所示。
图8-1
在例1中，若记 D a11 a12 ，则称D为二元线性方程组的 a21 a22
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
称为二阶行列式，用D表示。其中，aij (i ，j 1，2) 称为二阶行列 式的元素，简称元；元素 aij 的第一个下标 i 称为行标，表明该元素 位于第 i 行，第二个下标j称为列标，表明该元素位于第 j 列；上式的 右端 a11a22 a12a21 称为二阶行列式的展开式。
《高等数学》 第八章(上)多元函数微积分简介
第一节 空间解析几何简介
在空间任取一点 M，过点 M 分别作与坐标轴垂直的平 面，交 x 轴、y 轴和 z 轴于点 P，Q，R，如图所示．点 P， Q，R 称为点 M 在三条坐标轴上的投影．设点 P，Q，R 在 三条坐标轴上的坐标分别记为 x，y，z，于是点 M 确定了 唯 一 的 有 序 数 组 (x ，y ，z) ； 反 之 ， 给 定 一 个 有 序 数 组 (x ，y ，z) ，总能在 x 轴、y 轴和 z 轴上分别确定以 x，y，z 为坐标的三个点 P，Q，R，过这三个点分别作垂直于 x 轴、 y 轴和 z 轴的平面，这三个平面必相交于唯一一点 M．
第一节 空间解析几何简介
一、空间直角坐标系
三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为卦限， 含有三个正半轴的卦限称为第一卦限，它位于 xOy 面的上 方．在 xOy 面的上方，按逆时针方向排列着第二卦限、第 三卦限和第四卦限．在 xOy 面的下方，与第一卦限对应的 是第五卦限，按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限 和第八卦限．八个卦限分别用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、 Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示，如图所示．
第一节 空间解析几何简介
2．常见曲面的方程
1）球面 在空间中到定点的距离等于定值的点的轨迹称为球面，定点称为球心， 定值称为半径． 例 3 建立球心在点 M0 (x0 ，y0 ，z0 ) 、半径为 R 的球面的方程．
特别地，球心在原点 O(0，0，0) 、半径为 R 的球面的方程为 x2 y2 z2 R2 ．
由于 M2M3 M1M3 ，所以原结论成立．
第一节 空间解析几何简介
例 2 设点 P 在 x 轴上，它到点 P1(0 ， 2 ，3) 的距离为到点 P2 (0，1，1) 的 距离的两倍，求点 P 的坐标．
《D85平面方程》课件
实 例 三 ： 求 解D85平 面 上 点 到 直 线 的 距 离
给定D85平面上的一个点P(x, y)和一条直线L(Ax+By+C=0) 计算点P到直线L的距离d 使用公式d = |Ax+By+C|/√(A^2+B^2) 举例说明如何求解点P到直线L的距离
案 例 一 ： 道 路 设 计 中 的D85平 面 方 程 应 用
D85平面方程在GIS中 的实际应用案例
D85平面方程在GIS中 的未来发展趋势
案 例 三 ： 工 程 制 图 中 的D85平 面 方 程 应 用
工程制图中的D85平面方程应用 工程制图中的D85平面方程应用实例 工程制图中的D85平面方程应用技巧 工程制图中的D85平面方程应用注意事项
D85平 面 方 程 的 重 要 性 和 意 义
,
汇报人：
目录
平面的定义
平面是二维空间中的一个无限 延展的平面
平面上的点可以用两个坐标来 表示
平面上的直线可以用两个参数 来表示
平面上的曲线可以用三个参数 来表示
平面方程的基本形式
平面方程的定义：描述平面上点的坐标关系的方程 平面方程的一般形式：Ax+By+Cz+D=0 平面方程的特殊形式：x/a+y/b+z/c=1 平面方程的性质：平面方程的系数决定了平面的位置和方向
Байду номын сангаас
D85平 面 方 程 的 参 数 解 释
D85平面方程： x^2 + y^2 + z^2 = 1
参数解释：x, y, z表示空间中的坐 标点
方程含义：表示 空间中的一个球 面
应用领域：广泛 应用于物理、数 学、工程等领域
高等数学-第8章 - (平面及其方程)
n
M1
M3
n M1 M 2 M1 M 3
i j k 3 4 6 2 3 1 (14 , 9 , 1)
M2
又 M1 , 利用点法式得平面 的方程
即
说明: 此平面的三点式方程也可写成
x2 y1 z 4
3 2
的平面方程为
4 3
6 0 1
一般情况 : 过三点 M k ( xk , yk , zk ) ( k 1 , 2 , 3)
方程为
则所求平面
A( x 1) B( y 1) C ( z 1) 0
n M1 M 2
A 0 B 2C 0 , 即 A BC 0 , 故
n 的法向量
因此有 2C ( x 1) C ( y 1) C ( z 1) 0 (C 0)
轴。
方程
f x y , z 0,
2 2
表示 yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 z 轴 旋转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为 f y , x 2 z 2 0. 同理： xoz 坐标面上的已知曲线 f ( x , z ) 0 绕
约去C , 得
2( x 1) ( y 1) ( z 1) 0 2x y z 0
即
例5. 设
是平面
外一点,求 P0 到平面的距离d . 解:平面法向量为 n ( A , B , C ) , 在平面上取一点 P1 ( x1 , y1 , z1 ) ,则P0 到平面的距离为 n P1 P0 n PP d Prj n 1 0 P0 n
《高等数学》(A)教案第八章
讲授内容： §8.1多元函数基本概念教学目的与要求：1、 了解平面点集、n 维空间、多元函数的基本概念.2、 理解二元函数的极限、连续的的概念.3、 会利用二元函数的极限的定义、连续的性质求二元函数的极限. 教学重难点：重点——二元函数的极限与连续. 难点——二元函数极限的定义. 教学方法：讲授教学建议：讲清二元函数与一元函数极限的区别对理解二元函数极限的定义有很大的帮助.学时：2学时 教学过程：以前我们学习了一元函数的微分学，在本章我们将学习多元函数的微分学的相 关知识.一、 平面点集 n 维空间1. 平面点集坐标平面上具有某种性质的点的集合称为平面点集.记为:E ={(x ,y )|(x ,y )具有性质P }.2. 邻域:U(p 0,δ)= {p| |pp 0|<δ}={(x,y) |2020)()(y y x x -+-<δ,δ>0} Ů(p 0,δ)= {p| 0<|pp 0|<δ}={(x,y) |0<2020)()(y y x x -+-<δ,δ>0} 3. 区域:1) 内点:E(⊂R 2)为一个点集,若U(p)⊂E,则称点P 称为E 的内点,显然p ∈E.2) 外点: E(⊂R 2)为一个点集,若U(p)∩E=Ø,则称点P 称为E 的外点,显然p ∉E 3) 边界点:若∀U(p):U(P)∩E≠Ø且U(p)∩E≠Ø.则称点p 为E 的边界点.点P 可能属于E,也可能不属于E.边界点的全体称为E 的边界,记为∂E. 4) 聚点:若∀δ>0,Ů(p,δ)∩E≠Ø,则称点p 为E 的聚点.显然, 点P 可能属于E,也可能不属于E. 5) 开集:点集E 的点都为E 的内点,则称E 为开集. 6) 闭集:若点集E 的余集E c 为开集,则称E 为闭集.7) 连通集:如果点集E 内任何两点都可以用折线连接起来,且折线上的点都属于E,则称E 为连通集.8) 区域:连同的开集称为区域或开区域. 9) 闭区域:区域连同它的边界一起称为闭区域.10) 有界点集:对点集E,若∃r>0,使得U(O,r)⊂E,则称点集E 为有界集. 11) 无界集:若集E 不是有界集,则称E 为无界集. 4. n 维空间:1) n 元有序数组(x 1,x 2,…,x n )的全体用R n =R ⨯R ⨯…⨯R={(x 1,x 2,…,x n )|x i ∈R,i=1,2,…n}表示可以用x=(x 1,x 2,…,x n )表示R n 中的元素.x i 称为x 的第i 个坐标. 特别地:O =(0,0,…,0)或0=(0,0,…,0) 2) R n 中的线性运算及两点间的距离: 3) 设x=(x 1,x 2,…,x n ),y=(y 1,y 2,…,y n ),λ∈R 定义:x+y=(x 1+y 1,x 2+y 2,…,x n +y n )λx=(λx 1,λx 2,…,λx n ).x=(x 1,x 2,…,x n )和y=(y 1,y 2,…,y n )的距离记为ρ(x,y),则有: ρ(x,y)=2222211)()()(n n y x y x y x -++-+-二、 多元函数的概念1. 二元函数的定义:定义:设D 是R 2中的一个非空点集.称映射:f:D→R 2为定义在D 上的二元函数,记为: z=f(x,y), (x,y)∈D或z=f(p),p ∈D.定义域: D; 自变量: x,y; 因变量: z;对应法则:f.值域:f(D)={z|z=f(x,y),(x,y)∈D}. 一般地:设D(≠Ø)⊂R n ,称映射f:D→R 为D 上的n 元函数.记为:u=f(x 1,x 2,…,x n )(x 1,x 2,…,x n )∈D.或u=f(x ),x =(x 1,x 2,…,x n )∈D或 u=f(p),p(x 1,x 2,…,x n )∈D.当n≥2时,称n 元函数为多元函数.当n=2或3时,将点(x 1,x 2)记为(x,y),将点(x 1,x 2,x 3)记为(x,y ,z). 2. 二元函数的几何意义:空间点集:M= {(x,y ,z)|z=f(x,y),(x,y)∈D} 称为二元函数的图形,通常表示一张曲面.例如函数z=x 2+y 2的图形为旋转抛物面.例1.求函数z=arcsin(x-y 2)+ln[ln(10-x 2-4y 2)]的定义域.思想：一般求多元函数的定义域，往往是求自然定义域，即求出使函数有意义的自变量的取值范围.解:⎪⎩⎪⎨⎧>--≤-14101222y x y x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧<++≤≤-1949112222y x y x y ∴D=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤-<+11,1949),(2222y x y y x y x注：由此可见，二元函数的定义域是平面上的区域，三元函数的定义域是空间中空间区域. 例2.设f(x+y ,y/x)=x 2-y 2.求f(x,y)的表达式.解:(换元法)令u=x+y,v=y/x,则有vuv y vu x +=+=1,1,代入函数得:f(x+y,y/x)=f(u,v)=vv u v vu v u+-=+-+1)1()1()1(222222⇒ f(x,y)=yy x +-1)1(2(变形法)x 2-y 2=yx y x y x +-+2)(=xy x y y x /1/1)(2+-+⇒ f(x,y)=yy x +-1)1(2三、 多元函数的极限1. 二重极限:z=f(x,y)当x→x 0,y→y 0即p(x,y)→p 0(x 0,y 0)的极限注:p→p 0表示P 以任何方式趋于P 0,即:|pp 0|=2020)()(y y x x -+-→0.定义: 设函数z=f(p)=f(x,y)的定义域为D,p 0(x 0,y 0)为D 的聚点, 如果∀ε>0,∃δ>0,使得当 p(x,y)∈D∩Ů(p 0,δ), 即对满足不等式0<|pp 0|=2020)()(y y x x -+-<δ的一切点p(x,y)(∈D),都有:|f(x,y)-A|<ε则常数A 称为z=f(x,y)当x→x 0,y→y 0即p(x,y)→p 0(x 0,y 0)的极限.记为:0lim y y x x →→f(x,y)=A 或f(x,y)→A (当p→p 0).同理,可定义其他形式的二重极限及多元函数的极限.注:当p(x,y)以不同的方式趋于p 0(x 0,y 0)时,函数趋于不同的值,则此函数的极限不存在，由此便得判定二重极限不存在的一个重要方法.例3.求下列函数的极限1)xxy ay x sin lim 0→→解:xxy a y x sin lim0→→= y xyxy ay x ∙→→sin lim0= y xyxy ay x ay x →→→→∙00lim sin lim=a.2)22)(lim 22yx y x yx xy ++∞→+∞→解:设x>0,y>0时,则由21022≤+<yx xy 得0<22)(22yx yx xy +≤22)21(yx →0 (x→+∞,y→+∞)⇒22)(lim 22yx y x yx xy ++∞→+∞→=03）220)(limy x x x y y x +-→→解:0limy x →→θρ→0ρ(sinθ-cosθ)•cosθ=04）220limyx xy y x +→→解:220limyx xy y x +→→y=kx 222200limxk x kxkx y x +→=→=21kk +随k 的值不同而不同,从而原极限不存在.注：二重极限不是二次极限，二次极限存在二重不一定存在，二重极限存在二次极限也不一定存在.如1limlim -=-+∞→∞→yx y x y x ，1limlim =-+∞→∞→yx y x x y ，而y x yx y x -+∞→∞→lim不存在；又如0)sin 1sin 1(lim =+∞→∞→x y y x y x ，而0)sin 1sin 1(lim lim =+∞→∞→x yy xx y 却不存在.四、 多元函数的连续性1. 二元函数连续的定义定义:设函数z=f(x,y)的定义域为D,p 0(x 0,y 0)为D 的聚点,且p 0∈D.如果lim y y x x →→f(x,y)=f(x 0,y 0)则称函数z=f(x,y)在点p 0(x 0,y 0)连续.若函数z=f(x,y)在D 内的每一点连续,则称函数在D 内连续,或称z=f(x,y)是D 内的连续函数.若函数z=f(x,y)在p 0(x 0,y 0)处不连续,则称p 0(x 0,y 0)是函数z=f(x,y)的间断点.注: 二元函数的间断点可以是一条曲线.例如:z=11sin 22-+y x 的间断点是曲线x 2+y 2-1=0.2. 二元连续函数的性质性质1.(最大值和最小值定理)在有界闭区域D 上的多元连续函数,在D 上一定有最大值和最小值.性质2.(介值定理)在有界闭区域D 上的多元连续函数,如果在D 上取得两个不同的函数值,则它在D 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次. 3. 多元初等函数:由多元多项式及一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合而且用一个表达式表达的函数.定理:一切多元初等函数在定义区域内是连续的.例4. 讨论函数z=f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧≠+=++0 , 00,222222y x y x y x xy 的连续性.解:由于220limyx xy y x +→→不存在,所以函数在(0,0)处不连续.例5. 讨论函数z=f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧≠+=+++0, 00,1sin )(22222222y x y x y x y x 的连续性.解:由于2200sin)(lim y x y x +→→ρρθ1sin20→=0而 f(0,0)=0从而0lim →→y x f(x,y)=f(0,0)=0,所以函数在(0,0)处连续.例6. 求下列函数的极限1)22102limyx xy y x +-→→解:由于函数连续,故所求极限为2.注：利用初等函数在其定义区间上是连续的及连续的定义来求函数的极限是求函数极限的一种常用方法2)xyxy y x 11lim0-+→→解:21)11(lim11lim000=++=-+→→→→xy xy xy xyxy y x y x3)220limyx xy y x +→→解:由于)0,0(0022→→→<+<y x y yx xy所以原极限为0. 或者0limy x →→θρ→0ρcosθsinθ=0作业：高等数学A 练习册习题四十八 多元函数的基本概念 教学后记：教学参考书《高等数学》第五版，同济大学应用数学系主编，高等教育出版按社 《高等数学应用205例》 高等教育出版按社 李心灿 《数学考研题集》 东北大学出版社 史俊贤等复习思考题1. 将二元函数与一元函数的极限、连续概念相比较，说明二者之间的区别．2. 若二元函数),(y x f z =在区域 D 内分别对y x ,都连续，试问在区域 D 上),(y x f z =是否必定连续?3. 表达式()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→→→→y x f y x f y y x x y y xx ,lim lim ,lim 00成立吗？1、答：二元函数与一元函数的极限都是表示某动点P 以任意方式无限靠近定点Q 时，与之相关的一变量无限接近于一个确定的常数，不同的是后者对应P ，Q 点是数轴上的点，前者对应的P ，Q 是平面上的点.一元函数()x f y =在0x 处连续是表示x 无限靠近0x 时，()x f 无限靠近()0x f ，二元函数()y x f z ,=在()00,y x 处连续是表示（x ，y ）以任意方式无限靠近()00,y x 时，()y x f ,无限靠近()00,y x f .2、答：不一定，因为()00),(),(,),(lim00y x f y x f y x y x =→中()()00,,y x y x →是表示),(y x 以任意方式趋于),(00y x 而()00),(),(,),(lim000y x f y x f y x y x =→和()()()()00,,,,lim000y x f y x f y x y x =→中()()000,,y x y x →，()()000,,y x y x →，只代表()()00,,y x y x →的方式中的一部分，而不是全部.部分成立，全部不一定成立.3、答：不一定. 例如：220limyx xy y x +→→不存在，而0limlim 220=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→→y x xyy x .讲授内容：§8.2 偏导数教学目的与要求：1、 理解偏导数的定义以及偏导数的几何意义.2、 掌握偏导数的存在与连续之间的关系.3、 会根据偏导数的定义求偏导数. 教学重难点：重点——偏导数的计算.难点——偏导数的存在与函数连续之间的关系. 教学方法：讲授教学建议：使学生清楚求偏导数与求一元函数的导数的方法基本相同. 学时：2学时 教学过程：对二元函数考虑关于其中某一变量的变化率时,而将另一变量看作常数，即为偏导数的问题.一、 偏导数的定义及其计算1. 偏导数的定义:定义:设函数z=f(x,y)在点(x 0,y 0)的某一邻域内有定义,如果xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000存在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x 0,y 0)处对变量x 的偏导数,记为:y y x x xz ==∂∂;0y y x x xf ==∂∂;0y y x x xz == 或 f x (x 0,y 0)同理函数z=f(x,y)在点(x 0,y 0)处对变量y 的偏导数,记为:0y y x x yz ==∂∂;0y y x x yf ==∂∂;0y y x x yz == 或 f y (x 0,y 0)如果函数在区域D 内的每一点(x,y)处对变量x 的偏导数都存在,则此偏导数是x,y 的函数,称为函数z=f(x,y)对变量x 的偏导函数,记为:xz ∂∂; xf ∂∂; z x ; f x (x,y)同理函数z=f(x,y)对变量y 的偏导函数,记为:yz ∂∂; yf ∂∂; z y ; f y (x,y)偏导函数简称为偏导数.同理可定义多元函数的偏导数,例如三元函数u=f(x,y,z)对变量x 的偏导函数为:xu ∂∂=xz y x f z y x x f x ∆-∆+→∆),,(),,(lim2、偏导数的计算求z x (x,y)时，把函数中的变量y 视为常数，对x 按一元函数的求导方法进行求导.一般地，给n 个变量的函数u=f(x 1,x 2,…，x n )求f xi (x 1,x 2,…，x n )时，把其他的n-1个变量视为常数. 例1.求函数z=x 2+3xy+y 2在点(1,2)处的偏导数.解法一：:z x =2x+3y ;z y =3x+2y⇒z x (1,2)=8;z y (1,2)=7解法二：z(x,2)=x 2+6x+4; z x (x,2)=2x+6; z x (1,2)=8 z(1,y)=1+3y+y 2;z y (1,y)=3+2y;z y (1,2)=7 例2.求函数z=x 2sin2y 的偏导数.解: z x =2xsin2y;z y =2x 2cos2y例3. 设z=x y(x>0,x≠1),证明:xz y x ∂∂+yzx ∂∂ln 1=2z解:∵xz ∂∂=yx y-1;yz ∂∂=x ylnx∴xz y x ∂∂+yzx ∂∂ln 1=1-y yxyx +x x xy ln ln 1=x y +x y=2z.例4. 已知理想气体的状态方程PV=RT(R 为常数),证明:PT TV VP ∂∂∙∂∂∙∂∂=-1证明:因为 P=VRT ⇒2VRT VP -=∂∂V=PRT ⇒PR TV =∂∂T=RPV ⇒PT ∂∂=RV所以PT TV VP ∂∂∙∂∂∙∂∂=RV PR VRT ∙∙-2=PVRT -=-1注:此题表明xf ∂∂是一个整体,不同于dxdf 表示微分之商.3．二元函数z=f(x,y)偏导数的几何意义二元函数z=f(x,y)在点M 0(x 0,y 0)的偏导数f x (x 0,y 0)几何意义:平面y=y 0上,曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在M 0(x 0,y 0)处的切线M 0T x 对x 轴的斜率.例5．求曲线⎩⎨⎧=--=1122x y x z 在点)0,1,1(处的切线与y 轴正向所成的倾角解：依偏导数的几何意义，函数221y x z --=在点)1,1(处对y 求导的值就等于αtan ，则=∂∂==11y x yz 2211-=-==y x y，所以αtan =-2，2arctan -=πα4．偏导数存在与函数连续之间的关系例6．讨论z=f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧≠+=++0 , 00,222222y x y x y x xy 在(0,0)处的连续性与可导性.解:由于220limyx xy y x +→→不存在,所以函数在(0,0)处不连续;但0==∂∂y x xz =0)0,0()0,0(lim=∆-∆+→∆xf x f x从而f x (0,0)=0,同理f y (0,0)=0所以,函数在(0,0)处的两个偏导数存在. 例7．讨论函数22y x z +=在(0,0)处的连续性与可导性.解:由于220limy x y x +→→=0=f(0,0),所以函数在(0,0)处连续;但0==∂∂y x xz =xf x f x ∆-∆+→∆)0,0()0,0(lim=xx x ∆∆→∆0lim不存在,因此f x (0,0)不存在. 同理f y (0,0)不存在; 从而函数在(0,0)处的两个偏导数不存在.由此可知:函数在某点的偏导数存在与函数连续不存在必然联系.注：为什么不象一元函数一样，可导一定连续？因为对多元函数而言，可导是0x x →的一种单方向趋近，连续是0p p →的一种多方式趋近.二、 高阶偏导数1. 如果f x (x,y),f y (x,y)对变量x,y 的两个偏导数存在,则)(22xzx xz ∂∂∂∂∆∂∂=f xx (x,y);)(22yzy yz ∂∂∂∂∆∂∂=f yy (x,y))(2xzy yx z ∂∂∂∂∆∂∂∂=f xy (x,y);)(2yzx xy z ∂∂∂∂∆∂∂∂=f yx (x,y)称为函数z=f(x,y)的二阶偏导数. 其中后面两个偏导数称为混合偏导数. 定理如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数在区域D 内连续,则这两个混合偏导数必相等.例8．设z=x 3y 2-3xy 3-xy+1,求22xz ∂∂;22yz ∂∂;y x z∂∂∂2;xy z∂∂∂2.解: z x =3x 2y 2-3y 3-y;z y =2x 3y-9xy 2-x;z xx =6xy 2;z yy =2x 3-18xy; z xy =6x 2y-9y 2-1;z yx =6x 2y-9y 2-1例9．设f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-0,00,)(22222222y x y x y x y x xy 求x f ∂∂;y f ∂∂.并证明f xy (0,0)≠f yx (0,0)解:当x 2+y 2≠0时,f x (x,y)=222222222)(2)()(3(y x xy x xy y x y x y +∙--+-）=；2225324)(4y x yy x y x +-+ f y (x,y)=222222222)(2)()(3(y x yy x xy y x y x x +∙--+-）=22242354）（y x xy y x x +--当x 2+y 2=0,即x=y=0时,f x (0,0)=xf x f x ∆-∆→∆)00()0(lim，，=xx 0lim→=0; 同理f y (0,0)=0.于是x f ∂∂=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-+0 00422222225324y x y x y x y y x y x ，，）（y f ∂∂=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++--0 00422222224235y x y x y x xy y x x ，，）（ f xy (0,0)=yf y f x x y ∆-∆→∆)0,0(),0(lim=55limyy y -→=-1f yx (0,0)=xf x f y y x ∆-∆→∆)0,0()0,(lim= 550limxx y →=1所以f xy (0,0)≠f yx (0,0)作业：高等数学A 练习册习题四十九 教学后记：教学参考书《高等数学》第五版，同济大学应用数学系主编，高等教育出版按社 《高等数学应用205例》 高等教育出版按社 李心灿 《数学考研题集》 东北大学出版社 史俊贤等复习思考题1. 与一元函数比较，说明二元函数连续、偏导之间的关系.2. 若22y x z +=，试求11==∂∂y x xz 且说明其几何意义.3. 举例说明一元函数的复合函数求导法则在求二元函数的偏导数时仍有效. 1、答：一元函数在可导点处必连续, 但二元函数在偏导数存在处不一定连续. 因为),('00y x f x 只反应),(0y x f 在),(00y x 处连续，),('00y x f y 只反应),(0y x f 在),(00y x 处连续，即曲面),(y x f z =关于平面0x x =和0y y =的截线在),(00y x 处连续不能代表曲面),(y x f z =在),(00y x 处连续.反之，二元函数在连续点处也不一定存在偏导数.2、解：因为x xz 2=∂∂, 故11==∂∂y x xz =2.上式在几何上表示曲线⎩⎨⎧=+=1,22y y x z 在（1，1，1）处沿x 轴方向的切线斜率为2.3、解：例如xy z arctane=可看成是由xy v v u z u ===,arctan ,e 复合而成，按一元函数复合函数求导法则有：22arctan22e )(11e )'()'(arctan )'e (yx y xyv x yv x zxy ux u +-⋅=-⋅+⋅=⋅⋅=∂∂把y 看作常数，直接求导数得：x xy xy xz )'(arctane arctan⋅=∂∂)'()(11e2arctanxy xy xy ⋅+⋅= )(e2222arctanxy yx xxy -⋅+⋅=22arctaneyx y xy +-⋅=二者是一样的.讲授内容：§8.3全微分及其应用教学目的与要求：1、理解全微分的定义、函数可微与偏导数之间的关系.2、掌握求多元函数全微分的方法.3、了解全微分在近似计算中的应用.教学重难点：重点——全微分的计算.难点——全微分的定义.教学方法：讲授教学建议：1、讲清全微分的定义，函数连续、可导与可微之间的关系.2、在讲解函数连续、可导与可微之间的关系时可通过逐步设问的方式来进行. 学时：2学时教学过程：一、全微分的定义1.几个概念:偏增量:关于变量x的增量: ∆x z=f(x+∆x,y)-f(x,y)关于变量y的增量: ∆y z=f(x,y+∆y)-f(x,y)全增量:关于变量x,y的全增量:∆z=f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y)偏微分:关于变量x的偏微分: f x(x,y)∆x关于变量y的偏微分: f y(x,y)∆y偏增量与偏微分之间的关系:∆x z=f(x+∆x,y)-f(x,y) ≈ f x (x,y)∆x ∆y z=f(x,y+∆y)-f(x,y) ≈ f y (x,y)∆y2. 全微分的定义定义:如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量∆z=f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y)可表示为∆z=A∆x+B∆y+o(ρ)其中A,B 不依赖于∆x,∆y 而仅于x,y 有关,ρ=22）（）（y x ∆+∆,则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分,而A∆x+B∆y 称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分,记为dz,即:dz= A∆x+B∆y .若函数z=f(x,y)在区域D 内每一点可微,则称这函数在D 内是可微分的. 3．可微与连续的关系：可微⇒连续证明:设函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分,则有∆z = f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y)= f x (x,y)•∆x+f y (x,y)•∆y+o(ρ)令:∆x→0,∆y→0,则∆z→0,即有:lim →∆→∆y x f(x+∆x,y+∆y)=f(x,y)4．可微与可导的关系：可微⇒可导定理1.(函数可微的必要条件)如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分,则该函数在点(x,y)的偏导数xz ∂∂,yz ∂∂必定存在,且函数z=f(x,y)在点(x,y)全微分为:dz=xz ∂∂∆x+yz ∂∂∆y证明:设函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分.则∀P′(x+∆x,y+∆y)∈U(P ,δ):总有∆z=A∆x+B∆y+o(ρ)成立,特别令∆y=0,则有: f(x+∆x,y)-f(x,y)=A•∆x+o(|∆x|),这里ρ=|∆x|于是xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim=A=xf ∂∂同理可得:yf ∂∂=B即有: dz=xz ∂∂∆x+yz ∂∂∆y问题：连续?⇒可微，可导?⇒可微可举例说明，可导不一定可微，连续不一定可微.例1.讨论函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+(0,0)),( ,0)0,0(),(,22y x y x y x xy 在(0,0)的可导性与可微性.解:∵xf x f x ∆-∆→∆)0,0()0,(lim=0∴ f x (0,0)=0,同理f y (0,0)=0. 即函数在(0,0)的两个偏导数存在.又w ∆=∆z-[f x (0,0)∆x+f y (0,0)∆y]=f(∆x,∆y)-f(0,0)=22)()())((y x y x ∆+∆∆∆从而 ρρw∆→0lim=220)()())((limy x y x y x ∆+∆∆∆→∆→∆不存在,即函数在(0,0)不可微.例2. 讨论函数z=f(x,y)=xy 在(0,0)处是否连续,是否可导,是否可微？解:∵0lim →→y x f(x,y)=xy y x 00lim→→=0=f(0,0)∴ 函数在(0,0)处连续.∵xf x f x ∆-∆→∆)0,0()0,(lim 0=0∴f x (0,0)=0, 同理f y (0,0)=0.即函数在(0,0)的两个偏导数存在.∵ =∆w ∆z-[f x (0,0)∆x+f y (0,0)∆y]=f(∆x,∆y)-f(0,0)=))((y x ∆∆∴ ρρw∆→0lim=220)()())((lim y x y x y x ∆+∆∆∆→∆→∆yx ∆=∆212lim=∆∆→∆=∆→∆xx x y x ≠0从而,函数在(0,0)处不可微.问题：函数满足哪些条件可微？哪些函数可微？定理2.(函数可微充分条件)如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的偏导数xz ∂∂,yz ∂∂ 连续,则该函数在该点可微分.证明:(偏导数在某一点连续,表明偏导数在该点的某一邻域内存在)设点(x+∆x,y+∆y)是点(x,y)的邻域内的任意一点.则∆z =f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y)=[f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y+∆y)]+[f(x,y+∆y)-f(x,y)] =f x (x+θ1∆x,y+∆y)•∆x+f y (x,y+θ2∆y)•∆y [0<θ1,θ2<1]由z=f(x,y)在点(x,y)的偏导数xz ∂∂,yz ∂∂连续,则有:∆z = f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y)= f x (x,y)•∆x+f y (x,y)•∆y+ε1∆x+ε2∆y其中100lim ε→∆→∆y x =0,200lim ε→∆→∆y x =0由此可知:ρεεyx ∆+∆21<|ε1|+|ε2|→0 (∆x→0,∆y→0)所以 ∆z = f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y)= f x (x,y)•∆x+f y (x,y)•∆y+o(ρ)这就证明了函数z=f(x,y)在点(x,y)的可微性. 通常将∆x,∆y 分别记作dx,dy,则函数的微分为:dz=xz ∂∂dx+yz ∂∂dy这表明函数的全微分等于其两个偏微分之和,这一性质称为二元函数微分的叠加原理.归纳：函数在点(x,y)的极限存在性、连续性、可导性、可微性之间的关系:偏导数连续 ⇒ 函数可微 ⇒ 函数连续⇒ 存在极限偏导数连续⇒ 偏导数存在以上关系逆向不一定成立.例3.讨论函数z=f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧≠+=+++0, 00,1sin )(22222222y x y x y x y x 在原点1)是否连续; 2)是否存在偏导数; 3)是否可微;4)偏导数是否连续.解:1) 由于0,0lim→→y x (x 2+y 2)221sinyx +=0,所以函数在原点连续;2) 因为xf x f x ∆-∆→∆)0,0()0,(lim=xxx x ∆∆∆→∆1sin)(lim2=xx x 1sinlim 0→=0所以f x (0,0)=0,同理f y (0,0)=0. 3) 记ρ=22)()y x ∆+∆（,因为=∆w ∆z-[f x (0,0)∆x+f y (0,0)∆y]=f(∆x,∆y)-f(0,0)=[(∆x)2+(∆y)2]•22)()(1siny x ∆+∆=ρ2ρ1sin从而ρρw∆→0lim=ρρρ1sinlim 0→=0所以函数在原点可微. 3) 当x 2+y 2≠0时,xz ∂∂=x yx y x yx yx x 21cos)(211sin22223222222∙+++-+=2222221cos1sin2yx yx x yx x ++-+因为xxx x y yx yx x x y x 21cos2lim1coslim22220→→→=++不存在,从而,xz y x ∂∂→→00lim不存在,同理yz y x ∂∂→→00lim也不存在.所以,函数的偏导数在原点不连续.二、 全微分的计算例4.求下列函数的全微分:1) z=x 2y+y 2解: dz=2xydx+(x 2+2y)dy;2) u=x+2sin y +e yz.解: du=dx+(21cos2y +ze yz )dy+ye yzdz.例5. 求函数z=22yx xy -当x=2,y=1,∆x=0.01,∆y=0.03时的全增量与全微分.解: ∆z=2222)()())((yx xy y y x x y y x x --∆+-∆+∆+∆+dz=y y x y x x x y x y x y ∆-++∆-+-2222222222)()()()(将x=2,y=1,∆x=0.01,∆y=0.03代入得:∆z=22221212)03.1()01.2(03.101.2-⨯--⨯= 0.0283dz=03.035201.035122⨯⨯+⨯⨯-= 0.0278三、 全微分在近似计算中的应用*当z=f(x,y)在点(x,y)的两个偏导数连续,并且|∆x|,|∆y|都很小时,有近似等式: ∆z =f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y) ≈ f x (x,y)∆x+f y (x,y)∆y;f(x+∆x,y+∆y) ≈ f(x,y)+f x (x,y)∆x+f y (x,y)∆y例6．计算02.204.1的近似值解：设函数yx y x f z ==),(，要求)02.2,04.1(f 的近似值，取04.0,1=∆=x x ， 02.0,2=∆=y y ，则)02.2,04.1(f ≈)2,1(02.0)2,1(04.0)2,1(f f f y x ++=1.08作业：高等数学A 练习册习题五十教学后记：教学参考书《高等数学》第五版，同济大学应用数学系主编，高等教育出版按社 《高等数学应用205例》 高等教育出版按社 李心灿 《数学考研题集》 东北大学出版社 史俊贤等复习思考题1. 偏导数、全微分与连续偏导数三者之间关系如何？2. 一阶微分形式不变性能否推广到二元函数的全微分？3. 利用全微分进行近似计算的主要理论依据是什么？4. 利用全微分进行近似计算的主要步骤有哪些？ 1、答：三者关系如下图.偏导数存偏导数 连续微存在2、答：能.3、答：主要理论依据是函数的全增量与全微分之差是一个比 高阶的无穷小，从而各自变量的改变量都较小时，全增量可近似地用全微分代替.4、答：主要步骤有：建立函数模型，求函数的微分，代入各自变量的值及其改变量的值,所得微分的值即为近似值.讲授内容：8.4多元复合函数的求导法则教学目的与要求：1、 掌握多元复合函数的求导法则.2、 会熟练应用多元复合函数的求导法则求多元复合函数的导数. 教学重难点：重点——多元复合函数的求导法则. 难点——求多元复合函数的导数. 教学方法：讲授教学建议：在求多元复合函数的导数时，通过图形向学生讲清函数的复合结构. 学时：3学时 教学过程：一、 求导公式1. 全导数公式:定理:如果函数u=φ(t),v=ψ(t)都在点t 可导,函数z=f(u,v)在对应点(u,v) 具有连续偏导数,则复合函数z=f[φ(t),ψ(t)]在点t 可导,且其导数有公式:dtdz =dtdv v z dtdu u z ∂∂+∂∂证明:设t 有增量∆t,函数u=φ(t),v=ψ(t)对应增量为∆u,∆v;函数z=f(u,v)的相应增量为∆z,因为函数z=f(u,v)在点(u,v)具有连续偏导数,所以:∆z=uz ∂∂∆u+vz ∂∂∆v+ε1∆u+ε2∆v.这里0lim →∆→∆v u ε1=0, 00lim →∆→∆v u ε2=0.从而tz ∆∆=tv tu tv v z tu u z ∆∆+∆∆+∆∆∂∂+∆∆∂∂21εε因为∆t→0时,∆u→0, ∆v→0, tu ∆∆→dtdu ; tv ∆∆→dtdv ,所以dtdz =0lim→∆t tz ∆∆=dtdu u z ∂∂+dtdv v z ∂∂同样,当z=f(u,v,w),u=φ(t),v=ψ(t),w=ω(t)时,则有:dtdz =dtdw w z ∂∂+dtdu u z ∂∂+dtdv v z ∂∂例1、t v e u v u f z t2sin ,),,(2===，求dtdz解：dtdz =dtdv v z dtdu u z ∂∂+∂∂=t t f tef v tu cos sin 222+2. 偏导数公式:定理:如果函数u=φ(x,y),v=ψ(x,y)都在点(x,y)具有对x,y 的偏导数,函数z=f(x,y)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=f[φ(x,y),ψ(x,y)]在点(x,y)具有偏导数,且其偏导数有公式:xz ∂∂= xu u z ∂∂∂∂+xv v z ∂∂∂∂ ;yz ∂∂=yu u z ∂∂∂∂+yv v z ∂∂∂∂同样,设z=f(u,v,w),u=φ(x,y),v=ψ(x,y),w=ω(x,y),则复合函数 z=f[φ(x,y),ψ(x,y),ω(x,y)]有偏导数公式:xz ∂∂= xu u z ∂∂∂∂+xv v z ∂∂∂∂+xw w z ∂∂∂∂ ;yz ∂∂=yu u z ∂∂∂∂+yv v z ∂∂∂∂+yw w z ∂∂∂∂多元复合函数的求导法则归结为:沿线相乘, 分线相加.3. 特殊情形设z=f(u,x,y)具有连续偏导数,u=φ(x,y)具有偏导数,则复合函数z=f[φ(x,y),x,y]有:xz ∂∂=xu u f ∂∂∂∂+xf ∂∂; yz ∂∂=yu u f ∂∂∂∂+yf ∂∂注:xz ∂∂与xf ∂∂是不同的,xz ∂∂是将y 看作常数而对x 求导,xf ∂∂是将u,y 看作常数.而对x 求导.例2．设z=e usinv,u=xy,v=x+y,求x z∂∂,yz∂∂.解:xz ∂∂=xu u z ∂∂∂∂+xv v z ∂∂∂∂=e u sinv •y+e u cosv•1=e xy[ysin(x+y)+cos(x+y)];yz ∂∂=yu u z ∂∂∂∂+yv v z ∂∂∂∂= e u sinv•x+e u cosv•1= e xy[xsin(x+y)+cos(x+y)].例3．设u=f(x,y ,z)=222zy x e++,z=x 2siny,求xu ∂∂,yu ∂∂.解:xu ∂∂=xf ∂∂+xz z f ∂∂∂∂=2x 222zy xe +++2z 222zy xe ++•2xsiny=2x(1+2x 2sin 2y)yx y xe 2422sin++yu ∂∂=yf y u ∂∂∂∂+yz z f ∂∂∂∂=2y 222zy x e+++2z 222zy x e++•x 2cosy=2(y+x 4sinycosy)yx y x e2422sin++例4．设u=f(x,y ,z),z=g(x,y),y=h(x),其中f,g 有连续偏导数,h 可微,求dxdu .解:如图:dxdu =xf ∂∂+dxdy y f ∂∂+xz z f ∂∂∂∂=xf ∂∂+yf ∂∂h′(x)+zf ∂∂(xg ∂∂+dxdy y g ∂∂)=xf ∂∂+yf ∂∂h′(x)+xg z f ∂∂∂∂+yg z f ∂∂∂∂h′(x)例5．设z=f(x,y,u)=xy+xF(u),u=xy ,其中F 可微,证明:x xz ∂∂+yyz ∂∂=z+xy.证明:xz ∂∂=xf ∂∂+u f ∂∂xu ∂∂=y+F(u)+xF′(u)(-2xy )=y+F(u)-xy F′(u);yz ∂∂=yf ∂∂+u f ∂∂yu ∂∂=x+xF′(u)x1=x+F′(u);⇒ xxz ∂∂+yyz ∂∂=xy+xF(u)-yF′(u)+xy+yF′(u)=z+xy例6．设w=f(x+y+z,xyz),f 具有连续的偏导数,求xw ∂∂,zx w ∂∂∂2.解: 令:u=x+y+z,v=xyz,则w=f(u,v),引入记号:f 1′=uv u f ∂∂),(; f 2′=vv u f ∂∂),(; f 11′′=22),(uv u f ∂∂; f 12′′=vu v u f ∂∂∂),(2则xw ∂∂ =xu u f ∂∂∂∂+xv v f ∂∂∂∂=f 1′+yzf 2′.zx w ∂∂∂2=z∂∂( f 1′+yzf 2′)=zf ∂'∂1+yf 2′+yzzf ∂'∂2=f 11′′+xyf 12′′+yf 1′+yz(f 21′′+xyf 22′′) =f 11′′+y(x+z)f 12′′+xy 2zf 22′′+yf 2′.例7．设z=f(x 2y,xy ),f 可微,求x z ∂∂,22xz ∂∂.解:xz ∂∂=f 1′•2xy+f 2′(-2xy )=2xyf 1′-2xy f 2′.22xz ∂∂=x∂∂(x∂∂)=x∂∂(2xyf 1′-2xy f 2′)=2yf 1′+2xy[f 11′′•2xy+f 12′′•(-2xy )]+32xy f 2′-2xy (f 21′′•2xy -2xy f 22′′)=2yf 1′+32xy f 2′+4x 2y 2f 11′′-xy 22f 12′′-xy 22f 21′′+42xy f 22′′.二、 全微分形式不变性设函数z=f(u,v)具有连续偏导数,则有dz=uz ∂∂du+vz ∂∂dv.又设u=u(x,y),v=v(x,y),则复合函数z=f[u(x,y),v(x,y)]的全微分为:dz=xz ∂∂dx+yz ∂∂dy. …………………(*)其中,xz ∂∂=xu u z ∂∂∂∂+xv v z ∂∂∂∂;yz ∂∂=yu u z ∂∂∂∂+yv v z ∂∂∂∂; (**)证明:将(**)代入上式(*)有dz =(xu u z ∂∂∂∂+xv v z ∂∂∂∂)dx+(yu u z ∂∂∂∂+yv v z ∂∂∂∂)dy=uz ∂∂(xu ∂∂dx+yu ∂∂dy)+vz ∂∂(xv ∂∂dx+yz ∂∂dy)=uz ∂∂du+vz ∂∂dv这种无论z 是自变量u,v 的函数,还是中间变量u,v 的函数,其全微分形式是一样的性质,称为全微分的形式不变性. 例8．用全微分形式的不变性解例2解：dz=d(e u sinv)=e u sinvdu+e u cosvdv,du=d(xy)=ydx+xdy dv=d(x+y)=dx+dy 代入后归并含dx 及dy 的项，得 dz=(e uysinv+e ucosv)dx+(e uxsinv+e ucosv)dy即xz ∂∂dx+yz ∂∂dy=e xy [ysin(x+y)+cos(x+y)]dx+ e xy[xsin(x+y)+cos(x+y)]dy比较上式两边的dx 、dy 系数，就同时得到两个偏导数xz ∂∂、yz ∂∂.例9.设u=f(x,y,z)=222zy xe ++,z=x 2siny,求xu ∂∂,yu ∂∂.解:du=f x ′dx+f y ′dy+f z ′dz=2x 222zy x e ++dx+2y 222zy x e ++dy+2z 222zy x e ++dz=2x 222zy x e++dx+2y 222zy x e++dy+2z 222zy x e++(2xsiny+x 2cosydy)=2x(1+2x 2sin 2y)yx y x e2422sin++dx+2(y+x 4sinycosy)yx y x e2422sin++dy⇒ xu ∂∂=2x(1+2x 2sin 2y)yx y x e2422sin++;yu ∂∂=2(y+x 4sinycosy)yx y x e2422sin++.作业：高等数学A 练习册习题五十一 教学后记：教学参考书《高等数学》第五版，同济大学应用数学系主编，高等教育出版按社 《高等数学应用205例》 高等教育出版按社 李心灿 《数学考研题集》 东北大学出版社 史俊贤等复习思考题1. 求复合函数的偏导数时，要注意什么？求由可微函数()u x f z ,=， ()y x u ,ϕ=复合而得的复合函数()[]y x x f z ,,ϕ=的偏导数，并说明其符号的含义. 2. 在对什么样的函数求偏导时，必须用“二元复合函数求导法则”才能有效进行？1、答：在求复合函数的偏导数时，要注意复合函数变量间的依赖关系及函数结构. 函数()[]y x x f z ,,ϕ=中变量间的依赖关系如图:zxuxy从而xu uz xf xz ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂,yu uz yz ∂∂⋅∂∂=∂∂,其中yzx z ∂∂∂∂,表示复合函数()[]y x x f z ,,ϕ=关于x ，y 的偏导数，x f ∂∂表示函数()u x f z ,=关于x 的偏导数，uz ∂∂表示()u x f z ,=关于u 的偏导数，yux u ∂∂∂∂,分别表示函数()y x u ,ϕ=关于x ，y 的偏导数. 3、 答：在对抽象函数, 即未给出具体解析式的函数构成的复合函数求偏导时，必须用“二元复合函数求导法则”才能有效进行.讲授内容： §8.5 隐函数的求导公式教学目的与要求：1、 了解隐函数存在定理.2、 会用隐函数的求导公式求隐函数的导数. 教学重难点：重点——隐函数的求导公式. 难点——隐函数的求导公式的应用. 教学方法：讲授教学建议：在要求学生掌握隐函数求导公式的同时，应要求学生理解并掌握公式的推导原理.学时：3学时 教学过程：一、一个方程的情形隐函数存在定理1. 设函数F(x,y)在点P(x 0,y 0)的某一邻域内具有连续的偏导数,且F(x 0,y 0)=0, F y (x 0,y 0)≠0,则方程F(x,y)=0在点P(x 0,y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x),它满足条件:y 0=f(x 0):并有: dxdy =-yx F F证明:(证明省略,只推导公式)设由方程F(x,y)=0确定的函数为y=f(x),将其代入方程中,得恒等式:F[x,y(x)]≡0两边对x 求导,即有:xF ∂∂+y F ∂∂dxdy =0由于F y 连续,且F y (x 0,y 0)≠0,所以存在点P(x 0,y 0)的某一邻域,在此邻域内F y ≠0,于是得:dxdy =-yx F F .如果函数F(x,y)的二阶偏导数连续,则有二阶求导公式:22dxy d =dxdy F F yF F xyx yx )()(-∂∂+-∂∂=2yyxx y xx FF F F F --2yxyy y xy FF F F F -(-yx F F )=-3222yxyy y x xy y xx FF F F F F F F +-例1.验证方程x 2+y 2=1在点(0,1)的某一 邻域内能唯一确定一个单值且有 连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x),并求这函数的一阶与二阶导数在x=0的值.解:设F(x,y)=x 2+y 2,则F x =2x,F y =2y,F(0,1)=0, F y (0,1)=2≠0.因此,x 2+y 2=1在点(0,1)的某一 邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x).∵ dxdy =-yx F F =-yx ; ∴=x dxdy =0∵22dxy d )(yx dxd -==-2yy x y '-=-2)(yyx x y --=-322yx y +=-31y∴22=x dxy d =-1例2.设ln22y x +=arctanxy ,求dxdy .解: (方法一)两边对x 求导得:2222)(12221xy x yx y yx y y x +-∙'=+'∙+=22yx y x y +-∙'即: y′(x)=yx y x -+(方法二)设F(x,y)=21ln(x 2+y 2)-arctanxy ; 则dxdy =-yx F F =2222222)(11)(1221x y x yx y x y x yyx x+-++--+-=y x y x -+注：一般求隐函数的导数均可采用以上两种方法.隐函数存在定理2. 设函数F(x,y ,z)在点P(x 0,y 0,z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数,且F(x 0,y 0,z 0)=0, F z (x 0,y 0,z 0)≠0,则方程F(x,y,z)=0在点P(x 0,y 0,z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y),它满足条件:z 0=f(x 0,y 0)并有xz ∂∂=-zx F F ;yz ∂∂=-zy F F证明省略,只推导公式:由于F[x,y,f(x,y)]≡0,两边分别对x 和y 求导,由复合函数的求导法则得:F x +F z xz ∂∂=0; F y +F zyz ∂∂=0由于F z 连续,且F z (x 0,y 0,z 0)≠0,所以存在点P(x 0,y 0,z 0)的某一邻域,在此邻域内F z ≠0,于是得:xz ∂∂=-zx F F ;yz ∂∂=-zy F F例3.设x 2+y 2+z 2-4z=0,求22xz ∂∂.解:设F(x,y,z)= x 2+y 2+z 2-4z,则F x =2x; F z =2z-4.由 xz ∂∂=-zx F F得:xz ∂∂=zx -2.再对x 求导得:22xz ∂∂=2)2()2(z x z xz -∂∂+-=2)2()2()2(z z xx z --+-=322)2()2(z x z -+- 例4.设函数z=z(x,y)由 x 2+y 2+z 2=xf(xy )确定,且f 可微,求xz ∂∂,yz ∂∂.解:(方法一)两边对x 求导,得:2x+2z xz ∂∂= f(xy )+xf′(xy )(-2xy )即:zz x y f x y x y f x z 22)()(-'-=∂∂ 同理两边对y 求导,得:2y+2z yz ∂∂= f′(xy )即:yz ∂∂=zyx yf 22)(-' (方法二)对方程两边求微分:2xdx+2ydy+2zdz=f(xy )+f′(xy )2xydxxdy -则dz=dx z z x y f x y x y f 22)()(-'-+dy zy xy f 22)(-'.(方法三)令: F(x,y ,z)=x 2+y 2+z 2-xf(xy ) 则F x =2x-f(xy )+xy f′(xy ); F y =2y-f′(xy ); F z =2z.x z ∂∂=-z x F F =z z x y f x y x y f 22)()(-'-; y z ∂∂=-zy F F =z yxyf 22)(-' 二、方程组的情形设有方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F ,则此方程组可确定两个二元函数⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u .隐函数存在定理3. 设函数F(x,y,u,v),G(x,y ,u,v)在点P(x 0,y 0,u 0,v 0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数,又F(x 0,y 0,u 0,v 0)=0 G(x 0,y 0,u 0,v 0)=0,且偏导数所组成的函数行列式(或雅可比(Jacobi)式):J=),(),(v u G F ∂∂=vG uG v F u F ∂∂∂∂∂∂∂∂ 在点P(x 0,y 0,u 0,v 0)=0不等于零,则方程组F(x,y,u,v)=0, G(x,y ,u,v)=0在点F(x 0,y 0,u 0,v 0)=0的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数u=u(x,y),v=v(x,y),它满足条件:u 0= u(x 0,y 0),v 0= v(x 0,y 0),并有xu ∂∂=-),(),(1v x G F J ∂∂=-vuv u v x v xG G F F G G F F ;xv ∂∂=-),(),(1x u G F J ∂∂=-vuv u x u x u G G F F G G F F ;yu ∂∂=-),(),(1v y G F J ∂∂=-vuv u v y v y G G F F G G F F ;yv ∂∂=-),(),(1y u G F J ∂∂=-vuv u v y v y G G F F G G F F .证明省略,只推导公式:由于F[x,y,u(x,y),v(x,y)]≡0,G[x,y,u(x,y),v(x,y)]≡0将恒等式两边分别对x 求导,由复合函数的求导法则得:F x +F u xu ∂∂+F vxv ∂∂=0 G x +G uxu ∂∂+G vxv ∂∂=0由于在点P(x 0,y 0,u 0,v 0)的某一邻域内, 函数行列式(或雅可比(Jacobi)式): J=),(),(v u G F ∂∂≠0所以存在点P(x 0,y 0,u 0,v 0)的某一邻域,在此邻域内解得:xu ∂∂=-),(),(1v x G F J ∂∂;xv ∂∂=-),(),(1x u G F J ∂∂;。
高等数学(第八章)向量代数与空间解析几何(全)
若向量a = x1i y1 j z1k，b = x2i y2 j z2k，由数量积的运算性质得
a b = x1x2 y1 y2 z1z2.
设非零向量a = x1, y1, z1，b = x2, y2, z2，则
(1) | a | a a x12 y12 z12；
(2) cos a, b a b
2
向量代数与空间解析几何
空间直角坐标系
一、空间直角坐标系 空间两点间的距离
向量的概念---大小,方向,相等,向径,坐标等.
二、向量代数 向量的运算---加减,数乘,点乘,叉乘,混合积.
❖ 向量位置关系的刻画 ---平行,垂直,夹角. ❖ 向量的方向角、方向余弦.
平面的方程
三、空间的平面 两平面的位置关系
五、 向量的坐标
空间直角坐标系Oxyz 中，在x 轴、y 轴、z 轴上各取一个与坐标轴同向的单位 向量，以此记作i，j，k，把它们称为基本单位向量或基向量.任一向量都可以 唯一地表示为i，j，k 数乘之积.
设M (x, y, z)是空间任意一点，记OM r，则r xi yj zk，我们把上式称为 向量r 的坐标分解式，xi，yj 和zk 称为向量r 沿3 个坐标轴方向的分向量，i，j，
d (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2 .
11
二、 空间两点间的距离 例 1 在z轴上求与点A(3,5, 2)和B(4,1,5)等距离的点M .
解 由于所求的点M 在z 轴上，因此M 点的坐标可设为(0, 0, z)，又由于
MA MB ，
由空间两点间的距离公式，得
(3)结合律：(a) b = (a b) a (b)；
(4)a a = a 2 ； (5)a b = 0 a b； (6) | a b || a | | b | . 特别地，有
高等数学辅导讲义85页注
高等数学辅导讲义85页注摘要：1.高等数学辅导讲义简介2.85页注内容概述3.高等数学的重要性4.85页注的实用性分析5.学习建议正文：高等数学是理工科专业的基础课程，对于培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力起着至关重要的作用。
在高等数学的学习过程中，辅导讲义是必不可少的辅助工具。
本文将针对高等数学辅导讲义的第85页注进行详细解读，以帮助大家更好地理解和掌握高等数学知识。
85页注主要包括以下内容：一、概念解析；二、公式与定理；三、典型例题解析；四、习题解答。
这些内容对于巩固高等数学的基本概念、提高解题技巧具有很好的指导作用。
首先，我们要充分理解高等数学的基本概念。
概念是数学大厦的基石，只有掌握了概念，才能在实际问题中灵活运用。
85页注对高等数学中的重要概念进行了详细解析，如极限、导数、积分等。
通过对这些概念的深入理解，同学们可以更好地把握高等数学的学习方向。
其次，公式与定理是高等数学的灵魂。
85页注中列举了一系列重要的公式与定理，如微积分基本定理、泰勒公式、积分公式等。
熟练掌握这些公式与定理，能够为解题提供有力的武器。
同时，也要注意在实际解题中灵活运用公式与定理，以提高解题效率。
接下来，典型例题解析是85页注的亮点。
通过对一系列具有代表性的例题进行详细解答，同学们可以掌握高等数学中的解题技巧和方法。
在学习过程中，要注重分析题目，善于寻找解题思路。
通过不断练习，提高自己的解题能力。
最后，85页注还提供了习题解答，供同学们参考。
做习题是检验学习效果的重要手段，不仅可以巩固所学知识，还能发现自己的不足之处。
在完成习题后，要对照答案，查找自己的错误原因，并及时调整学习方法，提高学习效果。
总之，高等数学辅导讲义的第85页注具有很高的实用性。
同学们在学习过程中要注重以下几点：1.扎实掌握基本概念，打牢基础；2.熟练运用公式与定理，提高解题效率；3.分析题目，寻找解题思路，培养解题能力；4.多做习题，巩固所学知识，发现并弥补自己的不足。
高等数学第八章课件.ppt
T x(t0), y(t0), z(t0)
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
x(t0 )(x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0
限，记为
lim f( x, y) A,
( x, y x0 , y0 )
或 f(x,y) A,( x, y)( x0, y0 )
例 考察函数
g( x,
y)
xy
x2 y2
,
x2 y2 0 ,
0 , x2 y2 0
当 ( x, y ) ( 0 , 0 ) 时的极限
解 当 ( x, y ) 沿 y 轴趋向于原点，即当 y 0 而
若函数 u u(x, y), v v(x, y) 在点(x, y) 处有偏导 数，则 z f (u) 在对应点(u, v) 处有连续偏导数， 则复合函数 z f [u(x, y), v(x, y)] 在点(x, y) 处也存 在偏导数，并且
两种特殊情况：
（二） 隐函数的求导法则
设方程 F (x , y) = 0 确定了函数 y = y(x)，两端 对 x 求导，得
f（x0，y0）=C
第二节 偏导数
一、偏导数的概念及几何意义 二、高阶偏导数 三、复合函数与隐函数的求导法则
一、偏导数的概念及几何意义
（一） 偏导数的概念
定义 设函数
在点
的某邻域内极限
存在,则称此极限为函数 的偏导数，记为
注意:
同样可定义对 y 的偏导数为
若函数 z f ( x, y)在域 D 内每一点 ( x, y)处对 x
《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学
称点P为E的 外点。
边界点的定义：
若点P的任意的邻域内,既有属于E的点
也 有 不 属 于E的 点, 则 称 点P是E的 边 界 点 。
边界的定义：
E的边界点的全体称为E的 边 界 。
3、聚点、孤立点
设E是一个平面点集
聚点的定义：
若点P的任意邻域都含有E的无穷多个点，
为P0的 邻域。
0
U(P0 , ) {( x, y) 0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 2 }
为P0的 去心邻域。
2、内点、外点、边界点
设E是一个平面点集.
内点的定义：
若点P E,并且存在P点的一个
邻域U(P, ), 使U(P, ) E,则称点P
为E的内点。
外点的定义： 若点P E,并且存在P点的一个
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
例6、讨论下列函数的连续性
(1)、f
(
x,
y)
x
3 xy 2 2
y
2
x2 y2 0
解 0
x2 y2 0
当x 2 y 2 0时, f ( x, y) 3xy 是初等函数, x2 2y2
且 有 定 义, 连 续.
3kx 2
lim f ( x, y) lim
lim
x0
x2 2y4
02 2(1)4
. 2
y1
在有界闭区域上连续的多元函数的重要性质如下：
定理1、(最大最小值定理)
在有界闭区域D上连续的多元函数f , 在D上必有
最大值和最小值,亦即在D上有点P1和P2 , 使对D上任意
点P,恒有 f P1 f P f P2 , P D
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P1P0 n n
（为什么？）
n P0
A (x 0 x 1 ) B (y 0 y 1 ) C (z0 z1 )
d
A 2 B 2 C 2
P1
dAx0By0Cz0D (点到平面的距离公式) A2B2C2
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内容小结
1.平面基本方程: 一般式
A B x C y D z 0(A 2B2C 20)
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A x B y C z D 0(A2B2C20)
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
n (0 ,B ,C ) i, 平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xOy 面 的平面; • A x + D =0 表示平行于 yOz 面 的平面； • B y + D = 0 表示 平行于 zOx 面 的平面.
点法式
截距式 xyz1 (abc0) abc
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2.平面与平面之间的关系
平面 1 :A 1 x B 1 y C 1 z D 1 0 ,n1(A 1,B 1,C 1) 平面 2 : A 2 x B 2 y C 2 z D 2 0 ,n 2 (A 2 ,B 2 ,C 2 )
垂直:
平行: n1n20
A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 0 A1 B1 C1 A2 B2 C2
夹角公式: cos n1n2
n1 n2
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Thanks！
设平面∏1的法向量为 n 1(A 1,B 1,C 1 )
平面∏2的法向量为 n 2 (A 2,B 2,C 2 )
则两平面夹角 的余弦为
2
cos n1n2
n1 n2
即
cos
A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2
A12B12C12 A22B22C22
n1
n2
1
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1: n1(A1, B1,C1) 2: n2(A2,B2,C2)
高等数学高等教育出 版社第八章D85平面
方程
一、平面的点法式方程
引例：一平面通过点 M0(x0,y0,z0)且垂直于非零向
量 n(A ,B ,C ),求该平面的方程.
任M 取 (x,y,点 z) ,则有
M0Mn
故
M 0Mn0
zn M M0
O
x
y
A ( x x 0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0① 称①式为平面的点法式方程, 称n为平面 的 法向量.
垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .
解: 设所求平面的法向量为
则所求平面
方程为 A ( x 1 ) B ( y 1 ) C ( z 1 ) 0
nM1M2 A 0 B 2 C 0 ,即
n的法向量 A B C 0,故
因此有 2 C ( x 1 ) C ( y 1 ) C ( z 1 ) 0 ( C 0 )
约去C , 得 2 ( x 1 ) ( y 1 ) ( z 1 ) 0
即
2xyz0
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例4. 设
是平面
外一点,求 P0 到平面的距离d . 解:设平面法向量为 n(A ,B ,C ),在平面上取一点
P 1(x1,y1,z1),则P0 到平面的距离为
dPrnjP1P0
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例1.求过三点
的平面 的方程.
解: 取该平面 的法向量为
n
nM 1M 2M 1M 3
Байду номын сангаас
M1
i jk
3 4 6
2 3 1
(1,4 9,1)
又 M1,利用点法式得平面 的方程
M3 M2
即
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特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 时,
平面方程为
xyz1 (a,b,c0) abc
—— 截距式方程
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二、平面的一般方程
设有三元一次方程
A x B y C z D 0 (A 2B2C 20) ② 任取一组满足上述方程的数 x0,y0,z0,则
A x 0 B y 0 C z 0 D 0
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
显然方程②与此点法式方程等价,因此方程②的图形是 法向量为 n(A,B,C)的平面, 此方程称为平面的一般 方程.
cos
n1 n2 n1 n2
特别有下列结论：
n2
(1) 1 2
n1n2
1
A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 0
n1
2
(2) 1// 2
n1 // n2 A1 B1 C1 A2 B2 C2
n2 n1
2
1
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例3. 一平面通过两点 M1(1,1,1)和 M 2(0,1 , 1),且
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例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解: 因平面通过 x 轴 , 故 AD0
设所求平面方程为 ByCz0
代入已知点 (4,3,1)得
化简,得所求平面方程
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三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角(常指锐角)称为两平面的夹角.