高等教育出版社《高等数学》同济第六版下册第十二章PPTD12_2数项级数及审敛法
同济大学《高等数学》第六版：D12习题课34页PPT
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
同济大学《高等数学》第六版：D12 习题课
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
高数同济六版课件D127傅里叶级数
,
处收敛于
2.
则它的傅里叶级数在
在
处收敛于 .
提示:
设周期函数在一个周期内的表达式为
3. 设
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又设
求当
的表达式 .
解: 由题设可知应对
作奇延拓:
由周期性:Leabharlann 为周期的正弦级数展开式的和函数,
在
f (x)的定义域
*
4. 写出函数
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定理3
答案:
傅氏级数的和函数 .
*
01
P313 1(1) , (3) ; 2 (1) , (2) ; ; 6 ; 7 (2)
02
作业
备用题 1.
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叶级数展式为
则其中系数
提示:
利用“偶倍奇零”
(1993 考研)
的傅里
*
2. 设
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2. 定义在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数
周期延拓 F (x)
f (x) 在 [0, ] 上展成
周期延拓 F (x)
余弦级数
奇延拓
偶延拓
正弦级数
f (x) 在 [0, ]上展成
*
例6. 将函数
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分别展成正弦级 数与余弦级数 . 解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,
是以 2 为周期的函数 ,
其傅氏系数为
则
的傅氏系数
提示:
令
类似可得
*
傅里叶 (1768 – 1830)
法国数学家.
他的著作《热的解析
理论》(1822) 是数学史上一部经典性
书中系统的运用了三角级数和
高等数学第六版(同济版)第十二章复习资料
注：r.级数是无穷多个数相加的结果./!-12°.级数£知的形成经历了一个有限到无限的过程.n-13•级数的和:称级数亍“”的前”项和s 产士％为级数的部分和.称数列｛»｝为级数的部分和数列. /r-l女■】 若部分和数列｛片｝有极限$，即lim»=s ，则称级数收敛，称s 为级数的和，即"K-1s = u { + u 2 + w 3+ ・・• + ll n + ….称差值/；,=5-5,_为级数的余项，显然lim/^0. 気 "T* 若数列｛»｝的极限不存在，则称发散.H-1X例1 •讨论等比级数（几何级数）5>/=0 +如+如2+…+呵“+…的敛散性,其中。
工0・ 解：（1）・若§工1 ,则部分和片=工彳/ =a + aq+ +aq n ^9a(l — q")_ a acfl_g l_g \-q当I ty 1< 1 0寸,有lim 片=—^―,则乞呵收敛.…1 _ qn-l综上,等比级数为诃在Iglvl 时收敛,在Iglni 时发散. F1-In-1 n-1当I g l> 1时，有lini s H = oo ，则为“q"发散n->xn-1⑵.若q = 1 ,则部分和s n = na* ,有liin s” = s ,则工发散fi->xn-1⑶•若§ = -1，则部分和》=<::二严,有呼不存在'则討发散X例2.证明等差级数2> = 1 + 2 + 3 +… n-l证明：由于部分和L + 2 +…卄冒有lim s = s从而发散.J7-1航判定级数£法r护右…躺r…的敛散性•解：由于通项= —=-—-L ,因此部分和片=1 一丄+丄一丄+…+丄一丄=丄n(n +1) n n + \12 2 3 n n + \ n + \且lim s n = lim 1 ---- !— I = 1，则， ! 收敛,其和为1.―丸n + \)/?(// +1)二、收敛级数的基本性质性质1 :若级数Y知收敛，和为$ ,则级数工《冷也收敛，和为愿，其中&H0. n-l n-1性质2 :若级数与$>"都收敛，其和分别为S和CT ,则土儿也收敛，其和为S±b.H-l K-l fl-1性质3 :在级数工“”中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数丫心的敛散性. n-l n-i 性质4 :若级数丫匕收敛,则对该级数的项任意加括号后所形成的级数n-i(⑷+ …+5) +(仏+1+ •••+%) + ••• + (%” + ••• + %) + ••.仍收敛.注：r.反之不成立，即去掉收敛级数各项中的括号后得到的级数未必收敛.例如：为(1-1) = (1-1) +…+ (1-1) +…收敛于o,但去掉括号后所形成的级数“■】90工(・1)M =1_1 + 1_1 +・・・+ (_1)曲+・・・/I-1□0C Q 77 = 2£却发散•因为yc-ir1的部分和必=‘ "/ 不存在极限.”■11, n = 2k +1 ・XX2°.若级数乞叫的项加括号后所形成的级数发散，则也发散n-i/r-1x性质5 :若级数5X 收敛,则limw w =O.J?-l"T*X21若lim u n = 0 ,则，u n 未必收敛.x1例4•证明调和级数》丄发散.证明：用反证法.001假设级数工丄收敛于$，再令该级数的部分和为》,有,从而也有Um = 5 ,Iln->x n->» -即 lim(s 2 -5 ) = 0.但1 1 I 1 1 1 1 九一兀= ---- + ----- + …+— > — + — + …+—=-,n + \ n + 2 2n 2n 2n 2n 2x i这与鯉（％-$”）= 0矛盾，从而调和级数岁发散. 三.级数收敛的判别法一（柯西审敛原理）8定理：级数工心收敛、3N 已N ・、Pn>N Np 已W ，都有+/^2+ --- + ^p \<£/r-l成立.8证明：级数》©收敛O 数列｛S 〃｝收敛OVw>0 , mN , V/7 > N , Vp e ，都有；t-iI S 一 片 1=1 %】+ %2 + …+ J IV £ 成立.x 1例5•利用柯西审敛原理判定级数若占的敛散性.X 注：1°.若lim/HO ,则发散 n->xH-l解:V^>0 , V/r N+ ,要使不等式1 ---------- +…+(“ +1)(〃 + 2)] (/? + /7-l)(n + p)1 1 1 ------- -- —I ---------- n + \ n +2 n + p -11< - n 成立，只须"〉丄.由柯西审敛原理知,数收敛.叽+%+…+%匸时+ -------- T + …+ ---------- T ⑺ + 2)" 1 -- + n{n +1) 于是， Vw>0VpeAT ■都有l%】+%2 + ・第二节常数项级数的审敛法正项级数及其审敛法 1 •正项级数及其收敛性(1) .正项级数：若级数中的通项＞0 ,则称为正项级数./|-1n-1(2).正项级数收敛：设正项级数£ 的部分和数列｛»｝收敛于s ,则称£叫收敛，其和为s. n-1 n-1注：正项级数工知的部分和数列｛»｝是单调增加的数列.“■1 (3) .正项级数收敛的性质：X 00定理1.正项级数为“”收敛O 工叫的部分和数列匕｝有界.n-ln-I注：正项级数£血发散的部分和数列｛»｝无界./i-ln-l2.正项级数审敛法(敛散性判别法) (1) .比较审敛法,满足s 叫，/7 = (1,2,-)，若£气,收敛，则£收敛；若”■】 H-18 X发散，则\＞”发散(大的收敛保证小的必收敛；小的发散导致大的发散)n-ln-l证明：1°.设fl ，”收敛于和＜7 ,则土叫的部分和n-1n-1S fJ = U x +U 2 + ・・• + ll n + ■' * < Vj + v 2 + • • • + \；, + ・・• V b ,即部分和数列｛»｝有上界，且单调增加，于是由单调有界准则知｛»｝收敛，从而也收敛.2°.假设收敛，由1知也收敛，出现矛盾，故发散.n-1 n-1 n-1X X定理2•对正项级数丫知和工叫 w-l n-l推论：对正项级数工冷和为匕，若Y匕收敛，且2N , V/7 > TV，有u n < kv n伙>0), n-l /t-l n-1□000 X则丫你收敛・若工X发散、且mN w N十,\fn>N , u H > kv n伙>0),则》叫发散n-l n-l n-ix 1例i•讨论〃-级数(广义调和级数)y4(p>0)的收敛性・解：(I).当0</虫1时，有-L>1 ,而调和级数发散，从而广义调和级数£占发散.(2).当P>1 时，由于m"时，有君 V 士，所以-L = ^l_dx<\k_^dx ,a>2). 从而级数的部分和『1+£存1+£匸占心出号心< 1 + —-—(72 = 2,3,…). ”一1=1 +00 1这表明数列｛»｝有界,从而广义调和级数工丄收敛.tin8 1综上,广义调和级数工丄当”>1时收敛,当0</7<1发散.n-l n例2•证明级数V , 1是发散的.台/心+ 1)I 1 x i证明：由于/?(« + 1)<(/: + 1)2 ,从而.1> —>而级数，丄是调和级数,发散•故级yjn(n +1) 7? + 1 铝"+ 1x ]数》，是发散的.禽3®+1)(2).比较审敛法的极限形式定理3.对正项级数和"，满足!坐如=/n-l n-l 叫(1).若Ov/v+s ,为比与》心同敛态.n-l /?-!(2).若/ = 0 ,且£ v”收敛，则“收敛.n-l n-l(3) .若/ = +s ,且£卩”发散，则发散. n-l w-l证明：⑴•由 lim = / ，贝 1」对£ = — , mNwTT宀v n 2若£叫收敛，由于U n <^v n ,从而$>“收敛.若£叫发散，由于叫〉A ，从而发散. “■1 2 “■] “■】 2H-IX从而YX 收敛・n-i⑶•由lim/ = ”o 知lim — = 0 ,假设工心收敛,则由⑵知工匕收敛,矛盾，故工心发散xi例3•判定级数工sin 丄的收敛性.・1 sin- — x f解：由于1曲—^ = 1 ,又》丄发散,从而工sin 丄发散 “虫 1 粽n 粽 川 (3).比值审敛法©Alembert 判别法) X定理4.对正项级数，知，满足lim 也(1)•若pvl ,则工心收敛.12-1⑵.若Q>1或Q = +s ,则》"”发散./r-1(3) .若Q = 1 ,则£叫敛散性待定.n-1证明：,V/7 > N , W —-/ <£ =—⑵•由lim 乞=0 ,则对 £ =丄，3/Ve7V +, V/7 > N ,有性2VnV ,即u n <Lv n .^±v n 收敛,例6.判断级数£ 解：由于 lim 也=lim "°"7卩2"屮）=lim“y u n "TOC 1/（2〃-1）2” "TOC （2〃+ 1）（2”+ 2）1 1 x 1 x 1由于2—沁〃,从而十讣，而若+收敛，从而希坛收釵 (4) .根值审敛法(柯西判别法)(1) •由lim 上伫丄= /?vl ，取£>0 ,使/? + £ = /・vl ,存在正数加,当n > m B 寸，有或护"+ £ =厂‘即心V" •从而柿<",%2 <叽G …由于级数j^r ku m 收敛，于是根据比较判别法的推论知乞竹收敛. J1 “■】 (2).由limdd = Q>l ，取£>0,使°一£>1,存在正数加，当n > m 时，有 "T8 linlfn或也>° —£>1，即“心>©「即数列｛血｝是单调增加的，从而,因此工©发散. 心 “ 粽(3).当° = 1日寸，土叫可能收敛也可能发散，例如：广义调和级数£丄满足”■】 n-l “u ICC \/n P 1叫〃 + 1 丿P=1,但当301x1”>1时工二收敛,当0</,<1时工二发散n-i n/r-i nx1例4 •证明级数若聞的收敛性.证明：由于 lim = lim = Um - = 0< IS H "TOC /?! HT3C JJ x1I,故工时收敛.w-1 例5.判定级数£竺的收敛性."■1 1° 解：由于lim 乞日n->® 叫2* nl/\O n 10，故謠发散.⑵-1)2“=1 ,故比值判别法失效.n-l定理5・对正项级数为心，满足lim诉7 = °・/r-l(1).若pel ,则£©收敛.n-1⑵.若p>l或Q = +S ,则工"”发散./r-l(3)•若p = \ ,则工心敛散性待定.n-l注：当0=1时，£心可能收敛也可能发散，例如：广义调和级数£2满足“■】n-l “lim li/w? = limn->»v n->x但当”>1时£厶收敛，当0</7<l时£丄发散例7.判断级数£2 + 3的收敛性.W-1/— 1 i -------------------- 1 一训2+(-1*] 1 Um-ln|2+(-l)rt J 解：由于lim 呃=lim -r{l2 + (一1)“ = lim =lim _疋"““Tx> v— x> 2 “f00 2 “f00 2 =0，从而£2 + (-1)"/r-l收敛.(5) •极限审敛法定理6•对正项级数工匕，w⑴•若lim nu n = / (0 < / < +s),则Y u n发散.H—n-lg⑵•若〃 > 1 而lim n p u n =1 (0</ < +s),则乞收敛.n-ln-»»证明：(1).在比较审敛法的极限形式中，取V n=-,由调和级数E丄发散，结论成立. (2).在比较审敛法的极限形式中，取v…=J-，当p>l时，由“-级数丈丄收敛，结论成立.例&判断级数finn-lT 的收敛性.二.交错级数及其收敛法解：由于In ； 1+ 1 - ---- (〃 T s)，有 lim /?2 In 1 i f 丿 rr 心30 V + -L ) = lim n 2- 1 zr 丿 gg 1 30 ' 1 '—=1 ,故工In 1 +眉 收敛.irn-l 例9.判断级数 n-l 的收敛性.1-COS- 77解：由于1- cos — = 2sin 2n 7t2n )、2 ，有3 lim n 2( 〃 1・ 》1 - cos — = lim 八"丿1 2= _7V21-COS-n 丿收敛.1.交错级数：称各项是正负交错的级数为交错级数，记作E （j ）”「S”或£（j ）s”（"”no ）・n-lw-12•交错级数审敛法：（莱布尼兹判别法）定理7•若交错级数工（_1）心知满足（1）.给》也（〃 =123,…）,（2）. 收敛,且其和余项乙满足|/;?|<^rX oc简记：若交错级数为（-1广5”中数列｛“”｝单调减少趋近0 ,则为（-1）”“叫收敛.H-1W-1xi例io •判断交错级数yc-ir 1丄的收敛性.11 1 x解：由于(1 )・冷=—> -- =%](〃 = 1,2,3,…),(2). lim u n = lim — = 0 ,从而工(-1)心—收敛. n n + \ 『―30 28 口 訂 n II三.任意项级数及其绝对绝对收敛.条件收敛1.任意项级数：若级数$>”中各项为任意实数，则称$>”为任意项级数. n-ln-l00X2.绝对收敛：若级数£h/n l 收敛，则称级数绝对收敛・H-ln-l例如：$（j ）心丄绝对收敛；yc-ir 1-条件收敛・ 3•级数收敛的绝对审敛法:定理8.若级数绝对收敛，则必定收敛.n-ln-l001证明：由已知,有刃"」收敛，设匕=一（冷+1"口1） >则有匕V"」,从而有工叫收敛. “■】 2□00C 130OC3030又亍匕=乞：7（如+1"」）’有刃匕=乞2叫-力叩’从而亍心收敛./i-l/r-1 乙/i-ln-l/r-1n-1注：「反之不成立,即收敛的级数未必是绝对收敛的.2°.—般来讲，£|“”1发散，办”未必发散 但若1心1不趙近0则由£|“”1发散可知n-ln-ln-ln-I发散.例11.判定级数£弓笋 的收敛性.条件收敛：若级数“收敛，而级数£|“」发散，则称级数条件收敛.n-1/i-lH-l/I-1解：由于sin na 活而洋收敛吨譽艸收敛，从而£耳笋也收敛•例12. x1 / 1 Y r判定级数£(_1)”厶1+丄 的收敛性.n=l2 Ifl )71=1 T £>1 （“TS）,从而有©不趋近0 ,因此2工 I I工（T ）发散.第三节幕级数—、函数项级数的相关概念1.函数项级数：设有区间/上的函数列｛叫(力｝,将｛n…(A)｝中各项依次用加号连接起来，即n I(x) + H2(x)+ -- + zf/l(x) + - -,称为函数项无穷级数，简称函数项级数，记作£"“(尤).n-1注：1°.若x = x.el ,则函数项级数］>”(切成为常数项级数$>“(无).n-1 /r-l2°.函数项级数分两类：幕级数、三角级数.2.函数项级数的收敛域：若常数项级数(忑)收敛，则称儿是函数项级数£心(羽的收敛n-1 n-1点，收敛点的全体称为它的收敛域.若常数项级数£馮(无)发散，则称也是函数项级数/r-l£叫(劝的发散点，发散点的全体称为它的发散域.“■1X3•函数项级数的和函数：对收敛域内的任一数x ,常数项级数£知(0都有一个确定的和数/r-ls(x),称之为函数项级数£你(切的和函数，即=n-1 H-1注：和函数s(x)的定义域是£叫(切的收敛域. n-1x4•函数项级数的余项：若的部分和为片(x),其和函数为s(x),有lim s n(x) = s(x), n—l则称r n(x) = s n(x) - s(x)为工u… (x)的余项，有liny;(x) = 0.“■1"T*二、幕级数及其收敛性1.幕级数：称各项都是幕函数的函数项级数Xa n x"为幕级数，即/!-090为G*=a0 + a}x + a2x2 + ・・・ + a n x n + ….zi-0注：幕级数在兀=0处收敛于5.（幕级数还在X轴上哪些点收敛，又在哪些点n-0 n-0发散呢？下面的介绍的幕级数的收敛性能回答这些问题.）2 •幕级数的收敛性X例1 •考察幕级数E疋的收敛性・J7-0解：暂时固定X，则工弋为几何级数，从而当lxl<10寸,工0收敛,其和为5（x）=—；当H-0K-0 1 —XX 8lxl>lH寸,£対发散,即亍*在（一1,1）上收敛,在（V — l]U[l, + s）发散.□■0“■（）由此可见幕级数壬疋的收敛域是一个区间，这个结论对一般的幕级数也成立，即: /!-（>定理l.（Abel定理）若级数工当％ =儿工0时收敛,则Vx：lxl<x0 ,有工©0绝对收敛.”■（）口■（）若级数^a n x"当x =儿H 0时发散，则Vx: I x 1>心，有为发散./!-0 口■（）注：由Abel定理可以看出，幕级数^a…x n的收敛域是以原点为中心的区间：（-1忑1,1忑1）；/!-0(-lx0IJx0 I] ； [-lx0IJx D l) ； [-lx o IJx o l].推论：若幕级数工©0既不仅在x = 0 —点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个确定的正数R存在，使得1.当\x\<R时，幕级数绝对收敛./!-02•当\x\>R时,幕级数发散・/I-03•当1x1=/?时,幕级数工敛散性待定.zi-0注：称/?为幕级数工勺工的收敛半径.7!-02 •幕级数收敛半径的求法x定理2•设有幕级数工，若lim紜a ft =p ,则的收敛半径R = <H-0丄，Q H 0P+ s,p = 00, p = +sX X定理3.设有幕级数，若巴]呃| = °，则为©*的收敛半径/? = <n-0n-0 丄，"0 P+ s,p = 0・例2•求幕级数$(-1)心匸=兀-少+匸+・・・+ (-1)心匸+…的收敛半径与收敛区间. 铝n 2 3 n1= lim 斗1 = 1，则该级数的收敛半径为/? = ! = !."T8 1 1nX 1 X 1 X 1又当X = -\时,工(—1尸7丄=_工丄发散；当*1时,工(—1)^丄是交错级数,H-l f1/i-l ,l/r-1 n，从而收敛区间为(-1, 1]・例3.求幕级数£匚=w-0料・心+計・丄+…的收敛区间.IV.解：由于Q = lim 土=1曲竺岂=1曲丄=0，从而级数歹匸的收敛半径R=W2 8 1 2" n + \粽川收敛区间为(_S,+QO)・例4•求幕级数为川疋= l + x + 2!/ +…+川疋+…的收敛区间.n-0解：由于p = lim =亦也士 = lim〃+ l = +s ,从而级数丈匸的收敛半径R = 0 MT* n\ “TOC粽 /?!从而例g 级数£器0的收敛半径.收敛；当4I X I 2>1 ,即lx 卜丄时，级数£ 斗0发散，从而级数£ 半的收敛半2 /r-o (川) /I-O (n!) 径R =丄.2例6.求幕级数£口匕的收敛区间.n-0 2"・〃解：令y = x-l ，则有级数■*于Q = lim|加|=lim ——/—=-，从而级数幺 2"•” ” | "2间心 + 1)/ 2” •“ 2 £恙的收敛半径X X 1 X / ［ W"001当"2时,工4 =工丄发散；当尸一2时，工畔二=工(一1)“丄收敛；因此级数 /I-0 乙• n/r-(> n/r-(>Z •11 /r-() 口-的收敛区间为［-2, 2).n-o 2 • n由-2<x-\<2 , fiP-l<x<3 ,于是级数f的收敛区间为［—1,3)n-0 2 • ll三. 幕级数的运算x x定理4.设幕级数为如卍与工>屏的收敛半径分别为&和鸟，令/? = nin{/?1,/?2},则有n-0n-»0□c 00吃认=工加* , 2为常数,H</?j ；“■0£%"±£加"=£("“±»)x", \x\<R ;/I «B 0//-()n»0= ,其中 C n =^a k b n _k , \X \<R ；n=0 A-0级数n-0仅在x = 0收敛.解：由于lim/t->x ⑵2+ 2)!宀+2 /⑵叭2〃 W + 1)!]' / 耐.—当仆"即I 吨时,级哼霧0x / oo x n工工仇x"=》C 詁川,其中5=工％5“ ,凶 ＜凡,&比&和心都小＞ /|-0 / /i-O n-0 X:-()x例如：工％疋=1 ,其中(q = 1“ =0昇2 = 1,2,…),/|-0^b n x'' = \-x ，其中 ％ = 1,勺=一1,戈=0, “ = 2,3,…，这两个级数的收敛半径均为R = +s ,但是Z唧/ E X” =一=工八1+%+F +…+疋+… /I-0 /n-0 1 — X /!-()的收敛半径只是/? = !.四. 幕级数和函数的性质 定理5•若幕级数的收敛半径7?＞0 ,则其和函数$(对满足：n-0 ⑴.在收敛区间(-ER)上连续；90f3D(2)•在收敛区间内可逐项求导,且F(x) =》(d =£叫严,xw(—R 、R);/T -O/r-J(3).在收敛区间内可逐项积分，且匚$(x)〃x = £qJ (X 血,xe(-R.R). n»0 注：逐项积分时，运算前后端点处的敛散性不变. 例7.求幕级数£匚的和函数5(x). 緬n\解：由于R = lim 厶=血］化丄=+00 ,所以该级数的收敛域为(-1 + 00),设其函数为 1计川两端乘以「,有(e~v s(x)) =0 •因此s(x) = Ce" •由 s(0) = 1 得 s(x) = e",故有 V — = e v . 紜n\X yfl,(一OOVXV+S ),贝9s'M = X/?=|⑺一1)!(一 oo <X< +s)・例8.求幕级数的和函数s(x).w-0—[——f/x = - —ln(l -x) , [0<lxl<l)及 x = -l ・ x Jo l-x x 而$(o )= q = i 或由和函数的连续性得到5(0) = lim s(x) = lim | - ln (1~ V )=1，于是5 XT 叭 X 丿心-抑-"[7叽(0'1) 1,x = 0第四节函数展开成幕级数—、函数展开成幕级数的相关概念1. 函数展开成幕级数：若在区间/上存在幕级数j^a n x n收敛于给定的函数/(x),则称/(x)n.O在I 上能展开成幕级数，即/(A ) = Xa n x n .n-02. 泰勒级数：若函数/(x)在儿的某邻域内具有” + 1阶导数，则称乞£2学2(X _站 *(勺)+几G (—勺)+今2(一勺)2+…+£2^2(兀—勺)”+…为/(对的泰勒级数，即 心)〜歹口^2(—观)”.解：由于 /? = lim|^|=lim —= 1 ”鬥勺+] | “* n又x = ±l 时，级数<>(±1)"发散，所以该级数的收敛11-0域为(-1,1)，设其函数为 s(x) = £nx" , (-lvxvl)，则 ;r-()5(x)=为必"=xy' nx n ~l;r —0 口 ■()X 川例9.求幕级数y — E+i 的和函数s(x)・ 解：由于/? = liman= lim 出.=1，又x = 10寸，级数Y —发散,% = -!时，级数Y — E “ + 1 忍"+ 1 禺八+ 1收敛，所以该级数的收敛域为［-1,1),设其和函数为s(x) , 1-1<X<1),当XH0日寸，有心)=£n-0= xE (x”)'=x(£x")= ;t -0 /r-1[IFH +1当心=0时，泰勒级数又叫麦克劳林级数.注：泰勒级数£ 匚如(―勺)"在“儿处收敛于f(x0).為n\3.函数展成幕级数的条件定理1 .函数/(X)在点儿的某一邻域t/(x(J内具有各阶导数，则/(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是/G)的泰勒公式的余项满足liin/?w(x) = O.证明：设S”+") = 土心如(―勺)*为泰勒级数£匚如(—和”的” + 1项余和，/⑴的z k!n=o ”！〃阶泰勒公式为fM = S ll+l(x) + ^(x),其中R ii(x) = J^l(x-x o y l+l为拉格朗日余项.S + 1)!必要性：若_/3在邻域“忑)内能展开成泰勒级数/W = y£2^(x-x(>)« ,则有伺川lim R tl(x) = -S”+](x)] = O.HTOC n->®充分性：若lim R ti(A) = 0，则有f(x) = lini 5ZI+1(A)=工一(x-x0)".，l /F n=0 料・思考：函数_/3在儿处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同？定理2•若/(x)能展成x的幕级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.证明：设/(X)所展成的幕级数为f(x) = a0 + a x x + a2x2 + - - - + a tl x n + • •,有勺=/(。
高数同济六版课件D123幂级数
当$x_0=0$时，泰勒级数称为麦克劳林级数，形如 $sum_{n=0}^{infty} frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$。
几何级数
形如$sum_{n=0}^{infty} a cdot q^n$的级数称为几何级数，当 $|q|<1$时收敛于$frac{a}{1-q}$。
泰勒级数应用
泰勒级数在数学、物理和 工程等领域有广泛应用， 如求解微分方程、计算函 数的近似值等。
麦克劳林级数展开式
麦克劳林级数定义
01
麦克劳林级数是泰勒级数在展开点为零时的特例，也称为麦克
劳林展开式。
麦克劳林级数展开条件
02
与泰勒级数展开条件相同，需要函数在零点附近具有任意阶导
数，并且这些导数在零点处取值有限。
实际应用举例
计算圆周率
求解微分方程
利用泰勒级数或麦克劳林级数展开式，可 以计算出圆周率的近似值。
幂级数方法可以用于求解微分方程，通过 将微分方程转化为幂级数形式，可以方便 地求解出微分方程的解。
信号处理
其他领域
在信号处理中，幂级数方法可以用于信号 的滤波、压缩和重构等操作。
幂级数方法还广泛应用于计算机图形学、金 融数学、统计学等其他领域。
1 2 3
积分变换求解微分方程原理
通过积分变换将微分方程转化为代数方程进行求 解。
幂级数在积分变换中作用
利用幂级数的展开式，可以将复杂的函数进行简 化处理，从而更容易地应用积分变换求解微分方 程。
实际应用举例
例如，在求解热传导方程、波动方程等物理问题 时，可以利用幂级数和积分变换相结合的方法进 行有效求解。
x_0)^n$，其中$a_n$是常数，$x_0$是给定实数。
第六版高数第十二章第一节
当q < 1时,收敛 综上 ∑aq n=0 当q ≥ 1时, 发散
∞ n
例2
的收敛性. 判别无穷级数∑22n31−n 的收敛性.
n=1
∞
解
Q un = 22 n 31− n = 4 ⋅ 4 3
n −1
,
4 已知级数为等比级数， 已知级数为等比级数，公比 q = , 3
n =1
∞
思考题解答
能．
练习题
填空题: 一、 填空题: ______________时收敛 ______ 1、 等比级数 ∑ aq n ,当_____q < 1 ___时收敛； _________时收敛； 当_____________时发散 . ________1 __时发散 ___________ q ≥ ___
收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和. 2）收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.
3)收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛 如加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散. 推论 如加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散. 级数收敛的必要条件: 级数收敛的必要条件:
假设调和级数收敛 , 其和为 s .
于是 lim( s2 n − sn ) = s − s = 0,
n→ ∞
1 (n → ∞) 便有 0 ≥ 2
这是不可能的 .
∴ 级数发散 .
五、小结
1） 若级数 收敛, ∑u 收敛,则 ∑u 也收敛(k ≥ 1).且其逆亦真
n=1 n n=k +1 n ∞ ∞
在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性. 在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性
高等教育出版社《高等数学》同济第六版下册第十二章PPTD12-4函数展开成幂级数
f
(n)
(0)
(
0, 1) k
,
n2k n2k1
(k0,1,2, )
得级数:
x
1 3!
x
351!x5 (1)n1(2n1 1)!x2n1
其收敛半径为 R, 对任何有限数 x , 其余项满足
Rn(x)
sin((n1)π 2)
(n1)!
x n 1
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2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数.
例4. 将函数
1 1 x2
展开成 x 的幂级数.
解: 因为
1 1 x x 2 ( 1 )nx n (1x1) 1 x 把 x 换成 x 2 , 得
n! 当 m = –1 时
1 1
x
1 x x 2 x 3 ( 1 ) n x n ,x(1,1)
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思考与练习
1. 函数 f(x)在x0处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰
数” 有何不同 ? 勒级 提示: 后者必需证明 limRn(x)0,前者无此要求.
就是代数学中的二项式定理.
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对应 m12,12,1的二项展开式分别为 1x 11x 1 x 2 13 x3 135 x4
2 2 4 2 46 2468 (1x1)
1 1
x
1
1 2
x
13 24
x2
135 x3 1357x4 2 46 2468
1 2
1
1 (x π)2 2! 4
高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
《高数同济》课件
《高数同济》PPT课件
本《高数同济》PPT课件演示文稿旨在向大家介绍高等数学的基本概念和定理， 以及解释常见的数学公式。通过实例和练习题的讲解，帮助学生更好地掌握 课程内容。课件结构概述，总结回顾，还将提醒学生预习下一讲内容。
课件结构概述
第一部分
引言和课件目的
第三部分
基本公式和定理的说明
第五部分
总结与回顾
4 拉普拉斯变换
将函数在时域与频域之间转换
实例和练习题讲解
1
ห้องสมุดไป่ตู้
实例分析
通过实际例子，演示高数解决实际问题的应用
2
练习题展示
挑战学生的数学能力，让他们灵活运用所学知识
3
答疑解惑
为学生解答他们在实例和练习中遇到的问题
总结与回顾
回顾本次课程的重点内容，总结关键知识点，强化学生的记忆和理解。
提醒学生预习下一讲内容
第二部分
基本概念和定义的解释
第四部分
实例和练习题讲解
第六部分
提醒学生预习下一讲内容
基本概念和定义的解释
详细解释高等数学中的基本概念，例如函数、导数、积分等，并介绍相关的 数学定义。
基本公式和定理的说明
1 牛顿-莱布尼茨公式
计算定积分与不定积分的联系
3 泰勒展开式
用多项式逼近函数
2 微分中值定理
描述函数在某区间内任意两点间的关系
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1 1 时, p p , 故 n x
1 1 1 1 11 1 1 考虑强级数 p 1 11 1 2 p 1 2 (n 1p p n p 1 p的部分和) p 1 3) n (n 1 n 2 1 1 1 n n p1 1 p 1 1 p 1 (k 1) (n 1) k 1 k
设对一切
都有
分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
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(1) 若强级数 因此对一切
收敛, 则有 有 也收敛 .
由定理 1 可知, 弱级数 (2) 若弱级数 因此 发散, 则有
这说明强级数
也发散 .
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1 1 1 例1. 讨论 p 级数 1 p p (常数 p > 0) p 2 3 n 的敛散性.
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ; n 1 n
发散
1 2) ; n 1 n !
收敛
n 3) n . n 1 10
收敛
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三、绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
数 若 收敛 , 则称原级
绝对收敛 ；
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 数 条件收敛 .
(P263 定理9)
都绝对收敛, 其和分别为 S , , 按任意顺序排列得到的级数
(证明见 P263～P266)
则对所有乘积
也绝对收敛, 其和为 S . (P265 定理10) 说明: 绝对收敛级数有类似有限项和的性质, 但条件收敛级数不具有这两条性质.
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内容小结
1. un 收敛 部分和数列 {S n } 有极限
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1 1 1 n1 1 n 1 1 1) 1 (1) n 1 收敛 2 3 4 u n 1 n (n 1) ! 1 1n 1 10 n 1 1 1 u n n 1 1 1 10 收敛 n n 1 2) 1 (1) n 2! 3! 4! n ! 10! n 1 2 3 4 n 1 n 3) (1) 收敛 10 102 103 104 10n
2
1 根据比较审敛法的极限形式知 ln 1 2 收敛 . n n 1
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) un1 , 则 设 为正项级数, 且 lim n u n (1) 当 1 时, 级数收敛 ; (2) 当 1 或 时, 级数发散 .
收敛
部分和序列
收敛 ,
故有界.
∴部分和数列
收敛 , 从而
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单调递增,
也收敛.
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定理2 (比较审敛法) 设
且存在 对一切 有
是两个正项级数, (常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(1) 若强级数 (2) 若弱级数
收敛 , 则弱级数 发散 不改变其敛散性, 故不妨
(1) n 1u n 收敛 , 且其和 S u1 , 其余项满足 则级数
n 1
rn u n 1 .
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证: S 2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n 1 u2n )
S 2n u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2n 2 u2n 1 ) u2n
1 n
1 根据比较审敛法的极限形式知 sin 发散 . n n 1 1 例4. 判别级数 ln 1 2 的敛散性. ln(1 12 ) ～ n n n 1
1 n2
1 2 1 解: lim n ln 1 2 lim n 2 1 n n n n
结束
( l ) vn u n ( l ) vn
(1) 当0 < l <∞时, 同时收敛或同时发散 ; (2) 当l = 0时,
(n N )
由定理 2 可知
n 1
vn
由定理2 知
若 vn 收敛 ,
n 1
(3) 当l = ∞时,
即
u n vn
由定理2可知, 若 vn 发散 ,
是单调递增有界数列, 故 又
n
lim S 2 n 1 lim ( S 2 n u2 n 1 )
n
故级数收敛于S, 且 S u 1 ,
(un 1 un 2 )
rn un 1 un 2 un 1
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1 n 4 收敛 , n 1
n 1
sin n 收敛 4 n
sin n 因此 绝对收敛 . 4 n 1 n
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(2) 令
n2 n (2) (1) n e n 1
u n 1 lim n u n
(n 1) 2 en1 lim n n2 en
级数, 且 lim n un , 则
n
为正项
证明提示: lim n un , 对任意给定的正数
n
存在 N N ,
n un
即
1
( ) n un ( ) n
1
1 1
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
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说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
n
1 1 ( n ) un n n
p
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
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例6. 证明级数
n 1
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是两个正项级数,
(1) 当 0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l 0 且 vn 收敛时,
也收敛 ;
也发散 .
(3) 当 l 且 vn 发散时,
注: 1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较. 1 2) 特别取 vn p , 对正项级数 un , 可得如下结论 : n
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二 、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2 ,, 则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
1) un un1 ( n 1, 2 , ) ;
2)
n
lim un 0 ,
2. 判别正项级数敛散性的方法与步骤
必要条件 lim u n 0
n
不满足
发 散
满足
un 1 比值审敛法 lim u n n
根值审敛法 lim un
n n
n 1 1
例如 ： (1)
n 1
n
为条件收敛 .
n 1
(1)
n 1
n 均为绝对收敛. n 10
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定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .
证: 设 收敛 , 令
v n 1 ( u n u n ) ( n 1 , 2 , ) 2 显然 vn 0 , 且 vn u n , 根据比较审敛法 vn 收敛,
n
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 N N , 对一切 n N ,
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例2. 证明级数
证: 因为
发散 .
1 n (n 1)
而级数
1 (n 1) 2
1 发散 k 2 k
n
lim n pun l
0l
p 1, 0 l
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un 发散 un 收敛
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1 例3. 判别级数 sin 的敛散性 . n n 1 1 1 解: lim n sin lim n 1 n n n n
sin 1 ～ n
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例5. 讨论级数
解:
的敛散性 .
un1 (n 1) x n lim lim x n1 n u n nx n
根据定理4可知:
当0 x 1 时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数发散 ; 当x 1时,
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*定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设
证: (1) 当 1时,
un1 存在 N N , 当n N 时, 1 un
收敛 , 由比较审敛法可知
un 收敛.
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(2) 当 1 或 时, 必存在 N N , u N 0, 当n N 时 从而
un 1 un un 1 u N
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n
un n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S S n , 则所求误差为