高考数学数列与不等式试题选编

高考数学数列与不等式试题选编数列〔一〕选择题、填空题例如：一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，现将此报纸对折〔既沿对边中点的连线折叠〕7次，这时报纸的厚度和面积分别是〔 〕〔A 〕b a 81,8〔B 〕b a 641,64 〔C 〕b a 1281,128 〔D 〕b a 2561,256 答案：C例如：数列}{n a 满足,,),2(2111b a a a n a a a n n n ==≥-=-+记,321n n a a a a S ++++= 那么以下结论正确的选项是〔 〕 A ．a b S a a -=-=2,100100 B ．a b S b a -=-=2,100100 C ．a b S b a -=-=100100, D ．a b S a a -=-=100100,答案：A.例如：在正数x 、y 之间插入数a ，使之成为等差数列，又x 、y 之间插入数b 、c 使之成为等比数列，那么有 ( ) A.bc a ≤2C.bc a >2 C.bc a =2D.bc a ≥2答案：D例如：2003年12月，全世界爆发＂禽流感＂，科学家经过深入的研究，终于发现了一种细菌M 在杀死＂禽流感＂病毒N 的同时能够自身复制．１个细菌M 可以杀死１个病毒N ，并且生成２个细菌M ，那么１个细菌M 和2047个＂禽流感＂病毒N 最多可生成细菌M 的数值是( )A. 1024B. 2047C. 2048D. 2049答案：C.例如：某班试用电子投票系统选举班干部，全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1、2、3、…、k ，规定：同意按“1〞，不同意〔含弃权〕按“0〞.令⎩⎨⎧=01),(j i f 那么同时同意第1、2号同学中选的人数为〔 〕A ．f 〔1,1〕+f 〔1，2〕+…+f 〔1, k 〕+f 〔2，1〕+f 〔2，2〕+…+f 〔2, k 〕B ．f 〔1,1〕+f 〔2，1〕+…+f 〔k ，1〕+f 〔1，2〕+f 〔2，2〕+…+f 〔k ，2〕C ．f 〔1,1〕f 〔1，2〕+f 〔2，1〕f 〔2，2〕+…+f 〔k ，1〕f 〔k ，2〕D ．f 〔1,1〕f 〔2，1〕+f 〔1，2〕f 〔2，2〕+…+f 〔1, k 〕f 〔2，k 〕 答案：C.例如：数列{n a }前n 项和nn n b ba S )1(11+-+-=其中b 是与n 无关的常数，且0＜b ＜1，假设∞→n n S lim 存在，那么∞→=n n S lim ________．答案： 1例如：设数列a n 的通项公式为<<<<<∈+=+*13212)(n n n n a a a a a a N n n n a 满足且λ，试写出一个满足条件的=λλ,值 .答案: 不唯一，3->λ的所有实数均可.由)()]1()1[(221n n n n a a n n λλ+-+++=-+.3),12(,,012->+->∈>++=*λλλ知由恒成立对n N n n例如：如图，第n 个图形是由正2+n 边形“扩展〞而来，〔).,3,2,1 =n 那么第2-n 个图形中共有 个顶点.答案：n n +2例如：计算机执行以下程序①始值0,311==s x ； ②21+=+n n x x ； ③n n n x s s +=+1；④如2003≥n s ，那么进⑤行，否那么从②继续运行； ⑤打印n x ；⑥Stop ；那么由语句⑤打印出的数值为 . 答案：９１〔二〕解答题例如：化工厂购进了245桶液体工业原料，为了方便保管和运输，要求将它们堆放成纵截面为等腰梯形的一垛，且相邻两层只相差一桶。

在不考虑占地面积、堆放高度等具体条件时，堆放方案有哪几种？答案：ｄ＝１，由等差数列前ｎ项和公式可得到1a 与ｎ的关系：1a ＝245n －12n -，又1a ≥１，所以：ｎ〔ｎ＋１〕≤４９０，而ｎ可取４９０的不大于２１的正整数约数２，５，７，１０，１４，最后共有五种设计方案：ｎ＝２时1a ＝１２２；ｎ＝５时1a ＝４７；ｎ＝７时1a ＝３２；ｎ＝１０时1a ＝２０；ｎ＝１４时1a ＝１１.例如：设各项均为正数的数列}{n a 的前n 项和为n S ，对于任意的正整数n 都有等式n n n S a S a S a S 412222211=++++++ 成立. 〔1〕求1a ； 〔2〕求证)(+∈+=N n a a S n n n 21412;(3)求1limn nS →∞.答案：(1)当n=1时，21=a . 〔2〕当2≥n 时，241+⋅=-=-n nn n n a S S S an n n a a S 21412+=∴当n=1时，也符合n n n a a S 21412+=)(+∈+=∴N n a a S n n n 21412(3) 当2≥n 时，1212121412141-----+=-=n n n n n n n a a a a S S a 0211=--+∴--))((n n n n a a a a 0>n a ， 21=-∴-n n a a于是数列}{n a 是首项为2，公差为2的等差数列.)()(1222+=+=∴n n n n S n , 111111+-=+=∴n n n n S n )(,)]()()[(lim lim 111312121111+-++-+-=∑∴∞→=∞→n n S n k nk n 1111=+-=∞→)(lim n n . 例如：函数f (x )=bx +cx +a的图象过原点，以直线x = -1为渐近线，且关于直线x +y =0对称. 〔1〕求函数f (x )的解析式；〔2〕假设数列{a n }〔n ∈N*〕满足：a n >0，a 1=1，a n +1= [f (a n )]2，求a 2，a 3，a 4的值，猜测数列{a n }的通项公式a n ，并证明你的结论；〔3〕假设数列{a n }的前n 项的和为S n ，判断S n 与2的大小关系，并证明你的结论.答案：(1) ∵函数f (x )= bx +c x +a 的图象过原点，即f (0)=0，∴c =0，∴f (x )=bxx +a. 又函数f (x )=bx x +a = b -abx +a的图象以直线x = -1为渐近线，且关于直线x +y =0对称，∴函数y =f (x )的图象以(-1，1)为对称中心的双曲线，∴a =1，b =1，∴f (x )= xx +1. (2)由题意有a n +1=[ a n a n +1]2，即a n +1 = a n a n +1，即1a n +1 = 1a n +1，∴1a n +1 - 1a n=1. ∴数列{1a n }是以1为首项，1为公差的等差数列. ∴1a n=1+(n -1)=n ，即a n = 1n ， ∴a n = 1n2.∴a 2= 14，a 3= 19，a 4= 116，a n = 1n 2.(3)当n ≥2时，a n =1n 2 < 1n (n -1) = 1n -1 - 1n. ∴S n = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n <1+1- 12 +12 - 13 +13 - 14 +… + 1n -1 - 1n=2 - 1n <2. 故S n <2.例如：数列}{n a 中，首项a 1=2，前n 项和为S n ，对于任意点),(1n n n S S P +，点P n 都在平面直角坐标系xoy的曲线c上，曲线c的方程为4,3,2,1,3:,8)83(4=-<=+-n t t y t tx 其中.〔1〕判断}{n a 是否为等比数列，并证明你的结论；〔2〕假设对每个正整数21,,,++n n n a a a n 以为边长能构成三角形，求t 的范围.答案：〔1〕由2212112,2a a a S a S +=+=== 222111111:4(2)2(38)8.3838,.(*)244(38)8,4(38)8(2)4(38)(2)38:(2)(**)438(*),(**)()438{}2,.4n n n n n n n n n n n t a t t a t t a t a ttS t S tS t S t n ta t a n a t n a ta t n N a tt a t+-++*++-+=++∴==-+=-+=≥=+≤+=≥+=∈+∴得于是又两式相减得故由知是首项为公比为的等比数列 〔2〕由〔1〕知：*-∈+=N n tt a n n 1)483(2112121211383,01,204{}:0,,:.3838382()2()2().444883,8n n n n n n n n n n n n n t t a ta n a a a a a a a a a t t t t t tt t t t +++++++-+<-<<=>∴∴>>>∴+>+++∴+>⋅>-<-<-∴<-时又是一个单调递减的数列对每个正整数都有为边长能构成一个三角形的充要条件是解得或且例如：数列{}{}()()()()a b A B n n nnC aD b n n n n n n n 、，，，，，，，，121122++为直角坐标平面上的点.〔1〕n ∈N ，点A ，B n ，C n 在同一条直线上，求数列{a n }的通项公式；〔2〕假设数列{b n }是首项为－3，公差为3的等差数列，S n 表示△AC n D n 的面积，设H S S S n n =+++12…，试用n 表示H n ；〔3〕求lim n S a nn→∞22.答案：(1) ∵对n ∈N ，点A ，B n ，C n 在同一条直线上, ∴K K nn n na a n AB AC n n n n=+-+-=--⇒=-即12112213.〔2〕又数列{b n }是首项为－3，公差为3的等差数列， ∴b n n =-36.△AC n D n 的面积S b a d n n n n A C D n n =-=--121249×××||||. 当12≤≤n 且n ∈N 时，S n H n n n n =-=-12941272()()，,当n n N S n n ≥∈=-31249且，().H n n n n =++++++-=-+521232*********262…,所以H n n n n n n n N n =-≤≤-+≥⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∈12721272662()() .〔3〕lim n S a nn→∞=224.不等式〔一〕选择题、填空题例如：01a b <<<，不等式lg()1xxa b -<的解集是{|10}x x -<<，那么,a b 满足的关系是( ) A ．1110a b-> B ．1110a b-< C ．1110a b-= D ．1110a b-≥答案：C.例如：某纯洁水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，那么至少需过滤的次数为〔参考数据〕 A. 5 B. 10 C. 14 D. 15答案：C.例如：不等式31≤-+x x 的解集是_______.答案：{}40≤≤x x .例如：观察以下式子： ,474131211,3531211,23211222222<+++<++<+，那么可以猜测的结论为：___________________________.答案：112)1(131212221+++<++++n n n〔二〕解答题例如：0a >且1,a ≠ 试解关于x 的不等式17.2x <-答案： 令t =0t ≥) , 那么原不等式()()260320t t t t ⇔+-<⇔+-<.30,20,t t +>∴-<即 02≤<，1log 5.a x ∴≤<故当1a >时，原不等式的解是5;a x a ≤<当01a <<时，原不等式的解是5.a x a ≤<例如：解不等式：).1(12)1(<>--a x x a答案：原不等式可化为,02)2()1(>--+-x a x a 即.0)2)](2()1[(>--+-x a x a∵a <1，∵〔x －2〕.0)12(<---a a x 当212>--a a 时，即0<a <1时，解集为};122|{--<<a a x x 当212=--a a 时，即a =0时，解集为φ； 当212<--a a 时，即a <0时，解集为.212|⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<--x a a x 例如：〔1〕,a b 是正常数，a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，求证：222()a b a b x y x y++≥+，指出等号成立的条件；〔2〕利用〔1〕的结论求函数29()12f x x x =+-〔1(0,)2x ∈〕的最小值，指出取最小值时x 的值．答案：〔1〕22222222()()a b y x x y a b a b a b x y x y ++=+++≥++2()a b =+，故222()a b a b x y x y ++≥+．当且仅当22y x a b x y =，即a b x y =时上式取等号； 〔2〕由〔1〕22223(23)()252122(12)f x x x x x +=+≥=-+-．当且仅当23212x x =-，即15x =时上式取最小值，即min [()]25f x =． 例如：对于定义在区间[],m n 上的两个函数()f x 和()g x ，如果对任意的[],x m n ∈，均有不等式()()1f x g x -≤成立，那么称函数()f x 与()g x 在[],m n 上是“友好〞的，否那么称“不友好〞()()log 3a f x x a =-与()1log ag x x a=-()0,1a a >≠，给定区间[]2,3a a ++.〔1〕假设()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++上都有意义，求a 的取值范围； 〔2〕讨论函数()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++上是否“友好〞. 答案：〔1〕函数()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++上有意义，必须满足23020010,1a a a a a a a +->⎧⎪+->⇒<<⎨⎪<≠⎩〔2〕假设存在实数a ，使得函数()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++上是“友好〞的， 那么()()()()2222log 43log 431a af xg x x ax axax a -=-+⇒-+≤即 ()221log 431a x ax a -≤-+≤ 〔*〕 因为()()0,120,2a a ∈⇒∈，而[]2,3a a ++在2x a =的右侧，所以函数()()22log 43a g x x ax a =-+在区间[]2,3a a ++上为减函数，从而()()()()()()max min 2log 443log 96a a g x g a a g x g a a =+=-⎡⎤⎣⎦=+=-⎡⎤⎣⎦于是不等式〔*〕成立的充要条件是()()log 4419log 96101201a a a a a a -≤⎧⎪--≥-⇒<≤⎨⎪<<⎩因此，当9012a -<≤时，函数()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++上是“友好〞的；当912a >时，函数()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++上是不“友好〞的.例如：二次函数c bx ax x f ++=2)(的图像过),(11y t A 、),(22y t B 两点，且满足021212=+++y y a y y a )(.(1)证明：a y -=1或a y -=2；(2)证明：函数f(x)的图像必与x 轴有两个交点；(3)假设关于x 的不等式f(x)>0的解集为m x x >{或}n x <(n<m<0)，解关于x 的不等式02>+-a bx cx .答案：〔1〕021212=+++y y a y y a )( ,021=++∴))((y a y a 得a y -=1、a y -=2.〔2〕当0>a 时，二次函数f(x)的图像开口向上，图像上的点A 、B 的纵坐标均为a -且小于零，所以图像x 轴有两个交点；当0<a 时，二次函数f(x)的图像开口向下，图像上的点A 、B 的纵坐标均为a -且大于零，所以图像x 轴有两个交点.所以函数f(x)的图像与x 轴有两个不同交点.〔3〕02>++c bx ax 的解集为m x x >{或}n x <〔n<m<0〕, 000>>>∴c b a ,,从而方程02=++a bx cx 的两个根为m x 11=,nx 12=, 那么方程02=+-a bx cx 的两个根为m x 11-=,nx 12-=. 因为n<m<0，所以mn 11-<-, 故不等式02>+-a bx cx 的解集为m x x 1->{或}nx 1-<. 例如：二次函数∈++=c b a c bx ax x f ，，()(2R 〕满足0)1(=-f ，对任意实数x ，都有x x f ≥)(，且20<<x 时，总有2)21()(+≤x x f ． 〔1〕求)1(f ；〔2〕求a ，b ，c 的值；〔3〕当1[-∈x ，]1时，函数mx x f x g -=)()(〔m ∈R 〕是单调函数，求m 的取值范围．答案：〔1〕)(x f 对任意实数x ，都有x x f ≥)(，所以1)1(≥f ，又)(x f 在20<<x 时，有2)21()(+≤x x f ，故1)211()1(2=+≤f ，因此有1)1(=f ． 〔2〕因为1)1(=f ，0)1(=-f ，那么211=⇒⎩⎨⎧=+-=++b c b a c b a ，，21=+c a ，因为ac c a 2≥+，那么161≤ac 〔当且仅当41==c a 时取等号〕．又因为对任意实数x ，都有x x f ≥)(，所以0)1(2≥+-+c x b ax 恒成立，即0212≥+-c x ax 恒成立⎪⎩⎪⎨⎧≤->⇔⎩⎨⎧≤∆>⇔，，，0441000ac a a 故0>a 且161≥ac ，因此有161=ac ，从而41==c a ． 〔3〕41)21(41412141)()(22+-+=-++=-=x m x mx x x mx x f x g 241x = 41)21(21+-+x m ，)(x g 的对称轴是12-=m x ，因为mx x f x g -=)()(〔m ∈R 〕在1[-，]1上是单调函数，所以11|12|≥⇔≥-m m 或0≤m .。