2011届高三数学综合检测卷及答案

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2011届高三第二次联考数学试题(文科)参考答案

2011届高三第二次联考数学试题(文科)参考答案一、1．B 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C 7．B 8．C 9．C 10．A 二、11．π12 12．1120 1314．45[,]33ππ15．①[3,)+∞；② 16．解：（Ⅰ）假设a ∥b ，则2cos (cos sin )sin (cos sin )0x x x x x x +--=，……… 2分 ∴221cos211cos22cos sin cos sin 0,2sin20222x xx x x x x +-++=⋅++=，即sin 2cos 23x x +=-2)34x π+=-，…………………………………… 4分与)|4x π+∴假设不成立，故向量a 与向量b 不可能平行．……………………………………… 6分（Ⅱ）∵a ⋅b (cos sin )(cos sin )sin 2cos x x x x x x =+⋅-+⋅22cos sin 2sin cos x x x x =-+cos 2sin 222)2)4x x x x x π=+==+，……… 8分∴sin(2)42x π+=． ]2,0[π∈x ，∴52[,]444x πππ+∈，……………………………………………………10分442ππ=+∴x 或4342ππ=+x ，0=∴x 或4π=x ．………………………………12分17．解：（Ⅰ）305350?，205250?，∴男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人． ………………………………4分（Ⅱ）2225C 91C 10-=．…………………………………………………………………………8分（Ⅲ）333544124128C ()555625´鬃==．………………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）取AD 中点H ，连EH ，则EH ⊥平面ABCD ．过H 作HF ⊥AC 于F ，连FE ．∵EF 在平面ABCD 内的射影为HF ， ∵HF ⊥AC ，∴由三垂线定理得EF ⊥AC ，∴EFH Ð为二面角E AC B --的平面角的补角．……3分∵EH a =，14HF BD ==，∴tan EHEFH HF?=== ∴二面角E AC B --的正切值为-．……………………………………………6分（Ⅱ）直线A 1C 1到平面ACE 的距离,即A 1到平面ACE 的距离，设为d ．…………8分∵11A EAC C A AEV V --=，∴11133EAC A AE S dS CD D D ??．C 1D 1 B 1A 1D CE ABHF∵AE==，32CE a=，AC=，∴222592cosa a aEAC+-?∴sin EAC?，∴21324EACS aD=，121224A AEa aS aD=鬃=，∴22344aa d a??，∴3ad=．∴直线A1C1到平面EAC的距离为3a．………………………………………………12分19．解：（Ⅰ）2()34f x tx x¢=-，令2()34g t x t x=-，则有(1)0,(1)0.gg≥≥ì-ïïíïïî即22340,340.x xx x≥≥ìï--ïíï-ïî……………………………………2分∴40,340.3xx x≤≤≤或≥ìïï-ïïïíïïïïïî∴43x≤≤-．∴x的取值范围为4[,0]3-．……………………………………………………5分（Ⅱ）32()21f x x x=-+，2()34(34)f x x x x x¢=-=-,令()0f x¢>得0x<或43x>．令()0f x¢<得43x<<，∴()f x在(,0)-?和4(,)3+?为递增函数，在4(0,)3为递减函数．又因为(0)1f=，45()327f=-，令()1f x=可得0x=或2x=．……………8分①当30a+<，即3a<-时，()f x在[,3]a a+单调递增，∴32()(3)71510h a f a a a a=+=+++．②当032a≤≤+，即31a≤≤--时，()(0)1h a f==．③当32a+>，即01a>>-时，32()(3)71510h a f a a a a=+=+++，∴321(31)()71510(31)ah aa a a a a≤≤或ìï--ï=íï+++<->-ïî……………………………12分20．解：（Ⅰ）由已知得11n na a+=+，∴{}na为首项为1，公差为1的等差数列，∴na n=．………………………………………………………………………………3分∵13n n n b b +-=，∴21321()()()0n n n b b b b b b b -=-+-++-+121333n -=+++113(13)313(31)313222n n n---==-=?-， ∴n a n =，13322n n b =?．……………………………………………………………6分（Ⅱ）132(3)cos 22n n C n n π=⋅⋅-(33),(33),nnn n n n ⎧--⎪=⎨-⎪⎩为奇数,为偶数.……………………8分∴当n 为偶数时123(33)2(33)3(33)(33)n n S n =--+⋅--⋅-++-12345(3233343533)(32333433)n n n =-+⋅-⋅+⋅-⋅++⋅+-⋅+⋅-⋅+- ．设23323333n n T n =-+??+?，则23413323333n n T n +-=-??-?，∴23414333333n n n T n +=-+-+-++?131()344n n +=-++⋅，∴11[3(41)3]16n n T n +=-++⋅． ∴1113(41)3243[3(41)3]()16216n n n n n S n n +++⋅--=-++⋅+-=．……………………11分当n 为奇数时 11(41)3242116n n n n n n S S c +--+⋅++=+=，∴11(41)32421,16(41)3243,16n n n n n n S n n n ++⎧-+⋅++⎪⎪=⎨+⋅--⎪⎪⎩为奇数.为偶数.……………………………………13分 21. 解: （Ⅰ）依题意,有点C 到定点M 的距离等于到直线l 的距离，所以点C 的轨迹为抛物线，方程为y x 42=．……………………………………………………………………3分（Ⅱ）可得直线AB 的方程是0122=+-y x ，由⎩⎨⎧=+-=,0122,42y x y x 得点A 、B 的坐标分别是(6,9)、(4,4)-．…………………………………………………………………………4分由y x 42=得241x y =， 12y x '=，所以抛物线y x 42=在点A 处切线的斜率为63x y ='=．设圆C 的方程是222)()(r b y a x =-+-，则222291,63(6)(9)(4)(4).b a a b a b -⎧=-⎪-⎨⎪-+-=++-⎩………………………………………………………6分解之得 .2125)4()4(,223,23222=-++==-=b a r b a 所以圆C 的方程是2125)223()23(22=-++y x ．……………………………………8分（Ⅲ）设)4,(211x x A ，)4,(222x x B ,由241x y =得x y 21='，所以过点A 的切线的斜率为121x ，切线方程为042211=--x y x x ．令1-=y 得Q 点横坐标为12124x x x -=，同理可得22224x x x -=，所以1211212424x x x x -=-，化简得421-=x x ．…………………………………………………………………………10分又21222144x x xx k AB--==421x x +，所以直线AB 的方程为21121()44x x x y x x +-=-．令0=x ，得1421-==x x y ，所以1-=t ．……………………………………………12分 )44,24(21121++=x x x ，同理)44,24(22222++=x x x ，所以0)16141)(4)(4(212221=+++=⋅x x x x QB QA ．……………………………14分第21题第三问，1-=t 应为1t =（Ⅲ）设)4,(211x x A ，)4,(222x x B ,由241x y =得x y 21='，所以过点A 的切线的斜率为121x ，切线方程为042211=--x y x x ．令1-=y 得Q 点横坐标为12124x x x -=，同理可得22224x x x -=，所以1211212424x x x x -=-，化简得421-=x x ．…………………………………………………………………………10分又21222144x x xx k AB --==421x x +，所以直线AB 的方程为21121()44x x x y x x +-=-．令0=x ，得1214x x y =-=，所以1t =．……………………………………………12分)44,24(21121++=x x x ，同理)44,24(22222++=x x x ，所以0)16141)(4)(4(212221=+++=⋅x x x x QB QA ．……………………………14分。

北京市东城区2011届高三一模数学(理)试题及答案

东城区2010-2011学年度综合练习（一）高三数学（理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）“2x >”是“24x >”的（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（2）已知数列{}n a 为等差数列，且12a =，2313a a +=，那么则456a a a ++等于（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45（3）已知函数()f x 对任意的x ∈R 有()()0f x f x +-=，且当0x >时，()ln(1)f x x =+，则函数()f x 的大致图像为（C ）（D ）（4）已知平面上不重合的四点P ，A ，B ，C 满足0PA PB PC ++= ，且AB AC mAP +=，那么实数m 的值为（A ）2 （B ）3（C ）4 （D ）5（5）若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为 A ．5n ≤ B ．6n ≤ C ．7n ≤ D ．8n ≤（6）已知(,)2απ∈π,1tan()47απ+=,那么ααcos sin +的值为（A ）51- （B ）57（C ）57-（D ）43 （7）已知函数31)21()(x x f x-=，那么在下列区间中含有函数)(x f 零点的是（A ）)31,0( （B ）)21,31( （C ）)32,21( （D ）)1,32(（8）空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，γ两两互相垂直，点A ∈α，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离是到P 到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是（A ） 33- （B ）323- （C ）36- （D ）340 50 60 70 80 90 体重(kg) 频率A第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

数学_2011年浙江省某校高三联考数学试卷(文科)(含答案)

2011年浙江省某校高三联考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1. 已知集合 A ={x|x 2−2x +a ≥0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是（） A (−∞, 1] B [1, +∞) C (−∞, 1) D [0, +∞)2. “a =2”是“直线ax +2y =0平行于直线x +y =1”的（）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件3. 设复数a +bi(a 、b ∈R)满足(a +bi)2=3−4i 则复数a +bi 在复平面内对应的点位于（）A 第一、第二象限B 第一、第三象限C 第二、第四象限D 第三、第四象限 4. 若cos(π4−θ)⋅cos(π4+θ)=√26(0<θ<π2)，则sin2θ＝（）A √23B √73C √76 D√3465. 若圆(x −3)2+(y +5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x −3y ＝2的距离等于1，则半径r 的取值范围是（）A (4, 6)B [4, 6)C (4, 6]D [4, 6]6. 已知直线l ⊥平面α，直线m // 平面β，下列命题中正确的是（）A α⊥β⇒l ⊥mB α⊥β⇒l // mC l ⊥m ⇒α // βD l // m ⇒α⊥β 7. 已知a 是实数，则函数f(x)=acosax 的图象可能是（）ABCD8. 已知|a|→=√2，|b|→=2，且(a →−b →)⊥a →，则a →与b →的夹角是（） A 30∘75∘ B 45∘ C 60∘ D 75∘9. 程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（）A 2B −12 C −3 D 1310. 已知F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→⋅PF 2→=c 2，则此椭圆离心率的取值范围是（） A [√33,1) B [13,12] C [√33,√22] D (0,√22]二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11. 已知f(x)=x+2x+1，则f(1)+f(2)+⋯+f(10)+f(12)+f(13)+⋯f(110)=________．12. 为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．根据此图，估计该校2000名高中男生中体重大于70公斤的人数大约为________． 13. 若实数x ，y 满足不等式组{x +y ≥2x ≤2y ≤2则y−1x+1的最大值是________．14. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m >1，a m−1+a m+1−a m 2=0，S 2m−1=78，则m =________．15. 为了庆祝2011年元旦，某单位特意制作了一个热气球，在气球上写着“喜迎新年”四个大字，已知热气球在第一分钟内能上升25米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的80%，则该气球________上升到125米的高空．（填“能”或“不能”）16. 若某几何体的三视图如图所示，均是直角边长为1的等腰直角三角形，则此几何体的体积是________．17. 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲乙两个盒子中各取一个球，每个球被取出的可能性相等，则取出的两个球上标号之和能被3整除的概率是________．三、解答题（共5小题，满分72分）18. 已知向量m →=(sinA, 12)与n →=(3, sinA +√3cosA)共线，其中A 是△ABC 的内角．（1）求角A 的大小；（2）若BC =2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状． 19. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2=4，且满足2S n n=a n +1(n ∈N ∗)．（1）求a 1，a 3，a 4的值，并猜想出数列{a n }的通项公式a n ；（2）设b n =(−1)n a n ，请利用(I)的结论，求数列{b n }的前15项和T 15．20. 如图，直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，PA⊥平面ABC，DC=BC=2PA，E、F分别为DB、CB的中点，（1）证明：AE⊥BC；（2）求直线PF与平面BCD所成的角．21. 已知函数f(x)=x2−2lnx，ℎ(x)=x2−x+a．（1）求函数f(x)的极值；（2）设函数k(x)=f(x)−ℎ(x)，若函数k(x)在[1, 3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．22. 已知曲线C上的动点P(x, y)满足到点F(0, 1)的距离比到直线l:y=−2的距离小1．（1）求曲线C的方程；（2）动点E在直线l上，过点E分别作曲线C的切线EA，EB，切点为A、B．(I)求证：直线AB恒过一定点，并求出该定点的坐标；(II)在直线l上是否存在一点E，使得△ABM为等边三角形（M点也在直线l上）？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由．2011年浙江省某校高三联考数学试卷（文科）答案1. C2. C3. C4. B5. A6. D7. C8. B9. B10. C11. 28.512. 60013. 114. 2015. 不能16. 1617. 516=0；18. 解：（1）因为m→ // n→，所以sinA⋅(sinA+√3cosA)−32所以1−cos2A2+√32sin2A−32=0，即√32sin2A−12cos2A=1，即sin(2A−π6)=1．因为A∈(0, π)，所以2A−π6∈(−π6,11π6)．故2A−π6=π2，A=π3；（2）由余弦定理，得4=b2+c2−bc．又S△ABC=12bcsinA=√34bc，而b2+c2≥2bc⇒bc+4≥2bc⇒bc≤4，（当且仅当b=c时等号成立）所以S△ABC=12bcsinA=√34bc≤√34×4=√3；当△ABC的面积取最大值时，b=c．又A=π3；故此时△ABC为等边三角形．19. 解：（1）令n=1，2S1=a1+1，又S1=a1，得a1=1；令n=3,2(a1+a2+a3)3=a3+1，得a3=7令n=4,2(a1+a2+a3+a4)4=a4+1，得a4=10；猜想数列{a n}的通项公式为a n=3n−2．（2）b n=(−1)n a n=(−1)n(3n−2)．T15=b1+b2+b3++b15=(−1)+4+(−7)+10++(−37)+40+(−43)=−22．20. 解：（1）证明：连接EF，AF，EF // DC所以EF⊥BC因为△ABC为等边三角形，所以BC⊥AF所以BC⊥面AEF，故BC⊥AE（2）连接PE，EF，因为面BCD⊥面ABC，DC⊥BC所以DC⊥面ABC，而EF // DC且EF=12DC，所以EF // PA且EF=PA，故四边形APEF为矩形易证PE⊥面BCD，则∠PFE为PF与面DBC所成的角，在Rt△PEF中，因为PE=AF=√32BC，EF=12DC=12BC，故∠PFE=60∘21. 解：（1）∵ f′(x)=2x−2x，令f′(x)=0，∵ x>0，∴ x=1．∴ f(1)=1，所以f(x)的极小值为1，无极大值．k(x)=f(x)−ℎ(x)=−2lnx +x −a ∴ k ′(x)=−2x +1，若k′(x)=0，则x =2当x ∈[1, 2)时，f′(x)<0；当x ∈(2, 3]时，f′(x)>0．故k(x)在x ∈[1, 2)上递减, 在x ∈(2, 3]上递增．∴ {k(1)≥0k(2)<0k(3)≥0∴ {a ≤1a >2−2ln2a ≤3−2ln3∴ 2−2ln2<a ≤3−2ln3．所以实数a 的取值范围是：(2−2ln2, 3−2ln3] 22. 解：（1）曲线C 的方程x 2=4y (2)(I)设E(a, −2)，A(x 1，x 124)，B(x 2,x 224)， ∵ y =x 24∴ y ′=12x 过点A 的抛物线切线方程为y −x 124=12x 1(x −x 1)，∵ 切线过E 点，∴ −2−x 124=12x 1(a −x 1)，整理得：x 12−2ax 1−8=0 同理可得：x 22−2ax 2−8=0，∴ x 1，x 2是方程x 2−2ax −8=0的两根，∴ x 1+x 2=2a ，x 1⋅x 2=−8可得AB 中点为(a,a 2+42)又k AB =y 1−y 2x1−x 2=x 124−x 224x1−x 2=x 1+x 24=a2，∴ 直线AB 的方程为y −(a 22+2)=a2(x −a)即y =a2x +2，∴ AB 过定点(0, 2)(II)由(I)知AB 中点N(a,a 2+42)，直线AB 的方程为y =a2x +2当a ≠0时，则AB 的中垂线方程为y −a 2+42=−2a (x −a)，∴ AB 的中垂线与直线y =−2的交点M(a 3+12a4，−2)∴ |MN|2=(a 3+12a4−a)2+(−2−a 2+42)2=116(a 2+8)2(a 2+4)∵ |AB|=√1+a 24√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√(a 2+4)(a 2+8)若△ABM 为等边三角形，则|MN|=√32|AB|， ∴ 116(a 2+8)2(a 2+4)=34(a 2+4)(a 2+8)，解得a 2=4，∴ a =±2，此时E(±2, −2)，当a=0时，经检验不存在满足条件的点E综上可得：满足条件的点E存在，坐标为E(±2, −2)．。

华侨中学2011届高三综合测试数学试题(理科)参考答案2011.12

华侨中学2011届高三综合测试数学试题（理科）参考答案2011.12一、DA C C DBDD1、解、{2}M x x =≥，N ＝{}22|,{0}y y x x R y y x =∈==≥，即M N M N M⊂⇒⋂=．答案：D ．2、解22220033(3sin )(cos )128x x dx x x πππ+=-=+⎰ 答案：A ． 3、解、46462nn n =∴= 答案：C4、解、由一元二次方程有实根的条件41041≤⇒≥-=∆n n ，而)1,0(∈n ，由几何概率得有实根的概率为41．答案：C ． 5、解、由已知易得0a >，故二次函数开口向上，1211()()1222b b x x x a a =-=-=+=对称轴 ()(2),1(3)(1)f x f x x f f ∴=-=-=-令有，又二次函数在[1,)+∞上递增，(2)(3)(5)f f f <<即(2)(1)(5)f f f <-<. 答案：D ．6、解、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，所以A 正确；如果两个平面与同一条直线垂直，则这两个平面平行，所以C 正确；如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，则这两个平面平行，所以D 也正确；只有B 选项错误．答案：B ．7、61sin(2)sin[2()]sin 2sin 2()sin 3632y x y x x y x x ππππ=-−−−−→=+-=−−−−−−−→==向左平移横坐标变为原来的2倍 8、D二、填空题：9.12 10.34－ 11.57a ≤< 12. 4 13.115.9cm 9、解、若//c d →→，则3(21)4(2)0x x +--=，解得12x =．10、解、13425525C C C += 11、解、57a ≤<12、解、令0n =，则10()5a f a ==，令1n =，则21()(5)2a f a f ===，令2n =，则32()(2)1a f a f ===，令3n =，则43()(1)4a f a f ===，令4n =，则54()(4)5a f a f ===，令5n =，则65()(5)2a f a f ===…，所以20075014334a a a ⨯+===． 13、解析：1C ：⎩⎨⎧=+-⇒=+=1)1(sin cos 122y x y x θθ；则圆心坐标为)0,1(．2C ：⎪⎩⎪⎨⎧=-++⇒-=+-=01222112122y x ty t x 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为221221=-+=d ，所以要求的最短距离为11=-d ．14、解、由柯西不等式22222)())((by ax y x b a +≥++，答案：3．15、解、显然AEF ∆与CDF ∆为相似三角形，又3:1:=CD AE ，所以CDF ∆的面积等于9cm 2．三、解答题：16、解：（1）2()2cos sin 21cos 2sin 2)14f x x x a x x a x a π=++=+++=+++ … 2分则()f x 的最小正周期2T ππω==， …………………………………4分且当222()242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈时()f x 单调递增．即3[,]()88x k k k Z ππππ∈-+∈为()f x 的单调递增区间（写成开区间不扣分）．…6分（2）当[0,]6x π∈时724412x πππ⇒≤+≤，当242x ππ+=，即8x π=时sin(2)14x π+=．所以max ()121f x a a =+=⇒= …………………………9分2()4228k x k x k Z πππππ+=+⇒=+∈为()f x 的对称轴． …………………12分17．解：（1）5次预报中恰有2次准确的22355541101632(2)(555625P C ⨯=⨯⨯==（））． ……4分（2）5次预报中至少有2次准确的概率为551(0)(1)P P --514551411201()()15555C +--⨯⨯-3104＝＝＝3125………………………8分（3）“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概13444164()5553125C ⨯⨯⨯=…14分 18、解法一：（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，．AP BP =，PD AB ∴⊥．AC BC =，CD AB ∴⊥．PD CD D =，AB ∴⊥平面PCD ．PC ⊂平面PCD ，PC AB ∴⊥．………………………..4分（Ⅱ）AC BC =，AP BP =，APC BPC ∴△≌△．又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且AC PC C =，BC ∴⊥平面PAC ．取AP 中点E ．连结BE CE ，．AB BP =，BE AP ∴⊥．EC 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．……….6分在BCE △中，90BCE ∠=，2BC =，2BE AB ==sin 3BC BEC BE ∴∠==∴cos BEC ∠=3,……..8分二面角B AP C --的余弦值为3．………………9分（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB ⊥平面PCD ，∴平面APB ⊥平面PCD ．过C 作CH PD ⊥，垂足为H ．平面APB 平面PCD PD =，CH ∴⊥平面APB ．CH ∴的长即为点C 到平面APB 的距离．…..11分由（Ⅰ）知PC AB ⊥，又PC AC ⊥，且AB AC A =， PC ∴⊥平面ABC ．CD ⊂平面ABC ，PC CD ∴⊥．在Rt PCD △中，12CD AB ==PD PB ==2PC ∴=．332=⨯=PD CD PC CH ．….13分 ∴点C 到平面APB的距离为3．……………………….14分AC BDP ACBEP ACBDPH解法二：（Ⅰ）AC BC =，AP BP =，APC BPC ∴△≌△．又PC AC ⊥， PC BC ∴⊥．AC BC C =，PC ∴⊥平面ABC ． AB ⊂平面ABC ， PC AB ∴⊥．……….4分（Ⅱ）如图，以C 为原点，CB,CA 所在直线分别为X 轴Y 轴建立空间直角坐标系C xyz -……….5分则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，．设(00)P t ，，．PB AB ==，2t ∴=，(002)P ，，．取AP 中点E ，连结BE CE ，．AC PC =，AB BP =，CE AP ∴⊥，BE AP ⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．………………7分. (011)E ，，，(011)EC =--，，，(211)EB =--，，，33622cos =⨯==∠BEC ． ∴二面角B AP C --的余弦值为3．………………..9分（Ⅲ）AC BC PC ==，C ∴在平面APB 内的射影为正APB △的中心H ，且CH 的长为点C 到平面APB 的距离．…………………11分如（Ⅱ）建立空间直角坐标系C xyz -．2BH HE =，∴点H 的坐标为222333⎛⎫⎪⎝⎭，，．233CH ∴=．∴点C 到平面APB 的距离为3．……………………14分 19．（14分）解：（Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e x f x '=-．……………1分由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，，………………………3分由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，． …………………..5分（Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．………..7分由()e 0xf x k '=-=得ln x k =． …………………8分①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥．此时()f x 在[0)+∞，上单调递增．故()(0)10f x f =>≥，符合题意．………………………………………………..10分②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：依题意，ln 0k k k->，又11e k k >∴<<，．…………………………………..13分综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<．…………………………………14分 20、解：(I) (→a ＋3→b )⊥(→a －3→b ) ∴(→a ＋3→b )·(→a －3→b )=02230a b ∴-= 22330x y ∴+-= 化简得1322=+y x∴Q 点的轨迹C 的方程为 1322=+y x . ………………………………………5分 (II)由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x m kx y 得 0)1(36)13(222=-+++m mkx x k ………………8分由于直线与椭圆有两个交点， ,0>∆∴即 1322+<k m ① 当0k ≠时，设弦MN 的中点为P （x P ，y P ），x M 、x N 分别为点M 、N 的横坐标，则23231M N p x x mk x k +==-+ 从而132+=+=k m m kx y p pmkk m x y k p p Ap 31312++-=+=∴ 又MN AP AN AM ⊥∴=,，则 kmk k m 13132-=++- 即 1322+=k m ② 把②代入①得 22m m > ，解得 20<<m ；由②得 03122>-=m k ，解得21>m ．故所求m 的取范围是（12，2） …………11分 (1) 当0k =时，MN AP AN AM ⊥∴=,，1322+<k m ，解得11m -<<故所求m 的取范围是（1-，1）． ……………………………………13分综上可知，当0k ≠时，m 的取值范围是（12，2），当0k =时， m 的取值范围是（1-，1）．…14分 21、(14分)（Ⅰ）解：由)2)(1(611111++==a a S a ，解得a 1＝1或a 1＝2，由假设a 1＝S 1＞1，因此a 1＝2 …………………….2分又由a n +1＝S n +1- S n ＝1111(1)(2)(1)(2)66n n n n a a a a ++++-++，得a n +1- a n -3＝0或a n +1＝-a n因a n ＞0，故a n +1＝-a n 不成立，舍去。

数学_2011年安徽省某校高三联考数学试卷(文科)(含答案)

2011年安徽省某校高三联考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1. i 是虚数单位，复数z =i 2011的虚部是（） A 0 B −1 C 1 D −i2. 设集合P ={3, log 2a}，Q ={a, b}，若P ∩Q ={0}，则P ∪Q =( ) A {3, 0} B {3, 0, 1} C {3, 0, 2} D {3, 0, 1, 2}3. 设向量a →和b →均为单位向量，且(a →+b →)2=1，则a →与b →夹角为（） A π3 B π2 C 2π3 D 3π44. 已知函数f(x)是R 上的单调增函数且为奇函数，则f(1)的值（） A 恒为正数 B 恒为负数 C 恒为0 D 可正可负5. 若点P(1, 1)为圆(x −3)2+y 2=9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（） A 2x +y −3=0 B x −2y +1=0 C x +2y −3=0 D 2x −y −1=06. 已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)=2xf ′(1)+x 2，则f ′(1)=( ) A −1 B −2 C 1 D 27. 已知一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的平均数为2，则数据x 1+2，x 2+2，x 3+2，x 4+2的平均数为（）A 2B 3C 4D 68. 已知函数f(x)=sinx +acosx 的图象的一条对称轴是x =5π3，则函数g(x)=asinx +cosx 的最大值是（） A2√23 B 2√33 C 43 D 2√639.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） A 8 B 203C 173D 14310. 第16届亚运会于2010年11月12日在中国广州举行，运动会期间来自A 大学2名和B 大学4名的共计6名大学生志愿者，现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是（） A 115 B 25 C 35 D 1415二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11. 已知数列{a n }的前n 项和S n =2n −3，则数列{a n }的通项公式为________．12. 设F 1、F 2分别是椭圆x 225+y 216=1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM|=3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．13. 执行右边的程序框图，则输出的结果是________．14. 已知x ，y 满足{y −2≤0x +3≥0x −y −1≤0，则x 2+y 2最大值为________．15. 给出下列命题： ①y =1是幂函数②函数f(x)=2x −log 2x 的零点有1个③√x −1(x −2)≥0的解集为[2, +∞) ④“x <1”是“x <2”的充分不必要条件 ⑤函数y =x 3在点O(0, 0)处切线是x 轴其中真命题的序号是________（写出所有正确命题的编号）三、解答题（共6小题，满分75分））16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，AB →⋅AC →=8，∠BAC =θ，a =4．（1）求b ⋅c 的最大值及θ的取值范围；（2）求函数f(θ)=2√3sin 2(π4+θ)+2cos 2θ−√3的最值．17. 一个均匀的正四面体面上分别涂有1、2、3、4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b 、c ．（1）记z =(b −3)2+(c −3)2，求z =4的概率；（2）若方程x 2−bx −c =0至少有一根a ∈1，2，3，4，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA =AB =4，G 为PD 中点，E 点在AB 上，平面PEC ⊥平面PDC ．（1）求证：AG ⊥平面PCD ；（2）求证：AG // 平面PEC ；（3）求点G 到平面PEC 的距离． 19. 数列{a n }满足a 1＝1，a n+1=2n+1a n a n +2n(n ∈N +)．（1）证明：数列{2na n}是等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式a n ；（3）设b n ＝n(n +1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．20. 已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx 在x =±1处取得极值，且在x =0处的切线的斜率为−3．（1）求f(x)的解析式；（2）若过点A(2, m)可作曲线y =f(x)的三条切线，求实数m 的取值范围．21. 已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程y =43x ，右焦点F(5, 0)，双曲线的实轴为A 1A 2，P 为双曲线上一点（不同于A 1，A 2），直线A 1P 、A 2P 分别与直线l:x =95交于M 、N 两点．（1）求双曲线的方程；（2）求证：FM →⋅FN →为定值．2011年安徽省某校高三联考数学试卷（文科）答案1. B2. B3. C4. A5. D6. B7. C8. B9. C 10. C11. a n ={−1,n =12n−1，n ≥212. 4 13. 10 14. 25 15. ④⑤16. 解：（1）因为AB →⋅AC →=bc ⋅cosθ=8，根据余弦定理得：b 2+c 2−2bccosθ=42，即b 2+c 2=32，又b2+c2≥2bc，所以bc≤16，即bc的最大值为16，即8cosθ≤16，所以cosθ≥12，又0<θ<π，所以0<θ≤π3；（2）f(θ)=√3⋅[1−cos(π2+2θ)]+1+cos2θ−√3=√3sin2θ+cos2θ+1=2sin(2θ+π6)+1，因0<θ≤π3，所以π6<2θ+π6≤5π6，12≤sin(2θ+π6)≤1，当2θ+π6=5π6即θ=π3时，f(θ)min=2×12+1=2，当2θ+π6=π2即θ=π6时，f(θ)max=2×1+1=3．17. 解：（1）因为是投掷两次，因此基本事件(b, c)共有4×4=16个当z=4时，(b, c)的所有取值为(1, 3)、(3, 1)所以P(z=4)=216=18（2）①若方程一根为x=1，则1−b−c=0，即b+c=1，不成立．②若方程一根为x=2，则4−2b−c=0，即2b+c=4，所以{b=1c=2．③若方程一根为x=3，则9−3b−c=0，即3b+c=9，所以{b=2c=3．④若方程一根为x=4，则16−4b−c=0，即4b+c=16，所以{b=3c=4．综合①②③④知，(b, c)的所有可能取值为(1, 2)、(2, 3)、(3, 4)所以，“漂亮方程”共有3个，方程为“漂亮方程”的概率为p=31618. 解：（1）证明：∵ CD⊥AD，CD⊥PA∴ CD⊥平面PAD∴ CD⊥AG，又PD⊥AG，∴ AG⊥平面PCD（2）证明：作EF ⊥PC 于F ，因面PEC ⊥面PCD ∴ EF ⊥平面PCD ，又由（1）知AG ⊥平面PCD ∴ EF // AG ，又AG ⊄面PEC ，EF ⊂面PEC ， ∴ AG // 平面PEC（3）由AG // 平面PEC 知A 、G 两点到平面PEC 的距离相等由（2）知A 、E 、F 、G 四点共面，又AE // CD∴ AE // 平面PCD ∴ AE // GF ，∴ 四边形AEFG 为平行四边形，∴ AE =GF PA =AB =4，G 为PD 中点，FG = // 12CD ∴ FG =2∴ AE =FG =2 ∴ V P−AEC =13(12⋅2⋅4)⋅4=163又EF ⊥PC ，EF =AG =2√2∴ S △EPC =12PC ⋅EF =12⋅4√3⋅2√2=4√6又V P−AEC =V A−PEC ，∴ 13S △EPC ⋅ℎ=163，即4√6ℎ=16，∴ ℎ=2√63∴ G 点到平面PEC 的距离为2√63． 19. 证明：由已知可得an+12n+1=a nan +2n，即2n+1a n+1=2n a n +1，即2n+1a n+1−2n a n=1∴ 数列{2na n}是公差为1的等差数列（由(Ⅰ)知2na n=2a 1+(n −1)×1=n +1，∴ a n =2nn+1(Ⅲ)由(Ⅱ)知b n ＝n ⋅2nS n ＝1⋅2+2⋅22+3⋅23++n ⋅2n 2S n ＝1⋅22+2⋅23+...+(n − •2n +n ⋅2n+1相减得：−S n =2+22+23++2n−n ⋅2n+1=2(1−2n )1−2−n ⋅2n+1=2n+1−2−n ⋅2n+1∴ S n ＝(n −(1)⋅2n+1+220. 解：（1）f ′(x)=3ax 2+2bx +c依题意{f′(1)=3a +2b +c =0f′(−1)=3a −2b +c =0⇒{b =03a +c =0又f ′(0)=−3∴ c =−3∴ a =1∴ f(x)=x 3−3x（2）设切点为(x 0, x 03−3x 0)，∵ f ′(x)=3x 2−3∴ f ′(x 0)=3x 02−3∴ 切线方程为y −(x 03−3x 0)=(3x 02−3)(x −x 0) 又切线过点A(2, m)∴ m −(x 03−3x 0)=(3x 02−3)(2−x 0)∴ m =−2x 03+6x 02−6 令g(x)=−2x 3+6x 2−6则g ′(x)=−6x 2+12x =−6x(x −2)由g ′(x)=0得x =0或x =2g(x)极小值=g(0)=−6，g(x)极大值=g(2)=2 画出草图知，当−6<m <2时，m =−2x 3+6x 2−6有三解，所以m 的取值范围是(−6, 2)．21. 解：（1）依题意可设双曲线方程为：x 2a 2−y 2b 2=1，则{b a=43c =5c 2=a 2+b 2⇒{a =3b =4∴ 所求双曲线方程为x 29−y 216=1（2）A 1(−3, 0)、A 2(3, 0)、F(5, 0)，设P(x, y)，M(95,y 0)， A 1P →=(x +3,y)，A 1M →=(245,y 0)，∵ A 1、P 、M 三点共线， ∴ (x +3)y 0−245y =0∴ y 0=24y 5(x+3)即M(95，24y5(x+3))，同理得N(95，−6y5(x−3))， FM →=(−165,24y5(x+3))，FN →=(−165,−6y5(x−3))，则FM →⋅FN →=25625−14425⋅y 2x 2−9∵ x 29−y 216=1， ∴ y 2x 2−9=169；∴ FM →⋅FN →=25625−14425⋅169=25625−25625=0，即FM →⋅FN →=0（定值）。

数学_2011年福建省高三质量检查数学试卷(理科)(含答案)

2011年福建省高三质量检查数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1. 复数3+i 2−i等于（）A 1−iB 1+iC −1+iD −1−i2. 设全集U =R ，集合A ={x|x(x −2)<0}，B ={x|x <a}，若A 与B 的关系如图所示，则实数a 的取值范围是( )A [0, +∞)B (0, +∞)C [2, +∞)D (2, +∞)3. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3a 5=4，则数列{log 2a n }的前7项和等于（） A 7 B 8 C 27 D 284. 已知向量a →与b →的夹角是120∘，且|a →|=1，|b →|=2．若(a →+λb →)⊥a →，则实数λ等于（）A 1B −1C −√33 D √335. 运行如图所示框图的相应程序，若输入a ，b 的值分别为log 23和log 32，则输出M 的值是（）A 0B 1C 2D −16. 设二次函数f(x)=ax 2−2ax +c 在区间[0, 1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m 的取值范围是（）A (−∞, 0]B [2, +∞)C (−∞, 0]∪[2, +∞)D [0, 2]7. 设m ，n 是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，则下列命题的正确的是（）A 当m ⊂α，n ⊂β时，若m // n ，则α // βB 当m ⊂α，n ⊂β时，若m ⊥n ，则α⊥βC 当m ⊂α，n ⊂α，且m 、n 相交时，若m // β，n // β，则α // βD 当m ⊂α，n ⊂β时，若m ⊥β，则n ⊥α8. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =l ，c =4√2，B =45∘，则sinC 等于（） A 441 B 45 C 425 D4√41419. 函数f(x)={log3x，x>0cosπx,x<0的图象上关于y轴对称的点共有（）A 0对B 1对C 2对D 3对10. 定义在区间[0, a]上的函数f(x)的图象如图所示，记以A（0, f(0)），B （a, f(a)），C（x, f(x)）为顶点的三角形的面积为S(x)，则函数S(x)的导函数S′(x)的图象大致是（）A B C D二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11. ∫|4x−2|dx=________．12. 设数列{a n}的前n项和为S n，且a n=sin nπ2，n∈N∗，则S2011=________．13. 若以双曲线x24−y2=1的右顶点为圆心的圆恰与双曲线的渐近线相切，则圆的标准方程是________．14. 已知平面区域D1={(x, y)|{|x|<2|y|<2}，D2={(x, y)|kx−y+2<0}．在区域D1内随机选取一点若点M恰好取自区域D2的概率为p，且0<p≤18则A的取值范围是________．15. 某棋赛采用单循环赛（每两名选手均比赛一盘）方式进行，并规定：每盘胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分．今有8名选手参加这项比赛，已知他们的得分互不相等，且按得分从高到低排名后，第二名选手的得分是最后四名选手的得分之和．以下给出五个判断：①第二名选手的得分必不多于6分；②第二名选手的得分必不少于6分；③第二名选手的得分一定是6分；④第二名选手的得分可能是6.5分；⑤第二名选手的得分可能是5.5分．其中正确判断的序号是________（填写所有正确判断的序号）．三、解答题（共6小题，满分80分）16. 已知函数f(x)=√3cos2x+sinxcosx−√32，x∈R．（1）设角a的顶点在坐标原点，始边在x轴的负半轴上，终边过点P(12, −√32)，求f(a)的值；（2）试讨论函数f(x)的基本性质（直接写出结论）．17. 某中学将100名髙一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A 、B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．(I)从乙班随机抽取2名学生的成绩，记“成绩优秀”的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； (II)根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关．甲班（A 方式）乙班（B 方式）总计总计附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（此公式也可写成x 2=n(n 11n 22−n 12n 21)2n 1+n 2+n +1n +2）18. 如图，在Rt △ABC 中，AB =BC =4，点£在线段AB 上．过点E 作EF // BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置（点A 与P 重合），使得∠PEB =60∘． (I )求证：EF 丄PB ；(II )试问：当点E 在线段AB 上移动时，二面角P −FC −B 的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由．19. 已知函数f(x)=x +2a 2x+alnx ．（1）求f(x)的单调递增区间；（2）设a =1，g(x)=f′(x)，问是否存在实数k ，使得函数g(x)（均的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k ？若存在，求k 的取值范围；若不存在，说明理由．20.已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为√32，且过抛物线C:x 2=4y 的焦点F ．（1）求椭圆E 的方程；（2）过坐标平面上的点F ′作拋物线c 的两条切线l 1和l 2，它们分别交拋物线C 的另一条切线l 3于A ，B 两点．(I)若点F′恰好是点F 关于-轴的对称点，且l 3与拋物线c 的切点恰好为拋物线的顶点（如图），求证：△ABF′的外接圆过点F ；(II)试探究：若改变点F′的位置，或切线l 3的位置，或抛物线C 的开口大小，(I)中的结论是否仍然成立？由此给出一个使(I)中的结论成立的命题，并加以证明． 21. （1）选修4−2：矩阵与变换已知矩阵M =(2a2b)的两个特征值分别为λ1=−1和λ2=4．（I ）求实数的值；（II ）求直线x −2y −3=0在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程．（2）选修4−4：坐标系与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的参数方程为{x =sinαy =2cos 2α−2，（α为参数），曲线D 的坐标方程为ρsin(θ−π4)=−3√22． (I)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(II)判断曲线c 与曲线D 的交点个数，并说明理由．（3）选修4−5：不等式选讲已知a ，b 为正实数． (I)求证：a 2b +b 2a≥a +b ；(II)利用(I)的结论求函数y =(1−x)2x+x 21−x (0<x <1)的最小值．2011年福建省高三质量检查数学试卷（理科）答案1. B2. C3. A4. A5. C6. D7. C8. B9. D 10. D 11. 4 12. 013. (x −2)2+y 2=45 14. [−1, 0)∪(0, 1] 15. ①②③16. 解：解法一：（1）因为点P(12, −√32)在α终边上，所以sinα=−√32，cosα=12f(α)=√3cos 2α+sinαcosα−√32=√3×(12)2+(−√32)×12−√32=−√32（2）f(x)=√3cos 2x +sinxcosx −√32=√3×1+cos2x 2+12sin2x −√32=12sin2x +√32cos2x =sin(2x +π3) 函数的基本性质如下：①函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；②函数f(x)单调增区间为[kπ−5π12, kπ+π12]，单调减区间为：[kπ+π12,kπ+7π12](k ∈Z)； ③函数的最大值我1，最小值为−1； ④函数的周期为：π解法二：f(x)=√3cos 2x +sinxcosx −√32=√3×1+cos2x 2+12sin2x −√32=12sin2x +√32cos2x =sin(2x +π3) （1）因为点P(12, −√32)在α终边上，所以α=2kπ−π3，k ∈Z所以f(α)=sin[2(2kπ−π3)+π3]=sin(4kπ−π3)=sin(−π3)=−√32（2）同解法一；17. 解：(1)根据频率分步直方图可得成绩优秀的人数是4， ξ的可能取值是0，1，2 P(ξ=0)=C 462C 502=207245，P(ξ=1)=C461C41C502=1841225，P(ξ=2)=C42C502=61225∴ ξ的分布列是∴ Eξ=0×207245+1×1841225+2×61225=425(II)由频率分步直方图知，甲班成绩优秀和成绩不优秀的人数是12，38，乙班成绩优秀和成绩不优秀的人数是4，46根据列联表可知K2=100(12×46−4×38)216×84×50×50=4.762，由于4.762>3.841，∴ 有95%的把握说成绩优秀与教学方式有关．18. 解：(I)证明：在Rt△ABC中，∵ EF // BC∴ EF⊥AB∴ EF⊥EB，EF⊥EP，又由EB∩EP=E∴ EF⊥平面PEB又∵ PB⊂平面PEB∴ EF⊥PB(II)在平面PEB中，过P点作PD⊥BE于D，由(I)知，EF⊥PD∴ PD⊥平面BCFE在平面PEB中过点B作直线BH // PD则BH⊥平面BCFE如图，以B为坐标原点，BC，BE，BH方向分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，设PE=x(0<x<4)，又∵ AB=BC=4∴ BE=4−x，EF=x在Rt△PED中，∠PED=60∘∴ PD=√32x，DE=12x∴ BD=4−x−12x=4−32x∴ C(4, 0, 0)，F(x, 4−x, 0)，P(0, 4−32x, √32x) 从而CF →=(x −4, 4−x, 0)，CP →=(−4, 4−32x, √32x) 设n →=(a, b, c)是平面PCF 的一个法向量，则： {a(x −4)+b(4−x)=0−4a +(4−32x)b +√32x =0即{a −b =0√3b −c =0令b =1，则n →=(1, 1, √3)是平面PCF 的一个法向量，又∵ 平面BCF 的一个法向量为v →=(0, 0, 1) 设二面角P −FC −B 的平面角为θ，则 Cosθ=|n →|⋅|v →|˙=√155∴ 当点E 在线段AB 上移动时，二面角P −FC −B 的平面角的余弦值为定值√15519. 解：（1）函数f(x)的定义域为(0, +∞)， ∵ f(x)=x +2a 2x+alnx ，∴ f′(x)=1−2a 2x 2+a x=(x+2a)(x−a)x 2，当a =0时，f′(x)=1>0，所以f(x)的单调递增区间是(0, +∞)；当a >0时，由f′(x)>0，即(x+2a)(x−a)x 2>0，解得x >a ，所以f(x)的单调递增区间是(a, +∞)；当a <0时，由f′(x)>0，即(x+2a)(x−a)x 2>0，解得x >−2a ，所以f(x)的单调递增区间是(−2a, +∞)．（2）当a =1时，g(x)=1−2x 2+1x ，假设存在实数k ，使得g(x)的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k ，即对任意x 2>x 1>0，都有g(x 2)−g(x 1)x 2−x 1≥k ，亦即g(x 2)−kx 2≥g(x 1)−kx 1，可设函数ℎ(x)=g(x)−kx =1−2x 2+1x−kx(x >0)，故问题等价于ℎ′(x)=4x 3−1x 2−k ≥0，即k ≤4x 3−1x 2对x >0恒成立，令t =1x ，则F(t)=4t 3−t 2(t >0)，所以F′(t)=12t 2−2t ，令F′(t)=0，解得t =0（舍去）或t =16，当t 变化时，F(t)与F′(t)的变化情况如下表：故知F(t)在(0, 16)内单调递减，在(16, +∞)内单调递增，所以当t =16时，F(t)取得最小值，且最小值为−1108，∴ 当x >0时，F(1x )=4x 3−1x 2≥−1108，当且仅当x =6时取等号，故k 的取值范围是(−∞, −1108]．20. 解：（1）由已知得F(0, 1)，设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，则，b =1 椭圆的离心率为√32，可得，ca=√32，又∵ a 2=b 2+c 2，∴ a =2，c =√3∴ 椭圆方程为x 24+y 2=1(2)(I)依题意，点F ′的坐标为(0, −1)，过点F ′且与拋物线c 相切的直线斜率存在，设其方程为y =kx −1．代入抛物线方程，消y ，得x2−4kx +4=0，令△=0，得k =±1 则切线l 1和l 2方程分别为y =x −1和y =−x −1，又∵ 且l 3与拋物线c 的切点恰好为拋物线的顶点．∴ l 3的方程为y =0．由{y =x −1y =0，得点A 坐标为(1, 0)由{y =−x −1y =0，得点B 坐标为(−1, 0)设△ABF ′′的外接圆方程为x 2+y 2+Dx +Ey +4F =0，则{1+D +F =01−D +F =01−E +F =0，解得{D =0E =0F =−1∴ 设△ABF ′′的外接圆方程为x 2+y 2=1：△ABF′的外接圆过抛物线的焦点F ．(II)使(I)中的结论成立的命题为：设F ′为抛物线外一点，若过点F ′作拋物线c 的两条切线l 1和l 2，分别交拋物线C 的另一条切线l 3于A ，B 两点，则△ABF′的外接圆过抛物线的焦点F ．证明：不妨设拋物线方程为x 2=2py ，l i 分别与抛物线交于点P i (x i , y i )(i =1, 2, 3) 依题意，x 1，x 2，x 3中至少有两个不为0，不妨设x 1≠0，x 2≠0． ∵ y ′=xp 故切线l i 的方程为y −y i =x i p(x −x i )，i =1，2，3由{y −y 1=x 1p (x −x 1)y −y 2=x 2p(x −x 2)，得F ′(x 1+x 22, x 1x 22p)由 {y −y 1=x 1p (x −x 1)y −y 3=x 2p(x −x 3)得A(x 1+x 32, x 1x 32p){y −y 2=x1p (x −x 2)y −y 3=x 2p(x −x 3)，得B( x 1+x 32, x 1x 32p ) ∴ AF ′的垂直平分线方程为y −x 1x 2+x 1x 34p =−p x 1(x −2x 1+x 2+x 34)， BF ′ 的垂直平分线方程为 y −x 1x 2+x 2x 34p=−px 2(x −x 1+2x 2+x 34)它们的交点为M(x 1+x 2+x 34−x 1x 2x 34p 2, x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3+p 24p)又∵ F(0, p 2)，AF 的中点为N(x 1+x 34, x 1x 3+p 24p )从而 FA →=( x 1+x 32, x 1x 3−p 22p)，NM →=( x24−x 1x 2x 34p 2, x 1x 2+x 2x 34p)FA →⋅NM →=x 1+x 32(x 24−x 1x 2x 34p 2)+x 1x 3−p 22p⋅x 1x 2+x 2x 34p=0∴ FA →⊥NM →，∴ AF ′，BF ′AF 的垂直平分线教育一点M 圆上，即△ABF′的外接圆过抛物线的焦点F ．21. A ：解：(I)矩阵A 的特征多项式为：f(λ)=|λ−2−a −2λ−b |，即f(λ)=λ2−(b +2)λ+2b −2a ，由于λ1=−1和λ2=4是此函数的零点， ∴ {3=b +2−4=2b −2a ⇒{a =3b =1（II ）由上知，M =[2321]，直线x −2y −3=0上任一点(x, y)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像(x′, y′) 由[x′y′]=[2321][xy]得到：{x =−x′+3y′4y =x′−y′2代入x −2y −3=0化简得到5x′−7y′+12=0．直线x −2y −3=0在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程5x −7y +12=0． B ：解：(I)∵ 已知曲线C 的参数方程为{x =sinαy =2cos 2α−2，∴ 消去参数α得：x 2=−y2，x ∈[−1, 1]．(II)由方程为ρsin(θ−π4)=−3√22．得到：曲线D 的方程为：x −y −3=0．由上述方程消去y 得到：2x 2+x −3=0，此方程有两个不等的实根，∴ 曲线c 与曲线D 的交点个数是2． C ：解：(I)(a 2b +b 2a)(b +a)=a 2+a 3b+b 2+b 3a≥a 2+b 2+2ab =(a +b)2；∴ a 2b +b 2a≥a +b ；(II)解：依题意可知y=(1−x)2x +x21−x≥1∴ y=(1−x)2x +x21−x(0<x<1)最小值为1．。

数学_2011年湖北省黄冈市某校高三综合测试数学试卷(含答案)

2011年湖北省黄冈市某校高三综合测试数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1. 若(a −2i)i =b −i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，设z =a +bi ，则1z 的模为（） A 5 B 15 C √5 D √552. 已知集合A =x||3x −1|<2，则使(B ∪A)⊆(A ∩B)的集合B =( ) A {x|13<x <1|} B {x|−13<x <1} C x|0<x <1 D {x|−13<x <0}3. 设等差数列a n 的前n 项和为S n ，(n ∈N ∗)，a 3=1，，a 15=−1，则|S n −S n+13|的最小值为（）A 0B 134 C 72 D 1324. 设随机变量ζ∼N(2, p)，随机变量η∼N(3, p)，若P(ζ≥1)=59，则P(η≥1)=( )A 2327B 2027C 1927D 16275. a 、b 、c 、d 是空间四条直线，如果a ⊥c ，，b ⊥c ，，a ⊥d ，，b ⊥d ，那么（） A a // b 或c // d B a // b 且c // d C d 中至多有一对直线互相平行 D d 任何两条直线都不平行6. 在△ABC 中，BC =1，∠B =π3，且S △=√3，则tanC =( ) A 2√3 B −2√3 C √13 D −2√3137. 用某种方法来选取不超过100的正整数n ，若n ≤50，那么选取n 的概率为P ，若n >50，那么选取n 的概率为3P ，则选取到一个完全平方数的概率是（） A 0.075 B 0.008 C 0.08 D 与P 有关8. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(0, +∞)上是减函数，若f(13)>0>f(√2)，则方程f(x)=0的根的个数是（） A 2 B 2或1 C 3 D 2或39. 定义一个法则f ：(m, n)→(m, √n)(n ≥0)，在法则f 的作用下，点P(m, n)对应点P′(m, √n)．现有A(−1, 2)，B(1, 0)两点，当点P 在线段AB 上运动时，其对应点P′的轨迹为G ，则G 与线段AB 公共点的个数为（） A 0 B 1 C 2 D 310. 平面向量的集合A 到A 的映射f(x →)=x →−(x →⋅a →)⋅a →，其中a →为常向量，若f 满足f(x →)⋅f(y →)=x →⋅y →对任意x →，y →∈A 成立，则a →的坐标可以是（） A (√24，√24) B (√72，12) C (34，14) D (−12，√32)二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11. 设实数x ，y 满足x 2+2xy −1=0，则x +y 的取值范围是________．12. 已知函数f(x)=log 2x ，正项等比数列a n 的公比为2，若f(a 2⋅a 4⋅a 6)=4，则2f(a 1)+f(a 2)+f(a 3)+f(a 4)+f(a 5)+f(a 6)=________．13. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，则四面体A 1−C 1BD 在面A 1B 1C 1D 1上的正投影的面积与该四面体表面积之比是________． 14. 在(√x 2√x3)10的展开式中，系数最大的项是________．15. 对于函数f(x)，若存在区间M =[a, b]，(a <b)，使得{y|y =f(x), x ∈M}=M ，则称区间M 为函数f(x)的一个“稳定区间”．请你写出一个具有“稳定区间”的函数；（只要写出一个即可）给出下列4个函数： ①f(x)=g x ； ②f(x)=x 3， ③f(x)=cos π2x④f(x)=lnx +1其中存在“稳定区间”的函数有________．（填上正确的序号）三、解答题（共6小题，满分75分）16. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者不得分，比赛进行到一方比另一方多2分或打满6局时停止，设每局中甲获胜的概率为23，乙获胜概率为13，且各局胜负相互独立．（1）求两局结束时，比赛还要继续的概率（2）求比赛停止时已打局数ξ的分布列及期望Eξ．17. 如图，中国在索马里海域值勤的A 船接到B 处一货船遇险求救信号，A 船立即前往营救，同时把消息告知在A 船东偏北60∘相距10n ，mil 的C 船，此时C 船在B 的正西方，相距20n ，mil 处． (1)求A 船与B 船间的距离．(2)设A 船沿直线方向前往B 处，其方向与AB →成θ角求f(x)=7sin 2θ⋅cos2x +2√3，cos 2(x +π4)的值域及单调减区间．18. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是菱形，∠ABC =60∘，△PCD 的重心G 在底面ABCD 上的射影恰好是△ACD 的重心N ，且GN =13AB =13PA =1．（1）求证：AN ⊥PB（2）求点B 到平面PCD 的距离（3）求二面角B −PC −A 的大小．19. 在数列a n 中，a 1=0，a 2=2，a n+1+a n−1=2(a n +1)，n ≥2 （1）求数列a n 的通项公式（2）若不等式(x 2−x)(1a 2+1a 3+⋯+1an+1)>1对任意的正整数n 都成立，求x 的取值范围．20. 椭圆G ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)，M 是椭圆上的一点，且满足F 1M →⋅F 2M →=0．（1）求离心率的取值范围；（2）当离心率e 取得最小值时，点N(0, 3)到椭圆上的点的最远距离为5√2； ①求此时椭圆G 的方程；②设斜率为k(k ≠0)的直线L 与椭圆G 相交于不同的两点A 、B ，Q 为AB 的中点，问A 、B 两点能否关于过点P(0,−√33)、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． 21. 已知f(x)=ax −ln(−x)，x ∈(−e, 0)，g(x)=−ln(−x)x，其中e 是自然常数，a ∈R ．（1）讨论a =−1时，f(x)的单调性、极值；（2）求证：在（1）的条件下，|f(x)|>g(x)+12．（3）是否存在实数a ，使f(x)的最小值是3，如果存在，求出a 的值；如果不存在，说明理由．2011年湖北省黄冈市某校高三综合测试数学试卷答案1. D2. B3. A4. D5. A6. B7. C8. D9. C 10. B11. (−∞, −1]∪[1, +∞) 12. 32 13. √36 14. T 5=1058x 5315. ②③16. 解：（1）设甲获胜的概率记作P 甲，乙获胜的概率为P 乙，依题，两局结束时，还要进行比赛的概率为P =p 甲⋅p 乙+p 乙⋅p 甲=23×13+13×23=49（2）依题，ξ的可能取值为2、4、6 P(ξ=2)=(23)2+(13)2=59P(ξ=4)=49×59=2081P(ξ=6)=(49)2=1681，ξ的期望Eξ=2×59+4×2081+6×1681=2668117. 解：(1)在△ABC 中，已知∠BCA =120∘，BC =20AC =10由余弦定理得：AB 2=BC 2+AC 2−2BC ⋅AC ⋅cos20∘=700，∴ AB =10√7 即A 船与B 船间的距离为10√7n ，mil (2)在△ABC 中，由正弦定理得BC simϑ=ABsim120∘，即20simϑ=10√7sim120∘∴ simϑ=√217f(x)=7×37cos2x +2√3⋅1+cos(2x +π2)2=3cos2x +√3−√3sin2x =2√3cos(2x +π6)+√3故值域[−√3，，3√3]，单调减区间为[kπ−π12，kπ+5π12]k ∈z18. 解：（1）证明：∵ N 是G 在面ABCD 上的射影，∴ GN ⊥面ABCD ，又G 、N 分别为△PCD 和△ACD 的重心， ∴ GN // PA∴ PA ⊥平面ABCD∴ AB 为PB 在平面ABCD 内射影，连PG 交CD 于点M ，则点M 为CD 的中点，且AN 过点M ∵ ABCD 为菱形，∠ABC =60∘， ∴ AN ⊥CD ，又AB // CD ， ∴ AN ⊥AB ，∴ AN ⊥PB （2）∵ AB // CD∴ AB // 平面PCD ，∴ 点B 到面PCD 的距离等于点A 到面PCD 的距离，过点A 作AE ⊥PM ∴ AN ⊥CD 又PA ⊥平面ABCD ∴ CD ⊥PM∴ CD ⊥平面PAM ∴ CD ⊥AE∴ AE ⊥平面PCD∴ AE 为点A 到平面PCD 的距离∵ GN =13AB =13PA =1，∴ PA =AB =3，AM =3√32，∴ PM 3√72∴ AE =3√217，即点B 到平面PCD 的距离为3√217（3）连接BD ，过B 作BK ⊥PC 交PC 于K ，AC 与BD 交于点O ，连KO ，易知PC ⊥平面KO ∴ PC ⊥KO ，则∠BKO 为二面角B −PC −A 的平面角 ∵ AB =3 ∴ BO =3√32，∴ KO =3√24在Rt △BKO 中，tan∠BKO =OB KO=√6∴ 二面角B −PC −A 的大小为arttan √6 另：用坐标系求解，酌情评分． 19. 解：（1）由已知得，a n+1−a n =a n −a n−1+2，(n ≥2) ∴ 数列a n+1−a n 是以首项为a 2−a 1=2，公差为2的等差数列 ∴ a n+1−a n =2n当n ≥2时，a n =a 1+(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+...+(a n −a n−1)=n(n −1) 又a 1=0=1×(1−1)适合， ∴ a n =n(n −1)（2）由（1）得，a n =n 2−n ， ∴ 1an+1=1n −1n+1∴ 1a 2+1a 3++1an+1=1n −1n+1由已知得(x 2−x)n n+1>1即x 2−x >n+1n=1+1n对任意的正整数n 均成立∴ x 2−x >2 ∴ x <−1或x >2即所求x 的范围为(−∞, −1)∪(2, +∞)20. 解：（1）设M(x, y)，则F 1M →=(x +c,y)，F 2M →=(x −c,y) 由F 1M →⋅F 2M →=0⇒x 2+y 2=c 2⇒y 2=c 2−x 2又M在椭圆上，∴ y2=b2−b2a2x2∴ c2−x2=b2−b2a2x2⇒x2=a2−a2b2c2，又0≤x2≤a2∴ 0<2−1e2≤1⇒√22≤e≤1，∵ 0<e<1，∴ √22≤e<1（2）①当e=√22时得椭圆为x22b2+y2b2=1设H(x, y)是椭圆上一点，则|HN|2=x2+(y−3)2=(2b2−2y2)+(y−3)2=−(y+3)2+2b2+18，(−b≤y≤b)设0<b<3，则−3<−b<0，当y=−b时，|HN|max2=b2+6b+9，，由题意得b2+ 6b+9=50∴ b=−3±5√2，与0<b<3矛盾，设b≥3得−b≤−3，当y=−3时，|HN|max2=2b2+18，，由2b2+18=50得b2=16，（合题薏）∴ 椭圆方程是：x232+y216=1②．设l:y=kx+m由{x232+y216=1y=kx+m⇒(1+2k2)x2+4kmx+2m2−32=0而△>0⇒m2<32k2+16又A、B两点关于过点P(0,−√33)、Q的直线对称∴ k PQ=−1k ，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x Q=−2km1+2k2，y Q=m1+2k2∴ y Q+√3 3x Q =−1k⇒m=2√3∴ (2√3)2<32k2+16⇒0<k2<472又k≠0，∴ −√942<k<0或0<k<√942∴ 需求的k的取值范围是−√942<k<0或0<k<√94221. 解：（1）∵ f(x)=−x−ln(−x)f′(x)=−1−1x =−x+1x∴ 当−e≤x<−1时，f′(x)<0，此时f(x)为单调递减当−1<x<0时，f′(x)>0，此时f(x)为单调递增∴ f(x)的极小值为f(−1)=1（2）∵ f(x)的极小值，即f(x)在[−e, 0)的最小值为1∴ |f(x)|min=1令ℎ(x)=g(x)+12=−ln(−x)x+12又∵ ℎ′(x)=ln(−x)−1x 2当−e ≤x <0时ℎ′(x)≤0，ℎ(x)在[−e, 0)上单调递减 ∴ ℎ(x)max =ℎ(−e)=1e +12<12+12=1=|f(x)|min ∴ 当x ∈[−e, 0)时，|f(x)|>g(x)+12（3）假设存在实数a ，使f(x)=ax −ln(−x)有最小值3，x ∈[−e, 0)f′(x)=a −1x ①当a ≥−1e时，由于x ∈[−e, 0)，则f′(x)=a −1x≥0∴ 函数f(x)=ax −ln(−x)是[−e, 0)上的增函数 ∴ f(x)min =f(−e)=−ae −1=3 解得a =−4e<−1e（舍去）②当a <−1e 时，则当−e ≤x <1a 时，f′(x)=a −1x <0 此时f(x)=ax −ln(−x)是减函数当1a <x <0时，f′(x)=a −1x >0，此时f(x)=ax −ln(−x)是增函数 ∴ f(x)min =f(1a )=1−ln(−1a )=3 解得a =−e 2。

北京市十一学校2011届高三数学1月综合练习(答案)

北京市十一学校2011届高三数学练习（理） 2011．01．06参考答案及评分标准一、二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9． 32-； 10．－1; 11． 5；12． 26 ； 13. 48； 14． 1116； 11 .三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15：(本小题满分12分)（Ⅰ）因为f (x )＝2cos 2x －3sin2x ＝－3sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋5π6)＋1. 令2k π＋π2≤2x ＋5π6≤2k π＋3π2，k ∈Z，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z.因此，函数f (x )的单调减区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z)．…………………6分（Ⅱ）当x ∈[－π4，0]时，2x ＋5π6∈[π3，5π6， ∴sin(2x ＋5π6)∈[12，1]，因此，函数f (x )的值域为[2,3]．…………………12分16．(本小题满分13分)解：设事件i A （1,2,3,4i =）表示“该选手能正确回答第i 轮问题”，由已知15()6P A =，24()5P A =，33()4P A =，41()3P A =，（Ⅰ）设事件B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则123123()()()()()P B P A A A P A P A P A ==…………………2分 5431(1)6546=⨯⨯-=.…………………4分（Ⅱ）设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”，则112123()()P C P A A A A A A =++…………………5分1121231515431()()()(1)6656542P A P A A P A A A =++=+⨯+⨯⨯-=.………6分（III ）X 的可能取值为1,2,3,4.…………………7分11(1)()6P X P A ===，…………………8分12541(2)()(1)656P X P A A ===⨯-=，…………………9分1235431(3)()(1)6546P X P A A A ===⨯⨯-=，…………………10分1235431(4)()6542P X P A A A ===⨯⨯=，…………………11分所以，X 的分布列为1111()123436662E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………13分17．(本小题满分13分)（Ⅰ）证明：四棱柱1111ABC D A B C D -中，11//BB C C ，又1C C ⊄面11ABB A ，所以1//C C 平面11ABB A ， ………3分A B C D 是正方形，所以//C D A B ，又C D ⊄面11ABB A ，所以//C D 平面11ABB A …………4分所以平面11//C D D C 平面11ABB A ，所以1//C D 平面11ABB A . …………………5分（Ⅱ）解：A B C D 是正方形，A D C D ⊥，因为1A D ⊥平面A B C D ，所以1A D AD ⊥，1A D C D ⊥，如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，在1AD A ∆中，由已知可得1A D =，所以11(0,0,0),(0,0,(1,0,0),(D A A C -，ABCDD 1A 1B 1C 111(0,1,(1,(1,1,0)B D B -，1(2,1,BD =--， ………6分因为1A D ⊥平面A B C D ，所以1A D ⊥平面1111A B C D ，111A D B D ⊥，又1111B D A C ⊥，所以11B D ⊥平面11A C D ，…………………7分所以平面11A C D 的一个法向量为(1,1,0)=n ， …………………8分设1BD与n 所成的角为β，则113cos 4B D B D β⋅===- n n ， …………………9分所以直线1BD 与平面11A C D 所成角的正弦值为34. …………………10分（III ）解：设平面11A C A 的法向量为(,,)a b c m =，则1110,0A C A A ⋅=⋅=m m ,所以0a b -+=，0a -=，令c =(3,m =， …………………11分则cos ,7m n ⋅<>===m n m n. …………………12分所以二面角11D A C A --的余弦值为7. …………………13分18．(本小题满分14分)（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为(1,)-+ ， ----------------1分22()221a f x x x -¢=-+++2221x ax -+=+. --------------------4分因为(0)4f '=，所以2a =. --------------5分（Ⅱ）解：当0a <时，因为210,220x x a +>-+<，1所以()0f x ¢<，故()f x 在(1,)-+ 上是减函数； ----------7分当a =0时，当(1,0)x ?时，22()01xf x x -¢=<+，故()f x 在(1,0)-上是减函数，当(0,)x ? 时，22()01xf x x -¢=<+，故()f x 在(0,+)¥上是减函数，因为函数()f x 在(1,)-+ 上连续，所以()f x 在(1,)-+ 上是减函数； ----------9分当0<a <1时，由222()01x af x x -+¢==+, 得xx=-分x 变化时，(),()f x f x '的变化如情况下表：所以()f x在(1,--上减、在)+上减；在(-为增. ---13分综上，当0a £时，()f x 在(1,)-+ 上是减函数；当0<a <1时，()f x在(1,--上为减函数、在)+上为减函数；()f x在(-上为增函数. ----------14分19 (本小题满分14分)解：（Ⅰ）由2C ：24y x =知2(10)F ，．……………………………………………1分设11()M x y ，，M 在2C 上，因为253M F =，所以1513x +=，得123x =，13y =．…………… ………………………………………… 3分M 在1C 上，且椭圆1C 的半焦距1c =，于是222248193 1.a bb a ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，……………5分消去2b 并整理得 4293740a a -+=，解得2a =（13a =不合题意，舍去）．故椭圆1C 的方程为22143xy+=． ………………………………………………… 7分（Ⅱ）由12M F M F M N +=知四边形12M F N F 是平行四边形，其中心为坐标原点O ，因为l M N ∥，所以l 与O M 的斜率相同，故l的斜率323k ==设l的方程为)y x m =-．……………………………………………………… 8分由223412)x y y x m ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，，消去y 并化简得 22916840x mx m -+-=．…………………………………… 9分设11()A x y ，，22()B x y ，，12169m x x +=，212849m x x -=.……………………10分因为以A B 为直径的圆过坐标原点O ，所以OA OB ⊥，即12120x x y y +=．121212126()()x x y y x x x m x m +=+--2121276()6x x m x x m =-++22841676699m m m m -=⋅-⋅+21(1428)09m =-=．……………… 12分所以m =22(16)49(84)0m m ∆=-⨯->，故所求直线l的方程为y =-y =+ …………………… 14分20．(本小题满分14分)解：（I ）由题设知.,)1(1121p a a p a p =-=-解得 ……………1分同时⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-++,)1(,)1(1212n n n n a p S p a p S p两式作差得.))(1(11++-=--n n n n a a S S p所以,1,)1(111n n n n n a pa a a a p =-=-+++即 ……………2分可见，数列.1,}{的等比数列公比为是首项为pp a n ……………3分.)1()1(21--==n n n ppp a ……………4分（II ）.1)2(21log212nn pb npn =--=-=- ……………5分.111)1(11+-=+=+n nn n b b b n ……………6分1433221+++++=n n n b b b b b b b b T)111()4131()3121()2111(+-++-+-+-=n n111+-=n ……………7分所以， 1,12n T ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ……………9分（III ）,)1()1(2)53()43(52123741--++--==n n n n pp a a a a …………10分.)1()1(,,)1(762)53(7678pppa n n >=-要求由题意 ……………11分①当.015253,762)53(,12<--<->n n n n p 即时解得不.8319<<-n 符合题意，此时不存在符合题意的M 。

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Read xIf x >0 Then1y x ←+Else1y x ←-End If Print y （第7题）2011届高三数学综合检测卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．复数ii4321+-在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限． 2．设全集{1,3,5,7}U =，集合{1,5}M a =-，M U ⊆，{}5,7U M =ð，则实数a 的值为 ▲ ．3．过点()1,0且倾斜角是直线210x y --=的倾斜角的两倍的直线方程是 ▲ ． 4．若连续投掷两枚骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标()n m 、，求点P 落在圆1622=+y x 内的概率为 ▲ ．5．若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 ▲ ．6．如图所示，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+ ， AQ =23AB+14AC ,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 ▲ ．7．下图是根据所输入的x 值计算y 值的一个算法程序，若x 依次取数1100n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭()n N +∈ 中的前200项，则所得y 值中的最小值为 ▲ ．8．在ABC ∆中，若,,AB AC AC b BC a ⊥==，则ABC ∆的外接圆半径r ，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中，若SA SB SC 、、两两垂直，,,SA a SB b SC c ===，则四面体S ABC -的外接球半径R = ▲ ．9．若a 是12b +与12b -的等比中项，则22aba b+的最大值为 ▲ ．10．空间直角坐标系中，点,3sin ),(0,3cos ,4cos )A B αββα-，则A 、B 两点间距离的最大值为 ▲ ．（第6题）11请将错误的一个改正为lg ▲ = ▲ ．12．如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 ▲ ．13．已知数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，n n T S ,分别是它们的前n 项和，并且317++=n n T S n n ，则1612108221752b b b b a a a a ++++++= ▲ ．14．已知函数)(x f 的值域为[][]0,4(2,2)x ∈-，函数()1,[2,2g x a x x =-∈-，1[2,2]x ∀∈-，总0[2,2]x ∃∈-，使得01()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是▲ ．二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+。

（Ⅰ）求角A 的大小：（Ⅱ）若222sin2sin 122B C+=，判断ABC ∆的形状。

16．（本小题满分15分）如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点．（Ⅰ）求证：EF //平面11ABC D ；（Ⅱ）求证：1EF B C ⊥；（Ⅲ）求三棱锥EFC B V -1的体积．CDBFED 1C 1B 1AA 1A 17．（本小题满分14分）某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．（Ⅰ）求该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用y （万元）；（Ⅱ）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？ 18．（本小题满分15分）如图，已知圆O 的直径AB=4，定直线L 到圆心的距离为4，且直线L 垂直直线AB 。

点P 是圆O 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别交L 与M 、N 点。

（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN 为直径的圆方程；（Ⅱ）当点P 变化时，求证：以MN 为直径的圆必过圆O 内的一定点。

19．设常数0a ≥，函数2()ln 2ln 1f x x x a x =-+-((0,))x ∈+∞.（Ⅰ）令()()g x xf x '=(0)x >，求()g x 的最小值，并比较()g x 的最小值与零的大小；（Ⅱ）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；（Ⅲ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+． 20．（本小题满分16分）定义：若数列{}n A 满足21n n A A =+，则称数列{}n A 为“平方递推数列”。

已知数列{}n a 中，21=a ，点),(1+n n a a 在函数x x x f 22)(2+=的图像上，其中n 为正整数。

（Ⅰ）证明：数列{}12+n a 是“平方递推数列”，且数列{})12lg(+n a 为等比数列。

（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n 项之积为n T ，即12(21)(21)(21)n n T a a a =+++ ，求数列{}n a 的通项及n T 关于n 的表达式。

（Ⅲ）记n a n T b n 12log +=，求数列{}n b 的前n 项之和n S ，并求使2008n S >的n 的最小值。

◎试卷使用说明1、此试卷完全按照2011年江苏高考数学考试说明命题，无超纲内容。

2、此试卷成绩基本可以反映高考时的数学成绩，上下浮动15分左右。

3、若此试卷达120分以上，高考基本可以保底120分；若达85分，只要在下一个阶段继续努力高考可以达96分。

4、此试卷不含理科加试内容。

5、希望各位老师、同学在使用后多提宝贵意见，共同切磋提高。

2011届高三数学综合检测卷参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在ABC ∆中，2222cos b c a bc A +-=，又222b c a bc +=+∴1cos ,23A A π==…………………………………………………6分（Ⅱ）∵222sin2sin 122B C +=，∴1cos 1cos 1B C -+-=……………………8分 ∴2cos cos 1,cos cos()13B C B B π+=+-=，22cos cos cos sin sin 133B B B ππ++=，1cos 122B B +=，∴sin()16B π+=，∵0B π<<，∴,33B C ππ==, ∴ABC ∆为等边三角形。

……………14分16．（本小题满分15分）证明：（Ⅰ）连结1BD ，在B DD 1∆中，E 、F 分别为1D D ，DB 的中点，则11111111////EF D BD B ABC D EF ABC D EF ABC D ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭平面平面平面（Ⅱ）1111111,B C ABB C BC AB B C ABC D AB BC B ⊥⎫⎪⊥⎪⎬⊂⎪⎪=⎭平面⇒111111B C ABC D BD ABC D ⊥⎫⇒⎬⊂⎭平面平面111//B C BD EF BD ⊥⎫⎬⎭1EF B C ⇒⊥（Ⅲ）11CF BDD B ⊥ 平面1CF EFB ∴⊥平面且 CF B F==112EF BD ==1B F ===13B E ===∴22211EF B F B E += 即190EFB ∠=11113B EFC C B EF B EF V V S CF --∆∴==⋅⋅=11132EFB F CF ⨯⋅⋅⋅=11132⨯= 17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）xx x y )2642(5.0100++++++=即5.1100++=xx y （0>x ）；------------------------------------------------7分（不注明定义域不扣分，或将定义域写成*N x ∈也行）由均值不等式得：（Ⅱ）5.215.110025.1100=+⋅≥++=xx x x y （万元）-----------------------11分当且仅当xx 100=，即10=x 时取到等号．----------------------------------------13分答：该企业10年后需要重新更换新设备．------------------------------------------14分18．（本小题满分15分）解：建立如图所示的直角坐标系，CDBFED 1C 1B 1AA 1⊙O 的方程为224x y +=，直线L 的方程为4x =。

（Ⅰ）∵∠PAB=30°，∴点P的坐标为，∴:2)AP l y x =+，:2)BP l y x =-。

将x =4代入，得(4,M N -。

∴MN 的中点坐标为（4，0），MN= ∴以MN 为直径的圆的方程为22(4)12x y -+=。

同理，当点P 在x 轴下方时，所求圆的方程仍是22(4)12x y -+=。

（Ⅱ）设点P 的坐标为00(,)x y ，∴22004x y +=（00y ≠），∴22004y x =-。

∵0000:(2),:(2)22PA PB y yl y x l y x x x =+=-+-，将x=4代入，得0062M y y x =+，0022N y y x =-。

∴000062(4,),(4,)22y y M N x x +-，MN=000000446222x y y x x y --=+-。

MN 的中点坐标为004(1)(4,)x y --。

以MN 为直径的圆/O 截x轴的线段长度为=0y === ∴⊙/O 必过⊙O内定点(4-。

19．（本小题满分15分）解（Ⅰ）∵()(ln )(ln )2ln 1f x x x x a x =-+-，(0,)x ∈+∞ ∴112()1[ln (ln )]a f x x x x x x '=-⨯+⨯+， 2ln 21x ax x=-+， ……2分∴()()2ln 2g x xf x x x a '==-+，(0,)x ∈+∞∴22()1x g x x x-'=-=，令()0g x '=，得2x =， ……4分列表如下：∴()g x 在x 即()g x 的最小值为(2)22ln 22g a =-+． ……6分(2)2(1ln 2)2g a =-+，∵ln 21<，∴1ln 20->，又0a ≥，∴(2)0g >． ……8分证明（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()g x 的最小值是正数，∴对一切(0,)x ∈+∞，恒有()()0g x xf x '=>， ……10分从而当0x >时，恒有()0f x '>， ……11分故()f x 在(0)+，∞上是增函数． ……12分证明（Ⅲ）由（Ⅱ）知：()f x 在(0)+，∞上是增函数， ∴当1x >时，()(1)f x f >， ……13分又2(1)1ln 12ln110f a =-+-=， ……14分∴()0f x >，即21ln 2ln 0x x a x --+>， ∴2ln 2ln 1x x a x >-+故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+． ……15分20．（本小题满分16分）（Ⅰ）由条件a n ＋1＝2a n 2＋2a n ，得2a n ＋1＋1＝4a n 2＋4a n ＋1＝(2a n ＋1)2．∴{b n }是“平方递推数列”．∴lg b n ＋1＝2lg b n ．∵lg(2a 1＋1)＝lg5≠0，∴lg(2a n +1＋1)lg(2a n ＋1)＝2．∴{lg(2a n ＋1)}为等比数列．（Ⅱ）∵lg(2a 1＋1)＝lg5，∴lg(2a n ＋1)＝2n －1⋅lg5，∴2a n ＋1＝52n－1，∴a n ＝12(52n －1－1)．∵lg T n ＝lg(2a 1＋1)＋lg(2a 2＋1)＋…＋lg(2a n ＋1)＝lg5⋅(1－2n )1－2＝(2n －1)lg5．∴T n ＝52n －1．（3）c n ＝lg T n lg(2a n ＋1)＝(2n －1)lg52n －1lg5＝2n －12n －1＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1， ∴S n ＝2n －[1＋12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1]＝2n －1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＝2n －2[1－⎝⎛⎭⎫12n]＝2n －2＋2⎝⎛⎭⎫12n．由S n ＞2008得2n －2＋2⎝⎛⎭⎫12n ＞2008，n ＋⎝⎛⎭⎫12n＞1005，当n ≤1004时，n ＋⎝⎛⎭⎫12n＜1005，当n ≥1005时，n ＋⎝⎛⎭⎫12n＞1005，∴n 的最小值为1005．。