立体几何体的截面及三视图

立体几何专题（部分内容）

一.圆柱的截面

用一个平面去截（分三种情形：①用与圆柱的底面平行的平面去截；②用与圆柱的底面垂直的平面去截；③用与圆柱的底面不垂直的平面去截.），观察图1，很容易得出它们分别是：圆、长方形、椭圆.

图1

二.圆锥的截面

用一个平面去截一个圆锥体，圆、三角形、椭圆.

图2

三.球的截面

用一个平面去截一个球体

图3

四.三棱锥的截面

请同学们尝试用一个平面去截一个三棱锥，试判断所截得的平面图形是什么？观察图4

图4

五.正方体的截面（需补充两面截图）

补充：三视图或投影经典考题

公式：

空间几何体的表面积

棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和

圆柱的表面积 ：2

22S rl r ππ=+ 圆锥的表面积：2S

rl r ππ=+

圆台的表面积：22

S rl r Rl R ππππ=+++

球的表面积：24S

R π=

扇形的面积公式2211

=36022

n R S lr r πα==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径，α表示弧度） 空间几何体的体积 柱体的体积 ：V

S h =?底

锥体的体积 ：1

3

V S h =

?底 台体的体积 ： 1

)3

V S S S S h =+

+?下

下上上（ 球体的体积：

34

3

V R π=

空间几何体的三视图和直观图：正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽一样

正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。

侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。

俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。

1、线线平行的判断：

（1）、平行于同一直线的两直线平行。

（3）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（6）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（12）、垂直于同一平面的两直线平行。

2、线线垂直的判断：

（7）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（8）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。（10）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

3、线面平行的判断：

（2）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（5）、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

判定定理：

性质定理：

4、线面垂直的判断：

⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。

判定定理：

性质定理：

（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。即：

（2）垂直于同一平面的两直线平行。 即： ★判断或证明线面垂直的方法 ⑴ 利用定义，用反证法证明。 ⑵ 利用判定定理证明。

⑶ 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面。 ⑷ 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个。

⑸ 如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面。 ★1.5 三垂线定理及其逆定理

⑴ 斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的所有线段中， 斜线相等则射影相等，斜线越长则射影越长，垂线段最短。 如图：

⑵ 三垂线定理及其逆定理

已知PO ⊥α，斜线PA 在平面α内的射影为OA ，a 是平面 α内的一条直线。

① 三垂线定理：若a ⊥OA ，则a ⊥PA 。即垂直射影则垂直斜线。 ② 三垂线定理逆定理：若a ⊥PA ，则a ⊥OA 。即垂直斜线则垂直射影。 ⑶ 三垂线定理及其逆定理的主要应用 ① 证明异面直线垂直； ② 作出和证明二面角的平面角； ③ 作点到线的垂线段。 5、面面平行的判断：

⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。 ⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。 6、面面垂直的判断：

⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。 判定定理： 性质定理：

⑴ 若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°； （2）

图2-7 斜线定理

图2-8 三垂线定理

（3）（4）

☆三垂线定理（及逆定理）：

PA AO PO ⊥面，为在内射影，面，则αααa ? a OA a PO a PO a AO ⊥⊥；⊥⊥??

☆线面垂直：

a b a c b c b c O a ⊥，⊥，，，⊥?=?αα ☆面面垂直：

a a ⊥面，面⊥αββα??

面⊥面，，，⊥⊥αβαβαβ =??l l a a a

☆a b a b ⊥面，⊥面∥αα? 面⊥，面⊥∥αβαβa a ?

☆三类角的定义及求法

（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90° （2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90° θαα＝时，∥或0b o

b ?

（）二面角：二面角的平面角，30180αβθθ--<≤l o o

（三垂线定理法：A ∈α作或证AB ⊥β于B ，作BO ⊥棱于O ，连AO ，则AO ⊥棱l ，∴∠AOB 为所求。） 三类角的求法：

①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。 ③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。

☆如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中对角线BD 1＝8，BD 1与侧面B 1BCC 1所成的为30°。 ①求BD 1和底面ABCD 所成的角的正弦值； ②求异面直线BD 1和AD 所成的角； ③求二面角C 1—BD 1—B 1的角正弦值。

α a P

O a

O α b c

α a

l

β

a b

α

D 1 C 1 A 1 B 1 H G

D C

A B

（①；②；③）arcsin

arcsin 346063

o ☆点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。

将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。

如：正方形ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，则：

（1）点C 到面AB 1C 1的距离为______________；

（2）点B 到面ACB 1的距离为_______________；

（3）直线A 1D 1到面AB 1C 1的距离为_________；

（4）面AB 1C 与面A 1DC 1的距离为___________；

（5）点B 到直线A 1C 1的距离为______________。

☆正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

Rt SOB Rt SOE Rt BOE Rt SBE ????，，和 它们各包含哪些元素？ S C h C h 正棱锥侧·（——底面周长，为斜高）=1

2

'' V 锥底面积×高=

1

3

☆（）球心和截面圆心的连线垂直于截面122r R d =

-

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！ （3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。 （），球球444

3

2

3S R V R ==

ππ （5）球内接长方体的对角线是球的直径。

正四面体的外接球半径R 与内切球半径r 之比为R ：r ＝3：1。

D C

A

B

D 1 C 1

A 1

B 1