(新)高中数学第一章常用逻辑用语1_1_2量词学案新人教B版选修2-1

1.1.2 量词

学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法．

知识点一全称量词、全称命题

思考观察下面的两个语句，思考下列问题：

P：m≤5；

Q：对所有的m∈R，m≤5.

(1) 上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？

(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个)．

梳理(1)概念

短语“____________”“____________”在逻辑中通常叫做________量词，并用符号“______”表示．含有全称量词的命题，叫做____________．

(2)表示

将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为____________，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．

(3)全称命题的真假判定

要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可．

知识点二存在量词、存在性命题

思考观察下面的两个语句，思考下列问题：

P：m>5；

Q：存在一个m0∈Z，m0>5.

(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？

(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个)

梳理(1)概念

短语“____________”“______________”在逻辑中通常叫做________量词，并用符号

“______”表示．含有存在量词的命题，叫做______________．

(2)表示

存在性命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为______________，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．

(3)存在性命题的真假判定

要判定一个存在性命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则这一存在性命题就是假命题．

类型一全称命题与存在性命题的判断

命题角度1 全称命题与存在性命题的不同表述

例1 设p(x)：2x是偶数，试用不同的表述方式写出下列命题：

(1)全称命题：?x∈N，p(x)；

(2)存在性命题：?x0∈N，p(x0)．

反思与感悟全称命题或存在性命题的表述形式虽然很多，但是具体到一个问题时最为恰当的却只有一个，解题时注意理解．

跟踪训练1 “有些整数是自然数”这一命题为________命题．(填“全称”或“存在性”)命题角度2 全称命题与存在性命题的识别

例2 判断下列命题是全称命题，还是存在性命题：

(1)凸多边形的外角和等于360°；

(2)有的向量方向不定；

(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.

反思与感悟判断一个命题是全称命题还是存在性命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．

跟踪训练2 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并用符号“?”或“?”表示下列命题．

(1)自然数的平方大于或等于零；

(2)圆x2＋y2＝1上存在一个点到直线y＝x＋1的距离等于圆的半径；

(3)有的函数既是奇函数又是增函数；

(4)对于数列??

????

n n ＋1，总存在正整数n 0，使得0n a 与1之差的绝对值小于0.01.

类型二 全称命题与存在性命题的真假判断

例3 判断下列命题的真假．

(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )都对应一点P ；

(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；

(3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；

(4)存在一个实数x 0，使得等式x 20＋x 0＋8＝0成立；

(5)?x ∈R ，x 2－3x ＋2＝0；

(6)?x 0∈R ，x 20－3x 0＋2＝0.

反思与感悟 要判断全称命题“?x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明p (x )都成立；如果在集合M 中找到一个元素x 0，使得p (x 0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．

要判断存在性命题“?x 0∈M ，p (x 0)”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使p (x 0)成立即可；如果在集合M 中，使p (x )成立的元素x 不存在，那么这个存在性命题就是假命题．

跟踪训练3 判断下列命题的真假：

(1)有一些奇函数的图象过原点；

(2)?x 0∈R ，2x 20＋x 0＋1<0；

(3)?x ∈R ，sin x ＋cos x ≤ 2.

类型三 利用全称命题和存在性命题求参数的值或取值范围

例4 已知下列命题p (x )为真命题，求x 的取值范围．

(1)命题p (x )：x ＋1>x ；

(2)命题p (x )：x 2－5x ＋6>0；

(3)命题p (x )：sin x >cos x .

反思与感悟 已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决

此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．

解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制．

跟踪训练4 若方程x2＋ax＋1＝0，x2＋2ax＋2＝0，x2－ax＋4＝0中至少有一个方程有实根，求a的取值范围．

1．下列命题中，不是全称命题的是( )

A．任何一个实数乘以0都等于0

B．自然数都是正整数

C．每一个向量都有大小

D．一定存在没有最大值的二次函数

2．命题p：?x∈N，x3

A．p假q真B．p真q假

C．p假q假D．p真q真

3．已知函数f(x)＝|2x－1|，若命题“存在x1，x2∈[a，b]且x1f(x2)”为真命题，则下列结论一定成立的是( )

A．a≥0 B．a<0 C．b≤0 D．b>1

4．存在性命题“?x0∈R，|x0|＋2≤0”是__________命题．(填“真”或“假”)

5．若命题“?x0∈R，x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是________．

1．判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．

2判定全称命题的真假的方法．定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假．

3．判定存在性命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x0，使命题p(x0)为真，否则命题为假．

提醒：完成作业第一章 1.1.2

答案精析

问题导学

知识点一

思考(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．

(2)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等．梳理(1)所有的任意一个全称?

全称命题(2)?x∈M，p(x)

知识点二

思考(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．

(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．

梳理(1)存在一个至少有一个存在

?存在性命题(2)?x0∈M，p(x0)

题型探究

例1 解(1)全称命题：

①对所有的自然数x，2x是偶数；

②对一切的自然数x，2x是偶数；

③对每一个自然数x，2x是偶数；

④任选一个自然数x，2x是偶数；

⑤凡自然数x，都有2x是偶数．

(2)存在性命题：

①存在一个自然数x0，使得2x0是偶数；

②至少有一个自然数x0，使得2x0是偶数；

③对有些自然数x0，使得2x0是偶数；

④对某个自然数x0，使得2x0是偶数；

⑤有一个自然数x0，使得2x0是偶数．

跟踪训练1 存在性

例2 解(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称命题．

(2)含有存在量词“有的”，故是存在性命题．

(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．

跟踪训练2 解 (1)是全称命题，表示为?x ∈N ，x 2≥0.

(2)是存在性命题，表示为?(x 0，y 0)∈{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，满足|x 0－y 0＋1|2

＝1. (3)是存在性命题，?f (x )∈{函数}，f (x )既是奇函数又是增函数．

(4)是存在性命题，?n 0∈N ＋，0000|1|0.01.1

n n n a a n <+－，其中＝ 例3 解 (1)真命题．

(2)真命题，如函数f (x )＝0，既是偶函数又是奇函数．

(3)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为2，2就不能用正有理数表示．

(4)假命题，方程x 2

＋x ＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．

(5)假命题，只有x ＝2或x ＝1时，等式x 2－3x ＋2＝0才成立．

(6)真命题，x 0＝2或x 0＝1，都能使等式x 20－3x 0＋2＝0成立．

跟踪训练3 解 (1)该命题中含有“有一些”，是存在性命题．如y ＝x 是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．

(2)该命题是存在性命题．

∵2x 20＋x 0＋1＝2(x 0＋14)2＋78≥78

>0，∴不存在x 0∈R ，使2x 20＋x 0＋1<0. 故该命题是假命题．

(3)该命题是全称命题．

∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2恒成立，∴对任意实数x ，sin x ＋cos x ≤2都成立，故该命题是真命题．

例4 解 (1)∵x ＋1>x ，∴1>0(此式恒成立)，∴x ∈R .

(2)∵x 2－5x ＋6>0，

∴(x －2)(x －3)>0，∴x >3或x <2.

(3)∵sin x >cos x ，

∴2k π＋π4

(k ∈Z )． 跟踪训练4 解 由方程x 2＋ax ＋1＝0无实根，可知a 2－4<0，即a 2<4，即－2

由方程x 2－ax ＋4＝0无实根，可知a 2－16<0，即a 2

<16，即－4

∴当a 2<2，即－2

故a 的取值范围为

(－∞，－2]∪[2，＋∞)．

当堂训练

1．D 2.A 3.B 4.假 5.[2，6]